Introducción a las ecuaciones diferenciales

Ecuaciones

Diferenciales

Rubén DaríoLara Escobar

Introducción

EcuacionesDiferencialesOrdinarias

EcuacionesDiferencialesParciales

Clasi�cacióndeEcuacionesDiferenciales

EcuacionesDiferencialesLineales

Solución de

Ecuaciones

Diferenciales

SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Ecuaciones Diferenciales

Introducción

Rubén Darío Lara Escobar1

1Unidad de Ciencias Básicas

Universidad Católica de Manizales

Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013

Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 1/32

Ecuaciones

Diferenciales


Introducción





Solución de

Ecuaciones

Diferenciales

SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Contenidos

1 Introducción

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuaciones Diferenciales Parciales

2 Clasi�cación de Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Lineales

3 Solución de Ecuaciones Diferenciales

Solución Implícita

Campos Direccionales


Ecuaciones

Diferenciales


Introducción





Solución de

Ecuaciones

Diferenciales

SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Qué es una Ecuación Diferencial?

Una Ecuación Diferencial es cualquier ecuación que contenga

una o mas derivadas. La ecuación diferencial más simple es el

siguiente problema de integración:

y′ = f(t)


Ecuaciones

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Solución de

Ecuaciones

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

La solución de esta ecuación es, por supuesto la integral

inde�nida de f(t), es decir, una función de la forma:

y(t) = F (t) + C; donde F (t) es una antiderivada de f(t) y Ces una constante arbitraria.

Este tipo de soluciones se denomina una solución general de

la ecuación diferencial. Más adelante veremos que estas

soluciones son en realidad una familia in�nita de soluciones que

di�eren solamente en la constante arbitraria C.


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Solución de

Ecuaciones

Diferenciales

SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Contenidos

1 Introducción









Ecuaciones

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Solución de

Ecuaciones

Diferenciales

SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Una Ecuación Diferencial Ordinaria EDO es una relación

que contiene una variable independiente

x ∈ R = (−∞,∞)

y la variable real dependiente y, y algunas de sus derivadas

y′, y′′, ..., y(n)

El orden de una EDO es el el grado de la mas alta

derivada que se involucra en la Ecuación Diferencial


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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Ejemplos

xy′ + 3y = 6x3

(y′)2 − 4y = 0

y′ =−xy

x2y′′ − 3xy′ + 3y = 0


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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

La forma general de una EDO de n− esimo orden es:

F (y′, y′′, ..., y(n) = 0)

donde F es una función conocida.

Una Solución de una ecuación diferencial, y(x) es unafunción que satisface

F (y′(x), y′′(x), ..., yn(x) = 0)


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Solución de

Ecuaciones

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Ejemplos II

Por ejemplo:

la función y(x) = x2 + Cex

es una solución de la EDO y′ = y − x2 + 2x

la función f(x) = x2 − x−1 es una solución de la ecuación

diferencial

x2d2y

dx2= 2y

Observemos que en f(x) = x2 − x−1, x 6= 0 y la solución

se da en (0,∞)


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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Ejemplos III

Por ejemplo, es fácil mostrar que y(t) = cos(t) es una solución

de:

Ejemplo

y′′ + y = 0 para todo t.

Para con�rmar esto veamos lo siguiente:

y′(t) = − sin(t)

y

y′′(t) = − cos(t)

De Donde:

y′′(t) + y(t) = 0


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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Contenidos

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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) es

una acuación diferencial con dos o mas variables

independientes, de tal forma que las derivadas que contiene son

derivadas parciales. Por ejemplo una EDP para la función:

u(x1, x2, ..., xn)

tiene la forma

F (x1, ..., xn, u,∂

∂x1u, ...,

∂

∂xnu,

∂2

∂x1∂x1u,

∂2

∂x1∂x2u) = 0


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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Ejemplos EDP's

En la ecuación∂u

∂x− ∂u

∂y= x− 2y

x e y son variables independientes, mientras que u es la variable

dependiente.


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CamposDireccionales

Orden

El orden de una ecuación diferencial es igual al orden de la

derivada mas alta que contenga la ecuación diferencial. Por

ejemplo

1 y′ + y5 = t2e−t es EDO de Primer Orden

2 cos(t)y′ − sin(t)y = 3t cos(t) Es EDO de Primer Orden

3 y′′ − 3y′ + 2y = e2t cos(5t) es EDO de Segundo Orden

4 y′′′ − y′′y′ + 2y = 4e7t es EDO de Tercer Orden

y asi sucesivamente, el orden lo da la derivada mas alta.


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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Contenidos

1 Introducción









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EDO's Lineales

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n-ésimo se

denomina Lineal tiene la forma:

EDO'S Lineales

y(n) = an−1(t)yn−1 + an−2(t)y

n−2 + ...+ a1(t)y′ + a0(t)y + g(t)

Donde las funciones a′s y g son culaquier función de la variable

independiente, en este caso t; observe que la variable

independiente puede aparecer en cualquier forma en la ecuación,

pero la variable dependiente, y y sus derivadas aparecen solas,

en la primera potencia, no en un denominador o dentro de otra

función. es decir, el lado derecho de la ecuación arriba, debe

serFunción Lineal de la variable dependiente y y sus derivadas.

de otra forma la ecuacion se dice que es No Lineal.


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Solución de

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CamposDireccionales

Ejemplo

(2x− y)dx+ 4xdy = 0

Ejemplo

y′′ − 3y′ + 2y = 0


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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Ejemplo

y′′ − 3y′ + 2y = e2t cos(5y)Es lineal esta ecuación?

Qué orden tiene la ecuación?

Explique sus respuestas.


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Solución de

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CamposDireccionales

Contenidos

1 Introducción









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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

En general se dice que una función G(x, y) = 0 es una solución

implícita de la ecuación diferencial general sí de�ne una o más

soluciones generales.

Ejemplo

Muestre que xy2 − x3y = 8 es una solución implícita de

dy

dx=

3x2y − y2

2xy − x3


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Solución de

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CamposDireccionales

solución

al despejar y(x) se obtiene

y =x3 ±

√x6 + 32x

2x

Es muy tedioso hallar las derivadas de y(x) y luego reemplazar

en la ED. Sí usamos la derivación implícita con respecto a x la

ecuación

xy2 − x3 = 8


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Solución de

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CamposDireccionales

solución cont.

Al derivar y(x) se obtiene

y2 + 2xydy

dx− 3x2y − x3

dy

dx= 0

Al despejar dydx se obtiene.

dy

dx=

3x2y − y2

2xy − x3


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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Contenidos

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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales


Un Campo Direccional es una herramienta de visualización que

se utiliza para estudiar el comportamiento aproximado de las

soluciones de una ecuación diferencial de primer orden

y′ = f(x, y), sin tener que resolver la ecuación diferencial


Ecuaciones

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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Cómo Calcular un Campo Direccional

Primero dibuje un plano cartesiano x− y con todos los

puntos (suele ser su�ciente con los puntos donde x = y).

Para cada punto (x0, y0) en el plano, calcule el valor de

f(x0, y0), el cual representa la pendiente de la solución en

el punto

dibuje una pequeña �echa (o linea) para cada punto

orientada con la dirección de la pendiente calculada para el

punto en el paso anterior

Una vez se han dibujado todos los puntos se observa el

comportamiento de las Curvas Integrales que son

tangentes a los vectores del campo.


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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Ejemplo

Halle el Campo Direccional de la ED y′ = −xy

Figura : Campo Direccional para la ED y′ = −xy


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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Ejemplo

Hallar el Campo Direccional de la ED y′ = x− y2

Figura : Campo Direccional para la ED y′ = x− y2


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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

En general el método permite construir una aproximación

grá�ca de las funciones que satisfacen la ED, aproximando la

solución por medio del comportamiento local de la funcion en

un punto f(x0, y0) usando una linearización de la tangente.

Luego aproximamos la curva mediante el campo direccional,

teniendo en cuenta que la curva integral que representa la

solución es tangente al campo direccional.


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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Ejemplo

Hallar el campo direccional de la ED y′ = 1 + x− y

Figura : Campo Direccional para la ED y′ = 1 + x− y


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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Las posibles soluciones de la ED y′ = 1 + x− yse comportan de la forma

Haga click sobre la �gura para ver las soluciones tangentes al

Campo Direccional


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Solución de

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SoluciónImplícita

CamposDireccionales

Ejercicios

Dibuje el campo direccional de cada una de las siguietes

ecuaciones diferenciales. De acuerdo a la grá�ca describa como

es el comportamiento de la función y(x) cuando x→∞1 y′ = 3− 2y

2 y′ = 2y − 3

3 y′ = y2

4 y′ = y(y − 2)2

5 y′ = −(2x+y)2y

6 y′ = xe−2x − 2y


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Diferenciales


Apéndice

Lecturas Re-comendadas

Lecturas Recomendadas I

Mesa, F.; Martínez, A.; González,J.(2012).

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Ed. ECOE EDICIONES

Boyce, W.; Diprima, R.(2009).

Elementary Di�erential Equations and Boundary Value

Problems.

John Wiley and sons, Inc. Ninth edition.


Introducción a las ecuaciones diferenciales

Education

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