Problemáticas de la Geometría II

¿Qué es la Geometría?

•La geometría es una parte de la matemática que estudia idealizaciones del espacio en que vivimos: los puntos, las rectas, los planos, y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como polígonos o poliedros.

Uso práctico

•En la practica, la geometría sirve para solucionar problemas concretos en el mundo de lo visible. Entre sus utilidades se encuentran la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, sistema de posicionamiento global. También es la que nos permite medir áreas y volúmenes, es útil en la preparación de diseños, e incluso en la fabricación de artesanías.

Orígenes•La geometría es una de las ciencias más

antiguas entre las que existen en la actualidad, pues sus orígenes ya se han establecido en lo que era el Antiguo Egipto. Así, gracias a los trabajos de importantes figuras como Heródoto o Euclides, hemos sabido que desde tiempos inmemoriales aquella estaba muy desarrollada pues era fundamental para el estudio de áreas, volúmenes y longitudes.

Geometría sintética

La geometría pura o sintética es una rama de las matemáticas, que se encarga de estudiar y construir de manera sintética las formas y lugares geométricos.

Características de la geometría sintética.

Se dice que la geometría pura o sintética es aquella con la que se puede construir axiomáticamente (con un sistema axiomático), con un tratamiento lógico-deductivo.

Es decir, a partir de una serie de axiomas o postulados -que se adopten a priori- se comienza a construir y demostrar proposiciones lógicas; que se sustentan como en una especie de eslabones de una cadena de razonamiento.

La geometría euclidiana (o euclídia)La geometría eucliana es el estudio de

las propiedades geométricas de los espacios euclídeos.

Es aquella que estudia las propiedades geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides.

Euclides

Euclides es, sin lugar a dudas, el Matemático más famoso de la antigüedad y quizás el más nombrado y conocido de la historia de las Matemáticas.

Todo lo que sabemos de su vida (que es muy poco) nos ha llegado a través de los comentarios de un historiador griego llamado Proclo. Sabemos que vivió en Alejandría (Egipto), al parecer en torno al año 300 a.c.

Euclides

Allí fundó una escuela de estudios matemáticos. Por otra parte también se dice que estudió en la escuela fundada por Platón.

Su obra más importante es un tratado de geometría que recibe el título de "Los Elementos", cuyo contenido se ha estado (y aún se sigue de alguna manera) enseñando hasta el siglo XVIII, cuando aparecen las geometrías no Euclidianas (geometrías que no parten de los mismos axiomas no euclidianas).

¿Qué son los axiomas y postulados en geometría euclidiana?Euclides construye su argumentación basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todo lo demás) que Euclides llamó postulados.  Los  cinco postulados de Euclides.

Estos son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano.

La geometría euclidiana (o euclídia)La geometría eucliana es el estudio de

las propiedades geométricas de los espacios euclídeos.

Es aquella que estudia las propiedades geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides.

Los cinco postulados de EuclidesI.- Dados dos puntos se pueden trazar una

recta que los une.

II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.

Los cinco postulados de EuclidesIII.- Se puede trazar una circunferencia de

centro en cualquier punto y radio cualquiera.

IV.- Todos los ángulos rectos son iguales. 

Los cinco postulados de EuclidesV.- Si una recta, al cortar a otras dos,

forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Los cinco postulados de EuclidesEste axioma es conocido con el nombre

de axioma de las paralelas y también se enunció más tarde así:

V-. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.

Espacio euclídeo

En matemáticas, el espacio euclídeo es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometría.

La recta real, el plano euclídeo y el espacio tridimensional de la geometría euclidiana son casos especiales de espacios euclídeos de dimensiones 1, 2 y 3 respectivamente.

Resumiendo:Geometría euclidiana es la rama de la

geometría basada en los postulados de Euclídes, la cual, en el espacio tridimensional, corresponde a nuestras ideas intuitivas sobre cómo es el espacio.

Esta materia se basa en varias definiciones, como las de punto y de línea, junto con varios postulados acerca de las propiedades geométricas.

Emplea el Método sintético partiendo de los Postulados de Euclides.

En Problemáticas de la Geometría I ustedes se iniciaron en el estudio de la Geometría euclidiana por aplicación del métodos sintético.

Sobre la geometría analítica:

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

¿Qué son los axiomas y postulados en geometría analítica?

En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra.

Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos.

f(x) puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.

Geometría analítica

Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.

Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, formando parte del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:•Dado el lugar geométrico en un sistema

de coordenadas, obtener su ecuación.

•Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.

Geometría analítica vs geometría sintética.

La denominación de ”analítica” dada a esta forma de estudiar la geometría provocó que la anterior manera de estudiarla (es decir, la manera axiomático-deductiva, sin la intervención de coordenadas) se terminara denominando, por oposición, geometría “sintética,” debido a la dualidad análisis-síntesis.

•La mayor diferencia entre la geometría analítica y la geometría sintética, radica en el estudio y tratamiento que se les da a éstas, por ejemplo, en la geometría analítica el uso del álgebra, en especial el álgebra lineal, es fundamental, sin embargo, para la geometría pura no es tan indispensable el enfoque algebraico (sin que esto signifique su exclusión).

Estudio de la Geometría

•El estudio de la geometría no se agota con el conocimiento de las denominadas sintética y analítica.

• Podemos mencionar, a modo de ejemplo, otros capos de estudio como la geometría descriptiva, la topología, la geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, la geometría fractal, y geometría no euclídea.