Introducción al álgebra: Factorización

Profesor / Autor: Fernando Félix Solís Cortés

Curso Introducción al Álgebra

Octubre 2015 Versión 1.0

Facultad de Pedagogía e Innovación Educativa - UABC Curso Intersemestral 2016-1 “Introducción al Álgebra”

Contenidos

Introducción ....................................................................................... 1 Propiedades de los números reales .................................................. 2 Leyes de los exponentes .................................................................. 2

5.1 Factorización por factor común ................................................... 3 5.2 Factorización de diferencias de cuadrados .................................. 5 5.3 Factorización de sumas y diferencias de cubos ........................... 6 5.4 Otros tipos de factorización comunes .......................................... 8

5.4.1 Factorización de trinomios cuadrados de la forma cxbxa ++2 8 5.4.2 Factorización de trinomios cuadrados no perfectos ............. 10

Bibliografía....................................................................................... 14


Módulo 5 FACTORIZACIÓN

Introducción La factorización es considerada uno de los procesos fundamentales del álgebra y

básicamente significa “deshacer una multiplicación”. Cuando hablamos de factores

matemáticos hacemos referencia a cantidades o expresiones que multiplicadas entre sí

forman un producto.

Por ejemplo, en términos numéricos podemos exhibir el número 8 de la siguiente manera

(2) (4) = 8, donde cada uno de los términos que conforman la multiplicación se le conoce

como factores (observe que obtuvimos dos factores). También es posible expresarlo

como (2) (2) (2) = 8; aquí obtuvimos 3 factores.

En muchas ocasiones será conveniente aplicar un proceso para determinar qué

expresiones se multiplicaron para obtener un producto, y a ese proceso de encontrar

factores se le conoce como factorización.

Ahora consideremos otro caso en donde tenemos la sumatoria de dos términos: 9 + 3.

Aplicando un breve proceso de factorización podemos expresar dicha sumatoria como

9 + 3 = 3 (3 + 1).

Observe que en ambos lados de la igualdad el resultado es 12, sin embargo, en el lado

derecho de la igualdad esta expresado como una suma y en el lado izquierdo de expresa

como un producto o multiplicación. Tal como indica el nombre del proceso, factorización

implica expresar un término matemático como un producto de factores.

Factorizar una expresión algebraica consiste básicamente en aplicar las

propiedades de los números reales y las leyes de los exponentes para

reescribir dicha expresión en forma de producto matemático, es decir,

involucrar al menos una multiplicación.

1


Propiedades de los números reales Estas propiedades juegan un rol fundamental en todo proceso de factorización. En el

siguiente cuadro recordamos sus características.

ADICIÓN MULTIPLICACIÓN 1. Ley Clausurativa i) a + b es un número real ii) a ⋅ b es un número real. 2. Ley Asociativa I) a + ( b + c ) = ( a + b ) + c ii) a (b⋅c) = (a⋅b) c 3. Ley Conmutativa I) a + b = b+ a ii) a⋅b = b⋅a 4. Propiedad de Identidad. El número real 0 es llamado

identidad aditiva ya que para todo número real a: i) a + 0 = a = 0 + a

El número real 1 es llamado Identidad multiplicativo, ya que para todo número real a: ii) a⋅1 = a = 1⋅a

5. Propiedad del Inverso. Para todo número real a existe un único número real llamado negativo o inverso aditivo de a representado por –a de tal manera que: i) a + (-a) = 0 = (-a) + a

Para todo número real diferente de cero existe un único número real llamado recíproco o inverso multiplicativo de “a” representado por 1/a de tal forma que: ii) a⋅(1/a) = 1 = (1/a)⋅a

6. Propiedad Distributiva.

i) a ( b + c ) = ab + ac ii) (a+b) c = ac + bc

7. Ley Cancelativa o Anulativa

i) Si a + c = b + c entonces a = b ii) Si ac = bc y c ≠ 0 entonces a = b

8. Ley de la Multiplicación por cero.

i) a⋅0 = 0 = 0⋅a ii) Si a⋅b = 0; entonces a = 0 o b = 0; o ambas

Leyes de los exponentes

De igual manera, las leyes de los exponentes continuamente son aplicadas en la

factorización. Recordando dichas leyes tenemos:

Sean las variables x y y números reales y los índices m y n números enteros, entonces:

a) nmnm xxx += b) mnnm xx =)( c) nnn yxxy =)(

2


d) n

nn

yx

yx

=

e) nmn

m

xxx −=

Veamos otro ejemplo de factorización, ahora considerando la siguiente expresión

matemática )3( 2 xx + . Observe la presencia de la variable x en ambos términos de la

suma. Respetando la propiedad distributiva de los números reales y las leyes de los

exponentes recordadas con anterioridad podemos reescribir dicha expresión así:

)3(32 +=+ xxxx

Analizando la parte izquierda de la igualdad, podemos notar la presencia de la variable x

en ambos término de la suma (razón por la que se le denomina factor común) y dicha

variable conforma parte de la “multiplicación” en el lado derecho de la igualdad.

Factorizar una expresión puede ser desde una actividad muy sencilla a una muy laboriosa

y extensa; todo depende de las características matemáticas de la expresión a factorizar.

Verificar si un proceso de factorización se ha desarrollado correctamente es

muy fácil. Basta con aplicar la propiedad distributiva y la ley de los exponentes

al resultado; la expresión resultante debe ser igual a la expresión matemática

antes de factorizar.

Dadas las características del concepto ya mencionado, existen diversos tipos de

factorización, siendo algunas de las más comunes los siguientes:

5.1 Factorización por factor común Se le considera como el tipo más sencillo de factorización y básicamente es lo contrario

de la ley distributiva de la multiplicación. Como su nombre lo indica, en este tipo de

factorización se posee la presencia de un término o factor común identificado en la

expresión a factorizar.

Ejemplo número 1:

Factoricemos el trinomio (tres términos matemáticos) rsrqrp −+

3


Podemos observar que la variable r representa un factor común ya que se encuentra en

todos los términos de la sumatoria algebraica. Considerando la propiedad distributiva de

los números reales se puede identificar que el otro factor está conformado por )( sqp −+

por lo que la factorización nos genera:

rsrqrp −+ = )(r )( sqp −+

Existen casos en donde el factor común no necesariamente se encuentra presente en

todos los términos de la expresión a factorizar. Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo número 2:

Factoricemos el multinomio (dos o más términos matemáticos): m

ktm 135 +−+

Tomando a la variable m como factor común procedemos a determinar el otro factor que

multiplicado nos da por resultado precisamente m

ktm 135 +−+

Respetando las propiedades de los números reales se puede comprobar que el factor

complementario es )135( 2mmk

mt

+−+ ya que:

.

mktm 135 +−+ = )(m )135( 2mm

kmt

+−+

Así como en un principio se estableció como factor común la variable m, también se

podría contemplar otro término como factor común, digamos por ejemplo 3t, obteniendo lo

siguiente:

mktm 135 +−+ = ( )

+−+

mttk

tmt

31

31

353

Con frecuencia llevar a cabo un proceso de factorización puede ayudar a reducir

y simplificar una expresión algebraica para que su manipulación pueda ser más

eficiente; uno de los tipos más utilizados es la factorización por factor común.

4


5.2 Factorización de diferencias de cuadrados Para factorizar una diferencia de cuadrados es muy importante saber identificarlos

primero. Como lo dice su nombre esta expresión consta de la diferencia (resta) de dos

términos que poseen raíces cuadradas, por ejemplo:

46 49 rx −

El procedimiento de factorización consiste en obtener la raíz cuadrada del primer término

(minuendo) y del segundo término (sustraendo). En este caso el minuendo es 36 39 xx =

y el sustraendo es 24 24 rr = . Una vez obtenidas las raíces se procede a estructurar los

dos factores, siendo conformado el primero por una resta y el segundo por una suma, tal

como se muestra a continuación:

)23)(23(49 232346 rxrxrx +−=−

Tal como se ha mencionado, una manera sencilla de verificar el procedimiento de

factorización consiste en aplicar la propiedad distributiva a los factores obtenidos. En este

ejemplo tendríamos lo siguiente:

464322362323 494669)23)(23( rxrxrrxxrxrx −=−−+=+−

Como se puede observar el resultado final es la diferencia de cuadrados que se procedió

a factorizar. De esta forma comprobamos que ambas expresiones son equivalentes, solo

que una está expresada como una diferencia mientras que la otra representa un producto

(conformado por factores).

Ejemplo número 3:

Factoricemos el binomio 42 2516 rx −

Las raíces cuadradas del minuendo y sustraendo respectivamente son: x4 y 25r .

Por consiguiente los factores son: )54( 2rx − y )54( 2rx + .

De esta manera la factorización puede expresarse como:

42 2516 rx − = )54( 2rx − )54( 2rx +

5


Ejemplo número 4:

Factoricemos el binomio 62 325 n

m−

Las raíces cuadradas correspondientes son: m5

y 33n por lo que los factores son:

)35( 3nm− y )35( 3n

m+ y finalmente la factorización puede expresarse como:

62 325 n

m− = )35( 3n

m− )35( 3n

m+

Ejemplo número 5:

Factoricemos el binomio 2754 yx −

Las raíces cuadradas correspondientes son: x5

2 y y7 por lo que los factores son:

)75

2( yx − y )75

2( yx + y finalmente la factorización puede expresarse como:

27

54 yx − = )7

52( yx − )7

52( yx +

5.3 Factorización de sumas y diferencias de cubos El término suma y diferencia de cubos tiene un origen muy similar al de diferencia de

cuadrados: se hace referencia a la suma o diferencia de dos términos que poseen una

raíz cúbica y tienen su base en los siguientes productos notables:

3322 ))(( yxyxyxyx +=+−+

3322 ))(( yxyxyxyx −=++−

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se

encuentran frecuentemente y expresan como lo dice su nombre, un producto.

Otros ejemplos son un binomio al cuadrado 2)( yx + , binomio al cubo 3)( yx +

entre otros.

6


La idea principal es hacer un proceso inverso para obtener los factores que conforman

dicho producto notable. La factorización consiste en encontrar los factores que dan como

resultado una suma o diferencia de cubos.

Podemos establecer de manera literal a la diferencia de cubos como: el primer factor es la

diferencia de las raíces cúbicas respectivas. El segundo factor se construye a partir de los

términos del primer factor: el cuadrado del primer término más el producto del primero por

el segundo más el cuadrado del segundo término. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo número 6:

Factoricemos 63 278 nm −

Procedemos a obtener las raíces cúbicas de ambos términos, por lo que el minuendo es

mm 283 3 = y el sustraendo es 23 6 327 nn = . Con ambas raíces podemos establecer

nuestro primer factor el cual es )32( 2nm − . Para obtener el segundo factor tomamos

como base las raíces cúbicas obtenidas y atendemos el siguiente enunciado “el cuadrado

del primer término más el producto del primero por el segundo más el cuadrado del

segundo término” para obtener )964( 422 nmnm ++ .

Finalmente podemos decir que nuestra factorización es así:

63 278 nm − = )32( 2nm − )964( 422 nmnm ++

Ejemplo número 7:

Factoricemos n

yx7

1259

2 −

Obteniendo los términos que conformarán el primer factor tenemos:

3 232

3 2 55125 xxx == para el minuendo. Y para el sustraendo 3

33

9

77 ny

ny

=

7


El primer factor es

−

3

33 2

75

nyx y atendiendo las características del producto notable

base (diferencia de cubos) el segundo factor es ( ) ( )2

3

3

3

33 22

3 2

7755

+

+

ny

nyxx

Por lo que nuestra factorización queda:

++

−=−

3 2

6

3 2

3 233 4

3

33 2

92

49525

75

7125

ny

xxyx

nyx

nyx

Ejemplo número 8:

Factoricemos 123 1664 rt +

Ahora tenemos una suma de cubos involucrada, así que recordando la estructura de los

productos notables podemos observar que ))(( 2233 babababa +−+=+ , lo cual puede

corroborarse de igual forma que en la diferencia de cubos, notando que su única

diferencia radica en los signos de sus factores.

Aplicando las raíces cúbicas el primer factor es )164( 43 rt + y el segundo factor

)1616416( 83 2342 rtrt +− por lo que:

123 1664 rt + = )164( 43 rt + )1616416( 83 2342 rtrt +−

5.4 Otros tipos de factorización comunes 5.4.1 Factorización de trinomios cuadrados de la forma cxbxa ++2 Los trinomios cuadrados están compuestos de la suma de tres términos: uno cuadrático,

uno lineal y un término independiente (constante) y en muchas ocasiones pueden ser

factorizados como el producto de dos binomios, tal como se muestra a continuación:

( )( )δβ ++=++ xxcxbxa 2

8


Es importante señalar que existen trinomios cuadrados que son factorizables y algunos

que no lo son. Aquellos trinomios que son factorizables y que provienen del producto de

dos binomios iguales se les conocen como trinomios cuadrados perfectos (TCP). Por

ejemplo el trinomio 442 ++ xx es un TCP ya que proviene de la multiplicación de los

binomios ( )( )22 ++ xx , es decir de ( )22+x . También existen trinomios que provienen del

producto de dos binomios diferentes, tal como ( )( ) 12743 2 ++=++ xxxx .

Habrá trinomios cuadrados que no podrán ser factorizados con los métodos

aquí expuestos. Cuando esto suceda es por una de las siguientes dos

razones: una es que β y δ sean números decimales, o que los elementos

β y δ no pertenezcan al conjunto de los números reales (sean números complejos)

Para factorizar un TCP siempre será recomendable acomodar los términos presentes de

mayor a menor grado, de tal forma que se pueda escribir así cxbxa ++2 . Después es

importante verificar que realmente se trata de un TCP, así que se procede a obtener la

raíz cuadrada del término cuadrático ( 2xa ) y del término independiente ( c ). Si la

multiplicación de ambas raíces es igual a 2 veces el término central xb entonces

estamos hablando de un TCP.

Por ejemplo al analizar el trinomio 25102 ++ xx , obtenemos las raíces 2x y 25 ,

siendo x y 5 respectivamente. Tomando como referencia el término central, se puede

observar que ( )( )5210 xx = por lo que dicho trinomio si es un TCP.

Con la verificación ya realizada, completar la factorización es muy sencillo: colocamos los

resultados de las raíces obtenidas al interior de un binomio elevado al cuadrado (el

término cuadrático primero y después el independiente) siendo separados por el signo

matemático del término central xb (en nuestro ejemplo, el signo es positivo por ser

x10+ ). En nuestro ejemplo la factorización del TCP queda de la siguiente manera:

( )22 52510 +=++ xxx

9


Ejemplo número 9:

Factoricemos 9124 2 +− xx

Primero procedemos a verificar si corresponde a un TCP. Por lo tanto obtenemos las

raíces cuadradas del término cuadrático (primer término) y del término independiente

(tercer término) siendo xx 24 2 = y 39 = correspondientemente.

Debido a que el término central del trinomio ( x12− ) es dos veces el producto de las

raíces ya mencionadas deducimos que si se trata de un TCP, tal como se muestra

algebraicamente a continuación.

( )( ) xx 12322 =

Una vez comprobado que estamos frente a un TCP, podemos estructurarlo de la siguiente

manera.

( )22 329124 −=+− xxx

Es importante observar que el signo matemático del término lineal (segundo término del

TCP) siempre será el mismo que el signo matemático intermedio del binomio al cuadrado.

5.4.2 Factorización de trinomios cuadrados no perfectos

Los trinomios cuadrados no perfectos son aquellos cuya factorización resulta del producto

de dos binomios diferentes y no pueden ser representados como un binomio al cuadrado.

Ejemplo número 10:

Factoricemos el trinomio 253 2 −− xx

Se puede comprobar que este trinomio no es un TCP, sin embargo si puede ser

factorizado. Es muy importante que el trinomio se encuentre ordenado de mayor a menor

grado.

La estructura que analizaremos en este proceso de factorización se ilustra a continuación:

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( )( )________253 2 ±±=−− xx

Observe que el término cuadrático es determinado por los factores colocados en la

posición A, el término lineal por la suma algebraica de las posiciones B, y el término

independiente (constante) por la posición C.

El objetivo en este proceso de factorización es encontrar aquellos factores que

acomodados en dichas posiciones, nos generen el trinomio cuadrado no perfecto inicial.

Iniciaremos analizando el término cuadrado de la posición A. Básicamente sus factores

son x3 y x . La pregunta principal es ¿quién va primero? ¿ x3 ó x ? En realidad puede

ser colocado de cualquiera de ambas maneras, ya que como podremos observar más

adelante podemos llegar al mismo resultado. Iniciaremos colocando los factores así:

( )( )____3253 2 ±±=−− xxxx

Ahora procedemos a analizar el término independiente (constante) de la posición C.

Debido a que valor es 2 sus factores solo pueden ser 2 y 1, así que procedemos a colocar

dichos factores en su respectiva posición iniciando con el 2 y luego el 1. El resultado se

presenta en la siguiente figura.

A

B

B

C

A B C

A

B

B

C

A B C

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( )( )123253 2 ±±=−− xxxx

Con nuestros factores en posición, ahora se presenta la parte fundamental de nuestro

proceso de factorización: determinar si dichos factores son los adecuados o será

necesario cambiarlos de posición. Para averiguarlo, el término de la posición B en el

trinomio siempre será la referencia principal, ya que dicho término debe ser igual a la

sumatoria algebraica de los dos términos en la posición B en la parte ya factorizada.

Cuando hacemos referencia a una sumatoria algebraica, hablamos de tener

presente una suma de elementos que bien pueden ser positivos o negativos.

Por ejemplo la siguiente resta 8-3 puede ser expresada como una sumatoria

algebraica de 8 + (-3), es decir, la suma de un número positivo más un número negativo.

Como se puede observar, en todas las figuras anteriores se encuentran presentes los

siguientes signos “± ”, que indican que dichos elementos puedes ser positivos o

negativos. Para determinar correctamente dichos signos debemos preguntarnos: ¿cuáles

términos debemos colocar en las posiciones B para que su suma algebraica sea x5− ?

¿Deben ser positivos o negativos? Desde el momento en que los signos en cuestión son

2, existen 4 posibles casos que son dignos de análisis mismos que son:

( )( )123 −− xx

( )( )123 ++ xx

( )( )123 −+ xx

( )( )123 +− xx

Aplicando la propiedad distributiva a cada uno de los casos propuestos tenemos:

B

B

A

C

A B C

12


( )( ) 253253123 22 −−≠+−=−− xxxxxx( )( ) 253253123 22 −−≠++=++ xxxxxx( )( ) 25323123 22 −−≠−−=−+ xxxxxx( )( ) 25323123 22 −−≠−+=+− xxxxxx

Como se puede observar ninguno de los 4 casos posibles nos genera una factorización

correcta del trinomio presente, lo que significa que los factores presentes en las

posiciones B son inadecuados, así que procederemos a intercambiarlos como primera

acción alternativa. Si aun así no se genera una factorización correcta será necesario

buscar otro par de factores diferente. Si después de esta acción sigue sin lograrse una

solución correcta, es posible que dicho trinomio cuadrado no pueda ser factorizado por

este método.

Analizando los nuevos posibles casos tenemos lo siguiente:

( )( ) 253273213 22 −−≠+−=−− xxxxxx

( )( ) 253273213 22 −−≠++=++ xxxxxx

( )( ) 253253213 22 −−≠−+=+− xxxxxx

( )( ) 253253213 22 −−=−−=−+ xxxxxx Como se puede observar, diversos casos tenían como diferencia tan solo un signo,

suficiente para no generar una correcta factorización del trinomio. Finalmente la

combinación de signos del caso 4 es apropiada para nuestro objetivo: factorizar un

trinomio cuadrado no perfecto.

Es importante señalar que este proceso de factorización podría parecer

extenso y complicado en un principio, pero la continua práctica y

familiarización con las propiedades algebraicas logrará en usted disipar tal

espejismo.

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Bibliografía

Larson, R. & Hostetler, R. (2008). Precálculo. México: Ediciones Reverté. Spiegel, M. & Moyer, R. (2007). Álgebra superior. México: Mc Graw-Hill. Steward, J. (2001). Cálculo de una variable. México: Thompson Internacional. Swokowski, E. (2011). Algebra y trigonometría con geometría analítica. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Zill, D. & Dewar, J. (2012). Precálculo: con avances de cálculo. México: Mc Graw-Hill Interamericana.

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