MATRICES

DEFINICION TIPOS DE MATRIS

OPERACIONES

ADICCION,

MULTIPLICACION EJERCICIOS

MATRIZ DE ORDEN

MAXIMO

OBJETIVO

INTRODUCCION

El concepto de matriz alcanza mltiples aplicaciones tanto

en la representacin y manipulacin de datos como en el

clculo numrico y simblico que se deriva de los modelos

matemticos utilizados para resolver problemas en

diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias

sociales, las ingenieras, economa, fsica, estadstica y las

diferentes ramas de las matemticas entre las que

destacamos las ecuaciones diferenciales, el clculo

numrico y, por supuesto, el lgebra.

DEFINICION DE MATRICES

Reciben el nombre de

matrices

Esta dado por un conjunto X, se denomina matriz de n filas y m

columnas a un conjunto de nm elementos de X, dispuestos en un

arreglo rectangular de n filas y m columnas.

Las caractersticas de los elementos del conjunto X dependern, en

cada caso, de la naturaleza del problema que se est estudiando

puede ser un conjunto de funciones, de palabras de un alfabeto, de nmeros, etc.

sern nmeros reales y denotaremos el conjunto de todas las matrices de orden nm (n filas y m columnas) por .

-En general, para representar una matriz A de orden nm se escribe.

-Tambin se escribe para indicar que A es la

matriz de orden nm que tiene elementos

- Las matrices se denotan con letras maysculas y sus elementos con la misma

letra minscula acompaada de dos subndices que indican su posicin en la

matriz

n * m

OBJETIVOS DE LA MATRIZ

Conocer algunos tipos de matrices.

Conocer las principales operaciones con matrices.

Conocer algunas aplicaciones del clculo matricial.

Conocer las facilidades del clculo matricial usando el programa Mathcad.

TIPOS DE MATRIZ

Si el numero de filas y el de

columnas no coincide, es decir, mn

MATRIZ RECTANGULAR

EJEMPLO

1 2 3 4

3 6 7 8 A=

2*4

MATRIZ FILA

Si solo tiene una fila, es decir, m=1

EJEMPLO

A= a b c d e

1 * 5

MATRIZ COLUMNA

TIPOS DE MATRIZ

Si solo tiene una columna, es decir,

n=1

EJEMPLO 0

2 -4

A=

*Segn sus elementos

MATRIZ CUADRANGULAR

De orden n: si el numero de filas y el

de columnas coinciden, es decir,

m=n

EJEMPLO

a b c

d e f

g h i

A=

a, e, i -> diagonal

principal

g, e, c -> diagonal

secundario

TIPOS DE MATRIZ CUADRANGULAR

MATRIZ IDENTIDAD O

MATRIZ UNIDAD

Si una matriz escalar en la que

todos los elementos de la diagonal

principal son 1. la matriz identidad

de orden n se representa por I n

1 0 0

0 1 0

0 0 1

EJEMPLO

I = 3

*Es la matriz

idntica

de orden 3

MATRIZ DIAGONAL

es diagonal si ij a =0, para i j . Es

decir, si todos los elementos

situados fuera de la diagonal

principal son cero

0 0 0

0 -4 0

0 0 4 A=

*Es una matriz

diagonal

EJEMPLO

MATRIZ ESCALAR

TIPOS DE MATRIZ CUADRANGULAR

Si es una matriz diagonal en la que

todos los elementos que estn en la

diagonal principal coinciden

4 0 0

0 4 0

0 0 4

EJEMPLO

A=

*Es una matriz

diagonal

OPERACIONES

ADICION

SUSTRACCION

Sean La matriz es la suma de las

matrices y , y se denota C = A + B, si sus elementos

cumplen:

-Se denomina producto de una matriz por un nmero a

una matriz cuyos elementos son de la forma

MULTIPLICACION

DIVICION La divisin de matrices se define como el producto del numerador multiplicado

por la matriz

inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB

DETERMINANTES

DEFINICION

En matemticas se define el determinante como una forma n-lineal alterna de un cuerpo.Esta definicin indica una serie de propiedades matemticas y generaliza el concepto de determinante hacindolo aplicable en numerosos campos. Aunque el origen del determinante tiene lugar en el campo del lgebra lineal y puede concebirse como una generalizacin del concepto de superficie o de volumen orientado. Fue introducido para estudiar el nmero de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

DETERMINANTES

Determinante de orden uno

|a11| = a11

|5| = 5

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado

determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

|A| =

DETERMINANTES

Determinante de orden dos

DETERMINANTES

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

Obsrvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres

elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo

(conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 - - a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.

= 3 2 4 + 2 (-5) (-2) + 1 0 1 - - 1 2 (-2) - 2 0 4 - 3 (-5) 1 = = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

1.|At|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2. |A|=0 Si:

Posee dos lneas iguales

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

1.Todos los elementos de una lnea son nulos.

2. Los elementos de una lnea son combinacin lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre s dos lneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una lnea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un n real el valor del determinante no vara.

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

6. Si se multiplica un determinante por un nmero real, queda multiplicado por dicho nmero cualquier lnea, pero slo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna estn formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. |AB| =|A||B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.