Introduccion al calculo matricial ccesa007

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  • MATRICES

    DEFINICION TIPOS DE MATRIS

    OPERACIONES

    ADICCION,

    MULTIPLICACION EJERCICIOS

    MATRIZ DE ORDEN

    MAXIMO

    OBJETIVO

  • INTRODUCCION

    El concepto de matriz alcanza mltiples aplicaciones tanto

    en la representacin y manipulacin de datos como en el

    clculo numrico y simblico que se deriva de los modelos

    matemticos utilizados para resolver problemas en

    diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias

    sociales, las ingenieras, economa, fsica, estadstica y las

    diferentes ramas de las matemticas entre las que

    destacamos las ecuaciones diferenciales, el clculo

    numrico y, por supuesto, el lgebra.

  • DEFINICION DE MATRICES

    Reciben el nombre de

    matrices

    Esta dado por un conjunto X, se denomina matriz de n filas y m

    columnas a un conjunto de nm elementos de X, dispuestos en un

    arreglo rectangular de n filas y m columnas.

    Las caractersticas de los elementos del conjunto X dependern, en

    cada caso, de la naturaleza del problema que se est estudiando

    puede ser un conjunto de funciones, de palabras de un alfabeto, de nmeros, etc.

    sern nmeros reales y denotaremos el conjunto de todas las matrices de orden nm (n filas y m columnas) por .

    -En general, para representar una matriz A de orden nm se escribe.

    -Tambin se escribe para indicar que A es la

    matriz de orden nm que tiene elementos

    - Las matrices se denotan con letras maysculas y sus elementos con la misma

    letra minscula acompaada de dos subndices que indican su posicin en la

    matriz

    n * m

  • OBJETIVOS DE LA MATRIZ

    Conocer algunos tipos de matrices.

    Conocer las principales operaciones con matrices.

    Conocer algunas aplicaciones del clculo matricial.

    Conocer las facilidades del clculo matricial usando el programa Mathcad.

  • TIPOS DE MATRIZ

    Si el numero de filas y el de

    columnas no coincide, es decir, mn

    MATRIZ RECTANGULAR

    EJEMPLO

    1 2 3 4

    3 6 7 8 A=

    2*4

    MATRIZ FILA

    Si solo tiene una fila, es decir, m=1

    EJEMPLO

    A= a b c d e

    1 * 5

  • MATRIZ COLUMNA

    TIPOS DE MATRIZ

    Si solo tiene una columna, es decir,

    n=1

    EJEMPLO 0

    2 -4

    A=

    *Segn sus elementos

    MATRIZ CUADRANGULAR

    De orden n: si el numero de filas y el

    de columnas coinciden, es decir,

    m=n

    EJEMPLO

    a b c

    d e f

    g h i

    A=

    a, e, i -> diagonal

    principal

    g, e, c -> diagonal

    secundario

  • TIPOS DE MATRIZ CUADRANGULAR

    MATRIZ IDENTIDAD O

    MATRIZ UNIDAD

    Si una matriz escalar en la que

    todos los elementos de la diagonal

    principal son 1. la matriz identidad

    de orden n se representa por I n

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 1

    EJEMPLO

    I = 3

    *Es la matriz

    idntica

    de orden 3

    MATRIZ DIAGONAL

    es diagonal si ij a =0, para i j . Es

    decir, si todos los elementos

    situados fuera de la diagonal

    principal son cero

    0 0 0

    0 -4 0

    0 0 4 A=

    *Es una matriz

    diagonal

    EJEMPLO

  • MATRIZ ESCALAR

    TIPOS DE MATRIZ CUADRANGULAR

    Si es una matriz diagonal en la que

    todos los elementos que estn en la

    diagonal principal coinciden

    4 0 0

    0 4 0

    0 0 4

    EJEMPLO

    A=

    *Es una matriz

    diagonal

  • OPERACIONES

    ADICION

    SUSTRACCION

    Sean La matriz es la suma de las

    matrices y , y se denota C = A + B, si sus elementos

    cumplen:

    -Se denomina producto de una matriz por un nmero a

    una matriz cuyos elementos son de la forma

    MULTIPLICACION

    DIVICION La divisin de matrices se define como el producto del numerador multiplicado

    por la matriz

    inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB

  • DETERMINANTES

    DEFINICION

    En matemticas se define el determinante como una forma n-lineal alterna de un cuerpo.Esta definicin indica una serie de propiedades matemticas y generaliza el concepto de determinante hacindolo aplicable en numerosos campos. Aunque el origen del determinante tiene lugar en el campo del lgebra lineal y puede concebirse como una generalizacin del concepto de superficie o de volumen orientado. Fue introducido para estudiar el nmero de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

  • DETERMINANTES

    Determinante de orden uno

    |a11| = a11

    |5| = 5

    A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado

    determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

    |A| =

  • DETERMINANTES

    Determinante de orden dos

  • DETERMINANTES

    Determinante de orden tres

    Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

    Obsrvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres

    elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo

    (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

    a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 - - a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.

    = 3 2 4 + 2 (-5) (-2) + 1 0 1 - - 1 2 (-2) - 2 0 4 - 3 (-5) 1 = = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =

    = 44 + 4 + 15 = 63

  • PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

    1.|At|= |A|

    El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

    2. |A|=0 Si:

    Posee dos lneas iguales

  • PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

    1.Todos los elementos de una lnea son nulos.

    2. Los elementos de una lnea son combinacin lineal de las otras.

    F3 = F1 + F2

  • PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

    3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

    4. Si en un determinante se cambian entre s dos lneas paralelas su determinante cambia de signo.

    5. Si a los elementos de una lnea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un n real el valor del determinante no vara.

  • PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

    6. Si se multiplica un determinante por un nmero real, queda multiplicado por dicho nmero cualquier lnea, pero slo una.

    7. Si todos los elementos de una fila o columna estn formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

    8. |AB| =|A||B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.