MATRICES

DEFINICION TIPOS DE MATRICES

OPERACIONES

ADICION,

MULTIPLICACION EJERCICIOS

MATRIZ DE ORDEN

MAXIMO

OBJETIVO

INTRODUCCION

El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto

en la representación y manipulación de datos como en el

cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos

matemáticos utilizados para resolver problemas en

diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias

sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las

diferentes ramas de las matemáticas entre las que

destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo

numérico y, por supuesto, el álgebra.

DEFINICION DE MATRICES

Reciben el nombre de

matrices

Esta dado por un conjunto X, se denomina matriz de n filas y m

columnas a un conjunto de n×m elementos de X, dispuestos en un

arreglo rectangular de n filas y m columnas.

Las características de los elementos del conjunto X dependerán, en

cada caso, de la naturaleza del problema que se esté estudiando

• puede ser un conjunto de funciones, de palabras de un alfabeto, de números, etc.

• serán números reales y denotaremos el conjunto de todas las matrices de orden n×m

(n filas y m columnas) por .Μ

-En general, para representar una matriz A de orden n×m se escribe.

-También se escribe para indicar que A es la

matriz de orden n×m que tiene elementos

- Las matrices se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con la misma

letra minúscula acompañada de dos subíndices que indican su posición en la

matriz

n * m

OBJETIVOS DE LA MATRIZ

• Conocer algunos tipos de matrices.

• Conocer las principales operaciones con matrices.

• Conocer algunas aplicaciones del cálculo matricial.

•Conocer las facilidades del cálculo matricial usando el programa Mathcad.

TIPOS DE MATRICES

Si el numero de filas y el de

columnas no coincide, es decir, m‡n

MATRIZ RECTANGULAR

EJEMPLO

1 2 3 4

3 6 7 8 A=

2*4

MATRIZ FILA

Si solo tiene una fila, es decir, m=1

EJEMPLO

A= a b c d e

1 * 5

MATRIZ COLUMNA

TIPOS DE MATRIZ

Si solo tiene una columna, es decir,

n=1

EJEMPLO 0

√2 -4

A=

*Según sus elementos

MATRIZ CUADRANGULAR

De orden n: si el numero de filas y el

de columnas coinciden, es decir,

m=n

EJEMPLO

a b c

d e f

g h i

A=

a, e, i -> diagonal

principal

g, e, c -> diagonal

secundario

TIPOS DE MATRIZ CUADRANGULAR

MATRIZ IDENTIDAD O

MATRIZ UNIDAD

Si una matriz escalar en la que

todos los elementos de la diagonal

principal son 1. la matriz identidad

de orden n se representa por I n°

1 0 0

0 1 0

0 0 1

EJEMPLO

I = 3

*Es la matriz

idéntica

de orden 3

MATRIZ DIAGONAL

es diagonal si ij a =0, para i ≠ j . Es

decir, si todos los elementos

situados fuera de la diagonal

principal son cero

0 0 0

0 -4 0

0 0 4 A=

*Es una matriz

diagonal

EJEMPLO

MATRIZ ESCALAR

TIPOS DE MATRICES CUADRANGULARES

Si es una matriz diagonal en la que

todos los elementos que están en la

diagonal principal coinciden

4 0 0

0 4 0

0 0 4

EJEMPLO

A=

*Es una matriz

diagonal

OPERACIONES

ADICION

SUSTRACCION

Sean La matriz es la suma de las

matrices y , y se denota C = A + B, si sus elementos

cumplen:

-Se denomina producto de una matriz por un número λ a

una matriz cuyos elementos son de la forma

MULTIPLICACION

DIVISION La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado

por la matriz

inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = ABˉ¹

DETERMINANTES

DEFINICION

En matemáticas se define el determinante como una forma n-lineal alterna de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Aunque el origen del determinante tiene lugar en el campo del álgebra lineal y puede concebirse como una generalización del concepto de superficie o de volumen orientado. Fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

DETERMINANTES

Determinante de orden uno

|a11| = a11

|5| = 5

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado

determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

|A| =

DETERMINANTES

Determinante de orden dos

DETERMINANTES

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres

elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo

(conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 -

- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.

= 3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -

- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

1.|At|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2. |A|=0 Si:

Posee dos líneas iguales

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

1.Todos los elementos de una línea son nulos.

2. Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.