1

INTRODUCCIÒN AL MUESTREO

Introducción

El estudio exhaustivo de colectivos de individuos o elementos con

un gran número de unidades supone, por lo general, graves dificultades

técnicas y elevadísimo coste económico. Piénsese, por ejemplo, en la dificultad

operativa y coste asociado de encuestar a toda la población peruana de 15 a

65 años, para investigar el porcentaje de ella que es consumidora de tabaco.

Para soslayar esas dificultades, se procede habitualmente a extraer del

colectivo a estudiar una parte o muestra. Sobre esta parte del colectivo se

analizan las características que interesa investigar, y del resultado de este

análisis se infiere el comportamiento del colectivo total.

Ahora bien, siempre que se afirma algo de un colectivo total, a

través de la información de sólo una parte de él (muestra), se asume un riesgo.

Los valores obtenidos del análisis de un colectivo a través de una muestra del

mismo no son los valores reales del colectivo; son estimaciones aproximadas,

que vienen afectadas por unos errores, que denominaremos errores de

muestreo. Es, por tanto, evidente la utilidad de conocer y dimensionar este tipo

de errores de muestreo. De hecho, en cualquier investigación los datos

recogidos vienen afectados por dos tipos de errores; los errores de medida y

los errores de muestreo. En la mayoría de ocasiones, los errores de medición

son mucho más graves que lo derivados del muestreo, y no siempre se les da

la importancia que merecen. Si las respuestas a las preguntas de la encuesta

son incorrectas, si el entrevistado engaña conscientemente, o si -lo que es muy

frecuente- las preguntas son ambiguas, ambivalentes, incomprensibles, o

llevan a distintas interpretaciones para distintos encuestados, por muy riguroso

que haya sido el procedimiento de muestreo, y por muy acotados que estén

sus errores, la fiabilidad real de los resultados será extraordinariamente pobre.

2

Población y muestra

Población es cualquier colección finita o infinita de elementos o

individuos. Los elementos o individuos pueden ser personas, familias,

establecimientos comerciales, empresas, clavos fabricados por una máquina,

etc. Los datos a medir serán habitualmente medias y/o proporciones. Por

ejemplo, porcentaje (proporción) de consumidores que conocen, han probado,

o son habituales consumidores de una marca determinada de detergente.

Número medio (media) de pasajeros que transportan diariamente de Piura a

Chiclayo las compañías de transporte privado, etc.

Para el diseño muestral, hay que distinguir claramente entre

población objetivo y población marco (conjunto de individuos a partir del cual se

hará la extracción de la muestra). Las poblaciones objetivo y marco deben ser

lo más parecidas posibles. Cuando esto sucede, es decir, cuando el conjunto

total (la población objetivo) está a nuestro alcance (población marco), la

elección del sistema de muestreo, y la selección y extracción de las unidades

muestrales, no presentan ningún problema. Véase, por ejemplo, el caso de

conseguir una muestra de los clavos producidos en un día determinado en una

fábrica, una muestra de los pacientes de un hospital o de los estudiantes de

una escuela de negocios. Todos los elementos están presentes, y pueden ser

manipulados, ordenados y clasificados a nuestra conveniencia.

Desgraciadamente, lo común en la investigación empírica sobre poblaciones

humanas es que la fijación y la estabilidad de la localización física de los

sujetos no exista y que, en el mejor de los casos, sólo se pueda disponer de un

listado o un fichero con los nombres y direcciones de los sujetos que

constituyen la población. Y, demasiado a menudo, el nivel de actualización de

dichos listados o ficheros deja mucho que desear (cambios de domicilio, de

funciones, errores censales, etc).

Dada la población marco –con las cautelas expresadas en el

párrafo anterior- el investigador realizará una extracción muestral, y sobre ella

observará y medirá aquellas características que le sean relevantes. A cada

individuo o unidad (Ui; i= 1,2,..., n) de la muestra se le hace corresponder una

variable cuantitativa Xi, cuyos valores son el resultado de medir el carácter de la

3

misma –valores continuos, como el número de pasajeros transportados del

anterior ejemplo- o una variable cualitativa Ai,, que toma valores 0 ó 1, según su

pertenencia o no a una determinada clase –conocedores o no conocedores de

una marca, fumadores o no fumadores, etc.-.

Muestreo probabilístico y no probabilístico

Esta extracción muestral (muestreo) puede hacerse de forma

probabilística y de forma no probabilística. En el muestreo probabilístico es

posible calcular de antemano la probabilidad de cada una de las muestras que

pueden extraerse de la población. Esto es posible si el conocimiento mediante

el cual se escogen las unidades de la muestra es un experimento aleatorio o de

azar. Este tipo de muestreo permite aplicar como base científica la estadística

matemática, pudiéndose evaluar y controlar tanto la precisión como los errores

cometidos. La condición fundamental de estos muestreos está en que todos los

componentes de la población tengan una probabilidad de selección conocida a

priori.

En el muestreo no probabilístico, también llamado opinático o

intencional, el investigador selecciona la muestra procurando que sea

representativa. La evaluación de esta representatividad es subjetiva. De este

modo, y al carecer de base teórica, no puede medirse la dimensión del error de

muestreo. La precisión de las estimaciones obtenidas dependen de los

conocimientos del responsable de la investigación. Su uso está muy extendido

en razón al menor coste y complejidad operativa.

Resumamos; en cualquier investigación, los datos recogidos

están sometidos a errores. Los errores pueden descomponerse en errores de

medida y en errores de muestreo. Los errores de medida son, con frecuencia,

los más importantes y en los que menos se profundiza. Si el muestreo es

probabilístico, podemos conocer con precisión el error de muestreo –error

cometido al inferir para la población en su conjunto, a partir de los valores

muestrales-.

4

Estimaciones y errores de muestreo

Cada muestra que extrayéramos de una población nos llevaría a

una distinta estimación del valor en la población. Si los tamaños de la muestra

son suficientemente grandes (100 unidades para variables que representen

datos dicotómicos tipo si/no, pertenece/no pertenece, y 30 para variables que

representen datos continuos) la distribución de las medidas de las distintas

muestras sigue una ley aproximadamente normal. Siendo una ley normal, dado

el tamaño de la muestra podemos conocer el error de muestreo –el error

cometido al estimar el valor de la población a partir de la observación de sólo

una parte de ella-. Del mismo modo, dado un error asumible, podemos calcular

el tamaño de la muestra necesaria.

El valor real de la población no coincidirá, obviamente, con el

valor puntual de la muestra. El valor real se hallará comprendido en un intervalo

definido por el valor de la muestra más el error. Este intervalo será tanto mayor

cuanto más grande sea el error y cuanta mayor precisión queramos. La

precisión la define el investigador al fijar el intervalo de confianza. Un intervalo

de confianza del 95% indica que, de cada 100 muestras extraídas, el 95 de

ellas el valor real de la población caerá en el intervalo fijado por cada muestra.

En las cinco restantes, el valor real caerá fuera del intervalo.

Así pues,

Intervalo en el que caerá el valor real de la población con un nivel

de confianza de α =

Valor de la muestra n

t σα±

Siendo σ la desviación tipo de la media o proporción (según estemos midiendo

datos continuos o dicotómicos), t α el factor correspondiente al intervalo de

confianza, y n el tamaño de la muestra.

5

Por ejemplo, para una σ (p) de 2%, el intervalo en el que caerá el

valor real de la población se mueve según el nivel de confianza en los

siguientes términos:

Para un IC de 68,3% Valor de la muestra ± 1 X 2% (1) Para un IC de 95,5% Valor de la muestra ± 2 X 2% Para un IC de 99,7% Valor de la muestra ± 3 X 2%

El error de muestreo nte σα=

es, habitualmente, un dato a fijar por parte del investigador, al igual que el

intervalo de confianza. Estos valores dependen en buena parte del presupuesto

económico disponible para la realización del estudio. Como es intuitivo y luego

explicitaremos, a menor error y a mayor precisión requerida, mayor tamaño de

la muestra. Cuantas más encuestas sean precisas, mayor será el coste

correspondiente.

Los errores que se suelen utilizar en investigación comercial

siguen la siguiente norma:

Para estudios nacionales con segmentación provincial, del 0,5 al

1%

Para estudios nacionales con segmentación regional o

automática, del 1,5 al 2,5%

Para estudios regionales o en el ámbito de una comunidad, del 3

al 4,5%

Para estudios provinciales, del 4,5% al 5%

El intervalo de confianza más utilizado es el correspondiente al

95,5%.

1 Recuérdese que en este intervalo caerá el valor real de la población en el 68,3% de los casos, es decir, de cada 100 muestras extraídas, en 32,7% de ellas el valor real de la población caerá fuera del intervalo.

6

Veamos ahora la fórmula general de cálculo del tamaño de la

muestra, dado el error asumible. En primer lugar, hay que realizar la división

entre los llamados universos infinitos (constituidos por más de 100.000

elementos) y los universos finitos (constituidos por menos de 100.000

elementos).

La fórmula para universos infinitos y datos dicotómicos decidido el

intervalo de confianza, es:

npqte α=

siendo αt el factor correspondiente al intervalo de confianza, p y q las

proporcionalidades complementarias, y n el tamaño de la muestra.

Del mismo modo, dados el error y el intervalo de confianza,

podemos despejar el tamaño de la muestra:

2

2

epqt

n α=

Veamos la aplicación a unos sencillos ejemplos:

Ejemplo nº 1

Queremos hacer una encuesta a nivel nacional, dirigida a conocer

el porcentaje de la población de 15 a 65 años que es fumadora. Hemos

decidido trabajar con un intervalo de confianza del 95,5%, con un error de

muestreo del 4%, y en condiciones desfavorables de muestreo. Queremos

conocer el número de personas a encuestar.

Las condiciones desfavorables de muestreo se definen como

p=50% y q=50%; es decir, al no tener ninguna idea preconcebida del número

de personas que se declararán fumadoras, hemos optado por ponernos en la

peor situación de indeterminación, -la mitad serán fumadores y, la otra mitad,

no fumadores-.

7

Aplicando la expresión anteriormente indicada, se obtiene:

6254

505022

2

==xxn

Si nos hubiéramos decidido por un intervalo de confianza mayor, por

ejemplo 99,7%, con t = 3, el tamaño de la muestra se habría disparado,

conforme podemos observar:

14064

505032

2

==xxn

Ejemplo nº 2:

En la investigación anterior, se ha decidido realizar un pre-test

para determinar los valores de p y q. Para ello, se han entrevistado 80

personas, y de ellas 28 han resultado ser fumadoras. Conservando el nivel de

error del 4%, y el intervalo de confianza del 99,7%, se pide el tamaño de la

muestra.

%358028

==p ; %651 =−= pq

12804

653532

2

==xxn

La expresión que da el tamaño de la muestra para un universo

finito (compuesto por menos de 100.0000 elementos) es, en este caso:

pqtNepqNtn 22

2

)1( α

α

+−=

Todos los términos nos son ya familiares, excepto N, que

representa el tamaño de la población.

8

Ejemplo nº 3:

Un concesionario de automóviles desea realizar una encuesta

telefónica entre sus 15.000 clientes de cartera, para conocer su intención de

cambio de vehículo en los próximos dos años. Se ha decidido trabajar con un

intervalo de confianza del 95,5%, con un error de muestreo del 5%, y en

condiciones desfavorables. Se pide el tamaño de la muestra.

39050502)115000(5

150005050222

2

=+−

=xx

xxxn

Como podemos podido observar en los ejemplos precedentes, el

tamaño de la muestra viene afectado por el error de muestreo y el intervalo de

confianza que se quieran asumir. A menores errores de muestreo y mayores

intervalos de confianza, mayores tamaños de la muestra.

Es importante hacer notar que una muestra que puede ser

significativa para el análisis en su conjunto, puede ir perdiendo significación a

medida que la vamos segmentando en grupos o subgrupos en los que se

pretenda desglosar los resultados. Al irla segmentando, la muestra irá siendo

sucesivamente más pequeña y, por tanto, el error de muestreo se disparará. Si

se tiene previsto hacer una segmentación en función de una serie de variables

como edad, sexo, clase social, conocimiento de una marca determinada..., la

muestra debe forzosamente ser mayor que en el caso de que el análisis sea

general. La figura 1 refleja como, a nivel de la muestra total (2.000

encuestados), el 60% de los encuestados (1.200) conoce la marca investigada.

El error total para un intervalo de confianza del 95,5%, en condiciones

desfavorables, es

9

%2.22000

5.05.02 ==xe

Figura 1

Consumidoresencuestados

n = 2.00

No conocenla marca investigada

n2 = 800

Conocenla marca investigada

n1 = 1.200

Viven en unhábitat urbano

n11 = 800

Viven en unhábitat rural

n12 = 400

Clasemedia

n112 = 400

Clasebaja

n113 = 240

Clasealta

n111 = 160

De 31 a45 años

n1123 = 140

De 46 a60 años

n1124 = 80

Más de60 años

n1125 = 40

De 18 a30 años

n1122 = 108

Menos de18 años

n1121 = 32

10

Nótese que las afirmaciones que se hagan sobre colectivos

extraídos de esta muestra total vendrán afectadas por errores mucho mayores

fruto del tamaño más reducido de estos colectivos. El número de consumidores

de clase media con edad superior a los 60 años que conocen el producto, es

de 40, sobre un total de encuestados de clase media y mayores de 60 años, de

90. De una muestra de 90 unidades, no puede esperarse gran precisión (error

de muestreo del ±10,54%).

%54.1090

5.05.0==

xe

En los Anexos 1 y 2 se incluyen las tablas estadísticas para el

cálculo del tamaño de la muestra para universos infinitos, con un intervalo de

confianza de 95,5%, y del 99,7%, respectivamente.

Muestreo aleatorio simple

En la práctica, los dos tipos de muestreo probabilístico más

utilizados son: el muestreo aleatorio simple y el muestreo aleatorio

estratificado.

En el muestreo aleatorio simple se garantiza la aleatoriedad en la

selección de los elementos de la muestra mediante la utilización de tablas de

números aleatorios. Un caso particular de muestreo aleatorio simple muy

extendido es el muestreo sistemático. El muestreo sistemático consiste en ir

tomando de un listado de los elementos de la población las unidades

muestrales de k en k, siendo k igual a la parte entera del cociente entre el

tamaño de la población y el de la muestra. La primera unidad será elegida al

azar (a través de una tabla de números aleatorios). Sea, por ejemplo, una

población de 150.000 elementos, de la que queremos tomar una muestra

compuesta por 1.000 elementos. Iniciamos el primer elemento por extracción

aleatoria y, a partir de él, vamos extrayendo unidades del listado con un

intervalo de 150 (150.000/1.000) hasta lograr las 1.000 unidades muestrales.

11

Muestreo aleatorio estratificado

Este tipo de muestreos se basa en dividir la muestra en grupos o

segmentos llamados estratos, para extraer dentro de cada estrato las unidades

muestrales. El conocimiento previo del investigador sobre el campo de análisis

puede aconsejar dividir el conjunto total, para obtener unidades homogéneas

dentro de cada estrato, y heterogéneas entre los distintos estratos. Con ello se

garantiza una representación suficientemente significativa de cada grupo,

evitando que determinados individuos, escasos en número pero importantes de

cara a los objetivos del estudio, se queden fuera de la encuesta. Los muestreos

estratificados mejoran también la precisión global. Naturalmente, sigue siendo

requisito básico para asegurar el carácter representativo de la muestra la

elección aleatoria de las unidades muestrales de cada estrato. Algunos tipos de

estratos utilizados en la investigación comercial son los geográficos: por

comunidades autónomas, zonas de venta..., los socioeconómicos (por clases

sociales), los específicos, tipos de establecimientos de venta, tipos de clientes,

etc.

Según el criterio seguido en el reparto (afijación) del número de

unidades muestrales de cada estrato, se distinguen las siguientes modalidades:

Afijación uniforme Afijación proporcional Afijación de mínima varianza

En el muestreo aleatorio estratificado por afijación uniforme se

asigna a cada estrato establecido un número igual de unidades muestrales, con

independencia de cuál sea su peso en el total del universo (véase Figura 2).

12

Figura 2

ClasealtaNA

Clasemedia

NM

ClasebajaNB

NA = 700 encuestas

NM = 700 encuestas

NB = 700 encuestas

N = 2 100 encuestas

En el muestreo aleatorio estratificado por afijación, la distribución

de la muestra dentro de cada estrato es proporcional al tamaño del mismo

(véase Figura 3 y ejemplo nº 4).

13

Figura 3

ClasealtaNA

Clasemedia

NM

ClasebajaNB

nA - NA

nM - NM

nB - NB

Ejemplo nº 4

Se desea repartir una muestra de 816 encuestas correspondiente

a una población de 1.450.000 individuos, por muestreo aleatorio estratificado

proporcional. El tamaño de cada uno de los tres segmentos que constituyen

dicha población es el siguiente:

14

Clase social Tamaño

Alta 150.000

Media 900.00

Baja 400.00

Total 1.450.000

¿Cuántas encuestas corresponderán a cada clase social?

Lo primero que calcularíamos sería el peso específico de cada uno de los

segmentos:

Clase alta = 150.000 X 100 = 10,35% 1.450.000

Clase media = 900.000 X 100 = 62,07%

1.450.000

Clase baja = 400.000 X 100 = 27,58% 1.450.000

El número de encuestas que corresponden a cada clase sería el siguiente:

Clase alta: 816 X 0,1035 = 84 encuestas Clase media: 816 X 0,6207 = 507 encuestas Clase baja: 816 X 0,2758 = 225 encuestas

Total muestra = 816 encuestas

15

En el muestreo aleatorio estratificado por afijación de mínima

varianza (afijación óptima), se asigna a cada estrato un número de unidades en

función del tamaño de la población del estrato y del grado de dispersión del

dato a investigar en cada uno de los estratos establecidos (véase Figura 4). Se

suele aplicar en aquellos casos en los que la homogeneidad de los distintos

segmentos con relación al fenómeno a estudiar es diversa. Para ello, se estima

la desviación típica mediante los resultados de un sondeo piloto, pre-test, o

según experiencia previa del equipo de investigación. (Véase ejemplo nº 5).

Figura 4

ClasealtaNA

Clasemedia

NM

ClasebajaNB

nA = f (NA 1σA )

nM = f (NM 1σM )

nB = f (NB 1σB )

σA

σM

σB

16

Ejemplo nº 5

Se desea repartir una muestra constituida por 1.000 unidades

entre las tres clases de clientes que constituyen la cartera de un banco y que

se distribuyen de la siguiente manera:

- Clientes tipo A 150.000

- Clientes tipo B 900.000

- Clientes tipo C 400.000

Las desviaciones típicas calculadas para cada tipo de clientes son

las siguientes:

- Clientes tipo A 10 %

- Clientes tipo B 30 %

- Clientes tipo C 60 %

Calcular el número de encuestas que hay que efectuar en cada

segmento de mercado.

Aplicando la expresión de proporcionalidad al tamaño de

población y a la desviación tipo, se tiene:

nA = 1.000

150.000 X 0,10 150.000 X 0,10 + 900.000 X 0,30 + 400.000 X 0,60

nB = 1.000

17

900.000 X 0,30 150.000 X 0,10 + 900.000 X 0,30 + 400.000 X 0,60

nC = 1.000

400.000 X 0,60 150.000 X 0,10 + 900.000 X 0,30 + 400.000 X 0,60

Despejando las tres incógnitas, resultan los siguientes valores:

nA = 29 encuestas

nB = 514 encuestas

nC = 457 encuestas

18

Anexo 1

METODOS Y APLICACIONES DE MUESTREO

Tamaño de la muestra para poblaciones infinitas, con intervalo de confianza del 95,5%

Valores posibles de p y q (p + q = 100) Límites de error en

porcentajes 1/99 2/98 3/97 4/96 5/95 10/90 15/85 20/80 25/75 30/70 35/65 40/60 45/55 50/50

0,1 39.600 78.400 116.400 153.600 190.000 360.000 510.000 640.000 750.000 840.000 910.000 960.000 990.000 1.000.0000,2 9.900 19.600 29.100 38.400 47.500 90.000 127.500 160.000 187.500 210.000 227.500 240.000 247.500 250.0000,3 4.400 8.711 12.933 17.067 21.111 40.000 56.667 71.111 83.333 93.333 101.111 106.667 110.000 111.1110,4 2.475 4.900 7.275 9.600 11.875 22.500 31.875 40.000 46.875 52.500 56.875 60.000 61.875 62.500

0,5 1.584 3.136 4.656 6.144 6.600 13.400 20.400 25.600 30.000 33.600 36.400 38.400 39.600 40.0000,6 1.100 2.178 3.233 4.267 5.278 10.000 14.167 17.778 20.833 23.333 25.278 26.667 27.500 27.7780,7 808 1.600 2.376 3.135 3.878 7.347 10.408 13.061 15.306 17.143 28.577 19.592 20.204 20.4080,8 619 1.225 1.819 2.400 2.969 5.625 7.969 10.000 11.719 13.125 14.219 15.000 15.469 15.625

0,9 489 968 1.437 1.896 2.346 4.444 6.296 7.901 9.259 10.370 11.235 11.852 12.222 12.3461,0 396 784 1.164 1.536 1.900 3.600 5.100 6.400 7.500 8.400 9.100 8.600 9.900 10.0001,5 176 348 517 683 844 1.600 2.267 2.844 3.333 3.733 4.044 4.267 4.400 4.4442,0 99 196 291 384 475 900 1.275 1.600 1.875 2.100 2.275 2.400 2.475 2.500

2,5 63 125 186 246 304 576 816 1.024 1.200 1.344 1.456 1.536 1.584 1.6003,0 44 87 129 171 211 400 517 711 833 933 1.011 1.067 1.100 1.1113,5 32 64 95 125 155 294 416 522 612 686 743 784 808 8164,0 25 49 73 96 119 225 310 400 469 525 569 600 619 625

4,5 20 39 57 76 94 178 252 316 370 415 449 474 489 4945,0 16 31 47 61 76 144 204 256 300 336 364 384 396 4006,0 11 22 32 43 53 100 142 178 208 233 253 267 275 2787,0 8 16 24 31 73 104 131 153 171 186 196 202 204

8,0 6 12 18 24 30 56 80 100 117 131 142 150 155 1569,0 5 10 14 19 23 44 63 79 93 104 112 119 122 123

10,0 4 8 12 15 19 36 51 64 75 83 91 96 99 10015,0 2 3 5 7 8 16 23 28 33 37 40 43 44 43

20,0 1 2 3 4 5 9 13 16 19 21 23 24 25 2525,0 0,6 1 2 2 3 6 8 12 12 13 15 15 16 16

19

Anexo 2

METODOS Y APLICACIONES DE MUESTREO

Tamaño de la muestra para poblaciones infinitas, con intervalo de confianza del 99,7%

Valores posibles de p y q (p + q = 100) Límites de error en

porcentajes 1/99 2/98 3/97 4/96 5/95 10/90 15/85 20/80 25/75 30/70 35/65 40/60 45/55 50/50

0,1 89.100 176.400 261.900 345.600 427.850 810.000 1.147.500 1.440.000 1.687.500 1.890.000 2.047.500 2.160.000 2.227.500 2.250.0000,2 22.275 44.100 65.475 86.400 106.875 202.500 286.875 360.000 421.875 472.500 511.875 540.000 556.875 562.5000,3 9.900 19.600 29.100 38.400 47.500 90.000 127.400 160.000 187.500 210.000 227.500 240.500 247.500 250.0000,4 5.569 11.025 16.369 21.600 26.719 50.625 71.719 90.000 105.469 118.125 127.969 135.000 139.219 140.6250,5 3.564 7.056 10.476 13.824 17.100 32.400 45.000 57.600 67.500 75.600 81.900 86.400 89.100 90.000

0,6 2.475 4.900 7.275 9.600 11.875 22.500 31.875 40.000 46.875 52.500 56.875 60.000 61.875 62.5000,7 1.818 3.600 5.345 7.053 8.724 16.531 23.418 29.388 34.439 38.571 41.786 44.082 45.459 45.9180,8 1.392 2.756 4.092 5.400 6.680 12.656 17.930 22.500 27.367 29.531 31.992 33.750 34.805 35.1560,9 1.100 2.178 3.233 4.267 5.278 10.000 14.167 17.778 20.833 25.278 26.667 26.667 27.500 27.7781,0 891 1.764 2.619 3.456 4.275 8.100 11.475 14.400 16.875 18.900 20.475 21.600 22.275 22.500

1,5 396 784 1.164 1.356 1.900 3.600 5.100 6.400 7.500 8.400 9.100 9.600 9.900 10.000

2,0 223 441 655 864 1.069 2.025 2.869 3.600 4.219 4.725 5.119 5.400 5.569 5.627

2,5 143 282 419 553 684 1.296 1.836 2.304 2.700 3.024 3.276 3.456 3.564 3.600

3,0 99 196 291 384 475 900 1.275 1.600 1.875 2.100 2.275 2.400 2.475 2.500

3,5 73 144 241 282 349 661 937 1.176 1.378 1.543 1.671 1.763 1.818 1.837

4,0 56 110 164 216 267 506 717 900 1.055 1.181 1.280 1.350 1.392 1.4064,5 44 87 129 171 400 567 711 833 933 1.011 1.067 1.100 1.111 5,0 36 71 105 138 171 324 459 576 675 756 819 864 891 9006,0 25 49 73 96 119 225 319 400 469 525 569 600 619 6257,0 18 36 53 71 87 165 234 294 344 386 418 441 455 459

8,0 14 28 41 54 67 127 179 225 364 295 320 338 348 3529,0 11 22 32 43 53 100 142 178 208 233 263 267 275 27810,0 9 18 26 35 43 81 115 144 169 189 205 216 223 22515,0 4 8 12 15 19 36 51 64 75 84 91 96 99 10020,0 2 4 7 9 11 20 29 36 42 47 51 54 56 56

25,0 1 3 4 6 7 3 18 23 27 30 33 35 36 3630,0 1 2 3 4 5 9 13 16 19 21 23 24 25 2535,0 0.7 1 2 3 3 7 9 12 14 15 17 18 18 1840,0 0.6 1 2 2 3 5 7 9 11 12 13 14 14 14