Introducción. (FT) (DTFT) - unican.es · Dualidad.!c u p SeD˜ p Ing ´ıSenales˜ y O p –...

Tema 4: Transformada de Fourier

0. Introducción.1. Transformada de Fourier continua (FT)2. Transformada de Fourier discreta en el tiempo (DTFT)

c!Luis Vielva, Grupo de Tratamiento Avanzado de Senal. Dpt. Ingenierıa de Comunicaciones. Universidad de Cantabria. Senales y sistemas. Tema 4: Transformada de Fourier. OpenCourseWare – p. 1/65

4.0 Introducción (I)T. Continuo Discreto

5 0 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x(t)

25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 251.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

n

x[n]

Periódica

FS DTFS (DFT) Discreta

3 2 1 0 1 2 31

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x(t)

20 15 10 5 0 5 10 15 200.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Aperiódica

FT DTFT Continua

Aperiódica Periódica F.


4.0 Introducción (II)T. Continua Discreta

x(t) =!!

k="!a[k]ejk!0t x[n] =

!

k=#N$

a[k]ejk!0n

a[k] =1

T

"

#T $x(t)e"jk!0t dt a[k] =

1

N

!

n=#N$

x[n]e"jk!0n

Periódica

FS DTFS (DFT) Discreta

x(t) =1

2!

" !

"!X(j!)ej!t d! x[n] =

1

2!

"

2"X(ej!)ej!n d"

X(j!) =

" !

"!x(t)e"j!t dt X(ej!) =

!!

n="!x[n]e"j!n

Aperiódica

FT DTFT Continua

Aperiódica Periódica F.


4.1: Transformada de Fourier continua

1. Análisis y síntesis.2. Convergencia.3. TF de señales periódicas.4. Propiedades.

1. Convolución.2. Multiplicación-modulación.

5. Sistemas descritos por ED coef. const.


4.1.1 Análisis y síntesis (I)

Si x(t+ T ) = x(t), !t, admite un desarrollo en FS.

x(t) =!!

k="!a[k]ejk!0t, a[k] =

1

T

"

#T $x(t)e"jk!0t dt.

Si definimos x(t) como un periodo de x(t):x(t) es de longitud finita (cero en el resto).x(t) no es periódica.x(t) no tendrá desarrollo en FS.Sin embargo, podemos interpretar

x(t) = limT%!

x(t).


4.1.1 Análisis y síntesis (II)

a[k] =1

T

" T/2

"T/2x(t)e"jk!0t dt " 1

TX(jk!0),

donde X(j!) =#!"! x(t)e"j!t dt.

Si sustituimos en la expresión de síntesis

x(t) =!!

k="!

1

TX(jk!0)e

jk!0t &!0=

!!

k="!

1

2!X(jk!0)e

jk!0t!0

Interpretación gráfica.

x(t) = limT%!

x(t) = lim!0%0

x(t) =1

2!

" !

"!X(j!)ej!t d!


4.1.1 Análisis y síntesis (III)

Ecuación de análisis:

X(j!) =

" !

"!x(t)e"j!t dt;

transformada (o integral) de Fourier.Ecuación de síntesis:

x(t) =1

2!

" !

"!X(j!)ej!t d!;

transformada inversa de Fourier.


4.1.2 Ejemplo {ej0.m}

Sea x(t) = [|t| < T1] (un pulso de anchura 2T1).

X(j!) = 2sen!T1

!.

Sea x(t) la extensión periódica de x(t)

a[k] =2

T

sen k!0T1k!0

#$ Ta[k] = X(j!)|!=k!0

Salvo un factor de escala (T ), los coeficientes a[k] sonmuestras equiespaciadas de la TF.Si T $ %, las muestras tienden a un continuo.


4.1.3 Convergencia (I)

En la deducción, se ha supuesto x(t) de duración finita.Sin embargo, la TF puede aplicarse a muchas señalesque no son de duración finita.Existen dos familias de condiciones.

Señales de energía finita.Señales que verifican las condiciones de Dirichlet.

Si admitimos la utilización de impulsos, podemosaplicar la TF a ciertas señales que no verifican ningunode los dos criterios.


4.1.3 Convergencia (II)

Señales x(t) de energía finita:Existe su TF X(j!) = F{x(t)}.Si x(t) " F"1{X(j!)}, #(t) " x(t)# x(t): energía nula.x(t) y x(t) pueden diferir en algunos puntos discretos.

Condiciones de Dirichlet. Si:1. Integrable en valor absoluto,2. # finito de máx. y mín. en cualquier intervalo finito,3. Idem para discontinuidades,entonces x(t) = x(t) excepto en las discontinuidades,donde es la media.


Ejemplos

x(t) = e"atu(t). Si a < 0, no converge.

X(j!) =1

a+ j!,

módulo y fase.x(t) = e"a|t| (par)

X(j!) =2a

a2 + !2 & R.


Ejemplos (II)

X(j!) = [|!| < W ]: un pulso de anchura 2W .

x(t) =sen(Wt)

!t=

W

!

sen(Wt)

Wt.

Si W crece, !/W decrece. Dualidad FT.x(t) = $(t), X(j!) = 1.X(j!) = 2!$("), x(t) = 1.x(t) = t[|t| ' 1] (impar).

X(j!) =2j

!cos!# 2j

!2sen! & I


4.1.4 TF de señales periódicas (I)

Sea x(t) = x(t+ T ), !t.Como es periódica, no puede verificar ninguno de losdos criterios de convergencia.Sin embargo, puede tener TF.En caso de tenerla, su TF está relacionada con su FS

x(t) =!!

k="!a[k]ejk!0t.

Paradigma de señal periódica: exponencial compleja.Veremos cuál es la TF de ej!0t.


4.1.4 TF de señales periódicas (II)

Sea P (j!) = 2!$(!# !0). Entonces p(t) = F"1{P (j!)}.

p(t) =1

2!

" !

"!P (j!)ej!t d! =

" !

"!$(!#!0)e

j!t d! = ej!0t.

Por tanto, la combinación lineal de pulsos frecuenciales

X(j!) =!!

k="!2!a[k]$(!# k!0)

es la TF de

x(t) =!!

k="!a[k]ejk!0t.


4.1.4 TF de señales periódicas (III)

Sea x(t) = x(t+ T ), !t.La frecuencia angular es !0 = 2!/T .Sean a[k] los coeficientes de su FS.

a[k] =1

T

"

#T $x(t)e"jk!0t dt.

La TF de x(t) es un tren de deltas de DiracColocadas en ! = k!0.De área proporcional a a[k].

X(j!) =!!

k="!2!a[k]$(!# k!0)


Ejemplos

x(t) = sen!0t,a[±1] = ±1/2j.

x(t) = cos!0t,a[±1] = 1/2.

Si

x(t) =!!

k="!$(t# kT ),

entonces

X(j!) =2!

T

!!

k="!$(!# k!0).


4.1.5 Propiedades (I)

Si X(j!) es la transformada de Fourier de x(t)

x(t) = F"1{X(j!)} =1

2!

" !

"!X(j!)ej!t d!, (sıntesis)

X(j!) = F{x(t)} =

" !

"!x(t)e"j!t dt, (analisis)

diremos que x(t) y X(j!) son un par transformado, y lorepresentaremos por

x(t)F($ X(j!).


4.1.5 Propiedades (II)

Lin.: z(t) = Ax(t) +By(t)F($ AX(j!) +BY (j!) (A).

Desp. temporal: x(t# t0)F($ e"j!t0X(j!) (A).

Inversión temporal: x(#t)F($ X(#j!) (A).

Conjugación: x'(t) F($ X'(#j!) (A).

Escalado temporal y frecuencial: x(at) F($ 1|a|X(j!/a).

Diferenciación (L): x(t) F($ j!X(j!) (S).

Integración (C):# t"! x(%) d%

F($ 1j!X(j!) + !X(0)$(!).


4.1.5 Propiedades (III)

Relación de Parseval:" !

"!|x(t)|2 dt = 1

2!

" !

"!|X(j!)|2d!.

|X(j!)|2: espectro de densidad de energía.Multiplicación.Convolución.Dualidad.


4.1.5.1 Convolución (I)

Exponenciales complejas: autofunciones de los LTI.Si x(t) = est, y(t) = h(t) ) x(t) = H(s)est, donde

H(s) =

" !

"!h(%)e"s# d%

es la función del sistema.Si s = j!, x(t) = ej!t, y(t) = H(j!)x(t), donde

H(j!) =

" !

"!h(%)e"j!# d%

es la TF de la respuesta impulsiva h(t) y se denominarespuesta frecuencial del sistema.


4.1.5.1 Convolución (II)

Sean x(t) e y(t) dos señales con TF

X(j!) =

" !

"!x(%)e"j!# d%, Y (j!) =

" !

"!y(&)e"j!$ d&.

¿Cuál es IFT del producto?

¿z(t)? F($ Z(j!) = X(j!)Y (j!).


4.1.5.1 Convolución (III)

Z(j!) =

" !

"!

" !

"!x(%)y(&)e"j!(#+$) d% d&

=

" !

"!

$" !

"!x(%)y(t# %)d%

%e"j!t dt

=

" !

"!z(t)e"j!t dt,

donde z(t) = x(t) ) y(t).Por tanto

x(t) ) y(t) F($ X(j!)Y (j!).


4.1.5.1 Convolución (IV)

Más sencillo un producto que una convolución.Salida en ambos dominios

y(t) = h(t) ) x(t), Y (j!) = H(j!)X(j!).

Conexión en serie de dos sistemas LTI

h(t) = h1(t) ) h2(t), H(j!) = H1(j!)H2(j!).

No todas las h(t) tienen TF:Si el sistema es estable,

#!"! |h(t)| dt < %, * TF si se

verifican las otras dos CD.Si no existe la TF (inestable): transf. de Laplace.


4.1.5.1 Ejemplos

Sean

x(t) = e"btu(t), b > 0; y h(t) = e"atu(t), b += a > 0.

Calcular la salida en el dominio del tiempo y en el de lafrecuencia. (y(t) = e!bt"e!at

a"b u(t)).Si a = b,Y (j!) = 1

(a+j!)2 = j dd!

1a+j!

F($ y(t) = te"atu(t).

Tabla de propiedades (4.1) y pares transformados (4.2).Apéndice sobre expansión en fracciones simples.


4.1.5.2 Multiplicación-modulación (I)

Sean x(t) e y(t) dos señales con TF X(j!) e Y (j!).

x(t) =1

2!

" !

"!X(j')ej%t d', y(t) =

1

2!

" !

"!Y (j()ej&t d(.

¿Cuál es la TF de su producto?

z(t) = x(t)y(t)F($ ¿Z(j!)?.


4.1.5.2 Multiplicación-modulación (II)

z(t) =1

(2!)2

" !

"!

" !

"!X(j')Y (j()ej(%+&)t d' d(

=1

(2!)2

" !

"!

$" !

"!X(j')Y (j(!# ')) d'

%ej!t d!

=1

2!

" !

"!

1

2!Z(j!)ej!t d!,

donde Z(j!) = X(j!) ) Y (j!). Por tanto

x(t)y(t)F($ 1

2!X(j!) ) Y (j!).


4.1.5.2 Multiplicación-modulación (III)

Ejemplo: enviar una señal de voz por radio {ej2.m}.Multiplicar una señal por otra$ modulación (AM).Ancho de banda 8 KHz.Teléfono 3 KHz. GSM : ¿Catarro?Dibujar una señal de voz s(t) y su espectro.Dibujar p(t) y P (j!) = !$(!# !0) + !$(!+ !0)

Dibujar e(t) = p(t)s(t) y su espectro.Recepción r(t) = e(t)p(t). Filtro paso bajo.


4.1.6 Sistemas EDCC

Sistema descrito por ED lineal de coeficientes constantes

N!

k=0

a[k]dky(t)

dtk=

M!

k=0

b[k]dkx(t)

dtk;

¿cuánto vale la respuesta frecuencial H(j!)?.Sabemos que si x(t) = ej!t, entonces y(t) = H(j!)ej!t.

H(j!) =

&Mk=0 b[k](j!)

k

&Nk=0 a[k](j!)

k,

una función racional en j!.También puede verse a partir de F{x(t)} = j!X(j!).


Ejemplos

Calcular H(j!) y h(t) del sistema y(t) + ay(t) = x(t).

H(j!) =1

a+ j!, h(t) = e"atu(t).

Idem para y(t) + 4y(t) + 3y(t) = x(t) + 2x(t).

H(j!) =2 + j!

3 + 4j!+ (j!)2, h(t) =

1

2(e"t + e"3t)u(t).

Salida si x(t) = e"tu(t).

Y (j!) =1/4

1 + j!+

1/2

(1 + j!)2+

#1/4

3 + j!.


Ejercicios

Demostrar que si x(t) real, ,(X(j!)) y |X(j!)| sonpares, mientras que la parte real y la fase son impares.Demostrar que si x(t) par y real, X(j!) también.Hacer ejercicios 4.37 y 4.40.


Ejercicio 4.37

Sea x(t) la señal triangular unidad.1. Calcular X(j!) (dos formas).

a) Como x(t) es par,

X(j!) = 2

" !

0x(t) cos!t dt = 2

" 1

0(1# t) cos!t dt

=2(1# cos!)

!2 .

b) Aplicar x(t) = y(t) ) y(t), donde y(t) = [|t| < 1/2],

Y (j!) = 2sin(!/2)

!.


Ejercicio 4.37 (II)

2. Dibujar la señal x(t) = x(t) ) p(t), donde

p(t) =!!

k="!$(t# 4k).

3. Encontrar g(t) += x(t), tal que g(t) ) p(t) = x(t).4. Demostrar que, aunque G(j!) += X(j!).

Necesariamente son iguales para ! = k!/2.X(j!) = X(j!)P (j!) = G(j!)P (j!).Sabemos que

!!

k="!$(t# kT )

F($ 2!

T

!!

k="!$(" # k"0).


Ejercicio 4.40

Utilizar las propiedades de la TF para demostrar porinducción

xn(t) =tn"1

(n# 1)!e"atu(t), a > 0

F($ Xn(j!) =1

(a+ j!)n.

Si n = 1, e"atu(t)F($ 1

a+j! .

Si n = 2, te"atu(t)F($ 1

(a+j!)2 .

Si suponemos válido para n, xn+1(t) =tnxn(t). Vamos a

utilizar la propiedad de la derivada frecuencial de la TF.


Ejercicio 4.40 (II)

X(j!) =

" !

"!x(t)e"j!t dt $ d

d!X(j!) =

" !

"!(#jtx(t))e"j!t dt.

Es decir,

#jtx(t)F($ d

d!X(j!) : tx(t)

F($ jd

d!X(j!).

Por tanto,

xn+1(t)F($ j

n

d

d!X(j!) = Xn+1(j!).


4.2: DTFT

1. Análisis y síntesis.2. Convergencia.3. DTTF de señales periódicas.4. Propiedades.5. Dualidad.6. Sistemas descritos por ED coef. const.


4.2.1 Análisis y síntesis (I)

Si x[n+N ] = x[n], !n, admite un desarrollo en DTFS.

x[n] =!

k=#N$

a[k]ejk!0n, a[k] =1

N

!

n=#N$

x[n]e"jk!0n;

donde "0 = 2!/N .Si definimos x[n] como un periodo de x[n]:

x[n] es de longitud finita (x[n] = 0 si n +& [#N1, N2]).x[n] no es periódica.x[n] no tendrá desarrollo en DTFS.Para cualquier valor finito de n,

x[n] = limN%!

x[n].


4.2.1 Análisis y síntesis (II)

Como x[n] = x[n] para #N1 ' n ' N2,

a[k] =1

N

N2!

n="N1

x[n]e"jk!0n =1

N

N2!

n="N1

x[n]e"jk!0n " 1

NX(ejk!0),

donde

X(ej!) =!!

n="!x[n]e"j!n.

Esta función X(ej!) es periódica de periodo 2!(demostrar y dibujar).


4.2.1 Análisis y síntesis (III)

Si sustituimos en la expresión de síntesis

x[n] =!

k=#N$

1

NX(ejk!0)ejk!0n =

1

2!

!

k=#N$

X(ejk!0)ejk!0n"0.

X(ej!) y ej!n periódicas (2!): su producto también.&: N intervalos consecutivos de anchura "0 = 2!/N .

Es la aproximación de la integral de X(ej!)ej!n.Como el integrando es periódico, podemos integrar encualquier intervalo de anchura 2!.

x[n] =1

2!

"

#2"$X(ej!)ej!n d".


4.2.1 Análisis y síntesis (IV)

Ecuación de análisis:

X(ej!) =!!

n="!x[n]e"j!n.

transformada de Fourier (para señales discretas).Ecuación de síntesis:

x[n] =1

2!

"

#2"$X(ej!)ej!n d".

transformada inversa de Fourier.x[n]: CL exp. complejas% juntas de amplitud X(ej!)d!

2" .


4.2.1 Análisis y síntesis (V)

Las ecuaciones de síntesis y análisis son inversas:si X(ej!) = F{x[n]} y x[n] = F"1{X(ej!)},entonces x[n] = x[n].

x[n] = F"1{X(ej!)} =1

2!

" "

""X(ej!) d"

=1

2!

" "

""

' !!

k="!x[k]e"j!k

(ej!n d"

=!!

k="!x[k]

$1

2!

" "

""e"j!kej!n d"

%

=!!

k="!x[k]$[n# k] = x[n].


Ejemplo {ej1.m}

Calcular la DTFT de la secuencia x[n] = anu[n], con |a| < 1.

X(ej!) =!

n(0

ane"j!n =1

1# ae"j! .

El módulo es

|X(ej!)| = 1-1 + a2 # 2a cos"

.

|X(ej!)|!=0 = (1# a)"1, |X(ej!)|!=" = (1 + a)"1.Si a > 0, 1/(1# a) > 1/(1 + a): LPF.Si a < 0: HPF.


Ejemplo (II)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.5

0

0.5

1

n

x[n]

/2 0 /20

0.5

1

1.5

2

X(ej)

LPFHPF


Ejemplo {ej2.m} (III)

Calcular la DTFT de la secuencia x[n] = a|n|, con |a| < 1.

X(ej!) =!

n

x[n]e"j!n =!

n(0

ane"j!n +!

n(0

anej!n # 1

=(1 + a)(1# a)

1 + a2 # 2a cos".

Es una función real y par.X(ej0) = (1 + a)/(1# a). X(ej") = (1# a)/(1 + a).Si 0 < a < 1, HPF, en caso contrario LPF.


Ejemplo (IV)

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 100.5

0

0.5

1

n

x[n]

/2 0 /20

1

2

3

4

X(ej)

LPFHPF


Ejemplo {ej3.m} (V)

Calcular la DTFT de la secuencia x[n] = 1 si |n| ' N1.

X(ej!) =N1!

n="N1

e"j!n =N1!

n=0

e"j!n +0!

n="N1

e"j!n # 1

=1# e"j!(N1+1)

1# e"j! +ej!(N1+1) # ej!

ej! # 1.

Multiplicando num. y den. del primer término por ej!,

X(ej!) =e"j!N1 # ej!(N1+1)

1# ej!.


Ejemplo (VI)

Multiplicando numerador y denominador por e"j!/2,

X(ej!) =e"j!(N1+1/2) # ej!(N1+1/2)

e"j!/2 # ej!/2=

sin"(N1 + 1/2)

sin"/2.

/2 0 /2

5

0

5

10

15

X(ej)

N=4N=8

Entre 0 y ! existen N1 + 1 extremales.


4.2.2 Convergencia (I)

En la deducción, se ha supuesto x[n] de duración finita.Sin embargo, la DTTF puede aplicarse a muchasseñales que no son de duración finita.¿Bajo que condiciones |X(ej!)| < %, !"?:Existen dos familias de condiciones.

Señales de energía finita.Señales sumables en valor absoluto (las otras dosCD no aplican).

Si admitimos la utilización de impulsos, podemosaplicar la DTTF a ciertas señales que no verificanninguno de los dos criterios.


4.2.2 Convergencia (II)

Concepto de convergencia uniforme (CU):Si definimos

XM (ej!) "M!

n="M

x[n]e"j!n,

decimos que XM (ej!) converge uniformemente aX(ej!) si

limM%!

XM (ej!) = X(ej!),

para todo ".


4.2.2 Convergencia (III)

Señales x[n] sumables en valor absoluto: si!!

n="!|x[n]| < %,

es una condición suficiente que garantiza CU.Algunas secuencias no son sumables | · | pero si | · |2.En este caso (energía finita) existe la DTFT, pero no segarantiza CU.La señal de error tiende a energía nula

limM%!

" "

""|X(ej!)#XM (ej!)|2 d" = 0.


4.2.3 DTTF de señales periódicas (I)

Podemos definir la DTFT para algunas señales que noson sumables | · | ni | · |2 si incorporamos $.En el caso continuo,

x(t) = ej!0t F($ 2!$(!# !0)

(dibujar x(t) en polar y X(j")).La DTFT es periódica, el análogo es

!!

k="!2!$(" # "0 # 2!k)

(dibujar)


4.2.3 DTTF de señales periódicas (II)

La x[n] asociada es (ecuación de síntesis)

x[n] =1

2!

"

2"X(ej!)ej!n d" =

"

2"ej!n

!!

k="!$("#"0#2!k) d".

En cualquier intervalo de integración de anchura 2!sólo cabe una $ (dibujar).Supongamos en " = "0 + 2!r: x[n] = ej(!0+2"r)n = ej!0n.

x[n] = ej!0n DT FT($ X(ej!) =!!

k="!2!$(" # "0 # 2!k).


4.2.3 DTTF de señales periódicas (III)

Sea x[n] = x[n+N ] una secuencia periódica arbitraria.Tendrá DTFS: una CL de exp. complejas:

x[n] =!

k=#N$

a[k]ejk!0n, donde "0 =2!

N.

Como la DTFT es lineal y sabemos la DTFT de unaexp. compleja:

X(ej!) =!

k=#N$

a[k]2!!!

l="!$(" # "0 # 2!l).


4.2.3 DTTF de señales periódicas (IV)

x[n] = a[0]ej0!0n+a[1]ej!0n+a[2]ej2!0n+· · ·+a[N#1]ej(N"1)!0n.

X(ej!) = 2!a[0]!!

k="!$(" # 0# 2!k)

+ 2!a[1]!!

k="!$(" # "0 # 2!k)

+ . . .

+ 2!a[N # 1]!!

k="!$(" # (N # 1)"0 # 2!k).


4.2.3 DTTF de señales periódicas (V)

Como "0 = 2!/N , entre 0 y 2! hay N puntos (dibujar).Por tanto,

X(ej!) = 2!!!

k="!a[k]$(" # k"0)

Relación entre DTFT y DTFS:

a[k] =1

N

!

n=#N$

x[n]e"jk!0n.


Ejemplo (I)

Calcular la DTFS y la DTFT de

x[n] = 2 cos

$3!

8n+

!

3

%+ 4 sin

)!2n*.

Tenemos dos señales periódicas de frecuenciasangulares "1 = 3!/8 y "2 = !/2.En conjunto, tenemos una señal periódica, cuya DTFSserá

x[n] =!

k=#N$

akejk!0n

Lo primero es calcular "0.


Ejemplo (II)

Deberá verificarse

"1 = m"0, y "2 = n"0,

con m,n & Z ("1/"2 & Q)."1/"2 = m/n: m = 3, n = 4. "0 = !/8.Expandiendo las funciones trigonométricas,

x[n] = ej(3"8 n+"

3 ) + e"j( 3"8 n+"

3 ) # 2jej"2 n + 2je"j "

2 n,

obtenemos los coeficientes de la DTFS:

a[±3] = e±j "3 , a[±4] = .2j, a[k] = 0 en otro caso.


Ejemplo (III)

Para la DTFT,

X(ej!) = 2!!!

k="!a[k]$(" # k"0),

las $ están en " = k"0.Un periodo de la DTFT es

X(ej!) = 2j$(" # (#4!/8)) + e"j"/3$(" + 3!/8)

+ ej"/3$(" # 3!/8)# 2j$(" # 4!/8),

para #! < " ' !.


4.2.4 Propiedades (I)

Si X(ej!) es la DTFT de x[n]

x[n] = F"1{X(ej!)} =1

2!

"

#2"$X(ej!)ej!n d", (sıntesis)

X(ej!) = F{x[n]} =!

n=#N$

x[n]e"j!n, (analisis)

diremos que x[n] y X(ej!) son un par transformado

x[n]DT FT($ X(ej!).

Consultar las tablas 5.1 (propiedades) y 5.2 (parestransformados).


4.2.5 Dualidad (I)

¿Qué entendemos por dualidad?:Cuando las características temporales de una señalson análogas a las frecuenciales de otra.Toda propiedad que aplica a una señal en el dominiotemporal tiene una propiedad dual en el frecuencial.

Relaciones de dualidad:Pueden deducirse analizando las cuatrorepresentaciones de Fourier de la tabla resumen.Por ejemplo, hemos visto la dualidad entre una señal(continua y aperiódica) y su TF.


4.2.5 Dualidad (II)

Dualidad de la DTFS:x[n] y a[k] son periódicas de periodo N .a[k] son los coeficientes de la DTFS de x[n].x[#n]/N son los coeficientes de la DTFS de a[k].Dem: hacer n = #k y k = n en (A) de la DTFS.Ejemplo de dualidad

Ej: si x[n] DT FS($ a[k], entonces

x[n#n0]DT FS($ a[k]e"jk!0n0 , y ejk0!0nx[n]

DT FS($ a[k#k0].


4.2.5 Dualidad (III)

Dualidad entre FSx(t) continua y periódica,a[k] discreta y aperiódica,

y DTFTX(ej!) continua y periódica,x[n] discreta y aperiódica.


4.2.5 Dualidad (IV)

Dualidad FS–DTFT:Como x(t) = x(t+ T ):

tiene una representación como CL exp. complejastemporales ejk!0t,donde !0 = 2!/T .

Como X(ej!) periódica de periodo W = 2!:tiene una representación como CL de exponencialescomplejas frecuenciales ejn!n,coeficiente de la CL: x[#n].

Observar qué ocurre en la expresión de x(t) si T = 2!.


4.2.6 Sistemas EDCC (I)

¿Cuánto vale la respuesta frecuencial H(ej!) del sistemadescrito por la ED lineal de coeficientes constantes

N!

k=0

a[k]y[n# k] =M!

k=0

b[k]x[n# k]?

1. A partir de las propiedades de desplazamiento temporal—x[n# n0]

DT FT($ e"j!n0X(ej!)— y de linealidad

N!

k=0

a[k]e"jk!Y (ej!) =M!

k=0

b[k]e"jk!X(ej!).


4.2.6 Sistemas EDCC (II)

2. A partir de la propiedad de convolución,

H(ej!) =Y (ej!)

X(ej!)=

M&k=0

bke"jk!

N&k=0

ake"jk!

.

La respuesta frecuencial de un sistema descrito poruna EDCC es una función racional en ej!.


Ejercicios

5.51: si un sistema LTI tiene respuesta impulsiva

h[n] =

$1

2

%n

u[n] +1

2

$1

4

%n

u[n],

calcular una EDCC que relacione la entrada con lasalida.Sugerencia: aunque no lo pide, podemos calcularH(ej!).

(nu[n]DT FT($ 1

1# ae"j! , H(ej!) =3/2# 1/2e"j!

1# 3/4e"j! + 1/8e"j2!


Introducción. (FT) (DTFT) - unican.es · Dualidad.!c u p SeD˜ p Ing ´ıSenales˜ y O p –...

Documents

Transcript of Introducción. (FT) (DTFT) - unican.es · Dualidad.!c u p SeD˜ p Ing ´ıSenales˜ y O p –...