Introducción Investigación Operativa

Investigación de Operaciones Ing. Juan Miguel DIAZ Mendo

1

“UNIVERSIDAD PRIVADA SAN PEDRO”

FACULTAD DE INGENIERIA

CURSO : INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

“INTRODUCIÓN, MODELAMIENTO MATEMÁTICO, FASES Y CONSTRUCCIÓN DE MODELOS”

DOCENTE:

ING. JUAN MIGUEL DIAZ MENDO

2016-03-23

Introducción a la IO

La I.O. se entiende que es la aplicación de un método científico

para resolver problemas que permita: tomar las decisiones

correctas o acertadas para tener las soluciones que más

convengan o favorezcan a la organización.

Las primeras actividades formales en la historia de la

investigación de operaciones se dieron en Inglaterra en la

Segunda Guerra Mundial, cuando se encarga a un grupo de

científicos ingleses el diseño de herramientas cuantitativas para

el apoyo a la toma de decisiones acerca de la mejor utilización

de materiales bélicos.

Definición de la IO

La Investigación de Operaciones o Investigación Operativa, es

una rama de las Matemáticas consistente en el uso de modelos

matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un

proceso de toma de decisiones.

Frecuentemente, trata del estudio de complejos sistemas reales,

con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento.

La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de

decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para

determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como

la maximización de los beneficios o la minimización de costes.

Objetivos

• El objetivo y finalidad es encontrar la solución óptima para

un determinado problema (militar, económico, de

infraestructura, logístico, etc.)

• En el caso particular de problemas de carácter económico, la

función objetivo puede ser obtener el máximo rendimiento

o el menor costo.

Decidir mediante métodos científicos el diseño que optimiza

el funcionamiento del proceso analizado, generalmente bajo

condiciones que implican la utilización de recursos escasos.

Orígenes de la IO

La IO tuvo gran éxito en las actividades bélicas, utilizada por primera vez el año 1939 durante la 2da Guerra

Mundial, cuando surge la necesidad de investigar las operaciones tácticas y estratégicas de la defensa aérea y se hicieron investigaciones sobre operaciones militares

para mejorar la asignación de recursos.

Sin embargo, el origen de la IO puede considerarse como anterior a la Revolución Industrial, aunque durante este período comienzan a originarse problemas tipo que la IO

trata de resolver.

Orígenes de la IO

La Investigación Operativa tarda en desarrollarse en el campo de la administración industrial. El uso de la metodología científica en la industria se incorpora al iniciar los años 50, propiciada por los avances de las Comunicaciones, y la Computación, que sientan las bases para la automatización, y por sobre todo por el florecimiento y bienestar económico de ese período. Los primeros desarrollos de esta disciplina (IO) se refirieron a problemas de ordenamiento de tareas, reparto de cargas de trabajo, planificación y asignación de recursos en el ámbito militar en sus inicios, diversificándose luego, y extendiéndose finalmente a organizaciones industriales, académicas y gubernamentales.

Evolución de la IO

fechas nombres Temas

1759 Quesnay (ecónomo) Programación Matemática

1874 Walras

1873 Jordan Precursor de modelos lineales

1896 Minkowsky Precursor de modelos lineales

1903 Farkas Precursor de modelos lineales

189~ Markov Precursor modelos dinámicos probabilísticos

192~ - Primer desarrollo de modelos de inventarios

191~ Erlang Primeros estudios de líneas de espera

1920-30 Koning y Egervary Métodos de asignación (analíticos)

1937 von Neuman Teoría de juegos y de preferencias

1939 Kantorovich Problemas de distribución

2da guerra Logística estratégica para vencer al enemigo

1945 Finales 2da guerra Logística de distribución de recursos de los aliados (Rand Corporation- Fuerza aérea norteamericana).

1947 Dantzig, George Método simplex en base al trabajo de precursores, inicio a la Programación Lineal.

Evolución de la IO

fechas nombres Temas

1950-60 Bellman Programación dinámica.

Kuhn y Tucker Programación No Lineal.

Gomory Programación Entera.

Ford y Fulkerson Redes de optimización.

Markowitz Simulación.

Arrow, Karloin, Scarf, Whitin Inventarios.

Rafia Análisis de Decisiones.

Howard Procesos Markovianos de Decisión.

Churchman, Ackoff, Arnoff Orientación a sistemas, generalización de la Investigación Operativa.

1970 y parte década 80

Receso en el uso de la Investigación de Operaciones.

1985 en delante

Reflorecimiento de la disciplina con el devenir del control automático industrial, las microcomputadoras y las nuevas interfaces gráficas que impulsan el desarrollo de los Sistemas Automatizados de Apoyo a la Toma de Decisiones, donde la Investigación Operativa juega un papel Preponderante.

Actualmente IO se aplica al sector privado y público, industria, sistemas de comercialización, financieros, de transportes, de salud etc., en países desarrollados, “en vías de” y del tercer mundo.

Factores que impulsaron el desarrollo de la IO

• Las Organizaciones de otros tipos diferentes a la

bélica requerían de la Asignación óptima de recursos.

• Desarrollos notables en programación dinámica,

líneas de espera y teoría de inventarios.

• Revolución de las computadoras.

Aplicaciones de la IO

Organización Naturaleza de la aplicación Año de la aplicación

Ahorros anuales

The Netherlands

Rijkswaterstatt

Desarrollo de política nacional de administración del agua, incluyendo mezcla de nuevas instalaciones, procedimientos de operación y costeo.

1985 $ 15 millones

Monsanto Corp. Optimización de operaciones de

producción para cumplir metas con un

costo mínimo. 1985 $ 2 millones

Weyerhauser Co. Optimización del corte de árboles en productos de madera para maximizar su producción.

1986 $ 15 millones

Electrobras/CEPA

L, Brasil Asignación óptima de recursos hidráulicos y térmicos en el sistema nacional de generación de energía.

1986 $ 43 millones

United Airlines

Programación de turnos de trabajo en las oficinas de reservaciones y en los aeropuertos para cumplir con las necesidades del cliente a un costo mínimo.

1986 $ 6 millones

http://www.investigaciondeoperaciones.net/aplicaciones_de_la_investigacion_de_operaciones.html



Ahorros anuales

Citgo Petroleum Corp.

Optimización de las operaciones de refinación y de la oferta, distribución y comercialización de productos.

1987 $ 70 millones

SANTOS, Ltd., Australia

Optimización de inversiones de capital

para producir gas natural durante 25 años. 1987 $ 3 millones

San Francisco police Department

Optimización de la programación y asignación de oficiales de patrulla con un sistema computarizado.

1989 $ 11 millones

Electric Poder Research Institute

Administración de inventarios de petróleo y carbón para el servicio eléctrico con el fin de equilibrar los costos de inventario y los riesgos de faltantes.

1989 $ 59 millones

Texaco, Inc.

Optimización de la mezcla de ingredientes disponibles para que los productos de gasolina cumplieran con los requerimientos de ventas y calidad.

1989 $ 30 millones



Ahorros anuales

IBM Integración de una red nacional de inventario de refacciones para mejorar el apoyo al servicio.

1990

$ 20 millones + $ 250 millones ahorrados en inventario

Yellow Freight System, Inc.

Optimización del diseño de una red

nacional de transporte y la programación

de rutas de envío. 1992 $ 17.3 millones

U.S. Military Airlift Command

Rapidez en la coordinación de aviones, tripulaciones, carga y pasajeros para manejar la evacuación por aire en el proyecto Tormenta del Desierto en el Medio Oriente.

1992 Victoria

American Airlines Diseño de un sistema de estructura de precios, sobreventa y coordinación de vuelos para mejorar las utilidades.

1992 $ 500 millones más de ingresos

New Haven Health Dept

Diseño de un programa efectivo de intercambio de agujas para combatir el contagio del SIDA.

1993 33% menos contagios

Área de aplicación de la IO

• Asignación de recursos.

• Formulación de Dietas.

• Sistemas energéticos.

• Telecomunicaciones.

• Salud.

• Planeación.

• Servicios.

• Finanzas.

• Otros.

• Medicina

• Producción

• Estrategias

• Inventario

• Transporte

• Planificación

Área de aplicación de la IO

Representar el sistema o el fenómeno del mundo real o el problema a resolver en un lenguaje matemático.

Investigación de Operaciones: (Ciencias de la Administración)

Es la aplicación del Método Científico para la Toma de Decisiones con el fin de hallar la solución óptima.

Modelamiento Matemático

1. Definición del problema y Recolección de la información.

2. Formulación de un modelo matemático.

3. Obtención de la solución a partir de un modelo.

4. Prueba del modelo.

5. Validación del modelo.

6. Establecimiento de controles sobre la solución.

7. Implantación del modelo.

Metodología de la IO

1.- Definición del problema y recolección de la información

Esto incluye:

• determinar los objetivos apropiados,

• las restricciones sobre lo que se puede hacer,

• las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la

organización,

• los diferentes cursos de acción posibles,

• los límites de tiempo para tomar una decisión, etc.

Este proceso de definir el problema es crucial ya que

afectará en forma significativa la relevancia de las

conclusiones del estudio.

¿Cual es el problema a enfrentar?

• Describir el problema

• Delimitar el problema

• Identificar los entes afectados

• Análisis costo-beneficio


LOS BENEFICIARIOS

• Los dueños • Los empleados • Los clientes y proveedores • Los vendedores • El estado

El objetivo siempre debería ir en función de maximizar los beneficios o minimizar los costos, y como tal se espera que en el largo plazo genere una rentabilidad social.


Recolección de la información


La forma convencional en que la investigación de

operaciones realiza esto es construyendo un modelo

matemático que represente la esencia del problema.

Un modelo siempre debe ser menos complejo que el

problema real, es una aproximación abstracta de la realidad

con consideraciones y simplificaciones que hacen más

manejable el problema y permiten evaluar eficientemente

las alternativas de solución.

2.- Formulación de un modelo matemático

2.- Formulación de un modelo matemático

Un modelo es una representación idealizada de un

sistema.

Un modelo matemático también es una representación

idealizada, pero expresada en términos de símbolos y

expresiones matemáticas

3.- Obtención de una solución a partir del modelo

Resolver un modelo consiste en encontrar los valores

de las variables dependientes, asociadas a las

componentes controlables del sistema con el propósito de

optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la

eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de

referencia que fijan los objetivos y las restricciones del

problema.

La selección del método de solución depende de las

características del modelo.

3.- Obtención de una solución a partir del modelo

Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres

tipos:

a) Analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática.

b) Numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en

base a operaciones de prueba y error.

c) Simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al

sistema real, en base a un modelo.

El uso del computador es absolutamente necesario

4.- Prueba del Modelo

Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para

intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan

presentar.

Es muy útil realizar una prueba retrospectiva • Mirar el pasado. • Actualizar la información. • Análisis de sensibilidad. • Verificar: Qué resultados se hubieran obtenido con las

presentes decisiones • Consistencia en las dimensiones.

¿ Son satisfactorias estas decisiones? Nunca dejar por fuera a quienes toman las decisiones relacionadas

con el problema

5.- Validación del Modelo

Es importante que todas las expresiones matemáticas sean

consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean.

Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez

del modelo variando los valores de los parámetros de entrada

y/o de las variables de decisión, y comprobando que los

resultados de modelo se comporten de una manera factible.

El modelo se tiene que probar.

6.- Establecimiento de controles sobre la solución

Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los

parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del

problema.

Es necesario generar información adicional sobre el

comportamiento de la solución debido a cambios en los

parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como:

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

(como afecta los resultados)

7.- Implantación de la solución

El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos

que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o

tomadores de decisiones.

• El equipo de IO explica a la gerencia.

• Se comparte la responsabilidad.

• Capacitación detallada al personal.

• Pruebas piloto.

• Desarrollo del programa de implantación.

1. El éxito del empleo de la IO es el de un enfoque de solución de

problemas y no una colección asociada de métodos

cuantitativos.

2. La IO es relativamente costosa, lo que significa que no debe

emplearse en todos los problemas, sino tan sólo en aquellos en

que las ganancias sea mayores que los costos.

Para llegar a hacer un uso apropiado de la IO, es necesario primero

comprender la metodología para resolver los problemas, así como

los fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma

saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.

Normas para lograr éxito en la IO.

Limitaciones de la IO.

1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y tener una solución.

2. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos múltiples.

3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema práctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicación de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para razones de índole práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista e ingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales.

4. Rara vez se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se ven superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo.

• Métodos determinísticos: (son aquellos en que la información necesaria se

conoce para obtener una solución con certeza): Programación lineal,

programación entera, probabilidad de transporte, teoría de la localización

o redes, programación multicriterio, teoría de inventarios, etc.

• Métodos probabilísticos: Cadenas de Markov, teoría de juegos, líneas de

espera, teoría de inventarios, etc.

• Métodos híbridos: Conjugan métodos determinísticos y probabilísticos.

• Métodos estocásticos: Son aquellos en los que parte de la información

necesaria no se conoce con certeza, como es el caso de los determinísticos,

sino que más bien se comporta de una manera probabilística.

• Métodos heurísticos: soluciones basadas en la experiencia.

Métodos de la IO.

Modelos de IO

Programación

Lineal

Métodos

Clásicos

Determinísticos Híbridos Estocásticos

Transporte y

Asignación

Redes

Optimización

Lineal

Optimización

no Lineal

Métodos

de búsqueda

Programación

no lineal

Programación

Dinámica

Teoría de

Inventarios

Simulación

Pert / CPM

Heurísticas

Cadenas

de Markov

Teoría de

Colas

Procesos

Estocásticos

Teoría de

Decisiones

y Juegos

Programación

Entera y 0,1

Optimización

Lineal

Modelo de Investigación de Operaciones

Un problema de Programación Lineal está formado por tres

componentes principales:

Un conjunto de variables: Referidas a la actividad que se

desarrolla en el sistema que se quiere optimizar.

Notación: x1, x2, x3, ….

Un conjunto de restricciones: Expresan la relación entre el

consumo de recursos y las limitaciones de los mismos, así como

toda clase de características que hay que imponer en el problema y

que están asociadas a la actividad que se realiza en el sistema.

Ejemplo: x1+ x2 3

Una función objetivo: Criterio que se desea optimizar

Ejemplo: Maximizar x1 + 3x2

Construcción de un Modelo

Los problemas de optimización dependen fundamentalmente

para su resolución del tipo de variables que forman parte del

mismo y del carácter lineal o no lineal de las restricciones.

Problemas

• Lineales

(Función Objetivo y

Restricciones lineales)

• No Lineales

(Función Objetivo y/o restricciones no lineales)

• Continuos (Variables continuas)

• Enteros (variables enteras)

[Entera mixta (variables enteras y continuas)]

PROGRAMACIÓN LINEAL

[CONTINUA]

PROGRAMACIÓN ENTERA


Resolución

Programación Lineal

Continua

(Métodos exactos)

• SIMPLEX

• Primal-Dual

• Método de Puntos Interiores

Programación Entera Método Exactos

Método aproximados



Ejemplos Resueltos de traducción de lenguaje verbal al lenguaje matemático ó lenguaje algebraico.

1. Un número cualquiera: 2. La suma de dos números diferentes: 3. La diferencia de dos números: 4. El producto de dos números: 5. El cociente de dos números: 6. El cubo de un numero: 7. El triple del cuadrado de un numero: 8. La suma de los cuadrados de dos números: 9. La quinta parte del cubo de un numero:

10. El cubo de la quinta parte de un numero: 11. La suma de dos números dividida entre su diferencia: 12. ¿Cuál es el numero que agregado a 3 suma 8?: 13. ¿Cuál es el numero que disminuido de 20 da por diferencia 7?: 14. Las tres quintas partes de un numero aumentado en un cuarto: 15. La diferencia entre un numero y su anterior: 16. La suma entre un numero par y el triple del siguiente par: 17. El producto entre el doble de un numero y la tercera parte de su consecutivo:

18. El cociente entre un numero y su mitad: 19. La mitad de la suma de dos números multiplicado por el cuadrado de ambos números: 20. La raíz cubica del cuadrado de la suma de dos números: 21. La tercera parte de un numero aumentado en 10: 22. Las dos terceras partes de la suma de dos números:


Ejemplos Resueltos de traducción de lenguaje verbal al lenguaje matemático ó lenguaje algebraico.

1. Un numero cualquiera: x 2. La suma de dos números diferentes: x + y 3. La diferencia de dos números: x - y 4. El producto de dos números: x y 5. El cociente de dos números: x/y 6. El cubo de un numero: x3 7. El triple del cuadrado de un numero: 3x2 8. La suma de los cuadrados de dos números: x2 + y2 9. La quinta parte del cubo de un numero: x3/5 10. El cubo de la quinta parte de un numero: (x/5)3 11. La suma de dos números dividida entre su diferencia: (x + y)/(x - y) 12. ¿Cuál es el numero que agregado a 3 suma 8?: x + 3 = 8 13. ¿Cuál es el numero que disminuido de 20 da por diferencia 7?: x - 20 = 7 14. Las tres quintas partes de un numero aumentado en un cuarto: 3/5 x + 1/4 15. La diferencia entre un numero y su anterior: x - (x-1) 16. La suma entre un numero par y el triple del siguiente par: 2x + 3(2x+2) 17. El producto entre el doble de un numero y la tercera parte de su consecutivo: 2x·(x+1)/3 18. El cociente entre un numero y su mitad: x/(x/2) 19. La mitad de la suma de dos números multiplicado por el cuadrado de ambos números: 1/2·(x+y)(x·y)2 20. La raíz cubica del cuadrado de la suma de dos números: 3√(x+y)2 21. La tercera parte de un numero aumentado en 10: x/3 + 10 22. Las dos terceras partes de la suma de dos números: 2/3·(x+y)

http://profe-alexz.blogspot.com/2012/11/de-lenguaje-comun-lenguaje-algebraico.html

Un fabricante de mantequilla desea optimizar la producción diaria de su

factoría. Fabrica dos tipos de mantequilla (Estándar y Especial). Un Kilo de

mantequilla Estándar proporciona un beneficio de 10 S/. y uno de Especial de

15 S/. Para la producción de mantequillas se usan tres procesos:

pasterización, centrifugado, y batido. La capacidad de pasterización es de 6

horas/día, de centrifugado es de 3 horas/día y de batido es de 3.5 horas/día.

Los tiempos (en minutos) de proceso por cada kilo de mantequilla se recogen

en la siguiente tabla:

Tipo

Proceso

Estándar Especial

Pasterización 3 8

Centrifugado 3 2

Batido 3 4


Variables asociadas a la actividad:

- Cantidad de mantequilla Estándar a producir por día: x1

- Cantidad de mantequilla Especial a producir por día: x2

Objetivo: Maximizar el beneficio

Restricciones:

- Limitación de las horas de pasterización

- Limitación de las horas de centrifugado

- Limitación de las horas de batido

Recursos:

- Tiempo de pasterización

- Tiempo de centrifugado

- Tiempo de batido


Identificación de componentes

Semántica de la restricción: Consumo Capacidad

1 Kg Estándar consume 3 minutos de pasterización

2 Kg Estándar consumen 6 minutos(3 x 2) de pasterización

.....

x1 Kg Mantequilla estándar consumen 3x1minutos de pasterización

Idéntico análisis para Kg de Mantequilla especial: 8x2

Consumo Total = 3x1 + 8x2 minutos

Capacidad = 6 horas = 6 * 60 minutos = 360 minutos

Restricción completa: 3x1 + 8x2 360

Restricciones: Expresión matemática

- Limitación de las horas de pasterización

- Análisis equivalente para el resto de restricciones


Objetivo: Maximizar los beneficios:

1 Kg mantequilla estándar Beneficio = 10

2 Kg mantequilla estándar Beneficio = 10x2 = 20

.

.

...........

x1 Kg mantequilla estándar Beneficio = 10x1

Idéntico análisis para la mantequilla especial: 15x2

Beneficio Total = 10x1 + 15x2

Expresión:

Maximizar Z = 10x1 + 15x2


Función Objetivo: Expresión matemática

Modelo:

x1 : Kilos de mantequilla Estándar

x2 : Kilos de mantequilla Especial

Función Objetivo:

Rest. Recurso pasterización:

Rest. Recurso centrifugado :

Rest. Recurso batido :

Signo de las variables :

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

10 15

3 8 360 (R1)

3 2 180 (R2)

3 4 210 (R3)

, 0

Max x x

sujeto a

x x

x x

x x

x x

Variables:

Expresiones Lineales

Variables continuas

- Modelo lineal

- Programación lineal continua


Una mueblería produce mesas y sillas de madera. Cada mesa es vendida en s/. 270 y requiere s/. 100 en materiales, además, el costo unitario por mano de obra se estima en s/. 140. En el caso de las sillas, su precio de venta es de s/. 210 y los costos son de s/. 90 y s/. 100, en materiales y mano de obra respectivamente. La fabricación de cada producto requiere de dos tipos de labores: carpintería y acabados. Una mesa requiere de 1 hora de carpintería y 2 horas de acabados. Una silla requiere de 1 hora de carpintería y 1 hora de acabados. Cada semana, la mueblería puede obtener todos los materiales que desee, sin embargo, se pueden dedicar hasta 100 horas a las acabados y hasta 80 horas a la carpintería. La demanda por mesas no está limitada, mientras que la demanda semanal máxima por sillas es de 40. La mueblería desea maximizar sus utilidades (ingresos - costos). Formule un modelo matemático que permita maximizar las utilidades.

Variables asociadas a la actividad:

- Cantidad de mesas a producir por semana: x1

- Cantidad de sillas a producir por semana : x2

Objetivo: Maximizar utilidades

Restricciones:

- Limitación de las horas por semana de

carpintería

- Limitación de las horas por semana de

acabado

- Producción máxima de sillas.

Recursos:

- Tiempo de fabricación de mesa

- Tiempo de fabricación de silla


Identificación de componentes


Precio venta

Requerimiento Labores

(tiempo: horas/unid) Demanda Máxima

Materiales M.O.

(unitario) Carpintería Acabado

unidades s/. / und s/. / und s/. / und h / und h / und und /sem

Mesa 270 100 140 1 2 ---

Silla 210 90 100 1 1 40

Tiempo dedicación hasta (en horas/semana) 80 100


UTILIDADES = INGRESOS - COSTOS

INGRESOS =

1 mesa es vendida en : s/. 270 2 mesas es vendida en : s/. 270 * 2

….. x1 mesas es vendida en : s/. 270 * x1 = 270x1

Idéntico análisis para sillas s/. 210 * x2 = 210x2

Ingreso máximo 270 x1 + 210 x2



COSTOS =

Idéntico análisis que mesas

Costos Totales = Costo de mesa + costo de sillas

(100 x1 + 140 x1) + (90 x2 + 100 x2)

240 x1 + 190 x2



UTILIDAD =

Maximizar utilidad INGRESOS - COSTOS

Z = (270 x1 + 210 x2) - (240 x1 + 190 x2)

Z = 30 x1 + 20 x2


RESTRICCIONES =

Carpintería x1 + x2 =< 80

Acabado 2x1 + x2 =< 100

Cantidad máxima de sillas x2 =< 40

RESTRICCIONES DE SIGNO =

x1 >= 0 x2 >= 0


Determinamos las Función Objetivo

Max Z = 30 x1 + 20 x2 (Función objetivo)

sujeto a x1 + x2 =< 80 (Restricción de carpintería)

2x1 + x2 =< 100 (Restricción de acabado)

x2 =< 40 (Restricción de demanda máxima)

x1 >= 0 (Restricción de signo)

x2 >= 0 (Restricción de signo)

Determinamos las Restricciones

Cantidad de mesas a producir por semana x1

Cantidad de sillas a producir por semana x2

Determinamos las Variables de Decisión

EJEMPLO 1.2.1: Sean X1 y X2 la cantidad a producirse de dos productos 1 y 2, los parámetros son los costos de producción de ambos productos, $3 para el producto 1 y $5 para el producto 2. Si el tiempo total de producción esta restringido a 500 horas y el tiempo de producción es de 8 horas por unidad para el producto 1 y de 7 horas por unidad para el producto 2, entonces podemos representar el modelo como: EJEMPLO 1.2.2: En una empresa se fabrican dos productos, cada producto debe pasar por una máquina de ensamblaje A y otra de terminado B, antes antes de salir a la venta. El producto 1 se vende a $60 y el otro a $50 por unidad. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por cada producto:

Producto Maquina A Maquina B 1 2 H 3 H 2 4 H 2 H

Total disponible 48 H 36 H

EJEMPLO 1.2.1: Sean X1 y X2 la cantidad a producirse de dos productos 1 y 2, los parámetros son los costos de producción de ambos productos, $3 para el producto 1 y $5 para el producto 2. Si el tiempo total de producción esta restringido a 500 horas y el tiempo de producción es de 8 horas por unidad para el producto 1 y de 7 horas por unidad para el producto 2, entonces podemos representar el modelo como:

Variables asociadas a la actividad: Restricciones:

- Limitación tiempo total

de producción producto

1 y producto 2.

Recursos:

MinZ = 3X1 + 5X2 (Costo total de Producción) Sujeto a (S.a): 8X1 + 7X2 <= 500 (Tiempo total de producción) X1, X2>= 0 (Restricciones de no negatividad)

- Cantidad a producir producto 1: x1

- Cantidad a producir producto 2 : x2

- Costos de Producción

- Tiempo de producción

por unidad

Cantidad a Producirse

Costos de Producción

Tiempo de Producción

Producto 1 X1 $ 3 8 h/unid

Producto 2 X2 $ 5 7 h/unid

Total tiempo de Producción.

500 horas

EJEMPLO 1.2.2: En una empresa se fabrican dos productos, cada producto debe pasar por una máquina de ensamblaje A y otra de terminado B, antes antes de salir a la venta. El producto 1 se vende a $60 y el otro a $50 por unidad. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por cada producto:

Para representar el modelo de este problema primero se debe determinar las variables de decisión: Sea Xi: La cantidad a fabricar del producto 1 y 2 (i=1,2), entonces X1: cantidad a fabricar del producto 1, X2: cantidad a fabricar del producto2, luego el modelo quedaría de la siguiente manera: MaxZ = 60X1+ 50X2 (máximo ingreso por ventas) S.A: 2X1+ 4X2 <= 48 (disponibilidad horas _maquina A) 3X1+ 2X2 <= 36 (disponibilidad horas _maquina B) X1, X2 >= 0 (Restricciones de no negatividad)

Producto Maquina A Maquina B 1 2 H 3 H 2 4 H 2 H


Producto Maquina A Maquina B Precio Venta ensamblaje terminado (por unidad)

1 X1 2 H 3 H $ 60 2 X2 4 H 2 H $ 50


MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION

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