INUNDACIÓN DE FRECUENCIA-PROBABILIDAD

Y MÉTODOS ESTOCÁSTICOS

15.1 MÉTODOS DE FRECUENCIA DE INUNDACIONES

Para los datos anuales de inundación del río Lower Tapti en Ukai (30 Años: 1939-1968) en el ejemplo 8.5 las frecuencias de inundación de 2-, 10-, 50-, 100-, 200-, y 1000 años las inundaciones se han elaborado a continuación por los métodos de probabilidad desarrollados por Fuller, Gumbel, Powell, Ven Te Chow, y métodos estocásticos, y las curvas de frecuencia de inundaciones se dibujan en un papel semi-log como se muestra en Fig. 15.1. Se puede observar que el método de la Gumbel da la predicción de inundaciones de un particular, frecuencia superior a las inundaciones observadas por un margen seguro y puede ser adoptada en el diseño de la estructura.

1. La fórmula de Fuller. QT=Q(1+0.8 log T) …(15.1)

De la tabla 8.5, Q=14.21 mil cumec (tcm)T Log T 0.8 log T Qt=Q ¿

(tcm)100020010050102

3.02.3010

2.01.6990

1.00.3010

2.41.8408

1.61.3592

0.80.2408

48.340.437.033.525.6

17.352. El método de Gumbel. De acuerdo con la distribución de valor extremo, la probabilidad de ocurrencia de un pico de inundación ≥ Q, está dada por

P=1-−e−e−y

…(15.2)la variable reducida está dada por

y=-0.834-2.303 log log T

T−1o,

y=-0.834-2.303 xT …(15.3)Donde

xT=log log T

T−1 …(15.3 a)

La variable aleatoria reducida y es lineal con la variable Q (pico anual de inundaciones) en sí y se le da por

y=❑n(Q−Q❑ )+ yn …(15.4)

Donde❑n (reducción de la desviación estándar) y yn [media reducida (a modo)] son funciones de la muestra de tamaño n y se dan en la Tabla 15.1.

.:. Qt=Q+( y− yn

❑ ) …(15.5)

OQt=Q+K …(15.6)

Donde el factor de frecuencia K=y− yn

❑n y Qt=¿pico de crecida anual, que tiene una

recurrencia intervalo T.Dado que el coeficiente de variación C v=¿/ Q

QT=Q(1+K C v) …(15.7)El K factor de frecuencia para el tamaño de la muestra n y el intervalo de recurrencia

deseada T puede leerse directamente de la Tabla 15.2.

Hay dos enfoques para la solución por el método de Gumbel. El primer enfoque es, para un máximo de crecida anual dado (QT), para encontrar su intervalo de recurrencia T y probabilidad de ocurrencia P, para los que la siguiente secuencia de tabulación debe seguir:

Tabla 15.1 Reducción media ( yn) y la desviación estándar reducida (σ n)Como funciones de muestra de tamaño n

Tamaño de la muestra n yn σ n

101520253035404550556065707580859095

100200500

1000

0.49520.51280.52360.53090.53620.54030.54360.54360.54650.55040.55210.55360.55480.55490.55690.55780.55390.55530.56000.56720.57240.5745

0.24571.02060.06281.69151.11241.12831.14131.15181.16071.681

1.17471.18031.18541.18981.19381.19731.20071.20381.20651.23591.25881.2685

QT Y XT TP=1T

x 100

Desde Ecu. (15.4) Desde Ecu. (15.3) Desde Ecu. (15.3 a) (%)

El segundo enfoque es, para un intervalo de recurrencia dado T, para encontrar el pico anual de inundaciones QT(que será igualado o superado), para los que la siguiente secuencia de tabulación debe siga; los cálculos se hacen para el río Bajo Tapti en Ukai.

T(yr) XT=¿log ¿¿

y=-0.834-2.3XT K*=

y− yn

σn

QT=Q+K σ(tcm)

P=1T

x 100

%100020010050102

-3.361-2.662-2.360-2.056-1.339-0.521

6.9075.2954.6003.9012.2500.366

5.674.233.613.021.52-0.14

69.2155.5149.2143.5128.9612.85

0.10.51.02.01050

*(i) para el tamaño de la muestra n=30, yn =0.5362 , σ n=1.1124(ii) para la T deseado y el número de años de registro n, el valor de K puede ser directamente leer de la tabla 15.2.

Q =14.21 tcm , σ=9.7 tcm

El método de Gumbel puede ser visto como una modificación de los métodos de probabilidad anteriores dada por las ecuaciones. (8.11, a y b) como:

T=n

m+c−1 …(15.8)

donde c = corrección de Gumbel, y depende de la relación m / n, como se indica a continuación:m/m: 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.08 0.04C: 1 0.95 0.88 0.845 0.78 0.73 0.73 0.66 0.59 0.52 0.4 0.38 0.28

3. Método de Powell. Una modificación en el valor de K en la ecuación. (15.6) fue hecha por R. W. Powell (1943)

K= √6π

[+ln ln ] TT−1

…(15.9)

Donde:= Constante de Euler =0.5772….

ln= log e

Simplificando K=-1.1-1.795 XT …(15.10) Qt=Q+K σ …(15.11)

Los cálculos se hacen para menor río Tapi en Ukai según método de Powell, a continuación:T

(yr)XT=¿log ¿¿

K=-1.1-1.795XT Kσ * QT=Q+K σ

(tcm)P=1T

x 100

%100020010050102

-3.361-2.662-2.360-2.056-1.339-0.521

4.933.683.132.581.30

-0.164

47.835.830.425.012.6-1.6

62.0150.0144.6139.2126.8112.62

0.10.51.02.01050

*Q =14.21 tcm, σ=9.7 tcm4. Método de Ven Te Chow. Otra modificación del método de la Gumbel fue hecha por VTChow utilizando el factor de frecuencia. La ecuación es

QT=a+b XT …(15.12)Donde:

XT=log(log TT−1 ) …(15.12 a)

a, b = parámetros estimados por el método de los momentos de los datos observados. la siguiente ecuaciones se derivan de el método de los mínimos cuadrados.

∑Q=an+b ∑XT

∑(Q XT ¿=a∑XT +b∑(XT2) …(15.13)de la que A y B puede ser resuelto.

En este método, una posición de trazado se ha asignado para cada valor de Q cuando se disponen en el orden descendente o magnitud de los picos de las inundaciones. Por ejemplo, si un QT anual pico de crecida tiene un rango m, su posición de trazado.

T=n+1m …(15.14)

Desde ecu. (15.12 a) ,

XT=log(log TT−1 )

Poniendo el valor de T de la ecuación (15.14)

XT=log(log n+1n+1−m ) …(15.15)

El cálculo se hace en la tabla 15.3 para el río Bajo Tapi en Ukai.

Tabla 15.3 Cálculo para determinar a, b: Método de Ven Te Chow

Sustituyendo los valores en la ecuación. (15.13)426.27=30a-16b-392.30=-16a+18.04b

Resolviendo las ecuaciones a= 4.94 , b=-17.4

entonces QT=a+b XT .:. QT=4.94−17.4 XT …(15.16)

Los cálculos se hacen para el río Bajo Tapi en Ukai según método Vaca Ven Te, a continuación.T

(yr)XT=¿log ¿¿ QT=4.94−17.4 XT

(tcm)P=1T

x 100

%100020010050102

-3.361-2.662-2.360-2.056-1.339-0.521

63.4451.3446.0440.6428.2914.02

0.10.51.02.01050

MÉTODO 15.2 ESTOCÁSTICAAnual Inundaciones: Los métodos descritos anteriormente eran o probabilístico o determinista, y no tuvo en cuenta el elemento de tiempo que es posible sólo por el enfoque estocástico. trabajar en el campo de la hidrología estocástica se ha introducido en EE.UU. por Yevdjevich, Ven Te Chow y otros. Una de las ecuaciones bien conocidas en base a datos de inundación anuales utilizando Poisson probabilidad la ley y la teoría de sumas de números aleatorios de variables aleatorias es.

QT=Qmin+2.3 (Q−Qmin) log( n f

nxT ) …(15.17)

Donde:

T= nm

n f=¿Número de inundaciones registradas, contando sólo una para el mismo pico de inundación que ocurre en diferentes años.

Los cálculos se realizan mediante el uso de la ecuación. (15.17) para el río Tapti inferior al Ukai, a continuación. Aquí n f=n=30 , Q =14.21 tcm , Qmin=3.68 tcm

.:. QT=3.68+2.3 (14.21−3.68 ) log( 3030 .T )Or, QT=3.68+24.26 logT …(15.18)

T(yr)

log ¿¿24.26 logT QT=3.68+24.26 logT

(tcm)100020010050102

3.02.302.0

1.69901.0

0.3010

72.7856.0048.5241.2524.267.32

76.4659.6852.2044.9327.9411.00

El pico de la inundación anual más alto alcanzado en la parte baja del río Tapti durante 1876-1968 (93 años) fue de 42,5 tcm. De la Fig. 15.1, la avenida de 100 años dada por el método de Gumbel es 49,21 tcm, 44.61 tcm por Powell, 45.46 tcm por Foster's-Tipo I [Ex. 8.5 (b)] 46,04 tcm por Chow y 52.20 tcm por el método estocástico. El método de Fuller da 37,0 tcm, que se excedió. por lo tanto El método de la Gumbel da la crecida máxima más probable en el período de la vida de la estructura y puede ser adoptado como Proyecto Flood Standard (SPF) para el diseño de la estructura, mientras que la método estocástico parece predecir en cierta medida la máxima inundación Probable (MPF). en realidad el SPF y MPF recomendado por CWPC, la India para el diseño de la presa Ukai, fueron 48.2 tcm y 59,8 tcm, respectivamente. El pico del hidrograma de crecida obtenido por la aplicación del 6-hr diseño hidrograma unitario en el ejemplo 8.4 también fue 59,8 tcm.

15.3 ESTOCÁSTICA MODELADO POR LA serie de duración parcial

Sharma et al. (1975) dio un nuevo modelo utilizando la serie de duración parcial, es decir, los picos de inundaciones anteriores un nivel de base dado (Qb), para derivar la distribución de las mayores inundaciones (flujos pico) en un intervalo de tiempo dado (0, t). La magnitud de estos picos se considera como una serie de variables aleatorias. El Qb flujo base puede ser tomado como la descarga de cauce lleno del río en lo particular estación. Si Qi es el pico de inundación, lo que ha ocurrido en el intervalo de tiempo (0, t), entonces la inundación X i excedencia en este intervalo es

X i=Qi−Qb …(15.19)El número n (t) de superaciones de inundación en un intervalo de tiempo (0, T) así como las magnitudes de los casos de superación x (t), son el tiempo, variables dependientes del azar. El T i momento de ocurrencia de estas superaciones son también variables aleatorias. El tiempo de Ti se assoiated con las variables aleatorias para X i i=1,2,3,…n.

Todorovic y Emir Zelenhasic (1970) han desarrollado la función de distribución de F t(x)la superación más grande en un intervalo dado de tiempo (0, t) como

F t(x)=exp (-λ t e−βx¿ …(15.20)y la probabilidad de ocurrencia de superaciones xi durante el intervalo (0, t) como

H ( x )=1−exp (−βx) …(15.21)Para una XT excedencia especial para un intervalo de T años

F ( XT )=exp [−λT e−β xT ] …(15.22)

donde λ y β son constantes para una serie particular de datos (λ = número medio de superaciones por año).I Fx t≥0 paraT ≥0 , entonces F(x t) Representará a la probabilidad de ocurrencia de una excedencia XT y

F ( XT )= 1λT …(15.23)

A partir de las ecuaciones. (15.22) y (15.23), el nuevo modelo matemático se obtiene como

X t=1β [ ln ( λ .T )−ln { ln (λ .T )}] …(15.24)

Entonces, la QT de inundación de diseño puede obtenerse comoQT=QB+xT …(15.25)

Ejemplo 15.1 datos de inundación en la forma de la Serie Parcial-Duración y Picos Anual-Flood para el río Ganges en Haridwar por un período de 87 años (1885-1971) se dan en las Tablas 15.4 y 15,5, respectivamente. El flujo de base para la serie de duración parcial puede ser tomado como 4333 cumec (que fue aceptada como la descarga de cauce lleno en el diseño del vertedero en Bhimgoda). Derivar las curvas de inundación frecuencia basados en las dos series utilizando los modelos estocásticos. Hacer un estudio comparativo con los otros métodos basados en las inundaciones anuales discutidos anteriormente. [Nota de datos serie de duración parcial para el río Bajo Tapti a no se pudo obtener Ukai y por lo tanto los datos de inundación para el río Ganges se da aquí].

Solución El histograma de los picos anuales de inundación para el río Ganges en Haridwar para el período 1885-1971, 87 años, se muestra en la figura. 15.2. El cálculo de la curva de frecuencia acumulada se hace en la Tabla 15.6. Se ve que la distribución de las inundaciones no tienen la curva normal en forma de campana, pero están sesgados. Sin embargo, los datos pueden ser transformados por el trazado el logaritmo común de los picos de inundación de modo que la curva de densidad de distribución es aproximadamente normal como se muestra en la Fig. 15.3. Esto se llama entonces una distribución logarítmica normal y la desviación estándar es en logarítmica unidades. El histograma de la serie de duración parcial de los picos de inundación encima de la base seleccionada de 4333 cumec se muestra en la Fig. 15.4, que también representa datos sesgada.

*0-<22- <4 , y así

(a) Parcial serie de duración. Hay 175 superaciones de inundación (arriba Qb) durante 87 año. Promedio del número de superaciones anuales.

λ=17587

=2.01

El valor medio de β=β=4.05x10−4

Estimación de la inundación de diseño ahora se puede hacer desde las ecuaciones. (15.24) y (15.25)

QT=Qb+xT

.:. QT=4333+104

4.05 [ ln (2.01T )−ln {ln (2.01T )} ] …(15.26)

15.4 PICOS-RÍO inundación anual GANGA(i) el método de Gumbel Ec. (15.6):

QT=Q+KQ=6635.63cumec ,=3130.8 cumec

K=y− yn

❑n

De la Tabla 15.5 para n = 87, yn = 0,55815, ❑n = 1,1987

(ii) Método estocástico Eq. (15.17):Qmin=2341 cumec ;Q=6635.63 cumec ; nf=77QT=Qmin+2.3 (Q−Qmin) log ¿)

=2341+2.3(6635.63-2341) log( 7787 . T ).:. QT=2341+9890 log (0.885T ) …(15.27)

(iii) la distribución Log-Pearson Tipo III. Para los datos agrupados de las inundaciones anuales de la Tabla 15.7, los cálculos se hicieron en la Tabla 15.5 para obtener los parámetros estadísticos de la Log- Distribución Pearson tipo III [ver ecuaciones. (14,27 a, b, c)].

Significar: log x=∑f ( logx)

∑ f=67.3856

87=0.7750

Std. dev: ❑logx=√∑f ¿¿¿ = √ 3.331587−1=0.1962

Skew: g=n∑f ¿¿ = 87(0.5165)(87−1)(87−2)¿¿

Poner variable aleatoria x = pico de crecida Q (1000 cumec), la ecuación de distribución. (14.28) se convierte

logQT=logQ+K❑logQ

y QT para cualquier T deseada se puede calcular conociendo el valor de K para g = 0,81 y deseaCamiseta de la Tabla 14.2.

La QTcurva de frecuencia vs T se dibuja en papel log-log (Fig. 15.6) y también comparócon otras distribuciones conocidas en la Fig. 15.5. Chow (1951) ha demostrado que la mayoría de frecuencia distribuciones pueden generalizarse como

QT=Q+K❑Q …(15.29)donde K es el factor de frecuencia.

Fig. 15.6 Log-Pearson distribución de tipo III, inundaciones Ganga (1885-1971)

Las curvas de frecuencia de inundación de los cuatro métodos anteriores han sido trazados en semi-log papel, (Fig. 15.5). Se puede observar que el pico más alto de inundación anual de

19.136 cumec durante una periodo de 87 años (T=87+11

=88− yr ) ha superado la avenida

de 100 años dada por el método de Gumbel y que computado por el nuevo modelo estocástico basado en la serie de duración parcial. Sin embargo, en este caso, el método estocástico utilizando datos inundaciones anuales y la distribución Log-Pearson tipo III dar valores de diseño de seguridad.

15.5 ANÁLISIS REGIONAL DE INUNDACIONES FRECUENCIA (RFFA)Un análisis regional se hace necesario cuando los datos disponibles sobre una cuenca son demasiado cortos para la fabricación de un análisis de frecuencia. Los datos correspondientes a un período largo disponibles de cuencas vecinas son estadísticamente probados para la homogeneidad. Un grupo de estaciones que satisfacen la prueba se identifican que constituyen una región. Se analizan todos los datos disponibles en diversas estaciones de la región establecer los characterstics frecuencia de la región. La inundación anual media (Q) correspondiente

a T = 2,33 yr se utiliza para no dimensionalysing los resultados. La variación de la media de inundación (Q) con el área de drenaje (A), y la variación de QT / Q (llamado factor de crecimiento, GF) con el regreso período (T), son los argumentos básicos preparados en tales análisis.

RFFA para captaciones de Brahmaputra norte *Para la estimación de las crecidas de periodo de retorno deseada (T) de tamaño calibrado cuencas pequeñas y moderadas del norte del sistema Brahmaputra río, utilizando el GEV-distribución, etc., la relación se ha establecido como

QT=Q [−1167+12.48 {−ln (1− 1T

)}−0.025] …(15.30)

Estimaciones inundación frecuencia pueden obtenerse multiplicando el pico medio anual de inundaciones (Q) de la cuenca de captación mide por el valor correspondiente del factor de crecimiento, Fig. 15.7.

Para cuencas no aforadas, mientras que no existen datos de flujo y una estimación de un T-yrSe requiere de inundación en un sitio para el que se requiere una estimación de Q. Para cuencas aforadas en la región fisiográfica de pertinente similar y climática characterstics, en Brahmaputra norte, una relación regional se ha desarrollado en términos de área de captación (A (km2)), para la estimación de la Q de cuencas no aforadas como

Q=4.375 A0.72 …(15.31)Sustituyendo esto en la ecuación. (15,30),

QT=A0.72[−5105+54.6 {−ln (1− 1T )}−0.025 ] …(15.32)

Which Gives a T-yr flood (QT cumec) for ungauged catchments of area A km2. This is graphically Represented in Fig. 15.8.

Fig. 15.8. QT for unguged catchments of area A

In this RFFA screening of data is done by using the Discordancy measure (Di), theL-moment homogeneity test, i.e., Heterogeneity measure (H) and various distributions likeGEV etc., for which regional parameters are estimated using L-moments approach.