De la aritmética al álgebraDe la aritmética al álgebra

Invariantes operatorios en la resolución de ecuaciones

Omar Cabrera

Gladys Fusco

Presentación estática y parcial del trabajo incluido en el CD del texto:

MATEMÁTICA NATURAL

AULA TALLER

EDICIONES DEL

Tres tareas invariantes en la resolución de ecuaciones

Análisis de la ecuación Identificación de la operación prioritaria Control de la validez de las transformaciones

Cada tarea se realiza mediante la aplicación de un invariante operatorio

Los invariantes operatorios son los conocimientos -contenidos en los esquemas- que constituyen la base, implícita o explícita, para

obtener la información pertinente y de ella inferir la meta a alcanzar y las reglas de acción adecuadas.

Construcción implícita Construcción implícita

de ecuaciones reducidas de ecuaciones reducidas

o intermediaso intermedias

Construcción implícita de ecuaciones Construcción implícita de ecuaciones mediante señalamientos gráficosmediante señalamientos gráficos

303)(x

490-40

2

43

2

1

¿40 menos qué número da 10?

10 497

S={4}

Construcción de modelos sencillos Construcción de modelos sencillos para accionar mediante para accionar mediante

comparacionescomparaciones

Despejando sin pasajesDespejando sin pasajes

Ecuación literalEcuación literalConsigna: despejar xConsigna: despejar x

Invento para comparar (IPC)Invento para comparar (IPC)Elijo x=2 y construyo una ecuación Elijo x=2 y construyo una ecuación

““igual que la otra" pero con naturalesigual que la otra" pero con naturales

D=F

Α-Β.X

DA-B.X=

F

DB.X=A- F

DA-

FX=B

24= 6

10- 3.x

10-3.x = 4 (24:6)

3.x = 6 (10-4)

x = 2 (6:3)

Ecuaciones simultáneasResolución simultánea de tres ecuaciones con la misma Resolución simultánea de tres ecuaciones con la misma

estructura, construyendo un solo IPC (invento para estructura, construyendo un solo IPC (invento para comparar).comparar).

Despeja xDespeja x Resuelve en ZResuelve en Z Resuelve en QResuelve en Q

M-ABx

H

MBx

HA

MA

HBx

BMA

Hx

-218x

5012-

3

2

6x

23

5

4

5

4x

188

-10(-2)--1218x

50

15

2

3

2-

5

4

6x

23

5)-8 ⇒( 3=

4+x

18

510-

5018x

2

345

15

2:236x 3)8 1 ( 6=4+x :⇒

23185x 2

3336

2

345x 4)-6 ( 2=x ⇒

Invento para comparar (IPC)

Elijo x=2

BASES

TEÓRICAS

Teoría de los campos conceptualesTeoría de los campos conceptualesGérard VergnaudGérard Vergnaud

Campo conceptual es un conjunto referencial y heterogéneo de problemas, situaciones, conceptos, relaciones, estructuras,

contenidos y operaciones del pensamiento, conectados unos a otros y, probablemente,

entrelazados durante el proceso de adquisición.

La teoría de los campos conceptuales supone que la señal del desarrollo cognitivo es la conceptualización.

De allí la importancia que tienen los aspectos conceptuales de los esquemas y el análisis conceptual de las situaciones, para

las cuales los estudiantes desarrollan sus esquemas.

Vergnaud identifica dos tipos de invariantes operatorios: los conceptos-en-acción (construidos pragmáticamente por los alumnos) y los teoremas-en-acción (propiedades usadas por

los alumnos que pueden ser falsas o no).

Invariantes operatoriosAníbal CortésAníbal Cortés

Identificó cinco tareas invariantes en la resolución de ecuaciones. .

Son las que el experto realiza implícita o explícitamente cuando efectúa una transformación.

Cada tarea invariante se realiza mediante un invariante operatorio.

Construir dichos invariantes operatorios a partir de la enseñanza de esas tareas invariantes, es la propuesta

principal de esta presentación.

Ellos son:

Tarea invariante Invariante operatorio

Análisis de la ecuación Concepto de ecuación

Control de validez de la transformación

Conservación del valor de verdad de una igualdad

Identificación y respeto de la operación prioritaria

Propiedades de las operaciones y

convenciones de orden

Control de los símbolos transferidos a una nueva

expresión

Verificación de la reescritura correcta de términos y

signos, conservación de una identidad o del valor de verdad de una igualdad

Los cálculos numéricosDefiniciones, algoritmos y

propiedades de las operaciones

Hemos descripto en esta presentación algunas experiencias que tuvieron como objetivo la enseñanza de esas tareas invariantes en los

primeros cursos de álgebra.

La enseñanza (explícita, organizada,

sistemática) de las tareas invariantes, ayuda

al estudiante a construir invariantes

operatorios adecuados para justificar sus

transformaciones algebraicas y aplicar

métodos de resolución con eficacia.