Investigación: Carrera de baldes - Prek...

Uso de la fórmula de la distancia

En esta lección

● Usarás el Teorema de Pitágoras para ayudarte a minimizar las distancias

● Usarás la fórmula de la distancia para hallar la ecuación de un lugargeométrico de puntos

En esta lección, descubrirás y aplicarás una fórmula para la distancia.

Investigación: Carrera de baldesImagina que estás en una carrera en la cual debes llevar unbalde vacío desde un punto A hasta el borde de una piscina,llenar el balde con agua, y después llevarlo hasta un punto B.El punto A está a 5 metros de un extremo de la piscina, elpunto B está a 7 metros del otro extremo, y la piscina tiene20 metros de largo.

Sea x la distancia desde el extremo de la piscina hasta unpunto C situado en el borde de la piscina. Completa los Pasos 1–4 en tu libro para hallar el valor de x que da la trayectoria más cortaposible de A a C y de C a B. Aquí se dan las respuestas a los Pasos 2 y 3.

Paso 2 A continuación se presentan los datos correspondientes a varios valoresde x. AC y CB se calcularon usando el Teorema de Pitágoras, pero también puedeshallarlas midiendo. Tus respuestas pueden ser ligeramente diferentes a éstas,dependiendo de cómo hayas redondeado o de la precisión de tus mediciones.

Paso 3

Método 1: La tabla anterior indica que un valor x de aproximadamente8 minimiza la longitud de la trayectoria, lo cual significa que C debe estara unos 8 m del extremo de la piscina. (Puedes obtener una respuesta másprecisa intentando otros valores de x cercanos a 8.)

Método 2: Usando el Teorema de Pitágoras, AC es �52 � x�2� y BC es�72 � (�20 � x�)2�, de modo que la longitud, y, de la trayectoria puederepresentarse por

y � �52 � x�2� � �72 � (�20 � x�)2�

x (m) AC (m) CB (m) AC � CB (m)

12 13 10.63 23.63

14 14.87 9.22 24.09

16 16.76 8.06 24.82

18 18.68 7.28 25.96

20 20.62 7 27.62

x (m) AC (m) CB (m) AC � CB (m)

0 5 21.19 26.19

2 5.39 19.31 24.70

4 6.40 17.46 23.86

6 7.81 15.65 23.46

8 9.43 13.89 23.32

10 11.18 12.21 23.39

C 20 � xx

A

B

7 m5 m

Salida

Meta

20 m

L E C C I Ó N

9.1CONDENSADA

Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 9 131©2004 Key Curriculum Press

(continúa)

DAACLS_678_09.qxd 4/16/04 10:36 AM 31

Lección 9.1 • Uso de la fórmula de la distancia (continuación)

Usando una tabla o gráfica de calculadora, puedes encontrar que el valor mínimode y en esta función, que es aproximadamente 23.32, corresponde a un valor x deaproximadamente 8.33. Así pues, el punto C debe estar ubicado a unos 8.33 m delextremo de la piscina.

La cantidad de agua que queda en el balde al final de la carrera es un factorimportante para ganar. Imagina que puedes llevar un balde vacío a una velocidadde 1.2 m/s y que puedes llevar el balde lleno, sin derramar agua, a una velocidadde 0.4 m/s. Completa los Pasos 5 y 6 en tu libro para hallar la ubicación de C queminimiza el tiempo que te llevará ir desde el punto A al punto C y de ahí alpunto B. Después compara tus resultados con los siguientes.

Paso 5 Usa el hecho de que tiempo � �vdeilsotacindcaiad�.

Paso 6 El tiempo requerido para ir de A a C es , y el tiempo requerido

para ir de C a B es . Por tanto, el tiempo total, y, puede

representarse por la función

y � �

El valor x que minimiza esta función es aproximadamente 17.63. El valor ycorrespondiente a este valor x es aproximadamente 33.75. Por tanto, paraminimizar el tiempo, el punto C debe estar a 17.63 m del extremo de lapiscina. El tiempo mínimo será de unos 33.75 s. La distancia recorrida esaproximadamente 25.96 m. Esta distancia es mayor que la distancia queencontraste en el Paso 3, pero el segundo tramo, CB, es más corto.

�72 � (�20 � x�)2��0.4

�52 � x�2��1.2

�72 � (�20 � x�)2��0.4

�52 � x�2��1.2

x (m) Tiempo para AC (s) Tiempo para CB (s) Tiempo total (s)

0 4.17 52.98 57.15

2 4.49 48.28 52.77

4 5.34 43.65 48.99

6 6.51 39.13 45.64

8 7.86 34.73 42.59

10 9.32 30.53 39.85

12 10.83 26.58 37.41

14 12.39 23.05 35.44

16 13.97 20.15 34.12

18 15.57 18.20 33.77

20 17.18 17.50 34.68

132 CHAPTER 9 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish

©2004 Key Curriculum Press

(continúa)

DAACLS_678_09.qxd 4/16/04 10:36 AM Page 132

Recuerda que la distancia entre dos puntos, �x1, y1� y �x2, y2�, se da por la

fórmula d � ��x2 � x�1�2 � ��y2 � y1��2�. Repasa esta fórmula leyendo el texto

hasta el Ejemplo A en tu libro. Un lugar geométrico (locus) de puntos es un

conjunto de puntos que cumplen con una condición dada. En el Ejemplo A se

encuentra el lugar geométrico de los puntos que es equidistante de dos puntos.

Lee este ejemplo con atención y después lee el Ejemplo B. El ejemplo siguiente es

el Ejercicio 6 en tu libro.

EJEMPLO Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos que están dos veces máslejos del punto (2, 0) que del punto (5, 0).

� Solución Sea (x, y) cualquier punto del lugar geométrico. Sea d1 la distancia de (2, 0) a(x, y), y sea d2 la distancia de (5, 0) a (x, y). Entonces,

d1 � �(x � 2�)2 � y�2� y d2 � �(x � 5�)2 � y�2�

El lugar geométrico son todos los puntos que satisfacen la ecuación d1 � 2d2, ó

�(x � 2�)2 � y�2� � 2�(x � 5�)2 � y�2�

Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación para obtener (x � 2)2 � y2 �4�(x � 5)2 � y 2�. Ahora desarrolla los binomios y combina los términossemejantes. Debes obtener x2 � 12x � y2 � �32, ó y � ��x2 �� 12x �� 32�.La gráfica siguiente muestra los puntos (2, 0) y (5, 0) y el lugar geométrico,que es un círculo centrado en (6, 0).

[0, 9.4, 2, �6.2, 6.2, 2]

Lección 9.1 • Uso de la fórmula de la distancia (continuación)



Círculos y elipses

En esta lección

● Revisarás las ecuaciones estándares y paramétricas de un círculo y una elipse

● Aprenderás las definiciones de un círculo y una elipse como lugares geométricos

● Localizarás los focos de una elipse

● Aprenderás cómo se relaciona la excentricidad de una elipse con su forma

Círculos, elipses, parábolas, e hipérbolas se llaman secciones cónicas porque sepueden crear rebanando un cono doble.

Cada sección cónica se puede definir también como un lugar geométrico depuntos. Por ejemplo, un círculo es el conjunto de todos los puntos situados a unadistancia fija de un punto dado. Lee el texto en tu libro desde la definición de uncírculo hasta el Ejemplo B. Este material repasa lo que has aprendido sobre lascírculos en los capítulos anteriores. Para hallar la ecuación en el Ejemplo B,primero debes encontrar el punto dónde se intersecan el círculo y la rectatangente. Asegúrate de que entiendes cada paso de la solución.

Recuerda, del Capítulo 4, que puedes trasladar y estirar el círculo unitario paracrear una elipse. En general, si una elipse tiene el centro (h, k), el factor de escalahorizontal a, y el factor de escala vertical b, entonces su ecuación en formaestandar es

��x �a

h��

2

� ��y �b

k��

2

� 1

y sus ecuaciones paramétricas son

x � a cos t � h

y � b sin t � k

Al igual que un círculo, una elipse puede definirse como un lugar geométrico.Sin embargo, mientras que la definición como lugar geométrico de uncírculo implica un solo punto fijo (a saber, el centro), la definición comolugar geométrico de una elipse implica dos puntos fijos, conocidos comofocos: una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P de un plano,y la suma de sus distancias, d1 y d2, con respecto a dos puntos fijos, F1 y F2,es una constante, d. Esto es, d1 � d2 � d, ó F1P � F2P � d. PP

P

d1

d1 d2d2

d1

F1 F2

d2

HipérbolaParábolaElipseCírculo

L E C C I Ó N

9.2CONDENSADA


(continúa)


Lección 9.2 • Círculos y elipses (continuación)

En la página 499 de tu libro se muestra cómo puedes construir una elipseusando una cuerda, un lápiz, y dos alfileres. Si tienes estos materiales, teconviene intentarlo.

El segmento que conforma la dimensión más grande de una elipse,y que contiene los focos, se llama el eje mayor. La dimensión máspequeña es el eje menor. La longitud de la mitad del eje horizontalde una elipse es el factor de escala horizontal, de modo que el ejehorizontal tiene una longitud de 2a. Asimismo, la longitud de lamitad del eje vertical es el factor de escala vertical, de modo que eleje vertical tiene una longitud de 2b. Si el eje mayor es horizontal,entonces su longitud, 2a, es igual a d1 � d2. Así que la suma de lasdistancias entre cualquier punto de una elipse y los dos focos es 2a.Si el eje mayor es vertical, entonces su longitud, 2b, es igual a d1 � d2.

La elipse siguiente a la izquierda tiene un eje mayor horizontal. Uno de los puntosextremos del eje menor ha sido conectado con los focos, formando dos triángulosrectángulos. La suma de las longitudes de las hipotenusas es igual a la longituddel eje mayor, así que cada hipotenusa tiene una longitud de a. La mitad de lalongitud del eje menor tiene la longitud b. Para localizar los focos, rotula ladistancia del centro a cada foco como c, y escribe la equación b2 � c2 � a2. Laelipse a la derecha tiene un eje mayor vertical. En este caso, a2 � c2 � b2.

x

F1

F2

a

b

bc

c

yy

xF1 F2

a ab

c c

F1

d2

F2

2bd1

F1 d2

F2

2a

d1

y

xF1 F2

c

a

b

Eje mayor

Eje menor



(continúa)


El Ejemplo C en tu libro muestra cómo usar las relaciones entre a, b, y c paralocalizar los focos de una elipse. Aquí se presenta otro ejemplo.

EJEMPLO Localiza los focos de la elipse.

� Solución La elipse tiene un eje mayor horizontal, de modo que b2 � c2 � a2. En este caso,b � 4 y a � 6, así que c2 � 62 � 42 � 20 y por tanto c � ��20� � �2�5�.Entonces, los focos son �2�5�, 0� y ��2�5�, 0�, o aproximadamente (4.47, 0) y(�4.47, 0).

Investigación: Una rebanada de luzLee la investigación en tu libro hasta el final del Paso 2. Si tienes una linterna yalguien que te ayude, completa los pasos.

La excentricidad es una medida de la elongación de una elipse. Para una elipsecon un eje mayor horizontal, la excentricidad es �a

c�. Para una elipse con un eje

mayor vertical, es �bc

�. La excentricidad de una elipse se encuentra siempre entre 0y 1. Cuanto más cerca esté la excentricidad a 0, más circular será la elipse. Cuántomás cerca esté a 1, más alargada será la elipse.

Si puedes, completa los Pasos 3 y 4 en tu libro. Debes encontrar que cuando laexcentricidad se vuelve demasiado grande, la elipse se convierte en una parábolay después en una rama de una hipérbola.

x

y

Excentricidad � 0.99

6

–6

6–6x

y


–5 5

6

–6

x

y

5


–5

–5 5

x

y

7

–7

–7 7

Lección 9.2 • Círculos y elipses (continuación)



Parábolas

En esta lección

● Aprenderás la definición de una parábola como lugar geométrico

● Encontrarás el foco y la directriz de una parábola, basándote en su ecuación

● Usarás la definición de una parábola como lugar geométrico para construiruna parábola usando patty paper

En capítulos anteriores, aprendiste que la parábola es una transformación de la gráfica cuya ecuación estandar es y � x2, ó cuyas ecuacionesparamétricas son x � t, y � t2. Una parábola también se puede definircomo un lugar geométrico de puntos.

Una parábola es un lugar geométrico de puntos P de un plano, cuya distancia a un punto fijo, F, es la misma que la distancia a una recta fija, �.Esto es, d1 � d2. El punto fijo, F, se llama el foco. La recta, �, se llamala directriz.

Si la directriz de una parábola es una recta horizontal, entonces la parábola seorienta verticalmente. Si la directriz es una recta vertical, entonces la parábolase orienta horizontalmente.

Si una parábola se orienta horizontalmente, con el vértice en (0, 0), entoncessu foco se ubica dentro de la curva en el punto (f, 0), como se muestra enel diagrama a la derecha. Debido a que la directriz se encuentra a la misma distancia del vértice que el foco, su ecuación es x � �f. El texto en la página 508 de tu libro muestra cómo puedes usar esta información, junto con la definición como lugar geométrico, para derivar la ecuación y2 � 4fx para la parábola.Lee el desarrollo con atención. Entonces, cuando la ecuación de una parábola está en la forma y2 � 4fx, sabes que la distancia del vértice al foco es f, un cuarto del coeficiente de x.

La parábola siguiente se orienta verticalmente con el vértice (0, 0), el foco (0, f ),

y la directriz y � �f. Según la definición como lugar geométrico, sabes que

d1 � d2. Es decir, �(x � 0�)2 � (y� � f )2� � �(x � x�)2 � (y� � f )2�. Puedes usar

álgebra para reescribir esta ecuación como x2 � 4fy, ó y � �41f� x2. Así que cuando

la ecuación de una parábola esté en cualquiera de estas dos formas, puedes

encontrar la distancia, f, del vértice al foco.

Lee el ejemplo en tu libro atentamente, y después lee el ejemplo siguiente. Intentaresponder cada parte por tu propia cuenta, antes de leer la solución.

(x, y)

(0, 0)y � �f

(x, �f )

(0, f )d1

d2

y

x

x

y

d1

d2

F(f, 0)

Dir

ectr

iz

d1

d2

�

F

P

d1

d2

P

L E C C I Ó N

9.3CONDENSADA


(continúa)


Lección 9.3 • Parábolas (continuación)

EJEMPLO Considera la ecuación madre, y � x2, de una parábola con orientación vertical.

a. Escribe la ecuación de la imagen de la gráfica después de un estiramientohorizontal por un factor de 2, un estiramiento vertical por un factor de 0.5,y luego una traslación 3 unidades a la izquierda.

b. ¿Dónde está el foco de y � x2? ¿Dónde está la directriz?

c. ¿Dónde están el foco y la directriz de la parábola transformada?

� Solución Recuerda las transformaciones de funciones que estudiaste en el Capítulo 4.

a. Empieza por la ecuación madre y lleva a cabo las transformaciones.

y � x2 Ecuación original.

�0y.5� � ��2

x��

2

Estiramientos horizontal por un factor de 2 y vertical por un factor de 0.5.

�0y.5� � ��x +

23

��2

Traslación 3 unidades a la izquierda.

b. Usa la forma general, x2 � 4fy. El coeficiente de y es4f en la forma general y 1 en la ecuación x2 � y. Asíque 4f � 1, ó f � �

14�. Por tanto, el foco es �0, �

14�� y la

directriz es y � ��14�.

c. Primero, reescribe la ecuación �0y.5� � ��x �

23

��2como

8y � (x � 3)2. El coeficiente de y es 8, por tanto4f � 8, ó f � 2. Tanto el foco como la directriz estarána 2 unidades del vértice, que es el punto (�3, 0), en ladirección vertical. Por consiguiente, el foco es (�3, 2) yla directriz es y � �2.

En el recuadro en la página 510 de tu libro, se resumen las formas estandar yparamétrica de las ecuaciones para las parábolas con orientaciones verticales yhorizontales. Lee este material con atención.

Investigación: Dobla una parábolaSigue las instrucciones en tu libro para construir una parábola usandopatty paper, y encuentra su ecuación. Lee esa información atentamente.

Supón que esta parábola fuera puesta encima de una hoja de papelcuadriculada y calcada, con el foco en (3, 0) y su directriz x � 1. Laforma general de la parábola es y2 � 4fx. La distancia del foco alvértice es 1, de modo que f � 1 y la ecuación general de la parábolaes y2 � 4x. Sin embargo, la parábola se trasladó 2 unidades a laderecha, así que la ecuación final es y2 � 4(x � 2).

x

y

–2 4 6 8

–4

–2

2

4

x

y

5

–5

–5 5

(–3, 2) 8y � (x � 3)2

y � �2




Hipérbolas

En esta lección

● Aprenderás la definición de una hipérbola como lugar geométrico

● Usarás las asíntotas de una hipérbola para ayudarte a dibujar la curva

● Localizarás los focos de una hipérbola usando los factores de escalahorizontal y vertical

Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos P de un plano, en quela diferencia de las distancias, d1 y d2, a dos puntos fijos, F1 y F2, es siempre unaconstante, d. Esto es, d1 � d2 � d, ó F1P � F2P � d. Los dos puntos fijos,F1 y F2, se llaman focos. Los puntos en que las dos ramas de la hipérbola estánmás cerca entre sí se llaman los vértices. El centro de una hipérbola es el puntomedio entre los vértices.

Observa que la diferencia constante, d, es igual a la distancia entre los vértices.

La distancia desde

P a F1 es d1.

La distancia desde P a F2

es d2.

La distancia entrelos vértices es iguala la diferencia

constante �d2 � d1�.

d1

F1

F2

d2 �d2 � d1�

P

d1

d2

P

Centro

Vértice

Vértice

d1

d2

d2

d2

F2

F1

P

P

L E C C I Ó N

9.4CONDENSADA


(continúa)


Lección 9.4 • Hipérbolas (continuación)

En el Ejemplo A en tu libro, se deriva la ecuación x2 � y2 � 1 de la hipérbolaunitaria. Lee ese ejemplo con atención, siguiéndolo con papel y lápiz.

Cada rama de una hipérbola se aproxima a dos rectas llamadas asíntotas(asymptotes). Las asíntotas son rectas a las cuales la gráfica se aproxima cuandoaumentan los valores x ó y en dirección positiva o negativa. Las asíntotas de lahipérbola unitaria son y � x y y � �x. Observa que estas asíntotas pasan porlos vértices de un cuadrado con esquinas en (1, 1), (1, �2), (�1, �1), y (�1, 1).

La gráfica de y2 � x2 � 1 también es una hipérbola. Esta hipérbola tiene lamisma forma que la gráfica de x2 � y2 � 1, pero se orienta verticalmente.

La forma estandar de la ecuación de una hipérbola centrada en el origen es

��ax

��2

� ��by

��2

� 1 ó ��by

��2

� ��ax

��2

� 1

donde a es el factor de escala horizontal y b es el factor de escala vertical.El Ejemplo B en tu libro muestra cómo graficar una hipérbola, trazandoprimero sus asíntotas. Lee este ejemplo atentamente.

Los focos de una hipérbola están a la misma distancia del centro quelos vértices del rectángulo de asíntotas. En el diagrama siguiente, estadistancia es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulocon catetos de longitudes a y b. Puedes usar la fórmula pitagórica,a2 � b2 � c2, para localizar los focos. A continuación hay un ejemplo.

EJEMPLO Traza la gráfica de ��2x

��2

� y2 � 1 y da las coordenadas de los focos.

� Solución De la ecuación, puedes ver que se trata de una hipérbolacon orientación horizontal y un factor de escala horizontalde 2. Empieza por dibujar las asíntotas. Para hacerlo,traza un rectángulo centrado en el origen que mida2 � 2, ó 4 unidades horizontalmente y 2 � 1, ó 2 unidadesverticalmente, y después traza unas rectas que pasen porlos vértices opuestos. �O usa las ecuaciones de las asíntotas,y � ��

12�x.� Los vértices de la hipérbola se encuentran en

(2, 0) y (�2, 0). Usa esta información para trazar la hipérbola.

Para localizar los focos, usa la relación a2 � b2 � c2. En este caso, a � 2 yb � 1, de modo que c � �22 � 1�2� � �5�. Así pues, los focos se encuentrana �5� unidades del centro en ��5�, 0� y ��5�, 0�, o aproximadamente(2.24, 0) y (�2.24, 0).

x

y

2

–2–4 4

y � x1_2

y � � x1_2

x

y

a

b c

(0, 5)

(0, �5)

–5 5

x

y

–4 –2 2 4

–4

–2

2

4

x

y

–4 –2

(– 2, 0) ( 2, 0)

(x, y)

2 4

–4

–2

2

4



(continúa)


Investigación: De pasoLee la investigación en tu libro, y asegúrate de entender el procedimiento. Aquí seofrece una muestra de datos. Completa la investigación usando estos datos ydespués compara tus respuestas con las siguientes.

Paso 1 Aquí se presenta una gráfica de los datos:

[0, 7.4, 1, 0, 5, 1]

Paso 2 Las asíntotas y � 1.3(x � 3.8) y y � �1.3(x � 3.8) funcionan bien.

[0, 7.4, 1, 0, 5, 1]

Las asíntotas tienen pendientes de ��ab

�, de modo que �ab

� � 1.3. El centro dela hipérbola es (3.8, 0) y, según la muestra de datos, el vértice se ubica enaproximadamente (3.8, 0.9). Entonces el valor b, el estiramiento vertical,es 0.9, y el valor a es �

01

.

.93�, ó aproximadamente 0.7. La ecuación de la hipérbola

es, por tanto,

��0y.9��

2

� ��x �0.7

3.8��

2

� 1

Tiempo (s) Distancia (m)

5.2 1.978

5.4 2.251

5.6 2.478

5.8 2.748

6.0 3.099

6.2 3.284

6.4 3.533

6.6 3.820

6.8 4.116

7.0 4.379

7.2 4.695

7.4 4.955


2.6 1.605

2.8 1.525

3.0 1.291

3.2 1.022

3.4 0.901

3.6 0.882

3.8 0.926

4.0 0.966

4.2 1.056

4.4 1.240

4.6 1.387

4.8 1.568

5.0 1.673


0 5.000

0.2 4.720

0.4 4.381

0.6 4.016

0.8 3.688

1.0 3.558

1.2 3.302

1.4 3.078

1.6 2.709

1.8 2.410

2.0 2.249

2.2 1.969

2.4 1.770



(continúa)



Paso 3 Las distancias desde el centro a los focos se determinan por 0.92 � 0.72 � c2, de modo que c � 1.14, y los focos son (3.8, 1.14) y (3.8, �1.14). El cálculo de d2 � d1 para dos puntos diferentes daaproximadamente 1.80 unidades. Las diferencias en las distancias son iguales. Ésta es la definición como lugar geométrico de una hipérbola.

En el texto en el recuadro Equation of a Hyperbola (la ecuación de unahipérbola) en la página 518 de tu libro, se dan las ecuaciones estandar yparamétrica de una hipérbola. Verás cómo derivar las ecuaciones paramétricasen los ejercicios.

El Ejemplo C en tu libro te pide escribir una ecuación para una parábola dada.Intenta hacerlo por tu cuenta, antes de leer la solución. (Sugerencia: Necesitarásescribir una ecuación que contenga b y después usar un punto de la curva pararesolver para b.)

y

x

d1d1

d2 d2

–2–4 2 6 8

–4

–2

2

4

10



DAACLS_678_09.qxd 4/16/04 10:36 AM 4

La cuadrática general

En esta lección

● Convertirás ecuaciones cuadráticas de la forma general a la forma estándar

● Resolverás unas ecuaciones cuadráticas para y de modo que puedangraficarse en una calculadora

● Encontrarás todas las maneras posibles en que dos secciones cónicaspueden intersecarse

● Encontrarás los puntos de intersección de dos secciones cónicas

Círculos, parábolas, elipses, e hipérbolas se llaman curvas cuadráticas, o curvasde segundo grado, porque la potencia más alta en cualquier variable de susecuaciones es 2. Las ecuaciones de cualquiera de estas curvas pueden escribirseen la forma cuadrática general

Ax2 � Bxy � Cy2 � Dx � Ey � F � 0

donde A, B, y C no son todas cero.

En todas las curvas que has visto hasta ahora en este capítulo, B es iguala 0 (es decir, no hay término xy). Si B no es igual a 0, la curva está rotada(su orientación no es ni horizontal ni vertical).

Para graficar a mano una ecuación cuadrática dada en forma general, resultaútil escribirla primero en su forma estándar. Y, para graficar la ecuación en tucalculadora, primero debes resolverla para y. En esta lección practicarás laconversión de las ecuaciones cuadráticas generales a estas formas.

Lee Ejemplo A en tu libro. La ecuación es relativamente fácil de trabajar porqueno tiene términos en x, y, o xy. Si una ecuación tiene estos términos, entoncesdebes usar el proceso de completar el cuadrado para reescribirla en su formaestandar. Esto se muestra en el Ejemplo B en tu libro. Lee ese ejemplo, y despuéslee el ejemplo siguiente.

EJEMPLO A Describe la gráfica determinada por la ecuación 25x2 � 4y2 � 150x � 16y � 109 � 0.

L E C C I Ó N

9.5CONDENSADA


(continúa)


Lección 9.5 • La cuadrática general (continuación)

� Solución Completa el cuadrado para convertir la ecuación a su forma estandar.

25x2 � 4y2 � 150x � 16y � 109 � 0 Ecuación original.

25x2 � 150x � 4y2 � 16y � �109 Agrupa los términos x y los términos y, y pasalas constantes al otro lado.

25�x2 � 6x� � 4�y2 � 4y� � �109 Factoriza los coeficientes de x2 y de y 2.

25�x2 � 6x � 9� � 4�y2 � 4y � 4� � �109 � 25(9) � 4(4)Completa el cuadrado para x y y. Suma losmismos valores al lado derecho de la ecuación.

25(x � 3)2 � 4(y � 2)2 � 100 Escribe la ecuación en forma de cuadradoperfecto.

�(x �

43)2

� � �(y �

252)2

� � 1 Divide ambos lados entre 100.

��x �2

3��

2

� ��y �5

2��

2

� 1 Escribe la ecuación en forma estándar.

La ecuación es la de una hipérbola con orientación horizontal y el centro en(�3, 2), el factor de escala horizontal 2, y el factor de escala vertical 5.

En el ejemplo anterior, antes de que convirtieras la ecuación a su forma estándar,pudiste haber usado indicios de la forma general de la ecuación para predecir quela gráfica sería una hipérbola. Debido a que la ecuación tiene tanto un término x2

como un término y2, la gráfica debe ser una elipse, una hipérbola, o un círculo.El coeficiente de x2 es positivo y el de y2 es negativo, de modo que la gráfica esuna hipérbola.

La ecuación en el Ejemplo C en tu libro tiene un término y2, pero no tieneun término x2. Esto indica que su gráfica es una parábola. Lee Ejemplo Catentamente. El Ejemplo D te muestra cómo usar la fórmula cuadrática pararesolver la ecuación del Ejemplo C para y. Trabaja el Ejemplo D con papel y lápiz.

Investigación: Sistemas de ecuaciones cónicasExisten cuatro secciones cónicas: círculos, elipses, parábolas, e hipérbolas. Losdiagramas en la página 529 de tu libro muestran que una elipse y una hipérbolase pueden intersecar en 0, 1, 2, 3, ó 4 puntos. Existen otras nueve pares posiblesde dos secciones cónicas:

Elipse y elipse

Elipse y parábola

Elipse y círculo

Parábola y parábola

Parábola e hipérbola

Parábola y círculo

Hipérbola e hipérbola

Hipérbola y círculo

Círculo y círculo



(continúa)


Para cada par, considera todos los números posibles de puntos de intersección, yhaz un dibujo de cada posibilidad. Cuando hayas terminado, compara tusrespuestas con las siguientes.

Círculo y círculo: 0, 1, 2, número infinito

Elipse y elipse: 0, 1, 2, 3, 4, número infinito

Parábola y parábola: 0, 1, 2, 3, 4, número infinito

Hipérbola e hipérbola: 0, 1, 2, 3, 4, número infinito

Todas las demás combinaciones: 0, 1, 2, 3, ó 4

Para hallar los puntos donde se intersecan dos secciones cónicas, primerografica las curvas para ver el número de puntos de intersección y su ubicaciónaproximada. Después, usa el álgebra para hallar los puntos exactos deintersección. Esta técnica se ilustra en el Ejemplo E en tu libro. A continuaciónse presenta otro ejemplo. Necesitarás determinar algunos detalles de la soluciónpor tu propia cuenta.

EJEMPLO B Encuentra los puntos de intersección de x2 � �y9

2

� � 1 y (y � 2)2 � x2 � 1.

� Solución Al resolver ambas ecuaciones para y, se obtiene y � �3�1 � x2� y y � �2 � �1 � x2�. (Asegúrate de verificar este resultado.) Al graficar lasecuaciones se muestra que hay tres puntos de intersección. Uno parece ser (0, �3). Al rastrear la gráfica, puedes encontrar que los otros dos puntos sonaproximadamente (0.96, �0.62) y (�0.96, �0.62).

[�5, 5, 1, �5, 5, 1]

Para hallar los puntos de intersección de manera algebraica, resuelve la primera

ecuación para x2 y obtén x2 � 1 � �y9

2

�, después sustituye x2 por 1 � �y9

2

� en la

segunda ecuación.

(y � 2)2 � x2 � 1 Segunda ecuación original.

(y � 2)2 � �1 � �y9

2

�� 1 Sustituye x2 por 1 � �y9

2

�.

y2 � 4y � 4 � 1 � �y9

2

� � 1 Desarrolla el binomio al cuadrado.

�190�y2 � 4y � 2 � 0 Combina términos semejantes.

y � Usa la fórmula cuadrática.

y � �0.6 ó y � �3 Evalúa.

�4 � �42 � 4��190��(2�)�

��

2��190��



(continúa)



Para hallar los valores correspondientes de x, sustituye ambos valores en

x � ��1 � �y9

2

��, que se obtiene de la primera ecuación.

x � ��1 � �(��0

9.6)2

�� 0.980

x � ��1 � �(��9

3)2

�� 0

Los puntos de intersección son aproximadamente (�0.980, �0.6), (0.980, �0.6),y (0, �3).




Introducción a las funcionesracionales

En esta lección

● Modelarás unos datos reales con una función racional

● Examinarás transformaciones de f(x) � �1x�, la función madre de la curva de

variación inversa

● Reescribirás unas ecuaciones de funciones racionales para ver cómo serelacionan con y � �

1x�

● Escribirás una ecuación para la gráfica de una función racional

● Usarás expresiones racionales para resolver un problema que implicasoluciones ácidas

En la investigación, verás cómo la longitud de un poste se relaciona con el pesoque puede soportar. Antes de hacer la investigación, le la introducción en lapágina 536 de tu libro y observa las curvas A, B, y C. ¿Qué curva crees que seasemeje más a la relación entre la longitud del poste y la “masa de ruptura”;es decir, la masa mínima que ocasionará que el poste se rompa?

Investigación: El punto de rupturaLee la lista de materiales, Procedure Note, y el Paso 1 de la investigación en tu libro. Si tienes los materiales, registra de 10 a 15 valores por tu cuenta y usa tus datos para completarla investigación. Si no tienes los materiales, usa esta muestra de datos. Los resultados siguientes se basan en la muestra de datos.

Paso 2 Parece que la gráfica no es lineal. Es una curvaque disminuye rápidamente al principio, y después con más lentitud.

[0, 17, 1, 0, 17, 1]

Paso 3 Una posible ecuación es y � �9x0�.

L E C C I Ó N

9.6CONDENSADA


Masa (númeroLongitud (cm) de monedas)

x y

12 7

11 8

10 9

9 10

8 11

7 13

6 16

Masa (númeroLongitud (cm) de monedas)

x y

16 6

16 5

15 7

15 6

14 6

13 7

13 6

12 8


Lección 9.6 • Introducción a las funciones racionales (continuación)

La relación entre longitud y masa en la investigación es una variación inversa. Lafunción madre para una curva de variación inversa es f(x) � �

1x�. Esta es la función

racional más sencilla.

Una función racional es cualquier función que se puede escribir de la forma f(x) � �

pq(

(xx))

�, donde p(x) y q(x) son polinomios y el grado de q(x) es1 o mayor.

Observa que la gráfica de y � �1x�, que se muestra aquí, es una hipérbola

rotada 45° con los vértices (1, 1) y (�1, �1). Los ejes x y y son las asíntotas.La función no tiene valor en x � 0 porque �

10� es indefinido. A medida que los

valores x se acercan a cero, desde la izquierda, los valores y se vuelven cada vez más negativos. A medida que los valores x se aproximan a cero, desde la derecha, los valores y se vuelven cada vez más positivos. A medida que los valores x se acercan a los valores extremos, tanto en la izquierda como enla derecha, la gráfica se aproxima al eje horizontal. Las características de la gráfica de y � �

1x� se describen con más detalle en la página 538 de tu libro.

Las funciones como y � �1x� � 4, y � �x �

11�, y y � 2��

1x�� son funciones racionales

transformadas. Usa tu calculadora para experimentar con diferentestransformaciones de y � �

1x�.

El Ejemplo A en tu libro muestra cómo una función racional puede reescribirsede modo que quede claro cómo se relaciona con la función madre, y � �

1x�. Lee ese

ejemplo, y después intenta resolver el problema en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO Describe la función y � �3x

x��

13

1� como una transformación de la función madre,

y � �1x�. Después dibuja la gráfica.

� Solución Debido a que el denominador es (x � 3), intenta obtener la expresión (x � 3)también en el numerador.

y � �3x

x��

13

1� Ecuación original.

y � �3(x

x�

�3)

3� 2

� Reescribe el numerador de modo que incluya (x � 3).

y � �3(

xx��

33)

� � �x �2

3�Separa la expresión en dosfracciones con el mismodenominador.

y � 3 � �x �2

3� Reescribe �3(

xx��

33)

� como 3.

La función madre ha sido estirada verticalmentepor un factor de 2, y después trasladada haciala izquierda 3 unidades y hacia arriba otras 3 unidades. Las asíntotas han sido trasladadastambién. La asíntota vertical ha sido trasladadahacia la izquierda 3 unidades a x � �3, y laasíntota horizontal ha sido trasladada haciaarriba 3 unidades a y � 3.

x

y

7

–7

–7 7

x

y

–5 5

–5

5



(continúa)


Supón que tienes la gráfica de una función racional transformada y que debesencontrar su ecuación. Puedes identificar las traslaciones si miras la ubicaciónde las asíntotas: Una asíntota horizontal de y � k indica una traslación vertical de k unidades, y una asíntota vertical de x � h indica una traslación horizontalde h unidades.

Para identificar los factores de estiramiento, escoge un punto, como un vértice,cuyas coordenadas conocerías después de la traslación. Después encuentra unpunto en la gráfica estirada que tenga la misma coordenada x. La razón entre lasdistancias verticales desde las asíntotas a estos dos puntos es el factor de escalavertical. A continuación se ofrece un ejemplo. Encontrarás otro ejemplo en lapágina 539 de tu libro.

El problema en el Ejemplo B en tu libro usa expresiones racionales paramodelar una situación que implica una solución ácida. Trabaja el ejemplometiculosamente.

x

y

7

–7

–7 7

2_____x � 3y � 3 �

Una función racional no estirada con estas translaciones tendría vértices (�4, 2) y (�2, 4), 1 unidad horizontal y 1 undiad vertical del centro. Como la distancia ahora es 2 unidades verticales del centro, incluye un estiramiento vertical de 2 para obtener la ecuación

Lección 9.6 • Introducción a las funciones racionales (continuación)



Gráficas de funciones racionales

En esta lección

● Predecirás huecos y asíntotas en la gráfica de una función racional, basadaen su ecuación

● Escribirás unas ecuaciones para las gráficas de funciones racionales

● Convertirás unas funciones racionales de una forma a otra

Las gráficas de funciones racionales tienen una variedad de formas. En laintroducción a la lección en tu libro, se muestran algunos ejemplos. Observaque las gráficas tienen asíntotas o huecos en valores donde las funciones sonindefinidas. En esta lección, verás cómo puedes predecir asíntotas, huecos, y otrascaracterísticas de una gráfica basada en su ecuación.

Investigación: Predicción de asíntotas y huecosCompleta el Paso 1 en tu libro, y después compara tus resultados con lossiguientes.

a. B. La gráfica tiene una asíntota vertical en x � 2, que es el valor quehace que el denominador sea 0. A medida que x se acerca a 2 desdela izquierda, los valores y se vuelven números negativos cada vez másgrandes. A medida que x se acerca a 2 desde la derecha, los valores y sevuelven números positivos cada vez más grandes.

b. D. La gráfica tiene un hueco en x � 2, que es el valor que hace que tantoel numerador como el denominador sean 0. Para cualquier valor x, excepto2, la función se reduce a y � 1, lo que hace que la gráfica se parece a la dey � 1 en todos los puntos menos ése.

c. A. La gráfica tiene una asíntota vertical en x � 2, que es el valor que haceque el denominador sea 0. A medida que x se acerca a 2 desde cualquierlado, los valores y se vuelven números positivos cada vez más grandes.

d. C. La gráfica tiene un hueco en x � 2, que es el valor que hace que tantoel numerador como el denominador sea 0. Para cualquier valor x, excepto2, la función se reduce a y � x � 2, lo que hace que la gráfica se parece ala de y � x � 2 en todos los puntos menos es ése.

Ahora, usa lo que aprendiste en el Paso 1 para completar los Pasos 2 y 3. Despuéscompara tus resultados con los siguientes.

Paso 2

a. y � �x �1

1�. Ésta es la gráfica de y � �1x� trasladada 1 unidad hacia la izquierda

(de modo que la asíntota vertical de y � �1x�, a saber, el eje y, ha sido

trasladada 1 unidad hacia la izquierda, a x � �1).

b. y � �2(

xx��

11)

�. La función es indefinida en x � �1, pero se reduce a y � 2para todos los demás valores x. Por tanto, la gráfica se parece a la gráficade y � 2, con un hueco en x � �1.

c. y � �(x �

11)2�. La función es indefinida en x � �1. A medida que los valores

x se acercan a �1 desde cualquier dirección, (x � 1)2 se vuelve un númeropositivo cada vez más pequeño, de modo que �(x �

11)2� se vuelve un número

positivo cada vez más grande. Entonces, x � �1 es una asíntota.

L E C C I Ó N

9.7CONDENSADA


(continúa)


Lección 9.7 • Gráficas de funciones racionales (continuación)

d. y � �(x

x��

11)2

�. La función es indefinida en x � �1, pero se reduce ay � x � 1 para los demás valores x. Por tanto, la gráfica se parece ala gráfica de y � x � 1, con un hueco en x � �1.

Paso 3 Las asíntotas verticales se presentan en ceros que aparecen solamenteen el denominador, o en ceros que aparecen más en el denominador que en elnumerador. Si se presenta una asíntota en x � a, entonces la ecuación tendrá(x � a) como un factor de su denominador. Los huecos se presentan en losvalores que convierten en 0 tanto el numerador como el denominador, acondición que no haya asíntota vertical en esos valores. Para escribir unaecuación de una gráfica con un hueco en x � a, imagina que la gráfica notiene huecos y escribe su ecuación. Después multiplica el resultado por �xx

��

aa�.

Paso 4 La gráfica tiene una asíntota vertical x � 2. Cuando se presenta un factortanto en el numerador como el denominador, pero se presenta más veces en eldenominador, esto indica que hay una asíntota vertical en lugar de un hueco.

Piensa bien sobre cómo se vería la gráfica de y � x � �1x�. Después lee el Ejemplo A

en tu libro. En el Ejemplo B se muestra cómo la factorización del numerador ydel denominador de una función racional puede ayudarte a determinar lascaracterísticas de su gráfica. Lee dicho ejemplo, y después lee el ejemplo siguiente.

EJEMPLO Describe las características de la gráfica de y � �xx2

2

��

5xx��

66

�.

� Solución Si se factorizan el numerador y el denomimador, se obtiene y � �((xx

��

22

))((xx

��

33

))

�.Existe un hueco en x � 3 porque es un cero que ocurre con la mismafrecuencia tanto en el numerador como en el denominador.

Si x � 2, el denominador (pero no el numerador) es 0, entonces existe unaasíntota vertical en x � 2. Si x � �2, el numerador (pero no el denominador)es 0, entonces existe una intersección x en x � �2. Si x � 0, entonces y � �1.Ésta es la intersección y.

Para encontrar las asíntotas horizontales, considera lo que sucede a los valores ycuando los valores x se alejan de 0.

En la tabla se muestra que los valores y se acercancada vez más a 1 a medida que x se aleja de 0. Así quey � 1 es una asíntota horizontal.

La gráfica de la función confirma estas características.

El Ejemplo C en tu libro muestra cómo convertir una función de una formaque muestra las transformacones de y � �

1x� a una forma de función racional.

Lee este ejemplo atentamente.

y

x6–4

6

–4

x �10000 �1000 �100 100 1000 10000

y 0.99960 0.99601 0.96078 1.04082 1.00401 1.00040




Operaciones con expresionesracionales

En esta lección

● Harás operaciones con expresiones racionales

Hacer operaciones con expresiones racionales es muy parecido a haceroperaciones con fracciones de números enteros. Por ejemplo, para sumar o restardos expresiones racionales, primero debes reescribir las expresiones de modo quetengan un denominador común. Para repasar la suma de fracciones, lee el textoen la página 551 de tu libro. Lee el Ejemplo A y después suma las expresionesracionales en el ejemplo siguiente. Después de que hayas encontrado la suma,compara tu trabajo con la solución.

EJEMPLO A Suma las expresiones racionales para reescribir el lado derecho de la ecuacióncomo una sola expresión racional en forma factorizada.

y � �(x � 4)

7(x � 3)��

2xx��

35

�

� Solución El mínimo denominador común es (x � 4)(x � 3).

y � �(x � 4)

7(x � 3)��

2xx��

35

� Ecuación original.

y � �(x � 4)

7(x � 3)��

2xx��

35

� � �((xx

��

44

))�

Multiplica la segunda fracción por para obtenerun denominador común.

y � �(x � 4)

7(x � 3)��

(2xx2

��

3)3(xx

��

240)

� Multiplica el numerador de la segunda fracción.

y � �(2xx2

��

3)3(xx

��

143)

� Suma los numeradores.

El numerador no se puede factorizar.

Para restar las expresiones racionales, también debes encontrar un denominadorcomún. Esto se muestra en el Ejemplo B en tu libro. En dicho ejemplo tambiénse muestra que cuando expresas una función racional como una sola expresiónracional en forma factorizada, puedes identificar las intersecciones x, las asíntotas,y los huecos.

El texto entre los Ejemplos B y C en tu libro repasa cómo multiplicar y dividir lasfracciones. Lee ese texto si es necesario. Se utiliza el mismo procedimiento paramultiplicar y dividir las expresiones racionales. Cuando multiplicas o divides lasexpresiones racionales, primero factoriza todas las expresiones. Esto facilitará lareducción de los factores comunes y la identificación de las características de lagráfica. Lee el Ejemplo C y el texto que le sigue. Después encuentra el productoen el ejemplo siguiente. Después de que hayas encontrado el producto, comparalos resultados con la solución.

x � 4�x � 4

L E C C I Ó N

9.8CONDENSADA


(continúa)


Lección 9.8 • Operaciones con expresiones racionales (continuación)

EJEMPLO B Multiplica �xx

2

2��

75

xx

��

66

� � �2x

x

2

��

12x

�.

� Solución �((xx

��

66

))((xx

��

11

))

� � �2

(xx(x

��

11)

)� Factoriza todas las expresiones que puedas.

Combina las dos expresiones.

Reduce los factores comunes.

2x Reescribe.

Observa que las gráficas de y � �((xx

��

66

))((xx

��

11

))

� � �2x

(x(x

��

1)1)

� y de y � 2x se verán

iguales, excepto en que la gráfica de y � �((xx

��

66

))((xx

��

11

))

� � �2x

(x(x

��

1)1)

� tendrá huecos

en x � �6, x � 1, y x � �1.

Lee el Ejemplo D en tu libro, y después encuentra el cociente del ejemplo siguiente.

EJEMPLO C Divide .

� Solución �x2 �

x �8x

2� 9

� � �xx

2

2��

72xx��

138

� Invierte la fracción en el denominador y multiplica.

�(x �

(x9�)(x

2�)

1)� � �

((xx

��

93

))((xx

��

21

))

� Factoriza todas las expresiones.

Multiplica.

�(x �

(x9�)(x

3�)

9)� Reduce todos los factores comunes.

Puedes verificar tu respuesta, comparando las gráficas de

y � y y � �(x �

(x9�)(x

3�)

9)�

Las gráficas deben ser idénticas, excepto los huecos.

�x2 �

x �8x

2� 9

��xx2

2

��

72xx��

138

�

(x � 9)(x � 1)(x � 9)(x � 2)��

(x � 2)(x � 3)(x � 1)

�x2 �

x �8x

2� 9

��xx2

2

��

72xx��

138

�

(x � 6)(x � 1)2x(x � 1)��(x � 6)(x � 1)(x � 1)

(x � 6)(x � 1)2x(x � 1)��

(x � 6)(x � 1)(x � 1)




Investigación: Carrera de baldes - Prek...

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