Investigación en Educación Matemática

XIX

 

Investigación en Educación Matemática

XIX

Ceneida Fernández, Marta Molina y Núria Planas (eds.)

Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática

Alicante, 3, 4 y 5 de septiembre de 2015

Investigación en Educación Matemática XIX

Edición científica

Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM)

Ceneida Fernández Verdú

Marta Molina González

Núria Planas Raig

Comité científico Dra. Marta Molina González (coordinadora)

Dra. Núria Planas Raig (coordinadora)

Dra. Ainhoa Berciano Alcaraz

Dra. María Luz Callejo de la Vega

Dra. Teresa Fernández Blanco

Dr. José Carrillo Yáñez

Dra. Leonor Santos

© de los textos: los autores

© de la edición: Universidad de Alicante

Cítese como:

C. Fernández, M . Molina y N. Planas (eds.), 2015. Investigación en Educación

Matemática XIX. Alicante: SEIEM.

Las comunicaciones aquí publicadas han sido sometidas a evaluación y selección

por parte de investigadores miembros de la Sociedad Española de Investigación en

Educación Matemática (SEIEM).

Diseño de la portada: Gabinete de Imagen y Comunicación Gráfica de la Universidad

de Alicante. Servicio editorial: Universidad de Alicante

ISBN: 978-84-9717-385-8

ISSN: 1888-0762

Depósito legal: A 602-2015

Castro, A., Gorgorió, N. y Prat, M. (2015). Conocimiento Matemático Fundamental en el Grado de Educación Primaria:

Sistema de numeración decimal y valor posicional. En C. Fernández, M. Molina y N. Planas (eds.), Investigación en

Educación Matemática XIX (pp. 221-228). Alicante: SEIEM.

CONOCIMIENTO MATEMÁTICO FUNDAMENTAL EN EL

GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA: SISTEMA DE

NUMERACIÓN DECIMAL Y VALOR POSICIONALi

Basic mathematical knowledge in a university degree on Primary Education:

decimal numbering system and place value

Castro, Á., Gorgorió, N. y Prat, M.

Universitat Autònoma de Barcelona

Resumen

Presentamos un estudio con futuros maestros sobre su conocimiento conceptual del sistema de

numeración decimal (SND) y valor posicional (VP). En primer lugar, establecemos el conocimiento

conceptual del SND y de la noción de VP como Conocimiento Matemático Fundamental (CMF)

para iniciar la didáctica de la adición y la substracción. A continuación, presentamos parte de un

instrumento para evaluar la comprensión conceptual del SND y del VP en base a dos dimensiones:

el conocimiento de los principios generales y el conocimiento subyacente a los procedimientos. Al

aplicarlo a 135 estudiantes del Grado de Educación Primaria observamos que, en su mayoría,

ponen de manifiesto una comprensión fragmentada, incompleta y mecánica del SND y del VP.

Palabras clave: Conocimiento matemático fundamental, formación de maestros, conocimiento

conceptual, sistema de numeración decimal y valor posicional

Abstract

We present a study of future teachers’ conceptual knowledge of the decimal numbering system

(DNS) and place value (PV). First, we establish the conceptual knowledge of the DNS and place

value as Basic Mathematical Knowledge (BMK) to start the study of teaching and learning of

addition and subtraction. Next, we introduce part of a research tool that we have designed to assess

the conceptual understanding of the DNS and PV based on two dimensions: namely knowledge of

general principles, and knowledge of principles underlying the procedures. When applying the

assessment tool to 135 students in a university degree on Primary Education we observe that most

of them show a fragmented, incomplete and mechanical understanding of the DNS and PV.

Keywords: Basic mathematical knowledge, teacher education, conceptual knowledge, decimal

numbering system, and place value

INTRODUCCIÓN

Los estudiantes del Grado de Educación Primaria (GEP) necesitan, al iniciar su formación, ciertos

conocimientos matemáticos que incluyen elementos conceptuales y procedimentales. Así, en Castro

et al. (2014), tras revisar las diferentes teorías del conocimiento del profesor en relación a la

enseñanza de las matemáticas, se establece el concepto de Conocimiento Matemático Fundamental

(CMF). Entendiendo el CMF como el conocimiento disciplinar básico en matemáticas, necesario

para que el estudiante para maestro pueda construir con éxito el conocimiento pedagógico del

contenido. Éste incluye el conocimiento de los conceptos, procedimientos y procesos de resolución

de problemas que los alumnos del GEP han aprendido durante su etapa de escolarización y que

necesitan al iniciar su formación.

222 Castro, Á., Gorgorió, N. y Prat, M.

La aritmética es una componente básica de las matemáticas en la escuela primaria, por lo que

también debiera serlo en la formación matemática de los futuros maestros. Queremos determinar el

CMF, en su aspecto conceptual, relativo a la adición y la substracción para establecer hasta qué

punto los estudiantes del GEP poseen dicho conocimiento al iniciar su didáctica.

Los datos presentados son la primera parte de un estudio en desarrollo para definir perfiles de

conocimiento conceptual aditivo en los alumnos del GEP. En esta comunicación: (i) Establecemos

el conocimiento conceptual del SND y de la noción de VP como CMF para iniciar la didáctica de la

adición y la substracción. (ii) Analizamos cualitativamente las respuestas de 135 alumnos del GEP a

2 de las 4 preguntas que evalúan este conocimiento, sin entrar a explicar los elementos que pueden

influir en dicho conocimiento conceptual.

Como Crooks y Alibali (2014), entendemos el conocimiento conceptual cómo: a) conocimiento de

los principios generales, que observamos a través la evaluación de tareas en las que se pide

reconocer ejemplos, definiciones o afirmaciones de principios; y b) conocimiento subyacente a los

procedimientos, que observamos a partir de la aplicación y justificación de tareas de procedimiento.

CONOCIMIENTO CONCEPTUAL EN MATEMÁTICAS

Investigaciones en el área destacan la importancia del conocimiento conceptual para el aprendizaje

de las matemáticas pero no parece haber un consenso ni en su definición ni en la mejor manera de

cuantificarlo (Star, 2005; Baroody, Feil y Johnson, 2007; Crooks y Alibali, 2014). Diferentes

caracterizaciones del término sugieren que es equiparable a un conocimiento profundo, flexible y

asociado a conocimiento significativo. En esta línea, una de las más reconocidas y utilizadas es la

de Hiebert y Lefevre (1986); quienes lo describen como una rica red de relaciones entre piezas de

información que permiten flexibilidad en el acceso y uso de la información –saber qué o porqué.

Este conocimiento es flexible, no está vinculado a problemas específicos y es generalizable, siendo

o no verbalizable. Visión recogida e interpretada a través de los años por autores como Carpenter

(1986), Rittle-Johnson y Alibali (1999) o Rittle- Johnson, Siegler y Alibali (2001).

De las diferentes caracterizaciones del conocimiento conceptual recogemos la propuesta de Crooks

y Alibali (2014) que lo organizan en: (i) conocimiento de los principios generales, incluyendo

reglas, definiciones, conexiones y aspectos de la estructura del dominio; y (ii) conocimiento de los

principios subyacentes a los procedimientos, cómo saber porqué ciertos procedimientos funcionan

para determinados problemas, cuál es el propósito de cada paso, sus conexiones y sus fundamentos

conceptuales. A pesar que no está claro de qué forma se puede medir el conocimiento conceptual

independientemente del conocimiento procedimental con un grado suficiente de validez, se usan

diferentes tipos de tareas para evaluarlo, que incluyen tanto indicadores de conocimiento conceptual

explícito como implícito.

Partimos de Crooks y Alibali (2014) para evaluar el conocimiento conceptual, tomando como

indicadores cuatro tipos de tareas. Para la evaluación del conocimiento de los principios generales

consideramos: (1) las tareas de explicación de concepto (definiciones, explicaciones de los

elementos de la estructura de un dominio y normas o reglas); y (2) la evaluación de las tareas de

ejemplo (ejemplos, definiciones o afirmaciones de principios). Para evaluar el conocimiento de los

principios subyacentes a los procedimientos, consideramos: (3) la aplicación y justificación de

tareas de procedimiento; y (4) la evaluación de tareas de procedimiento, evaluándolas como

correctas o incorrectas y juzgando si son apropiados en ciertas situaciones.

CMF CONCEPTUAL DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Y DEL VALOR

POSICIONAL

La numeración y el cálculo son componentes esenciales para el desarrollo del conocimiento

matemático. Desde la perspectiva de la matemática escolar, se destaca la importancia del desarrollo

del sentido numérico en los niños, señalando el papel clave que desempeñan los maestros en su

CMF en el Grado de Educación Primaria: sistema de numeración decimal y valor posicional 223

desarrollo (Yang, 2007; NTCM, 2000). Un sólido desarrollo del sentido numérico, involucra entre

otros componentes, el conocimiento profundo del SND y del VP (Castañeda, 2000; Godino, Font,

Konic y Wilhelmi, 2009; NTCM, 2000; Yang, 2007). Entre otros aspectos, estos conceptos son la

base para la comprensión de las operaciones fundamentales con números, fracciones y decimales

(Nataraj y Thomas, 2009). No obstante, la comprensión del SND y del VP suele representar una

gran dificultad, tanto para los estudiantes de primaria, como para los futuros maestros.

Coincidimos con Salinas (2007) que al impartir las asignaturas de matemáticas y su didáctica, uno

de los temas en los se detectan más errores conceptuales son los relacionados con el SND y el VP.

Estudios que han abordado esta problemática en el contexto de la formación de maestros (McClain,

2003; Salinas, 2007; Ortiz, González y Gallardo, 2013; Montes et al., 2015), señalan que éstos

inician su formación con un dominio técnico limitado en la comprensión de estos conceptos. Desde

la perspectiva del CMF, el conocimiento disciplinar de partida permitirá construir con éxito el

conocimiento pedagógico del contenido. Los futuros maestros deben propiciar espacios de

aprendizaje para desarrollar la comprensión de estos conceptos fundamentales en los niños. Estarán

difícilmente en condiciones de hacerlo si no cuentan con un conocimiento matemático sólido.

Ante esta situación, considerando algunas de las investigaciones realizadas en el área, tanto las ya

mencionadas en el contexto de formación maestros como las desarrolladas con niños (Bedoya y

Orozco, 1991; Nunes y Bryant, 2003; Nataraj y Thomas, 2009) y en relación a los libros de texto

(Ruesga y Guimaraes, 2011; 2012), establecemos algunos aspectos de índole conceptual que

consideramos fundamentales para una correcta compresión del SND y del VP.

Entre los aspectos de carácter conceptual relacionados con los principios generales consideramos:

la estructura recursiva multiplicativa en base 10 del SND.

la escritura basada 10 dígitos.

el significado del valor relativo y del VP de cada dígito.

Consideramos el conocimiento conceptual de los principios que subyacen a procedimientos como:

Representar cantidades y números.

Leer y escribir un número en letras y cifras.

Comparar y ordenar números.

Identificar el valor de los dígitos de un número.

Contar hacia delante y hacia atrás, de 2 en 2, de 10 en 10, de 100 en 100…

Redondear números.

Componer, descomponer, combinar, transformar cantidades estructuradas.

Reconocer y completar particiones y reagrupar números.

Aplicar el conocimiento de VP para realizar cálculos.

EL ESTUDIO

Se trata de un estudio cualitativo de carácter interpretativo desarrollado con 135 estudiantes del

GEP cuyo objetivo es determinar el CMF en su aspecto conceptual, que poseen los alumnos al

iniciar la didáctica de la adición y la substracción. En particular, esta comunicación se centra en el

CMF relativo al SND y al VP.

224 Castro, Á., Gorgorió, N. y Prat, M.

Instrumento

Elaboramos dos cuestionarios, que evalúan los cuatro componentes del CMF aditivo. El primero

incluye los bloques temáticos del SND y VP, y el bloque de los significados de la adición y la

sustracción. Para cada bloque se elaboran cuatro tipos de preguntas considerando: (i) el contenido a

evaluar; (ii) el tipo de conocimiento conceptual que involucra; y (iii) los indicadores de

conocimiento conceptual. Un grupo de expertos validaron los bloques de preguntas de los

cuestionarios, que fueron distribuidas estratégicamente, antes de fijar su versión final. Cada

cuestionario contenía preguntas de bloques que se complementaban entre sí, a fin de triangular las

respuestas de los alumnos, para descartar una incorrecta interpretación del enunciado.

Los cuestionarios fueron distribuidos en dos sesiones distintas, con un tiempo de 1 hora para

responder cada una de ellas Las preguntas se respondían individualmente, sin calculadora, y

efectuando todos los cálculos en el propio cuestionario.

Tabla 1. Preguntas para evaluar el CMF en su aspecto conceptual del SND y valor posicional

Pregunta Contenido a evaluar Conocimiento

Conceptual e

indicadores

1) Completa y explica por qué.

Forma 1:

a) 5 centenas son unidades =

miles.

b) 7 miles son decenas = unidades.

Forma 2:

a) 50 centenas son unidades= miles.

b) 70 miles son decenas = unidades.

Compresión de la estructura recursiva multiplicativa de la base 10 del SND

Principios que subyacen a los

procedimientos

Aplicación y

justificación de

las tareas de

procedimiento

2) Escribe la decena más próxima de los siguientes

números y explica porqué lo es:

a) 43

b) 36

c) 68

d) 65

Redondeo de números para la parte

del valor más cercano.

Contar hacia delante y hacia atrás en

las partes del VP.

Valor relativo y de posición.

Leer y escribir un número en letras y

cifras. 3) ¿Cuántas centenas hay en el número 130.025?

¿Cómo se escribe en palabras el número 130.025? 4) ¿Cuál (es) de las siguientes descomposiciones

corresponde (n) al número 342? Enciérrala (s) en

un círculo. a) 3C + 4D + 2U

b) 30D + 42U

c) 2C + 14D + 2U

d) 1C + 2D + 42U

e) 34D + 2U

Comparar cantidades estructuradas.

Reconocimiento y uso de representaciones equivalentes del

mismo número.

Componer, descomponer, combinar y

transformar cantidades estructuradas.

Principios

generales

Evaluación de

tareas de ejemplo

ANALISIS Y RESULTADOS

Para el análisis de datos se organizaron las respuestas de los 135 alumnos en una hoja de cálculo–Excel considerando tanto el contenido a evaluar, el tipo de conocimiento conceptual y sus

indicadores. Para describir el conocimiento sobre cada uno de los aspectos evaluados, organizamos

las respuestas en 3 categorías dependiendo de la dificultad de la pregunta.

De manera general, observamos que el 64,8 % de los alumnos posee un conocimiento incompleto, y

en gran medida insuficiente o inexistente (47,4 %) del SND y del VP. Presentamos el análisis y los

resultados de 2 de las 4 preguntas de la Tabla 1 (preguntas 1 y 4), pues son las que poseen un

mayor número de los componentes fundamentales a observar.

CMF en el Grado de Educación Primaria: sistema de numeración decimal y valor posicional 225

Análisis y resultados de la Pregunta 1: “Completar transformaciones y explicar por qué”

Esta pregunta evalúa la compresión de la estructura del SND a través del conocimiento de los

principios que subyacen a los procedimientos. Se utiliza como indicador de conocimiento

conceptual la aplicación y justificación de tareas de procedimiento (Tabla 1), preguntando por 8

tipos de transformaciones entre unidades del SND, distribuidas de dos formas en el cuestionario. La

primera de ellas, administrada a 60 alumnos, incluye transformaciones exclusivamente con números

naturales y decimales (5C son unidades = miles); la segunda administrada a 75 alumnos sólo

incluye transformaciones con números naturales (50C son unidades= miles).

Organizamos las respuestas de los alumnos según el número de transformaciones que realizan

correctamente, tal como se muestra en la Tabla 2. Establecemos cuatro categorías: sin conocimiento

(SC) cuando no contestan o no realizan ninguna transformación correcta; insuficiente (IS) cuando

realizan 1 o 2 transformaciones; incompleto (IC) cuando realizan 3; y adecuado (AD) cuando hacen

4. Para contrastar las categorías establecidas en base a las respuestas correctas, analizamos los

argumentos de los alumnos para justificar sus procedimientos, organizándolos en torno a 4

categorías: (1) no argumenta; (2) evidencia incomprensión (“No sabemos cuántas unidades y miles

hay"); (3) su argumento se limita a añadir o quitar ceros (“Debes correr la coma o poner ceros”); y

(4) establece relaciones de equivalencia (“1 mil son 1000 unidades y 100 centenas”.)

Tabla 2.Transformaciones correctas en la pregunta 1 y tipos de argumento

Tipo

cuestionario

Número

transf.

correctas

Tipo de argumento

Nivel Global

Nivel por

tipo de

cuestionario

No argumenta

Evidencia incomprensión

Se limita a añadir o

quitar ceros

Establece relaciones

equivalencia

Nº

AL. % Nº AL. %

Nº

AL. %

Nº

AL. %

Nº

AL. % %

Sólo

números

naturales

N/C 9 6,7 2 1,5 * * * * SC 19 14,1 25,3

0 3 2,2 5 3,7 * * * *

1 3 2,2 * * 1 0,7 * * IS 6 4,4 8

2 * * * * 1 0,7 1 0,7

3 3 2,2 * * 4 3 5 3,7 IC 12 8,9 16

4 4 3 * * 4 3 30 22,2 AD 38 28,2 50,7

Números

naturales y

decimales

N/C 4 3 2 1,5 * * * * SC 11 8,2 18,3

0 1 0,7 2 1,5 2 1,5 * *

1 4 3 2 1,5 1 0,7 * * IS 13 9,6 21,7

2 4 3 * * 2 1,5 * *

3 5 3,7 4 3 4 3 2 1,5 IC 15 11,1 25

4 6 4,4 * * 6 4,4 9 6,7 AD 21 15,5 35

Totales 46 34,1 17 12,6 25 18,5 47 34,8 135 100

Dependiendo si las preguntas involucran sólo números naturales, o naturales y decimales, vemos

que se obtiene un mayor número de respuestas adecuadas cuando se trabaja sólo con naturales

(50,7%) que cuando se incluyen decimales (35%).

Considerando las respuestas de los alumnos globalmente, tanto si aparecen naturales como

decimales, tenemos:

El 22,3% no demuestra conocimiento de este principio (SC). 17 no contestan. Los 13 que no

realizan correctamente ninguna transformación parecen no ser capaces de transformar

cantidades estructuradas utilizando diferentes unidades del sistema y confunden el valor

relativo con el VP. Sus argumentos evidencian esta falta de compresión al señalar, por

ejemplo: “No sabemos cuántas unidades y miles hay, y no sabemos cuántas decenas y miles

226 Castro, Á., Gorgorió, N. y Prat, M.

hay”; o reflejan la idea de un procedimiento mecánico carente de significado para ellos: “Se

suman o se restan 0 dependiendo si van a la derecha o la izquierda”.

El 14% muestra un conocimiento incompleto o fragmentado. Los 19 alumnos que realizan

correctamente 1 o 2 transformaciones, demuestran un conocimiento insuficiente (IS), ya sea

manifestando una falta de compresión al aceptar como válida cualquier solución (7M =

0.007U; 7M = 7U; 7M = 700000U); evidenciando una concepción errónea “No hay

unidades ni decenas ni centenas”; o, una mala ejecución de un proceso mecanizado sin

comprensión “Debes correr la coma tantos lugares como colocan en = ”.

El 20% muestra un conocimiento incompleto (IC). Logran establecer 3 transformaciones,

pero evidencian dificultades cuando éstas se establecen en términos de unidades mayores

que la unidad dada (50C = 0.5M; 5C = 50M; 5C = 0.05M). Este conocimiento fragmentado

se asocia a un proceso mecánico de trasladar comas a la derecha o a la izquierda:

“Colocamos 5 centenas en el C y luego tenemos que ir añadiendo 0 hasta llegar a la unidad

que piden"; o al establecimiento de relaciones erróneas de equivalencia entre unidades del

sistema: "Mil son 1000 unidades, por tanto es un cero menos en las decenas".

43.7% parece demostrar una comprensión adecuada (AD), respondiendo correctamente las 4

transformaciones. Sin embargo, al observar sus argumentos vemos que 10 de ellos no

argumentan y sólo 39 (30 de los cuales operaron sólo con números naturales) parecen tener

una comprensión real al establecer relaciones de equivalencia entre las diferentes unidades

del sistema: “1 centena son 100 unidades y 0.1 milésimas, y 1000 son 100 decenas y 1000

unidades". Los 10 alumnos restantes parecen seguir con éxito un procedimiento mecánico:

"Divides por 10 cuando bajas o multiplicas por 10 si subes".

Análisis y resultados de la Pregunta 4: “Descomposiciones del 342”

Esta pregunta estudia el reconocimiento y uso de representaciones equivalentes de un mismo

número y la composición y descomposición de números mediante la evaluación del conocimiento

de los principios generales. Como indicador de conocimiento conceptual, se evalúan tareas de

ejemplo. Todos los alumnos analizan 5 opciones (ver Tabla 1), determinando cuál o cuáles de ellas

corresponden a descomposiciones del número 342.

Las respuestas de los alumnos se organizan en 4 categorías, según el número de descomposiciones

que identifican. Sin conocimiento (SC) cuando no contestan; insuficiente (IS) cuando identifican 1

o 2 descomposiciones; incompleto (IC) cuando identifican 3; y adecuado (AD) cuando identifican

4. Sólo 36 alumnos (26,7%) reconocen todas las descomposiciones; 20 (14,8%) identifican 3 de las

4; 74 alumnos (54,8 %) reconocen 1 o 2; y 5 alumnos (3,7%) no contestan. En concreto:

Ninguno de los alumnos que identifica alguna descomposición considera la alternativa

incorrecta como válida, 1C+2D+42U.

59 de los 60 que reconocen 1 descomposición eligen la más tradicional 3C + 4D + 2U. Éstos

decodifican los números del VP en su estricto orden, rechazando la idea de codificar

centenas, decenas y unidades partiendo de valores que no se correspondan con el dígito que

está en el VP.

Los 14 que reconocen 2 descomposiciones, identifican 3C + 4D + 2U, pero no reconocen

2C + 14D + 2U como válida. Sin embargo, aceptan como válidas las opciones que no

expresan el numeral en términos de centenas, decenas y unidades, eligiendo 30D + 42U ó

34D + 2U como segunda opción. Esto explicaría por qué no eligen la opción incorrecta al

estar expresada en los mismos términos. Interpretamos la elección de los alumnos debida a

que las opciones 30D + 42U y 34D + 2U son visualmente similares a la opción 3C + 4D +

2U, mientras que 2C + 14D + 2U y 1C+2D+42U, al ser descomposiciones más complejas,

CMF en el Grado de Educación Primaria: sistema de numeración decimal y valor posicional 227

tienen números distintos. Otra interpretación sería que los que eligen 34D + 2U serían

capaces de decodificar correctamente el número de decenas, pero sólo entenderían la unidad

en términos de su VP (ven 2 como unidad, pero no 42 como unidad). Los que escogen 30D

+ 42U, no parecen asociar 34D con 340 unidades, por lo que no la consideran como opción.

Los 20 que reconocen 3 descomposiciones identifican 3C + 4D + 2U, pero sus siguientes

elecciones parecen variar en función de si interpretan los números del VP en su estricto

orden. Esto los lleva a elegir como segunda y tercera opción 30D + 42U y 34D + 2U (17

alumnos). Mientras que los 3 que escogen 2C + 14D + 2U y 34D + 2U parece que no

necesitan seguir el orden estricto para decodificar un número. No obstante su conocimiento

no parece completo, reconocen 2 como unidad, pero no el número 42 como 42 unidades.

CONCLUSIONES

Los resultados del estudio coinciden con estudios similares sobre la observación de la práctica en la

formación de maestros. Nuestros hallazgos sugieren que, tal como señalan Salinas (2007) y Montes

et al. (2015), los futuros maestros presentan deficiencias en relación al SND y VP. No poseen una

comprensión sólida de estos conceptos, presentando lagunas de conocimiento y errores

conceptuales en estos contenidos que muchas veces se presumen sabidos al inicio de su formación.

Esta comprensión fragmentada, incompleta o mecánica del SND y del VP, queda reflejada en los

argumentos que utilizan al justificar sus procedimientos en los cambios de unidades. También se

observa en las diferentes soluciones que aceptan como válidas para estas transformaciones, así

como para las representaciones equivalentes de un mismo número. Probablemente se deba a que

tradicionalmente el concepto de VP se enseña sólo a partir de la base 10, en vez de ser introducido,

como proponen Nataraj y Thomas (2009), como un caso particular de un concepto más general de

la notación posicional. Por otra parte, observamos una diferencia importante en las respuestas según

se deba operar sólo con números naturales o si aparecen también números racionales. Posiblemente

esto es debido a que una comprensión deficiente o incompleta del SND repercute en la comprensión

de los números racionales. Esto sugiere que para estudios similares al desarrollado sea interesante

incluir tanto números naturales como números racionales, ya que trabajar sólo con números

naturales podría disfrazar una comprensión incompleta.

El análisis realizado obliga a reconocer la dificultad que encierra para los futuros maestros el

manejo del SND y de la idea de VP. Las “recetas” que en muchos casos encontramos en las aulas

de Primaria aparecen en los argumentos de los futuros maestros en nuestra investigación. Esto lleva

a plantear la necesidad de profundizar en su estudio durante su formación. Desafortunadamente la

escuela parece ignorar esta complejidad y la reemplaza por un manejo mecánico del VP (Bedoya y

Orozco, 1991). La profundización en el estudio del SND y del VP podría contribuir a evitar la

transmisión de esta idea mecánica comúnmente asociada a su manejo en la escuela. Esperamos que

el instrumento elaborado ad hoc para este estudio sea útil para otros investigadores en el proceso de

identificación de los componentes del conocimiento conceptual de los futuros maestros.

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i Trabajo al amparo del proyecto Caracterización del conocimiento disciplinar en matemáticas para el grado de

educación primaria: Matemáticas para maestros (EDU2013-4683-R). Las autoras son miembros del Grupo Educació

Matemàtica i Context: Competència Matemàtica (EMiC:CoM) (2014SGR 00723).