Hi ha 14 potes en un estable.

Quins animals podria haver-hi?

Vaig instruir als alumnes, “Resoleu el problema d’una manera que us sembli lògica a vosaltres.”

No els vaig donar cap pista ni ajudes. No els he ensenyat com resoldre un problema semblant, ni

els he recordat estratègies per resoldre problemes que els podrien ser útils.

Cinc de les resolucions que aquí s’ensenyen son d’alumnes de primer grau (dues nenes i tres

nens); quatre son d’alumnes de segon grau (dues nenes i dos nens). Quan analitzant aquestes

resolucions, notareu que no n’hi ha dues iguals, però si hi ha que si semblen. De fet, de les vint-i-

cinc resolucions proposades per tots els alumnes, no n’hi ha hagut dues exactament iguals. Notis

també que tot i que aquests alumnes no van fer servir estratègies de resolucions estrictament

tradicionals, les seves pròpies s’assemblen en general a alguna ja coneguda. Possiblement

podreu reconèixer les següents: escriure una oració numèrica (en Jamie i en Patrick), dibuixar

(en Brett, la Trista, i el Tim), endevinar i verificar (la Marisa i l’Angela), utilitzar un model (la

Marisa), fer una llista organitzada (en Taylor, en Jamie i en Patrick), buscar un criteri o un motiu

(en Tim i en Patrick), i utilitzar la lògica (en Ben).

Resolucions al problema de les potes.

Mètode de la Marisa

7 chickens: 7 gallines

Marisa va agafar dues vaques de joguina i li va comptar les potes. Desprès va agafar una altre

vaca i va tornar a comptar totes les potes. Va agafar una quarta vaca i va comptar totes les

potes. Va a guardar una vaca i torna a comptar les potes de les tres vaques que li quedaven. Va

fer una pausa i va tornar les vaques al seu lloc.

A continuació va treure dues ovelles i els hi va comptar les potes. Desprès va treure una tercera

ovella i va comptar les potes. I repetint el mateix d’abans va treure la quarta ovella i comptar

totes les potes. Va separar la quarta ovella i va comptar les potes de les altres tres ovelles. Tot

seguit s’aturà un moment, va tornar a treure la quarta ovella, va tornar a comptar totes les potes i

amb un sospir va guardar totes quatre vaques. Va repetir aquest procés amb porquets i cavalls.

Finalment, va treure dues gallines i va comptar les potes. Va anar afegint gallines i comptant les

potes cada cop. Quan va arribar a tenir set gallines sobre l’escriptori va comptar les potes i va dir:

“Val, això fa catorze”.

Arribada a aquest punt, la Marisa em mira com si ja hagués resolt el problema. Li llegeixo de nou

l’enunciat. Va mirar de nou les gallines de plàstic sense dir res.

“Que vol el problema que trobis?”, li vaig demanar.

“Un animal amb catorze potes”, em va contestar.

“Quin animal vas trobar?”

“Gallines.”

“Quantes potes te una gallina?”, li vaig demanar.

Ella va respondre: “Dues.”

“Doncs, si hi ha catorze potes”, vaig continuar, “quantes gallines hi ha?”. La Marisa va pensar

un moment, desprès va contar les gallines. “Hi ha set gallines al camp”, em va dir.

En aquesta resolució, la Marisa va utilitzar moltes característiques d’un resolutor principiant de

problemes. En primer lloc, va fer servir objectes representatius per a modelar el problema. De

fet, ella potser no hagués estat capaç de resoldre el problema sense fer servir models realistes

de vaques, ovelles, porquets, cavalls i gallines. En aquest nivell del seu desenvolupament els

alumnes poden ser pensadors molt concrets. Ells poden no ser capaços de resoldre problemes

utilitzant tècniques matemàtiques tradicionals amb material manipulatiu o representacions de

paper i llapis.

En segon lloc, la Marisa no descriu voluntàriament la seva solució en paraules. D’alguna

manera va fer servir els models de plàstic per que parlessin per ella. Quan la Marisa va comptar

catorze potes en les gallines, no va sentir necessitat de contar quantes gallines hi havia, donat

que aquests objectes clarament ensenyen la seva quantitat. No va reconèixer la necessitat de

comptar-les fins que jo li vaig demanar “Quantes gallines hi ha?”. El fet de haver resolt el

problema semblava obvi per a ella, però el concepte de que havia fallat en respondre la pregunta

original era menys obvi.

Mètode d’en Ben

4 cows: 4 vaques

Fent servir la seva ma esquerra, en Ben va comptar amb els seus dits fins a quatre tocant-se el

nas amb cada dit. Al arribar a quatre es va dir a ell mateix: “Un”. Desprès va fer servir la ma dreta

per seguir contant des de quatre. Quan va arribar a tenir quatre dits aixecats a la ma dreta es va

dir a si mateix: “Dos”. Tot seguit va baixar els dits d’ambdues mans i va seguir comptant des de

vuit aixecant quatre dits de la ma esquerra, i quan ho havia fet va dir “Tres”. Va seguir comptant

des de dotze amb la ma dreta fins a tenir quatre dits aixecats. Quan va acabar va dir “Setze”, i

desprès d’una pausa “Això sòn masses”.

Va repetir el seu procés sencer dues vegades més, cada cop comptant entre catorze i setze. Al

quart intent es va aturar en catorze. En aquest moment va tenir només dos dits aixecats a la ma

dreta, cosa que el semblava confondre. Va repetir el seu procés de recompte dos cops més.

Desprès d’una llarga pausa va dir “Son quatre vaques però una d’elles esta de peu i saludant

amb els braços”. Més tard va explicar que quan una vaca es posa de peu, les dues potes

restants poden servir de “braços que poden fer servir per saludar”. I tots sabem que els braços

no son potes.

A diferencia de la Marisa, en Ben no va necessitar models realistes per a resoldre aquest

problema. En canvi, va fer servir els seus dits com material manipulatiu, donant-li un record

visual temporal de la seva resolució. Tot i que la seva resposta es inusual, és ben lògica,

reflexant l’ús creatiu del llenguatge d’un nen.

Mètode de l’Angela

7 boys: 7 nens

L’Angela va posar un grapat de escuradents sobre el seu escriptori. Va comptar i separar catorze

escuradents i va deixar la resta apilats. Desprès va separar els catorze en grups de dos, i va

comptar el grups. Quan va acabar de contar, va escriure “7 nens” al seu full.

A continuació va comptar i separar altres catorze escuradents de la pila. Va intentar agrupar-los

en grups de tres però va decidir que “un te dues cames i els altres tenen tres, doncs això no

funciona.” Va intentar posar els catorze en grups de quatre. Va rebutjar aquesta resolució dient:

“Son tres cavalls i un nen, i no son el mateix, doncs no serveix”.

Els intents d’agrupar els escuradents en grups de cinc, desprès de sis, no van arribar a una

solució acceptable. El raonament de l’Angela va ser semblant en cada cas. Amb dos grups de

cinc i un de quatre va dir: “No serveix perquè son animals diferents: hi ha cavalls que tenen

quatre potes i una estella de mar que en te cinc.” Una distribució amb dos grups de sis i un grup

de dos va inspirar el següent comentari: “Son dos cucs i un nen, però no son el mateix, aleshores

no serveix.” Arribat aquest punt, l’Angela va dibuixar un cercle al voltant de la solució que havia

escrit abans i va dir “Son set nens”.

A diferencia de la Marisa i en Ben, l’Angela va fer servir materials manipulatius tradicionals

de classe per resoldre el problema. Addicionalment, va encarar el problema amb un

plantejament d’assaig i error que va derivar en diverses respostes correctes. Però, va

fallar en rebutjar aquestes respostes acceptables perquè els animals “no eren el mateix”.

Els nens freqüentment utilitzen raons obscures per a acceptar o rebutjar una resposta o

resolució, i aquests criteris poden resultar confusos o inestables per a un adult.

Mètode d’en Brett

“ 7 birds or 3 sheep and 1 bird”: 7 ocells, o 3 ovelles i 1 ocell.

En Brett va fer servir dibuixos enlloc de material manipulatiu per ajudar-se a resoldre el

problema. Aquesta estratègia li va donar al Brett un registre permanent del seu procés de

resolució que podia ser examinat, discutit i reconsiderat. La utilització d’en Brett de dibuixos

disminueix la seva dependència a la descripció oral i pot millorar la qualitat del feedback

que rep d’altres. La seva identificació de més d’una resposta possible representa un pas

significatiu en el seu desenvolupament com resolutor de problemes.

Mètode de la Trista

Answer: 1 pig, 1 cow, 1 horse, 1 chicken. I drew 14 legs and counted 4 animals.Resposta: 1 porc, 1 vaca, 1 cavall, 1 gallina. He dibuixat 14 potes i he contat 4 animals.

La Trista va resoldre el problema amb nomes un dibuix, però molt detallat una estratègia comú

per alguns joves resolutors de problemes. Així mateix va descriure el seu procés de resolució en

una oració breu. Aquest nivell del desenvolupament d’un alumne pot resultar frustrant per al

professor donat que l’alumne pot passar-se mes temps en la tècnica del dibuix que no

amb les matemàtiques del problema.

Mètode d’en Tim

El que he fet és dibuixar els animals. He pensat què podia tenir 14

potes.

A diferència de la Trista, Tim va representar animals utilitzant figures una mica abstractes.

Va identificar moltes resolucions possibles, va reconèixer alguns patrons, i va agrupar

resolucions semblants.

Mètode d’en Taylor

I counted. I got them: He contat. Ho he trobat.

En Taylor va arribar a adonar-se que els seus dibuixos no tenien perquè assemblar-se als

objectes del problema. En la seva solució, ell va fer servir ratlles com a símbols. Com

aquest tipus de dibuix pot ésser fet rapida i eficientment, en Taylor va tenir mes temps per

pensar respecte dels aspectes matemàtics del problema. Tot i que va identificar nomes

quatre possibles resolucions, tres de quatre son matemàticament diferents.

Mètode de la Jamie

I wrote the animals = 14 and added them up. He escrit els animals =

14 i els he sumat.

La Jamie va fer servir una combinació de paraules, ratlles, i oracions numèriques per a

representar i verificar cada resolució. Va comunicar el seu procés de resolució d’una

manera molt eficient amb una llista organitzada. Com mols nens i nenes, va identificar la

solució “tres gossos i una gallina” com diferent de “tres gossos i un ànec” donat que “una gallina

no és el mateix que un ànec”.

Mètode d’en Patrick

He fet una llista i he guixat les que ja en tenia. He verificat amb una

oració numèrica que fa 14.

La resolució d’en Patrick és molt mes organitzada que la de molts dels seus companys de

classe i sembla haver estat dirigida per un pla previ. Va fer servir oracions numèriques per

a explorar moltes resolucions possibles i va reconèixer moltes que son matemàticament

equivalents.

Discutint el problema de les potes.

Abans de començar la cadira del matemàtic, li vaig donar a alguns alumnes (en Brett, la Trista,

en Tim, la Jamie i en Patrick) transparències en blanc sobre les quals registrar les seves

resolucions especialment detallades. Aquesta tàctica pot estalviar temps valuós durant l’activitat.

Mentre examines la discussió de classe, si us plau, presta particular atenció a les consideracions

següents:

El professor te un rol molt important en guiar i facilitar la discussió. De totes maneres, jo

intento contenir els meus comentaris fins que els alumnes no acabin de parlar.

Intento mantenir la discussió focalitzada en el procés de resolució, i estimulo els alumnes a

donar raons de perquè estan d’acord o en desacord amb els comentaris dels seus companys

de classe.

Quan la discussió surt de les matemàtiques, a vagades intervinc per portar als alumnes de

nou cap al problema que està sota consideració.

La cadira del matemàtic.Sr. B: Qui ha resolt el problema del dia? Angela, vols començar tu? [En una transparència

l’Angela va escriure el que havia escrit sobre paper: “7 nens”. Desprès va esperar en

silenci comentaris dels companys.] Algú te alguna pregunta o comentari per fer-li a

l’Angela respecte de la seva resolució?

Curtis: Còm vas adornar-te’n?

Angela: He comptat catorze branquetes.

Curtis: Paro si has comptat catorze branquetes, la teva resposta hauria de ser catorze nens.

Angela: He comptat un-dos [pausa], tres-quatre [pausa], cinc-sis [pausa], i així hi havia set.

Curtis: Les has posades [les branquetes] en parells, com de a dues?

Angela: Sí. He comptat de a dues.

Sr. B: Curtis, que vols dir quan dius “en parells”?

Curtis: De a dues, com un parell de coses que son dues unitats.

Sr. B: Que tothom comenti amb el seu company alguna cosa que sempre vingui en parells. [Els

alumnes parlen amb els seus companys]. Hi ha altres preguntes o comentaris per

l’Angela?

Whitney: Has obtingut més resolucions?

Angela: No. Set nens perquè he comptat les branquetes.

Sr. B: Qui ha resolt el problema d’una manera diferent? Taylor, voldries ser el següent? [Mentre

en Taylor registrava la seva resolució a la transparència, li vaig demanar als altres alumnes una

sèrie de preguntes per mantenir l’atenció focalitzada en el Taylor i la seva resolució.] Que

representen les línees que en Taylor està dibuixant?... Perquè esta dibuixant una el·lipse al

voltant d’algunes de les línees?... Quantes línees hi ha dins de cada el·lipse?... Creieu que

posarà una el·lipse al voltant de sis línees?... Perquè?

Desprès de cada pregunta vaig esperar que els alumnes consideressin la seva resposta.

A continuació els vaig demanar que compartissin amb algú assegut al seu costat tres qüestions:

(1) la seva resposta a la pregunta, (2) còm van trobar la seva resposta, i (3) perquè van estar

d’acord o en desacord amb la resposta del company. Quan en Taylor va acabar el seu dibuix, la

discussió va continuar.