Investigacion de Operaciones-Investigacion de Operaciones

8/18/2019 Investigacion de Operaciones-Investigacion de Operaciones

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DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDA

ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

INVESTIGACION DE OPERACIONES

MÓDULO EN REVISIÓN


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CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE-CECAR

DIVISIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA

MÓDULO

INVESTIGACION DE OPERACIONES

SANTIAGO VERGARA NAVARROINGENIERO INDUSTRIAL

PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS A DISTANCIASINCELEJO – SUCRE

2006


3/112

2

Pág.INTRODUCCION 7

INSTRUCCIONES DE MANEJO 8

CONTEXTO TEORICO 9

PRIMERA UNIDAD 10

PRESENTACION 11

OBJETIVOS 12

ATREVETE A OPINAR 13

ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO 14

1. MODELOS DE LINEAS DE ESPERA 15

1.1 CARACTERISTICAS DE UN SISTEMA DE LINEAS DE ESPERA 17

1.1.1 Población de Clientes 19

1.1.2 Proceso de Llegada 19

1.1.3 Proceso de Línea o Cola 19

1.1.4 Proceso de Servicio 21

1.2 MODELOS DE SISTEMAS DE LINEAS DE ESPERA O COLAS 21

1.2.1 Modelo Población Infinita con un Servidor 22

1.2.1.1 Factor Ocupación 24

1.2.1.2 Probabilidad de Vacío 241.2.1.3 Probabilidad de Encontrar n Clientes en el Sistema 25

1.2.1.4 Tiempo Promedio en el Sistema 28

1.2.1.5 Tiempo Promedio de Espera en Fila o Cola 28

1.2.1.6 Número Promedio de Clientes en el Sistema 28

1.2.1.7 Número Promedio de Clientes en Fila o Cola 28

1.2.2 Modelo Población Infinita con Varios Servidores 34

CONTENIDO


4/112

3

Pág.

1.2.2.1 Factor de Ocupación 34

1.2.2.2 Probabilidad de Vacío 35

1.2.2.3 Probabilidad de Encontrar n Clientes en el Sistema (Pn) Cuando n ≤ k 35

1.2.2.4 Probabilidad de Encontrar n Clientes en el Sistema (Pn) Cuando n > k 35





1.2.3 Modelo Población Finita con un Solo Servidor 39

1.2.3.1 Probabilidad de Vacío 401.2.3.2 Probabilidad de Encontrar n Clientes en el Sistema 40





LECTURA COMPLEMENTARIA 43

RESUMEN 44

AUTO EVALUACION Nº 1 45

ESTUDIO DE CASO 47

SEGUNDA UNIDAD 48

PRESENTACION 49

OBJETIVOS 50



2. MODELOS DE INVENTARIOS 53

2.1 CARACTERISTICAS DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS 53

2.1.1 Demanda Determinística 54


5/112

4

Pág.

2.1.2 Demanda Probabilística 54

2.1.3 Déficit o Faltantes 54

2.1.4 Tiempo de Entrega 54

2.1.5 Políticas de Pedidos 55

2.2 COMPONENTES DE COSTOS DE UN SISTEMA DE INVENTARIOS 55

2.2.1 Costos de Pedidos 55

2.2.2 Costos de Compras 55

2.2.3 Costos de Mantenimiento 56

2.2.4 Costos de Déficit 562.3 MODELO DE INVENTARIOS DE CANTIDAD ÓPTIMA DE PEDIDOS 57

2.4 SISTEMA DE INVENTARIOS DE DEMANDA PROBABILISTICA 62

2.4.1 Modelo de Revisión Continua 63

2.4.2 Modelo de Revisión Periódica 67


RESUMEN 74


ESTUDIO DE CASO 78

TERCERA UNIDAD 79

PRESENTACION 80

OBJETIVOS 81



3. REDES, PERT/CPM 84

3.1 LAS REDES 84

3.2 TECNICA PERT 85

3.3 TECNICA CPM 92


6/112

5

Pág.


RESUMEN 102


ESTUDIO DE CASO 106

GLOSARIO DE TERMINOS 107

BIBLIOGRAFIA 109

EL AUTOR 110


7/112

6

A Chaguy Alberto mi hijo y a Nayides, compañera

y amiga, por permitirme disponer de este tiempo

que bien les pertenecía.


8/112

7

En un mundo competitivo como el actual y tal vez más intenso para el futuro por la

llegada del nuevo milenio, los Administradores de Empresas deben implementar las

estrategias adecuadas para la mejor decisión a tomar y realizar los cambios

correspondientes para afrontar todas las variables del entorno. Pero es ahí donde

el Administrador debe utilizar todo su ingenio para seleccionar las variables óptimas

que le van a servir para desarrollar su programa gerencial con base en la toma de

decisiones.

Es por ello que el conjunto de las actividades administrativas y gerenciales requiere

de un proceso analítico, mental y de conocimiento, apoyándose en la visión de la

empresa y de los objetivos, metas y políticas por alcanzar.

Ahora bien, el arte de tomar decisiones apoyadas en herramientas estadísticas y

matemáticas, es lo que se denomina INVESTIGACION DE OPERACIONES. Una

característica especial es que la Investigación de Operaciones intenta encontrar

una mejor solución, llamada “solución óptima”, para el problema bajo condición. Se

dice “una mejor solución” y no la “mejor solución”, porque pueden existir muchas

soluciones que empaten como la mejor.

Por todo lo anterior, le corresponde al estudiante de Administrador de Empresas

apoyarse en las herramientas necesarias para lograr manejar e interpretar los

resultados de los modelos estudiados y analizarlos en Investigación deOperaciones, con el fin que cuando sea Administrador o Gerente de una empresa,

tome las decisiones correctas para el buen desempeño de ésta.

INTRODUCCION


9/112

8

Para el estudio y comprensión del presente módulo, el estudiante debe seguir las

siguientes pautas:

La lectura debe hacerse en forma secuencial, siguiendo el orden de

estructura de las unidades, analizando e interpretando los diferentes tópicos

tratados,

Una vez leída, estudiada y analizada cada unidad, seleccionar las fórmulasque serán utilizadas en la solución del taller evaluativo.

Antes de empezar a solucionar los talleres evaluativos de cada unidad,

cerciórese de comprender lo que se pregunta en cada problema.

Interprete cada resultado de acuerdo con la contextualización.

Confronte los resultados obtenidos individualmente con el grupo de estudio.

Elabore una lista de dudas e inquietudes que se presenten para su

aclaración en las tutorías.

INSTRUCCIONES DE MANEJO


10/112

9

“El área de la Administración de Operaciones ha evolucionado en un períodorelativamente corto. Sus raíces se remontan a la Revolución Industrial, en la

década de 1770, época en la que aparecen obras que ponen de manifiesto

múltiples desarrollos administrativos. Hasta ese momento, las decisiones se

tomaban basándose en la intuición y la experiencia, pero esto comenzó a

desvanecerse durante la Segunda Guerra Mundial, cuando comenzó el uso de

nuevos enfoques para la toma de decisiones. Estos fueron los orígenes de la

Investigación de Operaciones tal como existe hoy día”: TAHA, Hamdy.Investigación de operaciones. México: Alfaomega, 1991.

“En diferentes ocasiones de la vida, la mayoría de las personas que viven en la

sociedad moderna han esperado en una fila para recibir algún tipo de servicio,

pero las líneas de espera implican algo más que personas, pues en el proceso

de una cola intervienen, además de personas, máquinas y equipos de los cuales

depende el tiempo de espera”: HILLIER, Frederick y LIEBERMAN, Gerald.

Introducción a la investigación de operaciones. México: Iberoamérica, 1996.

“Los inventarios como recursos utilizables que se encuentran almacenados en

algún punto determinado del tiempo, se asocian con empresas manufactureras

y comerciales; sin embargo, el equipo, los materiales y el personal son

inventarios integrales para las organizaciones en su normal funcionamiento y en

logro de sus objetivos”: EPPEN, G.D, GOULD, F.J. investigación de

Operaciones en la Ciencia Administrativa. Preutice Hall Hispanoamericana. S.A, 1.984.

“Las redes, PERT y CPM, son métodos utilizados por las direcciones de las

empresas modernas, para con los medios disponibles, planificar sus actividades

a fin de lograr sus objetivos con éxito y el menor esfuerzo operativo”: TAHA,

Hamdy. Investigación de operaciones. México: Alfaomega, 1991.

CONTEXTO TEORICO


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10

MODELOS DE

LINEAS DE ESPERA

Unidad 1


12/112

11

En diferentes ocasiones en la vida, la mayoría de las personas que viven en la

sociedad moderna han esperado en una fila para poder recibir algún tipo de

servicio. Esperar podría incluir situaciones como:

Esperar en fila para pagar compras en la caja de un supermercado.

Esperar en fila en una estación de gasolina para adquirir combustible.

Esperar que el cajero del banco lleve a cabo alguna transacción financiera.

Esperar en fila para comprar boletos para algún evento importante. Esperar en fila para cancelar algún servicio.

En fin, esta lista podría ampliarse en forma indefinida y, aún así, no agotar todas las

posibles situaciones en las que las personas esperan en una fila o cola para ser

atendidos.

Lo que tienen en común las anteriores situaciones es el fenómeno de espera.

Sería más adecuado si se pudieran ofrecer estos servicios y otros similares, sin la

molestia de tener que esperar. Pero nos guste o no, la espera es parte de nuestra

vida diaria y todo lo que se debe esperar conseguir es reducir su incomodidad a

niveles soportables.

Esta es pues la temática a tratar en la presente unidad, ya que, la formación de

líneas de espera es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la

demanda actual de un servicio excede la capacidad actual de proporcionarlo. Deallí que las líneas de espera implican algo más que personas. Aunque es probable

que no se haya considerado esas colas, cuando una máquina se descompone y

requiere mantenimiento, también debe esperar en una cola para que le atienda el

personal de servicio. Por ello, puede decirse que una línea de espera o cola se

forma cuando alguna unidad (persona, máquina, etc.) requiere servicios y éste no

se proporciona en forma instantánea.

PRESENTACION


13/112

12

Distinguir cada uno de los modelos de líneas de espera o colas.

Implementar técnicas matemáticas para desarrollar los problemas de teorías

de líneas de espera.

Establecer la relación de cada una de las formulas desarrolladas con el

fenómeno presentado.

Determinar los parámetros de tasa promedio de llegadas y tasa promedio de

servicio para cada uno de los casos expuestos.

Identificar el papel que cumplen las Distribuciones de Probabilidad en los

modelos de líneas de espera.

OBJETIVOS


14/112

13

ATREVETE A OPINAR

¿Qué entiendes por línea o cola?

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

.

2.

¿Qué entiendes por sistema? Por favor defínelo.

_______________________________________________

_______________________________________________ _______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________ _______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

Describe brevemente lo que entiendas por probabilidad

3.


15/112

14

Realice una visita a un establecimiento o lugar donde se presenten situaciones de

filas o colas y anote las observaciones con respecto a las siguientes preguntas:

1. Describa brevemente el servicio que presta el establecimiento visitado.

2. ¿Cómo se presentan las llegadas de los clientes a la(s) cola(s)? ¿Es en forma

aleatoria, o al azar, o es siguiendo algún patrón predeterminado?

3. ¿Cuántas servidores o ventanillas de de servicios existen en el lugar?

4. ¿Cómo es el comportamiento de los clientes en la(s) fila(s) o cola(s)?

5. ¿Cuál es la regla para atender a los clientes? ¿Los primeros en llegar son

atendidos o los últimos en llegar?

Ahora, seleccione una hora determinada y realice el siguiente ejercicio, durante tres

veces por dos días:

1. Anote el número de clientes que llegan a la cola.

2. Con un reloj, mida y anote el tiempo que dura un cliente para recibir el servicio.

3. Determine, en promedio, cuántos clientes llegan a la cola en una hora.

4. Determine, cuántos clientes pueden ser atendidos en una hora.

ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO


16/112

15

1. MODELOS DE LINEAS DE ESPERA La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera

que, es por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda

actual de un servicio excede la capacidad actual de proporcionarlo.

Dado que las líneas de espera son tan frecuentes en la sociedad moderna, no

resulta sorprendente que se haya desarrollado un campo del conocimiento a partir

de su estudio; dicho campo, que comúnmente se denomina Teorías de Líneas deEspera, lo inició un Ingeniero Danés de teléfonos, A. K. Erlang, quien en 1910

realizó los primeros trabajos sobre problemas de filas. Erlang estaba interesado en

los problemas que tenían las personas que llamaban a un conmutador telefónico.

“A diferencia de un modelo simple como el de Programación Lineal, la teoría de

líneas de espera (o de colas) abarca un grupo muy grande de modelos, en donde

cada uno se refiere a un tipo diferente de situación de líneas de espera. Sin

embargo, todos estos modelos tienen algo en común. En primer lugar, no

pretenden resolver problemas de líneas de espera; más bien describen el sistema

de líneas de espera al calcular las características de operación de la línea. Estas

incluyen elementos como el número promedio de unidades que esperan el servicio

y el tiempo promedio que una unidad espera para ser atendida. Para calcular las

características operativas, el usuario debe especificar ciertos parámetros del

sistema de líneas de espera, tales como la forma en que las unidades llegan para

ser atendidas y la forma en que se maneja el servicio real”1.

El objetivo de los modelos de líneas de espera es más de descripción que de

optimización y cualquier optimización que tenga lugar debe llevarla a cabo el

usuario variando los parámetros del sistema para obtener diferentes conjuntos de

1. TAHA, Hamdy. Investigación de operaciones.

UNID


17/112

16

características de operación. El conjunto de características de operación que se

ajusta en forma más estrecha a las necesidades del usuario, define la mejor

estructura del sistema. Por esta razón, es común que los modelos de líneas de

espera sean descriptivos más que normativos.

Por lo anterior, el fenómeno de espera es el resultado directo de la aleatoriedad en

la operación de instalaciones de servicio. En general, la llegada del cliente y su

tiempo de servicio no se conocen con anticipación. Por otra parte, la operación de

la instalación se podría programar en forma tal que eliminaría la espera por

completo. Proporcionar demasiado servicio implica costos excesivos. Además,

carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas encierto momento. Las líneas des espera largas también son costosas, en cierto

sentido, ya sea por un costo social, por un costo causado por la pérdida de clientes,

por el costo de empleados ociosos o por algún otro costo importante. Entonces, la

meta final es lograr un balance económico entre el costo de servicio y el costo

asociado con la espera por ese servicio.

El objetivo al estudiar la operación de una instalación de servicio en condiciones

aleatorias es el de asegurar algunas características que midan el desempeño del

sistema sometido a estudio. Por ejemplo, una medida lógica del desempeño es el

tiempo que se calcula esperará un cliente antes de ser atendido. Otra medida es el

porcentaje de tiempo que no se utiliza en la instalación de servicio. La primera

medida vislumbra el sistema desde el punto de vista del cliente, por tanto menor es

el porcentaje de tiempo que se mantendría ociosa la instalación y viceversa. Estas

medidas de desempeño pueden utilizarse para seleccionar el nivel de servicio que

produciría un equilibrio razonable entre las dos situaciones en conflicto. Ahora,dado que mucho de los parámetros de los modelos de líneas de espera no se

conocen con certidumbre, estos modelos son más estocásticos que determinísticos.

Por observarse, precisamente, una actitud científica al azar, los fenómenos de

líneas de espera se deben relacionar con procesos estocásticos, que son modelos

matemáticos en los cuales intervienen magnitudes aleatorias, es decir, magnitudes

a cuyos valores se les puede anexar una probabilidad que varía con el tiempo. Los


18/112

17

parámetros como tasa de llegadas y tasa de servicios se describen a través de

Distribuciones de Probabilidad. Por ello, en el modelo se utilizan valores esperados

o promedio.

Como ejemplos de este tipo de sistemas, se tienen los siguientes:

Los clientes llegan a un banco, esperan en una fila para obtener un servicio

de uno de los cajeros y después salen del banco.

Después de hacer sus compras, los clientes eligen una fila en las cajas,

esperan a que el cajero les cobre y luego salen del sistema.

Las partes de un proceso de producción llegan a una estación de trabajo

particular desde diferentes estaciones, esperan en un compartimiento para

ser procesadas por una máquina y luego son enviadas a otra estación de

trabajo.

Para analizar un sistema de espera o colas, se deben utilizar técnicas matemáticas

específicas que dependen de la clase de sistema al cual pertenece su problema de

colas.

1.1 CARACTERISTICAS DE UN SISTEMA DE LINEAS DE ESPERA O COLAS

En la figura 1.1 se pueden observar los componentes de un sistema de líneas de

espera o colas. Todo sistema de líneas de espera o colas, se caracteriza por

poseer, como mínimo, los siguientes componentes:

Una población de clientes, que es el conjunto de todos los clientes posibles.

Un proceso de llegadas, que es la forma en que llegan los clientes de esa

población.

Un proceso de colas, que está conformado por: a) la manera en que losclientes esperan para ser atendidos y b) la disciplina de colas, que es la

forma en que los clientes son elegidos para proporcionarles el servicio.

Un proceso de servicio, que es la forma y la rapidez con la que es atendido

el cliente.

Procesos de salida, que pueden ser de dos tipos: a) los elementos

abandonan completamente el sistema después de ser atendidos, lo que


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18

tiene como resultado un sistema de cola de un paso (como se observa en la

figura 1.1 (a); y b) los productos, ya que son procesados en una estación de

trabajo, son trasladados a alguna otra para someterlos a otro tipo de

proceso, lo que tiene como resultado una red de colas (como se observa en

la figura 1.1 (b).

El análisis de un sistema de líneas de espera o colas de un paso depende de

las características de los primeros cuatro componentes que se analizarán

detalladamente a continuación:

Componentes de un sistema de líneas de espera o colas.

Proceso ProcesoLlegadas Salida

SISTEMA

Sistema de cola de un paso.

Red de colas.

LLEGADA SALIDA

POBLACION

DE

CLIENTES

CLIENTES ESPERANDO

PROCESO DE COLA PROCESO

DE SERVICIO

FIGURA 1.1

FIGURA 1.1(a)

1

2

3

FIGURA 1.1(b)

A D

B

C


20/112

19

1.1.1 Población de Clientes

Al tomar en cuenta la base de clientes, la principal preocupación es el tamaño

de la población. Para problemas como los de un banco o de un supermercado,

en donde el número de clientes potenciales es bastante grande, el tamaño de la

población se considera, para fines prácticos, como si fuera infinita.

Al contrario, considere una fábrica que tiene cuatro máquinas que a menudo se

descomponen y requieren servicio de reparación en un taller especializado. En

este caso, las máquinas están en lugar de los clientes y el taller es el centro de

servicio. El tamaño de la población de clientes, en este caso, es de solamente

cuatro. El análisis es por consiguiente de una población finita.

1.1.2 Proceso de Llegada

El proceso de llegada es la forma en que los clientes llegan a solicitar un

servicio. La característica más importante del proceso de llegada es el tiempo

entre llegada, que es la cantidad de tiempo entre dos llegadas sucesivas;

existen dos clases básicas de tiempos entre llegadas: determinísco y

probabilístico. En el tiempo entre llegadas probabilístico, el tiempo entrellegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas

probabilísticas se describen mediante una Distribución de Probabilidad. Si se

quiere determinar el tiempo entre llegadas probabilístico, se utiliza la

Distribución Exponencial y si se requiere determinar el número de llegadas

probabilístico, se utiliza la Distribución de Poisson. El proceso de llegadas a un

sistema de líneas de espera o colas, se determina mediante el parámetro λ (la

letra griega “lamda”), que es el número promedio de llegadas por unidad detiempo.

1.1.3 Proceso de Línea o Cola

Parte del proceso de cola tiene que ver con la forma en que los clientes esperan

para ser atendidos. Los clientes pueden esperar en una sola fila, como en un

banco (ver figura 1.2), este es un sistema de colas de una sola línea. Al


21/112

20

contrario los clientes pueden elegir una de varias filas en la que deben esperar

para ser atendidos, como en las cajas de pagos de un supermercado (ver figura

1.2 (a), este es un sistema de colas de líneas múltiples.

Otra característica del proceso de colas es la disciplina de colas, es decir, la

forma en que los clientes que esperan son seleccionados para ser atendidos.

A continuación se esquematizan estos dos tipos de colas:

Sistema de colas de una sola línea.

Clientes que esperan

Servidores

Sistema de colas de líneas múltiples.

Clientes esperando

Entre las disciplinas de de atención o selección usadas, podemos encontrar:

Primero en entrar, primero en ser atendido (PEPS): Los clientes son

atendidos en el orden que van llegando a la fila.

Último en entrar, primero en ser atendido (UEPS): El cliente que ha

llegado más recientemente es el primero en ser atendido.

Selección de prioridad: A cada cliente que llega se le da una prioridad y

se le elige según ésta para brindarle el servicio.

FIGURA 1.2

1

2

3

FIGURA 1.2 (a)

1

2

3


22/112

21

En el presente módulo se analizará la selección PEPS, que es la disciplina de colas

más comúnmente utilizada.

1.1.4 Proceso de Servic io

El proceso de servicio define como son atendidos los clientes: Cada ventanilla, en

el caso de un banco, y cada caja registradora, en el caso de supermercados, son

estaciones que proporcionan el mismo servicio. Cualquiera que sea el proceso de

servicio, es necesario tener una idea de cuanto tiempo se requiere para llevar a

cabo dicho servicio. Esta cantidad es importante debido a que cuanto más dure el

servicio, más tendrán que esperar los clientes que llegan. Los tiempos de servicios

pueden ser determinísticos y probabilísticas. Con un tiempo de servicioprobabilístico, cada cliente requiere una cantidad distinta e incierta de tiempo de

servicio.

Los tiempos de servicio probabilístico se describe mediante una distribución de

probabilidad. La distribución confiable y que se utiliza en la mayoría de las

aplicaciones es la Distribución Exponencial, y de la cual depende el parámetro µ (la

letra griega “miu”), que es el número promedio de clientes atendidos por unidad de

tiempo.

Los modelos de los sistemas de líneas de espera o de colas, se analizarán así:

1.2 MODELOS DE SISTEMAS DE LINEAS DE ESPERA O COLAS

Para aplicar las técnicas matemáticas, se debe identificar cada una de las

características de un sistema de líneas de espera o colas, con el fin de establecer

cada uno de los modelos:

Población de clientes infinita, clientes esperan en una sola fila y existe un

solo servidor (Población infinita, un solo servidor).

Población de clientes infinita, clientes esperan en una sola fila y existen

varios servidores (Población infinita, K servidores).

Población de clientes finita, clientes esperan en una sola fila y existe un solo

servidor (Población finita, un solo servidor).


23/112

22

Cada uno de los anteriores modelos utiliza técnicas matemáticas diferentes, pero el

análisis e interpretación de los resultados se realiza con base en las medidas de

desempeño.

1.2.1 Modelo Población Infinita, un Solo Servidor

Para este modelo se utiliza un sistema como el descrito en la figura 1.3:

Modelo población infinita con un solo servidor.

λ µ

LLEGADAS

COLA SERVICIO

Analizando el sistema de líneas de espera o el modelo de población infinita, un

servidor, se pueden describir los parámetros de la siguiente manera:

λ: Tasa promedio de llegadas por unidad de tiempo (clientes/hora o min.).

µ: Tasa promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo (clientes/hora o min.).

λ 1 : Tiempo promedio de llegada de un cliente.

µ 1 : Tiempo promedio invertido en atender un cliente.

EJEMPLOS DE APLICACION

Para usar el cajero automático del Banco XYZ, llegan clientes al azar a una tasa de

5/hora. El cajero atiende en promedio solicitudes en forma aleatoria a una tasa

promedio de 10 clientes/hora. Identifique la tasa promedio de llegadas y de servicio.

SOLUCION:

λ: Tasa promedio de llegadas = 5 clientes/hora.

µ: Tasa promedio de servicios = 10 clientes/hora.

FIGURA 1.3

EJEMPLO 1.1


24/112

23

Una secretaria transcribe hojas de vida en un tiempo promedio de 15 minutos. Lassolicitudes llegan, en promedio, cada 30 minutos. Determine la tasa promedio de

llegadas y servicios en una hora (60 minutos).

SOLUCION:

1 Servicio 15 minutosX 60 minutos (1 hora)

15

60*1= X = 4 clientes/hora

1 Llegada 30 minutosX 60 minutos

30

60*1= X = 2 clientes/hora

Por consiguiente:

λ: Tasa promedio de llegadas = 2 clientes/hora

µ: Tasa promedio de servicios = 4 clientes/hora

Teniendo en cuenta el ejemplo anterior, determine el tiempo promedio de llegadas y

el tiempo promedio de servicio.

SOLUCION:

60 minutos 2 clientes

X 1 cliente

2

60*1= X = 30 minutos/cliente

Entonces, el tiempo promedio de llegadas es:

301=

λ Minutos cada llegada

60 minutos 4 clientesX 1 cliente

EJEMPLO 1.2

EJEMPLO 1.3


25/112

24

==2

60*1 X 15 minutos/cliente

Luego el tiempo promedio de servicio es:

=µ

1 15 Minutos cada llegada

Para poder aplicar las técnicas matemáticas al modelo de población infinita, un solo

servidor, se debe cumplir la condición:

Si no fuera así, el promedio de llegadas (λ) sería superior al número promedio de

unidades que se atienden (µ) y el número de unidades que están esperando se

volvería infinitamente grande con el tiempo. Aunque siempre es posible un regreso

temporal a no tener clientes, las probabilidades de tener números grandes de

clientes crece significativamente con el tiempo.

1.2.1.1 Factor de Ocupación (δ )

El factor de ocupación (δ ), es la fracción promedio de tiempo que el sistema está

ocupado (ocupado se define como una o más unidades esperando y/o siendo

atendidas). Entonces:

Observe que también puede considerarse que δ es el número promedio de

unidades que están siendo atendidas en cualquier momento. En términos de

probabilidad:

Pw = Probabilidad que el sistema esté ocupado = µ λ

1.2.1.2 Probabi lidad de Vacío (Po)

La probabilidad de que el sistema esté vacío o no esté ocupado (P o), mide los

momentos en que no hay clientes en el sistema y los servidores están ociosos. Si

La tasa promedio de llegadas debe ser menor que la tasa promedio de servicios (λ < µ).

µ λ δ =


26/112

25

se tiene en cuenta que la probabilidad de que el sistema esté ocupado más la

probabilidad de que esté vacío, es igual uno, entonces:

Probabilidad Vacío (Po) + Probabilidad Ocupado (Pw) = 1

Po + Pw = 1

Por tanto:

1.2.1.3 Probabilidad de Encontrar “n” Clientes en el Sistema (Pn)

La probabilidad de encontrar “n” clientes en le sistema en un momento

determinado, viene dada por:

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

A la ventanilla de préstamos de libros de la sala de biblioteca de CECAR llegan enpromedio 5 estudiantes/hora. Si se ha determinado que la prestadora de servicio

demora en atender, en promedio, 6 estudiantes/hora, determine: a) ¿Cuál es la

fracción de tiempo que permanece ocupada la ventanilla de préstamos de libros?

b) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema esté vacío?

c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 3 estudiantes en el sistema?

SOLUCION:

λ = 5 Estudiantes/hora

µ = 6 Estudiantes/hora

Verificando la condición, se observa que: λ < µ.

a) δ = λ / µ; δ = 5/6 = 0.8333

Lo anterior significa que en promedio la ocupación del sistema es de 0.8333/hora,

es decir, en una hora (60 minutos) el sistema está ocupado, en promedio, 50

(Po) = 1 - µ λ

(Pn) = (Po) * nδ

EJEMPLO 1.4


27/112

26

minutos. Lo que es un resultado alto, ya que, el porcentaje de ocupación alcanza el

83.33%.

b) (Po) = 1 – λ / µ; (Po) = 1 – 5 / 6 = 0.1667

Este resultado indica que la probabilidad que el sistema esté vacío o desocupado o

que no hayan estudiantes es de 0.1667. Es lógico porque si está ocupado el

0.8333 entonces la diferencia es la ocupación. Si se establece la hora (60 minutos)

como referencia, se puede concluir que el sistema permanece vacío o desocupado

cada 10 minutos /hora (60 * 0.16679), tiempo este en que permanece ocioso el

servidor.

c) Pn = (Po) * δn; P3 = 0.1667 * (5/6)

3 = 0.0964

Lo anterior significa que la probabilidad de encontrar 3 estudiantes en el sistema,uno recibiendo servicio y dos en cola, es de 0.0964, o lo que equivale en términos

porcentuales al 9.64%. De verdad que es una probabilidad pequeña, pero es

razonable porque se debe tener en cuenta que en una hora, en promedio, llegan 5

estudiantes.

A un banco llegan clientes cada 10 minutos para realizar consignaciones, de

acuerdo a una distribución de Poisson. El banco labora 5 horas diarias y el cajero

que recibe las consignaciones tarda 6 minutos por cliente. Determinar:

a) ¿Cuántos minutos permanece ocioso el cajero?

b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y deba esperar?

c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar dos clientes en el sistema?

SOLUCION:a) Para determinar el tiempo que permanece ocioso el cajero, se debe calcular

inicialmente la probabilidad de que esté ocupado y luego se aplica una sencilla

regla de tres, así:

1/λ = 10 minutos, significa que en una hor a llegan en, promedio, 6 clientes (60 / 10

= 6 clientes/hora = λ).

EJEMPLO 1.5


28/112

27

1/µ = 6 minutos, significa que en una hora reciben servicio, en promedio, 10

clientes (60 / 6 = 10 clientes/hora = µ).

Verificando la condición, se observa que: λ < µ. Pw = Probabilidad que el sistema esté ocupado = λ / µ.

Pw = 6 / 10 = 0.6

Significa que el 0.4 (40%) está ocioso. Como el banco labora 5 horas que

equivalen a 300 minutos, entonces el tiempo que permanece ocioso es de:

300 minutos 100%

X 40%

X = 120 minutos/díaEs decir, que el cajero permanece ocioso 120 minutos (equivalentes a dos horas en

la jornada laboral).

b) La probabilidad que un cliente llegue y deba esperar, es porque el sistema está

ocupado, viene dada por:

Pw = λ / µ = 6 / 10 = 0.6

Entonces la probabilidad que un cliente llegue y deba esperar es de 0.6 o lo que es

lo mismo en términos porcentuales, el 60%.c) Pn = (Po) * δn; Pn = 0.4 * (6 / 10)2; Pn = 0.144

Lo anterior significa que la probabilidad de encontrar 2 clientes en el sistema, uno

recibiendo servicio y otro en cola, es de 0.144 o lo que equivale en términos

porcentuales al 14.4%.

Para determinar cual es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la

fila antes de ser atendido y el tiempo promedio que invierte en el sistema,

incluyendo el tiempo de espera y servicio, se debe partir de la definición:

Sea: Ws = Tiempo promedio en el sistema

Wq = Tiempo promedio de espera en fila o cola

1/µ = Tiempo promedio de servicio

Entonces:

Tiempo promedio en el sistema = Tiempo promedio de espera en fila + Tiempo promedio de servicio


29/112

28

1.2.1.4 Tiempo Promedio en el Sistema

Es el promedio de tiempo que un cliente invierte en el sistema entero, incluyendo el

tiempo de espera y de servicio y viene dado por:

1.2.1.5 Tiempo Promedio de Espera en Fila o Cola

Es el promedio de tiempo que debe esperar un cliente en la fila o cola para recibir el

servicio, es decir antes de ser atendido y viene dado por:

Igualmente para determinar cuantos clientes en promedio están esperando en la fila

o en la cola para ser atendidos y cuantos clientes en promedio hay en el sistema

entero, incluye en cola y recibiendo el servicio, se utiliza la expresión:

Donde: Ls = Nº promedio de clientes en el sistemaLq = Nº promedio de clientes en espera o cola

λ / µ = Nº promedio de clientes recibiendo servicio

1.2.1.6 Número Promedio de Clientes en el Sistema (L s)

Es el número promedio de clientes en el sistema entero, incluyendo el número en

espera y recibiendo servicio.

1.2.1.7 Número Promedio de Clientes en Fila o Cola (Lq)

Es el número promedio de clientes que deben esperar en la fila o cola para recibir

el servicio, es decir antes de ser atendidos y viene dado por:

Ws = Wq + 1 / µ

)(* λ µ µ

λ

−=qW

Nº promedio de clientes en el sistema = Nº promedio de clientes en espera + Nº promedio de clientes en servicio

Ls = Lq + λ / µ

)(*

2

λ µ µ

λ

−=q L


30/112

29

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

Suponga que un Aeropuerto puede atender a los aviones en un promedio de diez

por hora. Además, suponga que los aviones llegan al Aeropuerto a una tasa

promedio de siete por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución de

Poissón y el tiempo de servicio sigue la distribución Exponencial. Determine:

a) ¿Cuántos minutos permanece un avión en espera?

b) ¿Cuántos minutos debe programar el jefe de vuelo, para despegar

nuevamente?c) ¿Cuántos aviones estarán en cola?

d) ¿Cuántos aviones estarán en el sistema?

SOLUCION:

λ = 7 aviones/hora

µ = 10 aviones/hora

Verificando la condición λ < µ, se observa que esta se cumple, ya que, 7 < 10,luego:

a) )710(*10

7

)(* −=

−=

λ µ µ

λ qW = 0.233 horas.

Lo anterior significa que los aviones permanecen en espera en promedio 0.233

horas o aproximadamente 14 minutos en cola.

b) Ws = Wq + 1 / µ = 0.233 + 1/10 = 0.333 horas.

Lo anterior significa que el jefe de vuelos debe programar en promedio 0.333 horaso aproximadamente 20 minutos para despegar nuevamente, es decir, debe tener en

cuenta el tiempo que debe esperar en cola un avión y el tiempo recibiendo el

servicio.

c) )710(*10

7

)(*

22

−=

−=

λ µ µ

λ q L = 1.63 aviones.

Significa que en promedio 1.63 aviones estarán esperando en cola o fila.

EJEMPLO 1.6


31/112

30

d) Ls = Lq + λ / µ = 1.63 + 7/10 = 2.33

Lo anterior significa que 2.33 aviones estarán en el sistema esperando en cola y

recibiendo servicio.

Hay que tener en cuenta que los valores anteriores como 1.63 y 2.33, no se pueden

aproximar a ningún valor entero como 2 y 3 porque se están analizando modelos

estocásticos y por consiguiente, los parámetros de tasas de llegadas y de servicios

se deben describir mediante distribución de probabilidad y es por esto que se

utilizan valores esperados o promedio.

Una tienda emplea a un dependiente para atender sus clientes. Los clientes llegan

de acuerdo a una distribución de Poisson con una media de 12 clientes/hora. El

dependiente tiene que cobrar y empacar los artículos comparados por los clientes.

Cada uno de los procesos consume dos minutos con distribución Exponencial.

Determine:

a) ¿Cuántos minutos debe esperar un cliente en el sistema?b) ¿Cuántos clientes en promedio deberán esperar en cola?

SOLUCION:

λ = 12 clientes/hora

1/µ = 4 minutos µ = 60/4 = 15 clientes/hora

Luego se cumple que: λ < µ, luego:

a) Ws = Wq + 1/µ; se debe entonces calcular el tiempo promedio de espera en lafila o cola, así.

2667.0)1215(*15

12

)(*=

−=

−=

λ µ µ

λ qW horas

Entonces. Ws = 0.2667 + 1/15 = 0.333 horas.

Lo anterior significa que el cliente debe esperar en el sistema un promedio de 0.333

horas o 20 minutos aproximadamente.

EJEMPLO 1.7


32/112

31

b) )1215(*15

12

)(*

22

−=

−=

λ µ µ

λ q L = 3.2 clientes; es decir, que en promedio 3.2

clientes deben esperar en la cola para ser atendidos.

Todos los días, en horarios diferentes, los estudiantes de Investigación de

Operaciones del VII semestre de Administración de Empresas de CECAR, anotaron

el número de vehículos y motos que llegaban a la Estación de Servicio “Móvil Auto

centro”, ubicada en la Troncal de Occidente vía a Sampués, por servicio de

combustible. Igualmente, con la ayuda de un cronómetro anotaban el tiempo que

duraba el servicio para cada uno de los vehículos y motos. La tabla de frecuencia

(Tabla 1.1) obtenida muestra el número de llegadas en una hora (X) y las veces o

frecuencia con que se presentaron dichas frecuencias [ ])( xF , durante el tiempo que

duró el estudio. Así por ejemplo, 21 llegadas se presentaron 7 veces, 29 llegadas

se presentaron 6 veces, etc. La tabla 1.2 muestra los tiempos promedio de la

duración del servicio.

Tabla de frecuencia en la llegada de vehículos y motos.

Nº DE LLEGADAS (x) F (x) X * F(x)21 7 14722 5 11023 4 9224 7 16825 3 7526 10 26027 6 162

28 9 25229 6 17430 6 18031 2 6232 2 6433 1 3334 1 34

∑ = 69)( xF ∑ = 813.1)(* xF X

EJEMPLO 1.8

TABLA 1.1


33/112

32

Tiempo promedio de la duración del servicio.

TIEMPO PROMEDIO DE LA DURACION DESERVICIO

0.977 0.87368 0.984745 0.862188

0.87577 0.83846 1.864388 1.260271.00878 0.8603 1.813547 1.4459171.004975 0.90296 1.60838 1.4442080.981738 1.9192 1.774866 1.5128180.88648 1.0029 1.044151 1.4082241.1947 0.5931 1.183132 1.2131750.9467 0.5533 0.632486 1.4021030.9809 0.7006 0.4509 1.373950.931 0.747906 0.7828 1.328495

0.91814 0.978707 0.974431 1.21280.90794 0.980019 0.825266 1.3905420.9466 0.92049 1.719 1.446433

0.91814 0.965578 0.872966 1.5613471.423396 1.406618 1.31657 1.7372751.340014 1.311472 1.698 1.6950171.701125 0.9279 1.3142 0.75691.2568

Tenga presente que la jornada de trabajo es de 18 horas.

SOLUCION:

Para determinar la tasa promedio de llegadas por unidad de tiempo, es decir λ, se

debe utilizar la siguiente técnica matemática:

69

813.1

)(

)(*==

∑∑

xF

xF X λ = 26.27 clientes/hora

Analizando los datos de la tabla 1.3, se suman todos los valores y se logra un

promedio así:

Promedio = 79.5259308/69 = 1.1559306, entonces se puede decir que:

1/ µ = 1.1559306 minutos, por lo tanto:

µ = 52.05 clientes/hora

Verificando, se observa que: λ < µ.

a) El factor de utilización:

δ = λ / µ = 26.27/52.05 = 0.5047 = 50.47%

Lo anterior significa que la Estación de Servicio en sus 18 horas de funcionamiento,

es utilizada o permanece ocupada 9.08 horas. Lo que es lo mismo, que permanece

TABLA 1.2


34/112

33

desocupada un 50.47%. Preocupante situación porque este es un porcentaje

bastante alto.

b) La probabilidad de vacío:

Po = 1 - λ / µ = 1 – 26.27/52.05 = 0.4953

Significa que la probabilidad que el sistema esté vacío es de 0.4953 o en términos

porcentuales, el 49.53% del tiempo laboral.

c) La probabilidad de encontrar n clientes en el sistema:

Pn = Po * δn = 0.4953 * (0.5047)3 = 0.06367

Significa que la probabilidad de encontrar tres clientes en el sistema es de 0.06367,

lo que equivale en términos porcentuales al 6.367%. Resultado este bastante

preocupante porque la probabilidad es pequeña para encontrar solamente tresclientes.

d) El tiempo promedio de espera en fila es:

)27.2605.52(*05.52

27.26

)(* −=

−=

λ µ µ

λ qW = 0.01958 horas

Lo cual significa que el tiempo que se demora un vehículo esperando en cola es

0.01957 horas, lo que equivale a 1.17 minutos. Tiempo este que es poco lo que

deben esperar los vehículos en cola.e) El tiempo promedio en el sistema es:

Ws = Wq + 1 / µ = 0.01958 + 1/52.05 = 0.03879 horas

Significa que el tiempo promedio de un vehículo en el sistema es de 0.03879 horas,

lo cual es equivalente a decir que el tiempo que demora un vehículo en cola y

mientras recibe el servicio es de 2.327 minutos.

f) El número de clientes esperando en cola es:

)27.2605.52(*05.52)27.26(

)(*

22

−=−= λ µ µ λ q L = 0.5143 vehículos

Quiere decir que hay únicamente 0.5143 vehículos esperando para ser atendidos.

g) El número de clientes en el sistema es:

Ls = Lq + λ / µ = 0.5143 + 26.27/52.05 = 1.019 vehículos

Es decir que existen 1.019 vehículos en el sistema, entre los que esperan para ser

atendidos y los que están recibiendo servicio.


35/112

34

1.2.2 Modelo Población Infinita con Varios Servidores


Modelo de población infinita y varios servidores.

λ

µ

Cola

Población Sistema

La descripción de los parámetros es como sigue:

λ = Tasa promedio de llegadas por unidad de tiempo (clientes/hora o minutos)

µ = Tasa promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo (clientes/hora)

1 / λ = Tiempo promedio de llegada de un cliente

1 / µ = Tiempo promedio invertido en atender un cliente

K = Número de servidores

En este tipo de sistema, también debe cumplirse la siguiente condición.

De no ser así, el promedio de llegadas (λ) sería superior al número promedio de

unidades que se atienden (µ) y el número de unidades que están esperando se

volvería infinitamente grande con el tiempo, aunque siempre es posible un regreso

temporal a no tener clientes, las probabilidades de tener números grandes de

clientes crece significativamente con el tiempo.

1.2.2.1 Factor de Ocupación (δ)

Es la fracción promedio de tiempo que el sistema está ocupado (ocupado se define

como una o más unidades esperando y/o siendo atendidas).

FIGURA 1.4

La tasa promedio de llegadas debe ser menor que la tasa promedio de servicios (λ < k * µ).

δ = λ / k*µ


36/112

35

Es de anotar que δ también puede considerarse como el número promedio de

unidades que están siendo atendidas en cualquier momento.


Esta probabilidad mide los momentos en que no hay clientes en el sistema y los

servidores están ociosos.

1.2.2.3 Probabilidad de encontrar “ n” clientes en el sistema (Pn) cuando n ≤ K

Mide la probabilidad de encontrar “n” clientes en el sistema cuando ese número de

clientes sea menor o igual al número de servidores y viene dada por:

1.2.2.4 Probabi lidad de encontrar “ n” clientes en el Sistema (Pn) Cuando n > K

Determina la probabilidad de encontrar “n” clientes en el sistema cuando ese

número de clientes es mayor que el número de servidores y está dada por:

EJEMPLO DE APLICACIÓN

El Banco ABC usa dos cajeros para la atención de sus clientes. El tiempo entre

llegadas y de servicios sigue una distribución Exponencial. Los clientes llegan a

razón de 20 por hora y el tiempo de servicio es de 6 minutos en promedio. Los

[ ]∑=

−+=

0

)/(/*)/!*(/1)/(!/1

1

n

k no K K K nP

µ λ µ λ µ λ

Pn = Po * δn / n!

Pn = Po * δn / (K!) * Kn-K

EJEMPLO 1.9


37/112

36

clientes forman una sola fila y son atendidos por el primer cajero disponible.

Determine:

a) La probabilidad de que un cliente llegue y no deba esperar

b) La probabilidad de encontrar al menos tres clientes

SOLUCION:


µ = 12 clientes/hora

K = 2 servidores

Primero que todo, se verifica que λ < K * µ, es decir: 20 < 2 * 12, luego:

a)

)12/20(2

2*

)12/20!*(2

1

)12/20!*(2

1

)12/20!*(1

1

)12/20(!0

1

1

1

2210 −+++

oP

Po = 6*389.1389.1667.11

1

+++

Po = 0.0807

Lo anterior indica que la probabilidad de que el sistema esté vacío es de 0.0807 o

es del 8.07%.

b) Pn = Po * δ / (K!) * Kn-k = 0.0807 *

23

2

2!*2

)12/20(−

Pn = 0.6949, luego la probabilidad de encontrar más de tres clientes en el sistemaes de 69.49%.

1.2.2.5 Tiempo Promedio en el Sistema (Ws)

Para determinar cual es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la

fila antes de ser atendido y el tiempo promedio que invierte en el sistema,

incluyendo el tiempo de espera y servicio, se parte de la siguiente expresión:

[ ]∑=

−+=

0

)/(/*)/!*(/1)/(!/11

n

k noK K K n

Pµ λ µ λ µ λ


38/112

37

Donde:

Ws = Tiempo promedio en el sistema

Wq = Tiempo promedio de espera en fila o cola

1/µ = Tiempo promedio de servicio

Entonces:

1.2.2.6 Tiempo Promedio de Espera en Fila o Cola (Wq)

Mide el tiempo promedio que debe esperar un cliente en la fila o cola para recibir el

servicio, es decir, antes de ser atendido y viene dado por:


Para determinar cuantos clientes en promedio están esperando en la fila o en la

cola para ser atendidos y cuantos clientes en promedio hay en el sistema entero,

incluye en cola y recibiendo el servicio, se utiliza la siguiente expresión:

Donde:

Ls = Número promedio de clientes en el sistema

Lq = Número promedio de clientes en espera o en fila o cola

λ / µ = Número promedio de clientes recibiendo el servicio

Es decir:

Tiempo promedio en el sistema = Tiempo promedio de espera en fila + Tiempo promedio de servicio

Ws = Wq + 1 / µ

Wq =λ

q L

Número promedio de clientes en el sistema = Número promedio de clientes en fila + Número

promedio de clientes en servicio

Ls = δ + λ / µ


39/112

38


Mide el número de clientes promedio que deben esperar en fila o en cola, es decir,antes de recibir el servicio y ser atendidos y viene dado por:

EJEMPLO DE APLICACION

Utilizando los datos del ejemplo anterior, determine:

a) ¿Cuántos clientes tendrían que esperar para recibir el servicio?

b) ¿Cuántos minutos en promedio debe esperar un cliente en cola?

c) ¿Cuántos minutos deberá esperar un cliente para obtener el servicio definitivo?

SOLUCION:


µ = 12 clientes/hora

K = 2 servidores

Se cumple que: λ < K * µ, o sea 20 < 12 * 2, entonces:

a) Lq =[ ]

0807.0*)12/20(2

1*

)!12(

)12/20(2

12

−−

+

Lq = 3.36 clientes, es decir que: en promedio hay 3.36 clientes esperando para ser

atendidos.

b) Wq =20

36.3=

λ

q L = 0.168 horas = 10.08 minutos

Es decir que un cliente debe esperar, en promedio, 10.08 minutos en cola antes de

ser atendido.

c) Ws = Wq + 1 / µ = 0.168 + 1/12 = 0.251 horas = 15.06 minutos

Lq = ok

Pk k

*)(

1*

)!1(

)(2

1

δ

δ

−−

+

EJEMPLO 1.10


40/112

39

Lo que quiere decir que, un cliente tarda en total 15.06 minutos para recibir el

servicio definitivo, es decir, espera 10.08 minutos en cola y 4.98 cuando está siendo

atendido.

1.2.3 Modelo Población Finita y un Solo Servidor


Modelo de población finita y con un solo servidor.

λ

Llegadas µ

Cola Servicio

PoblaciónFinita Sistema

La población finita afecta el proceso de llegada. Con la población infinita la tasa de

llegada permanece igual sin importar cuantos clientes hayan llegado.

En términos generales, con un número finito de clientes, la tasa de llegadadisminuye conforme aumenta el número de clientes en el sistema porque existen

menos clientes que aún no llegan. A mayor número de clientes en el sistema,

menor será la tasa de llegada de clientes.

Los parámetros de este tipo de sistemas son:

λ = Tasa promedio de llegadas por unidad de tiempo

µ = Tasa promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo

1 / λ = Tiempo promedio de llegada de un cliente

1 / µ = Tiempo promedio invertido en atender un cliente

M = Población total de clientes

n = Número de clientes en el sistema

M – n = nueva llegada

FIGURA 1.5


41/112

40


La probabilidad de que el sistema esté vacío o no esté trabajando, mide los

momentos en que no hay clientes en el sistema y el servidor está ocioso y viene

dada por:

1.2.3.2 Probabilidad de Encontrar n Clientes en el Sistema (Pn) Cuando n ≤ K

Determina la probabilidad de encontrar “n” clientes en el sistema cuando ese

número de clientes es menor o igual al número de servidores y está definida por:


Un operario atiende tres máquinas. Cuando las máquinas requieren atención él las

detiene y hace las modificaciones necesarias. Estas modificaciones toman un

tiempo medio de 10 minutos. El tiempo medio entre requerimientos para cualquier

máquina es de 15 minutos. Determine:

a) La probabilidad de que una máquina falle y sea reparad inmediatamente

b) La probabilidad de encontrar dos máquinas en el sistema.

SOLUCION:

1 / λ = 15 minutos = 4 clientes/hora

1 / µ = 10 minutos = 6 clientes/hora

M = 3 Máquinas

Po =

n

n

n M

M

)/)!*((

!

1

0

µ λ −

∑=

Pn = on Pn M

M *

)!*(

!

δ −

EJEMPLO 1.11


42/112

41

a)

Po =

210 )6/4)!*(23(

!3

)6/4)!*(13(

!3

)6/4)!*(03(

!3

1

−+

−+

−

Po = 0.0525; significa que la probabilidad que una máquina presente falla y sea

atendida de inmediato, es decir que el operario esté desocupado, es de 5.25%.

b)

Pn = 0525.0*)6/4)!*(23(

!32−

= 0.7094; significa que la probabilidad de encontrar dos

máquinas en el sistema es de 70.94%.

1.2.3.3 Tiempo Promedio en el Sistema (Ws)

Es el promedio de tiempo que un cliente invierte en el sistema entero, incluyendo el

tiempo de espera y de servicio y viene dado por:

1.2.3.4 Tiempo Promedio de Espera en Fila o Cola (Wq)

Es el promedio de tiempo que debe esperar un cliente en la fila o cola para recibir

el servicio, es decir, antes de ser atendido y está dado por:


Es el número promedio de clientes en el sistema entero, incluyendo el número de

clientes en espera y los que están recibiendo el servicio y viene dado por:

Po =

n

n

n M

M

)/)!*((

!

1

0

µ λ −

∑=

Pn = on Pn M

M

*)!*(

!

δ −

Ws = Wq + 1 / µ

Wq =λ

q L


43/112

42

Ahora bien, si: Ls = Número promedio de clientes en el sistemaLq = Número promedio de clientes e espera o cola

λ/µ = Número promedio de clientes recibiendo servicio

Entonces:


Es el número promedio de clientes que deben esperar en la fila o cola para recibirel servicio antes de ser atendidos y está dado por:


Teniendo en cuenta los datos del ejemplo anterior, determinar:

a) ¿Cuántas máquinas habrá en la fila de espera para ser atendidas?

b) ¿Cuántos minutos deben esperar las máquinas para ser atendidas?

SOLUCION:

a) Lq = M – (λ - µ / λ) * (1 – Po)

Lq = 3 – (4 – 6/4) * (1 – 0.0525) = 0.6321 clientes

b) Wq =λ

q L =

4

6321.0 = 0.158 horas

Las máquinas deberán esperar 0.158 horas o 9.48 minutos antes de ser reparadas.

Número promedio de clientes en el sistema = Número promedio de clientes en fila + Número

promedio de clientes en servicio

Ls = M – (µ / λ) * (1 – Po)

Lq = M – (λ - µ / λ ) * (1 – Po)

EJEMPLO 1.12


44/112

43

CARACTERISTICAS CLAVES DE UN SISTEMA DE COLAS *

Para analizar un sistema de colas, es mejor primero identificar las características

importantes que se presentan y se aplican en el sistema, entre ellas tenemos:

Una población de clientes, que es el conjunto de todos los clientes posibles

de un sistema de colas.

Un proceso de llegada, que es la forma en que llegan los clientes de esa

población a solicitar un servicio (ver figura 1.1).

Un proceso de colas, que está formado por: a) la manera en que los

clientes esperan para ser atendidos y b) la disciplina de colas, que es la

forma en que son elegidos para proporcionarles el servicio.

Un proceso de servicio, que es la forma y la rapidez con la que son

atendidos los clientes.

Procesos de salida, que son de los siguientes dos tipos:

a) Los elementos abandonan completamente el sistema después de ser

atendidos en solo centro o estación de trabajo, lo que tiene como

resultado un sistema de colas de un paso. Por ejemplo, los clientesde un banco esperan en una sola fila, son atendidos por uno de tres

cajeros y después que son atendidos, abandonan el sistema (ver

figura 1.1a).

b) Los productos, ya que son procesados en una estación de trabajo,

son trasladados a alguna otra para someterlos a otro tipo de proceso,

lo que tiene como resultado una red de colas (ver figura 1.1b).

Ahora bien, existen dos clases básicas de tiempos entre llegadas, a saber: Determinístico , en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo

de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el caso de una línea deensamblaje, en donde los artículos llegan a una estación en intervalosinvariables de tiempo (conocidos como ciclos de tiempo).

Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto yvariable. Los tiempos entre llegadas probabilísticas se describen medianteuna distribución de probabilidad.

* Tomado de KAMLESH, Mathur y SOLOW, Daniel. Investigación de Operaciones. El arte de la toma de decisiones.

LECTURA COMPLEMENTARIA


45/112

44

La teoría de líneas o colas ofrece modelos para analizar la operación de

establecimientos o instalaciones de servicio en los cuales ocurren en forma

aleatoria la llegada y/o el servicio de clientes. Los ejemplos numéricos que se

presentaron en toda la unidad demuestran que el análisis de la espera produce

resultados que quizá no sean evidentes en forma intuitiva.

Las distribuciones de Poisson y Exponencial son importantes en el análisis de la

espera. Estas se caracterizan por instalaciones de servicio en las que las llegadas

y el servicio son completamente aleatorios. Aunque se pueden implantar otras

distribuciones en modelos de espera, el análisis es mucho más complejo que en las

líneas de espera de Poisson. Además, la complejidad del análisis no hace posible

que se asegure mucha información como en los modelos de Poisson.

La duda que se tiene en relación con la teoría de la espera es que tan eficiente

resulta en la práctica. Las limitaciones que impone el análisis matemático parecen

dificultar la determinación de aplicaciones reales que se ajusten al modelo. No

obstante, con el paso de los años se han reportado muchas aplicaciones óptimas

de la espera.

RESUMEN


46/112

45

1) Un remolcador da servicio a los buques que llegan a un muelle. El tiempo

promedio entre las llegadas de los barcos es de 3 horas. El tiempo necesario

para remolcar un buque es de 2 horas. Los estudios han demostrado que las

llegadas de los buques son casi siempre del tipo Poisson y el tiempo de servicio

se distribuye exponencialmente. Determinar:

a) ¿Cuál es el factor de utilización del remolcador?

b) ¿Cuál es la probabilidad que el remolcador esté inactivo?

c) ¿Cuántos minutos en promedio deben esperar los barcos para ser

remolcados?

2) En el Hospital, los niños hacen cola para obtener inyecciones contra la gripe

durante la temporada de invierno de cada año. Una enfermera inyecta a estos

niños. En promedio transcurren dos minutos entre las llegadas de cada uno

(Poisson) y la enfermera se tarda un promedio de un minuto en administrar la

inyección (exponencial). Determine:

a) ¿Cuánto tiempo debe planear la gente estar en la línea de espera?

b) ¿Cuántos niños esperaría usted ver que están esperando en fila?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que existan dos niños esperando en la cola?

d) ¿Cuál es la utilización del hospital, si la jornada de vacunación es de 8

horas?

3) Un empleado maneja llamadas telefónicas en un sistema de reservación de

líneas aéreas a un promedio de 4 minutos por llamada, con una distribución del

tiempo de servicio exponencial. Las llamadas llegan en promedio con 10

minutos de separación y distribución Poisson. Determine: a) ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada entre y sea atendida

inmediatamente?

b) ¿Cuántos minutos debe esperar un cliente para que le atiendan la llamada?

c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar en el sistema dos llamadas?

d) ¿Si la jornada de trabajo es de 10 horas, en cuántos minutos está siendo

utilizado el sistema?

AUTO EVALUACION Nº 1


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46

4) Cinco estudiantes compraron un barril de cerveza y decidieron organizar una

competencia. El tiempo para llenar un vaso de cerveza sigue una distribución

exponencial con media de 2 minutos. El tiempo para beber la cerveza sigue una

distribución exponencial con media de 18 minutos. Determine:

a) En promedio, ¿cuánto espera un estudiante en la fila del barril?

b) ¿Qué fracción de tiempo no se usa el barril?

5) A la biblioteca de CECAR llega un promedio de 26 estudiantes/año con

distribución Poisson a pedir prestado el libro de Investigación de Operaciones.

Aquella persona que logra encontrarlo, lo mantiene en su poder durante 4 días

con distribución exponencial. Determine: a) Si la biblioteca solo tiene una copia del libro, ¿cuál es el número de

estudiantes que podrán leer el libro durante el año?

b) ¿Cuánto tiempo debe esperar el estudiante para poder obtener el libro?

6) Un banco tiene una caja de tipo autoservicio. Los carros llegan de acuerdo con

un proceso de Poisson con media de 12 carros/horas. El tiempo de atención al

cliente sigue una distribución exponencial con media de 4 minutos/carro.

Determine:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un auto llegue y deba esperar?

b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 3 autos en el autoservicio?

c) ¿Cuántos minutos deben esperar los carros para ser atendidos?

d) ¿Cuántos autos son atendidos (incluye esperando y recibiendo el servicio)?

7) Suponga que un sistema de cola tiene 2 servidores, el tiempo entre llegadas

sigue una distribución exponencial con una media de 2 horas y el tiempo deservicio sigue una distribución exponencial con una media de 2 horas.

Determine:

a) La probabilidad de que el sistema esté vacío

b) La probabilidad de encontrar 3 clientes en el sistema

c) ¿Cuántos minutos deben planear los clientes para obtener el servicio total?

d) ¿Qué fracción de tiempo es utilizado el sistema si la jornada de laboral es de

8 horas?


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47

Visite un banco o una estación de servicio de su comunidad o cualquier otro lugardonde se presenten situaciones de colas o filas, selecciones una hora determinada

y realice el siguiente ejercicio durante tres veces durante dos días:

Anote el número de clientes que llegan a la cola.

Anotar el tiempo que dura un cliente para recibir el servicio.

¿Cuántos clientes, en promedio, llegan a la cola en una hora?

¿Cuántos clientes pueden ser atendidos en una hora?

¿Cuánto tiempo, en promedio, deben esperar los clientes para ser

atendidos?

¿Cuál es la utilización del sitio si la jornada de atención es de 8 horas?

¿Cuál es la probabilidad de que un cliente llegue y sea atendido de

inmediato?

¿Cuál es la probabilidad de encontrar 10 clientes en el sistema?

¿Cuántos clientes tendrían que esperar para recibir el servicio?

ESTUDIO DE CASO


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48

MODELOS DE

INVENTARIOS

Unidad 2


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49

Existen muchas causas de incertidumbre en un sistema típico de producción ydistribución, a saber: Hay incertidumbre en el número de artículos que demandarán

los clientes durante la próxima semana, mes o año. Hay incertidumbre en los

plazos de entrega. Si uno de sus proveedores le dice que usted recibirá su pedido

antes del 5 de Enero, ¿puede confiar en ello o recibirá su pedido semanas o meses

más tarde? La incertidumbre impone un precio al administrador a través de

múltiples medios. Hay incertidumbre en el proceso de producción. ¿Qué sucede

con sus planes de producción y reparto si un trabajador se enferma o si sedescompone una máquina crucial? Un auge en la demanda o una demora en la

producción pueden provocar escasez con la consecuente pérdida de utilidades y el

disgusto de los clientes. Por otra parte, una empresa puede reaccionar ante una

falta de existencias actual o anticipada expidiendo órdenes, haciendo pedidos

especiales a un proveedor o trabajando horas extras. Todas esas actividades

pueden ser costosas.

Algunas empresas mantienen inventarios por costumbre, para protegerse contra la

incertidumbre. Claro está que un margen de seguridad en los inventarios

disponibles permite al administrador encarar demandas inesperadas o demoras en

las entregas, con una probabilidad reducida de incurrir en falla de existencias; sin

embargo, mantener existencias no es gratuito. Entonces, la cuestión es: ¿Qué

cantidad de existencias debe mantener una empresa como protección razonable

contra la incertidumbre? Por ello el administrador puede manejar tales preguntas

relativas a la incertidumbre en diversas formas. Por ejemplo, en los modelos deProgramación Lineal los análisis de sensibilidad se usan generalmente para

asegurar al administrador que sus decisiones no son vulnerables ante los cambios

en los parámetros del modelo. Por ello, esta unidad considera la incertidumbre de

manera más formal. Contempla modelos en los que la incertidumbre se maneja

explícitamente mediante la incorporación de la distribución de probabilidad de la

demanda en la evaluación de diversos esquemas alternos de control de inventario.

PRESENTACION


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50

Establecer cada uno de los componentes de costos de los modelos de

inventarios.

Diferenciar los sistemas de inventarios de acuerdo a la demanda.

Calcular la cantidad óptima de pedido para la demanda constante y para la

demanda variable.

Aplicar el modelo de revisión continua de acuerdo a las características de los

artículos de inventarios.

Determinar el costo total por año de cada uno de los modelos de demanda

probabilística para determinar el más óptimo.

Establecer las ventajas del modelo de revisión periódica para aplicarlo de

acuerdo a la variación de la demanda.

OBJETIVOS


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51

ATREVETE A OPINAR

.

¿Qué entiendes por nivel de inventarios?

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________ _______________________________________________

_______________________________________________ _______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________ _______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________ _______________________________________________

¿Qué diferencias notas entre inventario de materias primas yde producto final?

2.

3

.

¿Se puede hacer un pedido de materia prima cuando el nivel

de inventario es cero? ¿Qué pasaría con la demanda?

_______________________________________________

_______________________________________________ _______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________


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52

Visita una empresa o microempresa de tu región y analiza el inventario de un

determinado producto final y responde lo siguiente:

1. ¿Cuál es el máximo nivel de mercancías o productos que se permite tener?

2. ¿Cuánto tiempo demora el proveedor en entregar un pedido al cliente?

3. ¿Cada cuánto tiempo (días, semanas, meses, etc.), el empresario hace un

pedido?

4. ¿Con base en que criterios se hace un pedido?

5. ¿Conoce con anticipación el empresario la demanda de su producto? ¿Cómo?

6. ¿Cada cuántos días revisa el empresario su inventario?

7. ¿Maneja el empresario el concepto de nivel de servicio al cliente? ¿Cómo lo

estipula?

ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO


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53

2. MODELOS DE INVENTARIOS

Los inventarios son aquellos artículos a la mano que un cliente usará o comprará.

En un ambiente de fabricación, los inventarios son las materias primas usadas para

producir bienes terminados. La madera, clavos, barniz y otros materiales

necesarios para construir una biblioteca son los artículos de inventario. El medio de

producción es el cliente.

“Definidos en términos amplios, los inventarios son recursos utilizables que se

encuentran almacenados en algún punto determinado del tiempo. Desde el punto

de vista tradicional, los inventarios se asocian con empresas manufactureras y

comerciales; sin embargo, el equipo, los materiales y el personal son inventarios

integrales para organizaciones como hospitales, universidades y otras de servicios

públicos. Así, los modelos de inventarios pueden aplicarse a estas áreas al igual

que la manufactura y la comercialización”2.

El análisis de inventarios es similar al análisis de colas o líneas de espera en

cuanto que no es aplicable un solo modelo a todos los problemas de inventarios;

más bien existen modelos que dependen de las características del problema.

A continuación se analizan las principales características de los modelos de

inventarios:

2.1 CARACTERISTICAS DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS

Se detallarán las diferentes características que componen los modelos de

inventarios. Estas características influyen en el análisis matemático usado al

determinar la mejor forma de administrar los inventarios. Cuando se desee aplicar

2. EPPEN, G.D, GOULD, F.J. investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa.

UNID


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54

la administración de inventarios a su ambiente de negocios, necesitará identificar

cual de estas características tiene su modelo para realizar el análisis correcto.

2.1.1 Demanda Determinística

La demanda del artículo por período se conoce con certeza. Por ejemplo, en un

proceso de fabricación podría saberse que una máquina limadora o pulidora, pule

30 piezas por minuto. Aquí las piezas son los artículos a mantenerse en inventarios

y la demanda determinística es de 30 piezas por minuto.

2.1.2 Demanda Probabilística

La demanda del artículo por período está sujeta a una cantidad de incertidumbre y

variabilidad. Por ejemplo, en un hospital usted no sabe cuantos y que tipo de

pacientes tendrá la semana entrante, lo que ocasiona una demanda incierta de los

suministros médicos.

2.1.3 Défici t o Faltantes

Determinar como mantener los niveles de inventario es una cuestión crítica si sepermiten los déficit o faltantes. ¿Es aceptable que se acabe un artículo? En una

tienda detallista el que se acabe un artículo puede no ser deseable, pero la

gerencia puede permitir que suceda porque las consecuencias no son críticas. En

contraste, un hospital nunca debe carecer de suministros operativos. Cuando se

permiten los déficits, otra cuestión es como se manejan.

2.1.4 Tiempo de Entrega Es el tiempo transcurrido desde cuando se coloca un pedido para reabastecer

inventarios y la recepción de esos bienes enviados por el proveedor. Al igual que la

demanda, los tiempos de entrega pueden ser determinísticos si se sabe

precisamente cuanto toma recibir los bienes o probabilístico si el tiempo de entrega

es incierto. Se debe tener suficiente inventario a la mano para satisfacer la

demande durante el período o tiempo de entrega.


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2.1.5 Política de Pedidos

La política de pedidos es un enfoque para determinar como y cuando reabastecer

los inventarios. Existen dos políticas de pedidos:

Aquella que requiere revisar el nivel de inventario en puntos fijos de tiempo

para determinar cuanto ordenar sobre la base del inventario a la mano en

ese momento.

Otra que requiere revisar el inventario continuamente para determinar

cuando se alcanza el punto de nuevos pedidos.

2.2 COMPONENTES DE COSTO DE UN SISTEMA DE INVENTARIOS

La identificación de las características individuales del sistema de inventarios, es el

primer paso en la determinación de la política de inventarios óptima. Idealmente,

usted desea una política de inventarios que incurra en el mínimo costo esperado

total por período. El siguiente paso, por lo tanto, es comprender y estimar los

diversos componentes de costo de un sistema.

2.2.1 Costos de Pedidos (K)

El costo asociado con el reabastecimiento de un inventario es un costo de pedidos,

denotados por K. Este es un costo fijo independiente del número de unidades

pedidas o producidas. Se incurre en este costo cada vez que se coloca un pedido

o que se echa a andar una máquina para la corrida de una producción.

Al colocar un pedido, el costo K puede incluir los tiempos de oficina y

administrativos requeridos para preparar el pedido, un cargo por transmitir el pedido

por fax, por ejemplo y un cargo fijo por la parte del proveedor por procesar y/oentregar el pedido. Por ejemplo, cada vez que un almacén de artículos deportivos

pide raquetas de tenis a un mayorista puede incurrir en un costo fijo de $20.000,

independientemente del número ordenado.

2.2.2 Costo de Compra (C)

Cada unidad pedida incurre en un costo de compra, denotado por C, que es un

costo directo por unidad. Por ejemplo, cuando el almacén de artículos deportivos


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pide raquetas de tenis a un mayorista incurre en un costo por cada raqueta

ordenada. Si se ordena Q raquetas, 8, con un costo de $1.000 cada una, entonces

el costo de compra total será de $8.000 (8 x $1.000). El costo de compra por

unidad puede depender del número de unidades pedidas.

2.2.3 Costo de Mantener Inventarios (H)

Este es un costo por período por cada artículo en inventario. Un costo de mantener

inventarios puede incluir lo siguiente:

Los costos de almacenamiento, compuesto por los gastos generales del

almacén, seguros, requerimiento de manejo especial, robos, objetos rotos,

etc.

El costo de oportunidad del dinero comprometido en inventarios que de otra

manera podría haberse usado o invertido. Por ejemplo, considere un negocio

que mantiene un inventario de 100 llantas, cada una con un costo de

$20.000. Este inventario cuesta $2 millones. Si se hubiera invertido este

dinero a una tasa del 25% al año hubiera ganado $500.000. Estos $500.000

son el costo de oportunidad por año del inventario.

Los costos totales de almacenamiento y oportunidad que componen el costo por

mantener inventario se calculan como una fracción i del costo unitario C. La

fracción i se denomina la tasa de interés y es la suma de las fracciones usadas en

el cálculo de los costos de almacenamiento y oportunidad.

2.2.4 Costos de Déficit (B)

El costo de déficit es el costo de no satisfacer la demanda, es decir, es el costo deque se acabe un artículo. Recuerde que cuando no se puede satisfacer la

demanda, la venta se pierde o el artículo se maneja como un pedido no surtido.

Por ejemplo, si un fabricante de camisas no puede satisfacer una demanda

determinada, esta cantidad es una venta perdida si el cliente va a otro lado o si se

maneja como un pedido no surtido si el cliente desea esperar. En los modelos de


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inventarios este costo es poco usado porque depende de dos tipos de costos: los

costos explícitos y los costos implícitos.

2.3 MODELO DE INVENTARIOS DE CANTIDAD ÓPTIMA DE PEDIDOS

El análisis matemático para un sistema de inventarios depende de las

características específicas del modelo. En el modelo de cantidad óptima se supone

que se cumplen las siguientes características:

El inventario pertenece a uno y solo un artículo.

El inventario se abastece por lotes en vez de reemplazarse continuamente.

La demanda es determinística y ocurre a una tasa constante conocida de D

unidades por período.

El tiempo de entrega L es determinístico y se conoce.

Los déficit no están permitidos.

Los pedidos ocurren en una cantidad fija Q* cuando el inventario llega a un

cierto punto de nuevos pedidos R. La implementación de esta política de

reordenamiento requiere, por tanto, la comprobación regular del inventario

para determinar cuando alcanza el nivel R.

Para determinar el costo total mínimo, se tienen en cuenta: los costos fijos,

costo por compra y costos por mantener inventarios, con una tasa de interés

i.

Luego:

Donde:Costo de pedidos anual = (Costo por pedido) * (Número de pedidos)

Costo de pedidos anual = K * (D / Q)

Costo de compra anual = (Costo por unidad) * (Demanda)

Costo de compra anual = C * D

Costo de mantener inventarios anual = (Inventario promedio) * (Tasa de interés) + (Costo de compra)

Costo de mantener inventarios anual = (Q / 2) * (i * C)

Costo Total Costo de Pedidos Costo de Compra Costo de Mantener= + +

Anual Anual Anual Inventarios


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58

Por lo tanto, el costo total anual está dado por la siguiente expresión:

Para calcular la cantidad óptima de pedidos, se utiliza la siguiente expresión:

Donde:

Q* = Cantidad óptima de pedidos

D = DemandaK = Costo de pedidos

i = Tasa de interés

C = Costo de compra

Para determinar el punto de nuevos pedidos R, se necesita el tiempo de entrega y

la demanda, luego:

El número promedio de pedidos por período está dado por:

El tiempo entre pedidos, se determina de la siguiente manera:

Para ilustrar el modelo, considere el siguiente ejemplo que usted enfrenta como

gerente de suministro de un hospital de la ciudad:

Costo total anual = K * (D / Q) + (Q / 2) * (i * C)

Q* =C i

K D

*

**2

R = L * D

N =*Q

D

T = D

Q*


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EJEMPLOS DE APLICACION

Un hospital da servicio a una pequeña comunidad. Un suministro usado con

frecuencia es la película de rayos X, que se pide a un proveedor fuera de la ciudad.

Usted como gerente de suministros debe determinar como y cuando hacer pedidos

para asegurar que al hospital nunca se le termine este artículo crítico y al mismo

tiempo mantener el costo tan bajo como sea posible. La demanda ha sido

relativamente constante a 1.500 películas por mes y por tanto puede considerarse

determinística. El proveedor se ha comprometido a satisfacer pedidos en una

semana. Los costos fijos de pedidos son de $100 para cubrir los costos de colocarcada pedido, pagar los cargos de entrega, etc. El costo de compra es de $20 por

película y una tasa de interés del 30% por año.

SOLUCION:

Q* = ?

D = 1.500 películas/mes = 18.000 películas/año

K = $100i = 30%

C = $20

Entonces:

Q* =20*3.0

100*800.1*2 = 774,6 películas

Para calcular el punto de nuevos pedidos, el tiempo de entrega, L, está dado en

semanas, por lo que se va a suponer que un año tiene 52 semanas, por tanto, el

tiempo de entrega, L, es 1/52. Lo anterior se realiza porque la demanda está en

películas/año. Entonces:

R = L * D = 1/52 año * 1.800 películas/año

R = 346 películas

EJEMPLO 2.1


61/112

60

Para calcular el número de pedidos y el tiempo entre ellos:

N =775

800.1=

Q

D= 23.23 pedidos anuales

No e

Investigacion de Operaciones-Investigacion de Operaciones

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