Progresiones matemáticas y financieras

CALC

ULO

IDocente:

Dodanim Castillo Aráuz

Alumnos:

David Josué Burgos Gamboa

George Steven Ramos Howell

Daniela Michelle Oviedo

Oneyda Yanes Vanegas

Rebeca

Fecha de entrega:

Martes, 10 de julio de 2012

Progresiones matemáticas y financieras

Capitulo 7

Contenido

Introducción.......................................................................................................................................2

Objetivos............................................................................................................................................3

7 – 1 Progresiones aritméticas e interés simple.................................................................................3

Definiciones....................................................................................................................................4

Progresiones aritméticas............................................................................................................4

Interés simple.............................................................................................................................4

Ejemplos aplicados a la administración..........................................................................................4

7 – 2 Progresiones geométricas e interés compuesto........................................................................7

Definiciones....................................................................................................................................7

Progresiones geométricas.........................................................................................................8

Interés compuesto.....................................................................................................................8

Ejemplos aplicados a la administración..........................................................................................8

7 – 3 Matemáticas financieras..........................................................................................................11

Definiciones..................................................................................................................................11

Ejemplos aplicados a la administración........................................................................................11

7 – 4 Ecuaciones en diferencias........................................................................................................11

Definiciones..................................................................................................................................11

Ejemplos aplicados a la administración........................................................................................11

7 – 5 Notación de sumatoria (Sección opcional)..............................................................................11

Definiciones..................................................................................................................................11

Ejemplos aplicados a la administración........................................................................................11

1

Tabla de contenido

Progresiones matemáticas y financieras

Capitulo 7

2

Introducción

Progresiones matemáticas y financieras

Capitulo 7

3

Objetivos

Progresiones matemáticas y financieras

Capitulo 7

7 – 1 Progresiones aritméticas e interés simple.

Definiciones

Progresiones aritméticas

Una sucesión se dice que es una progresión aritmética PA si la diferencia entre cualquier

termino y es la misma a lo largo de toda la sucesión. La diferencia algebraica entre cada

término y el anterior se denomina diferencia común y se denota por d.

Interés simple

Ejemplos aplicados a la administración

4

Progresiones matemáticas y financieras

Capitulo 7

Ejemplo de progresiones aritméticas:

Supóngase que el señor Martínez pide al banco la cantidad de $5000 a un interés del 1%

mensual. Él esta de acuerdo en pagar $200 al capital cada mes, mas el interés en el

balance. Al final del primer mes, paga $200 más el interés de los $5000 al 1% mensual,

que son $50. En consecuencia, el primer pago es de $250 y solo debe $4800 al banco. Al

término del segundo mes, paga $200 al capital más los intereses sobre $4800, los cuales

son $48 al 1% mensual. Por lo tanto, su segundo pago es de $248. Continuando en esta

forma sus pagos sucesivos son: 250, 248, 246, 244…. 202.

Solución: Si a es el primer termino y d es la diferencia común de PA, los términos sucesivos

de la PA son:

a, a + d, a + 2d, a + 3d

Interés simple

Sea P una cantidad de dinero invertida a una tasa de interés anual del R porciento. En un

año, la tasa de interés ganada esta dada por:

I = P(R/100)

Si la inversión es a interés simple, entonces, en años sucesivos el interés solo se paga

sobre el capital P y no sobre los montos de interés generados. Así se agrega una cantidad

constante I a la inversión final de cada año. Después de 1 año el valor total es de P + 2I,

después de 2años P + 2I, Y así sucesivamente. La sucesión de valores anuales a la

inversión.

P, P + I, P + 2I, P + 3I…… (OJO ES UNA i NO UN 1)

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Progresiones matemáticas y financieras

Capitulo 7

Forman de esta manera una progresión aritmética, cuyo primer termino es P y con

diferencia común I. Después de t años el valor de P + tI.

Valor después de t años = P +tI , I = P(R/100).

Suma de n términos de una PA.

Si a es el primer termino y d es la diferencia común de PA, la sucesión es:

a, a + d, a + 2d, a + 3d …….

Si la sucesión consta de n términos y si I denota el último término (esto es, n-ésimo

término),

t = a + (n - I)d

El penúltimo termino será I – d, el antepenúltimo termino será I - 2d, etc. Si n denota la

suma de estos términos,

Sn = a + (a + d) + (a +2d) + … + (I + 2d) + (I + d) + I

Se puede escribir de forma inversa y la suma va a ser la misma.

Teorema 1

La suma de n términos de una PA con primer termino a y diferencia común d es dada por

Sn = (n/2)[2a + (n - I)d ]

También podemos escribir esta formula como

Sn = (n/2)(a + I) es donde I = a + (n – I)d

Ejemplo:

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Progresiones matemáticas y financieras

Capitulo 7

Calcule la suma de los primeros 20 términos de la progresión

2 + 5 + 8 + 11 + 14…….

Solución: La sucesión dada es una PA porque

5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3

Así la diferencia común de d = 3. También a = 2 y n= 20, por lo tanto

Sn = (n/2)[2a + (n - I)d ]

Sn = (20/2)[2(2) + (20 - 1)3 ]= 10 (4 + 57) = 610 6

7 – 2 Progresiones geométricas e interés compuesto

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Progresiones matemáticas y financieras

Capitulo 7

Definiciones

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada número es igual al

anterior multiplicado por una constante.

La principal diferencia práctica es que la progresión geométrica crece mucho más

rápidamente que la aritmética.

Si a es el primer término y r es la razón común, los términos sucesivos de la PG son

a, ar, ar²,arᵌ, …

En esta PG, observamos que la potencia de r en cualquier término es uno menos que el

número del término. Así que el n-ésimo término está dado por

Interés compuesto

Ejemplos aplicados a la administración

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Tn =ar n−1

Progresiones matemáticas y financieras

Capitulo 7

Determine los términos quinto y n-ésimo de la sucesión 2, 6, 18, 54

Solución:

La sucesión es una PG debido a que

62=186

=5418

=3

En consecuencia, los términos sucesivos tienen una razón constante de 3; esto es r = 3.

Asimismo, a = 2. Por tanto.

T5 = ar 4 ¿2 (34 )=162 y también Tn = ar n−1 ¿2¿3n−1

En el mundo de la inversión es importante conocer la progresión geométrica y su

velocidad de crecimiento. El denominado “interés compuesto” es una progresión

geométrica.

Ejemplo 2.

Una máquina se compró en $10,000 y se deprecia anualmente a una tasa del 20% de su

valor. Determine una expresión para el valor después de n años. Si el valor de desecho es

$3000, ¿Cuál es la vida efectiva de la máquina (i.e., el número de años hasta que su valor

depreciado sea menor que su valor de desecho)?

Solución.

Ya que el valor de la maquina se deprecia cada año en un 20% de su valor al inicio del año,

el valor de la máquina al término de cada año es el 80% o cuatro quintos del valor inicial

de ese año. Así que, el valor (en dólares) de la máquina al término del primer año es

45de10,000 ( 45 )=10,000( 45 )

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Progresiones matemáticas y financieras

Capitulo 7

Y al acabar el segundo año es de

45de10,000 ( 45 )=10,000( 45 )

2

De manera similar, el valor (en dólares) al término del tercer año será de 10,000( 45 )3

Por tanto el valor en (en dólares ) de la máquina al término del primer año, del segundo

año, del tercer año, etc.., es

10,000( 45 ) ,10,000( 45 )2

,10,000 ( 45 )3

,…

Es claro que esta sucesión es una PG con primer término 10,000( 45 ) y razón común de 45

.

Por tanto, el n-ésimo término que da el valor de la máquina al término del n-ésimo año es

Tn = ar n−1 ¿10,000( 45 )∗( 45 )n−1

=10,000 ( 45 )n

Haciendo n igual a 1, 2, 3, … obtenemos los valores de la tabla 1. En consecuencia,

observamos que después de 5 años el valor de la máquina es un poco más grande que el

valor de desecho de $3,000, pero después de 6 años, su valor está por debajo del valor de

desecho. La vida útil de la máquina es de 6 años.

n 1 2 3 4 5 6

Tn 8000 6400 5120 4096 3276.8 2621.44

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Progresiones matemáticas y financieras

Capitulo 7

7 – 3 Matemáticas financieras.

Definiciones

Ejemplos aplicados a la administración

7 – 4 Ecuaciones en diferencias.

Definiciones

Ejemplos aplicados a la administración

7 – 5 Notación de sumatoria (Sección opcional)

Definiciones

Ejemplos aplicados a la administración

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