CALCULO DIFERENCIALINSTITUTO TECNOGICO SUERIOPR DE MISANTLA

ING.TODAS LAS CARRERAS

CALCULO DIFERENCIAL

TITULAR: ING.EDUARDO ENRIQUE SALAZAR

INVESTIGACION DE LA UNIDAD III

LIMITES

PRESENTA: ABRAHAM GONZALEZ RIVERA

INTRODUCCIONEste tema lo iniciamos recordando el concepto de funcin y dando algunas nociones bsicas sobre funciones, para dar paso al estudio del lmite de una funcin, clculo de lmites de funciones y continuidad.En este tema la intuicin juega un papel definitivo. Se ha procurado evitar en lo posible las formalizaciones rigurosas, ya que muchas veces formalizar lo que intuitivamente est claro no aporta ms claridad.Enmatemtica, ellmitees un concepto que describe latendenciade unasucesino unafuncin, a medida que los parmetros de esa sucesin o funcin se acercan a determinado valor. Enclculo(especialmente enanlisis realymatemtico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales deconvergencia,continuidad,derivacin,integracin, entre otros.El concepto se puede generalizar a otros espacios topolgicos, como pueden ser lasredes topolgicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemtica, como puede ser lateora de categoras.

INDICE

3.1 LIMITES DE SUSECION. 43.2 LIMITE DE UNA FUNCION DE VARIABLE REAL. 53.3 CALCULO DE LIMITES... 63.4 PROPIEDADES DE LOS LIMITES 73.5LIMITES LATERALES... 83.6 LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO. 123.7 ASINTOTAS.. 13 3.8 FUNCIONES CONTINUAS Y DESCONTINUAS EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALIO...153.9 TIPOS DE DESCONTINUIDADES....18

3.1 Lmites desucesinEllmite de una sucesines uno de los conceptos ms antiguos delanlisis matemtico. El mismo da una definicin rigurosa a la idea de unasucesinque se vaaproximandohacia un punto llamadolmite. Si una sucesin tiene lmite, se dice que es unasucesin convergente, y que la sucesinconvergeotiendeal lmite. En caso contrario, la sucesin esdivergente.

La definicin significa que eventualmente todos los elementos de la sucesin se aproximan tanto como queramos al valor lmite. La condicin que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientesnoimplica, en general, que la sucesin tenga un lmite.

3.2 Lmite de una funcin de variablerealSe le llama funcin real de variable real a toda la funcin definida de un subconjuntoDde los nmeros reales, en el conjuntoRde los nmeros reales, tal que a cada elementoxdeDle corresponde uno y slo un elementoydeR:f:D->Rx->x2.Para que una funcin quede correctamente definida es necesario determinar:1. El conjunto inicial o dominio de la funcin.2. El conjunto final o imagen de la funcin.3. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.As, por ejemplo, la funcin definida por:f:R>Rx>x2.asigna a cada nmero real su cuadrado.Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los nmeros reales, pues dado cualquier nmero realx, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro nmero real.Tiene por conjunto imagen todos los nmeros reales positivos, puesto que el cuadrado de un nmero siempre es positivo:lim(f)=R+.La regla de asignacin es: Dado cualquier nmero realx,calcular su cuadrado para obtener la imagen.

3.3 Clculo delmitesSif(x)es una funcin usual (polinmicas, racionales, radicales, exponenciales, logartmicas, etc.) y est definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: Para calcular el lmite se sustituye en la funcin el valor al que tienden las x.

No podemos calcularporque el dominio de definicin est en el intervalo [0, ), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

3.4 Propiedades de loslmites

3.5 Lmites lateralesHasta el momento hemos visto lmites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los lmites en este tipo de funciones.Consideremos la siguiente representacin grfica de una funcin, en la que existe una discontinuidad cuando:notemos que cuandotiende hacia "a" por la derecha de "a" la funcin tiende a 2, pero cuandotiende hacia "a" por la izquierda de "a", la funcin tiende hacia 1.

Escribimospara indicar quetiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores que "a". Similarmenteindica quetiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que "a". Utilizando ahora la notacin de lmites, escribimosy. Estos lmites recibenel nombre de lmites laterales; el lmite por la derecha es 2 y el lmite por la izquierda es 1.Ejemplo:Determinaremos los lmites en los puntos de discontinuidad de la funcincuya representacin grfica es la siguiente:Se tiene que:yy

Definicin de lmites laterales o unilateralesDefinicin de lmite por la derecha

Se dice quesi y solo si para cadaexistetal que sientonceses el lmite por la derecha deen "a".

Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de, pueses mayor que cero ya que.Definicin de lmite por la izquierda

Se dice quesi y solo si para cadaexistetal que sientonceses el lmite por la izquierda deen "a".

Note que la expresines mayor que cero, puespor lo que.En adelante determinaremos los lmites laterales a partir de la representacin grfica de una funcin cuya ecuacin se da.Ejemplo:Determinar los lmites, en los puntos de discontinuidad, de la funcindefinida por:Primero hagamos la grfica de la funcin:

El punto de discontinuidad se presenta cuandoLuego:yObserve que el lmite por la derecha (3), es diferente al lmite por la izquierda (2).Ejercicio:Represente la funcindefinida pory determine los lmites laterales en el punto de discontinuidad.Es posible demostrar que para que existaes necesario y suficiente que los lmites laterales existan y sean iguales.Es decir,si y solo siyPor consiguiente, sies diferente dese dice queno existe.Ejemplo:Representemos grficamente la funcin definida por:

Comoy, entoncesComoy, entoncesno existe.Ejercicio:Considere la representacin grfica de la funcindefinida por:Determine si existen cada uno de los lmites siguientes:a.

b.

c.

d.

e.

3.6 Lmites infinitos y lmites alinfinitoSiunavariableindependiente xest creciendo indefinidamente atravs de valores positivos se escribe, y si decrece a travs de valores negativos se denota como.Similarmente cuando una funcion f(x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, es escribe(x) + y si decrece tomando valores negativos se escribe(x)- .

3.7AsntotasUna lnea recta que se aproxima continuamente a otra funcin o curva, que la distancia entre las 2 tiende a 0 a medida que se extiende indefinidamente.Tambin se puede decir que es la curva la que se aproxima continuamente a la recta, o que en ambas presentan un comportamiento asinttico.

Asntota Vertical (AV)La recta x=a es asntota vertical de f(x) silimx->a+f(x) = infolimx->a-f(x) = inf.

Asntota Horizontal (AH)La recta y=b es asntota horizontal de f(x) silimx->inff(x) = b.

Un ejemplo que podemos tener es:f(x) = x/(x-1)limx->1+f(x) = +inflimx->1-f(x) = -inf=> x=1 es AV de f(x)limx->inff(x) = 1=> y=1 es AH de f(x)

3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en unintervaloContinuidadesUna funcin es continua en un punto si existe lmite en l y coincide con el valor que toma la funcin en ese punto.Una idea intuitiva de funcin continua se tiene al considerar que su grfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lpiz de la hoja de papel.Continuidad de una funcin en un puntoSe dice que una funcin f(x) es continua en un punto x = a si y slo si se cumplen las tres condiciones siguientes:1. Que el punto x= a tenga imagen.2. Que exista el lmite de la funcin en el punto x = a.3. Que la imagen del punto coincida con el lmite de la funcin en el punto.Si una funcin no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.Una funcin es continua por la derecha en un punto si existe el lmite por la derecha en l y coincide con el valor que toma la funcin en ese punto, es decirUna funcin es continua por la izquierda en un punto si existe el lmite por la izquierda en l y coincide con el valor que toma la funcin en ese punto.

as1ddaDiscontinuidades1.- Una funcin es discontinua en un punto cuando no existe lmite en l o, existiendo, no coincide con el valor de la funcin en el mismo.2.- Una funcin tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe lmite en l y no coincide con el valor de la funcin en el mismo.El valor que deberamos dar a la funcin en dicho punto para que fuera continua en l se llama verdadero valor de la funcin en el mismo.3.- Una funcin tiene una discontinuidad inevitable.

3.9 Tipos dediscontinuidad

Discontinuidad evitableSi una funcin tiene lmite en un punto, pero la funcin en ese punto tiene un valor distinto:

o no existe:

se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la funcin, en ese punto, el valor del lmite:

Discontinuidad esencial o no evitableSe dice que una funcin presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:1. Existen los lmites laterales pero no coinciden.2. Alguno de los lmites laterales o ambos son infinitos.3. No existe alguno de los lmites laterales o ambos.Discontinuidad de primera especieEn este tipo de discontinuidad existen tres tipos:- DE SALTO FINITOExisten el lmite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:De salto infinitoSi uno de los lmites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el lmite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:como en el caso de que el lmite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:

Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.DISCONTINUIDAD ASINTTICASi los dos lmites laterales de la funcin en el puntox= ason infinitos:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asinttica, siendox= ala asntota.Discontinuidad de segunda especieSi la funcin no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los lmites laterales de la funcin en ese punto, se dice que la funcin presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

CONCLUCIONTras el estudio de los nombrados limites matemticos, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemticas como para muchas otras ciencias, en especial la fsica y la qumica.El objetivo planteado en laintroduccinse cumpli, ya que se pudo observar a lo largo deldesarrollolos diferentes usos de los lmites en la vida diaria y, al haber tambin estudiado las ecuaciones matemticas, nos queda un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemtica.Creo que el resultado obtenido trasel trabajode investigacin fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la informacin terica, y creo que tambin estamonografanos ser til en la prctica.

BIBLIOGRAFIA

CALCULOROLAND E. LARSON, ROBERT P. HOSTETLER, BRUCE H. EDWARSEDITORIAL Mc. GRAW HILL

http://darkcity2111.wordpress.com/?page_id=25&preview=true

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico

http://darkcity2111.wordpress.com/3-8-funciones-continuas-y-descontinuas-en-un-punto-y-en-un-intervalo/

http://www.vitutor.com/

http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Limites/FTLaterales.pdf

ITSM21