Investigacion Metodos Numericos

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INVESTIGACION BRANDON CASAS LEDEZMA METODOS NUMERICOS ING.CLAUDIO VELAZQUEZ ACEVEDO zS13004816 27/05/2014 BREVE RESEÑA ES UNA INVESTIGACION DE LA EXPERIENICIA EDUCATIVA “METODOS NUMERIOS” EN LA CUAL CONSTA DE DOS TEMAS DIVIDOS EN 5 SUBTEMAS, A CONTINUACION UN RESUMEN DE LO QUE ENTENDI.

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INVESTIGACION

BRANDON CASAS LEDEZMA

METODOS NUMERICOS

ING.CLAUDIO VELAZQUEZ ACEVEDO

zS13004816

2 7 / 0 5 / 2 0 1 4

BREVE RESEÑA

ES UNA INVESTIGACION DE LA EXPERIENICIA EDUCATIVA “METODOS NUMERIOS” EN LA CUAL CONSTA DE DOS TEMAS DIVIDOS EN 5 SUBTEMAS, A CONTINUACION UN RESUMEN DE LO QUE ENTENDI.

METODOS NUMERICOS

Contenido5.- SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES.............................................2

5.1 METODOS EXPLICITOS E IMPLICITOS PARA RESOLVER ECUACION DE CALOR..........................3

5.2.- METODO PARA RESOLVER LA ECUACION DE ONDAS.............................................................4

ECUACION DE ONDA EN DOS DIMENCIONES.............................................................................5

5.3 ECUACION DE POISSION Y UNA INTRODUCCION ALOS ELEMENTOS FINITOS..........................6

INTRODUCCION ALOS ELEMENTOS FINITOS...............................................................................6

UNIDAD 6.- REGRECION Y APROXIMACION........................................................................................9

6.1.- REGRECION LINEAL................................................................................................................9

6.2 REGRECION POLINOMIAL.......................................................................................................10

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5.- SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

Se abordara el problema de la solución de una ecuación de onda unidimensional que corresponde a la forma:

La solución de la ecuación existe en un palo general espacio-tiempo. El valor de la variable dependiente Y se determina entonces en todos los puntos de la red sobre el intervalo deseado.

El procedimiento numérico comienza utilizando los valores conocidos de la condición inicial y se procede a partir de ahí en una progresión renglón por renglón conforme avanza el tiempo, satisfaciendo siempre las condiciones de frontera especificadas conforme a la solución progresa.

Análisis numérico red para la solución.

Se deberán sustituirse dos ecuaciones de derivación parcial numéricas de acuerdo a lo establecido en el método de las diferencias finitas, en particular

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De la susticion resulta

Despejando la incógnita

Donde C:

El valor de es importante cuando se considera la solución numérica de una ecuación diferencial parcial. Se obtiene una solución inestable para la ecuación de onda cuando C > 1 y la solución es estable cuando C =< 1.

5.1 METODOS EXPLICITOS E IMPLICITOS PARA RESOLVER ECUACION DE CALOR

El método de Crank–Nicolson se basa en diferencias centrales en espacio y en la Regla del trapecio en tiempo, resultando así en un método con convergencia de segundo orden en tiempo. Por ejemplo en una dimensión, si la ecuación en derivadas parciales es:

Entonces, tomando:

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La ecuación para el método de Crank–Nicolson es una combinación del método de Euler implícito y el método de Euler explícito en la etapa de tiempo n + 1

método en sí no es simplemente la media de estos dos métodos, puesto que la ecuación depende implícitamente de la solución):

La función F debe ser discreteada espacialmente mediante diferencias centrales. se trata de un método implícito: para obtener el valor de u en el "siguiente instante de tiempo", debe resolverse un sistema de ecuaciones algebraicas el sistema de ecuaciones algebraicas tiene asociada una matriz tridiagonal y puede ser resuelto eficientemente mediante algoritmos adaptados a

este tipo de matrices, que son de orden , mientras que los métodos habituales (para resolución de sistemas lineales con matrices llenas) son de orden

.

5.2.- METODO PARA RESOLVER LA ECUACION DE ONDAS

La ecuación de onda es el ejemplo prototipo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a una función u(x,t) que satisface:

Donde   es el laplaciano y donde   es una constante equivalente a la velocidad de propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C, esta constante es de cerca de 343 m/s (véase velocidad del sonido). Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión.

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En este caso,   deberá ser remplazado por la velocidad de fase:

Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede

depender también de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de

onda no lineal:

Esto también significa que el comportamiento de una onda se puede analizar al

dividir la onda en sus componentes. La transformada de Fourier divide una onda

sinusoidal en sus componentes y es útil para el análisis de la ecuación de onda.

ECUACION DE ONDA EN DOS DIMENCIONES

En un espacio de dos dimensiones, la ecuación de onda es:

Podemos utilizar la teoría tridimensional para resolver este problema si

consideramos a u como una función de tres dimensiones que es independiente de

la tercera dimensión. Si:

Entonces la fórmula de la solución en tres dimensiones se convierte en:

Donde α y β son las dos primeras coordenadas en la unidad esférica, y dω

es el elemento de área en la esfera. Esta integral puede ser rescrita como una

integral sobre el disco D con centro en (x,y) y radio ct:

Es evidente que la solución en (t,x,y) dependa no solo de la información en

el cono de luz donde:

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5.3 ECUACION DE POISSION Y UNA INTRODUCCION ALOS ELEMENTOS FINITOS

Su nombre se lo debe al matemático, geómetra y físico francés Siméon-Denis Poisson, En matemática y física, la ecuación de Poisson es una ecuación en derivadas parciales con una amplia utilidad en electrostática.

La ecuación de Poisson se encuentra definida como:

Donde   es el operador laplaciano, y f y φ son funciones reales o

complejas. En un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, toma la

forma:

Si f = 0, la ecuación se convierte en la ecuación de Laplace:

INTRODUCCION ALOS ELEMENTOS FINITOS

El método de los elementos finitos (MEF) permite realizar un modelo

matemático de cálculo del sistema real, más fácil y de manera más económica,

de modificar que un prototipo. Sin embargo no deja de ser un método

aproximado de cálculo debido a las hipótesis básicas del método. Los

prototipos, por lo tanto, siguen siendo necesarios, pero en menor número, ya

que el primero puede acercarse bastante más al diseño óptimo. El método de

los elementos finitos como formulación matemática es relativamente nueva;

aunque su estructura básica es conocida desde hace bastante tiempo, en los

últimos años ha sufrido un gran desarrollo debido a los avances informáticos.

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Han sido precisamente estos avances informáticos los que han puesto a

disposición de los usuarios gran cantidad de programas que permiten realizar

cálculos con elementos finitos.

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Carrera: Ingeniería EléctricaNombre: Brandon Casas LedezmaMatrícula: S13004816Experiencia Educativa: Métodos Numéricos.Tema: Unidad VI.- REGRESIÓN Y APROXIMACIÓN..

Académico: Ing. Claudio Velázquez Acevedo

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UNIDAD 6.- REGRECION Y APROXIMACION

6.1.- REGRECION LINEAL

Si empleamos un sistema que conste de coordenadas cartesianas para representar la distribución bidimensional, obtendremos un conjunto de puntos conocido con el diagrama de dispersión, cuyo análisis permite estudiar cualitativamente, la relación entre ambas variables tal como se ve en la figura. El siguiente paso, es la determinación de la dependencia funcional entre las dos variables x e y que mejor ajusta a la distribución bidimensional.

La regresión nos permite además, determinar el grado de dependencia de las series de valores X e Y, prediciendo el valor y estimado que se obtendría para un valor x que no esté en la distribución.

Vamos a determinar la ecuación de la recta que mejor ajusta a los datos representados en la figura. Se denomina error si a ladiferencia yi-y, entre el valor observado yi, y el valor ajustado y= axi+b, tal como se ve en la figura inferior.

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Los extremos de una función: máximo o mínimo se obtiene cuando las derivadas de s respecto de a y de b sean nulas. Lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas del que se despeja a y b.

a) Cuando r=1, la correlación lineal es perfecta, directa.b) Cuando r=-1, la correlación lineal es perfecta, inversac) Cuando r=0, no existe correlación alguna, independencia total de

los valores X e Y.

6.2 REGRECION POLINOMIAL

Se lleva a cabo usando una prueba t para β2 = 0. Una estrategia para escoger d consiste en agregar términos a la función media hasta que la prueba t para el termino de mayor grado resulte no significa. También se puede utilizar una estrategia de eliminación en la que se da un valor máximo para d y se eliminan los términos en la función media.

Un caso especial de la regresión polinomial es la regresión cuadrática. Se tiene un solo predictor, la función media polinomial de grado d es:

E (Y |X = x) = β0 + β1x + β2x

Con el modelo de regresión lineal simple:

E (Y |X) = β0 + β1X

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