Investigacion Operacional

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Investigación de Operaciones

Rafael I. Thomas BohórquezMs. Ing. Industrial.

Ing. Sistemas y computación.

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PLANPLAN

• Qué es la investigación de operaciones?• Un poco de historia• Campos de aplicación.• Modelos.• Fases de estudio.• Programación lineal (PL).• Programación entera.

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PLANPLAN

• Programación dinámica.• Programación no lineal.• Redes.• Teoría de juegos.• Cadenas de Markov.• Teoría de colas.• Simulación.• Pronósticos.

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QUÉ ES?QUÉ ES?• “La investigación de operaciones es una ciencia interdisciplinaria que

utiliza métodos científicos como la modelación matemática, la estadística y los algoritmos para tomar decisiones en problemas complejos del mundo real concernientes con la coordinación y ejecución de las operaciones dentro de una organización.....el objetivo es encontrar de manera científica la mejor solución a un problema planteado ” [WIK1]

• “La investigación de operaciones aspira a determinar el mejor curso de acción (óptimo) de un problema de decisión con la restricción de recursos limitados” [TAH]

• “La investigación de operaciones significa “investigar sobre las operaciones”, entonces, .....se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades).....intenta encontrar una mejor solución (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración” [HIL]

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QUÉ ES?QUÉ ES?

• Además utiliza métodos experimentales (simulación)• Factores a tener en cuenta

– Objetivo a resolver (función objetivo). – Opciones de decisión.– Restricción en los recursos.– Factor humano (problema del elevador).

• Algunas de las principales herramientas usadas en IO/(OR) son estadística, optimización matemática, estocástica (probabilidad), teoría de colas, teoría de juegos, teoría de grafos y simulación.

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TIPOS DE PROBLEMASTIPOS DE PROBLEMAS

• Deterministicos – Entradas conocidas con certeza.

• Estocásticos– Entradas no determinadas completamente no hay certeza total

(probabilidad)

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BREVÍSIMA HISTORIABREVÍSIMA HISTORIA

• De manera oficial se determina que se inició durante la segunda guerra mundial – los aliados tenían un serio problema de escasez de recursos

(económicos, armas, hombres) para asignar a operaciones bélicas y a actividades dentro de cada operación.

– Inglaterra y E.E.U.U. Llamaron a concilio a Patrick Blackett, Cecil Gordon, C.H. Waddington, Owen Wansbrough-jones, Frank Yates, George Dantzing (Radar, Manejo de operaciones anti-submarinas, batalla del atlántico norte, campaña del pacífico)

– Dantzing (premio Nobel) sugirió el método simplex (1947), uno de los diez de mayor influencia en el desarrollo y la práctica de la ingeniería en el siglo XX.

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BREVÍSIMA HISTORIABREVÍSIMA HISTORIA

• Al terminar la guerra se extendió su uso hacia la sociedad civil (grandes industrias).

• En los 70’s se generaron solvers comerciales, movimiento que continua hasta hoy (CPLEX, Lingo, Xpress-MP, MPL, GAMMS, Mosek, Minto, Mathemathica, Symphony, GNU Linear programming Kit, etc)

• Karmakar generó un nuevo algoritmo (1984) y comenzó el auge de algoritmos de punto interior.

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CAMPOS DE APLICACIÓNCAMPOS DE APLICACIÓN

• Algunos pocos ejemplos donde IO es aplicable son:– Diseño de una planta para el flujo óptimo de materiales– Construcción de una red de telecomunicaciones redundante —a bajo

costo— que garantice un tiempo de servicio no inferior al 95% si se conoce la probabilidad de falla de una conexión o la distribución de uso de los canales.

– Manejo de rutas simples o dobles en las calles de una ciudad.– Determinación de las rutas de buses escolares para minimizar el

tiempo de recorrido de los estudiantes y el número de buses utilizado.– Determinación del número óptimo de buses de transmilenio que deben

circular por la ciudad dentro de un intervalo de servicio.– Diseño óptimo de un mother board de computador que minimice el

tiempo de producción (y por lo tanto el costo).

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– Determinación del flujo óptimo de materiales por la cadena de producción de una empresa.

– Determinación de la cantidad de productos a elaborar si se tiene la distribución de probabilidad estimada de la demanda futura.

– En una economía globalizada donde es el mejor punto para abrir una fábrica para minimizar los costos (transporte de materia prima, costo de mano de obra, pago de impuestos, costos de mantenimiento, costos de transporte de productos, costo por estabilidad laboral y/o política etc).

– Scheduling de producción• Personal• Procesos• Flujo de materiales• Máquinas• Eventos externos

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– Manejo de horarios en universidad (scheduling)– Entrega óptima de producto terminado a distribuidores o

comercializadores (logística de distribución).– Definición de número de agentes (1er y 2do nivel) y líneas de entrada en

un call center.– Organización óptima de evento público (Número de boletas a vender,

policías a contratar, puertas habilitadas, tiempos de ingreso, etc).

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MODELOSMODELOS

• Modelos matemáticos– Programación lineal.– Programación entera.– Programación dinámica– Programación no lineal.

• Simulación– Modelos estocásticos.– Modelos determinísticos.

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FASES DE ESTUDIOFASES DE ESTUDIO

• Definición del problema.• Recolección de datos.• Formulación del modelo matemático.• Solución del modelo.

– Técnicas exactas.– Técnicas heurísticas.

• Análisis de sensibilidad.• Validación del modelo.• Implantación.• Conclusiones.

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PROGRAMACIÓN LINEALPROGRAMACIÓN LINEAL

• Optimización de una función objetivo lineal sujeta a restricciones lineales.– F(x1,x2,....,xn) = a1x1+ a2x2+..........+anxn + b

• Dada la función anterior, el objetivo es encontrar el punto donde F sea Máxima/Mínima (si este punto existe).

• La forma general es:– Max CtX– S.A. AX <= B– X >= 0

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PROGRAMACIÓN LINEALPROGRAMACIÓN LINEAL• Ejemplo:

– Martín necesita definir que cultivo realizar en su finca de 1000 Ha. Si tiene las siguientes condiciones

• Los cultivos aceptables son remolacha, algodón o trigo.• La cantidad máxima de agua que puede utilizar es 1200 M3 • Las restricciones legales de extensión de cultivos, uso de agua y rendimiento

por hectárea están dados por:

Cultivo Cantidad máxima

Agua requerida(M3/Ha)

Utilidad ($/Ha)

Remolacha 600 1.5 750

Algodón 500 2.2 620

Sorgo 350 1.5 550

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• Se modela así:Max 750X1 + 620X2 + 550X3

S.A. X1 + S1 = 600

X2 + S2 = 500

X3 + S3 = 350

1.5X1 + 2.2 X2 + 1.5X3 + S4 = 1200

X1, X2, X3, S1, S2, S3, S4 >= 0

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• Cuya solución en GAMMS toma 0.150 segundos• x1 = 600

• x2 = 0

• x3 = 200• Función objetivo (Utilidad) 560.000

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PROGRAMACIÓN ENTERAPROGRAMACIÓN ENTERA

• Es una programación lineal en la cual las variables objetivo están restringidas a valores enteros.

• Agrega más restricciones al problema– Aumenta la complejidad de la solución.– Variables booleanas– El espacio de la solución es más pequeño.

• Las soluciones se hacen utilizando la técnica de branch-bound (ramificación y acotamiento)

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PROGRAMACIÓN ENTERAPROGRAMACIÓN ENTERA• [HIL] La división de investigación y desarrollo de good

products company ha desarrollado tres nuevos productos que pueden desarrollarse en cualquiera de sus dos plantas, sin embargo, se han impuesto las siguientes restricciones:– De los tres nuevos productos deben escogerse a lo más dos para producir.– Sólo una de las dos plantas debe asignarse para la producción de los

nuevos productos.– El costo unitario de producción es el mismo en cualquiera de las plantas.– El resto de la información necesaria se resume en la siguiente tabla

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Tiempo de producción Producto 1



Horas disponibles

Planta 1 3 horas 4 horas 2 horas 30 horas

Planta 2 4 horas 6 horas 2 horas 40 horas

Ganancia unitaria

5 7 3

Ventas potenciales

7 5 9

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• Cuya formulación es:Max 5X1 + 7X2 + 3X3

S.A. X1 <= 7

X2 <= 5

X3 <= 9

X1 – MY1 <= 0

X2 – MY2 <= 0

X3 – MY3 <= 0

Y1 + Y2 + Y3 <= 2

3X1 + 4X2 + 2X3 – MY4 <= 30

4X1 + 6X2 + 2X3 + MY4 <= 40 + M

X1, X2, X3 >= 0, Yj Binaria j =1..4

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PROGRAMACIÓN DINÁMICAPROGRAMACIÓN DINÁMICA• Diseñado para mejorar la eficiencia de problemas de cálculo de

problemas, descomponiéndolo en problemas de menor tamaño. • Resuelve el problema en etapas, en cada etapa existe una

variable de optimización, es decir, la solución es recursiva.• Para la etapa N, se obtiene el óptimo del sub-probleman

• Para la etapa N, se toma el óptimo calculado para la etapa N-1 y con base en este y la variable de optimización de la etapa N, se halla el nuevo óptimo.

• Si se repite este procedimiento de manera recursiva, al final se obtiene la solución del problema.

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PROGRAMACIÓN DINÁMICAPROGRAMACIÓN DINÁMICA• Suponga que se tiene el siguiente conjunto de rutas:

2 4 3A B C D

7 4 6

3 2 44 1 5

BCD

E F G1 46 33 3

EFG

H I 34

H I

J

AF

E

D

C

B

G

H

I

J

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PROGRAMACIÓN NO LINEALPROGRAMACIÓN NO LINEAL• Se encuentra este caso cuando alguna función es no lineal

(la función objetivo o las restricciones).– Mezcla de productos con elasticidad precios.– Transporte con descuentos por volumen en los precios de

embarque.– Selección de una cartera (portafolio) con inversiones riesgosas.– Métodos

• Búsqueda directa• Derivadas restringidas (Jacobiano)• Gradiente.• Método de Lagranje (Lagrangiano).• Newton-Raphson

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PROGRAMACIÓN NO LINEALPROGRAMACIÓN NO LINEAL

• Tipos de problemas– Optimización no restringida.– Programación cuadrática.– Programación convexa.– Programación geométrica.– Programación fraccional.

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REDESREDES• Una red es un conjunto de nodos conectados por arcos,

cada arco tiene un flujo asociado.– Problema del árbol de extensión mínima.– Problema de la ruta más corta.– Problema del flujo máximo.– Problema de flujo de costo mínimo.– Problema del transporte.– Problema del transbordo.

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TEORÍA DE JUEGOSTEORÍA DE JUEGOS• “La teoría de juegos es el estudio de problemas de decisión multipersonal” [GIB],

basado en la racionalidad de los agentes (jugadores).– Juegos estáticos con información completa.– Juegos dinámicos con información completa.– Juegos estáticos con información incompleta.– Juegos dinámicos con información incompleta.

• Se basa en los trabajos del profesor Nash, quien demostró la existencia de una solución única (equilibrio de Nash).

• Ej. Dos sospechosos de un crimen son arrestados por la policía, la policía carece de evidencia para encerrar a los supuestos delincuentes, a menos que uno de ellos confiese. Si ninguno confiesa serán encerrados por delito menor y condenados a un año de cárcel, si uno confiesa y el otro no, el delator saldrá libre y el otro será condenado a nueve años de cárcel, si ambos confiesan serán sentenciados a cinco años de cárcel.

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TEORÍA DE JUEGOSTEORÍA DE JUEGOS

• El equilibrio de Nash, pronostica que el comportamiento esperado de los jugadores es confesar, confesar y ser sentenciados a 5 años (Esto es peor que callar, callar, pero así es la vida!!!)

Preso 2 Preso 1

Callar Confesar

Callar -1, -1 -9, 0

Confesar 0, -9 -5, -5

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CADENAS DE MARKOVCADENAS DE MARKOV• Procesos estocásticos.• La probabilidad condicional de cualquier evento futuro

dado cualquier evento pasado y el estado actual es independiente del evento pasado.

• Las probabilidades condicionales son probabilidades de transición.

• Ej. Problema del jardinero

1 2 31 0.2 0.5 0.32 0 0.5 0.53 0 0 1

1 2 31 0.3 0.6 0.12 0.1 0.6 0.33 0.05 0.4 0.55

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CADENAS DE MARKOVCADENAS DE MARKOV

• Que genera las siguientes recompensas:

• Qué política debe escoger el jardinero?.

1 2 31 7 6 32 0 5 13 0 0 -1

1 2 31 6 5 -12 7 4 03 6 3 -2

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TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS• Estudia los procesos relacionados con las líneas de espera.• Clientes

– Se conoce la distribución de probabilidad de llegada de clientes.– La fuente de clientes es limitada o ilimitada.– Los clientes pueden tener prioridad.

• Diseño de la instalación y ejecución del servicio– Estaciones en paralelo.– Estaciones en serie.– Estaciones en red.

• Tamaño de la cola– Limitada– Ilimitada

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TEORÍA DE COLASTEORÍA DE COLAS• Política de servicio

– FIFO.– LIFO.– Aleatorio.

• Tiempo de servicio– Es diferente para cada cliente.– Se conoce su distribución de probabilidad (generalmente exponencial o

normal).• Comportamiento humano

– Cambio.– Elusión.– Renuncia.

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SIMULACIÓNSIMULACIÓN• Se utiliza para analizar modelos estocásticos.• El comportamiento real del modelo se imita mediante

distribuciones de probabilidad.• Se corre el modelo y se repite un número importante de veces.• Se analizan los resultados utilizando técnicas tradicionales de

estadística.• Se concluye.• Construcción del modelo

– Definir el estado inicial del sistema.– Definir los estados de transición (estados posibles del sistema)

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SIMULACIÓNSIMULACIÓN– Identificar los eventos posibles que cambian el estado del sistema.– Asignar probabilidad de ocurrencia de cada evento.– Definir un reloj de simulación.– Definir un mecanismo de generación aleatoria de los eventos.

• Ejemplo– Se tiene un juego con las siguientes características:

• Se lanza una moneda no cargada.• Cada vez que se lanza una moneda el jugador debe pagar $1.• Una vez iniciado el juego el jugador no se puede retirar.• El juego termina cuando la diferencia entre caras y sellos sea igual a

3.• Al terminar el juego el jugador recibe $8.

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SIMULACIÓNSIMULACIÓN• package juegomonedas;

• /**• *• * @author Raftho• */• public class JuegoMonedas • {• int []ganancia = new int[400];• /** Creates a new instance of Main */• public JuegoMonedas()• { int c,s,m,t;• for (int i=0; i<400; i++)• { t=0;• c=0;• s=0;• while (Math.abs(c-s)<3) • { m = (int)(Math.random()*10);• t++;• if (m <=5)• c++;• else• s++; • }• ganancia[i] = 8-t; • }• t=0;• for (int i=0; i<400; i++)• { System.out.println("Ganancia en juego "+i+" es :"+ganancia[i]);• t += ganancia[i];• }• System.out.println("el esperado del juego es "+(float)t/400);• }• • /**• * @param args the command line arguments• */• public static void main(String[] args)• { • new JuegoMonedas();• }• }

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SIMULACIÓNSIMULACIÓN

• El resultado esperado obtenido es de –0.14.• Con ese dato usted jugaría?.

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PRONOSTICOSPRONOSTICOS• El objetivo es determinar el comportamiento futuro de

algunas variables si se conoce su desempeño histórico.– Pronóstico de ventas.– Pronóstico de inventario de repuestos.– Pronóstico del rendimiento de la producción.– Pronósticos de necesidades de personal.– Pronósticos de tendencias económicas.

• Tasas de interés.• Crecimiento de la economía.• Crecimiento del PIB.

– Pronósticos de demandas energéticas.– Pronóstico de la demanda de un producto.– Pronóstico de utilización de capacidad instalada.

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PRONOSTICOSPRONOSTICOS• Métodos subjetivos

– Opinión del administrador.– Jurado de opinión ejecutiva.– Mezcla de opiniones.– Investigación de mercado– Método Delphi.

• Métodos estadísticos– Series de tiempo.

• Último valor.• Promedio.• Promedios móviles.• Suavizado exponencial.• ARIMA (Box-Jenkins)• Regresión lineal• Mínimos cuadrados

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REFERENCIASREFERENCIAS

• [GIB] Gibbons Robert, Un primer curso de teoría de juegos, Antoni Bosch Editor, 1993.

• [HILL] Hillier S. Frederick, Lieberman J. Gerald, Investigación de operaciones, Mc Graw Hill séptima edición, 2002

• [TAH] Taha Hamdy A, Investigación de operaciones, AlfaOmega, quinta edición 1995.

• [WIK1] Wikipedia, http://www.wikipedia.org, consultada en mayo 5 de 2007, versión en inglés.

• [WIK2] Wikipedia, http://www.wikipedia.org, consultada en mayo 5 de 2007, versión en español.

http://www.wikipedia.org/












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