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I. T. INFORMÁTICA DE SISTEMAS.Cálculo NuméricoRelación n0 1. Errores

1. En cada uno de los casos siguientes, halla el error absoluto, el error relativo ydetermina el número de cifras signi�cativas de la aproximación:

a) x = 2, 71828182 x∗ = 2, 7182

b) y = 98350 y∗ = 98000

c) z = 0, 000068 z∗ = 0, 00006

2. Calcula el valor de√

2 en la calculadora tomando 7 cifras decimales y acota elerror máximo que comete la máquina al realizar esta aproximación. Realiza unaacotación mejor del error si sabemos que la siguiente cifra decimal es 7. Repite laoperación sabiendo que la siguiente cifra es 3.

3. La temperatura de un �uido resulta ser de 224, 3◦K, el aparato de medida utilizadoasegura un error relativo máximo del 2 %. Calcula una cota del error absolutocometido y un intervalo donde podamos asegurar que se encuentra la medidacorrecta.

4. Al medir la altura de una balsa de riego se ha obtenido 8, 372 metros con unaprecisión de tres cifras signi�cativas. Da un intervalo de números reales en el quese pueda asegurar que se encuentra la altura correcta. Con un error relativo menorque 0, 00004, ¾cuántas cifras signi�cativas se tienen?

5. Se sabe que 10000 aproxima a x con un error absoluto E(x) < ε. Comprueba que1

10000aproxima a 1

xcon E( 1

x) < ε

100002 .

6. Acota el error absoluto propagado al calcular 2π si π se aproxima como 3, 1416.

7. Estudia la propagación de los errores al sumar y multiplicar tres números, y enel cociente de dos cantidades.

8. Se han medido las dimensiones de una caja rectangular y, despreciando los deci-males, se ha obtenido que los lados tienen 3,4 y 5 cm. ¾qué error absoluto máximose ha cometido en estas aproximaciones? Da una cota del error al calcular el vol-umen de dicha caja. ¾Tiene alguna validez ese cálculo? Intenta explicar medianteun dibujo lo que ocurre. Repite el problema para calcular el área de sus caras.

9. a) Consideremos los datos x1 = 1, 414 y x2 = 0, 09125 que vienen dados por unerror relativo menor del 5 %. Calcula una cota del error máximo propagadoal realizar la suma x1 + x2 y el producto x1x2.

b) Con estos otros datos y1 = 31, 415 e y2 = 0, 027182 que vienen dados concinco cifras signi�cativas, acota el error propagado por su suma y productoelevado al cuadrado.

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10. Los aerogeneradores de una estación eólica generadora de electricidad se activansegún el siguiente procedimiento:Input(x);y = 1, 3x3;If y > 50then orienta los aerogeneradores;

donde x es la velocidad del viento según el anemómetro principal e y es unaestimación de la velocidad del viento a la altura de los aerogeneradores. Si enun cierto instante tenemos que x = 3, 5 ¾qué decisión se toma? Sabiendo que elanemómetro puede cometer un error de ±0, 2 m/s, ¾qué error propagado se cometeen la anterior estimación de y? Según eso, ¾estamos seguros de haber tomado ladecisión correcta? Calcula el número de condición de la función y estudia si estábien condicionada cerca de x = 50.

11. Calcula los números de condición para la evaluación de las siguientes funciones:

(x− 1)a ln(x)ex

x

1

cos x

12. A la vista de los números de condición anteriores, indica para qué valores de xse genera mayor error en la evaluación de las funciones. ¾Cuál es la función peorcondicionada para evaluarla cerca de cero?

13. Para la función f(x) = 1x−2

, aproximamos el valor de f(2, 11) mediante f(2, 1).¾Qué error relativo estamos cometiendo en los datos de entrada de la función? ¾yen los de salida? ¾Se puede concluir algo sobre el condicionamiento de la función?Calcula el número de condición de f(x) e intenta relacionar estas respuestas entresí.

14. Sea f una función desconocida de la que únicamente sabemos que f(1) = 2, 3278 yque f(1, 01) = 2, 3260. Aproxima el valor de k(f). ¾Está bien o mal condicionadacerca del punto x = 1?

15. Demuestra que el número de condición de un polinomio p(x) de segundo gradotiende a estabilizarse hacia el valor k(p) = 2 cuando x se hace muy grande.¾Qué ocurre para un polinomio de cualquier grado? En general, ¾dónde está peorcondicionado un polinomio?

16. Mathematica: El épsilon de un procesador es una medida de su precisión, éstepuede de�nirse como la distancia que hay entre la unidad y su siguiente númeromáquina. Para calcular experimentalmente el épsilon de un procesador puedeutilizarse la siguiente rutina:epsilon=1;while epsilon + 1>1 do

epsilon=epsilon/2end while;epsilon:=2*epsilon

Encuentra cúal es el épsilon de la máquina con la que trabaja Mathematica.

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17. Mathematica: Escribe una rutina que muestre todos los números máquina de unprocesador decimal de dos cifras de mantisa y exponente entre −3 y 3.

18. Completa la siguiente tabla dando el EPS de cada máquina, la cantidad denúmeros máquina que maneja cada una y los menores números positivos querespectivamente cometen over�ow y no cometen under�ow.

Mantisa Base ExponenteIEEEsimple 32 2 -126; 127doble 64 2 -1022; 1023extendida 80 2 -16382; 16383

VAXsimple 32 2 -127: 127doble-1 64 2 -127; 127doble-2 64 2 -1023; 1023extendida 128 2 -16383; 16383

IBMsimple 32 16 -64; 63doble 64 16 -64; 63extendida 128 16 -64; 63

19. Dos calculadoras grá�cas clásicas con gran potencia de cálculo en su momentoson la TI-92 de Texas Instruments y la HP-48G de Hewlett-Packard. Ambas uti-lizan redondeo, pero la primera tiene 14 cifras de mantisa, trabaja en base 10 ytiene exponente entre −999 y 999. La calculadora de Hewlett-Packard trabaja enhexadecimal, con 12 cifras de mantisa y exponente entre −FF y FF . ¾Cuál delas dos tiene mejor EPS? ¾Qué nuevo tamaño de mantisa debería tener la de peorEPS para superar a la otra? Calcula además cuántos números máquina manejacada una de ellas, y cuál es su rango de números máquina (menor número positivoque no comete under�ow y el menor positivo que provoca over�ow).

20. Usando aritmética en coma �otante con 3 cifras de mantisa y redondeo, calculala siguiente expresión sumando en el orden que se indica y en orden contrario

6∑

k=1

1

3k.

21. Supongamos un procesador muy simple que trabaja en base 10, con una cifra demantisa y exponente entre −1 y 1. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Da todos los números máquina que puede manejar este procesador. ¾Coincidesu número con el de la fórmula teórica?

b) Dibuja los números máquina anteriores en una recta real. Entre ellos apare-cerán huecos, ¾todos los huecos son de la misma longitud?, ¾cuál de estoshuecos da el mayor error absoluto al representar un número con este proce-sador?

22. Supongamos una máquina de calcular muy simple, que trabaja en base dos, condos cifras de mantisa y exponente entre −2 y 3. Resuelve las siguientes cuestiones:

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a) Da todos los números máquina que puede manejar este procesador. ¾Coincidesu número con el de la fórmula teórica?

b) Dibuja los números máquina anteriores en una recta real. Entre ellos apare-cerán huecos, ¾todos los huecos son de la misma longitud?, ¾cuál de estoshuecos da el mayor error absoluto al representar un número con este proce-sador?

c) Señala qué números serían representados por 1, 5 tanto con redondeo comotruncamiento.

23. Las calculadoras Canon de la serie fx trabajan en base 10 y punto �otante nor-malizado con 10 cifras de mantisa, utilizan truncamiento y exponente entre −98y 100. Indica entre qué números máquina se encuentra

√2 indicando cuál es el

más cercano. Calcula la longitud del intervalo donde �cae�√

2. ¾Qué númerosreales comparten el número máquina que representa a

√2. ¾Cuál es el número

máquina que sigue a 0, 438938× 103?, ¾y el que sigue a 0, 3289× 10−5? En estoscasos, ¾existe la misma distancia entre un número máquina y el siguiente? Calculael siguiente número máquina a 1, y comprueba que la distancia entre ambos esjustamente el épsilon de la máquina. Encuentra un par de números máquina quedisten entre sí exactamente 0, 0000001.

24. Usando los datos del ejercicio 18, ¾qué error absoluto se puede cometer al rep-resentar un número x en un VAX de precisión simple? Según esto, ¾qué error sepropagará al ejecutar una subrutina como la siguiente?Input(x);y = x2; z = x3;w = x + y + z;Output(w)

25. Recuerda que los coe�cientes binomiales se de�nen como(

mk

)=

m!

k!(m− k)!

¾cuál es el valor más grande de m en el que el coe�ciente binomial(

m3

)puede

calcularse en un procesador decimal con 4 cifras de mantisa y exponente entre−15 y 15 sin cometer over�ow?

26. Evalúa el siguiente polinomio para x = 1, 07, usando tanto truncamiento comoredondeo hasta tres dígitos en punto �otante, procediendo de término en término,a través del polinomio, de izquierda a derecha, ¾cuáles son los errores absoluto yrelativo de tus resultados?

2, 75x3 − 2, 95x2 + 3, 16x− 4, 67

Repite el ejercicio de derecha a izquierda, y por último usando la forma �anidada�del polinomio

((2, 75x− 2, 95)x + 3, 16)x− 4, 67

¾En qué caso se produce menos error? Cuenta el número de sumas y productosque se han realizado en cada evaluación. ¾Crees que tiene algo que ver ese númerocon los errores obtenidos?

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27. Encuentra una identidad adecuada para calcular el valor de 1− cos x para valorespequeños de x que evite el error de cancelación. Da una solución para el mismoproblema al calcular

√x4 + 4− 2.

28. Modi�ca las siguientes expresiones si es posible, para que no produzcan error decancelación: √

x + 1−√

2 ,√

x2 + 2− 2√x2 + 3− 3

29. Para qué valores de x, se pueden presentar problemas en el cálculo de ex − e yln x− 1? Encuentra un método para resolver esas situaciones.

30. Aplica el reescalamiento adecuado para las expresiones z =√

x3 + y5, z = ln(ex + ey)

y z =x10 + y9

x9 + y10que evite desbordamientos innecesarios.

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Relación n0 2. Resolución numérica de ecuaciones

1. Para cada una de las ecuaciones siguientes, encuentre un intervalo de amplitud1 que contenga a una raíz y aproxímela mediante 5 iteraciones con el método debisección.

(a) x3 − 0′5x2 + x− 0′5 = 0 (b) 1

x= tgx (c) 1

x= 2x

2. Queremos aproximar la raíz de la siguiente función

f(x) =x3 + 4x2 + 3x + 5

2x3 − 9x2 + 18x− 2

contenida en el intervalo [0, 4]. Calcule el número de iteraciones que serán nece-sarias realizar con el método de bisección para que el error absoluto sea a lo sumo0,1. Calcule la aproximación.

3. Localice la única raiz de la función f(x) = 6x3 − 5x2 + 7x − 2 mediante surepresentación grá�ca, y aproxímela mediante el método de bisección hasta queel error estimado sea menor que 0,01.

4. Calcule las raices de −0,4x2 + 2,2x + 4,7 utilizando la fórmula de la ecuacióncuadrática. Realice tres iteraciones del método de bisección para determinar lamayor de las raices. Calcule el error estimado y el autentico después de cadaiteración.

5. Se quiere aproximar la solución de x2 |√x| = 5 que es positiva. Encuentre elnúmero de iteraciones que son necesarias en el método de bisección para que elerror absoluto sea a lo sumo 0,1. Calcule esa aproximación.

6. Al aplicar el método de bisección a una cierta función, se parte del intervalo[1,5, 3,5]. ¾Cuál es la longitud del intervalo en el paso n-ésimo?, ¾cuál es la máximadistancia posible entre la raíz r y el punto medio de ese intervalo? Si comenzamoscon el intervalo [0, 3,5], ¾cuántas iteraciones serían necesarias para obtener elmismo error máximo que con 10 iteraciones y el intervalo inicial?

7. La función f(x) = e−x + 4x3 − 5 tiene una raíz en x = 1,05151652. Tomando elintervalo [1, 2], usa 6 iteraciones del método de bisección para aproximar la raíz.En cada iteración, calcule el error absoluto cometido y la estimación del errormáximo. ¾El error real siempre es menor que la estimación del error máximo?¾Los errores reales siempre disminuyen?

8. El método de Horner-Lagrange para encontrar la raíz de una función en un inter-valo es igual que el de bisección excepto que el intervalo se divide en diez partesiguales. Dé una cota del error que se comete con este método. Aplíquelo dos vecesen la ecuación del ejercicio 1.(a).

9. Mathematica: Dibuje con Mathematica la función f(x) = x sen x. ¾Qué tiene deespecial la raiz x = 0 respecto de las demás? ¾Crees que podría utilizarse elmétodo de bisección para encontrar una raiz con las mismas características?

7

10. Mathematica: Implemente el método de bisección con Mathematica y utilícelopara encontrar el punto donde se cortan las grá�cas de y =

√x2 + 1 e y =tgx con

0 < x < π/2. De una cota del error que se comete.

11. Encuentre el punto donde se cortan las grá�cas de y = x2 − 2 e y = ex (parax < 0) usando el método de Newton-Raphson hasta obtener dos cifras decimalesexactas.

12. Mediante el método de Newton-Raphson, aproxime las raíces más cercanas a 4,5y 7,7 de la ecuación x = tg x. Tómense como valores iniciales dichas cantidades yaplíquese el método hasta n = 2. Acota el error cometido en cada caso.

13. Encuentre un intervalo que contenga a una raiz de f(x) = x2 + ln x e indique unvalor de partida para que el método de Newton-Raphson converja. Realice tresiteraciones y acote el error cometido.

14. Estime el valor positivo donde la función f(x) =tg x

x2alcanza su valor mínimo,

usando el método de Newton-Raphson.

15. Utilice el método de Newton-Raphson para aproximar el valor de√

26.

16. Mathematica: Escriba un pequeño programa con Mathematica en el que para unnúmero positivo calcule una aproximación de su raiz cuadrada como en el ejercicioanterior.

17. Con el método de Newton-Raphson, planteando la ecuación adecuada, se puedencalcular inversos sin efectuar divisiones. Así, calcule una aproximación de π−1 con5 iteraciones partiendo de 0,3.

18. Encuentre la raíz más cercana a x = 1 de f(x) = ex−1 − 5x3 mediante el méto-do de Newton-Raphson hasta obtener 4 cifras decimales exactas. Acote el errorabsoluto e indique cuántas cifras signi�cativas tiene esa aproximación. ¾Cuántasiteraciones, comenzando con [0, 2], requiere el método de bisección para lograr unerror absoluto parecido?

19. Compruebe que si una función tiene una raíz simple en un intervalo [a, b] dondeademás es continua, dos veces derivable, creciente y convexa, entonces el méto-do de Newton-Raphson converge desde cualquier punto inicial contenido en elintervalo.

20. Encuentre un intervalo que contenga a una raiz de f(x) = cos x + sen x. Di todoslos valores iniciales posibles pertenecientes a ese intervalo para los que el métodode Newton-Raphson converge.

21. Explique por qué no es posible asegurar la convergencia del método de Newton-Raphson para ningún valor inicial de las funciones f(x) = x2 + 1 y g(x) = 7x4 +3x2 + π.

22. Encuentre para qué valores de partida converge el método de Newton-Raphson sise aplica a la función f(x) = x3 + x2 − 1.

8

23. Obtenga una solución de xe−x − x2 + 1 = 0 mediante 4 iteraciones de Newton-Raphson. Acote el error cometido.

24. La velocidad de caida v de un paracaidista viene dada por:

v =gm

c

(1− e−ct/m

)

donde g = 9,8 y c = 14 (c es un coe�ciente que depende del tipo de paracaidas,material,etc.). Aproxime mediante Newton-Raphson el valor de la masa necesariapara que en el instante t = 7s. el paracaidista tenga una velocidad de v = 35m/s.

25. Determine un valor de k para que 2 cos 2x + 4x + k = 0 tenga una raíz triple.

26. La función f(x) = x3 + 2x2 − 5x + 3 tiene una raiz doble en x = 1. Aprox-ímela utilizando cuatro iteraciones del método de Newton-Raphson y el métodode Newton-Raphson modi�cado. Explique las diferencias que encuentras al utilizarambos métodos.

27. Compruebe que las siguientes funciones pueden utilizarse para un procedimientode iteración funcional que converge en los intervalos que se indican. Calcule encada caso el valor del coe�ciente k.

a) 1

x2 + 1sobre un intervalo arbitrario,

b) x/2 en [1, 5],c) (tg x)−1 en un intervalo cerrado que excluya al cero.

28. Escriba dos procedimientos de punto �jo diferentes para encontrar raices de lafunción f(x) = 2x2 + 6e−x − 4.

29. Si en una calculadora se introduce un número y se presiona repetidamente la teclaque corresponde al coseno, ¾que número aparecerá eventualmente? Justi�que larespuesta en términos de punto �jo.

30. Compruebe que la función f(x) = 2 + x + (tg x)−1 tiene la propiedad |f ′(x)| < 1.Sin embargo no tiene punto �jo. ¾Contradice esto al teorema de punto �jo?

31. Realice dos iteraciones del método de la secante con las siguientes ecuacionespartiendo de los extremos de un intervalo que contenga a la solución que se quiereaproximar:

(a) ex = 2− sen x (b) ex = tg x (c) x3 − 12x2 + 3x + 1 = 0

32. Las funciones de oferta y demanda de las ventas de un producto son o(x) =3x3 − 5x2 + 18 y d(x) = 20 − 5x respectivamente, donde x viene dado en milesde unidades. Calcule el valor de x donde la oferta y la demanda se equilibran(o(x) = d(x)) utilizando el método iterado más rápido posible cuya convergenciaesté asegurada.

33. Aplique el método de la secante a la función del ejercicio 2 hasta conseguir unaaproximación similar. ¾Han sido necesarias más o menos iteraciones?

9

34. Encuentre una aproximación de una raíz en los intervalos dados para las siguientesfunciones mediante cuatro iteraciones el método de la secante, y acota el errorabsoluto cometido:

a) x2 − 1 en [0, 10],

b) tg x− 30x en [1, 1,57],

c) x2 − (1− x)10 en [0, 1].

35. Mathematica: Una bala se disparó verticalmente en el aire y está descendiendo asu velocidad terminal que viene dada por 1,4 · 10−2v1/5 + 21,15v = v2 donde v esla velocidad terminal. Determine aproximadamente ese valor por el método de lasecante si una estimación burda es v = 20m/s.

36. Acote las soluciones de la ecuación 2x4 + 4x3 − 59x2 − 61x + 30 = 0, y dibuje lacorona circular donde se encuentran, (método de McLaurin).

37. Determine el número de raices reales positivas y negativas del polinomio p(x) =x5 + x3 − x2 − 10x + 1, (regla de los signos de Descartes).

38. Determine el número de raices reales positivas y negativas del polinomio p(x) =x4 − 4x + 1, (secuencia de Sturm). Separe las raices reales.

39. Resuelva la siguiente ecuación con coe�cientes racionales 10x4 − 11x3 − 41x2 +x + 6 = 0.

40. Hágase un estudio completo sobre las raices de p(x) = x4 − 4x3 − x2 + 12x− 6 ycalcúlense, las que sean reales, de forma aproximada.

41. Calcule una raiz de p(x) = x4 − 4x2 − x + 1 mediante iteraciones de Laguerrecomenzando por x = 1 hasta que el error sea menor que 0,1.

42. Mathematica: Calcule una raiz de p(x) = x3 − 5x2 + 15 mediante iteraciones deLaguerre. Acote el error cometido.

43. Localice y separe las raices del polinomio x3 − 5x2 + 15.

44. Localice y separe las raices del polinomio x3−x2−x−2. Calcule una aproximaciónde una de ellas.

45. Dados dos números, a > 0 y b ∈ R, se considera el polinomio p(x) = x3 − bx2 +ax− ab.

a) Encuentre una relación entre a y b que garantice que la secuencia de Sturmde p tenga solo tres términos {P0(x), P1(x), P2(x)}.

b) Decidir, en el caso de que a y b veri�quen la relación anterior, el número deraices reales y distintas de p. ¾Pueden ser múltiples?

46. Consideremos el polinomio P (x) = 9x3 + 9x2 + 9λx + λ, donde λ ∈ R.

a) Estudie, en función del parámetro λ, el número de raices (reales y complejas)del polinomio P . ¾Para qué valores de λ las raices de P son múltiples? Hallartodas las raices de P para esos valores de λ.

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b) Fijado λ =√

3 encuentre un intervalo donde pueda aplicarse el método deNewton-Raphson para calcular una raiz negativa de P . Calcule los primerostérminos de la sucesión de�nida por dicho método.

47. Dada la ecuación x3 − 3ax− 2b = 0 y basándose en el método de Sturm, discutapara qué valores de a y b existe una única solución real de la ecuación.

48. Calcule las raices del polinomio p(x) = 2x5 − πx4 − 8x3 + 4πx2 + 8x− 4π.

49. Dado el polinomio x3 + 3x2 + 2 se pide:

a) Acota sus raices reales.b) Probar, mediante una sucesión de Sturm que solo posee una raíz real y

determinar un intervalo de amplitud uno que la contenga.

50. Acote y separe las raices de:(a) p(x) = x3 − 2x2 − 5,(b) p(x) = x3 + 3x2 − 1,(c) p(x) = x3 − x− 1,(d) p(x) = x4 + 2x2 − x− 3,(e) p(x) = x5 − x4 + 2x3 − 3x2 + x− 4.

Aproxime la mayor de las raices obtenidas en cada apartado anterior mediantetres iteraciones del método de Laguerre. Acote en cada caso el error que se comete.

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Relación n0 3. Sistemas

1. Encuentre los números de condición de las siguientes matrices:

A =

−1 −2 41 3 −52 4 −7

B =

3′02 −1′05 2′534′33 0′56 −1′78

−0′83 −0′54 1′47

C =

1 −1 2 02 1 1 11 −1 3 00 −1 −2 0

2. Consideremos el siguiente sistema cuyas ecuaciones representan rectas del plano:

5x + 7y = 0,77x + 10y = 1

}

Dibuje dichas dos rectas. ¾Qué le ocurre a la solución del sistema si modi�camosun poco los términos independientes? Calcule el número de condición del sistemay relacione ambas respuestas.

3. Demuestre que ||αA|| = |α| ||A|| donde α ∈ IR y A es una matriz inversible n×n.Utilizando este hecho y algunas propiedades conocidas sobre matrices, compruebeque k(A) = k(αA), donde hemos denotado por K al número de condición.

4. Calcule el número de condición de la siguiente matriz

A =

9 a 11 2 0−29 2 0

donde a ∈ IR. Discuta el condicionamiento de la matriz A según los valores delparámetro a, es decir, indique en qué puntos está mejor y peor condicionada.

5. Utilice los métodos de Jacobi y de Gauss-Seidel para aproximar la solución delsiguiente sistema de ecuaciones:

9x1 + x2 + x3 = 162x1 + 10x2 + 3x3 = 443x1 + 4x2 + 11x3 = 59

Calcule cinco iteraciones con cada método, comenzando con (0, 0, 0). Acota elerror máximo absoluto y el error relativo cometido en cada método.

6. En la siguiente �gura se muestra una red eléctrica con voltajes conocidos conec-tada a tres terminales a, b y c. Se quiere saber los voltajes de los tres terminales,para ello se sabe que la corriente eléctrica entre dos nodos es igual a la diferenciade voltajes dividido por la resistencia; y que la suma de corrientes eléctricas quesalen de un nodo vale cero. Primero habrá que plantear un sistema de ecuacionesadecuado, comprobar que el método de Jacobi converge y después se realizarántres iteraciones para hallar una aproximación a la solución del sistema.

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0v20v

5v

3 ohms

2 ohms

3 ohms

4 ohms

5 ohms

3 ohms

c

a b

7. Suponga que un objeto puede estar en cualquiera de los n + 1 puntos equiespa-ciados en una recta x0, x1, . . . , xn. Cuando el objeto se encuentra ubicado en laposición xi tiene la misma probabilidad de desplazarse hacia xi−1 ó xi+1 y nopuede dirigirse directamente a ningún otro punto. Llamaremos Pi a la probabili-dad de que un objeto que parte del lugar xi llegue al extremo izquierdo x0 antesque al extremo derecho xn, (por supuesto P0 = 1 y Pn = 0) para el resto deprobabilidades se tiene que Pi = 1

2(Pi−1 + Pi+1). Plantea el sistema que resulta

de esta situación para n = 2 y 3 y aproxima la solución mediante alguno de losmétodos numéricos que conozcas.

8. ¾Cómo podríamos asegurar que el método de Jacobi converge para el sistema dadopor las matrices:

A =

3 1 75 1 01 4 2

, b =

755443

Aplique el método a partir de (0, 0, 0) y realice tantas iteraciones como seannecesarias para que el error absoluto de la aproximación sea menor que 0,005.

9. Consideremos el siguiente sistema:

10 1 2 31 9 −1 22 −1 7 33 2 3 12

x1

x2

x3

x4

=

12−27

14−17

Compruebe que la matriz de coe�cientes es diagonalmente dominante y ademásde�nida positiva. Encuentre una aproximación de la solución mediante tres itera-ciones de cada uno de los métodos cuya convergencia esté asegurada. Acote elerror absoluto máximo que se comete.

10. Mathematica: Obtenga una aproximación por el método de Jacobi efectuando 20iteraciones para un sistema 30×30 cuyos elementos de la diagonal principal valen9, los elementos de las diagonales adyacentes (a ambos lados de la diagonal prin-cipal) valen 2 y los restantes coe�cientes son nulos. Los términos independientesson bi = i − 15 con 1 ≤ i ≤ 30. Exprese las aproximaciones con punto decimalpara que los cálculos se efectúen numéricamente y resulte más rápido el resultaso.Encuentre el error que se comete.

11. Mathematica: Se quiere supervisar la producción de tres tipos de componenteseléctricos. Cada uno de ellos necesita para su fabricación tres tipos de material:

13

metal, plástico y aislante. Las cantidades necesarias para producir cada uno delos componentes vienen dadas en la siguente tabla:

Componente gr. metal gr. plástico gr. aislante1 15 0,25 1,02 17 0,33 1,23 19 0,42 1,6

Si se dispone respectivamente de 2,12, 0,0434 y 0,164 kg. de metal, plástico yaislante, ¾cuántos componentes de cada tipo se pueden producir? Implemente elmétodo de Gauss-Seidel para responder a esta pregunta con un error absolutomenor de 10−7.

12. Aplique el método de las potencias comenzando con un vector de coordenadasunidad para encontrar el valor propio dominante de las siguientes matrices:

(a)(

1 12

12

13

)(b)

1 5 −85 −2 5−8 5 1

(c)

1 2 32 3 43 4 5

(d)

33 16 72−24 −10 −57−8 −4 −17

(e)

1 12

13

12

13

14

13

14

15

(f)

6 4 4 14 6 1 44 1 6 41 4 4 6

13. La matriz de coe�cientes de cierto sistema es:

2 −1 0−1 2 −1

0 −1 2

Utilice el método de las potencias para decidir si los métodos de Jacobi y deGauss-Seidel son convergentes.

14. Mathematica: Encuentre mediante el comando Eigenvalue los valores propios de

3,9375 −3,1875 −5,8125 0,251,875 −3,375 −5,625 2,5−2,3125 3,0625 8,9375 −0,75−5,625 5,125 16,875 1,5

Utilizando el método de las potencias compruebe si hay convergencia al valorpropio dominante.

15. Un resultado conocido es que si los valores propios de la matriz A son λ1, λ2, . . . , λn,entonces los valores propios de A−1 son 1

λ1, 1

λ2, . . . , 1

λn. ¾Se puede aprovechar lo

anterior para dar un algoritmo que calcule el menor (en valor absoluto) de losvalores propios de una matriz?

16. Una agencia de alquiler de automóviles tiene tres o�cinas. Un vehículo alquiladopuede ser entregado en cualquiera de las o�cinas. Si Pi,j es el porcentaje de autos

14

alquilados en la o�cina i y entregados en la o�cina j, experimentalmente se sabeque

P =1

100

80 10 105 75 1015 15 80

La mayor coordenada del vector propio asociado al valor propio dominante indicala o�cina en la que a la larga se entregan mayor número de vehículos, ¾cuál es esao�cina?, ¾cuál es la o�cina donde se entregan menor cantidad de coches?

17. ¾Que relación debe haber entre a y b para que el método de Jacobi converja parael siguiente sistema?

a b aa a bb a a

x1

x2

x3

=

a− b0

b− a

18. Obtenga las tres primeras iteraciones por el método de Jacobi para los sistemassiguientes comenzando con el vector nulo, y calcule el error absoluto que se cometeen las aproximaciones.

(a)3x1 − x2 + x3 = 1

3x1 + 6x2 + 2x3 = 03x1 + 3x2 + 7x3 = 4

, (b)

10x1 − x2 = 9−x1 + 10x2 − 2x3 = 7

−2x2 + 10x3 = 6

(c)10x1 + 5x2 = 6

5x1 + 10x2 − 4x3 = 0−4x2 + 8x3 − x4 = −11

−x3 + 5x4 = −11

, (d)

4x1 + x2 − x3 + x4 = −2x1 + 4x2 − x3 − x4 = −1−x1 − x2 + 5x3 + x4 = 0

x1 − x2 + x3 + 3x4 = 1

(e)

4x1 + x2 + x3 + x5 = 6−x1 − 3x2 + x3 + x4 = 6

2x1 + x2 + 5x3 − x4 − x5 = 6−x1 − x2 − x3 + 4x4 = 62x2 − x3 + x4 + 4x5 = 6

, (f)

4x1 − x2 − x4 = 0−x1 + 4x2 − x3 − x5 = 5

−x2 + 4x3 − x6 = 0−x1 + x4 − x5 = 6

−x2 − x4 + 4x5 − x6 = −2−x3 − x5 + 4x6 = 6

19. Repita el ejercicio anterior utilizando el método de Gauss-Seidel.

20. Para los sistemas del ejercicio 18, estudie en cual de ellos se puede asegurar me-diante cambios de �las y columnas que converge el método de Jacobi.

21. Estudie la convergencia de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para los sistemas(a), (b) y (c) del ejercicio 18 estudiando su valor propio dominante.

22. Aproxime el valor propio dominante de las siguientes matrices:

(a)(

2 −1−1 2

)(b)

(0 11 1

)(c)

(1 1−2 −2

)

(d)

2 1 01 2 00 0 3

(e)

−1 2 00 3 40 0 7

(f)

2 1 12 3 21 1 2

15

Relación n0 4. Interpolación polinomial

1. Encuentre mediante el método de Lagrange el polinomio de interpolación para lossiguiente datos:

(a) x 0 1 2f(x) 3 2 4

(b) x 1 2 0 3f(x) 3 2 4 5

2. Construya los polinomios de interpolación por el método de Lagrange en los nodos0, 0,6 y 0,9. En cada caso aproxime el valor de f(0,45) y calcule el error realcometido.

a) f(x) = cos x.b) f(x) =

√x + 5.

c) f(x) = ln(x + 1).d) f(x) = tg x.

3. Calcule una cota de los errores anteriores por la fórmula habitual y compárela conla obtenida en el ejercicio anterior.

4. Usando el método de Lagrange, obtenga un polinomio de grado menor o igual que2, que tome los valores 1, 2 y −1 en los nodos 0, 1 y −2 respectivamente.

5. Sin necesidad de hacer ningún cálculo, indique cuál es el polinomio interpoladorde la función f(x) = 1 en los nodos x0, x1, . . . , xn. Deduce de lo anterior que∑n

i=0 li(x) = 1 dónde li(x) denota a los polinomios básicos de Lagrange.

6. ¾Qué polinomio interpola a un polinomio de grado n en n + k nodos distintos?

7. La evolución de la renta provincial neta per capita de Almería, Andalucía y Españaen cientos de miles de pesetas, ha sido:

1987 1989 1991 1993Almería 5.97 7.66 8.93 9.78Andalucía 6.23 7.46 8.69 9.56España 8.34 10.65 12.54 13.83

Fuente: Banco Bilbao Vizcaya. Renta Nacional de España y su distribución provincial.

Calcule aproximadamente el valor de la renta en 1990 en cada caso. Utilizandolo visto en el tema de resolución numérica de ecuaciones, da una estimación delmomento en que la renta almeriense superó a la andaluza.

8. Se sabe que la ecuación x − 9−x = 0 tiene una solución en el intervalo [0, 1].Calcule el polinomio de interpolación en los nodos 0, 0,5 y 1, para la función dellado izquierdo de la ecuación anterior y utilícelo para dar una solución aproximadade dicha ecuación.

16

9. Mathematica: La distancia requerida para frenar un automóvil es una funciónde su velocidad. Se han recogido los siguientes datos experimentalmente paracuanti�car esa relación:

velocidad (km/h) 35 40 50 55 60 70 80distancia (m) 4,8 6 10,2 12 18 27 36

Implemente el método de Lagrange para estimar la distancia de frenado a 65km/h.

10. Construya la tabla de las diferencias divididas de las funciones:

a) f(x) =10

1 + x2en los nodos −2, 1 y 3.

b) f(x) = x3 en los nodos −1, 0, 1 y 3.

11. Halle los polinomios de interpolación de las funciones anteriores por el método deNewton. Cómo justi�cas el segundo resultado?, ¾cuál es la cota del error máximocometido en el primer caso?

12. Demuestre que si f(x) es un polinomio de grado n, entonces f [x0, x] es un poli-nomio de grado n− 1. Compruebe que f ′(x0) = lım

x→x0

f [x0, x].

13. Aproxime el valor de una función f(x) si se conocen los siguientes datos: f(1) =0, f ′(1) = −1, f ′′(1) = 2, f ′′′(1) = 1.

14. Obtenga el desarrollo de Taylor de l(x) = esen x respecto del punto a = 0 y n = 3.

15. Obtenga el desarrollo de Taylor de orden n (para cualquier n ∈ N) de las siguientesfunciones respecto del punto a ∈ R indicado:(a) f(x) = ex, a = 0;(b) h(x) = ln x, a = 1;(c) k(x) = 1/x, a = 1.

16. Utilizando el de desarrollo de Taylor, aproxime los siguientes números con el errormáximo ε que se especi�ca:(a) e y e2, ε = 10−4;(b) sen 1, ε = 10−7;(c) cos 1, ε = 10−6;(d) ln 1,5, ε = 10−2.

17. Aproxime√

2 mediante el desarrollo de Taylor de orden 3 en el punto a = 1 def(x) =

√x. tilizando el resto de Taylor dé una cota del error de aproximación.

18. Demuestre que sen(a + 1) se diferencia de sen a + cos a a lo sumo en 2/3.

19. Justi�que la validez de la fórmula arctan x ∼= x−x3/3 para valores de x ∈ E(0, ε),(entorno de centro 0 y radio ε) y determine una expresión para el error cometidoal utilizarla en un punto x0 ∈ E(0, ε).

17

20. Demuestre utilizando el desarrollo de Taylor la siguiente desigualdad para x pos-itivo menor que π/2

1− 1

2x2 ≤ cos x

21. a) Calcule el polinomio de Taylor de grado 4 correspondiente a la función

g(x) =x + 5

4−√x

en el punto a = 1. Compruebe que coincide, hasta grado 3, con el polinomiode Taylor, en el mismo punto, de la función

h(x) =1

x + 1.

b) Acote el error que se comete, utilizando el polinomio de grado 3 del apartadoanterior correspondiente a h(x), en la aproximación para el valor 1/3.

22. a) Calcule la Serie de Taylor de f(x) = ln(

ax+bax−b

), con x 6= b

ay ax+b

ax−b> 0,

centrada en x0 = 2.

b) Tomando en el apartado anterior a = b, aproxime ln 2 mediante el polinomiode Taylor de grado 3 centrado en x0 = 2 y escriba la expresión explícita delerror cometido.

23. Se da el siguiente desarrollo de Maclaurin con resto:

cos x =n∑

k=0

(−1)kx2k

(2k)!+ R2n+1(x).

Compruebe que|R2n+1(x)| ≤ |x|2n+2

(2n + 2)!.

24. Calcule el polinomio de Newton que interpola a los datos, y observe cual es sugrado

x 0 1 2 3f(x) 3 2 4 9

Obtenga el nuevo polinomio de Newton añadiendo el dato (4, 1).

25. a) Calcule la tabla de diferencias divididas de la función f(x) = x4 en los nodos−1, 1, 2 y 3.

b) Usando el método de Newton calcule el polinomio que interpola a f en lostres primeros nodos.

c) Aproveche el resultado anterior para interpolar a f en los 4 nodos.d) Encuentre la cota del error máximo que se comete con 3 nodos.

26. Calcule la cota del error máximo al interpolar la función f(x) = 1/x en los nodosx0 = 1, x1 = 2, x2 = 5. Interpreta gá�camente el resultado anterior.

18

27. Para evaluar la función f(x) = ln(x) en valores comprendidos en el intervalo [2, 4]vamos a utilizar como aproximación el polinomio interpolador en los nodos 2, 3 y4. Los valores conocidos son:

x 2 3 4f(x) 0,693 1,10 1,39

a) Calcule el polinomio interpolador y úsalo para aproximar ln(3,5).b) Acote el error absoluto y relativo que se comete con la aproximación del

apartado anterior.

28. Halle el polinomio de interpolación de la función cos2(x) en los nodos −0,5, 0 y0,5. Acote el error que se comete.

29. Calcule los polinomios que interpolan a las funciones f(x) =1

2x + 1y g(x) =

1

1 + x2en los nodos xi = −1, 0, 1 y en zi = −2,−1, 1, 2. Acote en todos los casos

el error que se comete.

30. Se desea interpolar una función f(x) mediante un polinomio de la forma p(x) =a + bx2, conociendo los valores de f(x) en dos nodos dados x1 y x2. ¾Es éste unproblema de interpolación clásica? Plantea el sistema de ecuaciones que convieneresolver. Estudie la existencia y unicidad de la solución.

31. Encuentre el polinomio de Hermite que interpola a la función f(x) con los sigu-ientes datos:

x 0 3 8f(x) 0 0 −1f ′(x) 1 1 2f ′′(x) 0

32. Encuentre el polinomio de Hermite que interpola a la función f(x) = e−2x en losnodos 0, 1 y 2 por el método de las diferencias divididas. Acote el error que secomete si realizáramos la interpolación usando los dos primeros nodos.

33. Aproxime f(x) = 3xex−e2x en el punto 1,03 por medio del polinomio interpoladorde Hermite utilizando los nodos 1 y 1,05. Repita el ejercicio incorporando a losdos nodos anteriores un tercer nodo 1,07.

34. Obtenga el spline lineal que interpola los siguientes datos:

xi −1 0 1 2 3 4yi −2 0 2 3 2 4

35. Compruebe si la siguiente función es un spline de orden 2:

f(x) =

x x ∈ [0, 1]−1/2(2− x)2 + 3/2 x ∈ [1, 2]3/2 x ∈ [2, 3]

19

36. Compruebe si la siguiente función es un spline cúbico:

f(x) =

2(x + 1) + (x + 1)3 x ∈ [−1, 0]3 + 5x + 3x2 x ∈ [0, 1]11x + 3(x− 1)2 − (x− 1)3 x ∈ [1, 2]

37. Determine si la siguiente función es un spline cúbico con nodos 0, 1, 2:

f(x) =

{3 + x− 9x2 x ∈ [0, 1]a + b(x− 1) + c(x− 1)2 + d(x− 1)3 x ∈ [1, 2]

38. Calcule el spline cúbico que interpola a los datos siguientes:

(a)x 0 1 2 3

f(x) 0 1 −1 0f ′(x) 1 1

(b)x 1/2 1 2 3

f(x) 2 1 1/2 1/3f ′(x) −4 −1/9

39. Obtenga el spline cúbico natural S(x) tal que S(−1) = 13, S(0) = 7 y S(1) = 9.

40. Halle el spline cúbico de tipo II que interpola a los datos siguientes:

x −1 0 1 3f(x) −4 −1 0 20f ′(x) 6 22

41. El siguiente es un spline cúbico natural:

f(x) =

{1 + Bx + 2x2 − 2x3 x ∈ [0, 1]a + b(x− 1)− 4(x− 1)2 + 7(x− 1)3 x ∈ [1, 2]

Encuentra el valor de f ′(0) y f ′(2).

42. Compruebe que el número de incógnitas necesarias para calcular el spline cuadráti-co que interpola a una función en tres nodos es mayor que el número de ecuacionesque se obtienen. ¾Qué dato adicional es necesario conocer para dar una respues-ta determinada? Calcula el spline cuadrático S(0) = 0, S(1) = 1, S(2) = 2 queademás veri�que S ′(0) = 2.

43. Realiza una aproximación de mínimos cuadrados de los siguientes datos medianteuna parábola:

xi 0,7 1,1 1,4 2,2 2,5yi 1,78 2,12 2,55 4,63 5,74

20

Relación n0 5. Derivación e integración numérica

1. Dada la función f(x) = cos2 x, calcule el valor aproximado de f ′(π/4) conociendoque f(0) = 1 y f(π/2) = 0. Calcule una cota del error cometido.

2. Dada la función f(x) = 1/ex, calcule el valor aproximado de f ′(1) utilizando losnodos 1, 1,3 y 1,6.

3. Mathematica: Un esquiador en una prueba de descenso ha recorrido 1200, 1700 y2100m aproximadamente a los 45, 67 y 89s de comenzar. Aproxime el valor de suvelocidad (derivada) en el instante 45s.

4. Dada la función f(x) = ex2 , obtenga el valor aproximado de f ′(−1/2) y f ′(−1/4)mediante el polinomio de Lagrange que interpola a f(x) en los nodos −1,−1/2 y0. Calcule una cota del error que se produce en las dos aproximaciones.

5. Calcule el número de intervalos que será necesario tomar para aproximar el valorde las integrales ∫ 3

1

dx

xy

∫ 4

1

dx√x

mediante los métodos de los trapecios y de Simpson, respectivamente, con unerror máximo de 0,00005.

6. Se ha medido la anchura de la pared de una presa a intervalos de 5 m de altitudy se ha obtenido: 9, 15, 20, 27 y 30 m. Calcule de forma aproximada el área de lapared de dicha presa mediante la fórmula de Simpson.

7. La fuerza del viento contra un lateral de un rascacielos viene dada por:

altura (m) 0 60 120 180 240Fuerza (N) 0 1000 2600 3300 3600

Estima la fuerza total contra el edi�cio mediante la fórmula del trapecio y la deSimpson.

8. Calcule el valor aproximado de π aplicando el método de los trapecios y el deSimpson, con n = 4, al cálculo de la integral

∫ 1

0

1

1 + x2.

9. Calcule mediante el método de los trapecios la integral de f(x) = x2 − 3x enel intervalo [0, 1] usando diez subintervalos. Compare el resultado con la integralexacta. ¾Cuántos intervalos se necesitan para que el error en valor absoluto seainferior a 10−4?

10. Calcule mediante el método de Simpson la integral de f(x) = 1/(x2 + 1) en elintervalo [0, 1] usando diez subintervalos. Acote el error y compare con el errorexacto.

21

11. Calcule la integral de f(x) = x3 − 3x en el intervalo [1, 2] mediante el método delos trapecios con un error menor que 10−6. ¾Qué exactitud obtendría si utilizaseel método de Simpson?

12. Aproxime la integral de f(x) = cos2 x en el intervalo [0, 1] con un error menor que10−3 utilizando: (a) el método de los trapecios; (b) el método de Simpson.

13. Aproxime mediante la fórmula de Simpson la integral de f(x) = e−x2 en el inter-valo [3, 10] con un error menor que 10−3.

14. Sea f una función de la que tan solo se conocen los siguientes valores: f(0) =0; f(0,2) = 1; f(0,4) = 2,5; f(0,6) = 4,5; f(0,8) = 7; f(1) = 10; y f(1,2) = 14.Utilice la fórmula de Simpson para aproximar el valor de la integral de la funciónf en el intervalo [0, 1,2].

15. Calcule aproximadamente la integral de f(x) = ex/3 en el intervalo [−1, 1] uti-lizando la fórmula de los trapecios con n = 4. Determine una cota del errorcometido.

22

Relación n0 6. Repaso del curso

1. La función f(x) = sen x tiene raices en todos los números enteros. Determine unintervalo [a, b] con a < 0 y b > 2 para el cual el método de bisección converja a:(a) 0, (b) 2, (c) 1.

2. Una partícula parte del reposo sobre un plano inclinado uniforme, cuyo ángulo θcambia con una rapidez constante de dθ

dt= ω < 0. A los t segundos la posición de

la partícula está dada por

x(t) =g

2ω2

(eωt − e−ωt

2− sen ωt

).

Si la partícula se desplazó 1,7m en 1s., encuentre aproximadamente la rapidez ωcon que θ cambia utilizando al menos cinco iteraciones del método de bisección.Suponga que g = 9,8m/s2.

3. Aplique cinco iteraciones del método de Newton-Raphson para obtener solucionesde las siguientes ecuaciones en los intervalos que se indican:(a) x3 − 2x2 − 5 = 0, [1, 4](b) x3 + 3x2 = 1, [−3,−2](c) x− cos x = 0, [0, π/2](d) x− 0,8 = 0,2 sen x, [0, π/2] .

Estudie en qué casos se puede decidir que el método converge y el error máximoque se comete.

4. Use cinco iteraciones del método de Newton-Raphson para aproximar el valor dex que en la grá�ca de y = x2 produce el punto más cercano a (1, 0) (Sugerencia:reduzca al mínimo (d(x))2 donde d(x) representa la distancia entre (x, x2) y (1, 0)).

5. La suma de dos números es 20. Si cada uno de ellos se agrega a su raíz cuadrada,el producto de las dos sumas es 155,55. Determine los dos números mediante cincoiteraciones del método de Newton-Raphson.

6. El valor acumulado de una cuenta de ahorros que se basa en pagos periódicospuede calcularse con la ecuación de anualidad vencida:

A =P

i((1 + i)n − 1) ,

donde A es el capital de la cuenta, P es la cantidad que se deposita periódicamentee i es la tasa de interés por periodo para los n periodos de depósito. A un individuole gustaría tener una cuenta de ahorros con un capital de 750000 euros al momentode retirarse dentro de 20 años, y puede depositar 1500 euros mensuales para logrardicho objetivo. ¾Cuál es la tasa mínima de interés a que puede invertirse ese dinero,suponiendo que es un interés compuesto mensual? Responda utilizando el métodode Newton-Raphson.

7. El polinomio p(x) = x4+x3+x2+x+0,3264 tiene una raiz doble cerca de x0 = −1.Encuentre una aproximación a dicha raiz mediante el método de Newton-Raphsonadecuado.

23

8. Se proponen los cuatro métodos siguientes para resolver x3−21 = 0. Clasifíquelospor orden, basándose en la rapidez de convergencia y suponiendo que p0 = 1:(a) pn =

20pn−1 + 21/p2n−1

21,

(b) pn = pn−1 −p3

n−1 − 21

3p2n−1

,

(c) pn = pn−1 −p4

n−1 − 21pn−1

p2n−1 − 21

,

(d) pn =

(21

pn−1

)1/2

.

9. Demuestre que g(x) = π + 0,5 sen(x/2) tiene un punto �jo en [0, 2π]. Use cincoiteraciones funcionales para obtener una aproximación. Acote el error cometido.

10. En cada una de las siguientes ecuaciones, determine una función g y un intervalo[a, b] donde la iteración de punto �jo converja a una solución positiva. Acoteademás el error que se comete.(a) 3x2 − ex = 0,(b) x− cos x = 0.

24

Cálculo Numérico. I. T. I. Sistemas. Julio 2003

NOMBRE:

1. Si aproximamos e por 2.72, se pide:

a) [1.5 puntos] Aproxime el error absoluto propagado al calcular e2 (cálculoscon 4 cifras decimales).

b) [1.5 puntos] Utilizando el número de condición de la función f(x) = x2,aproxime el error relativo propagado al calcular e2 (cálculos con 4 cifrasdecimales).

2. [3 puntos] Determine el número de soluciones de la ecuación x = 2+lnx. Aproximeuna de ellas (que sea mayor que 1) mediante el método de Newton-Raphson, condos cifras decimales exactas, tomando x0 = 2 (cálculos con 4 cifras decimales).

3. Sea f una función que pasa por los puntos (-1,1), (0,2), (1,0) y (2,-1).

a) [1.5 puntos] Calcule el polinomio de Newton que aproxima a la función fpara los datos anteriores.

b) [1.5 puntos] Supongamos que conocemos además que f ′(1) = 1. Calcule elpolinomio de Hermite que aproxima a f con los datos que conocemos.

c) [1 punto] Dé una aproximación de f ′(0) utilizando el polinomio de Newtony de Hermite obtenidos en los dos apartados anteriores.

Puntuación: Se indica al comienzo de cada pregunta.Tiempo: 2.30 horas.

Almería, 15 de julio de 2003.

25

Cálculo Numérico. I. T. I. S. Septiembre 2003

NOMBRE:

1. (a) Acote y separe las raices de p(x) = x3 − 2x2 − 3x + 2.(b) Calcule cuántas iteraciones del método de Bisección harían falta para aproxi-mar la mayor de las raices anteriores con un error menor de 0.01.(c) Calcule un valor inicial que asegure la convergencia del método de Newton-Raphson al aproximar una raiz de f(x) = x3 + 2x + 1.

2. Calcule el valor de los parámetros a y b para que

s(x) =

{ax3 + bx2 − x + 2 si x ∈ [−1, 0]x3 − 2x2 − 3x + 2 si x ∈ [0, 1]

sea un spline cúbico natural.

3. Consideremos el siguiente sistema

4x− 8y + z = −21−2x + y + 5z = 154x− y + z = 7

(a) Calcule su número de condición.(b) Compruebe si el método de Jacobi converge para este sistema.(c) Tras 5 iteraciones del método de Jacobi se ha obtenido que x4 = (1,9906, 3,9765, 3)y x5 = (1,9941, 3,9953, 3,0009). Acote el error máximo que se comete al obtenersela quinta aproximación de la solución del sistema.

4. Sea f una función que pasa por los puntos (-1,-2), (0,-1), (1,-2) y (2,19).(a) Calcule el polinomio de Newton que aproxima a la función f para los datosanteriores.(b) Estime el error máximo que se comete si sabemos además que f(3) = 134.

• Todas las preguntas tienen el mismo valor.• Para el cálculo de errores, utilice siempre la fórmula más especí�ca posible.

Almería, 1 de septiembre de 2003.

26

INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE SISTEMASCÁLCULO NUMÉRICO

Examen extraordinario de diciembre de 2003

NOMBRE:1. La temperatura dentro de un invernadero es medida con un sensor que asegura

un error relativo máximo del 2.5%. En un instante de tiempo la temperaturaaproximada detectada es de 550C. Calcule una cota del error absoluto que secomete en la medición y un intervalo de temperatura donde se pueda asegurarque se encuentra la temperatura exacta.

2. Supongamos que aplicamos el método de bisección a una determinada función enun intervalo de amplitud 4. ¾Cúal será la amplitud del subintervalo en el pason�ésimo del método?¾Cúal será la cota del error máximo en el paso n�ésimo?

3. Calcule la diferencia dividida f [2, 1, 2, 2] para f(x) = cos πx

4. Seaf(x) =

{a0x

3 − a1x2 + a2x− a3 si x ∈ [−1, 0]

2− µ(x− 1)3 si x ∈ [0, 1]

Calcule el valor de los parámetros a0, a1, a2, a3 y µ para que la función f(x) seaun spline cúbico natural en el intervalo [−1, 1] con nodos −1, 0 y 1. Tómese elvalor de µ que veri�ca que f(−1) = 1.

5. Consideremos el siguiente sistema8x− y − 4z = 212x− 2y − 8z = −14x + 5y − 2z = 15

(a) Justi�que que el método de Jacobi no converge para el sistema dado.(b) Acote el error máximo que se comete en la etapa n+1 del método si conocemoslas soluciones aproximadas xn = (3,9765, 3,0000, 1,9906) y xn+1 = (3,9953, 3,0009, 1,9941).

• Todas las preguntas tienen el mismo valor.• Se evaluará el razonamiento escrito que demuestre que el alumno sabe loque redacta, y puede llegar a penalizarse una mala presentación de cada unade las preguntas.

Almería, 16 de diciembre de 2003.

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CÁLCULO NUMÉRICO. ITIS. Septiembre 2004.

Nombre y apellidos:

1. El número exacto a = 2,198 se redondea a 2 cifras decimales. Halle el errorabsoluto y relativo cometidos.

2. Dado el sistema lineal3x1 + x2 + x3 = 5

x1 + 4x2 − 2x3 = 3x1 + x2 + 4x3 = 6

justi�que que el método de Gauss-Seidel converge y resuelva el sistema por dichométodo redondeando en cada iteración a 3 cifras decimales, para ello tómese laaproximación inicial

(x(0)1 , x

(0)2 , x

(0)3 ) = (1.667, 0.750, 1.500),

y calculese hasta la solución (x(5)1 , x

(5)2 , x

(5)3 ).

3. Calcule la integral∫ 1/2

0

1

x2 + 1dx utilizando 4 cifras decimales

a) mediante el método de los trapecios para n = 5,b) mediante el método de Simpson para n = 4,c) mediante el desarrollo en serie de McLaurin del integrando de grado 9,d) mediante la regla de Barrow.

4. La ecuación x(x2 − 1) = −1 tiene una única solución en el intervalo (−2,−1).

a) Justi�que de forma teórica que el método de Newton-Rhapson converge endicho intervalo.

b) Tome x0 = −2 y calcule la solución aproximada x2 con 2 cifras decimales.

5. Una función spline cúbica de tipo II de una función f(x) viene dada por:

s(x) =

{s0(x) = 1 + ax + 2x2 − 2x3 si x ∈ [0, 1]s1(x) = 1 + b(x− 1)− 4(x− 1)2 + 7(x− 1)3 si x ∈ [1, 2]

Halle f ′(0) y f ′(2).

6. Dada la tabla de valores de una función y = f(x)

x −1 0 2y 2 1 3

Calcule el polinomio interpolador de Lagrange y calcule f(1) y f′′(1).

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CÁLCULO NUMÉRICO. ITIS. Junio 2005

Nombre y apellidos:

1. Sea la función f(x) =√

1− x2,

a) estudie dónde está peor y mejor condicionada la función, y calcule los valoresdonde el número de condición vale 9,

b) si queremos aproximar f(0,5) mediante f(0,55), calcule el error relativo quese comete en los datos de entrada, y utilice el resultado obtenido en el aparta-do (a) para calcular el error relativo que se comete en los datos de salida.

2. Dado el sistema linealx1 + 2x2 = 3

−x2 + 3x3 = 02x1 + 5x2 − x3 = 1

a) ¾Es el sistema sensible a pequeñas variaciones en los términos independi-entes? Justi�ca la respuesta.

b) Por el método de Jacobi se tiene que las aproximaciones a la solución en lasiteraciones 28 y 29 son

X28 = (17.654,−7.321,−2.431), X29 = (17.754,−7.521,−2.63),

¾cuánto ha de valer la menor cota del error absoluto para asegurar que X29

es una buena aproximación?, ¾y la menor cota del error relativo?c) Pruebe que el sistema es convergente por el método de Gauss-Seidel utilizan-

do algún criterio de convergencia.

3. Sea la ecuación k − 4x + 3 tg x = 0.

a) Calcule k para que la ecuación tenga una raiz doble positiva.b) Calcule la raiz utilizando el método de Newton-Rhapson para raices múltiples

con dos iteraciones y utilizando 4 cifras decimales en los cálculos.

4. Halle ln 1,3 con un error menor que 10−2 utilizando el polinomio de Taylor degrado adecuado para la función f(x) = ln(1 + x). Compruebe después, con elvalor aproximado calculado anteriormente, que el error absoluto es efectivamentemenor que 10−2.

5. Halle la función spline cúbica que veri�ca los datos de la siguiente tablax −1 0 1

f(x) 0 2 1f ′(x) 1 0 −2

6. Calcule el polinomio de Hermite que se obtiene con la orden de MathematicaInterpolatingPolynomial[{0, {1}}, {2, {1, 0}}, {3, {−1, 1}}]

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CÁLCULO NUMÉRICO I.T.I.S. Examen de diciembre de 2005Apellidos: Nombre:

1. Se dispone de una calculadora que trabaja en base diez y punto �otante normal-izado con 7 cifras de mantisa y exponente entre −25 y 25. Indique entre qué dosnúmeros máquina se encuentra el número

√600 (= 24,49489742783 . . .).

a) (0.5) Calcule con una fórmula apropiada la cantidad de números máquinaque puede manejar el procesador de la calculadora. Calcule también la pre-cisión de la calculadora con una medida apropiada si funciona aproximandopor redondeo.

b) (0.5) Si la calculadora utiliza aproximación por redondeo, ¾con qué númeromáquina identi�caría al número

√600? ¾Y si utiliza aproximación por trun-

camiento?c) (0.5) En el caso del redondeo, y suponiendo que tan solo dispone de la

calculadora del ejercicio, obtenga: (c1) el error absoluto cometido; (c2) unacota lo más ajustada posible de dicho error.

2. Se considera la ecuación ln x = ax + b, donde a y b son dos números reales.

a) (0.5) Razone si es posible que esta ecuación tenga una raíz triple en algúncaso, para ciertos valores de a y b.

b) (0.5) Si b = −2, encuentre para qué valor o valores de a ocurre que laecuación tiene una raíz doble. En este caso, determine el valor exacto dedicha raíz.

c) (1) Si a = 1 y b = −2, encuentre un intervalo de la forma [n, n + 1], conn ≥ 1, que contenga solo una raíz de la ecuación. Explícalo de forma que seentienda.

3. Dado el polinomio P (x) = −2 + 3x− x2 + x3:

a) (0.5) Acote sus raices, es decir, calcule (y dibuje) la corona circular másestrecha posible donde se encuentran todas las raices.

b) (1.5) Utilice la regla de los signos de Descartes junto con el método de Sturmpara clasi�car las raices de P en complejas y reales (simples o múltiples,negativas o positivas).

c) (0.5) Tome el intervalo real de la corona circular donde se encuentra algunade las raices reales y aproxímela utilizando el método de Newton-Rhapson,(realice tres iteraciones y tómese un punto inicial que sea entero).

4. (2) Determine las condiciones que deben satisfacer los números reales a, b, c, d ye para que la función

f(x) =

a + bx− 39x2 + 13x3, x ∈ [1, 2],

232− 314x + cx2 + dx3, x ∈ [2, 4],

−1624 + 1078x− 225x2 + ex3, x ∈ [4, 5],

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sea un spline cúbico con nodos 1, 2, 4 y 5. Compruebe también si f puede ser unspline cúbico natural.

5. (2) Calcule la derivada de una función f en el punto x = 1 de la que solo seconoce que f(0) = 2, f(2) = −1, f ′(0) = −1 y f ′′(0) = 4.

Puntuación de las preguntas: Se indica en cada apartado.Tiempo: 2 horas y media.

Almería, 29 de noviembre de 2005