IV. DISTRIBUCIONES MUESTRALES.

IV.1. ELEMENTOS BÁSICOS DEL MUESTREO. CONCEPTOS BÁSICOS. TIPOS DE MUESTREO.

Cuando nos interesa estudiar las características de poblaciones grandes (que no sean muy variables), se utilizan muestras representativas por muchas razones, principalmente porque requieren menor tiempo y dinero que el estudiar a la población completa.

Cuando decimos que una muestra es representativa es porque reúne aproximadamente las características de la población que son importantes para la investigación. Cuando se utilizan valores muestrales, para estimar valores poblacionales, o parámetros, pueden ocurrir dos tipos generales de errores: el error muestral y el error no muestral.

1. Error muestral se refiere a la variación natural existente entre muestras tomadas de la misma población.

2. Errores no muestrales son errores que surgen al tomar las muestras por el mal diseño del formulario, errores cometidos en el procesamiento de recolección, y/o análisis de los datos por eso es que no pueden clasificarse como errores muestrales.

Los tipos más comunes de técnicas de muestreo aleatorios son:

a) El muestreo aleatorio simple, b) El muestreo estratificado c) El muestreo por conglomerados d) El muestreo sistemático.

a) El muestreo aleatorio simple

Si una muestra aleatoria se elige de tal forma que todos los elementos de la población tengan la misma probabilidad de ser seleccionados, la llamamos muestra aleatoria simple.

Un sorteo es el único método seguro de hacer equiprobables a todos los integrantes de la población en el proceso de selección. Hay casos especiales donde no es tan simple numerar a los integrantes de la población para poder efectuar el sorteo, como sacar una muestra de granos de arroz de una bolsa de 50 Kg, , en tales casos, la solución es la homogenización de la población previo a la extracción de la muestra. Por ejemplo, si se colocan los granos de arroz en una mezcladora y se agitan el tiempo suficiente, luego se toma la muestra en cualquier sector cuando esté bien

homogeneizada. Lo mismo al tomar muestras de agua de río. La misma idea se aplica en el caso de extracción de sangre a pacientes para efectuar análisis clínicos. El torrente sanguíneo la homogeniza tan bien que al puncionar en la vena se tiene una muestra representativa del paciente. Hay casos más difíciles o imposibles de homogeneizar como tomar una muestra representativa de tierra de un campo, o de arena en una playa. Aquí hay que subdividir la superficie en sectores, y efectuar un sorteo para seleccionar los lugares de extracción.

Suponga que nos interesa elegir una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de estadística de 20 alumnos. 20C5 da el número total de formas de elegir una muestra no ordenada y este resultado es 15,504 maneras diferentes de tomar la muestra. Si listamos las 15,504 en trozos separados de papel. Un procedimiento más simple para elegir una muestra aleatoria sería escribir cada uno de los 20 nombres en pedazos separados de papel, colocarlos en un recipiente, revolverlos y después extraer cinco papeles al mismo tiempo. Hay muchas situaciones en las cuales el muestreo aleatorio simple es poco práctico, imposible o no deseado; aunque sería deseable usar muestras aleatorias simples para las encuestas nacionales de opinión sobre productos o sobre elecciones presidenciales, sería muy costoso o tardado.

b) Muestreo estratificado requiere de separar a la población según grupos que no se traslapen llamados estratos, y de elegir después una muestra aleatoria simple en cada estrato. La información de las muestras aleatorias simples de cada estrato constituiría entonces una muestra global.

Ejemplo: Suponga que nos interesa obtener una muestra de las opiniones de los profesores de una gran universidad. Puede ser difícil obtener una muestra con todos los profesores, así que supongamos que elegimos una muestra aleatoria de cada departamento académico; los estratos vendrían a ser los departamentos académicos.

c) Muestreo por conglomerados requiere de elegir una muestra aleatoria simple de unidades heterogéneas entre sí de la población llamadas conglomerados. Cada elemento de la población pertenece exactamente a un conglomerado, y los elementos dentro de cada conglomerado son usualmente heterogéneos o disímiles.

Ejemplo: Suponga que una compañía de servicio de televisión por cable está pensando en abrir una sucursal en una ciudad grande; la compañía planea realizar un estudio para determinar el porcentaje de familias que utilizarían sus servicios, como no es práctico preguntar en cada casa, la empresa decide seleccionar una parte de la ciudad al azar, la cual forma un conglomerado. En el muestreo por conglomerados, éstos se forman para representar, tan fielmente como sea posible, a toda la población; entonces se usa una muestra aleatoria simple de conglomerados para estudiarla. Los estudios de instituciones sociales como iglesias, hospitales, escuelas y prisiones se realizan, generalmente, con base en el muestreo por conglomerados.

d) Muestreo sistemático es una técnica de muestreo que requiere de una selección

aleatoria inicial de observaciones seguida de otra selección de observaciones obtenida usando algún sistema o regla.

Ejemplo: Para obtener una muestra de suscriptores telefónicos en una ciudad grande, puede obtenerse primero una muestra aleatoria de los números de las páginas del directorio telefónico; al elegir el vigésimo nombre de cada página obtendríamos un muestreo sistemático, también podemos escoger un nombre de la primera página del directorio y después seleccionar cada nombre del lugar número cien a partir del ya seleccionado. Por ejemplo, podríamos seleccionar un número al azar entre los primeros 100; supongamos que el elegido es el 40, entonces seleccionamos los nombres del directorio que corresponden a los números 40, 140, 240, 340 y así sucesivamente.

IV.2. CONCEPTO DE DISTRIBUCIÓN MUESTRAL.

Se le llama así a la distribución de todos los valores posibles que puede asumir una

estadística, calculados a partir de muestras del mismo tamaño, seleccionadas

aleatoriamente de la misma población.

¿Cómo calcular la muestra correcta?

El cálculo del tamaño de la muestra es uno de los aspectos a concretar en las fases previas de la investigación y determina el grado de credibilidad que concederemos a los resultados obtenidos.

Objetivo estadístico Variables de estudio

Estimar parámetros Comparar dos grupos

C A T E G Ó R I C A

Infinita

Finita

N U M É R I C A

Infinita

Finita

Finita = Tamaño conocido Infinita= Tamaño desconocido (>10000) N= Tamaño de la población n= Tamaño de la muestra α = Error tipo I β = Error tipo II

=Nivel de confianza = Potencia de prueba

p = prevalencia de la enfermedad. Es la proporción de individuos que poseen en la población la característica de estudio. Como es generalmente desconocido se suele suponer que p=q=o.5 que es la opción más segura q = 1-p es la proporción que no poseen esa característica S2 = Varianza d = precisión

p1 = prevalencia de la enfermedad p2 = prevalencia de la enfermedad S1

2 = Varianza del grupo 1 S2

2 = Varianza del grupo 2 1= Media en el grupo 1 2= Media en el grupo 2

Los valores Z más utilizados y sus niveles de confianza son:

Valor de Z 1.15 1.28 1.44 1.65 1.96 2 2.58

Niel de confianza 75% 80% 85% 90% 95% 95.5% 99%

Variable categórica, sin marco muestral

Calcula el tamaño de la muestra para evaluar la Prevalencia de diabetes en adultos. La Paz 2009

n= Tamaño de la muestra n= ¿?

p = prevalencia de la enfermedad p = 0.15

q = 1-p q = 1 – 0.15 = 0.85

d = precisión d = 0.05

α= Nivel de significancia α= 5%

1-α= Nivel de confianza 1-α= 95%

=Valor tipificado =1.96

=

Por lo tanto; requerimos como mínimo 196 adultos para obtener un nivel de confianza del 95%, con una

precisión del 0.05.

EL cálculo del tamaño muestral nos muestra el mínimo del que se necesita, mientras mas mejor.

Ejemplo: ¿A cuántas personas tendríamos que estudiar para conocer la prevalencia de obesidad?

Confianza = 95%; Precisión = 3%: Proporción esperada = asumamos que puede ser próxima al 5%; si no tuviésemos ninguna idea de dicha proporción utilizaríamos el valor p = 0,5 (50%) que maximiza el tamaño muestral:

=

Ejemplo: En el proyecto de Al Haouz en Marruecos, se ha calculado que cerca del 30% (0,3) de los niños de la zona del proyecto padecen de malnutrición crónica. Este dato se basa en estadísticas nacionales sobre malnutrición en las zonas rurales. Utilizando los valores estándar indicados supra se efectúa el cálculo siguiente: Cálculo:

=

Basado en una variable categórica con marco muestral conocido

Ejemplo de Cuantos alumnos necesitamos para calcular la prevalencia de Tiña pedís en alumnos de la Universidad

Mundial 2009, cuando en ese año se matricularon 1658 alumnos

n= Tamaño de la muestra n= ¿?

N = Tamaño de la población N= 1658

p = prevalencia de la enfermedad p = 0.3

q = 1-p q = 1 – 0.3 = 0.7

d = precisión o error d = 0.05

α= Nivel de significancia α= 5%

1-α= Nivel de confianza 1-α= 1- 0.05 = 95%

=Valor tipificado =1.96

= 270.26 = 271

Por lo tanto; requerimos como mínimo 271 alumnos para un nivel de significancia del 95 %, con una precisión 0.05.

Ejemplo 2: para realizar una encuesta de satisfacción a clientes de un determinado modelo

de coche del que hemos vendido 10.000 unidades (N), en la que queremos una confianza del

95,5% que determina que Z=2, deseamos un error muestral del 5% (d) y consideramos que

estarán satisfechos el 50% (p=q=0.5)

=

= 385

Necesitaríamos una muestra de 385 clientes

Ejemplo 2: contrastar el porcentaje de personas de un país que ven un determinado programa de

televisión. Si la población del país es de 40 millones de personas, estimamos que lo ve el 20% de la

población (p=0.2 y q=0.8), queremos una confianza del 95,5% que determina que Z=2 y estamos dispuestos

a asumir un error muestral del 5% (e) necesitaríamos una muestra de 256 personas.

= 256

Basado en una variable numérica con marco muestral conocido

Ejemplo Valor de la Presión Arterial Sistólica (mmHg) en alumnos de la carrera de nutrición- 2009

Cuando en ese año se matricularon 658 alumnos.

n= Tamaño de la muestra n= ¿?

N = Tamaño de la población N= 658

S = Desviación estándar S = 2 mmHg

S2= Varianza S2 = 4

d = precisión d = 0.1 mmHg

α= Nivel de significancia α= 5%

1-α= Nivel de confianza 1-α= 1- 0.05 = 95%

=Valor tipificado =1.96

=

Por lo tanto; requerimos como mínimo 461 alumnos para un nivel de confianza del 95%, con una recisión

de 0.1 mmHG

Nuestra muestra es muy grande porque q nuestra precisión es muy grande de 0.1 mmHg.

Basado en una variable numérica con marco muestral desconocido

Ejemplo Valor de la hemoglobina en gestantes a nivel del mar- 2009

n= Tamaño de la muestra n= ¿?

S = Desviación estándar S = 1 mg%

S2= Varianza S2 = 1

d = precisión d = 0.1 mg%

α= Nivel de significancia α= 5%

1-α= Nivel de confianza 1-α= 1- 0.05 = 95%

=Valor tipificado =1.96

Por lo tanto; requerimos como mínimo 385 gestantes para un niel de confianza del 95%, con una precisión

de 0.1mg%

Por lo tanto; requerimos como mínimo 461 alumnos para un nivel de confianza del 95%, con una recisión

de 0.1 mmHG

Nuestra muestra es muy grande porque q nuestra precisión es muy grande de 0.1 mmHg

Comparación de los grupos cuando la variable es categórica.

Ejemplo. Comparar la prevalencia de migraña en estudiantes de odontología y medicina

n= Tamaño de la muestra n= ¿?

α= Error tipo I α= 5%

1-α= Nivel de confianza 1-α= 95%

=Valor tipificado =1.96

β = Error tipo II β = 20%

1-β = Poder estadístico 1-β = 80% = Valor tipificado

p1 = prevalencia de la migraña en estudiantes de medicina p1 = 0.3

P2 = prevalencia de la migraña en estudiantes de odontología p2= 0.2

P promedio=

= 292.82 = 293

Tamaño exacto

Por lo tanto requerimos 293 estudiantes de medicina y 293 estudiantes de odontología

Comparación de los grupos cuando la variable es categórica.

Ejemplo. Comparar la talla al nacer en la ciudad de La Paz y Constitución.

n= Tamaño de la muestra n= ¿?

α= Error tipo I α= 5%

1-α= Nivel de confianza 1-α= 95%

=Valor tipificado =1.96

β = Error tipo II β = 20%

1-β = Poder estadístico 1-β = 80%

= Valor tipificado

S1 = Desviación estándar del grupo 1 S1 = 10

S2 = Desviación estándar del grupo 2 S2= S1

X1- X2 = Diferencia propuesta (decimos que la talla al nacer es 4 cm mayor en la Cd de la Paz que en Constitución)

X1- X2= 4

= 98.11 = 99

3.84

Tamaño exacto

Por lo tanto requerimos 99 recién nacido en la Cd de La Paz y 99 de Constitución

IV.3. DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL.

Hemos dicho ya, que el objetivo de nuestro estudio es poder extender a la población lo que

obtengamos de una muestra.

Imagina que de la población formada por todos los alumnos de la universidad, extraes

aleatoriamente una muestra de 40 alumnos, y les preguntas por su edad, encontrando que

la edad media obtenida es de 20,8 años. Pero, ¿qué ocurriría, si extrajéramos otra muestra?

¿Coincidirían las medias? ¿Y coincidirían con la media de la población? Lo cierto es que

parece lógico pensar que aunque no tengan porqué coincidir, si deberían estar bastante

próximas. Pero, ¿cuánto de próximas?, ¿dependería esta proximidad del tamaño de las

muestras que elegimos?

Parece necesario, que estudiemos la variabilidad de las medias obtenidas de las muestras

que repetidamente se extraigan. Lo siguiente, responde claramente a las preguntas

planteadas.

a) Distribución muestral de medias

Supongamos que se han seleccionado muestras aleatorias de tamaño 20 en una

población grande. Se calcula la media (x) para cada muestra; la colección de todas estas

medias muestrales recibe el nombre de distribución muestral de medias.

b) Teorema central del límite

Imagina que tienes una población con media m y desviación típica σ. y que extraes

aleatoriamente todas las posibles muestras, todas ellas de tamaño n. Si obtuvieras las

medias de todas estas muestras, y las consideras una distribución de datos (la

distribución muestral de medias), comprobarías que: La media de los datos, es la media

de la población, es decir la media de las medias de las muestras, es igual que la media de

la población.

Considere una población de tamaño N=5, la cual se compone de las edades de 5 niños que

son pacientes externos de una clínica de salud y cuyas edades son las siguientes:

x1=6 x2=8 x3=10 x4=12 x5=14

Media Poblacional

Varianza poblacional

Todas las combinaciones posibles de muestra tamaño n=2

6,6 (6)

6,8 (7)

6,10 (8)

6,12 (9)

6,14 (10)

8,6 (7)

8,8 (8)

8,10 (9)

8,12 (10)

8,14 (11)

10,6 (8)

10,8 (9)

10,10 (10)

10,12 (11)

10,14 (12)

12,6 (9)

12,8 (10)

12,10 (11)

12,12 (12)

12,14 (13)

14,6 (10)

14,8 (11)

14,10 (12)

14,12 (13)

14,14 (14)

Distribución muestral de medias

Frecuencia

6 1

7 2

8 3

9 4

10 5

11 4

12 3

13 2

14 1

TOTAL 25

MEDIA MUESTRAL

VARIANZA MUESTRAL

También podemos ver que la varianza de la distribución muestral no es igual a la varianza de la población. Sin embargo, es

interesante observar que la varianza de la distribución muestral es igual a la varianza de la población dividida entre el tamaño de

la muestra utilizada para obtener la distribución muestral. Esto es:

Se eligen muestras ordenadas de tamaño 2 (n=2), de la población de valores 0, 2, 4 y 6 (N=4)

Encontrar:

, la media poblacional.

σ , la varianza poblacional

μ , la media de la distribución muestral de medias.

σ , la varianza de la distribución muestral de medias.

Solución:

Media Poblacional

Varianza poblacional

n=2

Distribución de frecuencias de x

(0,0) 0 f

(0,2) 1 0 1

(0,4) 2 1 2

(0,6) 3 2 3

(2,0) 1 3 4

(2,2) 2 4 3

(2,4) 3 5 2

(2,6) 4 6 1

(4,0) 2

(4,2) 3

(4,4) 4

(4,6) 5

(6,0) 3

(6,2) 4

(6,4) 5

(6,6) 6

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

Fre

cue

nci

as

Medias muestrales

Gráfica de frecuencias para las medias de las muestras

f

IV.5. DISTRIBUCIÓN DE PROPORCIONES MUESTRALES.

Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra, sino que queremos investigar la proporción de una característica de interés en la muestra. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones.

Proporción (p)

en donde “ ” es el número de é itos u observaciones de interés y “n” el tamaño de la

muestra).

q= es el complemento de p. q= 1-p

Valor de Z 1.15 1.28 1.44 1.65 1.96 2 2.58

Nivel de confianza 75% 80% 85% 90% 95% 95.5% 99%

Ejemplo

En un estudio de 300 accidentes de automóvil en la ciudad de La Paz, 60 tuvieron consecuencias fatales.

Con base en esta muestra, construya un intervalo del 90% de confianza para aproximar la proporción de

todos los accidentes automovilísticos que en esta ciudad tienen consecuencias fatales.

p= 60/300 = 0.20

Z(0.90) = 1.65

0.162<P<0.238 = entre el 16.2 y 23.8%

2.- Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para

evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar

todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15

que fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los

reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las pruebas.

Solución:

n=500 p = 15/500 = 0.03 z(0.90) = 1.65

2.37 <P<37.6 %

Se sabe con un nivel de confianza del 90% que la proporción de discos defectuosos que no pasan la prueba

en esa población está entre 2.37 <P<37.6 %

Estimación de la Diferencia de dos Proporciones

Ejemplo:

1.- Un artículo relacionado con la salud, reporta los siguientes datos sobre la incidencia de disfunciones importantes

entre recién nacidos con madres fumadoras de marihuana y de madres que no la fumaban:

Usuaria No Usuaria

Tamaño Muestral 1246 11178

Número de disfunciones 42 294

Proporción muestral

=0.0337

0.0263

Encuentre el intervalo de confianza del 99% para la diferencia de proporciones.

Solución:

Representemos P1 la proporción de nacimientos donde aparecen disfunciones entre todas las madres que fuman

marihuana y definamos P2, para las no fumadoras. El valor de z para un 99% de confianza es de 2.58.

Este intervalo es bastante angosto, lo cual sugiere que P1-P2 ha sido estimado de manera precisa.

2.- Se considera cierto cambio en un proceso de fabricación de componentes. Se toman muestras del procedimiento existente y del nuevo para determinar si éste tiene como resultado una mejoría. Si se encuentra que 75 de 1500 artículos del procedimiento actual son defectuosos y 80 de 2000 artículos del procedimiento nuevo también lo son, encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia real en la fracción de defectuosos entre el proceso actual y el nuevo.

Solución:

Sean P1 y P2 las proporciones reales de defectuosos para los procesos actual y nuevo, respectivamente. De aquí, p1=75/1500 = 0.05 y p2 = 80/2000 = 0.04. El valor de z para un nivel de confianza del 90% es de 1.65.

-0.0017<P1-P2<0.0217 = -0.17<P1-P2<2.17%

No hay razón para creer que el nuevo procedimiento producirá una disminución significativa en la

proporción de artículos defectuosos comparada con el método existente.