IVB / TRIGONOMETRA / 5

En los captulos anteriores nos hemos dedicado al estudio de las identidades trigonomtricas, es decir ecuaciones que contienen funciones trigonomtricas que verifican para todo valor de la variable angular. Para lo cual estn definidas dichas funciones. (Valor Admisible).

sen2x = 2senxcosx

tg 3x =

Ahora veremos aquellas ecuaciones que contienen funciones trigonomtricas que verifican slo para ciertos valores (o que posiblemente, no verifican para ningn valor) a dichas ecuaciones las llamaremos ECUACIONES TRIGONOMETRICAS.

Identidad Trigonomtrica

Tgx + ctgx = secxcscx

Sec2x + csc2x = sec2x csc2x

Ecuacin Trigonomtrica

Senx =

Cos2x =

En una ecuacin trigonomtrica la incgnita siempre esta afectada por un operador trigonomtrico. (seno, coseno, .... cosecante).

senx + cosx = 1si es E.C. Trigonomtrica

tgx + sec2x = 3si es E.C. Trigonomtrica

3x + tgx = 2No es E.C. Trigonomtrica

I. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS ELEMENTALES

Son de la forma :

Ejemplo : sen3x = ; cos(x - ) =

Tg , etc.

Cmo resolver?

Senx =

Para este tipo de ecuaciones solo es necesario encontrar las dos primeras soluciones:

Senx =

mayor que cero

45, 135

sen(135) sen(180-45) = sen45=

por reduccin al IC

Por lo tanto las dos primeras soluciones son 45 y 135 .

Para obtener ms soluciones se les va agregando o restando 360 a cada valor obtenido.

360 -360-360+360+360+360

a) ........... 675 -315 454057651125

-360 -360-360+360+360

b) ........... -585 -225 135495855

( Las soluciones sern :

Las dos primeras soluciones positivas

a) ........... -675 , -585 , -315 , -225 , 45 , 135, 405, 495, 765, 855, 1125

valor principal (VP)

Resolver :

Cosx = ( Las soluciones deben encontrarse en el IC y IVC .

60 y 300 (las dos primeras soluciones positivas).

Para obtener las dems soluciones se les va agregando o restando a cada valor obteniendo como en el ejemplo anterior.

Recordar :

Si un ngulo ( se encuentra en el :

IIC 180 - (IIIC es de la forma180 + (IV C360 - (( ( ngulo agudo

Resolver :

Senx =

Resolvemos de est manera :

sen( = ( ( = 60

Pero : como el seno es negativo (-) x (las soluciones) deben encontrarse en el IIIC y IVC

IIIC

(180 + 60 = 240

IVC

(360 - 60 = 300

SOLUCIONES

( Las dos primeras soluciones positivas son : 240 y 300

II. ECUACIONES NO ELEMENTALES

Son aquellas ecuaciones que requieren del uso de transformaciones e identidades trigonomtricas para ser reducidas a ecuaciones trigonomtricas elementales debido a la gran variedad de ecuaciones trigonomtricas no elementales no existe un mtodo general de solucin solo daremos algunas recomendaciones.

Cuando la ecuacin tenga factores comunes en ambos miembros no simplifique por que al hacerlo se eliminan valores del conjunto solucin, el paso correcto es la factorizacin.

Ejemplo :

2sen23x = sen3x

No extraiga raz cuadrada o al hacerlo considere las dos races positivas o negativa una posibilidad seria utilizar las identidades de degradacin.

Ejemplo :

Sen26x =

No eleve al cuadrado la ecuacin porque al hacerlo aumenta valores en el conjunto solucin introducindose races extraas.

Una solucin seria utilizar las identidades de ngulos compuestos.

Ejemplo :

senx + cosx = 1

Cuando los ngulos sean diferentes transforme a producto.

Ejemplo :

Cos5x + cos3x = 0

1. Sume las dos primeras soluciones positivas de:

Senx =

a) 570

b) 180

c) 360

d) 540

e) 450

2. Sume las tres primeras soluciones positivas de:

tg2x =

a) 180

b) 135

c) 150

d) 160

e) 210

3. Calcular:

Las tres primeras soluciones positivas de:

Sen(3x + 15) =

a)

b)

c)

d)

e)

4. tgx 1 = 0

(x ( < 0,2( >

Dar la suma de soluciones.

a) (

b)

c) 2(d)

e) 3(5. Resolver : (x : agudo)

Senx - cosx = 0

a) 30

b) 45

c) 60

d) 75

e) 120

6. Resolver :

1 + cos = 2sen2x

Indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas.

a) 180

b) 120

c) 200

d) 240

e) 360

7. Resolver : sec2x = tgx + 1

Indicando el nmero de soluciones positivas menores de 1 vuelta.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

8. Seale el nmero de soluciones positivas y menores de una vuelta. Si :

tg2x = secx + 1

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

9. Encuentra la menor solucin positiva de la ecuacin.

cscx senx = cosx

a)

b)

c)

d)

e)

10. Halle el menor valor positivo que toma x en la ecuacin.

a) 30

b) 20

c) 40

d) 10

e) 50

11. Resolver : tg3x = 3tgx

Indicando la mayor solucin en

a) 180

b) 210

c) 240

d) 300

e) 330

12. Si se cumple que : cos2( + sen2( = 0

Halle la menor solucin positiva.

a) 10

b) 75

c) 80

d) 20

e) 40

13. Resolver:

Sec2x + tg2x = 3

(cosx < 0)

a) 135

b) 225

c) 240

d) a y b

e) a y c

14. Resolver :

nsen2x + (n + 2)cos2x = n + 1; (senx > 0)

a) 45 , 135b) 30 , 150c) 60 , 120

d) 30 , 120e) 60 , 150

15. Resolver :

a) 5

b) 10

c) 15

d) 10

e) 30

1. Sume las tres primeras soluciones positivas de:

cos( =

a) 580

b) 680

c) 780

d) 720

e) 400

2. Sume las tres primeras soluciones positivas de:

Sen3x =

a) 30

b) 60

c) 90

d) 120

e) 150

3. Resolver :

Sec(2x 45) = x ( [180 , 360>

a) 45

b) 30

c) 180

d) 225

e) 315

4. Indicar el nmero de soluciones si :

tg2x 1 = 0

0 < x < 360

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

5. Indicar el nmero de soluciones si :

2sen3x + = 0

0 < x < 180

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

6. Sume las tres primeras soluciones positivas de:

2cos2x 1 = senx

a) 300

b) 350

c) 400

d) 450

e) 500

7. Resolver:

Indicar la primera solucin positiva

a)

b)

c)

d)

e)

8. Indicar el menor valor positivo si :

Senx - Cosx = 1

a) 30

b) 60

c) 90

d) 135

e) 180

9. Resolver :

cosx - senx = 0

(x : agudo)

a) 30

b) 45

c) 60

d) 75

e) 210

10. Resolver : ctgx tgx = 2

a) 10

b) 20

c) 15

d) 75

e) 30

11. Resolver :

4sen3x = 3senx

Indicando la mayor solucin en 0 < x < 360

a) 180

b) 240

c) 300

d) 330

e) 210

12. Si se cumple :

Halle los valores que toma x

Si : x ( < 0,2( >

a)

b)

c)

d)

e)

13. Seale el menor valor positivo que verifica la ecuacin.

3senx + 4cosx = 5

a) 30

b) 37

c) 53

d) 60

e) 45

14. Resolver :

a) rad

b)

c)

d)

e)

15. Calcule la menor solucin positiva de la ecuacin :

Senx + sen3x + sen5x + sen7x = 0

a)

b)

c)

d)

e)

Ahora hazlo t!

Cambiamos de signo

Observamos que el senx es positivo.

Por lo tanto las soluciones deben estar en el IC y IIC

FT (ax + b) = N

Ec. T. NO ELEMENTALES

Ec. T. ELEMENTALES

ECUACIN TRIGONOMTRICA

PAGE 181JOSE CARLOS MARIATEGUI-BIGOTE

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