Javier Luis Mroginski - Facultad de...

Departamento de Mecanica AplicadaFacultad de Ingenierıa

Universidad Nacional del Nordeste

GEOMECANICA NO LINEAL APLICADA A PROBLEMAS

AMBIENTALES EN MEDIOS POROSOS PARCIALMENTE

SATURADOS

por

Javier Luis Mroginski

Director: Dr. Ing. H. Ariel Di Rado

Co-Director: Dr. Ing. Armando M. Awruch

Tesis presentada como requisito parcial

para acceder al grado academico de

Magister en Ciencias de la Ingenierıa

Febrero 2008

Resumen

Geomecanica No Lineal Aplicada a ProblemasAmbientales en Medios Porosos Parcialmente Sa-turados


En el presente trabajo de tesis se abordan diferentes problemas referidos a la mecanica

de medios porosos saturados y parcialmente saturados, tanto en dos dimensiones como en

tres dimensiones, considerando la presencia de sustancias miscibles o inmiscibles dentro

de la estructura granular del medio. Para modelar la presencia de poluentes en el suelo se

aplicaron las ecuaciones de balance de masa y de momento lineal de la Termodinamica a

las distintas fases en que el suelo es idealizado. Por otro lado, se tuvo en cuenta dos tipos

de no linealidades en el comportamiento constitutivo del medio, la no linealidad fısica y

geometrica. Para el desarrollo de la primera se consideraron trabajos anteriores con buenos

resultados en suelos saturados basados en la Teorıa de Estados Crıticos, modificando la

funcion de fluencia (en forma cinematica e isotropica) con la matriz de succion. El segundo

tipo de no linealidad fue descripta para materiales hipoelasticos basada en magnitudes

corotadas y permite reproducir el comportamiento de grandes deformaciones del suelo.

Los modelos matematicos aquı desarrollados se presentan en forma diferencial y discreta,

conformando un problema de valores de contorno cuya solucion aproximada es obtenida

empleando el Metodo de los Elementos Finitos, para lo cual se desarrollo integramente un

software en lenguaje Fortran 90. Se presentan numerosos ejemplos academicos con el fin

de mostrar la capacidad del metodo para describir diferentes comportamientos mecanicos

y estados tensionales.

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Agradecimientos

En primer lugar es mi deseo agradecer a todo el personal del Departamento de

Mecanica Aplicada y en particular al Ing. Mario Pedro Favretto si cuya determinacion y

esfuerzo no podrıa llevarse a cabo esta carrera de postgrado.

Vaya tambien mi mas sincero agradecimiento a mis directores, Dr. Ing. H. Ariel Di

Rado y Dr. Ing. Armando M. Awruch, por la confianza depositada en mı para la ejecucion

de esta Tesis y por ser una fuente permanente de motivacion.

A las autoridades de la Facultad de Ingenierıa y a la Secretarıa General de Ciencia y

Tecnica de la Universidad Nacional del Nordeste por su apoyo economico.

A mis amigos y companeros Pablo Beneyto, Luis Kosteski y Guillermo Castro por

mostrarse dispuestos a ayudarme ante cualquier inconveniente.

Finalmente, un profundo agradecimiento a mi esposa, Cecilia, por darme la estabilidad

emocional necesaria para desempenarse en la vida y a mis padres por ensenarme los valores

morales y por ser continuamente el ejemplo a seguir.


Febrero 2008

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Indice general

1. Introduccion 7

1.1. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Ecuaciones de Gobierno de la Mecanica de Medios Porosos No Satura-dos 11

2.1. Volumen elemental representativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Cinematica de medio multifasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Ecuaciones de gobierno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1. Ecuaciones de balance microscopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2. Ecuaciones de balance macroscopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.3. Relaciones constitutivas y de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4. Ecuaciones generales de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1. Fase solida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.2. Fase lıquida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.3. Fase gaseosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.4. Transporte de poluentes inmiscibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.5. Transporte de poluentes miscibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Problemas No Lineales en Suelos No Saturados 39

3.1. No linealidad geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1. Ecuacion de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.2. Forma debil de la ecuacion de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3. Relacion constitutiva objetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.4. Relacion constitutiva hipoelastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2

Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...INDICE GENERAL

3.1.5. No linealidad geometrica en suelos no saturados . . . . . . . . . . . 44

3.2. No linealidad fısica. Elasto-plasticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1. Teorıa clasica de la plasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.2. El modelo de estado crıtico aplicado a suelos . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.3. Relacion constitutiva para suelos saturados . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.4. Adaptacion del modelo a suelos no saturados . . . . . . . . . . . . . 52

4. Aplicacion del Metodo de los Elementos Finitos 56

4.1. Problemas de valores de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2. Condiciones iniciales y de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3. Forma discreta del comportamiento de las fases . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.1. Fase solida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.2. Fase liquida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.3. Fase gaseosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.4. Fase de poluente inmiscible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.5. Poluentes miscibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4. Modelado del transporte de poluentes inmiscibles . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5. Modelado del transporte de poluentes miscibles . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.5.1. Sistema Desacoplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.5.2. Sistema Acoplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5. Ejemplos Numericos 72

5.1. Problemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.1.1. Consolidacion elastoplastica unidimensional . . . . . . . . . . . . . 72

5.1.2. Zapata aislada tridimensional. Analisis no lineal fısico. . . . . . . . 74

5.1.3. Zapata corrida. Analisis no lineal geometrico. . . . . . . . . . . . . 76

5.1.4. Talud vertical. Analisis no lineal fısico y geometrico. . . . . . . . . . 76

5.2. Transporte de poluentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2.1. Columna de suelo unidimensional. Flujo inmiscible. . . . . . . . . . 79

5.2.2. Consolidacion unidimensional de suelo parcialmente saturado. Flujoinmiscible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2.3. Pozo de bombeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2.4. Transporte miscible en suelos no saturados. . . . . . . . . . . . . . 82

3 Javier L. Mroginski

Maestrıa en Ciencias de la IngenierıaFacultad de Ingenierıa. UNNE.

6. Conclusiones y Futuros Desarrollos 86

Bibliografıa 88

I. Segunda Ley de la Termodinamica 93

Javier L. Mroginski 4

Indice de figuras

2.1. Volumen elemental representativo (REV, en ingles) . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Curva caracterıstica para distintos tipos de suelos, [25] . . . . . . . . . . . 24

2.3. Esquema donde se indican los parametros a, n y m, [25] . . . . . . . . . . 25

2.4. Diferentes configuraciones de la curva Sπ−pgπ en funcion de los parametrosSB, MB y LB: a) Variando LB y manteniendo constante SB y MB;b) Variando MB y manteniendo constante SB y LB c) Variando SB ymanteniendo constante LB y MB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1. Plasticidad uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2. Expansion cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3. Expansion isotropica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4. Superficie de fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1. Consolidacion 3D. Mallado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2. Trayectoria de tensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3. Evolucion de la presion de poro de agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.4. Asentamiento en funcion del tiempo para diferentes combinaciones de losparametros plasticos de la funcion de fluencia. . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.5. Disipacion de la presion de poro da agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.6. Desplazamiento en funcion del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.7. Talud vertical. Mallado y condiciones de contorno. . . . . . . . . . . . . . . 76

5.8. Estado tensional de la presion de poro de agua a los 2 dıas de aplicada lacarga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.9. Asentamiento superficial y presion de poro de agua para el dıa 20. . . . . . 77

5.10. Talud vertical: a) Deformacion plastica volumetrica; b) Localizacion detensiones tangenciales; c) Estado intermedio (50% de la carga) de presionde poro de agua; d) Estado de deformacion final (factor de escala x 1.0) . . 78

5


5.11. Ejemplo de validacion: Mallado y condiciones de borde . . . . . . . . . . . 80

5.12. Ejemplo de validacion: Desplazamiento vertical vs tiempo, comparacioncon resultados experimentales y numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.13. Columna de suelo unidimensional. Resultados numericos: a) Desplazamien-to vs. Tiempo ; b) Grado de Saturacion de Poluente vs. Tiempo ; c) Presionde Poro de Agua vs. Tiempo ; d) Presion de Poro de Poluente vs. Tiempo . 81

5.14. Mallado y condiciones de borde del problema de extraccion de agua sub-terranea en presencia de poluentes (286 elementos) . . . . . . . . . . . . . 83

5.15. Presion de poro de la agua a las 30 horas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.16. Presion de poro de la fase poluente a las 30 horas . . . . . . . . . . . . . . 84

5.17. Perfil de presion de poro de la agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.18. Perfil de concentracion de poluente miscible en agua . . . . . . . . . . . . . 85


CAPITULO 1

Introduccion

La geomecanica ambiental cubre un vasto numero de problemas donde se involucrangeomateriales usualmente acoplados con el flujo de determinados fluidos y con el trans-porte de masa.

La geomecanica ambiental trata problemas como transporte de poluentes en acuıferosy, particularmente, en zonas no saturadas donde la deformacion de la fase solida del suelopuede ser importante debido a la naturaleza del suelo y a los efectos de la tension capilar.Otra area de singular importancia dentro de la geomecanica ambiental es el estudio delconfinamiento de residuos industriales, nucleares, etc. donde el correcto diseno de losmedios de contencion son un factor ambientalmente primordial.

En este trabajo se deduce un modelo matematico general para resolver problemasgeomecanicos, sin embargo, la resolucion numerica se lleva a cabo sobre un modelo sim-plificado que resulta del modelo general.

En el presente capıtulo se realiza un estado del arte sobre la forma en que los diferentesautores abordan el area de la geomecanica en los ultimos anos.

En el capıtulo 2 se plantean las ecuaciones generales de gobierno de la mecanica demedios contınuos aplicada a medios porosos parcialmente saturados teniendo en cuentatransporte de poluentes miscibles e inmiscibles. Se parten de las ecuaciones de conservacionde masa y balance de la cantidad de movimiento, y teniendo en cuenta diferentes relacionescontitutivas, se obtienen las ecuaciones generales de gobierno para problemas multifasicosen derivadas parciales.

En el capıtulo 3 se abordan los problemas no lineales de la mecanica de medios contınu-os. En una primer seccion se presenta el analisis no lineal geometrico estudiado en detallepor J.E. Manzolillo [49] y H.A. Di Rado [15], el cual sera implementado numericamente enel capıtulo 3 y 4. En la siguiente seccion se trata la no linealidad fısica de suelos saturadosy no saturados, incorporando una nueva superficie de fluencia dependiente de la succion.

El capıtulo 4 se plantea la solucion de las ecuaciones diferenciales de gobierno deduci-das en el capıtulo 2 aplicando sucesivamente el Metodo de Residuos Ponderados [54, 67]y Galerkin [26] a las ecuaciones de conservacion correspondientes a la fase solida, lıquiday gaseosa, y en el caso de existir poluentes en el medio poroso se tendra para poluentes

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inmiscibles, poluentes miscibles en agua y para poluentes miscibles en aire, con el fin dearribar a los sistemas de ecuaciones algebraicas para resolver el fenomeno de transportede poluentes inmiscibles y miscibles, considerando elasticidad lineal y pequenas deforma-ciones.

En el capıtulo 5 se muestran ejemplos de aplicacion de los diversos problemasaquı abordados presentando casos mostrados en la bibliografıa.

Para finalizar, en el capıtulo 6 se presentan las conclusiones extraıdas del trabajorealizado junto con los posibles desarrollos futuros que se desprenden del mismo.

1.1 Estado del arte

Diferentes autores han estudiado la geomecanica de medios porosos atacandolo desdedistintos puntos de vista y teniendo en cuenta consideraciones e hipotesis propias. Uno delos primeros en escribir sobre el tema es Xikui Li [45], 1992, en cuyo trabajo se planteaque el transporte de fluıdos en medios porosos se presenta simultaneamente en dos o masfases dentro del poro, las cuales se encuentran separadas por una superficie de interfase.Asume tambien que no se producen reacciones quımicas ni cambios de fases entre loscomponentes. Considera que la existencia de la presion capilar puede ser escrita en formade serie [56], sin tener en cuenta otros factores como la curvatura del menisco, la porosidad,la dimension y la forma de los poros, etc.

Por otro lado las ecuaciones de gobierno para el medio poroso deformado, que inter-actuan con las fases de fluido, son derivadas a partir de la teorıa de Biot [9], la conservacionde masa para la fase solida y la conservacion de cantidad de movimiento para todo el sis-tema. En definitiva este modelo toma como variables primarias, ademas de las citadas enel parrafo anterior, los desplazamientos de la fase solida u.

Otro autor que realizo notables aportes en el tema es B.A. Schrefler, quien en sutrabajo [59], 2001, brinda un marco teorico con el cual es posible modelar los problemasgeomecanicos por medio del Metodo de los Elementos Finitos (MEF), asumiendo que elmedio poroso es un sistema multifase, donde los vacıos intersticiales de la matriz solidadel suelo (fase solida) estan ocupados con agua (fase lıquida), vapor de agua y aire seco(fase gaseosa) y contaminantes. Estos contaminantes pueden o no mezclarse con la faselıquida presente en los poros, en el caso de que no se mezclen son considerados una nuevafase por donde fluiran los contaminantes (fase inmiscible). En este trabajo no se tratanlos contaminantes que reaccionan con alguna de las fases. El modelo numerico resultanteresuelve las ecuaciones de Cantidad De Movimiento y de Balance de Energıa (Entalpıa)para el medio multifasico completo, ecuaciones de Balance de Masa para la fase lıquida yla ecuacion de Transporte de Masa para poluentes en fases acuosas y no acuosas. En casode contaminantes inmiscibles, las dos ultimas ecuaciones son sustituidas por la ecuacionde Balance de Masa propio de cada sustancia.

Casi simultaneamente con B.A. Schrefler surge un trabajo de Daichao Sheng [62],2002, en el cual se presenta la solucion bidimensional de las ecuaciones de transportepor adveccion-dispersion para contaminantes con muchos componentes por el M.E.F. La


Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...1.1. Estado del arte

formulacion mostrada es general, sin embargo, el estudio presentado aquı se restringe ano linealidad, absorcion controlada e intercambio de iones inorganicos solubles. El meto-do de los elementos finitos esta basado en una generalizacion del metodo unidimensionalde transporte equilibrado Petrov-Galerkin (TEPG siglas en ingles) propuesto en [61]. Enel metodo TEPG, el termino proveniente de la reaccion es tratado como una parte deltermino de masa acumulada; lo cual se diferencia de la mayorıa de las formulaciones pre-sentadas hasta el momento donde consideran al termino de reaccion como una fuente. Ası,la ecuacion de transporte posee dos incognitas, la concentracion acuosa y la concentracionanalıtica total. La estrategia de solucion elegida es resolver las ecuaciones de transporteacopladas con las ecuaciones de equilibrio quımico por un metodo de iteracion secuencial.No se requiere hacer simplificaciones en el termino de reaccion cuando se resuelve lasecuaciones de transporte, lo que significa que estas son siempre conservativas.

Seguidamente surge un trabajo de R. Juncosa [36], en 2002, donde se plantea la res-olucion del flujo multifasico no isotermico con transporte reactivo, el cual exige postularlos principios y las leyes basicas para poder presentar con ecuaciones matematicas el com-portamiento del medio poroso [35]. La formulacion del balance de masa de cada especieque constituye el medio (agua, aire, solutos) en cada fase (solida, lıquida, gaseosa), delprincipio de conservacion de energıa (transporte de calor) y de las ecuaciones de equilib-rio quımico, plantea un sistema de ecuaciones en derivadas parciales cuya integracion sepuede realizar con distintos esquemas. Las ecuaciones de transporte reactivo se resuelvendesacopladamente con respecto al flujo multifasico no isotermico. Para la resolucion delas ecuaciones quımicas se ha aplicado el metodo de iteracion secuencial, de tal forma quedichas ecuaciones son resueltas en forma explıcita a partir de la ecuacion de transporte.Para ello se define una base de especies quımicas denominadas primarias a partir de lascuales, y aplicando la ley de accion de masas, se puede obtener el resto de las especies,denominadas secundarias.

Otro autor que estudio el tema es G. Klubertanz, en 2003, quien desarrollo un tra-bajo [39] donde presenta dos formulaciones matematicas para estudiar el flujo de fluidosinmiscibles y miscibles en un medio poroso deformado basadas en la mecanica del mediocontinuo. Afirma que el flujo inmiscible se desarrolla en un medio trifasico y esta basa-do en la teorıa de mezclas para medios continuos. Las variables primarias consideradasson el desplazamiento de la fase solida, u, presion del poro de agua, pw, y la presion delgas, pg. La densidad especıfica de la fase solida se considera constante y se asume queel comportamiento de la fase gaseosa esta gobernada por las leyes de los gases ideales.Ademas se considera que la ley de Darcy es valida para ambos flujos. Por su parte, elmodelo de flujo miscible de G. Klubertanz emplea ecuaciones masa y ecuaciones de equi-librio para todo el sistema. Las variables primarias consideradas son el desplazamientode la fase solida, u, presion del fluido, pk, la concentracion de poluentes y los depositosespecıficos de poluentes. Este modelo esta basado en las ecuaciones generales de balancecomo las obtenidas por Bear y Bachmat [5] usando tecnicas aproximadas combinadas conla presencia de poluentes.

Por ultimo B.A. Schrefler en [60], 2004, profundiza los temas estudiados por el mismoen [59] y analiza al suelo como un medio poroso multifasico. En dicho trabajo se estu-dian los fenomenos de transporte dentro del marco de las teorıas aproximadas estableci-das por Hassanizadeh y Gray [29, 30, 31, 32, 33, 34]. B.A. Schrefler extiende el estudio



isotermico de estos medios desarrollados en [42, 58] abarcando problemas no isotermicos.En este trabajo ademas, se tiene en cuenta la interfase entre los diferentes componentesdel medio mediante sus propiedades termodinamicas. Establece que, cualquier fluido delmedio poroso permanecera inmiscible solo si no hay tension superficial en la interfase,dado que si la tension superficial es nula la presion capilar se anula tambien, con lo cual lapresion del fluido permanecera constante. En la deduccion de las ecuaciones constitutivasse emplea sistematicamente el procedimiento de Coleman y Noll [13] sobre la inecuacionde entropıa con lo cual se asegura el cumplimiento de la segunda ley de la termodinamica.Por otro lado, siguiendo este procedimiento y teniendo en cuenta [28, 33], se llega a que lasconocidas leyes de Darcy, Fick y Fourier son linearizaciones de sistemas mas complejos.


CAPITULO 2

Ecuaciones de Gobierno de la Mecanica deMedios Porosos No Saturados

En el presente capıtulo se pretende deducir las ecuaciones de gobierno de las diferentesfases que componen el medio poroso considerado, las cuales seran descriptas a partir desus correspondientes ecuaciones de balance. El medio poroso aquı considerado se componede tres fases, solida, lıquida y gaseosa, en presencia de sustancias (poluentes) que puedeno no constituır una mezcla con alguna de las fases fluidas anteriores.

El comportamiento de los poluentes puede describirse de dos maneras diferentes, de-pendiendo de su capacidad de mezclarse. En el caso mas comun, donde los poluentes soninmiscibles, el comportamiento del mismo se describe como una fase mas de fluido. Porotro lado, el transporte de poluentes solubles, puede ser estudiado mediante su correspon-diente expresion de balance cuando se trata de un medio deformable, como sera realizadoen este trabajo, o bien teniendo en cuenta tres procesos de transporte: adveccion, difusiony dispersion. El flujo de masa de contaminantes por adveccion esta ligado a gradientes depresion, el flujo de masa por difusion se debe a la concentracion de gradientes de presiony el flujo por dispersion es atribuido a variaciones de la velocidad de infiltracion duranteel transporte.

Para una correcta descripcion del medio no saturado bajo condiciones no isotermicasdebe tenerse en cuenta no solo flujo convectivo de calor y difusion de vapor, sino tambien elflujo conductivo, flujo debido a gradientes de presion o efectos capilares y la transferenciade calor latente debido a cambios de fase (evaporacion y condensacion) dentro del poro.Mas alla de todo esto, debe considerarse a los granos de la fase solida del suelo comoindeformable, lo que da como resultado un campo de acoplado de ecuaciones de flujo, desolidos y termica [59].

Se asume que los componentes del suelo son quımicamente inertes (no reaccionanentre si). Se considerara un equilibrio termodinamico local, es decir en cada punto. Deesta manera la temperatura en un punto del medio multifasico debe ser igual para cadacomponente. Esto no quiere decir que la temperatura de todo el medio debe ser uniforme,en realidad, indica que en cada punto puede definirse el estado termodinamico sabiendoel valor de la temperatura en un componente (que es igual a la del resto). No se tendra encuenta el efecto de la deformacion de la fase solida del suelo en la ecuacion de balance

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de energıa. Otra aclaracion que convenientes realizar es que la presion de compresionsera considerada positiva para los fluidos y negativa para la fase solida.

Para estudia el transporte de poluentes es necesario ademas realizar las siguienteshipotesis adicionales, los poluentes no modifican las propiedades mecanicas del medio ylos poluentes miscibles no producen ninguna variacion en las ecuaciones de balance demomento lineal y angular y en el balance de energıa [58].

2.1 Volumen elemental representativo

La mecanica clasica asume una distribucion continua de las partıculas (solidas y flu-idas), para las cuales estan establecidas las leyes de balance y las relaciones constitutivas.Los fenomenos aquı estudiados ocurren en dominios ocupados por varias fases. La faseque siempre esta presente es la fase solida, o esqueleto solido, cuyos espacios vacıos seconsideran llenos de fluidos (lıquidos y gaseosos) los cuales se separan entre sı por unasuperficie llamada interfase. Aquı debe enfatizarse la diferencia que existe entre fases ycomponentes. Las fases son porciones quımicamente homogeneas del sistema multifasicocuyo comportamiento mecanico se considera uniforme. Por su parte, los componentes sonlas partes individuales que conforman las fases y se comportan tambien en forma inde-pendiente, un ejemplo de esto es lo que ocurre en la fase gaseosa, la cual puede estarcompuesta por una mezcla de gases que son los componentes.

Figura 2.1: Volumen elemental representativo (REV, en ingles)

Para describir la configuracion intergranular del medio multifasico hay primordial-mente dos niveles posibles, el microscopico y el macroscopico. A nivel microscopico seconsidera se considera la estructura real del medio poroso, la cual no es homogenea. Aeste nivel, las ecuaciones de gobierno se plantean para cada componente por separado, loque dificulta en gran medida la solucion del problema. Por otro lado, las propiedades mi-croscopicas de los medios porosos son de difıcil obtencion. Por estos motivos, y atendiendoa que los detalles microscopicos por lo general escapan a los intereses de la ingenierıa, seconsidera suficientemente preciso hacer una descripcion macroscopica del medio. Comoprincipal caracterıstica, esta descripcion asume que en cada punto material estan presentessimultaneamente todas las fases en sus respectivas proporciones.


Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...2.2. Cinematica de medio multifasico

En estos procesos una fraccion de volumen ηγ = dvγ/dv puede componerse por lossiguientes elementos: [7]

Fase solida, ηs = 1 − n, donde n = (dvw + dvg + dvπ) /dv es la porosidad y dvi esel diferencial de volumen del elemento i dentro del volumen representativo (figura2.1)

Fase lıquida: ηw = nSw, donde Sw = dvw/ (dvw + dvg + dvπ) es el grado de satu-racion de agua.

Fase gaseosa: ηg = nSg, donde Sg = dvg/ (dvw + dvg + dvπ) es el grado de saturaciondel aire.

Fase de poluente inmiscible: ηπ = nSπ, donde Sg = dvπ/ (dvw + dvg + dvπ) es elgrado de saturacion del poluente.

De las ecuaciones anteriores se desprende que:

Sw + Sg + Sπ = 1 (2.1)

y la densidad del medio multifasico:

ρ = ρs + ρw + ρg + ρπ = (1− n) ρs + nSwρw + nSgρ

g + nSπρπ (2.2)

donde ρi = ηiρi, es la densidad de masa media, del componente i, dentro del volumenelemental representativo.

2.2 Cinematica de medio multifasico

El movimiento del medio multifasico sera descrito con la superposicion de todas susfases π, para π = 1, 2, . . . k. Por ejemplo, para una configuracion dada, cada punto es-pacial, x, es simultaneamente ocupado por puntos materiales Xπ de todas las fases enla configuracion actual. Sin embargo, el estado de movimiento de cada fase es indepen-diente. En la descripcion Lagrangiana o Material del movimiento, la posicion de cadapunto material xπ en un tiempo t, es una funcion de su desplazamiento con respecto a laconfiguracion de referencia adoptado, Xπ , y del tiempo actual t.

xπ = xπ (Xπ, t) (2.3)

Para mantener la continuidad en todo momento, el Jacobiano, J , de esta transforma-cion debe ser distinto de cero y estrictamente positivo [48], ya que es igual al determinantedel tensor gradiente de deformacion F π.

F π = grad xπ ⇐ (F π)−1 = grad Xπ (2.4)



Debido a que la relacion lagrangiana (2.3) es no-singular, la misma puede ser invertida,lo que resulta ser la descripcion Euleriana o Espacial del movimiento:

Xπ = Xπ (xπ, t) (2.5)

Sabiendo que las funciones que describen el movimiento tienen derivadas continuas esposible determinar la velocidad y la aceleracion material de una partıcula de la fase π sise conoce su trayectoria.

vπ =∂xπ (Xπ, t)

∂t(2.6)

aπ =∂2xπ (Xπ, t)

∂t2(2.7)

La expresion espacial de las ecuaciones anteriores se obtiene teniendo en cuenta ladefinicion (2.5). Luego, usando la regla de derivacion en cadena se tiene:

aπ =∂vπ

∂t+ vπ · grad vπ (2.8)

Ademas, sabiendo que la derivada material respecto del tiempo de cualquier fun-cion diferenciable fπ (x, t) dada en coordenadas espaciales y referida a una partıcula enmovimiento de la fase π es:

∂πfπ

∂t=∂fπ

∂t+ vπ · grad fπ (2.9)

Si se considera ahora otra fase, α, se tendra:

∂αfπ

∂t=∂fπ

∂t+ vα · grad fπ (2.10)

Restandole a la expresion (2.9) la (2.10) se tiene:

∂αfπ

∂t=∂πfπ

∂t+ vαπ · grad fπ (2.11)

donde vαπ es la velocidad relativa entre las fases α y π

vαπ = vα − vπ (2.12)

Ası se tendran las velocidades relativas de la fase lıquida, gaseosa y de poluente de lasiguiente manera.

vws = vw − vs , vgs = vg − vs , vπs = vπ − vs (2.13)


Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...2.3. Ecuaciones de gobierno

El estudio de la deformacion es descrito por el tensor gradiente de deformacion [48],F , cuya descomposicion polar permite separar la deformacion total en dos tensores, unoque incluye puramente deformaciones, U o V , y otro que tiene en cuenta nada mas quelas rotaciones como cuerpo rıgido, R.

F = R U = V R (2.14)

2.3 Ecuaciones de gobierno

2.3.1 Ecuaciones de balance microscopico

Se tendra en cuenta ahora las ecuaciones de balance clasicas de la mecanica del mediocontinuo usadas para describir el comportamiento microscopico de una fase π. Caberescatar que, en las interfases entre dos componentes diferentes, las propiedades mate-riales y las cantidades termodinamicas pueden presentar discontinuidades.

Para una propiedad termodinamica cualquiera, ψ, la ecuacion general de conservaciondentro de la fase π puede ser escrita como [48, 53]:

∂ρψ

∂t+ div (ρψr)− div i− ρ b = ρG (2.15)

donde r es el valor de la velocidad de la fase π en un punto fijo del espacio, ρ es la densidady b es el suministro externo de ψ, i es el vector de flujo asociado a ψ y G es la produccioninterna neta de ψ.

En la interfase de dos componentes π y α se debe cumplir la siguiente relacion [31]

[ρψ (w − r) + i]|π · nπα + [ρψ (w − r) + i]|α · n

απ = 0 (2.16)

donde w es la velocidad de la interfase, nαπ es el vector unitario normal a la fase π queingresa en la fase α, logicamente debe cumplirse que nπα = −nαπ, ademas, el sımbolo |πindica que el termino precendente encerrado entre corchetes [ ] debe ser evaluado en lafase π.

Para establecer ecuaciones de balance de una propiedad termodinamica definida (dis-tinta de ψ) se cambian las variables de estado i, b y G. En la tabla 2.1 se resume lasvariables que deben ser consideradas en cada caso particular [32, 43].

En tabla 2.1 E es la energıa interna especıfica, λ es la entropıa especıfica, tm es eltensor de tensiones microscopico, q es el vector de flujo de calor, Φ es el flujo de entropıa,g es el suministro externo de momentum relacionado con el campo de gravedad, h es lafuente de calor interna, S es la fuente interna de entropıa y ϕ es el incremento de entropıa.



Cantidad ψ i b GMasa 1 0 0 0Momentum r tm g 0Energıa E + 0,5 r · r tmr − q g · r + h 0Entropıa λ Φ S ϕ

Tabla 2.1: Propiedades termodinamicas para las ecuaciones de balance microscopico

Ası, por ejemplo, para obtener de la ecuacion de balance de masa se tiene las variablesde la tabla 2.1 seran:

ψ = 1 , i = 0 , b = 0 , G = 0 (2.17)

introduciendo estos valores en (2.15) la ecuacion de balance microscopico de masa resultaser:

∂ρ

∂t+ div (ρr) = 0 (2.18)

2.3.2 Ecuaciones de balance macroscopico

Las ecuaciones de balance macroscopico se obtienen a partir de la aplicacion sis-tematica del metodo de residuos ponderados [32, 43, 58] a la ecuacion de balance mi-croscopico (2.15), donde para cada constituyente se reemplaza la variable termodinamicay por la correspondiente propiedad microscopica segun el cuadro 2.1.

Fase solida

Partiendo de (2.18) y recordando la expresion (2.9), que representa la derivada de unapropiedad respecto del movimiento de otra fase [42], se obtiene la expresion del balancede masa para la fase solida

∂ρs

∂t+ div (ρs vs) = 0 (2.19)

donde vs es la velocidad del esqueleto solido.

dado que,

div (ρsvs) = ρsdiv vs + grad ρs · vs (2.20)

∂ρs

∂t+ ρsdiv vs + grad ρs · vs = 0 (2.21)



y teniendo en cuenta (2.2) y (2.9) nos queda:

(1− n)

ρs

∂ρs

∂t− ∂n

∂t+ (1− n) div vs = 0 (2.22)

Fase lıquida

La ecuacion microscopica de balance de masa para la fase lıquida es similar a lacorrespondiente a la fase solida (2.19) siendo la igualdad distinta de cero (G 6= 0) dadoque el agua puede transformase en vapor y viceversa.

∂ρw

∂t+ ρwdiv vw = −m (2.23)

donde vw es la velocidad de masa de la fase lıquida y −m es la cantidad de agua trans-formada en vapor por unidad de volumen.

Teniendo ahora en cuenta (2.2), (2.9) y (2.20) nos queda:

∂ (nSwρw)

∂t+ nSwρ

wdiv vw = −m (2.24)

Desarrollando en primer lugar la derivada temporal de la expresion anterior se tiene:

Swρw ∂n

∂t+ nρw ∂Sw

∂t+ nSw

∂ρw

∂t+ nSwρ

wdiv vw = −m (2.25)

trabajando algebraicamente, teniendo en cuenta ademas (2.13) y (2.20), se llega a lasiguiente relacion

∂n

∂t+

n

Sw

∂Sw

∂t+

n

ρw

∂ρw

∂t+

1

Swρwdiv (nSwρ

w · vws) + ndiv vs = − m

Swρw(2.26)

la cual al ser sumada con (2.22) se consigue eliminar el termino ∂n/∂t

(1− n)

ρs

∂ρs

∂t+ div vs +

n

ρw

∂ρw

∂t+

n

Sw

∂Sw

∂t+

1

Swρwdiv (nSwρ

w · vws) = − m

Swρw(2.27)



Fase gaseosa

La fase gaseosa aquı considerada esta compuesta por dos componentes, aire seco (ga)y vapor de agua (gw). Dado que ambos componentes son miscibles y se comportan enforma similar pueden ser tratados como una sola fase, pero ocuparan el mismo diferencialde volumen, nSg.

La ecuacion de balance microscopico de esta fase esta dada nuevamente por (2.18) enel caso de despreciar la produccion interna de masa de cada especie debido a las reaccionesquimicas entre ambas [29]. Ası, la ecuacion de balance para aire seco es:

∂

∂t(nSgρga) + div (nSgρgav

ga) = 0 (2.28)

Similarmente, usando el superındice gw, se tiene la ecuacion de balance para el vaporde agua:

∂

∂t(nSgρgw) + div (nSgρgwvgw) = m (2.29)

Combinando las expresiones (2.28) y (2.29), la ecuacion de balance de masa para lamezcla de aire seco y vapor de agua sera:

∂

∂t(nSgρg) + div (nSgρgv

g) = m (2.30)

con ρg = ρga + ρgw y vg = 1/ρg (ρgavga + ρgwvgw)

Desarrollando (2.30) y teniendo en cuenta (2.9) y (2.20), nos queda una expresion quese asemeja a (2.24)

∂ (nSgρg)

∂t+ nSgρ

gdiv vg = m (2.31)

Nuevamente trabajando algebraicamente con esta expresion y teniendo en cuentaademas (2.13) y (2.20), se llega a

∂n

∂t+

n

Sg

∂Sg

∂t+n

ρg

∂ρg

∂t+

1

Sgρgdiv (nSgρ

g · vgs) + ndiv vs =m

Sgρg(2.32)

la cual al ser sumada con (2.22) se consigue eliminar el termino ∂n/∂t

(1− n)

ρs

∂ρs

∂t+ div vs +

n

Sg

∂Sg

∂t+n

ρg

∂ρg

∂t+

1

Sgρgdiv (nSgρ

g · vgs) =m

Sgρg(2.33)



Poluentes inmiscibles

Cuando el poluente presente en el medio poroso no tiene la propiedad de mezclase conalguna de las fases no solidas claramente, entonces se encontrara formando parte de unanueva fase, π. Una manera de estudiar este fenomeno es considerar que el comportamientodel poluente sera similar a la fase lıquida [59], con lo cual es posible plantear las ecuacionesde conservacion en forma similar a dicha fase.

La ecuacion de balance de masa para poluentes inmiscibles sera por lo tanto similar a(2.27) pero sin el termino de generacion interna, m = 0.

(1− n)

ρs

∂ρs

∂t+ div vs +

n

ρπ

∂ρπ

∂t+

n

Sπ

∂Sπ

∂t+

1

Sπρπdiv (nSπρ

π · vπs) = 0 (2.34)

Poluentes miscibles

El tratamiento del problema de transporte de contaminantes solubles (ya sea en aguao aire) se plantea empleando las ecuaciones de conservacion de masa del soluto correspon-diente, segun este se disuelva en la fase lıquida o gaseosa. Para el caso de tener contami-nantes solubles en agua, la ecuacion de conservacion es [59]:

Swcπw

ρs(1− n)

∂ρs

∂t+ ncπw

∂Sw

∂t+ nSw

∂cπw∂t

+ div (nSwcπw · vws)

+ Swcπwdiv vs = Iw + div (ρπDπ

w grad cπw) (2.35)

y si se considera poluentes solubles en aire, la ecuacion de conservacion es:

Sgcπg

ρs(1− n)

∂ρs

∂t+ ncπg

∂Sg

∂t+ nSg

∂cπg∂t

+ div(nSgc

πg · vgs

)+ Sgc

πgdiv vs = Ig + div

(ρπDπ

g grad cπg)

(2.36)

donde Iα representa el intercambio entre las distintas fases y Dπα es el tensor de dispersion

efectivo, entre la fase difusiva π y la fase donde la difusion se esta llevando a cabo α(siendo α = w, g) [30].

2.3.3 Relaciones constitutivas y de estado

Para completar la descripcion del comportamiento mecanico se requiere definir lasrelaciones constitutivas. Las equaciones de balance desarrolladas en la seccion anteriorpermite la elaboracion de teorıas constitutivas un poco elaboradas, especialmente si estasequaciones de balance son validas en las interfases [33].



Tensor de tensiones en las fases fluidas

Aplicando de segunda ley de la termodinanica el medio poroso multifasico (verApendice I) el tensor de tensiones en las fases fuıdas puede ser escrito como

tγ = −ηγpγI (2.37)

con I el tensor identidad o delta de Kronecker δij, pγ es la presion en la fase γ y ηγ es la

fraccion de volumen de la fase γ. Como se observa claramente el tensor de tensiones enfases fluidas no posee componentes desviadoras.

Tensor de tensiones en la fase solida

Nuevamente, al aplicar de segunda ley de la termodinanica el medio poroso multifasico(ver Apendice I) se demuestra que el tensor de tensiones en la fase solida es

ts = (1− n) (tse − Ips) (2.38)

mientras que la presion en la fase solida es [51]

ps = Swpw + Sgp

g + Sπpπ (2.39)

y el tensor de tensiones efectivo es

σ′ = (1− n) tse (2.40)

Introduciendo (2.39) en (2.38)

ts = (1− n) [tse − I (Swp

w + Sgpg + Sπp

π)] (2.41)

La fraccion de volumen (1− n) indica que ts es la tension ejercida sobre la fase solidapor unidad de area y el termino ts

e se define en el Apendice I. Con el objeto de obtenerla tension total, σ, se suma la expresion (2.41) con (2.37) escrita para las fases lıquidas,gaseosas y de poluentes.

σ = ts + tw + tg + tπ =

(1− n) [tse − I (Swp

w + Sgpg + Sπp

π)]− nSwpwI − nSgp

gI − nSπpπI =

(1− n) tse − I (Swp

w + Sgpg + Sπp

π) (2.42)

Esta expresion puede ser ordenada de la forma mas conocida en la mecanica de suelos[24, 40]

σ = σ′ + I (pwSw + pgSg + pπSπ) (2.43)



Densidad de la masa solida

Al considerar que la fase solida es compresible se puede obtener una relacion de lavariacion temporal de la densidad de la masa solida a partir de la ecuacion diferencial deconservacion de masa [58]

∂ (ρsV s)

∂t= 0 (2.44)

Asumiendo que la densidad de la masa solida es una funcion de ps (2.39), de la tem-peratura y del primer invariante del tensor de tensiones efectivo se tiene,

1

ρs

∂ρs

∂t= − 1

Vs

∂Vs

∂t=

1

Ks

∂ps

∂t− βs

∂T

∂t− 1

3 (n− 1)Ks

∂ (trσ′)

∂t(2.45)

donde se tuvo en cuenta

1

ρs

∂ρs

∂ps=

1

Ks

1

ρs

∂ρs

∂T= −βs

1

ρs

∂ρs

∂ (trσ′)=

1

3 (n− 1)Ks

(2.46)

donde Ks es coeficiente de compresibilidad del grano, βs es el coeficiente de expansiontermico del grano y trσ′ es el primer invariante del tensor de tensiones efectivo.

Teniendo en cuenta ahora la relacion constitutiva para el primer invariante del tensorde tensiones efectivo [48].

∂trσ′

∂t= 3KT

(divvs +

1

Ks

∂ps

∂t− βs

∂T

∂t

)(2.47)

donde KT es el modulo de deformacion volumetrico.

Teniendo en cuenta la definicion de la constante de Biot [10]

(1− α) =KT

Ks

(2.48)

y las expresiones (2.47) y (2.45) se obtiene,

1

ρs

∂ρs

∂t=

1

1− n

[(α− n)

1

Ks

∂ps

∂t− βs (α− n)

∂T

∂t− (1− α) div vs

](2.49)

Para granos incompresibles 1/Ks = 0, α = 1, lo cual no implica que el esqueleto solidosea rıgido, dado que se reacomodan los espacios vacıos.



Ecuacion de estado para la fase lıquida

La ecuacion de estado para el agua ha sido desarrollada por [21] y viene dado por:

ρw = ρwoexp [−βwT + Cw (pw − pwo)] (2.50)

donde el superındice o indica que se trata del estado inicial, βw es el coeficiente de ex-pansion termica y Cw es el coeficiente de compresibilidad. Teniendo en cuenta solo losterminos de primer orden del desarrollo en serie de (2.50) se obtiene

ρw = ρwo [1− βwT + Cw (pw − pwo)] (2.51)

siendo su variacion en el tiempo

1

ρwo

∂ρw

∂t=

1

Kw

∂pw

∂t− βw

∂T

∂t(2.52)

donde Kw = 1/Cw es modulo de masa del agua. La ecuacion anterior puede ser obtenidatambien a partir de la expresion diferencial de la ecuacion de balance de masa [42] de lasiguiente manera. La ecuacion diferencial de conservacion de masa para la fase lıquida es

∂ (ρwV w)

∂t= 0 (2.53)

Desarrollando esta derivada y teniendo en cuenta que ρw = ρw (pw, T ) se tiene,

1

ρw

∂ρw

∂t= − 1

V w

∂V w

∂t=

1

ρw

(∂ρw

∂pw

∂pw

∂t+∂ρw

∂T

∂T

∂t

)(2.54)

haciendo

1

ρwo

∂ρw

∂pw=

1

Kw

1

ρwo

∂ρw

∂T= −βw

(2.55)

se obtiene

1

ρwo

∂ρw

∂t=

1

Kw

∂pw

∂t− βw ∂T

∂t(2.56)



Ecuacion de estado para la fase gaseosa

La fase gaseosa puede ser considerada como una mezcla perfecta de gases ideales, aireseco y vapor de agua. Ası es posible usar las leyes de gases ideales relacionando la presionparcial, pgγ, del componente γ, la concentracion de masa, ρgγ, del componente γ en la fasegaseosa y la temperatura absoluta θ.

Las ecuaciones de estado de una gas perfecto, aplicado a aire seco(ga), vapor de agua(qw) y aire humedo (g) son [42]

pga = ρgaθR/Ma

pgw = ρgwθR/Mw

ρg = ρga + ρgw

pg = pga + pgw

Mg =

(ρgw

ρg

1

Mw

+ρga

ρg

1

Ma

)−1

(2.57)

donde Mγ es la masa molar del componente γ y R es la constante universal de los gases.

Curva caracterıstica del suelo

Los primero modelos de elementos finitos para suelos no saturados [37] no considerabanla variacion del grado de saturacion con el tiempo, lo cual daba como resultado sistemasde ecuaciones de simetricos de sencilla solucion. Posteriormente, haciendo un analisismas riguroso, numerosos autores [1, 7, 25, 47, 57, 64] que estudiaron el comportamientode suelos parcialmente saturados encontraron que existe una relacion entre el grado desaturacion, Sw, y la succion, pgw = pg − pw, la cual denominaron curva caracterıstica.

Los modelos matematicos que emplean esta relacion [42, 46] poseen gran capacidadde prediccion al ser comparados con resultados experimentales, sin embargo pierden lasimetrıa del sistema de ecuaciones, conduciendo a soluciones mas costosas desde el puntode vista computacional.

Por su lado, P.A. Beneyto [7, 8], basandose en la morfologıa de la relacion Gradode Saturacion-Succion, propuso un modelo para suelos no saturados capaz de resolveralternativamente el sistema simetrico o no simetrico segun la importancia que adquierala variacion la curva caracterıstica.

Los autores Fredlund and Xing dieron [25], en 1994, una expresion matematica de lacurva caracterıstica que se adapta facilmente a numerosos tipos de suelo (ver figura 2.2),dicha expresion fue empleada en este trabajo y es la siquiente:

Sw =

1−

ln(1 + pgw

pgwr

)ln

(1 + 106

pgwr

)

[Sw0

(ln (e+ (pgw/a)n))m

](2.58)



donde pgwr es el valor de succion correspondiente al contenido residual de agua y Sw0 es

el grado de saturacion inicial. En la figura 2.3 se aprecia el significado de algunos de loscoeficientes de (2.58): a = pgw

i valor de la succion en el punto de inflexion de la curva

caracterıstica, m = 3,67 ln(

Sw0

Swi

)pgw

r siendo Swiel valor del grado de saturacion en el

punto de inflexion, n = 1,31m+1

m Sw03,72 · s · pgw

i , s =Sw0

pgwp −pgw

ipendiente.

Figura 2.2: Curva caracterıstica para distintos tipos de suelos, [25]

Otra ecuacion de fundamental importancia en este trabajo es la derivada de (2.58)respecto de la succion [18]:

∂Sw

∂pgw=

1−ln

(1 + pgw

pgwr

)ln

(1 + 106

pgwr

)

Sw0(−m)

[ln

(e+

(pgw

a

)n)](−m−1)

(n

(pgw

a

)(n−1) (1a

))(e+

(pgw

a

)n) +

(

1pgw

r

)(ln

(1 + 106

pgwr

)) (1 + pgw

pgwr

)

Sw0(

ln(e+

(pgw

a

)n))m

(2.59)

Dado que, con la presencia de sustancias inmiscibles en el suelo, el problema se tornamultifasico, surge una nueva relacion de succion pgπ = pg − pπ, siendo pπ la presion deporo de poluente [51]. En virtud de que la nueva fase inmiscible se comporta similar a la


Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...2.4. Ecuaciones generales de campo

Figura 2.3: Esquema donde se indican los parametros a, n y m, [25]

fase lıguida, pero no igual, debe plantearse una nueva relacion Sπ−pgπ. Para este trabajose adopto la siguente expresion:

Sπ = sb− (sb−mb) tanh (lb pgπ) (2.60)

donde sb, mb y lb con parametros de ajuste que permiten adaptar la curva a distintasconfiguraciones.

Al igual que la curva caracterıstica de Fredlund and Xing, esta relacion tiene la ca-pacidad de adoptar diferentes formas (ver figura 2.4). Otra propiedad importante de estaexpresion es que al ser mas simple que la (2.58) puede ser invertida con facilidad, lo cualagiliza el calculo numerico del problema, no siendo necesario la implementacion de unalgoritmo iterativo (como ser el de Newton-Raphson) para obtener el valor de succionpara un grado de saturacion dado.

2.4 Ecuaciones generales de campo

Las leyes de balance macroscopicos son ahora transformadas introduciendo las rela-ciones constitutivas definidas en la seccion 2.3.3

2.4.1 Fase solida

El comportamiento de la fase solida puede ser descripta con suficiente precision pormedio de la ecuacion de balance de momento lineal, la cual se obtiene a partir de (2.15)estableciendo correctamente las variables de estado i, b y G [42].

LT σ + ρg = 0 (2.61)



Figura 2.4: Diferentes configuraciones de la curva Sπ − pgπ en funcion de los parametrosSB, MB y LB: a) Variando LB y manteniendo constante SB y MB; b) Variando MBy manteniendo constante SB y LB c) Variando SB y manteniendo constante LB y MB



siendo: ρ la densidad del medio multifasico (2.2),

ρ = ρs + ρw + ρg + ρπ = (1− n) ρs + nSwρw + nSgρ

g + nSπρπ (2.62)

el operador diferencial:

LT =∂/∂x 0 0 ∂/∂y 0 ∂/∂z

0 ∂/∂y 0 ∂/∂x ∂/∂z 00 0 ∂/∂z 0 ∂/∂y ∂/∂x

(2.63)

y el tensor de tensiones σ, que aprovechando su simetrıa puede ser expresado como vector

σT = σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx (2.64)

2.4.2 Fase lıquida

Derivando la relacion entre los grados de saturacion de las diferentes fases (2.1) conrespecto al tiempo y despejando ∂Sg/∂t se tiene

∂Sg

∂t= −∂Sw

∂t− ∂Sπ

∂t(2.65)

Teniendo en cuenta la ecuacion de estado de la fase lıquida (2.52), la definicion depresion en la fase solida (2.39) y la densidad de la fase solida (2.49), en la ecuacion debalance macroscopico de la fase lıquida (2.27), se tiene

[(α− n)

Ks

∂ps

∂t− βs (α− n)

∂T


]+ div vs +

n

Kw

∂pw

∂t

− βwn∂T

∂t+

n

Sw

∂Sw

∂t+

1

Swρwdiv (nSwρ

w · vws) = − m

Swρw(2.66)

(α− n)

Ks

∂ (pwSw + pgSg + pπSπ)

∂t− βs (α− n)

∂T

∂t+ α div vs +

n

Kw

∂pw

∂t

− nβw∂T

∂t+

n

Sw

∂Sw

∂t+

1

Swρwdiv (nSwρ

w · vws) = − m

Swρw(2.67)

(α− n)

Ks

[Sw∂pw

∂t+ pw ∂Sw

∂t+ Sg

∂pg

∂t+ pg

(−∂Sw

∂t− ∂Sπ

∂t

)+ Sπ

∂pπ

∂t+ pπ ∂Sπ

∂t

]− βs (α− n)

∂T

∂t+ α div vs +

n

Kw

∂pw

∂t− nβw

∂T

∂t+

n

Sw

∂Sw

∂t



+1

Swρwdiv (nSwρ

w · vws) = − m

Swρw(2.68)

[Sw

(α− n)

Ks

+n

Kw

]∂pw

∂t+

[(α− n)

Ks

Sg

]∂pg

∂t+

[(α− n)

Ks

Sπ

]∂pπ

∂t+ α div vs

+ [− (α− n) βs − nβw]∂T

∂t+

[(α− n)

Ks

pw − (α− n)

Ks

pg +n

Sw

]∂Sw

∂t

+(α− n)

Ks

[pπ − pg]∂Sπ

∂t+

1

Swρwdiv (nSwρ

w · vws) = − m

Swρw(2.69)

Considerando el operador diferencial (2.63) el termino div vs puede ser expresadocomo:

div vs = mT ∂ε

∂t= mTL

∂u

∂t(2.70)

siendo

mT = [1, 1, 1, 0, 0, 0]T (2.71)

Por su parte el valor de div (nSwρw · vws) puede aproximarse en forma discreta a [42]:

div (nSwρw · vws) = ∇T

[kkrw

µw(−∇pw + ρwg)

](2.72)

donde k es la permeabilidad intrinsica, krw es la permeabilidad relativa de la fase lıquiday µ es la viscosidad dinamica.

Introduciendo (2.70) y (2.72) en la ecuacion de balance para la fase lıquida (2.69),multiplicando miembro a miembro por Sw y anulando el termino ∂T/∂t y m = 0 paraproblemas isotermicos, se tiene:

[S2

w

(α− n)

Ks

+nSw

Kw

]∂pw

∂t+

[(α− n)

Ks

SwSg

]∂pg

∂t+

[(α− n)

Ks

SwSπ

]∂pπ

∂t

+ α SwmTL∂u

∂t+

[(α− n)

Ks

Swpw − (α− n)

Ks

Swpg + n

]∂Sw

∂t+ Sw

(α− n)

Ks

[pπ − pg]∂Sπ

∂t

+1

ρw∇T

[kkrw


]= 0 (2.73)

Para los terminos ∂Sw/∂t y ∂Sπ/∂t es posible hacer la siguiente consideracion [8]

n∂Sw

∂t= n

∂Sw

∂pgw

∂pgw

∂t= Cw

∂pgw

∂t= Cw

(∂pg

∂t− ∂pw

∂t

)n∂Sπ

∂t= n

∂Sπ

∂pgπ

∂pgπ

∂t= Cπ

∂pgπ

∂t= Cπ

(∂pg

∂t− ∂pπ

∂t

) (2.74)



Donde n∂Sw/∂pgw = Cw es la derivada de la curva caracterıstica (Sw − pgw)[25] del suelo

estudiado y los terminos de succion pgw y pgπ estan dados por

pgw = pg − pw

pgπ = pg − pπ (2.75)

Dado que la fase π se comporta como un fluido es factible realizar un analisis similara caso anterior implementando una nueva curva Sπ − pgπ, definiendo n∂Sπ/∂p

gπ = Cπ deigual manera [55]. Una forma de variacion posible es mediante el empleo de la tangenteshiperbolicas [11].

Teniendo en cuenta las relaciones (2.74) en (2.73).

[(α− n)

Ks

Sw

(Sw − pwCw

n+ pgCw

n

)+nSw

Kw

− Cw

]∂pw

∂t

+

[(α− n)

Ks

Sw

(Sg + pwCw

n− pgCw

n+ (pπ − pg)

Cπ

n

)+ Cw

]∂pg

∂t

+

[(α− n)

Ks

Sw

(Sπ − (pπ − pg)

Cπ

n

)]∂pπ

∂t+ α SwmTL

∂u

∂t

+1

ρw∇T

[kkrw


]= 0 (2.76)

O bien,

α21L∂u

∂t+ α22

∂pw

∂t+ α23

∂pg

∂t+ α24

∂pπ

∂t+

1

ρw∇T

[kkrw


]= 0 (2.77)

con

α21 = α SwmT

α22 =(α− n)

Ks

Sw

(Sw − pwCw

n+ pgCw

n

)+nSw

Kw

− Cw

α23 =(α− n)

Ks

Sw

(Sg + pwCw

n− pgCw

n+ (pπ − pg)

Cπ

n

)+ Cw

α24 =(α− n)

Ks

Sw

(Sπ − (pπ − pg)

Cπ

n

)(2.78)

2.4.3 Fase gaseosa

Partiendo de la ecuacion de balance de masa para la fase gaseosa (2.33) e introduciendola ecuacion de estado para la mezcla gaseosa (2.57) se tiene



(1− n)

ρs

∂ρs

∂t+ div vs +

n

Sg

∂Sg

∂t+n

ρg

∂

∂t

[1

θR(pgaMa + pgwMw)

]+

1

Sgρgdiv (nSgρ

g · vgs) =m

Sgρg(2.79)

Considerando ahora la densidad de la fase solida (2.49) y la expresion para la presionen la fase solida (2.39) en la relacion anterior

[(α− n)

Ks

∂ps

∂t− βs (α− n)

∂T


]+ div vs +

n

Sg

∂Sg

∂t+

n

ρg

∂

∂t

[1

θR(pgaMa + pgwMw)

]+

1

Sgρgdiv (nSgρ

g · vgs) =m

Sgρg(2.80)

Sg (α− n)

Ks

∂

∂t(pwSw + pgSg + pπSπ)− Sgβs (α− n)

∂T

∂t+ α Sgdiv vs

+ n∂Sg

∂t+nSg

ρg

∂

∂t

[pgMg

θR

]+

1

ρgdiv (nSgρ

g · vgs) =m

ρg(2.81)

Agrupando terminos, teniendo en cuenta la tasa del grado de saturacion de la fasegaseosa (2.65) y considerando que el problema en estudio es isotermico se tiene:

[(α− n)

Ks

SgSw

]∂pw

∂t+

[(α− n)

Ks

S2g

]∂pg

∂t+

[(α− n)

Ks

SgSπ

]∂pπ

∂t+ αSg div vs

+

[(α− n)

Ks

Sg (pw − pg)− n

]∂Sw

∂t+

[(α− n)

Ks

Sg (pπ − pg)− n

]∂Sπ

∂t

+nSgMg

ρgθR

∂pg

∂t+

1

ρgdiv (nSgρ

g · vgs) =m

ρg(2.82)

Procediendo en forma similar a la fase lıquida se tienen en cuenta las expresiones (2.70)y (2.72) en la expresion anterior, obteniendose:

[(α− n)

Ks

SgSw

]∂pw

∂t+

[(α− n)

Ks

S2g

]∂pg

∂t+

[(α− n)

Ks

SgSπ

]∂pπ

∂t

+

[(α− n)

Ks

Sg (pw − pg)− n

]∂Sw

∂t+

[(α− n)

Ks


]∂Sπ

∂t

+ αSg mTL∂u

∂t+nSgMg

ρgθR

∂pg

∂t+

1

ρg∇T

[kkrg

µg(−∇pg + ρgg)

]= 0 (2.83)



Teniendo en cuenta las consideraciones llevadas a cabo en (2.74)

[(α− n)

Ks

SgSw

]∂pw

∂t+

[(α− n)

Ks

S2g

]∂pg

∂t+

[(α− n)

Ks

SgSπ

]∂pπ

∂t

+

[(α− n)

Ks

Sg (pw − pg)− n

]Cw

n

(∂pg

∂t− ∂pw

∂t

)+

[(α− n)

Ks


]Cπ

n

(∂pg

∂t− ∂pπ

∂t

)+ αSg mTL

∂u

∂t+nSgMg

ρgθR

∂pg

∂t+

1

ρg∇T

[kkrg


]= 0 (2.84)

[(α− n)

Ks

SgSw

]∂pw

∂t+

[(α− n)

Ks

S2g

]∂pg

∂t+

[(α− n)

Ks

SgSπ

]∂pπ

∂t

+Cw

n

∂pg

∂t

[(α− n)

Ks

Sg (pw − pg)− n

]− Cw

n

∂pw

∂t

[(α− n)

Ks

Sg (pw − pg)− n

]+Cπ

n

∂pg

∂t

[(α− n)

Ks


]− Cπ

n

∂pπ

∂t

[(α− n)

Ks


]+ αSg mTL

∂u

∂t+nSgMg

ρgθR

∂pg

∂t+

1

ρg∇T

[kkrg


]= 0 (2.85)

[(α− n)

Ks

Sg

(Sw −

Cw

n(pw − pg)

)+ Cw

]∂pw

∂t

+

[(α− n)

Ks

Sg

(Sg +

Cw

n(pw − pg) +

Cπ

n(pπ − pg)

)− Cw − Cπ +

nSgMg

ρgθR

]∂pg

∂t

+

[(α− n)

Ks

Sg

(Sπ −

Cπ

n(pπ − pg)

)+ Cπ

]∂pπ

∂t

+ αSg mTL∂u

∂t+

1

ρg∇T

[kkrg


]= 0 (2.86)

la cual puede ser expresada de manera similar a (2.77)

α31L∂u

∂t+ α32

∂pw

∂t+ α33

∂pg

∂t+ α34

∂pπ

∂t+

1

ρg∇T

[kkrg


]= 0 (2.87)



con

α31 = αSg mT

α32 =(α− n)

Ks

Sg

(Sw +

Cw

n(pg − pw)

)+ Cw

α33 =(α− n)

Ks

Sg

(Sg −

Cw

n(pg − pw)− Cπ

n(pg − pπ)

)− Cw − Cπ +

nSgMg

ρgθR

α34 =(α− n)

Ks

Sg

(Sπ +

Cπ

n(pg − pπ)

)+ Cπ

(2.88)

2.4.4 Transporte de poluentes inmiscibles

Como se menciono con anterioridad, en el estudio del transporte de poluentes enmedios porosos es necesario diferenciar si estos tienen la capacidad o no de disolverse enalguna de las fases no solidas existentes (lıquida o gaseosa). En esta seccion se planteara elestudio del transporte de poluentes, o materia, inmiscibles dejando el problema de polu-entes miscibles para la siguiente seccion.

Cuando la materia no puede mezclarse con la fase lıquida claramente esta formandoparte de una nueva fase, π, y el planteo de las ecuaciones de conservacion se lleva a caboen forma identica a caso de la fase lıquida.

La ecuacion de balance de masa para poluentes inmiscibles [59] es por lo tanto muysimilar a la correspondiente a la fase lıquida pero sin el termino de generacion interna,m = 0, y fue introducida en (2.34)

Teniendo en cuenta dicha expresion y nuevamente las ecuaciones (2.39), (2.49) y (2.52)se tiene:

[(α− n)

Ks

∂ps

∂t− βs (α− n)

∂T


]+ div vs +

n

Kπ

∂pπ

∂t

− βπn∂T

∂t+

n

Sπ

∂Sπ

∂t+

1

Sπρπdiv (nSπρ

π · vπs) = 0 (2.89)

(α− n)

Ks

∂ (pwSw + pgSg + pπSπ)

∂t− βs (α− n)

∂T

∂t+ α div vs +

n

Kπ

∂pπ

∂t

− nβπ∂T

∂t+

n

Sπ

∂Sπ

∂t+

1

Sπρπdiv (nSπρ

π · vπs) = 0 (2.90)

(α− n)

Ks

[Sw∂pw

∂t+ pw ∂Sw

∂t+ Sg

∂pg

∂t+ pg ∂Sg

∂t+ Sπ

∂pπ

∂t+ pπ ∂Sπ

∂t

]Javier L. Mroginski 32


− βs (α− n)∂T

∂t+ α div vs +

n

Kπ

∂pπ

∂t− nβπ

∂T

∂t+

n

Sπ

∂Sπ

∂t

+1

Sπρπdiv (nSπρ

π · vπs) = 0 (2.91)

[(α− n)

Ks

Sw

]∂pw

∂t+

[(α− n)

Ks

Sg

]∂pg

∂t+

[(α− n)

Ks

Sπ +n

Kπ

]∂pπ

∂t+ α div vs

+

[(α− n)

Ks

pw

]∂Sw

∂t+

[(α− n)

Ks

pg

]∂Sg

∂t+

[(α− n)

Ks

pπ +n

Sπ

]∂Sπ

∂t

+ [− (α− n) βs − nβπ]∂T

∂t+

1

Sπρπdiv (nSπρ

π · vπs) = 0 (2.92)

Finalmente se obtiene:

[(α− n)

Ks

Sw

]∂pw

∂t+

[(α− n)

Ks

Sg

]∂pg

∂t+

[(α− n)

Ks

Sπ +n

Kπ

]∂pπ

∂t+ α div vs

+

[(α− n)

Ks

pw

]∂Sw

∂t+

[(α− n)

Ks

pg

]∂Sg

∂t+

[(α− n)

Ks

pπ +n

Sπ

]∂Sπ

∂t

− βπs∂T

∂t+

1

Sπρπdiv (nSπρ

π · vπs) = 0 (2.93)

con βπs = [(α− n) βs + nβπ]

Procediendo en forma similar a las fases anteriores, se tiene en cuenta primeramentela expresion (2.65) y luego (2.70), (2.72) y (2.74) en las expresion diferencial de balancede masa (2.93).

[(α− n)

Ks

Sw

]∂pw

∂t+

[(α− n)

Ks

Sg

]∂pg

∂t+

[(α− n)

Ks

Sπ +n

Kπ

]∂pπ

∂t

+ α div vs +

[(α− n)

Ks

pw

]∂Sw

∂t+

[(α− n)

Ks

pg

](−∂Sw

∂t− ∂Sπ

∂t

)+

[(α− n)

Ks

pπ +n

Sπ

]∂Sπ

∂t+

1

Sπρπdiv (nSπρ

π · vπs) = 0 (2.94)

Trabajando algebraicamente y multiplicando miembro a miembro por Sπ se tiene

[(α− n)

Ks

SπSw

]∂pw

∂t+

[(α− n)

Ks

SπSg

]∂pg

∂t+

[(α− n)

Ks

S2π +

nSπ

Kπ

]∂pπ

∂t

+ α SπmTL

∂u

∂t+

[(α− n)

Ks

Sπpw − (α− n)

Ks

Sπpg

]Cw

n

(∂pg

∂t− ∂pw

∂t

)33 Javier L. Mroginski


+

[(α− n)

Ks

Sπpπ − (α− n)

Ks

Sπpg +

nSπ

Sπ

]Cπ

n

(∂pg

∂t− ∂pπ

∂t

)+

1

ρπ∇T

[kkrπ

µπ(−∇pπ + ρπg)

]= 0 (2.95)

Sπ

(α− n)

Ks

Sw −[(α− n)

Ks

(pw − pg)

]Cw

n

∂pw

∂t+ Sπ

(α− n)

Ks

Sg

+

[(α− n)

Ks

(pw − pg)

]Cw

n+

[(α− n)

Ks

(pπ − pg) +n

Sπ

]Cπ

n

∂pg

∂t

+ Sπ

(α− n)

Ks

Sπ +n

Kπ

−[(α− n)

Ks

(pπ − pg) +n

Sπ

]Cπ

n

∂pπ

∂t

+ α SπmTL

∂u

∂t+

1

ρπ∇T

[kkrπ


]= 0 (2.96)

[(α− n)

Ks

Sπ

[Sw − (pw − pg)

Cw

n

]]∂pw

∂t

+

[(α− n)

Ks

Sπ

[Sg + (pw − pg)

Cw

n+ (pπ − pg)

Cπ

n

]+ Cπ

]∂pg

∂t

+

[(α− n)

Ks

Sπ

[Sπ − (pπ − pg)

Cπ

n

]+nSπ

Kπ

− Cπ

]∂pπ

∂t

+ α SπmTL

∂u

∂t+

1

ρπ∇T

[kkrπ


]= 0 (2.97)

expresada de manera similar a (2.77) se tiene

α41L∂u

∂t+ α42

∂pw

∂t+ α43

∂pg

∂t+ α44

∂pπ

∂t+

1

ρπ∇T

[kkrπ


]= 0 (2.98)

con

α41 = α SπmT

α42 =(α− n)

Ks

Sπ

[Sw − (pw − pg)

Cw

n

]α43 =

(α− n)

Ks

Sπ

[Sg + (pw − pg)

Cw

n+ (pπ − pg)

Cπ

n

]+ Cπ

α44 =(α− n)

Ks

Sπ

[Sπ − (pπ − pg)

Cπ

n

]+nSπ

Kπ

− Cπ

(2.99)



2.4.5 Transporte de poluentes miscibles

El tratamiento del problema de transporte de contaminantes solubles (ya sea en aguao aire) se plantea empleando las ecuaciones de conservacion de masa del soluto correspon-diente [59], segun este se disuelva en la fase lıquida (2.35) o gaseosa (2.36). Por otro lado,algunos autores afirman que este flujo no afecta el comportamiento de la fase solida porlo cual no presenta acoplamiento con las restantes fases [39, 36], de esta manera cabe laposibilidad de ser resuelto luego de que las variables primarias fueron obtenidas, lo cualsera motivo de discusion en capıtulos posteriores.

Al igual que en la seccion 2.4.4 la variable primaria a considerar puede optarse entrepresion del poluente pπ, o concentracion del poluente en la fase lıquida cw, o en la fasegaseosa cg. Para este trabajo de tesis se escogio la concentracion como variable primaria.

Contaminantes solubles en agua

La diferencia entre el modelo de transporte de poluentes solubles en agua o aire resideen la ecuacion de conservacion de masa.

En el caso de tener contaminantes solubles en agua, la ecuacion de conservacion estadada por (2.35).

Considerando primeramente la densidad de la fase solida (2.49) se tiene:

Swcπw

[(α− n)

Ks

∂ps

∂t− βs (α− n)

∂T


]+ ncπw

∂Sw

∂t

+ nSw∂cπw∂t

+ div (nSwcπw · vws) + Swc

πwdivvs = Iw + div (ρπDπ

w grad cπw) (2.100)

Las expresiones (2.39) y (2.65) en el caso de flujo de sustancias solubles sufren unaligera modificacion en virtud de que el problema se torna trifasico, es decir,

ps = pwSw + pgSg (2.101)

Sw + Sg = 1 ⇒ ∂Sg

∂t= −∂Sw

∂t(2.102)

reemplazando (2.101) en (2.100) y trabajando algebraicamente se tiene,

Sw

[(α− n)

Ks

∂ (pwSw + pgSg)

∂t− βs (α− n)

∂T


]+ n

∂Sw

∂t+

nSw

cπw

∂cπw∂t

+ div (nSw · vws) + Swdiv vs =Iwcπw

+div (ρπDπ

w grad cπw)

cπw(2.103)



Sw(α− n)

Ks

∂ (pwSw + pgSg)

∂t− Swβs (α− n)

∂T

∂t− Sw (1− α) div vs + n

∂Sw

∂t+

nSw

cπw

∂cπw∂t


+div (ρπDπ

w grad cπw)

cπw(2.104)

Sw(α− n)

Ks

[Sw∂pw

∂t+ pw ∂Sw

∂t+ Sg

∂pg

∂t+ pg ∂Sg

∂t

]− Swβs (α− n)

∂T

∂t− Sw (1− α) div vs + n

∂Sw

∂t+nSw

cπw

∂cπw∂t


+div (ρπDπ

w grad cπw)

cπw(2.105)

[S2

w

(α− n)

Ks

]∂pw

∂t+

[SgSw

(α− n)

Ks

]∂pg

∂t+

[pwSw

(α− n)

Ks

+ n

]∂Sw

∂t+[

pgSw(α− n)

Ks

]∂Sg

∂t− Swβs (α− n)

∂T

∂t+ α Swdiv vs+

nSw

cπw

∂cπw∂t

+ div (nSw · vws) =Iwcπw

+div (ρπDπ

w grad cπw)

cπw(2.106)

Procediendo en forma similar a las fases anteriores, se tiene en cuenta primeramentela expresion (2.65) modificada en (2.102) y luego (2.70), (2.72) y (2.65) en las expresiondiferencial de balance de masa para poluentes solubles en la fase lıquida (2.65). Ademasse considera flujo isotermico.

[S2

w

(α− n)

Ks

]∂pw

∂t+

[SgSw

(α− n)

Ks

]∂pg

∂t+

[pwSw

(α− n)

Ks

+ n

]∂Sw

∂t

−[pgSw

(α− n)

Ks

]∂Sw

∂t+ α Swdiv vs +

nSw

cπw

∂cπw∂t

+ div (nSw · vws)

=Iwcπw

+div (ρπDπ

w grad cπw)

cπw(2.107)

[S2

w

(α− n)

Ks

]∂pw

∂t+

[SgSw

(α− n)

Ks

]∂pg

∂t+

[pwSw

(α− n)

Ks

+ n− pgSw(α− n)

Ks

]∂Sw

∂t

+ α SwmTL∂u

∂t+nSw

cπw

∂cπw∂t


+div (ρπDπ

w grad cπw)

cπw(2.108)



[S2

w

(α− n)

Ks

]∂pw

∂t+

[SgSw

(α− n)

Ks

]∂pg

∂t

+

[pwSw

(α− n)

Ks


Ks

]Cw

n

(∂pg

∂t− ∂pw

∂t

)+ α SwmTL

∂u

∂t+nSw

cπw

∂cπw∂t


+div (ρπDπ

w grad cπw)

cπw(2.109)

[S2

w

(α− n)

Ks

]∂pw

∂t+

[SgSw

(α− n)

Ks

]∂pg

∂t−

[pwSw

(α− n)

Ks


Ks

]Cw

n

∂pw

∂t

+

[pwSw

(α− n)

Ks


Ks

]Cw

n

∂pg

∂t+ α SwmTL

∂u

∂t

+nSw

cπw

∂cπw∂t


+div (ρπDπ

w grad cπw)

cπw(2.110)

[S2

w

(α− n)

Ks

−[pwSw

(α− n)

Ks


Ks

]Cw

n

]∂pw

∂t

+

[SgSw

(α− n)

Ks

+

[pwSw

(α− n)

Ks


Ks

]Cw

n

]∂pg

∂t

+ α SwmTL∂u

∂t+nSw

cπw

∂cπw∂t


+div (ρπDπ

w grad cπw)

cπw(2.111)

[(α− n)

Ks

[S2

w − pwSwCw

n+ pgSw

Cw

n

]− Cw

]∂pw

∂t

+

[(α− n)

Ks

[SgSw + pwSw

Cw

n− pgSw

Cw

n

]+ Cw

]∂pg

∂t

+ α SwmTL∂u

∂t+nSw

cπw

∂cπw∂t


+div (ρπDπ

w grad cπw)

cπw(2.112)


αw41L

∂u

∂t+αw

42

∂pw

∂t+αw

43

∂pg

∂t+αw

44

∂cπw∂t

+div (nSw · vws) =Iwcπw

+div (ρπDπ

w grad cπw)

cπw(2.113)

con

αw41 = α SwmT

αw42 =

(α− n)

Ks

Sw

[Sw − pwCw

n+ pgCw

n

]− Cw

αw43 =

(α− n)

Ks

Sw

[Sg + pwCw

n− pgCw

n

]+ Cw

αw44 =

nSw

cπw

(2.114)



Contaminantes solubles en aire

En el caso de tener contaminantes solubles en aire se procede en forma analoga a laseccion anterior modificando unicamente la ecuacion de conservacion de masa [59], dadapor (2.36)

Sgcπg

ρs(1− n)

∂ρs

∂t+ ncπg

∂Sg

∂t+ nSg

∂cπg∂t

+ div(nSgc

πg · vgs

)+ Sgc

πgdiv vs = Ig + div

(ρπDπ

g grad cπg)

(2.115)

Llegandose a la siguiente ecuacion:

[(α− n)

Ks

[SwSg − pwSg

Cw

n+ pgSg

Cw

n

]+ Cw

]∂pw

∂t

+

[(α− n)

Ks

[S2

g + pwSgCw

n− pgSg

Cw

n

]− Cw

]∂pg

∂t

+nSg

cπg

∂cπg∂t

+ α SgmTL

∂u

∂t+ div (nSg · vgs) =

Igcπg

+div

(ρπDπ

g grad cπg)

cπg(2.116)


αg41L

∂u

∂t+αg

42

∂pw

∂t+αg

43

∂pg

∂t+αg

44

∂cπw∂t

+div (nSg · vgs) =Igcπg

+div

(ρπDπ

g grad cπg)

cπg(2.117)

con

αg41 = α Sgm

T

αg42 =

(α− n)

Ks

Sg

[Sw − pwCw

n+ pgCw

n

]+ Cw

αg43 =

(α− n)

Ks

Sg

[Sg + pwCw

n− pgCw

n

]− Cw

αg44 =

nSg

cπg

(2.118)


CAPITULO 3

Problemas No Lineales en Suelos No Saturados

En este capıtulo se pretende indroducir dos no linealidades al problema de la consol-idacion de suelos parcialemente saturados. Primeramente se hara una breve descripcionde la no linealidad geometrica de los cuerpos solidos llegandose a una relacion constitu-tiva hipoelastica no simetrica que puede ser simplificada, sin generar mayores errores, auna relacion simetrica [20]. Dicho modelo, desarrollado para solidos, sera aplicado luegoa las ecuaciones de gobierno de medios porosos no saturados del capıtulo 2 para con-seguir el modelado de la consolidacion de suelos con grandes deformaciones. La restanteno linealidad ha ser introducida es la no linealidad fısica, donde se presentara un criteriode fluencia para suelos parcialmente saturados basado en la Teorıa de Estados Crıticos[2, 17] mediante la incorporacion de la succion como parametro independiente. El modeloelasto-plastico obtenido combina una expansion cinematica e isotropica de la funcion defluencia [50].

3.1 No linealidad geometrica

Dentro del campo de la mecanica de los medios continuos es muy importante conocercon suficiente aproximacion el comportamiento de los materiales estructurales. La res-puesta de estos, al ser sometidos a cargas, puede presentar diversas particularidades, talescomo no linealidades y dependencia del tiempo, entre otras. El modelado matematicode estos comportamientos tiende a ser cada vez mas general, representandose con mayorexactitud los procesos reales que experimenta el material.

El objetivo especıfico de este trabajo de tesis es mostrar una formulacion, y la imple-mentacion de las ecuaciones incrementales de elementos finitos, para el analisis no linealfısico y geometrico de materiales que no poseen un potencial elastico de energıa alma-cenada [49]. Se propone ademas una simplificacion en el calculo de la matriz de rigidezmaterial de los elementos finitos para mantener la simetrıa del sistema de ecuaciones aresolver [19] que disminuyen el costo computacional requerido para resolver problemas degran envergadura [4].

39


3.1.1 Ecuacion de equilibrio

Sea B la configuracion geometrica inicial de un cuerpo continuo, ϕ (X, t) la funcion de-formacion, y S = ϕ (B) la configuracion geometrica deformada y en equilibrio en el tiempot. Con X ∈ B se definen las coordenadas materiales o Lagrangianas, y con x = ϕ (X, t)las coordenadas espaciales o Eulerianas. La descripcion Lagrangiana de la ecuacion demovimiento, o ecuacion de conservacion de momento, viene dada por [48].

divP + ρg = ρa (3.1)

donde P es el primer tensor de Piola-Kirchhoff, ρ es la densidad de masa en la config-uracion inicial y a son las fuerzas de inercia. Ademas la fuerza unitaria de superficie enuna porcion ∂B, con versor normal n0 del contorno resulta: t0 = P · n0|∂B

En problemas estaticos las aceleraciones (o fuerzas de inercia) son despreciadas, conlo cual la expresion (3.1) se modifica de la siguiente manera, obteniendose la ecuacion deequilibrio:

divP + ρg = 0 (3.2)

La forma en tasas de esta ecuacion, necesaria en las soluciones incrementales, se ob-tiene asumiendo que las cargas de masa g y las de superficie t son independientes dela configuracion, es decir, no dependen de la deformacion ϕ. Entonces, la ecuacion deequilibrio en tasas se escribe como:

divP + ρg = 0 (3.3)

expresion valida para un incremento de carga dado por g y ˙t en un cierto tiempo fijo t.

3.1.2 Forma debil de la ecuacion de equilibrio

La deduccion de la forma debil de (3.3) puede verse en las referencias [6, 49, 63] conligeros cambios entre versiones, llegando a:

∫ϕ(B)

δL : [Lντ + Lτ ]dϕ (B)

J=

∫ϕ(B)

δvgρ dϕ (B) +

∫∂ϕ(B)

δv ˙t d∂ϕ (B) (3.4)

donde g y ˙t son las tasas de cambio de las cargas de masa y de superficie, respectivamente,en la configuracion actual; τ es el tensor de tensiones de Kirchhoff; L ≡ ∇v = ∂v/∂x esel gradiente espacial de la velocidad; Lvτ es la derivada de Lie de la tension de Kirchhoff,simetrica y definida como:

Lντ = F SF T = τ −Lτ − τLT = Cτ : D o Lντij = CτijklDkl (3.5)


Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...3.1. No linealidad geometrica

siendo Cτ el tensor constitutivo asociado a Lvτ ; D la parte simetrica de L conocidacomo velocidad de deformacion; S el segundo tensor de Piola-Kirchhoff; y F = ∂x/∂X elgradiente de deformacion, cuyo determinante es el Jacobiano de la deformacion, definidoen el Capıtulo 2. Con lo cual,

∫ϕ(B)

δL : [Cτ : D + Lτ ]dϕ (B)

J=

∫ϕ(B)

δvgρ dϕ (B) +

∫∂ϕ(B)

δv ˙t d∂ϕ (B) (3.6)

Esta es la forma debil de la ecuacion de equilibrio expresada en tasas, que permitecalcular, en un cierto tiempo t, la velocidad espacial actual v, para una cierta carga, dadapor el miembro derecho de (3.6), sobre una cierta configuracion ϕ en la que se halla enequilibrio un cierto campo de tensiones τ .

3.1.3 Relacion constitutiva objetivas

En las soluciones incrementales las ecuaciones constitutivas relacionan tasas de ten-siones con tasas de deformaciones especıficas:

σ = C : D (3.7)

Pero la anterior no es una ecuacion valida cuando se producen rotaciones de cuerporıgido, como se muestra en el capıtulo 3 de Belytschko et. al. [6]. Las rotaciones comocuerpo rıgido son tenidas en cuenta por las tasas objetivas de los tensores de tensiones.Uno de estos tensores objetivos es la tasa de Jaumann de la tension de Cauchy:

σ∇J = CσJ : D (3.8)

donde σ∇J es el tensor constitutivo de cuarto orden, que contiene las caracterısticas delmaterial, correspondiente a esta medida de tensiones. Por lo tanto, la forma correcta dela ecuacion (3.7), para el calculo de la tasa del tensor de Cauchy, es:

σ = σ∇J + Wσ + σW T = CσJ : D + Wσ︸︷︷︸material

+ σW T︸︷︷︸rotacion

(3.9)

Se aprecia que el calculo de la tasa del tensor de Cauchy esta compuesto de dos partes:la respuesta objetiva del material, debido a deformaciones especıficas, y el cambio de lastensiones debido a las rotaciones de cuerpo rıgido.

Por ultimo, tambien se pueden definir la ecuacion constitutiva en terminos de magnitudcorrotada, (indicadas con la barra superior •)[49], especialmente usada en esta tesis:

˙τ = Cτ

: D (3.10)



Una ecuacion como la (3.10), es insensible a cualquier movimiento espacial superpuestode cuerpo rıgido. En [15] se demostro que los tensores materiales, al igual que un escalar, ylos tensores espaciales definidos en configuracion corrotada se mantienen inalterados antemovimientos espaciales superpuestos de cuerpo rıgido (indicadas con •+), por lo tanto,

D+

=(R+

)TD+R+ = RT QT QDQT QR ≡ D (3.11)

y

τ+ =(R+

)Tτ+R+ = RT QT QτQT QR ≡ τ (3.12)

De esta manera la tasa de la tension corrotada de Kirchhoff resulta:

˙τ = RT (τ −Ωτ + τΩ) R (3.13)

Con lo cual ademas de D+

= D se tiene que τ+ = τ tambien es insensible a rotacionesde cuerpo rıgido.

3.1.4 Relacion constitutiva hipoelastica

Las descripciones hipoelasticas de la respuesta del material son muy comodas cuandose desea modelar en conjunto plasticidad y no linealidad geometrica. Sin embargo, laenergıa no es conservada en un ciclo cerrado de deformacion elastica para materialeshipoelasticos [6], pero si las deformaciones elasticas son pequenas el error en la energıaes muy pequeno, es decir, el trabajo remanente de un ciclo cerrado de deformacion no essignificativo [12].

Las ecuaciones constitutivas en tasas de la forma (3.5) que no derivan de un fun-cional de energıa almacenada se denominan relaciones hipoelasticas. En forma generica,las relaciones hipoelasticas, se expresan como:

σ∇ = Cσ∇ : D o τ∇ = Cτ∇ : D (3.14)

donde σ∇ y τ∇ son cualquiera de las tasas objetivas de la tension de Cauchy y Kirch-hoff, respectivamente, y, Cσ∇ y Cτ∇ son sus correspondientes tensores constitutivos. Enhipoelasticidad es comun considerar que alguno de estos C es igual al tensor constitu-tivo constante obtenido de la teorıa de elasticidad infinitesimal, en consecuencia, ese Cposeera simetrıa mayor y como la tasa de deformacion D y las tasas objetivas de tensionesson simetricas, C tambien posee simetrıa menor [49].

En la eleccion de la ecuacion constitutiva hipoelastica, que gobernara la respuesta delmaterial, se tienen en cuenta distintos requerimientos. Uno de estos requerimientos es laindependencia de las constantes del material respecto del sistema coordenado cartesiano



adoptado como referencia. Considerando una relacion como la (3.14), τ∇ = Cτ∇ : D, laindiferencia referencial del material requiere que:

τ∇+ = Cτ∇+ : D+ (3.15)

Recordando la transformacion objetiva de los tensores de segundo orden [49],

(•)+ = Q (t) (•) Q (t)T (3.16)

la ecuacion (3.15) se puede escribir como,

Qτ∇QT = Cτ∇ : QDQT o QimQjnτ∇mn = Cτ∇

ijklQkpQlqDpq (3.17)

y reordenando se tiene

τ∇mn =(QimQjnQkpQlqDpqC

τ∇ijkl

)Dpq (3.18)

Pero la relacion constitutiva es τ∇ = Cτ∇ : D, por lo tanto debe cumplirse:

Cτ∇mnpq = QimQjnQkpQlqC

τ∇ijkl , ∀Qij (3.19)

condicion que se satisface solo para un material isotropico. Para eliminar esta restriccion,se elige la relacion constitutiva (3.10) en terminos de los tensores tasa de la tensioncorrotada de Kirchhoff y tasa de deformacion corrotada, insensibles a rotaciones de cuerporıgido, es decir, τ+ ≡ τ y D

+ ≡ D. En consecuencia:

˙τ+

= Cτ

: D+ ≡ ˙τ = C

τ: D (3.20)

cumpliendose la condicion (3.15) para toda rotacion rıgida, no imponiendo restriccionesa este tensor constitutivo, pudiendo ser C

τno isotropico. Sin embargo, el material fuera

isotropico, resulta:

Cτijkl = λδijδkl + µ (δikδjl + δilδjk) (3.21)

siendo δij el delta de Kronecker, y:

λ =ν E

(1 + ν) (1− 2ν)o µ =

E

2 (1 + ν)(3.22)

las constantes de Lame en funcion del modulo Young E y del coeficiente de Poisson ν.

Otro de los requerimientos a tener en cuenta en la eleccion de la ecuacion constitutivahipoelastica es la simetrıa de la matriz de rigidez tangente de los elementos finitos, nece-saria para acelerar la solucion del sistema de ecuaciones que resulte de aplicar elementos



finitos y reducir la demanda de almacenamiento en memoria en el calculo computacional[4]. La matriz σ es simetrica por ser simetrico el tensor de Cauchy y el tensor constitutivoCτ

ijkl posee simetrıa mayor [15].

Recurriendo al algebra matricial y a las relaciones constitutivas entre tensores detensiones y de deformaciones [6, 49], es posible despejar la matriz Cτ

Cτ = RRCτRT RT−Csim−Casim o Cτ

ijkl = RimRjnRkpRlqCτmnpq−Csim

ijkl−Casimijkl (3.23)

con

Csimijkl =

1

2(δikτjl + δilτjk + δjkτil + δjlτik) (3.24)

Casimijkl =

1

2(δikτjl − δilτjk + δjkτil − δjlτik) (3.25)

donde los tensores Cτ

y Csim poseen simetrıa menor y mayor (Csimijkl = Csim

jikl = Csimijlk =

Csimklij ), mientras que el tensor Casim no posee simetrıa mayor (Casim

ijkl = Casimjikl = −Casim

ijlk 6=Casim

klij ) 1 , tornando no simetrico al tensor Cτ , y en consecuencia a la matriz de rigidezmaterial del sistema. Por lo tanto, para conservar la simetrıa de la matriz de rigideztangente deberıa buscarse la manera de eliminar el tensor Casim.

Como se desprende de (3.25) la matriz Casim depende de las tensiones tangencialesinternas del cuerpo, τij, las cuales son de un orden de magnitud menor respecto a lasconstantes del material y respecto a las tensiones normales, τii. Por ello se cumple en lageneralidad de los casos que Casim <<< Cτ y es posible despreciar la matriz Casim singenerar errores significativos [20].

3.1.5 No linealidad geometrica en suelos no saturados

En este punto se volcara el modelo desarrollado anteriormente para cuerpos solidos a lateorıa desarrollada en el capıtulo 2 para lograr un modelo matematico no lineal geometricoque resuelva el problema de consolidacion de un suelo parcialmente saturado.

Tensor de tensiones en el suelo

El estudio de tensiones en suelos totalmente o parcialmente saturado, como se viera enel capıtulo 2, se realiza mediante una descomposicion del tensor de tensiones en diferentespartes, la correspondiente a tensiones efectivas y la correspondiente a los poros. Estaultima se descompone a su vez en la correspondiente a tensiones de la masa de agua, lascorrespondientes a la parte gaseosa y a las tensiones debidas a la presencia de poluentesinmiscibles, esto ultimo cuando se trate de un medio multifasico.

1para mayores detalles ver Capıtulo 7 de [63]



Si se pretende formular el problema de no linealidad para el caso de suelos no saturados,una manera que se adapta con comodidad al problema hipoelastico [15] se basa en planteartodo el sistema de tensiones en derivada de Lie (3.5),

Lντ = Cτ : D = τ −Lτ − τLT (3.26)

siendo que para suelos no saturados

τ = τ ′ − JαSwIpw − JαSgIpg (3.27)

por lo tanto la ecuacion (3.26) resulta:

Lντ = CτD−JαSwm(mT D

)pw−JαSwmpw−JαSgm

(mT D

)pg−JαSgmpg (3.28)

con la ecuacion constitutiva planteada en la seccion 3.1.4 en termino de tensiones efectivas.La constante de Biot, α, debera ser calculada segun [15]:

α = 1− mT Cτm

9Ks

(3.29)

Forma debil de la ecuacion de equilibrio en la masa de suelo no saturado

Recordando la (3.4) es posible obtener la forma debil de la ecuacion de equilibrioexpresada en tasas, pero aplicable a medios porosos no saturados. Se debe tener en cuentaque la ecuacion citada se plantea para tensiones totales. Sin embargo, en el caso de suelosno saturados, la tension se descompone en efectiva y de poros. En concreto, se debeplantear la ecuacion mecanica en termino de tensiones efectivas pero sustituirlo en unaecuacion que considera la tension total, en este caso la (3.28)

∫ϕ(B)

δL :[CτD − JαSwm

(mT D

)pw − JαSwmpw − JαSgm

(mT D

)pg−

JαSgmpg + Lτ ]dϕ (B)

J=

∫ϕ(B)

δvgρ dϕ (B) +

∫∂ϕ(B)

δv ˙t d∂ϕ (B) (3.30)

Como se puede apreciar, se han generado nuevas integrales que deberan resolverse enforma simultanea por medio de elementos finitos.



3.2 No linealidad fısica. Elasto-plasticidad.

3.2.1 Teorıa clasica de la plasticidad

La principal caracterıstica del comportamiento plastico de los solidos es que la relacionentre las tensiones y las deformaciones no es unica como lo es en el caso de la elasticidadlineal y no lineal. Como consecuencia del pasaje de un estado elastico a uno plastico seobservan deformaciones remanentes en el material una vez retiradas las cargas o disipadaslas tensiones.

Para diferenciar el comportamiento entre dos materiales, uno con caracterısticas elasti-cas no lineal y el otro elastoplastico, debe estudiarse el proceso de descarga ya que elmaterial elastico no lineal seguira la misma curva de carga mientras que si el material seencuentra en el campo plastico seguira una curva diferente que depende de la historia [68](ver figura 3.1).

Car

ga

Des

carg

a

PlásticoElástico No

Lineal

Descarga

a) Comportamiento elástico no lineal y plástico b) Plasticidad ideal

Des

carg

a

Carg

a

Carg

a

Des

carg

a

c) Plasticidad con endurecimiento por

deformación

εp

σp = σ(εp)

ε

σσ

ε

σ

ε

Figura 3.1: Plasticidad uniaxial

Para un estado uniaxial de tensiones basta con definir la tension lımite o de fluencia,σfl, para delimitar el comportamiento plastico del elastico. Sin embargo, en problemasmas generales no puede hacerse la simplificacion uniaxial y aquı surge el concepto desuperficie de fluencia.

Superficie de fluencia

Experimentalmente se demostro que, en el caso general, las deformaciones plasticas delos materiales ocurren cuando las tensiones σ satisfacen, o alcanzan, un criterio generalde fluencia, conocido tambien como superficie de fluencia:

F (σ, κ) = 0 (3.31)

siendo κ un parametro de endurecimiento que modifica la forma y la posicion de la su-perficie.

Queda claro que fısicamente ningun criterio de fluencia puede depender de la ori-entacion del sistema de coordenadas, por lo tanto, podrıa ser funcion unicamente de los


Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...3.2. No linealidad fısica. Elasto-plasticidad.

invariantes de tensiones (I1, I2 y I3) o bien de los invariantes del tensor de tensionesdesviadoras:

J1 = I1 = Tr (σ) ; J2 =1

2(σ : σ) ; J3 =

1

3Tr (σ · σ · σ) (3.32)

donde Tr significa traza de un tensor, : es el producto interno entre tensores y · es elproducto vectorial.

Regla de flujo

Fue propuesto por Von Mises [65] y define como los incrementos de deformacion plasti-cos se relacionan con la superficie de fluencia, entonces:

dεp = dλ∂F

∂σ(3.33)

En esta expresion dλ es una constante de proporcionalidad todavıa indeterminada. Larelacion (3.33) puede ser interpretada como una condicion de que el vector incremento dedeformacion plastica sea normal a la superficie de fluencia, en el espacio n-dimensional detensiones. De aquı que a este criterio se lo conozca tambien como principio de ortogonal-idad.

De existir el caso en el cual sea imposible cumplir con la restriccion impuesta por laregla de flujo descripta anteriormente, es factible definir un potencial plastico, Q, .

Q = Q (σ,κ) (3.34)

que define el incremento de deformacion plastica de forma analoga que la relacion (3.33),es decir,

dεp = dλ∂Q

∂σ(3.35)

El caso particular de F = Q se conoce como plasticidad asociada, en caso contrario(F 6= Q) sera plasticidad no asociada.

Relacion tension-deformacion

Durante un incremento infinitesimal de tension, es posible separar la variacion de ladeformacion en dos partes, una elastica y otra plastica, es decir, la descomposicion aditivadel tensor de deformaciones es posible.

dε = dεe + dεp (3.36)



Esta claro que los incrementos de deformacion elasticos deben estar relacionados conlos incrementos de tension por medio de la matriz constitutiva simetrica, D, correspon-diente al comportamiento lineal del material. Sabiendo que:

dσ = Ddεe ⇒ dεe = D−1dσ (3.37)

y reemplazando en (3.36), teniendo en cuenta (3.35),

dε = D−1dσ + dλ∂Q

∂σ(3.38)

Analogamente a lo que ocurre en el caso uniaxial, el incremento plastico de deforma-cion, dεp, ocurrira cuando el incremento elastico de tension,

dσe ≡ Ddε (3.39)

tienda a colocar la tension fuera de la superficie de fluencia, esto ocurrira cuando este endireccion de carga plastica. Si, por lo contrario, este cambio de tension produce descarga,naturalmente no aparecera deformacion plastica.

Cuando se produce carga plastica las tensiones se ubicaran sobre la superficie defluencia, dada por la ecuacion (3.31). Diferenciando esta ultima se tiene.

dF =∂F

∂σ1

dσ1 +∂F

∂σ2

dσ2 + . . .∂F

∂κdκ = 0 (3.40)

o bien en forma matricial,

∂F

∂σ

T

dσ − A dλ = 0 (3.41)

donde,

A = −∂F∂κ

dκ

dλ(3.42)

Este valor es conocido como modulo de endurecimiento[54]. La constante de propor-cionalidad, dλ, que hasta el momento es indeterminada, puede eliminarse primero pre mul-tiplicando ambos terminos de la ecuacion (3.38) por (∂F/∂σ)T D y luego reemplazandoloen (3.41), con lo cual,

dλ =∂F/∂σT D[

∂F/∂σT D ∂Q/∂σ+ A] dε (3.43)



reemplazando esta expresion en (3.38) y pre multiplicando ambos miembros por D, setiene:

dσ =

D −D∂Q/∂σ ∂F/∂σT D[

∂F/∂σT D ∂Q/∂σ+ A] dε (3.44)

ordenando terminos,

dσ = Dep dε (3.45)

Dep = D −D∂Q/∂σ ∂F/∂σT D[

∂F/∂σT D ∂Q/∂σ+ A] (3.46)

Esta ultima relacion, Dep, es conocida como matriz elastoplastica y tiene un significadosimilar a la matriz de rigidez elastica, DT , empleada en el analisis incremental [68].

Haciendo un analisis mas profundo puede verse que solo en el caso de plasticidadasociada, donde Q = F , la matriz Dep sera simetrica. Por otro lado, cuando se trata deplasticidad perfecta (ver figura 3.1) la relacion tension-deformacion elastoplastica tiendea cero y esto ocurrira cuando el parametro A sea nulo.

Considerando el caso de plasticidad asociada, el modulo elastoplastico (3.46) se trans-forma en

Dep = D −D∂F/∂σ ∂F/∂σT D[

∂F/∂σT D ∂F/∂σ+ A] (3.47)

cuya forma matricial es:

Dep = D − D aaT D

aDa + A(3.48)

donde a es el vector de flujo plastico:

aT =∂F

∂σ=

∂F

∂σ1

,∂F

∂σ2

. . .∂F

∂σn

(3.49)



3.2.2 El modelo de estado crıtico aplicado a suelos

El criterio de fluencia de estados crıticos para suelos saturados [2] establece una su-perficie de fluencia, F

(p

′, q, θ

)= 0, expresada en termino de los invariantes, p

′, q, θ, del

tensor de tensiones efectivas de Cauchy, σ′, siendo este:

σ′= σ − I pw (3.50)

donde I es la matriz unidad y pw es la presion de poro de agua.

p′= −J1

3(3.51)

q =√

3 J′2 (3.52)

sen (3θ) = −3√

3

2

J′3

J′3/22

(3.53)

donde J1 es el primer invariante de (3.50) y J′2 y J

′3 son, respectivamente, el segundo y

tercer invariante del tensor desviador de (3.50).

Puede verse de la expresion (3.53) que θ puede variar entre dos extremos: −30 ≤ θ ≤+30.

Uno de los criterios de fluencia basados en estados crıticos es el propuesto porZienkiewicz et. al. (1975) [66], el cual fue modificado por Di Rado y Awruch (1997) [16]incorporando la cohesion y la friccion como parametros del problema. Como resultado deesta ultima modificacion se obtiene la siguiente superficie de fluencia, (3.54), cuya princi-pal caracterıstica es la de poseer una mejor adaptacion a suelos de baja preconsolidacion[17].

F(p

′, q, θ

)=p

′+ a

2

[(q

p′ + a

)21

tg2 φ+ 1

]− pco = 0 (3.54)

donde: pco es la mitad de la presion inicial de preconsolidacion y

a =C

tgφ, tgφ =

3senφ√3 cosθ − senφsenθ

, C =3ccosφ√

3 cosθ − senφsenθ(3.55)

Los coeficientes c y φ se refieren a la cohesion y la friccion interna del suelo respecti-vamente.



Por otro lado los cambios subsecuentes de la superficie de fluencia estan relacionadosa la variacion de tensiones volumetricas con la siguiente expresion:

pco = p0coe

χεpv (3.56)

donde εpv es la deformacion plastica volumetrica y χ es un coeficiente dado por:

χ = −β 1 + e0λ− k

(3.57)

En la expresion (3.57) e0 es la relacion de vacios inicial, λ y k son los ındices de com-posicion y expansion respectivamente[2] , determinados a traves de ensayos odometricos,y β es un parametro que debe ser ajustado y que es del orden de p0

co [17].

3.2.3 Relacion constitutiva para suelos saturados

La relacion constitutiva elastoplastica para suelos saturados quedara definida una vezque sea determinado el vector de flujo plastico (3.49) y el modulo de endurecimiento(3.42).

Para determinar el vector de flujo plastico se emplea la regla de la cadena [54] de lasiguiente manera:

aT =∂F

∂σ=∂F

∂J1

∂J1

∂σ′ +∂F

∂J′1/22

∂J′1/22

∂σ′ +∂F

∂θ

∂θ

∂σ′ = C1a1 + C2a2 + C3a3 (3.58)

donde:

aT1 =

∂J1

∂σ′ , aT2 =

∂J′1/22

∂σ′ , aT3 =

∂θ

∂σ′ (3.59)

C1 =∂F

∂J1

=1

6

[q

(p′ + a) tgφ

]2

− 1

(3.60)

C2 =∂F

∂J′1/22

=1√3

p

(p′ + a) tgφ

[3

tgφ+ tg 3θ

√3senθ + cosθsenφ

senφ

](3.61)

C3 =∂F

∂θ=

1

2cos 3θ

q

(p′ + a) tgφ J′2

[√3senθ + cosθsenφ

senφ

](3.62)

La relacion entre las tensiones principales y los invariantes vienen dadas por [54] :

σ

′1

σ′2

σ′3

=2√3J1/2

sen

(θ + 2π

3

)senθ

sen(θ + 4π

3

) +

J1

3

111

(3.63)



La principal ventaja de expresar la superficie de fluencia en funcion de los invariantes,p

′, q y θ, es que posibilita obtener cualquier criterio de fluencia a traves de la relacion

(3.63), y permite tambien programar cualquier criterio de fluencia y la regla de flujoplastico necesitando apenas de la especificacion de las constantes de (3.58), C1, C2 y C3,para ser incluidas en cada caso particular.

Por otro lado, para determinar el parametro de endurecimiento, se emplea direc-tamente la ecuacion (3.42) teniendo en cuenta que para este criterio de plastificaciondκ = dεpv (strain hardening).

De (3.55) puede obtenerse:

lnpco

p0co

= χεpv (3.64)

Diferenciando esta ultima expresion se obtiene la siguiente relacion entre la variacionde la presion pco y εpv.

dpco

p0co

= χdεpv (3.65)

Luego, aplicando (3.42) se tiene:

A =pco

2β

1 + e0λ− k

[1−

(q

(p′ + a) tgφ

)2]

(3.66)

3.2.4 Adaptacion del modelo a suelos no saturados

En el punto anterior se ha desarrollado el modelo matematico del comportamientoelastoplastico de suelos saturados propuestos primero por Zienkiewicz et. al. (1975) [66]y modificado luego por Di Rado y Awruch (1997)[16] . Diferentes autores [8, 11, 41, 44]que han estudiado el problema trifasico de los suelos parcialmente saturados coinciden enconsiderar a la succion como una variable determinante en el problema.

La propuesta del presente trabajo se centra en la modificacion del modelo anterior conel fin de adaptarlo a suelos parcialmente saturados incorporando dicha influencia de lasuccion como una variable mas del problema [50].

Ahora bien, la inclusion de la succion puede ser tratada de dos maneras diferentes:

1. Como una variable mas en la funcion de tensiones, que pasarıa a ser funcion detensiones y de la succion.

2. Como un parametro de endurecimiento mas.



Pero en cualquiera de los casos se enfrenta un problema inmediato: La teorıa de estadoscrıticos establece que sobre la Lınea de Estados Crıticos (L.E.C.), no debe haber incre-mento de la deformacion volumetrica plastica[2, 14]. Esto equivale a decir que la succionpodra intervenir en el proceso pero sin provocar, sobre la mencionada lınea, deformacionesplasticas. Para cumplir con esto, tendremos ahora dos salidas:

a Hacemos uso de la opcion (1) anterior y utilizamos como potencial plastico otra funcionque no dependa de la succion. El problema es que la plasticidad no asociada llevaa formulaciones no simetricas por la perdida de simetrıa de la matriz elastoplastica[38].

b Hacemos uso de la opcion (2) anterior y asumimos independencia del multiplicadorplastico con relacion al parametro de endurecimiento succion.

Es claro que esta ultima instancia puede ser considerada en algun aspecto contradic-toria como se vera a continuacion, pero no es un error mayor que el que introduce laplasticidad no asociada al no cumplir con el principio de maxima disipacion plastica [63].Ademas, la modificacion respeta las bases de la teorıa de estados crıticos y responde alos experimentos en los que se indica que la succion debe ser incluida en la funcion detensiones.

Para ello se adopta la alternativa (2) con la opcion b considerando dos formas deexpansion diferentes y simultaneas de la superficie de fluencia que estan relacionadas conla variacion de la succion (∆pc) con respecto a un valor inicial.

Expansion cinematica

La expansion cinematica de la superficie se consigue modificando el coeficiente a de(3.54) de modo que dependa del incremento actual de la succion. Para conseguir el primerproposito se introduce un nuevo coeficiente k que actua como coeficiente de ajuste, siendoel nuevo valor de a :

a =c

tgφ+ ∆pc k (3.67)

Con lo cual se produce un desplazamiento hacia la izquierda de la superficie de fluenciay de la lınea de estados crıticos a media que aumenta la succion (ver figura 3.2).

Puede verse en dicha figura que a medida que la succion disminuye la superficie defluencia tiende a la correspondiente a suelos saturados lo cual posee un significado fısicocorrecto ademas de ser coherente con lo propuesto por Xikui Li et.al (1999) [44]. Sinembargo resultados experimentales [22] demuestran que el incremento de la succion debecorresponderse con un incremento en la superficie de fluencia, restando validez a estaexpansion cinematica propuesta.



-150 -100 -50 0 50 100 150 200 2500

50

100

150

200

250

Superficies de Fluencia

L.E.C. s = 0 kpa s = 150 kpa s = 300 kpa

q

p'

Figura 3.2: Expansion cinematica

Expansion isotropica

Para mejorar la coherencia del presente modelo con los resultados experimentalesobservados se ha propuesto modificar el termino pco de (3.54) en funcion de la succion,con lo cual se vera modificado el modulo de endurecimiento, A, en (3.66).

Para cumplir con este requerimiento se ha adoptado el siguiente termino de expansion

pco =(p0

co +Hw

)e(χ εp

v) (3.68)

donde Hw, en su forma mas simple, posee una variacion lineal con la succion, pudiendoadoptar otro tipo de variacion [1] dependiendo de las caracterısticas regionales del suelo[23].

Hw = m ·∆pc (3.69)

Ahora bien, para determinar el nuevo modulo de endurecimiento se procede en formaanaloga a la usada en la deduccion (3.66) pero considerando dos parametros de endurec-imientos, κ1 = εpv y κ2 = pc:

A = − ∂F

∂κ1

dκ1

dλ− ∂F

∂κ2

dκ2

dλ(3.70)

Pero segun lo asumido anteriormente,

dκ2

dλ=dpc

dλ= 0 (3.71)

Con lo cual el nuevo modulo de endurecimiento sera:

A =pco +Hw

2β

1 + e0λ− k

[1−

(q

(p′ + a) tgφ

)2]

(3.72)



De esta manera no habra expansion volumetrica ni endurecimiento cuanto se toca laL.E.C. al permanecer el mismo multiplicador plastico en (3.72).

-150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300 3500

50

100

150

200

250

300

350

Superficies de Fluencia

L.E.C. s = 0 kpa s = 150 kpa s = 300 kpa

q

p'

Figura 3.3: Expansion isotropica

Figura 3.4: Superficie de fluencia

En la figura 3.3 puede verse como se expande la superficie de fluencia con el incremen-to en la succion, considerando las modificaciones impuestas por (3.67), (3.68) y (3.72).Mientras que una representacion grafica tridimensional del modelo completo puede verseen la figura 3.4.


CAPITULO 4

Aplicacion del Metodo de los Elementos Finitos

En este capıtulo se plantea la solucion de las ecuaciones diferenciales de gobiernodeducidas en el capıtulo 2 aplicando sucesivamente el Metodo de Residuos Ponderados[54, 67] y Galerkin [26] a las ecuaciones de conservacion correspondientes a la fase solida(2.61), lıquida (2.77) y gaseosa (2.87), y en el caso de existir poluentes en el medio porosose tendra para poluentes inmiscibles (2.98), poluentes miscibles en agua (2.113) y parapoluentes miscibles en aire (2.117), con el fin de arribar a los sistemas de ecuacionesalgebraicas para resolver el fenomeno de transporte de poluentes inmiscibles y miscibles,considerando elasticidad lineal y pequenas deformaciones.

4.1 Problemas de valores de contorno

Un problema de valor de contorno puede ser representado de la siguiente manera:

A (u) = C (u) + p = 0 en Ω (4.1)

con

B (u) = M (u) + q = 0 en Γ (4.2)

siendo C y M operadores diferenciales apropiados y p y q funciones conocidas indepen-dientes del campo de variables u que son la solucion exacta del problema de valores decontorno.

Dada la siguiente ecuacion integral

∫Ω

vT A (u) dΩ +

∫Γ

vT B (u) dΓ = 0 (4.3)

la cual se satisface para un conjunto de variables arbitrarias v y v. Esto es equivalente asatisfacer las ecuaciones diferenciales (4.1) y las condiciones de contorno (4.2). De hecho,

56

Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...4.1. Problemas de valores de contorno

si (4.1) y (4.2) son satisfechas implica que se cumple (4.3) para todos los puntos dentrodel dominio Ω y sobre el contorno Γ.

En el parrafo anterior se asumio que la integral (4.3) puede ser evaluada, lo cual dealguna manera introduce una restriccion en la clase de las funciones v y v. En particular,estas funciones tienen que ser capaces de soportar que cualquier termino dentro de laintegral adopte valores infinitos. En la literatura especializada [67] puede verse con mayordetalle estas restricciones y cuando deja de ser valida la expresion (4.3).

Solamente en los problemas muy simples, o con contornos cuidadosamente acotados,la ecuacion (4.3) puede resolverse en forma exacta. Es aquı donde surge la necesidad deemplear un metodo de resolucion aproximado. Existen muchos metodos aproximados pararesolver sistemas de ecuaciones diferenciales, entre ellos tal vez el mas empleado sea elMetodo de los Elementos Finitos (MEF). En este trabajo se adopta el MEF sin entraren profundidad en los fundamentos del metodo, que ya fueron estudiados por diversosautores [3, 4, 67].

En el MEF la solucion u se aproxima mediante funciones de forma conocidas N i,

u ≈ u =∑

N iai = Na (4.4)

donde ai son parametros desconocidos que pueden ser relacionados con las incognitas enpuntos discretos del dominio (nodos).

Las funciones de interpolacion elegidas deben cumplir con una serie de requisitosnumericos que verifiquen la continuidad entre elementos y puedan reproducir cualquierestado de deformacion en el dominio, para mayor profundidad puede verse [67].

Reemplazando la aproximacion u en (4.1) y (4.2), al no ser esta una solucion exactase produce un error, o residuo R,

R = RΩ + RΓ = A (u) + B (u) (4.5)

por lo tanto el metodo de resolucion numerica debe minimizar este error en todo el dominioΩ y en el contorno Γ. Con lo cual se tiene,

∫Ω

wT A (u) dΩ +

∫Γ

wT B (u) dΓ = 0 (4.6)

donde, por lo general, las funciones de peso w y w son elegidas en forma independiente.Si la ecuacion (4.6) se cumple para un gran numero de funciones de peso arbitrarias, lasolucion aproximada tiende a la solucion exacta, bajo la condicion asumida en (4.4). Esteproceso es conocido tambien como Metodo de Residuos Ponderados.

La ecuacion (4.6) es una aproximacion de la expresion (4.3) cuya solucion concluye enun sistema simultaneo de ecuaciones algebraicas de la siguiente forma, siendo las incognitaslos coeficientes ai,

Ka = f (4.7)



donde la matriz K presenta en la mayorıa de los casos estudiados en esta tesis carac-terısticas simetricas.

4.2 Condiciones iniciales y de borde

Para acotar el problema en estudio y evitar singularidades en la matriz de rigidez esnecesario definir el estado inicial de las variables primarias y las condiciones contorno delas ecuaciones de gobierno.

Las condiciones iniciales especifican el estado inicial de las incognitas, es decir, parael tiempo t = 0. Segun el problema considerado las variables a tener en cuenta sonel desplazamiento de la fase solida, u, presion de la fase liquida, pw, presion de la fasegaseosa, pg, presion de la fase de poluente inmiscible, pπ, concentracion de poluente solubleen agua, cπw, y concentracion de poluente soluble en la fase gaseosa, cπg .

Es ası, que las condiones iniciales son [7, 42],

u = u0

pw = pw0

pg = pg0 en Ω y Γ

pπ = pπ0

cπw = cπw0

cπg = cπg0

(4.8)

donde el subındice 0 esta referido al tiempo t = 0, Ω es el dominio del problema encuestion, y Γ es el contorno considerado.

Las condiciones de borde prescriben el valor de la incognita en determinados sectoresdel dominio, denominado contorno o borde. Dichas condiciones pueden ser impuestastanto en el contorno Γπ de la variable π, como en el contorno Γq

π del flujo de la variableπ, siendo el contorno completo Γ = Γπ ∪ Γq

π. Ası, para las variables adoptadas se tiene,

u = u en Γu

pw = pw en Γw

pg = pg en Γg

pπ = pπ en Γπ

cπw = cπw en Γcw

cπg = cπg en Γcg

(4.9)

donde el sımbolo ˆ hace referencia a valores conocidos de la incognita en cuestion.

En cuanto a las condiciones de contorno de flujo se tienen las siguientes expresiones[7, 42, 58, 59].


Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...4.2. Condiciones iniciales y de borde

Para las tensiones

ITnσ = t en Γq

u (4.10)

donde σ es el tensor de tensiones totales, t es un vector de cargas de borde y In es untensor relacionado con el vector normal unitario n = nx, ny, nzT por

In =

nx 0 00 ny 00 0 nz

ny nx 00 nz ny

nz 0 nx

(4.11)

Para la fase liquida

ρw kkrw

µw(−∇pw + ρwg)T · n = qw en Γq

w (4.12)

Para la fase gaseosa

ρg kkrg

µg(−∇pg + ρgg)T · n = qg en Γq

g (4.13)

Para la fase de poluentes inmiscibles

ρπ kkrπ

µπ(−∇pπ + ρπg)T · n = qπ en Γq

π (4.14)

Para poluentes solubles en agua

(cπwvws −Dπ

wgrad cπw) · n− qπw

ρw= 0 en Γq

cw(4.15)

Para poluentes solubles en aire

(cπgv

gs −Dπg grad cπg

)· n− qπg

ρg= 0 en Γq

cg(4.16)



4.3 Forma discreta del comportamiento de las fases

4.3.1 Fase solida

Para describir el comportamiento de la fase solida de un medio poroso se empleala ecuacion de balance de momento lineal (2.61) asumiendo que no existe variacion detemperatura (proceso isotermico) y despreciando las fuerzas de inercia,

LT σ + ρg = 0 (4.17)

donde ρ, L y σ fueron definidos en (2.62), (2.63) y (2.64) respectivamente.

Dado que la tension total, σ, puede expresarse en funcion de la tension efectiva, σ′′,y de la presion en las diferentes fases, pw, pg y pπ, la ecuacion (4.17) se transforma en,

σ′′ = σ − αmT (Swpw + Sgp

g + Sπpπ) (4.18)

LT[σ′′ + αmT (Swp

w + Sgpg + Sπp

π)]+ ρg = 0 (4.19)

El operador diferencial (2.63) tambien puede ser empleado para obtener la variaciontotal del tensor de deformacion infinitesimal, ε, en funcion del desplazamiento, u,

dε = LTdu (4.20)

Por otro lado, puede probarse inmediatamente [48],

div vs = mT ∂ε

∂t= mT L

∂u

∂t(4.21)

La implementacion del MEF consiste, en primer lugar, en aplicar la condicion (4.6) ala ecuacion de balance de cantidad de movimiento, (4.17), y a las condiciones iniciales yde contorno de la fase solida, (4.8), (4.9) y (4.10). Haciendo,

A (u) = LT σ + ρg = 0

B (u) = ITnσ − t = 0

(4.22)

se tiene,

∫Ω

wT(LT σ + ρg

)dΩ +

∫Γ

wT(IT

nσ − t)dΓ = 0 (4.23)

∫Ω

wT LT σdΩ +

∫Ω

wTρgdΩ +

∫Γ

wT(IT

nσ − t)dΓ = 0 (4.24)


Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...4.3. Forma discreta del comportamiento de las fases

Cumpiendo las condiciones de contorno, las funciones de peso deben verificar la si-guiente condicion1:

w = 0 en Γu

w = −w en Γqu

(4.25)

Aplicando el teorema de Green,

∫Ω

φ∂Ψ

∂xdΩ = −

∫Ω

∂φ

∂xΨdΩ +

∫Γ

φΨnxdΓ (4.26)

a la primer integral de (4.24), se obtiene:

−∫

Ω

(Lw)T σdΩ +

∫Γ

wT ITnσdΓ +

∫Ω

wTρgdΩ +

∫Γ

wT(IT

nσ − t)dΓ = 0 (4.27)

pero debido a la condicion (4.25) esta ultima ecuacion se reduce a

∫Ω

(Lw)T σdΩ =

∫Ω

wTρgdΩ +

∫Γq

u

wT t dΓqu (4.28)

Como se indico en (4.4) los desplazamientos de todo el dominio, u, y las presiones deporo de las diferentes fases (w, g y π), pueden ser expresados en termino de sus valoresen puntos discretos, u, pw, pg y pπ, mediante funciones de forma (o interpolacion), Nu yN p, de la siguiente manera

u = Nuu

pw = N ppw

pg = N ppg

pπ = N ppπ

(4.29)

Este procedimiento, que es uno de los fundamentos del MEF [3], implica la divisiondel dominio en subdominios denominados elementos compuestos por nodos donde seranevaluadas las incognitas, en este caso u.

Reemplazando ahora la aproximacion (4.29) en (4.28) y teniendo en cuenta que por laaplicacion del Metodo de Galerkin [26] la funcion de peso w es sustituıda por la funcionde forma Nu, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones.

∫Ω

(LNu)T σdΩ =

∫Ω

NTuρgdΩ +

∫Γq

u

NTu t dΓq

u (4.30)

1Para mayores detalles ver O.C. Zienkiewicz and R.L. Taylor. The finite element method. Vol. I(1989)[67]



teniendo en cuenta la definicion de tension efectiva, (4.18), y la densidad en un mediomultifasico, (2.62),

∫Ω

(LNu)T (

σ′′ + αmT (Swpw + Sgp

g + Sπpπ)

)dΩ =∫

Ω

NTu ((1− n) ρs + nSwρ

w + nSgρg + nSπρ

π) gdΩ +

∫Γq

u

NTu t dΓq

u

(4.31)

ordenando terminos se tiene,

∫Ω

BT σ′′dΩ + Cswpw + Csgp

g + Csπpπ = fu (4.32)

con

B = LNu

Csw =

∫Ω

BT mTαSwN p dΩ

Csg =

∫Ω

BT mTαSgN p dΩ

Csπ =

∫Ω

BT mTαSπN p dΩ

fu =

∫Ω

NTu ((1− n) ρs + nSwρ

w + nSgρg + nSπρ

π) g dΩ +

∫Γq

u

NTu t dΓq

u

(4.33)

4.3.2 Fase liquida

Para describir el comportamiento de la fase liquida de un medio poroso se empleala ecuacion de conservacion de masa (2.77) de la fase liquida, asumiendo que no existevariacion de temperatura (proceso isotermico),

α21L∂u

∂t+ α22

∂pw

∂t+ α23

∂pg

∂t+ α24

∂pπ

∂t+

1

ρw∇T

[kkrw


]= 0 (4.34)

siendo los coeficientes α los de (2.78)

Procediendo de igual modo que para la fase solida, se reemplaza la ecuacion (4.34) ylas condiciones de contorno para el agua (4.12) en (4.6) y se aplica el teorema de Green



(4.26) y la aproximacion (4.29) haciendo,

A (u) =α11∂pw

∂t+ α12

∂pg

∂t+ α13

∂pπ

∂t+ α1L

∂u

∂t+

1

Swρw∇T

[kkrw


]= 0

B (u) =kkrw

µw(−∇pw + ρwg)T · n− qw

ρw= 0

(4.35)

∫Ω

wT

[α11

∂pw

∂t+ α12

∂pg

∂t+ α13

∂pπ

∂t+ α1L

∂u

∂t+

1

Swρw∇T

(kkrw


)]dΩ

+

∫Γ

wT

[kkrw

µw(−∇pw + ρwg)T · n− qw

ρw

]dΓ = 0 (4.36)

∫Ω

NTp α11N p

∂pw

∂tdΩ +

∫Ω

NTp α12N p

∂pg

∂tdΩ +

∫Ω

NTp α13N p

∂pπ

∂tdΩ+∫

Ω

NTuα1LNu

∂u

∂tdΩ +

1

Swρw

∫Ω

(∇N p)T kkrw

µw∇N pp

w dΩ+

− 1

Swρw

∫Ω

(∇N p)T kkrw

µwρwg dΩ +

∫Γq

w

NTp

qw

ρwdΓ = 0 (4.37)

Ordenando terminos,

P ww∂pw

∂t+ Cwg

∂pg

∂t+ Cwπ

∂pπ

∂t+ Cws

∂u

∂t+ Hwwp

w = fw (4.38)

con,

P ww =

∫Ω

NTp α11N p dΩ

Cwg =

∫Ω

NTp α12N p dΩ

Cwπ =

∫Ω

NTp α13N p dΩ

Cws =

∫Ω

NTuα1LNu dΩ

Hww =1

Swρw

∫Ω

(∇N p)T kkrw

µw∇N p dΩ

fw =1

Swρw

∫Ω

(∇N p)T kkrw

µwρwg dΩ−

∫Γq

w

NTp

qw

ρwdΓ

(4.39)



4.3.3 Fase gaseosa

De igual manera que en la fase liquida, para describir el comportamiento de la fasegaseosa de un medio poroso se emplea la ecuacion de conservacion de masa (2.87), asu-miendo que no existe variacion de temperatura (proceso isotermico),

α31L∂u

∂t+ α32

∂pw

∂t+ α33

∂pg

∂t+ α34

∂pπ

∂t+

1

ρg∇T

[kkrg


]= 0 (4.40)


Procediendo de igual modo que para la fase solida, se reemplazan las ecuaciones (4.40)y sus condiciones de borde (4.13) en (4.6), teniendo en cuenta el teorema de Green (4.26)y la aproximacion (4.29) se tiene,

A (u) =α21∂pw

∂t+ α22

∂pg

∂t+ α23

∂pπ

∂t+ α2L

∂u

∂t+

1

Sgρg∇T

[kkrg


]= 0

B (u) =kkrg

µg(−∇pg + ρgg)T · n− qg

ρg= 0

(4.41)

∫Ω

wT

[α21

∂pw

∂t+ α22

∂pg

∂t+ α23

∂pπ

∂t+ α2L

∂u

∂t+

1

Sgρg∇T

(kkrg


)]dΩ

+

∫Γ

wT

[kkrg

µg(−∇pg + ρgg)T · n− qg

ρg

]dΓ = 0 (4.42)

∫Ω

NTp α21N p

∂pw

∂tdΩ +

∫Ω

NTp α22N p

∂pg

∂tdΩ +

∫Ω

NTp α23N p

∂pπ

∂tdΩ+∫

Ω

NTuα2LNu

∂u

∂tdΩ +

1

Sgρg

∫Ω

(∇N p)T kkrg

µg∇N pp

g dΩ+

− 1

Sgρg

∫Ω

(∇N p)T kkrg

µgρgg dΩ +

∫Γq

g

NTp

qg

ρgdΓ = 0 (4.43)

Ordenando terminos,

Cgw∂pw

∂t+ P gg

∂pg

∂t+ Cgπ

∂pπ

∂t+ Cgs

∂u

∂t+ Hggp

g = f g (4.44)



con,

Cgw =

∫Ω

NTp α21N p dΩ

P gg =

∫Ω

NTp α22N p dΩ

Cgπ =

∫Ω

NTp α23N p dΩ

Cgs =

∫Ω

NTuα2LNu dΩ

Hgg =1

Sgρg

∫Ω

(∇N p)T kkrg

µg∇N p dΩ

f g =1

Sgρg

∫Ω

(∇N p)T kkrg

µgρgg dΩ−

∫Γq

g

NTp

qg

ρgdΓ

(4.45)

4.3.4 Fase de poluente inmiscible

Dado que el transporte de poluentes inmiscibles puede ser considerado como una faselıquida [60] mas del problema (fase π) el procedimiento para arribar a las ecuacionesdiscretas de gobierno es muy similar a la seccion 4.3.2. De esta manera, para describirel transporte de poluentes en un medio poroso se emplea la ecuacion de conservacion demasa del poluente (2.98). Llegandose a la siguiente expresion,

Cπw∂pw

∂t+ Cπg

∂pg

∂t+ P ππ

∂pπ

∂t+ Cπs

∂u

∂t+ Hππp

π = fπ (4.46)

con,

Cπw =

∫Ω

NTp α31N p dΩ

Cπg =

∫Ω

NTp α32N p dΩ

P ππ =

∫Ω

NTp α33N p dΩ

Cπs =

∫Ω

NTuα3LNu dΩ

Hππ =1

Sπρπ

∫Ω

(∇N p)T kkrπ

µπ∇N p dΩ

fπ =1

Sπρπ

∫Ω

(∇N p)T kkrπ

µπρπg dΩ−

∫Γq

π

NTp

qπ

ρπdΓ

(4.47)




4.3.5 Poluentes miscibles

En este caso se sigue el procedimiento tradicional. Partiendo de la siguiente ecuacion deconservacion de masa (2.113) para el transporte de poluentes miscibles en la fase liquida,

αw41L

∂u

∂t+αw

42

∂pw

∂t+αw

43

∂pg

∂t+αw

44

∂cπw∂t

+div (nSw · vws) =Iwcπw

+div (ρπDπ

w grad cπw)

cπw(4.48)

y teniendo en cuenta las condiciones de contorno para el transporte de poluentes solublesen la fase liquida (4.15), se reemplazan en la ecuacion de solucion de problemas de contorno(4.6), obteniendose,

∫Ω

wT

[αw

42

∂pw

∂t+ αw

43

∂pg

∂t+ αw

44

∂cπw∂t

+ αw41L

∂u

∂t

+div (nSw · vws)− Iwcπw− div

(ρπDπw grad cπw)

cπw

]dΩ

+

∫Γ

wT

[(cπwv

ws −Dπwgrad cπw) · n− qπw

ρw

]dΓ = 0 (4.49)

empleando la expresion (2.72)

ηwvws =kkrw

µw(−grad pw + ρwg) (4.50)

con

ηw = nSw (4.51)

∫Ω

wT

[αw

42

∂pw

∂t+ αw

43

∂pg

∂t+ αw

44

∂cπw∂t

+ αw41L

∂u

∂t

]dΩ

+

∫Ω

wT

[∇T

(kkrw


)]dΩ−

∫Ω

wT

[∇T

(ρπDπ

w ∇cπwcπw

)]dΩ−

∫Ω

wT Iwcπw

dΩ

+

∫Γ

wT

[cπw

kkrw


]·n dΓ−

∫Γ

wT (ρwDπw∇cπw) ·n dΓ−

∫Γ

wT qπw

ρwdΓ = 0

(4.52)

Teniendo en cuenta el teorema de Green (4.26),

∫Ω

wT

[αw

42

∂pw

∂t+ αw

43

∂pg

∂t+ αw

44

∂cπw∂t

+ αw41L

∂u

∂t

]dΩ



−∫

Ω

(∇w)T

(kkrw


)dΩ +

∫Γ

wT

(cπw

kkrw


)· n dΓ

+

∫Ω

(∇w)T

(ρπDπ

w ∇cπwcπw

)dΩ−

∫Γ

wT (ρπDπw ∇cπw) · n dΓ−

∫Ω

wT Iwcπw

dΩ

+

∫Γ

wT

[cπw

kkrw


]·n dΓ−

∫Γ

wT (ρwDπw∇cπw) ·n dΓ−

∫Γ

wT qπw

ρwdΓ = 0

(4.53)

y las funciones de peso (4.25),

∫Ω

wT

[αw

42

∂pw

∂t+ αw

43

∂pg

∂t+ αw

44

∂cπw∂t

+ αw41L

∂u

∂t

]dΩ

−∫

Ω

(∇w)T

(kkrw


)dΩ +

∫Ω

(∇w)T

(ρπDπ

w ∇cπwcπw

)dΩ

−∫

Ω

wT Iwcπw

dΩ +

∫Γ

wT qπw

ρwdΓ = 0 (4.54)

considerando ademas las aproximaciones (4.29) e incorporando la siguiente

cπw = N pcπw (4.55)

∫Ω

NTp α

w42N p

∂pw

∂tdΩ +

∫Ω

NTp α

w43N p

∂pg

∂tdΩ +

∫Ω

NTp α

w44N p

∂cπw∂t

dΩ

+

∫Ω

NTuα

w41LNu

∂u

∂tdΩ +

∫Ω

(∇N p)T kkrw

µw∇N pp

wdΩ +

∫Ω

(∇N p)T ρwgdΩ

+

∫Ω

(∇N p)T ρ

πDπw

cπw∇N pc

πw dΩ =

∫Ω

NTp

Iwcπw

dΩ−∫

Γ

NTp

qπw

ρwdΓ

(4.56)

Ccww∂pw

∂t+ Ccwg

∂pg

∂t+ P cwcw

∂cπw∂t

+ Ccws∂u

∂t+ Hcwwp

w + Hcwcw cπw = f cw (4.57)



con,

Ccww =

∫Ω

NTp α

w42N pdΩ

Ccwg =

∫Ω

NTp α

w43N pdΩ

P cwcw =

∫Ω

NTp α

w44N pdΩ

Ccws =

∫Ω

NTuα

w41LNudΩ

Hcww =

∫Ω

(∇N p)T kkrw

µw∇N pdΩ

Hcwcw =

∫Ω

(∇N p)T ρ

πDπw

cπw∇N p dΩ

f cw =

∫Ω

NTp

Iwcπw

dΩ−∫

Ω

(∇N p)T ρwgdΩ−

∫Γ

NTp

qπw

ρwdΓ

(4.58)

Cuando se trata de poluentes solubles en la fase gaseosa la ecuacion de consevacion demasa (2.117) se discretiza en forma similar al caso de poluentes solubles en agua teniendoen cuenta las condiciones de borde (4.16) y el esquema de solucion de problemas de valoresde contorno (4.6). Dando el la siguiente ecuacion de gobierno discreta:

Ccgw∂pw

∂t+ Ccgg

∂pg

∂t+ P cgcg

∂cπg∂t

+ Ccgs∂u

∂t+ Hcgwp

w + Hcgcg cπg = f cg (4.59)

con,

Ccgw =

∫Ω

NTp α

g42N pdΩ

Ccgg =

∫Ω

NTp α

g43N pdΩ

P cgcg =

∫Ω

NTp α

g44N pdΩ

Ccgs =

∫Ω

NTuα

g41LNudΩ

Hcgw =

∫Ω

(∇N p)T kkrg

µg∇N pdΩ

Hcgcg =

∫Ω

(∇N p)T ρ

πDπg

cπg∇N p dΩ

f cg =

∫Ω

NTp

IgcπgdΩ−

∫Ω

(∇N p)T ρggdΩ−

∫Γ

NTp

qπg

ρgdΓ

(4.60)


Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...4.4. Modelado del transporte de poluentes inmiscibles

4.4 Modelado del transporte de poluentes inmiscibles

Una vez que se tienen discretizadas las ecuaciones de conservacion que gobiernan losproblemas considerados, se procede a combinarlas con el fin de resolver problemas mascomplejos. Es ası como en esta seccion se plantea el modelado isotermico del transpor-te de poluentes inmiscible en medios deformables parcialmente saturados dando comoresultando un sistema de ecuaciones algebraicas con las siguientes incognita primarias,desplazamiento de la fase solida, u, presion de poro de agua, pw, presion del poro de aire,pg, y presion del poluente inmiscible, pπ, incorporado en el presente trabajo.

Aquı cabe una consideracion, la relacion constitutiva de la fase solida, mencionada enel capitulo 3, puede expresarse de siguiente manera,

dσ′′ = DTdε (4.61)

donde DT es la matriz constitutiva elastoplastica, estudiada con mayor profundidad en elCapıtulo 3. Para el caso isotropico elastico lineal [52] teniendo en cuenta (4.20) y (4.29)la relacion anterior se transforma en

dσ′′ = DEdε = DELNudu (4.62)

Reemplazando en el primer termino de (4.32) y recordando que B = LNu se tiene,

∫Ω

BT DEBu dΩ + Cswpw + Csgp

g + Csπpπ = fu (4.63)

o bien,

KEu + Cswpw + Csgp

g + Csπpπ = fu (4.64)

con

KE =

∫Ω

BT DEB dΩ (4.65)

Para modelar el fenomeno de transporte de poluentes inmiscibles en medios porososno saturados se tiene en cuenta ademas de (4.64), para la fase solida, las expresionesdiscretas (4.38), (4.44) y (4.46).

P ww∂pw

∂t+ Cwg

∂pg

∂t+ Cwπ

∂pπ

∂t+ Cws

∂u

∂t+ Hwwp

w = fw (4.66)

Cgw∂pw

∂t+ P gg

∂pg

∂t+ Cgπ

∂pπ

∂t+ Cgs

∂u

∂t+ Hggp

g = f g (4.67)



Cπw∂pw

∂t+ Cπg

∂pg

∂t+ P ππ

∂pπ

∂t+ Cπs

∂u

∂t+ Hππp

π = fπ (4.68)

Ordenando terminos y expresando en forma matricial se tiene,

KE Csw Csg Csπ

0 Hww 0 00 0 Hgg 00 0 0 Hππ

upw

pg

pπ

+

0 0 0 0

Cws P ww Cwg Cwπ

Cgs Cgw P gg Cgπ

Cπs Cπw Cπg P ππ

˙u˙pw

˙pg

˙pπ

=

fu

fw

f g

fπ

(4.69)

Puede notarse inmediatamente que el sistema de ecuaciones (4.69) es altamente nosimetrico lo cual dificulta su solucion por medio de metodos numericos. Para mejorar lasimetrıa de dicho sistema se deriva con respecto al tiempo la expresion (4.64) que adoptala siguiente forma,

KE∂u

∂t+ Csw

∂pw

∂t+ Csg

∂pg

∂t+ Csπ

∂pπ

∂t=∂fu

∂t(4.70)

con lo cual el sistema podrıa volverse simetrico, dependiendo del valor de los coeficientesαij.

0 0 0 00 Hww 0 00 0 Hgg 00 0 0 Hππ

upw

pg

pπ

+

KE Csw Csg Csπ

Cws P ww Cwg Cwπ

Cgs Cgw P gg Cgπ

Cπs Cπw Cπg P ππ

˙u˙pw

˙pg

˙pπ

=

fu

fw

f g

fπ

(4.71)

4.5 Modelado del transporte de poluentes miscibles

Al igual que en la seccion anterior, en esta seccion se plantea el modelado isotermico deltransporte de poluentes en medios deformables parcialmente saturados, pero tratandoseen este caso de poluentes solubles (en fase liquida o gaseosa).

En el planteo del sistema acoplado surge una bifurcacion del problema, dado que lasmatrices de transporte de poluentes miscibles pueden ser tratadas en forma desacopladasde las matrices de deformacion y presiones de poro [36, 39], o bien, formando parte delsistema completo aumentando la no linealidad del sistema.

4.5.1 Sistema Desacoplado

Considerar desacoplado el transporte de poluentes miscibles consiste en resolverprimeramente las ecuaciones de gobierno que definen el estado de deformacion (4.70)


Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...4.5. Modelado del transporte de poluentes miscibles

y de presiones de poro en el medio parcialmente saturado (4.38) y (4.44), despreciandolos terminos referidos a la presion de poro π, y luego la ecuacion de transporte (4.57) o(4.59) segun se trate de poluentes solubles en agua o aire respectivamente.

De esta manera, el primer sistema que gobierna la consolidacion de suelos no saturados[7] es el siguiente:

0 0 00 Hww 00 0 Hgg

upw

pg

+

KE Csw Csg

Cws P ww Cwg

Cgs Cgw P gg

˙u˙pw

˙pg

=

fu

fw

f g

(4.72)

con lo cual se tiene resuelto el campo de desplazamientos y presiones de poro en el mediono saturados. El paso siguiente consiste en resolver la expresion de transporte (4.57) parapoluentes solubles en agua o (4.59) para poluentes solubles en aire, siendo u, pw y pg,valores conocidos una vez resuelto (4.72)

P cwcw˙cπw + Hcwcw c

πw = f cw −Ccww ˙pw −Ccwg ˙pg −Ccwu ˙u−Hcwwp

w (4.73)

P cgcg˙cπg + Hcgcg c

πg = f cg −Ccgw ˙pw −Ccgg ˙pg −Ccgu ˙u−Hcgwp

w (4.74)

4.5.2 Sistema Acoplado

En este caso se resuelven simultaneamente las ecuaciones de deformacion (4.70), depresiones de poro (4.38) y (4.44), despreciando los terminos referidos a la presion de poroπ, considerando ademas la ecuacion de transporte (4.57) o (4.59) (segun sea el poluentesoluble en agua o aire respectivamente) en un solo sistema de ecuaciones algebraico.

0 0 0 00 Hww 0 00 0 Hgg 00 Hcww 0 Hcwcw

upw

pg

cπw

+

KE Csw Csg 0Cws P ww Cwg 0Cgs Cgw P gg 0Ccws Ccww Ccwg P cwcw

˙u˙pw

˙pg

˙cπw

=

fu

fw

f g

f cw

(4.75)


CAPITULO 5

Ejemplos Numericos

5.1 Problemas no lineales

5.1.1 Consolidacion elastoplastica unidimensional

El siguiente ejemplo consiste en un estrato longitud infinita y 5m de profundidad, desuelo parcialmente saturado cargado uniformemente con q = 100kpa. Las propiedadesreferentes al suelo son: modulo de Young E = 1500kpa, coeficiente de Poisson ν = 0, 3,permeabilidad vertical ky = 8, 64 ∗ 10−5m/dia, cohesion c = 50kpa, angulo de friccioninterna φ = 30, grado de saturacion inicial Sr = 0, 85, compresibilidad de los granosks = 1 ∗ 106kpa. Ademas, los coeficientes de ajuste correspondientes al modelo plasticopropuesto son m = 0, 5, k = 1, 5 y la presion inicial de preconsolidacion pco = 100kpa.

Figura 5.1: Consolidacion 3D. Mallado.

El mallado se realizo con elementos serendipitos, de 20 nodos para los desplazamientosy de 8 nodos para las presiones de poro, distribuidos uniformemente en toda la altura(ver figura 5.1). En cuanto a las condiciones de borde de los desplazamientos, se hapermitido unicamente el descenso vertical en todos los nodos laterales y los nodos de labase se encuentran restringido en todas direcciones. En lo que respecta a las condicionesde contorno de presion de poro, se ha establecido que los nodos correspondientes a lasuperficie, por estar en contacto con la presion atmosferica, deben tener presion nula.

Puede verse en la figura 5.2 la trayectoria de tensiones correspondiente al primer puntode Gauss que se ubica en el campo plastico.

72

Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...5.1. Problemas no lineales

-90 -60 -30 0 30 60 90 120 1500

30

60

90

120

150

Campo elástico

Trayectoria de tensiones

LEC in

icial

LEC Fi

nal

Sup. FinalSup. Inicial

q

p'

Figura 5.2: Trayectoria de tensiones.

En la figura 5.3 se observa la evolucion temporal de la presion de poro comparando elcomportamiento elastico con el elastoplastico. El modelo matematico debe cumplir con elprincipio de mınima energıa potencial, lo cual provoca que la fraccion liquida del mediosoporte una carga superior al caso elastico debido a la perdida de la rigidez de la estructuragranular del suelo por los efectos de la plasticidad.

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000Time (days)

Wat

er p

ore

pres

sure

(kpa

) Elastoplastic analysis

Elastic analysis

Figura 5.3: Evolucion de la presion de poro de agua.

Otro punto importante a tener en cuenta es la influencia de la combinaciones de losparametros plasticos de la funcion de fluencia en el desplazamiento de la fase solida. Lafigura 5.4 fue presentada justamente para mostrar esta influencia considerando cuatrosituaciones representativos: 1) Usando solamente endurecimiento cinematico; 2) Usan-do solamente endurecimiento isotropico; 3) Usando ambas formas de endurecimiento; 4)Usando el modelo propuesto para suelos saturados [17].

En el caso (1) el incremento de succion traslada la superficie de fluencia en la direccion



-1.6

-1.4

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000Time (days)

Dis

plac

emen

t (m

)

Saturated soil elastoplastic model Kinematic expansion (m=0.0, k=1.5)

Both expansion (m=0.1, k=1.5) Isotropic expansion (m=0.1, k=0.0)

Figura 5.4: Asentamiento en funcion del tiempo para diferentes combinaciones de losparametros plasticos de la funcion de fluencia.

de la presion efectiva negativa (izquierda), ver figura 3.2, mientras que la direccion de lastensiones, para este proceso de carga, es hacia la derecha (en el plano p′ − q). De estamanera, el efecto plastico se ve incrementado notoriamente lo que conduce a que losdesplazamientos finales sean los maximos.

Las situaciones (2) y (4) son esencialmente las mismas. Para ambos casos la superficiede fluencia se expande con el avance de la deformacion plastica (ver figura 3.3) con launica diferencia de que el caso (2) la succion retarda el avance plastico con la consecuentedisminucion del desplazamiento vertical. En el caso (3), el efecto del endurecimiento cin-ematico combinado con el isotropico produce una respuesta intermedia al caso (1) y al(2). Este tipo de compensacion fue observada por G. Bolzon [11].

5.1.2 Zapata aislada tridimensional. Analisis no lineal fısico.

En el siguiente ejemplo se analiza el problema elastoplastico de una zapata aislada de0, 90m ∗ 0, 90m fundada sobre un estrato de suelo de 5m de profundidad con 85% de sat-uracion inicial. La carga que transmite la zapata al suelo esta uniformemente distribuıday posee un valor de q = 100kpa. Las propiedades referentes al suelo son las mismas delejemplo 5.1.1, solo la presion inicial de preconsolidacion es diferente y vale pco = 600kpa,ademas, al tratarse de un problema tridimensional se requiere la definir el coeficiente depermeablilidad horizontal kx = 8, 64 ∗ 10−4m/dia.

Cabe aclarar que dada la doble simetrıa del problema en cuestion basta con modelarsolo un cuarto del volumen total del suelo, el mallado puede observase en la figura 5.8.



En la figura 5.5 se muestra la disipacion de la presion de poro de agua de un nodolocalizado a 0, 5m de profundidad, similarmente, en la figura 5.6 el desplazamiento verticaldel mismo nodo es representado en funcion del tiempo. Por ultimo, la figura 5.8 muestrael estado tensional de la presion de poro de agua 2 dıas despues de aplicada la carga.

0.00

200.00

400.00

600.00

800.00

1000.00

1200.00

1400.00

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 100000Time (days)

Wat

er p

ore

pres

sure

(kpa

)Elastoplastic analysis

Elastic analysis

Figura 5.5: Disipacion de la presion de poro da agua.

-0.90

-0.80

-0.70

-0.60

-0.50

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 100000Time (days)

Dis

plac

emen

t (m

)

Elastoplastic analysis

Elastic analysis

Figura 5.6: Desplazamiento en funcion del tiempo



5.1.3 Zapata corrida. Analisis no lineal geometrico.

Este ejemplo fue incorporado con el objeto de mostrar la capacidad de modelomatematico desarrollado en el capıtulo 3 para resolver problemas con no linealidad ge-ometrica en suelos no saturados.

El ejemplo consisten en una zapata corrida de longitud semi infinita tratada en conestado plano de deformaciones. La carga se considera uniformemente distribuıda de Q =10 kN/m. Los datos del problema son los siguientes: ancho 10m, profundidad 5m, modulode Young E = 1000 kPa, coeficiente de Poisson ν = 0,4, permeabilidad k = 8,64 ∗10−5 m/day, relacion de vacıos inicial e = 0,9.

En la figura 5.9 puede observarse la deformacion de la fase solida del suelo y la presionde poro de agua a los 20 dıas de aplicada la carga considerando pequenas deformaciones(figura de la izquierda) y grandes deformaciones (figura de la derecha).

5.1.4 Talud vertical. Analisis no lineal fısico y geometrico.

El siguiente ejemplo consiste en el modelado numerico de un talud vertical de sue-lo parcialmente saturado sometido unicamente al peso propio. Para dicho modelado serealizo un analisis elastoplastico con no lineal geometrica.

En la figura 5.7 se observa el mallado de elementos finitos utilizado, el cual porsee 724elementos y 2293 nodos, ademas se indican las condiciones de contorno adoptadas queson las siguientes

Figura 5.7: Talud vertical. Mallado y condiciones de contorno.

A-B, B-C y C-D presion de poro de agua y aire nulas

D-E y A-F desplazamiento en x restringido

F-E desplazamiento en y restringido

Los datos del problema son los siguiente: Dimensiones: AF = 3,00m, AB = 2,20m,BC = 2,20m, CD = 0,80m, DE = 0,80m y EF = 3,00m. Las propiedades referentes al



Figura 5.8: Estado tensional de la presion de poro de agua a los 2 dıas de aplicada lacarga.

Figura 5.9: Asentamiento superficial y presion de poro de agua para el dıa 20.



Figura 5.10: Talud vertical: a) Deformacion plastica volumetrica; b) Localizacion de ten-siones tangenciales; c) Estado intermedio (50% de la carga) de presion de poro de agua;d) Estado de deformacion final (factor de escala x 1.0)


Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...5.2. Transporte de poluentes

suelo son: modulo de Young E = 300kpa, coeficiente de Poisson ν = 0, 3, permeabilidadkx = ky = 8, 64 ∗ 10−3m/dia, cohesion c = 5kpa, angulo de friccion interna φ = 30,grado de saturacion inicial Sr = 0, 85, compresibilidad de los granos ks = 1 ∗ 106kpa,peso especıfico del suelo adoptado γs = 1,0KN/m3. Ademas, los coeficientes de ajustecorrespondientes al modelo plastico propuesto son m = 0, 1, k = 1, 0 y la presion inicialde preconsolidacion pco = 46kpa.

En la figura 5.10 se muestran los resultados numericos obtenidos a patir del empleodel modelo desarrollado en el Capıtulo 3. En la figura 5.10a se observa la deformacionplastica volumetrica del suelo se localiza en correspondencia con el pie del talud, lo cualpermite suponer que en dicho punto se iniciara la falla o deslizamiento del mismo.

5.2 Transporte de poluentes

5.2.1 Columna de suelo unidimensional. Flujo inmiscible.

El siguiente ejemplo fue propuesto con el fin de validar el modelo matematico deconsolidacion de suelo parcialmente saturado en presencia de una sustancia inmiscible,formulado en este trabajo de tesis. La validacion consiste en contrastar los resultadosobtenidos mediante la implementacion numerica por el metodo de los elementos finitosdel sistema de ecuaciones (4.71) con resultados experimentales extraıdos de Lewis andSchrefler (1998) [42] y resultados numericos que surgen de formulaciones basadas en difer-entes combinaciones de estado (Di Rado et.al. 2008) [18].

El ejemplo consiste en una columna de suelo unidimensional de 1m de profundidadcuya saturacion de agua inicial es del 52% y la presion de poro de agua inicial es de -280Kpa. El medio sufre un salto instantaneo a -420 Kpa en la presion de poro de la superficie.

La discretizacion de elementos finitos y las condiciones de borde pueden verse enla figura 5.11, mientras que las propiedades fısicas del medio son las siguientes: anchoB = 0,10m; alto H = 1,00m; modulo de Young E = 173000,0Kpa; coeficiente de Poissonµ = 0,3; angulo de friccion interna φ = 0,1745rad; cohesion c = 100,0Kpa; relacion devacio inicial e0 = 0,4; coeficiente de permeabilidad vertical ky = 0,11456m/dia; coeficientede compresibilidad del agua y del poluenteKf = Kπ = 4300000000,0Kpa; compresibilidaddel grano Ks = 1400000,0kpa.

En la figura 5.12 se representa la variacion del desplazamiento vertical de un puntoubicado en la mitad de la altura de la columna de suelo en funcion del tiempo. Se muestrancon cruces los resultados experimentales obtenidos por Lewis and Schrefler (1998) [42],con lınea punteada los resultados numericos obtenidos por Di Rado et.al. (2008) [18] y conlıneas llenas se muestran los resultados obtenidos con el modelo propuesto en este trabajopara diferentes contenidos de poluentes. Puede observarse que a medida que el gradode saturacion de poluente tiende a cero las curvas del modelo propuesto en este trabajotiende a los resultados experimentales. Por otro lado, se observa que para Sπ = 0 % elajuste con el modelo actual posee una mejor aproximacion que el propuesto por Di Radoet.al. (2008).



Figura 5.11: Ejemplo de validacion: Mallado y condiciones de borde

Figura 5.12: Ejemplo de validacion: Desplazamiento vertical vs tiempo, comparacion conresultados experimentales y numericos

5.2.2 Consolidacion unidimensional de suelo parcialmente saturado.Flujo inmiscible.

El siguiente ejemplo fue propuesto con el fin de mostrar el comportamiento del mod-elo matematico ante un caso geometrico muy utilizado en la literatura especializada demecanica de suelos. El problema consiste en un estrato de suelo unidimensional que seencuentra parcialmente saturado, coexistiendo en los vacıos dejados por la matriz soli-da del suelo sustancias lıquidas, gaseosas y una sustancia no soluble con ninguna de lasanteriores.

Los datos fısicos y geometricos del problema son los siguientes: altura H = 1,00m;ancho B = 0,10m; carga distribuıda q = 10,0Kpa; modulo de Young E = 1000,0Kpa;modulo de Poisson µ = 0,3; angulo de friccion interna φ = 30 = 0, 5236rad; cohesion



Figura 5.13: Columna de suelo unidimensional. Resultados numericos: a) Desplazamientovs. Tiempo ; b) Grado de Saturacion de Poluente vs. Tiempo ; c) Presion de Poro deAgua vs. Tiempo ; d) Presion de Poro de Poluente vs. Tiempo

c = 50,0Kpa; relacion de vacıos inicial e0 = 2,0; coeficiente de compresibilidad del aguay del poluente Kf = Kπ = 1000000,0Kpa; coeficiente de permeabilidad vertical ky =0,00864m/dia; grado de saturacion de agua inicial Sw = 0,50; grado de saturacion depoluente inicial Sπ = 0,40. Por otro lado, en la figura 5.11 pueden verse las condiciones deborde de desplazamiento, y en lo respecta a las condiciones de contorno referidas al flujose restringio la presion de poro de los nodos superficiales por encontrarse en contacto conal presion atmosferica.

En la figura 5.13 se han representado los siguientes resultados (referidos al nodo N1indicado en la figura 5.11) en funcion del tiempo: a) evolucion del descenso; b) la variaciondel grado de saturacion de poluente; c) Disipacion de la presion del poro de agua; d)Disipacion de la presion del poro de poluente. Analizando los resultados mostrados enla figura 5.13 puede notarse la concordancia entre el deplazamiento de la fase soliday la evolucion de las presiones de poro ası como tambien que la variacion del gradode saturacion se correlaciona con una constante disminucion de los vacıos intersticialesdejados por la matriz solida del suelo a medida que se disipan las presiones de poro.



5.2.3 Pozo de bombeo

El siguiente ejemplo consiste en un pozo de extraccion de agua subterranea dondediferentes estratos de suelo fueron considerados, representando un perfil de suelo carac-terıstico de la region del noreste de la Republica Argentina [49]. El estrato superficial(Estrato 1 ) consiste en una arena de baja saturacion, el estrato siguiente (Estrato 2 ) setrata de una arcilla saturada con muy baja permeabilidad y el ultimo estrato (Estrato 3 )consiste en una arena de alto grado de saturacion con presencia de un poluente inmiscible.

Los datos geometricos del problema son los siguientes (ver figura 5.14): altura H =2,00m; ancho B = 2,00m; diametro de la canerıa de extraccion d = 0,20m; en cuanto alas caracterısticas fısicas del perfil de suelo las mismas fueron ordenadas en la tabla 5.1.

Propiedad de los materiales Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3Modulo de elasticidad, E[Kpa] 3000.0 1500.0 2500.0Modulo de Poisson, µ 0.3 0.3 0.3Peso especıfico, γ[tn/m3] 2.0 2.0 2.5

Angulo de friccion interna, φ[rad] 0,5236 0,5236 0,5236Cohesion, c[Kpa] 0.0 50.0 50.0Relacion inicial de vacıos, e0 1.0 2.0 1.0Compresibilidad de los granos, Ks[Kpa] 1000000.0 1000000.0 1000000.0Permeabilidad horizontal, kx[m/dia] 1.728 0.001728 0.01728Permeabilidad vertical, ky[m/dia] 0.864 0.000864 0.00864Grado de saturacion inicial de agua, Sw 0.40 0.50 0.40Grado de saturacion inicial de poluente, Sπ 0.00 0.50 0.50

Tabla 5.1: Propiedades fısicas de un perfil de suelo caracterıstico del NEA

En la figura 5.14 pueden verse las condiciones de borde de desplazamiento y el malladodel problema estudiado en esta seccion, el cual cuenta con 286 elementos serendipıtos de 8nodos completando una totalidad de 943 nodos. En cuanto a las condiciones de contornoreferidas al flujo se restringio la presion de poro de los nodos superficiales por encontrarseen contacto con al presion atmosferica.

Por ultimo, en las figuras 5.16 y 5.15 se observan el estado tensional del poro de agua yde poluente respectivamente, mostrando una importante similitud en cuanto a la variacionde espacial de las presiones.

5.2.4 Transporte miscible en suelos no saturados.

En el siguiente ejemplo se analiza el flujo de una sustancia soluble en agua dentrode un medio parcialmente saturado. Para la solucion del problema se empleo el sistemaacoplado 4.75 desarrollado en el capıtulo 4.

El problema consiste en un estrato de suelo unidimensional que se encuentra parcial-mente saturado, coexistiendo en los vacıos dejados por la matriz solida del suelo sustanciaslıquidas, gaseosas y una sustancia soluble en la fase lıquida. En la superficie es aplicada



Figura 5.14: Mallado y condiciones de borde del problema de extraccion de agua sub-terranea en presencia de poluentes (286 elementos)

una carga superficial en un tiempo t=0.1 dıas y se inyecta en forma constante la sustanciasoluble.

El mallado de elementos finitos es el mismo que le empleado en el ejemplo 5.2.2 (verfigura 5.11)).

Los datos fısicos y geometricos del problema son los siguientes: altura H = 1,00m;ancho B = 0,10m; carga distribuıda q = 10,0Kpa; modulo de Young E = 1000,0Kpa;modulo de Poisson µ = 0,3; angulo de friccion interna φ = 30 = 0, 5236rad; cohesionc = 50,0Kpa; relacion de vacıos inicial e0 = 2,0; coeficiente de compresibilidad del aguaKf = 1000000,0Kpa; coeficiente de permeabilidad vertical ky = 0,00864m/dia.

En la figura 5.17 se presenta el perfil de presiones de poro de agua para cuatro tiempos,1 dıa, 10 dıas, 100 dıas y 1000 dıas. Se nota claramente que para t = 1 dıa la cargasuperficial es resistida en gran medida por la fase lıguida manteniendose practicamenteconstante en toda la profundidad del estrato con el valor correspondiente a la succioninicial. A medida que transcurre el tiempo, esta presion es disipada hacia el fondo delestrato, alcanzando para t = 1000 la disipacion total.

De manera similar, en la figura 5.18 se presenta el perfil de la concentracion de poluentepara los mismos tiempos adoptados para la figura 5.17. En este caso, la concentracion delpoluente aumenta con el transcurrir del tiempo, lo cual tiene su explicacion en el avancede la consolidacion del suelo y en la constante inyeccion del poluente desde la superficie.



Figura 5.15: Presion de poro de la agua a las 30 horas

Figura 5.16: Presion de poro de la fase poluente a las 30 horas



Figura 5.17: Perfil de presion de poro de la agua

Figura 5.18: Perfil de concentracion de poluente miscible en agua


CAPITULO 6

Conclusiones y Futuros Desarrollos

Conclusiones

Dada la diversidad de los problemas planteados en este trabajo de tesis las conclusionessera agrupadas en tres parrafos. El primero trata puntualmente el transporte de poluenteen medios porosos multifasicos. El segundo parrafo arriba a las conclusiones del modeloelastoplastico aquı propuesto. Por ultimo, el tercer parrafo presenta las conclusiones delmodelo no lineal geometrico aplicado a suelos no saturados.

Se ha presentado un modelo matematico discreto por el metodo de los elementos fini-tos capaz de simular la distribucion de presiones y desplazamientos de un materialporoso constituido por una fase solida y tres fases fluidas comportandose en formaacoplada en condiciones isotermicas. Se consigue modelar tanto el flujo de polu-entes miscibles como de inmiscibles. La solucion del problema antes mecionado fueabordada empleando el Metodo de los Elementos Finitos para lo cual se desarrolloıntegramente un software en lenguaje Fortran 90.

Se presento un criterio de fluencia basado en la Teorıa de Estatos Crıtico para suelosno saturados. La cohesion efectiva fue modificada introduciendo su dependenciacon la succion, lo cual concuerda con consideraciones realizadas por X. Li [44].Por otro lado, un comportamiento isotropico de la funcion de falla fue incorporadohaciendo referencia a resultados experimentales obtenidos por D.G. Fredlund [22]mediante la definicion de un nuevo parametro de endurecimiento, o variable deestado, proporcional a la succion.

El modelado tridimensional de materiales hipoelastoplasticos anisotropicos en losproblemas de la mecanica del contınuo requiere del uso de leyes constitutivas basadasen magnitudes corrotadas. Pero, como contrapartida se llega a sistemas no simetricosde ecuaciones de elementos finitos. Sin embargo, en los casos en que las tensiones tan-genciales sean lo suficientemente reducidas, o cuando las caracterısticas del material,sean de un orden de magnitud mayor a las tensiones generedas, se podra despreciarel termino no simetrico [20], tornando nuevamente simetrica la relacion constitutivay, por consiguiente, la matriz de rigidez material del sistema de elementos finitos,

86

Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...

aminorando el esfuerzo computacional en la solucion numerica, que adquiere mayorimportancia en el caso de problemas tridimensionales en suelos no saturados dondela matriz de rigidez del sistema es notablemente mayor.

Futuros Desarrollos

Los futuros desarrollos que surgen de este trabajo de tesis son resumidos en los si-guientes parrafos:

Un punto importante para futuros avances es la incorporacion de la temperaturadentro del modelo para suelos saturados con transporte de poluentes obteniendoseası una formulacion termo-mecanica acoplada del medio multifasico. En este puntocabe senalar que un analisis similar al realizado recientemente por H.A. Di Radoet.al. (2008) [18] sobre simetrıa del sistema de ecuaciones con la influencia de latemperatura podrıa significar un aporte cientıfico notorio.

Por otro lado, la incorporacion de la temperatura en el modelo de elementos finitosantes citado posibilita no solo el analisis termo-mecanico de medios porosos sinotambien el modelado de materiales hipoelastoplasticos con no linealidades fısicas ygeometricas, estudiados en esta tesis, que acoplado con el efecto termico permiteresolver una amplia gama de problemas ingenieriles.

Otro desarrollo que puede ser llevado a cabo y que presenta un interesante aportees el estudio del hormigon. Dado que el mismo se comporta internamente comoun medio poroso con tres fases claramente identificadas (solida, liquida y gaseosa)y, en ocasiones, presenta sustancias no disueltas, el modelado de este material nopresentarıa, a priori, mayores dificultades.


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Apendice I

Segunda Ley de la Termodinamica

En esta seccion se plantea la deduccion de las expresiones (2.37) y (2.38) a partirde la segunda ley de la termodinamica empleado originalmente por S.M. Hassanizadehand W.G. Gray [34] . Para cumplir con dicho proposito se requiere el empleo de nuevasecuaciones las cuales sera incluıdas a continuacion.

Ecuacion de Conservacion de Energıa. La ecuacion de conservacion de energıa enmedios multifasicos, donde el termino Dα/Dt indica la derivada material siguiendo elmovimiento de la fase α, es la siguiente:

ηαραDαEα

Dt− ηαtα : ∇vα −∇ · (ηαqα)− ηαραhα = 0 (I.1)

con α = s, w, g

donde: ρα es la densidad de la fase α, tα es el tensor de tensiones de la fase α, qalpha es elvector de calor, vπ esta definido en (2.6), h entrada externa de energıa, Eα es la energıainterna y ηα es la fraccion de volumen definida en la seccion 2.1 que debe cumplir lassiguientes relaciones

ηα

η= Sα

η = ηw + ηg + ηπ

ηs = 1− η

(I.2)

Segunda Ley de la Termodinamica. Para lograr formulaciones matematicas consis-tentes las leyes de conservacion deben ser complementadas por la Segunda Ley de laTermodinamica. Segun este enunciado, la tasa de produccion neta de entropıa en unsistema no puede ser negativa.

Para sistemas multifasicos esta ley se expresa de la siguiente manera [34] :

Λ =∑

α

Λα ≥ 0 (I.3)

93


donde el balance de entropıa de cada fase esta dado por

Λα = ηαραDαεα

Dt−∇ · (ηαϕα)− ηαραbα (I.4)

El flujo de entropıa, ϕα, y la fuente externa de entropıa, bα, se obtienen de las siguientesexpresiones [34]:

ϕα = qα/θα y bα = hα/θα (I.5)

En el desarrollo de expresiones constitutivas es conveniente el empleo de la funcionde energıa libre de Helmholz en lugar de la energıa interna [27]. Dicha expresion es lasiguiente

Aα = Eα − εαθα (I.6)

Reemplazando I.6 en I.1 se obtiene

ηαραDα (Aα + εαθα)

Dt− ηαtα : ∇vα −∇ · (ηαqα)− ηαραhα = 0 (I.7)

ηαραDαAα

Dt+ ηαραεα

Dαθα

Dt+ ηαραθαD

αεα

Dt− ηαtα : ∇vα−∇ · (ηαqα)− ηαραhα = 0 (I.8)

empleando las definiciones I.5 en I.4 y multiplicando todos los miembros por θα,

ηαραθαDαεα

Dt= θαΛα + θα∇ ·

(ηαqα

θα

)+ θαη

αραhα

θα(I.9)

reemplazando la ecuacion anterior en I.8

ηαραDαAα

Dt+ ηαραεα

Dαθα

Dt+ θαΛα + θαη

αραhα

θα− ηαtα : ∇vα − ηαραhα +∇θα η

αqα

(θα)2 = 0

(I.10)

Λα = −ηαρα

θα

DαAα

Dt− ηαρα

θαεαDαθα

Dt+ηαtα : ∇vα

θα+∇θα η

αqα

(θα)2 (I.11)

Λα = −ηαρα

θα

[DαAα

Dt+ εα

Dαθα

Dt

]+ηαtα : ∇vα

θα+∇θα η

αqα

(θα)2 (I.12)

con α = s, w, g


Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...Apendice I

Esta ultima expresion, sustituıda en (I.3), es la foma macroscopica de la segunda leyde la Termodinamica para sistemas multifasicos.

Λ = −∑

α

ηαρα

θα

[DαAα

Dt+ εα

Dαθα

Dt

]+

∑α

ηαtα : ∇vα

θα+

∑α

∇θα ηαqα

(θα)2 ≥ 0 (I.13)

con α = s, w, g

Para obtener las relaciones constitutivas que derivan del segundo principio en nece-sario definir las variables independientes del sistema. Dichas variables fueron adotadas encoincidencia con trabajos anteriores [28, 34] y son las siguientes

ρα,Es, θα,∇θα, η,∇η, Sα,∇Sα (I.14)

con α = s, w, g

En general, cada variable dependiente puede expresarse como funcion de todas lasvariables independientes. Sin embargo, es usual en este tipo de sistemas obviar la depen-dencia de la energıa libre de Helmholz con el gradiente de la saturacion y el gradiente dela temperatura. Por lo tanto se considera:

Aα = Aα (ρα, θα, Sα) (I.15)

As = As (ρs, θs,Es, Sw) (I.16)

en este caso, con α = w, g

Con estas ultimas consideraciones, las derivadas de As, Aw y Ag, respecto del tiempodeben realizarse por la regla de diferenciacion de la cadena, por lo tanto:

DαAα

Dt=∂Aα

∂ρα

Dαρα

Dt+∂Aα

∂θα

Dαθα

Dt+∂Aα

∂Sα

DαSα

Dt(I.17)

con α = w, g

DsAs

Dt=∂As

∂ρs

Dsρs

Dt+∂As

∂θs

Dsθs

Dt+∂As

∂Es

DsEs

Dt+∂As

∂Sw

DsSw

Dt(I.18)

Reemplazando (I.17) y (I.18) en (I.12) se obtiene

Λα = −ηαρα

θα

DαAα

Dt− ηαρα

θαεαDαθα

Dt+ηαtα : ∇vα

θα+∇θα η

αqα

(θα)2 (I.19)

Λα = −ηαρα

θα

[∂Aα

∂ρα

Dαρα

Dt+∂Aα

∂θα

Dαθα

Dt+∂Aα

∂Sα

DαSα

Dt

]95 Javier L. Mroginski


− ηsρs

θs

[∂As

∂ρs

Dsρs

Dt+∂As

∂θs

Dsθs

Dt+∂As

∂Es

DsEs

Dt+∂As

∂Sw

DsSw

Dt

]− ηαρα

θαεαDαθα

Dt+ηαtα : ∇vα

θα+∇θα η

αqα

(θα)2 (I.20)

Λα = −ηαρα

θα

Dαθα

Dt

[∂Aα

∂θα+ εα

]− ηαρα

θα

[∂Aα

∂ρα

Dαρα

Dt+∂Aα

∂Sα

DαSα

Dt

]− ηsρs

θs

[∂As

∂ρs

Dsρs

Dt+∂As

∂θs

Dsθs

Dt+∂As

∂Es

DsEs

Dt+∂As

∂Sw

DsSw

Dt

]+ηαtα : ∇vα

θα+∇θα η

αqα

(θα)2 (I.21)

Los terminos Dsρs/Dt y Dαρα/Dt se obtienen respectivamente de las ecuaciones deconservacion de masa para la fase solida (2.22), y para la fase fluıda (2.24).

Dsρs

Dt=

1

(1− η)

[ρsD

sη

Dt− (1− η) ρs (∇ · vs)

](I.22)

Dαρα

Dt= − 1

ηSα

[ηραD

αSα

Dt+ SαραD

αη

Dt+ ηSαρα (∇ · vα)

](I.23)

Reemplazando (I.22) y (I.23) en (I.21) se tiene

Λα = −ηαρα

θα

Dαθα

Dt

[∂Aα

∂θα+ εα

]+ηαtα : ∇vα

θα+∇θα η

αqα

(θα)2

− ηαρα

θα

− ∂Aα

ηSα∂ρα

[ηραD

αSα

Dt+ SαραD

αη

Dt+ ηSαρα (∇ · vα)

]+∂Aα

∂Sα

DαSα

Dt

−η

sρs

θs

∂As

(1− η) ∂ρs

[ρsD

sη

Dt− (1− η) ρs (∇ · vs)

]+∂As

∂θs

Dsθs

Dt+∂As

∂Es

DsEs

Dt+∂As

∂Sw

DsSw

Dt

(I.24)

Λα = −ηαρα

θα

Dαθα

Dt

[∂Aα

∂θα+ εα

]+ηαtα : ∇vα

θα+∇θα η

αqα

(θα)2

+ηα (ρα)2

θαSα

∂Aα

∂ρα

DαSα

Dt+ηα (ρα)2

θαη

∂Aα

∂ρα

Dαη

Dt+ηα (ρα)2

θα

∂Aα

∂ρα(∇ · vα)− ηαρα

θα

∂Aα

∂Sα

DαSα

Dt

− ηs (ρs)2

θs (1− η)

∂As

∂ρs

Dsη

Dt+ηs (ρs)2

θs

∂As

∂ρs(∇ · vs)−η

sρs

θs

∂As

∂θs

Dsθs

Dt−η

sρs

θs

∂As

∂Es

DsEs

Dt−η

sρs

θs

∂As

∂Sw

DsSw

Dt(I.25)


Geomecanica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...Apendice I

trabajando algebraicamente y empleando la simbologıa ˙(•) para denotar la derivada re-specto del tiempo

Λα = −ηαρα

θα

Dαθα

Dt

[∂Aα

∂θα+ εα

]+ηαtα : ∇vα

θα+∇θα η

αqα

(θα)2

+ηα (ρα)2

θαSα

∂Aα

∂ραSα +

ηα (ρα)2

θαη

∂Aα

∂ραη +

ηα (ρα)2

θα

∂Aα

∂ρα(∇ · vα)− ηαρα

θα

∂Aα

∂SαSα

− ηs (ρs)2

θs (1− η)

∂As

∂ρsη +

ηs (ρs)2

θs

∂As

∂ρs(∇ · vs)− ηsρs

θs

∂As

∂θsθs − ηsρs

θs

∂As

∂Es Es − ηsρs

θs

∂As

∂SwSw

(I.26)

Empleando la expresion (2.1) y la siguiente definicion utilizada por S.M. Hassanizadehand W.G. Gray [34] para la presion en la fase α

pα = (ρα)2 ∂Aα

∂ρα(I.27)

Λα = −ηαρα

θα

Dαθα

Dt

[∂Aα

∂θα+ εα

]+ηαtα : ∇vα

θα+∇θα η

αqα

(θα)2

+ η

[Swpw

θw+Sgpg

θg− ps

θs

]+Sw

[ηw

θwSwpw − ηg

θgSgpg − ηwρw

θw

∂Aw

∂Sw+ηgρg

θg

∂Ag

∂Sg− ηsρs

θs

∂As

∂Sw

]+ηα

θαpα (∇ · vα) +

(1− η)

θs(∇ · vs)− ηsρs

θs

∂As

∂θsθs − ηsρs

θs

∂As

∂Es Es (I.28)

Λα = −ηSαρα

θαθα

[∂Aα

∂θα+ εα

]− ηsρs

θs

∂As

∂θsθs +∇θα η

αqα

(θα)2

+η

[Swpw

θw+Sgpg

θg− ps

θs

]+Sw

[η

θwpw − η

θgpg − ηSwρw

θw

∂Aw

∂Sw+ηSgρg

θg

∂Ag

∂Sg− (1− η)

θsρs ∂A

s

∂Sw

]+ηSα

θαpα (∇ · vα) +

(1− η)

θs(∇ · vs)− ηsρs

θs

∂As

∂Es Es +

ηSαtα : ∇vα

θα(I.29)

Λα = −ηSαρα

θαθα

∂Aα

∂θα+ εα

− ηsρs

θs

∂As

∂θsθs +∇θα η

αqα

(θα)2 +∇vα

θα: ηSα (Ipα + tα)

+η

[Swpw

θw+Sgpg

θg− ps

θs

]+Sw

[η

θwpw − η

θgpg − ηSwρw

θw

∂Aw

∂Sw+ηSgρg

θg

∂Ag

∂Sg− (1− η)

θsρs ∂A

s

∂Sw

]+

(1− η)

θs∇vs :

−ρs (GRAD F s) · ∂A

s

∂Es · (GRAD F s)T + Ips + ts

(I.30)



donde la tasa de Es se obtine a partir de

DsEs

Dt= (GRAD F s) · ∇vs · (GRAD F s)T (I.31)

Para finalizar, reemplazando (I.30) en (I.3) se obtine

Λ = Λα = −∑

α

ηSαρα

θαθα

∂Aα

∂θα+ εα

− ηsρs

θs

∂As

∂θsθs +

∑α 6=s

∇vα

θα: ηSα (Ipα + tα)

+ η

[Swpw

θw+Sgpg

θg− ps

θs

]+

∑α

∇θα ηαqα

(θα)2

+ Sw

[η

θwpw − η

θgpg − ηSwρw

θw

∂Aw

∂Sw+ηSgρg

θg

∂Ag

∂Sg− (1− η)

θsρs ∂A

s

∂Sw

]+

(1− η)

θs∇vs :

−ρs (GRAD F s) · ∂A

s

∂Es · (GRAD F s)T + Ips + ts

≥ 0 (I.32)

Analizando la expresion (I.32) se observa que los terminos encerrados en llaves, ,son multiplicados por θα y ∇vα los cuales no corresponden a variables independientes ypor lo tanto dichos terminos deben ser nulos para que la desigualdad permanezca validapara todos los estados termodinamicos posibles.

De esta manera se obtienen las siguientes relaciones:

εα = −∂Aα

∂θα(I.33)

tα = −pαI (I.34)

ts = tse − psI (I.35)

donde tse = ρs (GRAD F s) · ∂As/∂Es · (GRAD F s)T es el tensor de tensiones efectivo de

la fase solida en escala macroscopica.


Javier Luis Mroginski - Facultad de...

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