EstadisticaAlumno:

Jesbiangner J. Acosta M.C.I: 27.685.205

Seccion MV

Medidas de tendencia central

• Al describir grupos de diferentes observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición. En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas.

• Se debe tener en cuenta que existen variables cualitativas y variables cuantitativas, por lo que las medidas de posición o medidas de tendencia se usan de acuerdo al tipo de variable que se está observando, en este caso se observan variables cuantitativas.

• Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba. En resumen, el propósito de las medidas de tendencia central es:

Importanca de medidas de tendencia central

• Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo. • Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en

relación con el puntaje central o típico. • Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma

persona en dos diferentes ocasiones. • Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por

dos o más grupos.

Tipos de promedios matematicos y estadistcos• Un promedio es un valor simple, el cual es considerado como el valor más

representativo o típico para un grupo de números. Obviamente, el valor más representativo para un grupo de números normalmente no es el valor más pequeño ni el más grande, sino es el número cuyo valor está en algún punto intermedio del grupo. Así un promedio es frecuentemente referido con una media de tendencia central.

• Un promedio es un valor simple, el cual es considerado como el valor más representativo o típico para un grupo de números. Obviamente, el valor más representativo para un grupo de números normalmente no es el valor más pequeño ni el más grande, sino es el número cuyo valor está en algún punto intermedio del grupo. Así un promedio es frecuentemente referido con una media de tendencia central.

• El promedio se emplea con frecuencia como mecanismo para resumir un conjunto de cantidades o números, sobre todo si es grande, a fin de descubrir los datos estadísticos.

• Los promedio más comunes conocidos en estadística son:• La media aritmética: La media aritmética, o simplemente la media, es el tipo

más comúnmente usado entre los cinco tipos de promedios. Los métodos para calcular la media para datos no agrupados y para datos agrupados. Las principales propiedades de la media aritmética son:

• Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.• Su valor es único para una serie de datos dada.• Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado

acompañarla de una medida de dispersión.

• Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:

• Dados los n números{x1, x2, ... , xn}, La media aritmética se define como:

• Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:• Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para

representar la media de una muestra ( ) Mientras que la letra µ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.

• En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por n : donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística el número de datos se da el resultado.

• Media aritmética ponderada: Es una medida de tendencia central, que es apropiada cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa respecto de los demás datos. Se obtiene multiplicando cada uno de los datos por su ponderación para luego sumarlos, obteniendo así una suma ponderada; después se divide esta entre la suma de los pesos, dando como resultado la media ponderada. A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.

• Para una serie de datos numéricos no vacía para una serie de datos numéricos no vacía:

• X = {x1, x2, ... , xn}A la que corresponden los pesos:• W = {w1, w2, w3, n … , wn}

• La media ponderada se calcula de la siguiente manera:

• Media armónica: La media armónica (designada usualmente mediante h) de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades. La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

• Así, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será igual a:

• La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto. La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

• Propiedades:• La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los

valores de la variable.• Siempre se puede pasar de una media armónica a una media aritmética

transformando adecuadamente los datos.• La media armónica siempre es menor o igual que la media aritmética, ya que

para cualquier número real positivo xi>0 :

• Medida geométrica: en matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.

Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es:• Mediana: En el ámbito de la estadística, la mediana (del latín mediānus 'del medio') representa

el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados. Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:

• Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos. • Datos sin agrupar

• Sean x1, x2, ... , xn los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como Me

• Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición (n+1)/2 Una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: Me = x(n+1)/2

• Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: x1=3, x2=6, x3=7, x4=8, x5=9 => El valor central es el tercero: x(5+1)/2 = x3=7. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (x1, x2) Y otros dos por encima de él (x4, x5)

• Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando n Es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones n/2 y n/2 + 1. Es decir:

Datos agrupados• Al tratar con datos agrupados, si coincide con el valor de una frecuencia acumulada,

el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

• Donde ni y ni–1 son las frecuencias absolutas acumuladas tales que , ai - 1 y

ai son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y Me = ai – 1 + p Es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que ai - ai –1 Es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

• Moda: En estadística, la moda es el valor con mayor frecuencia en una distribución de datos. Se hablará de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. En el caso de la distribución uniforme discreta, cuando todas los datos tienen la misma frecuencia, se puede definir las modas como indicado, pero estos valores son sin utilidad. Por eso algunos matemáticos califican esta distribución como «sin moda».

• El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal. La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:

• Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.

• Moda de datos agrupados: Para obtener la moda en datos agrupados se usa la siguiente fórmula: donde:

• L1 = l-interior de la clase modal

• D1 = Es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta premodal.

• D2 = Es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta postmodal.

• Ai = Amplitud del intervalo modal

Medidas de dispersion en series simples• Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los

valores de la distribución. Las medidas de dispersión son:• Rango o recorrido: El rango Es la media del mayor y menor valor, o la

tercera parte del camino entre el dato de menor valor y el dato de mayor valor. En consecuencia, el medio rango es:

• Ejemplo: Para una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor valor min=3 y el dato de mayor valor max=8. El medio rango resolviéndolo mediante la correspondiente fórmula sería:

• Varianza: La varianza es una medida estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central (media), es decir, es el cuadrado de las desviaciones.

• Desviación típica: La varianza a veces no se interpreta claramente, ya que se mide en unidades cuadráticas. Para evitar ese problema se define otra medida de dispersión, que es la desviación típica, o desviación estándar, que se halla como la raíz cuadrada positiva de la varianza. La desviación típica informa sobre la dispersión de los datos respecto al valor de la media; cuanto mayor sea su valor, más dispersos estarán los datos. Esta medida viene representada en la mayoría de los casos por S, dado que es su inicial de su nominación en inglés.

• Desviación típica muestral:

• Desviación típica poblacional:

Medidas de dispercion en datos agrupadosRango:<(Limite Real Superior de la ultima clase)> - <(Limte Real inferos de la primera Clase)>

• MatematicamenteRANGO = LRSmax – LRImin

Varianza: Calcular la varianza de la distribución:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

• La desviación típica: Es la raíz cuadrada de la varianza, es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación. La desviación típica se representa por σ.

•

Calcular la desviación típica de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

• Coeficiente de variación: El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.

• C.V = Σ σ = Σ

X

Medidas de posicion en series numericasCuartiles: Los cuartiles corresponden a los valores que tiene una variable y que cumplen con la función de dividir los datos ordenados en cuartos o cuatro partes con igual valor porcentual. Se distinguen en principio tres cuartiles, que se denotan regularmente con la letra Q: Q1, Q2 y Q3. Sin embargo hay que prestar atención también a las definiciones que la teoría estadística da a cada uno de estos cuartiles. En este sentido se tiene lo siguiente: • Q1: también llamado primer cuartil, representa un valor por debajo del cual quedan un cuarto

o 25% de los valores de sucesión, previamente ordenados• Q2: llamado segundo cuartil y considerado la mediana.• Q3: finalmente, el tercer cuartil representa a su vez el valor por debajo del que queda el 75%

de todos los datos.• Como calcular Cuartiles1.- Se deben ordenar los datos de forma sucesiva, y de mayor a menor.2.- Se deberá calcular el cuartil usando la fórmula siguiente: nk

100

• Deciles: los deciles conformados por ciertos valores que dividen la sucesión de datos que han sido ordenadas en diez partes, que son equitativas porcentualmente hablando. Ellos se denotan de la siguiente forma: D1, D2, D3….D9, aun cuando se leen “primer decil”, “cuarto decil”, etc. De acuerdo a las fuentes estadísticas son utilizados sobre todo para calcular el aprovechamiento académico.Los deciles pueden ser calculados en base a si los datos se encuentran no agrupados, o por el contrario sí lo están. De esta forma, se tendrían dos formas de calcularlos:

• Cálculo de deciles de datos no agrupados si se tiene una serie de números o datos, correspondientes a distintos valores X1, X2… xn, se deberán usar las siguientes fórmulas, según si el valor es un número par o impar. A continuación cada una de las ecuaciones a emplear de acuerdo al caso: 

• Si n (número que corresponde al número de datos) y es par se deberá emplear la siguiente fórmula:• An 10

Si por el contrario n es impar, entonces se deberá aplicar la fórmula que se expresa a continuación:A (n+1)

10 Es importante señalar que en todos los casos A corresponderá al decil que se desea calcular.

Percentiles: Tal Como con las otras medidas de posición, los percentiles pueden ser medidos en cuanto a si corresponden a datos no agrupados o agrupados, en cuyo caso se usarán procedimientos matemáticos distintos. A continuación una descripción de uno de ellos: • Percentiles de datos no agrupados

si se trata del cálculo de percentiles de datos no ordenados, se deberá tomar calcular en base a la siguiente fórmula: PX = nk

10

Conclusion• De las medidas de tendencia central estudiadas la media es la más utilizada, aunque en

ciertos casos la utilización de la mediana o de la moda es preferible.• La media en muy sensible a valores extremos, o sea, cuando se altera drásticamente el

valor de uno de los datos, la media varía considerablemente.• La mediana es preferible a la media cuando se está interesado en conocer el punto medio

de la distribución de los datos ya que es el valor que la divide en dos partes iguales.• La moda revela su utilidad, tanto en el estudio de datos cualitativos, como cuantitativos,

mientras que la media y la mediana son aplicables a datos cuantitativos.• La importancia de las medidas estudiadas está en dependencia del tipo de datos, de su

distribución y del objetivo que se tiene en la realización del estudio. A pesar de ser considerada la media como la medida más importante en la mayoría de los estudios de fenómenos o hechos, el conocimiento de las tres proporciona una mejor descripción de estos.

Bibliografia

Armando, soto negrin. Principios de estadística. Editorial panapo. 1999.Ernesto, rivas gonzález. Estadística general. Ediciones de la biblioteca. Caracas. 2000.