Universidad de Los Andes

Facultad de Humanidades y Educación

Escuela de Educación

Departamento de Medición y Evaluación

Cátedra: Álgebra I

Profesor: Francisco Rivero.

Br. Dugarte Jessica V –

18.209.101

Educación mención

Matemática.

Mérida, marzo de 2011.

Los objetivos de esta

unidad son:

Manejar los vectores

con soltura y operar con

ellos gráficamente y en

coordenadas.

Utilizar los vectores para

resolver problemas de

álgebra y geometría

analítica.

Utilizar los medios

tecnológicos para resolver

y comprobar soluciones en

problemas geométricos.

CONCEPTOS

• Vectores fijos y libres.

Equipolencia de vectores fijos.

• Vector de posición de un

punto del plano.

• Módulo de un vector.

Distancia entre dos puntos.

• Adición de vectores.

• Producto de un vector por

un número real.

• Problemas métricos. Punto

medio de un segmento.

• Vectores paralelos y

perpendiculares.

Construcción de vectores que verifiquen ciertas condiciones sobre su módulo,

dirección y sentido.

Obtención de las coordenadas de un vector como diferencia entre las

coordenadas del extremo menos las del origen.

Identificación de vectores fijos equipolentes.

Obtención de la expresión del módulo de un vector y aplicación al cálculo de la

distancia entre dos puntos.

Uso de las operaciones con vectores para obtener nuevos vectores,

representando gráficamente y calculando sus coordenadas.

Relación entre las coordenadas de un vector y otro perpendicular a él a partir de

sus coordenadas.

Determinación de las coordenadas del punto medio de un segmento, en función

de las coordenadas de los puntos extremo y origen.

Formulación, planteamiento y resolución de problemas.

Sesión 1:

Vectores fijos. Vector de posición de un punto del plano. Equipolencia

de vectores fijos. Vectores libres.

Comenzamos la

sesión planteando

una actividad de

introducción.

Dibujaremos en la

pizarra el trazado de

un circuito y

propondremos a los

estudiantes que

dibujen la

trayectoria que les

parece más

beneficiosa para

ganar la carrera.

A partir de esta idea

podemos definir los

vectores fijos,

indicando que se

representan mediante

una flecha que tienen

un punto inicial

(origen) y otro final

(extremo) de modo

que representan un

movimiento. Así el

vector representa el

movimiento desde el

punto A hasta el

punto B.

A B

Y estará

caracterizado por el

módulo: longitud,

la dirección: la

recta que define

y el sentido: en que

la recorre.Los estudiantes

conocerán tanto la

nomenclatura

asociada a los

vectores como la

notación y simbología

adecuada.

Sesión 2:

Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos.

Comenzamos la sesión resolviendo dudas y revisando y

corrigiendo las actividades propuestas el día anterior.

La parte central de la sesión la dedicaremos a deducir, mediante el

Teorema de Pitágoras, la fórmula de cálculo del módulo de un vector,

observaremos que entre las coordenadas del vector y el mismo se forma un

triángulo rectángulo.

Haremos ejemplos de este tipo si = (2, 2) 22822 22AB

Sesión 3:

Operaciones con Vectores

Comenzaremos con el producto de vectores por un número.

Definiremos también la suma de dos vectores indicando que

geométricamente significa hacer un movimiento, , y después el otro, , así

el resultado irá desde el origen del primer vector al extremo del segundo.

En general definiremos la resta de vectores coordenada a coordenada

de forma análoga a la suma, así, .

wv

v w

3,221,132,11,3wv

Sesión 4:

Aplicaciones

Dedicaremos el resto de la sesión a plantear y resolver problemas

relacionados con el punto medio de un segmento, puntos intermedios,

determinar cuándo tres o más puntos están alineados, etc.

También deduciremos gráficamente cuando dos vectores son

perpendiculares, como aplicación del teorema de Pitágoras y como

consecuencia de la resta de vectores.

Estableceremos la relación entre sus componentes de forma que si

Pondremos algún ejemplo con números y en el tiempo restante haremos

actividades del tipo de la hoja N 4 y propondremos, para casa actividades del

mismo tipo.

),( bav abv ,

HOJA N 4

1.- Dado el segmento de extremos P (4,3) y Q (2, 5) halla las coordenadas de su punto medio.

2.- El punto P (2, 3) es el punto medio del segmento AB, y conocemos A (1, 8). Halla B.

3.- Dado el segmento de extremos A (2, 5) y B (7, 9), halla las coordenadas de un punto P, tal

que

4.- Dado el segmento determinado los puntos P (6, 8) y R (x, y) sabemos que el punto Q (9, 2)

está situado a una distancia de P igual a las tres séptimas partes de la longitud del segmento

total, hallar las coordenadas de R.

5.- Se quiere construir un supermercado entre dos ciudades A y B. Lo ideal sería que estuviese a

la misma distancia de las dos ciudades para que ningún ciudadano se pudiera ofender y

asegurarse así, el favor de todos los vecinos. Si en un plano las coordenadas de las ciudades

son A (1, –2) y B (3, 7). ¿Podrías decir el punto exacto donde debe situarse el supermercado?

6.- Los puntos del plano A (1, 2), B (1, 5) y C (4, 2), ¿Forman un triángulo? ¿De qué tipo es?

7.- Los puntos A (– 1, –4), B (3, 1) y C (– 2, 5) son los vértices de un triángulo. Calcula su

perímetro y di de qué tipo es: equilátero, isósceles o escaleno. ¿Es rectángulo?

8.- Si M es el punto medio del segmento AB, y las coordenadas de B son (5, -2) ¿Cuáles

son las coordenadas de A?

ABAP2

5

2

5,3

Sesión 5:

Repaso

En atención a la diversidad en el aula propondré actividades de ampliación y

de refuerzo. Además esta sesión servirá de síntesis por lo que se revisarán

todos los contenidos tratados en la unidad.

En esta sesión trataremos todos los objetivos y contenidos. Además nos

servirá para organizar la sesión siguiente que se llevará a cabo en el aula de

informática del centro educativo.

Sesión 6:

CABRI/DERIVE

En esta sesión haremos uso de las tecnologías de la información y la comunicación

desarrollando una sesión interactiva en la que se refuercen y repasen los contenidos

tratados en la unidad.

Tendremos en cuenta la sesión de repaso para insistir en los contenidos en que

hayamos observado que los estudiantes tienen más dudas y profundizaremos en

aquellos que nos lo permitan. Para ello usaremos Internet visitando la página del

Proyecto Descartes, buscando el índice de unidades didácticas de secundaria y

haciendo clic en Vectores nos aparecerá un índice con diferentes actividades para

trabajar los conceptos de esta unidad.

Con el software geométrico Cabri-Geómetre haremos actividades del tipo de la hoja

N 5.

HOJA N 5

HOJA CABRI

1.- El módulo de es 5 y el de es 6 ¿Podemos saber sólo con esos datos cuál es el módulo de

+ ? Dibuja, si es posible, los vectores y de modo que:

El módulo de + sea igual a 11.

El módulo de + sea menor que 11.

El módulo de + sea mayor que 11.

2.- Dibuja el punto medio del segmento de extremos A (2, 5) y B (7, 9), utilizando dos formas

diferentes para la construcción.

3.- Dibuja un heptágono regular, nombra con letras mayúsculas sus vértices y observa los

vectores que determinan sus lados, ¿qué observas respecto a sus direcciones y módulos?

Haz lo mismo con un octógono y anota en tu cuaderno lo que has observado.

4.- Inventa dos vectores , y determina gráficamente los vectores + , 2 , – ,

3 + 5 y – 3 .

5.- Sitúa tres punto A, B y C cualesquiera,

¿Cómo puedes determinar el punto D para que al unirlos obtengas un paralelogramo ABCD?

Determina su perímetro.

Determina su área.

Marca los puntos medios de sus lados y únelos, ¿qué figura se obtiene?

Determina la relación entre los perímetros y áreas de los dos cuadriláteros obtenidos.

a b a b

a b

a

a

a b

b

b

a a ab b ba

a b b

EXÁMEN

1.- (4 puntos)Si es un representante del vector libre hallar las coordenadas

del punto A conocidas las de B (-1, -5).

2.- (4 puntos) Dados el vector , calcula el valor de x para que su módulo sea 5.

3.- (4 puntos) Dados los vectores , y , calcula:

2 -

3

+ 2

4.- (3 puntos) De qué tipo es el triángulo de vértices A (-4, 1), B (6, 3) y C (-2, -3).

5.- (4 punto) Dados los puntos A (3, 0), B (1, 4), C (-1, 3) y D (-1, -2), calcula la

diagonal del cuadrilátero formado por dichos puntos.

6.- (1 punto) Sean los puntos A, B, C ¿Cómo puedes saber si están alineados?

AB 2,3v

),4( xv

)4,3(a

)2,4(b

)0,1(c

b a

c

b2

3c

AC