La frontera entre lógica y teoría de conjuntos

JEsús Mosreml¡

Universidad de Barcelona

L La frontera se traza

Los fundadores de la lógica moderna -Frege, Peano y Russell- noestablecían ninguna distinción tajante entre lógica y teoría de conjuntos.Ambas formaban parte de la lógica. Sólo así se entiende la tesis del logi-cismo, sostenida por Frege y Russell a principios de siglo.

En sus primeros escritos, tampoco Quine distinguía de un modo claroentre lógica y teoría de conjuntos. Asl, en "New foundations for mathema-tical logic", de 1936, Quine se situaba en una perspectiva logicista, presen-taba explícitamente la relación conjuntista de elementalidad (e) como unade las tres nociones lógicas primitivas, y calificaba su peculiar teoría deconjuntos como lógica matemática. En el artlculo "Logic based on inclu-sion and abstraction", de L937, Quine no sólo indicaba cómo desarrollar lalógica a partir de dos únicas nociones primitivas típicamente conjuntistas(inclusión y abstracción), sino que explícitamente afirmaba que la teoriade conjuntos o clases es una de las tres partes en que se divide la lógica,siendo las otras dos la teoría de las funciones veritativas y la teoría de lacuantificación. En su libro Mathematical Logic, de 1940, Quine seguía pre-sentando la relación conjuntista de elementalidad como una nociónlógica, y el signo 'e' como un signo lógico primitivo. Además, seguía califi-cando de lógica matemática a su sistema entero de teoría deconjuntos.

Después de la Segunda Guerra Mundial el programa logicista fue

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abandonado. Al mismo tiempo, la teoría de conjuntos fue siendo conside-rada más y más como una teoría puramente matem ática y completamentedistinta de la lógica. Lógica (clásica) no habría más que una, y ésta no pos-tularía la existencia de conjunto alguno, mientras que teorías de conjuntoshay varias, y todas ellas afirman la existencia de muchisimosconjuntos.

Quine también siguió una evolución similar. En su libro de 1963, SetTheory and Its Logic, aparece ya la teoría de conjuntos en el título, y en suinterior se distingue perfectamente entre la teoría de las clases virtuales-que es mera lógica en disfraz- y la teoría de conjuntos, que se refiere aclases de verdad. Subraya además las profundas hendiduras (major cleava-ges/ que separan la lógica de la teoría de conjuntos. Y esta separaciónqueda especialmente enfatizada en su libro Philosophy of Logic, de 1970,donde Quine afirma explícitamente que la teoría de conjuntos no perte-nece a la lógica (pp. 64, 72 etc.).

En estos últimos escritos la frontera entre lógica y teoría de conjuntosqueda trazada así: La Lógica propiamente dicha se reduce a la lógicaconectiva (o teoría de las funciones veritativas) y a la lógica cuantificacio-nal de primer orden con identidad en la que no aparece el signo 'e' enserio, sino a lo sumo como abreviatura contextual de fórmulas en que noaparece -la llamada teoría de clases virtuales-, y en la que sólo se cuanti-fica sobre individuos, y no sobre clases o relaciones. La teoría de conjuntosempieza en cuanto usamos 'r' en serio o cuantificamos sobre clases.

En un sentido alavez nominalista y convencionalista, uno podría ele-gir restringir la lógica al estudio de las fórmulas en que no aparecen másconstantes que los conectores, los cuantificadores y el signo de identidad, yhablar de teoría de conjuntos en cuanto apareciese el signo 'e'de elementa-lidad o los términos {" lq (x) i de abstración de clases. Pero esa distinción,aparte de superficial, haría aguas rápidamente y no sería aceptable paraQuine, que, por ejemplo, incluye en la teoría de conjuntos la lógica desegundo orden, a pesar de que en sus fórmulas no aparece 'r' ni ' { | i ', yexcluye de la teoría de conjuntos la teoría virfual de clases, a pesar de queen ella sí aparecen esos signos.

Como Quine ha señalado en Sel Theory and lts Logic, muchas de lasnociones y tesis conjuntistas elementales, incluidas las del álgebra deBoole, ya están implícitamente en la lógica de 1.o orden. Basta con conside-rar, por ejemplo, que

La frontera entre lógica y teoría de con.iuntos

son, respectivamente, maneras de reescribir

Q (v) vx(0(x) -* 0(x)

en que no aparecen los signos conjuntistas 'e'_t' y 'i I l'.

Por otro lado, si disponemos de un lenguaje conjuntista con los signosde identidad y de abstracción de clases, pero sin cuantificadores, podemosdefinirlos del siguiente modo:

vx 0 (x) +---+ { * | O (x)* : {x I x : x i'

tx Q(x) *-* ix lO(x) l+{x lx+x }

Si realmente queremos cavar un foso entre la lógica y la teoria de con-juntos, necesitamos razones más profundas que las meramentenominalistas.

2. Razones algorltmicas para la frontera

[Qué razones hay para considerar que la relación de identidad perte-nece a la lógica, pero no así la relación binaria de elementi daü En philo-sophy of Logic Quine nos dice que una de esas razones estriba en que lateoría de la identidad es semánticamente completa. "IJn aspecto eh el quela teoría de la identidad parece más próxima a la lógica que a la matemá-tica es su completud. Disponemos de procedimientos completos de pruebano sólo para la teoría de la cuantificación, sino también para la teoría de lacuantificación y de la identidad juntas... Por el contrario, el teorema másfamoso de Gódel (1931) muestra que la teoría elemental de números noadmite un procedimiento completo de prueba" (p. 62).Más adelanteañade: "La teoria virtual de clases y relaclones es en verdad lógica, lógicapura en disfraz. Pero tan pronto como admitimos 'e' como un predicadogenuino y clases como valores de variables cuantificables, nos embarca-mos en una teoría matemática sustantiva. con esto estamos mucho másallá del alcance de los procedimientos completos de prueba...,, (p. 72).

Una teoría (formal) es un conjunto de teoremas, es decir, un conjuntode formulas cerradas de un cierto lenguaje formal. Se habla de la comple-tud de las teorías en dos sentidos. En un sentido fuerte o propio, una teoriaes completa (o sintácticamente completa, como a veces se dice) si y sólo si

2tl

y e{xlq1x¡ i o { * lo (*) }c{ * lo (x) }

2t2 JESUS MOSTERIN

para cualquier fórmula 0 de su lenguaje formal ocurre que Q es un teoremade la teoría o que la negación de Q, -tQ, es un teorema de la teoría. Dichode otra manera: una teoría completa en sentido fuerte es una teoría que darespuesta a cada pregunta formulable en su lenguaje. En un sentido débil,una teoría es completa (o, mejor dicho, posee un cálculo semánticamentecompleto) si y sólo se esa teoría es recursivamente numerable, es decir, si esel recorrido de una función computable de los números naturales, lo cual a

su vez equivale a decir que todas sus fórmulas son generables mediante la

aplicación repetida de las reglas de un cálculo deductivo' Ese cálculodeductivo constituye un procedimiento de prueba para los teoremasde esa teoría.

Una lógica puede caracteizarse de varias maneras equivalentes. Lamás frecuente consiste en identificar esa lógica con el conjunto de sus fór-mulas lógicamente válidas, que obviamente constituye una teoría. Unalógica es semánticamente completa si la correspondiente teoría lógica esgenerable mediante un cálculo.

Claramente la lógica no es completa en sentido fuerte en ninguna de

sus ramas o niveles. La teoría de la cuantificación no es sintácticamente

completa. Por ejemplo, ni Ex Px ni rEx Px son fórmulas lógicamente

válidas ni, por tanto, teoremas de la lógica de la cuantificación. Ni siquiera

la lógica conectiva es completa en ese sentido fuerte. Por ejemplo, ni un

parámetro proposicional aislado ni su negación son teoremas suyos. Sin

embargo, y como probó primero Gódel en 1930, la lógica de primer orden

es semánticamente completa, es decir, hay algoritmos o cálculos que per-

miten generar recursivamente todos sus teoremas, todas las fórmulas lógi-

camente válidas. O, al menos, eso es lo que ocurre si aceptamos la

existencia de conjuntos infinitos, como más adelante veremos.

La noción de completud semántica es una noción algorítmica. Un

cierto conjunto de fórmulas es completo en este sentido sí y sólo si existe

(al menos) un algoritmo para generarlo recursivamente. Otra noción algo-

rítmica aún más fuerte es la noción de decidibilidad. Un conjunto de fór-

mulas es decidible si y sólo si existe (al menos) un algoritmo para decidir

respecto a cada fórmula de su lenguaje si pertenece o no a ese

conjunto.Si metemos las diversas ramas y niveles de la -lógica, la teoría de con-

juntos y la matemática en general en el mismo saco, una manera clara y

comprensible de trazar fronteras dentro del sacci consistiría en establecer-las en las fisuras entre los diversos niveles algoritmicos. Así habría un nivelelemental de lo decidible, un nivel medio de lo no-decidible pero todavíasemánticamente completo y un nivel superior de lo incompleto. Alguna

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vez Quine ha pensado en esta dirección (From a Logical Point of View, p.96). Pero este enfoque no nos lleva a frazar una frontera entre la lógica y elresto de la matemática, sino más bien a frazar fronteras dentro de la lógicay de la matemática.

En el nivel elemental de lo decidible se situaría la lógica conectiva, lalógica pura de la identidad,la lógica cuantificacional de primer orden depredicados monádicos, la lógica cuantificacional de segundo orden de pre-dicados monádicos y diversas parcelas de la lógica de primer orden (defi-nibles por los tipos de prefijos en forma normal prenexa). Pero en estemismo nivel se encontrarían también teorías tan típicamente matemáticascbmo la teoría de grupos abelianos,la teoria de álgebras de Boole o la teo-ría de los cuerpos reales cerrados. Por tanto, el criterio de la decibilidad nosirve para separar la lógica de la matemática, sino, por el contrario, con-duce a juntar ciertas teorías lógicas y matemáticas en un mismo nivel, cla-ramente separado de otro nivel algorítmicamente menos dominable, peroen el que de nuevo se juntan teorías típicamente lógicas con otrasmatemáticas.

En los pasajes de Quine anteriormente citados parece insinuarse que lafrontera entre lógica y matemática podría estar en la completud semántica.La teoría de la identidad sería parte de la lógica, entre otras razones, porser semánticamente completa, mientras que la teoría de la elementalidad(e) no sería parte de la lógica, por ser incompleta, con la aritmética. A estopodría objetarse que la lógica de segundo orden y, en general, las lógicasde orden superior tampoco son semánticamente completas (al menos sisólo admitimos interpretaciones estándar, es decir, interpretaciones dondelas variables monádicas de segundo orden varían siempre sobre el con-junto de las partes del universo de la interpretación). La réplica de Quineconsistiría en decir que para él la lógica de segundo orden (y afoniorila deorden superior) no es lógica sino teoría de conjuntos, ya que las variablesde segundo orden varían sobre conjuntos. Otra objeción sería que muchasteorías típicamente matemáticas -todas las axiomatizables en primerorden- son también completas en sentido débil. Incluso algunas son com-pletas en sentido fuerte o sintáctico, como la teoría del orden lineal densosin extremos, según podemos comprobar por el test de Los -Vaught, quenos asegura que cualquier teoría /c- categórica para algrin cardinal infi-nito k y cuyos modelos sean todos inhnitos es completa (en sentido fuerte).

En definitiva, ni la decidibilidad ni la completud ni ningin otro criterioalgorítmico conocido conducen a trazar una frontera vertical tajante entrela lógica y la matemática, sino más bien se limitan a establecer diversasseparaciones horizontales dentro del continuo lógico-matemático.

214

3. El uso para razonar

rpsús ruosrenñ

Alguien podría pensar que la diferencia entre lógica y matemática no esde tipo algorítmico, sino pragmático. La lógica es el canon genérico delrazonamiento correcto, implícita o explícitamente usado en todas las cien-cias, incluidas las matemáticas, e incluso en el discurso extracientífico. Lamatemática, por el contrario, sería una disciplina científica especial, ocu-pada en el estudio de ciertos objetos o estructuras específicas.

Desde luego históricamente la lógica siempre ha pretendido ser unacodificación de las pautas del razonamiento correcto. Durante los dos milaños en que la silogística era la única forma bien conocida de lógica, sepretendía que todos los razonamientos correctos eran reducibles a susreglas. Pero eso no era cierto. Los razonamientos que empleaba Euklidesen sus Elemmtos no eran reducibles a la silogística. Hoy pretendemos queel canon del razonamiento deductivo correcto es la lógica de primer orden.Pero también eso hay que tomarlo cum granu sal¿s. De hecho en las diver-sas ciencias naturales y sociales se utilizan multitud de razonamientos detipo matemático, cuya lógica implícita es la matemática entera. Es decir, sepasa de una premisa a una conclusión utilizando como puente toda la arti-llería del cálculo infinitesimal y vectorial, de la teoría de la probabilidad,etc. Incluso dentro de la matemática y de las ciencias formales en generalcontinuamente se emplean razonamientos no reducibles a la lógica de pri-mer orden. Basta abrir un libro de análisis matemático, o de topología, ode geometría, o de teoría de la probabilidad, para darse cuenta de queconstantemente se está razonando sobre conjuntos y propiedades o rela-ciones. Este tipo de razonamientos son reducibles a la lógica de segundo ode tercer orden, pero no a la de primer orden. También son reducibles a lateoría de conjuntos. La lógica de orden superior y la teoría de conjuntosson equivalentes en sentido pragmático: ambas pueden servir como expli-cación o codificación de"las pautas de inferencia correcta que continua-mente se emplean en la ciencia, pero que van más allá de las posibilidadesofrecidas por la lógica de primer orden.

Si alguien pretendiese que la lógica se ocupe de codificar y estudiartodas las pautas de razonamiento correcto de uso universal en el discursocientífico, tendría que admitir que amplias porciones de la lógica desegundo orden o de la teoría de conjuntos son parte de la lógica. En cual-quier caso no se ve claro que el criterio del uso como canon del razona-miento correcto sirva para separar tajantemente la lógica de la teoría deconiuntos.

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4. I-ógica de segundo orden y teoria de conjuntos

En el lenguaje de la lógica de segundo orden tenemos todos los signosde la lógica de primer orden (constantes lógicas: conectores y cuantificado-res, parámetros relacionales e individuales, variables cuantificables deindiüduos) y, además, un nuevo tipo de signos: las variables cuantificablesde segundo orden, que varían sobre clases y relaciones.

Podemos identificar la lógica de segundo orden con el conjunto de lasfórmulas cerradas de ese lenguaje que son lógicamente válidas, es decir,satisfechas por todas las interpretaciones.

Sea I un lenguaje de segundo orden. Sea I una estructura homóloga odel mismo tipo de similaridad (es decir, que contenga el mismo número deindividuos distinguidos y de relaciones distinguidas, y del mismo númeroario, que jparámetroslindividuales ylrelacionalesihaya en Z). Una inrerprera-ción (estándar) de l, sobre la estructura A asigna individuos distinguidosde A a los parámetros individuales de I, relaciones n-arias distinguidas deA a los parámetros relacionales n-arios de I, individuos cualesquiera deluniverso de A a las variables individuales de -4 y subconjuntos cuales-quiera del universo de A a las variables monarias de segundo orden de L (ysubconjuntos del" a las n-arias, dondel es el universo de1. La satisfac-ción de una fórmula por una interpretación se define del modo habitual.

Ahora bien, una fórmula con variables cuantificadas de segundo ordenserá o no será satisfecha por una interpretación dada sobre una estructura,según que el conjunto de las partes del universo de la estructura contengamás o menos elementos, lo cual de inmediato nos precipita en una de lascuestiones más oscuras y profundas de la teoría de conjuntos: la cuestiónde entender lo que sea y cuántos elementos tenga el conjunto de las partesde un conjunto infinito dado. A primera vista parece que se trata de unacuestión que poco tiene que ver con la lógica, pero sin embargo la res-puesta que le demos determina la lógica de segundo orden quetengamos.

En general, que una fórmula de segundo orden sea satisfecha o nosobre una estructura dada depende no sólo de la formula y de la estructura,sino tarnbién del entorno conjuntista general, como ha subrayado IgnacioJané. Por eso, muchas de las dudas y vacilaciones que tengamos acerca deluniverso conjuntista (es decir, acerca de qué conjuntos haya o queramosaceptar que haya) se reflejarán en dudas y vacilaciones en la lógica desegundo orden.

Una de las dudas que a veces se han manifestado en teoría de conjun-tos se refiere a si aceptar o no el axioma de elección, que en su versión más

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fuerte afirma que existe una función que a cada conjunto no vacío leasigna un elemento suyo. El axioma ha sido objeto de polémica, porqueafirma la existencia de una función, sin dar ninguna pista acerca de cómodefinirla o encontrarla. La mayor parte de los matemáticos han acabadopor aceptarlo (más o menos a regañadientes), sobre todo por la gran canti-dad de consecuencias y principios equivalentes que se le han encontradoen diversas ramas de la matemática. Uno de los más famosos principiosequivalentes al axioma de elección es el teorema de buen orden, que diceque todo conjunto puede ser bien ordenado, conjeturado por Cantor en1883 y probado por Zermelo en 1904.

Un conjunto A está ordenado por una relación R si y sólo si (<, R ) esun orden lineal y, además, cada subconjunto no vacio de A tiene un R-mínimo elemento. Si todo conjunto puede ser bien ordenado, entonces eluniverso de cualquier estructura puede ser bien ordenado, es decir, existeuna relación que lo bien ordena. Pero eso es exactamente lo que dice lasizuiente fórmula cerrada de la lóeica de sezundo orden:

1IZ (vxyu (Zxy n Zyt -

Zxu) A vx';rzxx A Vxy (Zxy v Zyx:

V x: y) A vW (vxy (Wxy -> Zxy) A flxy Wxy

Eu vxy (Wxy V Wyx -

Wux V u : x)

Esta fórmula es lógicamente válida si y sólo si es satisfecha sobre todaslas estructuras, lo que ocurre si y sólo si todos los conjuntos pueden serbien ordenados, 1o que constituye el teorema del buen orden, equivalenteal axioma de elección. Por tanto Ia validez o no validez lógica de una fór-mula cerrada de la lógica pura de segundo orden depende de nuestra acep-tación o no aceptación de un principio conjuntista tan potente ycontrovertido como el axioma de elección.

Nuestra falta de claridad aceÍca del conjunto de las partes de un con-junto infinito se refleja en nuestras dudas a la hora de tomar posición antela hipótesis del continuo. La hipótesis especial del contínuo dice que nohay conjunto alguno de cardinalidad mayor que la del de los núrnerosnaturales y menor que la del de los reales, es decir, que no hay cardinalintermedio entre k¡ | : $" y lPol :'2f1.. La hipótesis generalizada del conti-nuo dice que, en general y para cualquier ordinal o, no hay un cardinalintermedio entre lJo y2N". 5. trata de cuestiones bastante alejadas de lasintuiciones lógicas normales. Todavía más alejada está la cuestión de siexisten o no cardinales inaccesibles (distintos de ro). Sin embargo existen

La frontera entre lógica y teoria de conjuntos 2r7

fórmulas cerradas 0, X, V (que no vamos a escribir aquí en detalle) dela lógica pura de segundo orden, tales que Q es lógicamente válida si y sólosi aceptamos la hipótesis especial del continuo, X es lógicamente válida si ysólo si vale la hipótesis generalizada del continuo, y V es lógicamenteválida si y sólo si existen cardinales inaccesibles.

En resumen, la lógica de segundo orden (y, en general, de orden supe-rior) depende para la determinación de sus nociones básicas, como la devalidez lógica, de los principios e hipótesis conjuntistas que admitamos. Siaceptemos hipótesis distintas, si admitimos universos conjuntistas diferen-tes, obtendremos también lógicas distintas de segundo orden. Según queaceptamos o no el axioma de elección, o la hipótesis del contínuo, o laexistencia de cardinales inaccesibles, obtendremos no sólo teorías de con-juntos diferentes, sino también diferentes lógicas (de segundo orden). Portanto, la separación entre lógica de segundo orden y la teoría de conjuntosno existe. Son los mismos perros con distintos collares, formalizacionesalternativas de las mismas intuiciones.

Quine estaria sin duda de acuerdo con la conclusión a la que hemosllegado, pues él ha enfatizado que la lógica de segundo orden no es másque teoría de conjuntos disfrazada de lógica. Pero esta mezcolanza y pro-miscuidad con los conjuntos sólo se daría -según Quine- en la lógica deorden superior. La lógica de primer orden, por el contrario, permaneceriaen espléndido aislamiento e independencia de la tumultuosa teoría de con-juntos. Pero esto es muy discutible.

5. lÁgica de primer orden y teoría de conjuntos

Lalógica de primer orden, identificada con el conjunto de las fórmulasválidas del lenguaje de primer orden con identidad, no es tan indepen-diente de nuestras ideas sobre los conjuntos como pudiera parecer a pri-mera vista.

En la semántica estándar de la lógica de primer orden no se admitenuniversos vacíos para las estructuras en función de las cuales se define lavalidez lógica. Por eso fórmulas como las siguientes son lógicamenteválidas:

8x(Px : Px)l lx x: xy¡p¡ --+ lixPx

,f l)

l r l

218 JESUS MOSTERIN

Si admitimos el conjunto vacío como universo, entonces hay másestructuras y, por tanto, hay menos fórmulas satisfechas en todas lasestructuras, menos fórmulas válidas. Por ejemplo, las formulas recién cita-das ya no son lógicamente válidas.

Este resultado es trivial y superficial. Si esto fuera todo, no habria razónseria para mezclar la lógica de primer orden con los conjuntos. Pero hayconsideraciones mucho más profundas que apuntan en la misma direc-ción, en especial las referentes al infinito, que constituye el tema funda-mental de la teoría de conjuntos.

A 1o largo de millones de años de evolución biológica, nuestros antepa-sados siempre han tenido que habérselas con conjuntos finitos de anima-les, de frutos, de piedras, etc. Por eso nuestras intuiciones conjuntistasclaras se limitan a los conjuntos finitos. Incluso en las ciencias naturales ysociales actuales todos los objetos empíricos estudiados constituyen con-juntos finitos. El infinito sólo se da en la matemática y allí donde la mate-mática proyecta su sombra. Por eso en la matemática no basta con nuestraintuición o, si se prefiere, nuestras intuiciones sobre los conjuntos finitospueden extrapolarse en diversas direcciones altratar de los infinitos. Pero,para empezar, l,existen los conjuntos infinitos? o iqueremos aceptar con-juntos infinitos? Hay muchas razones técnicas para aceptarlos. Si no admi-tiésemos los conjuntos infinitos, no podríamos construir un edificio teóricotan simple, diáfano y potente como la matemática clásica.

iQué tiene todo esto que ver con la lógica de primer orden? Tienemucho que ver, pues segrin que aceptamos o no la existencia de conjuntosinfinitos, obtendremos lógicas de primer orden distintas. En efecto, asícomo el axioma de elección de la teoría de conjuntos era equivalente a lavalidez lógica de ciertas fórmulas de segundo orden, así también la nega-ción del axioma de infinitud de la teoría de conjuntos equivale alavalidezlógica de ciertas fórmulas de primer orden. Y aunque la cuestión delaxioma de elección es irrelevante para la lógica de primer orden, es decir,para la extensión de la noción de validez lógica de primer orden, la cues-tión del axioma de infinitud, por el contrario, es de aguda relevancia.

Si aceptamos el axioma de infinitud, es decir, si hay conjuntos infinitos,entonces habrá estructuras con universos infinitos y sólo serán lógica-mente válidas las fórmulas satisfechas también en esas estructuras. Sirechazamos el axioma de infinitud, es decir, si no hay conjuntos infinitos,entonces todas las estructuras tendrán universos finitos, y todas las fórmu-las satisfechas por todas y solas las estructuras finitas seránlógicamente válidas.

Si hay conjuntos infinitos, entonces algunos órdenes lineales tienen un

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La f¡onte¡a entre lógica y teoría de conjuntos 219

máximo y otros no lo tienen. Por lo tanto, la siguiente fórmula (que diceque si lR es un orden lineal, entonces tiene un máximo) es satisfecha enciertas estructuras y no es satisfecha en otras, por lo que no eslóeicamente válida:

Vxyz (Rxy A Ryz .--+ Rxp) A Vx rRxx A'Vxy (Rxy V Ryx V x: y)+ Ew Vx (Rxw V x: w)

Sin embargo, si no hay conjuntos infinitos, entonces todo orden linealposee un máximo y la fórmula precedente es satisfecha en todas las estruc-turas y es, por tanto, lógicamente válida.

Consideremos ahora la fórmula siguiente (que dice que si R es unorden lineal, entonces ese orden no es,denso):

Vxyz (Rxy A Ryz ----+ Rxz) A Vx 'rRxx A Vxy (Rxy V Ryx V x: y)--+ Exy (Rxy A x + y A I EIz (Rxz A Rzy))

Esta fórmula es lógicamente válida sólo si hay conjuntos finitos, puessegún orden lineal denso es finito, pero no es lógicamente válida si haytambién conjuntos infinitos, pues algunos órdenes lineales infinitosson densos.

Algo similar ocurre con la siguiente fórmula (que dice que si R es unorden lineal y S es un suborden no vacío de R, entonces S tiene un mínimoelemento):

vxyz (Rxy A Ryz -> Rxz) ¡ y¡ rRxx A $y (Rxy v Ryx V x: y)---+ (Vx y (Sry + Rxy) A Exy Sxy ---+ EV Vx y (Sxy v Syx * Szx V z : x))

La validez lógica de esta fórmula equivale ala aftrmación de que todosuborden de un orden lineal tiene un mínimo elemento, es decir, que todoorden lineal es un buen orden. Todo orden lineal frnito es un buen orden.Por tanto, si sólo hay conjuntos finitos, cualquier interpretación sobrecualquier estructura satisfará esta fórmula, que será, pues, lógicamenteválida. Pero si hay conjuntos infinitos, habrá estructuras (órdenes linealesque +o son buenos órdenes) en que no será satisfecha, por lo que no serálógicamente válida.

Hay fórmulas de primer orden que sólo son satisfacibles sobre univer-sos infinitos, por ejemplo las siguientes:

221220 JESÚS MOSTERÍN

9x Ey Rxy A Vxy (Rxy + 1 Ryx) n vxyz (Rxy A Ryz --> Rxz)Ey vr f(x) + y A vxy (f(x) : f(y)- x : y)

Las negaciones de estas fórmulas serán lógicamente válidas si todos losconjuntos son finitos, pero inválidas en caso contrario.

La validez lógica de primer orden está bien determinada, tanto si acep-tamos como si rechazamos el axioma de infinitud. Pero se trata en cadacaso de una validez lógica distinta. El conjunto de las fórmulas lógica-mente válidas de primer orden será mayor si rechazamos el axioma deinfinitud que si lo aceptamos. En efecto, al haber menos conjuntos (sólolos finitos), habrá más fórmulas satisfechas por todas las estructuras. Si nohay conjuntos infinitos, todas las fórmulas que nonnalmente considera-mos lógicamente válidas siguen siendo válidas, pero a ellas se añadenotras muchas que antes no pensábamos que lo fueran, de las cuales sonejemplos las que acabamos de exponer.

Lo que nos interesa retener de estas consideraciones es que también lalógica de primer orden que tengamos depende del universo conjuntistaque admitamos y, en especial, de que aceptemos o no la existencia de con-juntos infinitos. Ya en la polémica sobre el logicismo el axioma de infini-tud jugó un papel central. La polémica se saldó con un cierto consensosobre que el axioma de infinitud pertenecía a la teoria de conjuntos y notenía nada que ver con la lógica. Pero esa conclusión fue precipitada, comoacabamos de ver. Lo coloquemos donde lo coloquemos, el axioma de infi-nitud, o, si se prefiere, la cuestión de si hay o no hay conjuntos infinitos,tiene mucho que ver con la lógica, hasta el punto de determinarla de unmodo o de otro distinto.

Normalmente se dice que la lógica de primer orden es semánticamentecompleta, en el sentido de que es recursivamente numerable o de que todassus fórmulas válidas son generables mediante un cálculo deductivo. Perotodas las pruebas que se han dado de tal completud se basan en la cons-trucción de ciertos conjuntos infinitos, por ejemplo de términos (como enla prueba de Henkin), pruebas que pierden toda su validez si no acepta-mos los conjuntos infinitos. Es más: al eliminar todos conjuntos infinitos,reducimos tan drásticamente el conjunto de las estructuras, que el númerode las fórmulas lógicamente válidas crece muchísimo; además, su comple-jidad aumenta tanto que incluso deja de ser recursivamente numerable,como probó Trachtenbrot en 1950. Por tanto la lógica de primer orden sóloes semánticamente completa en la medida en que existan conjuntos infi-nitos.

Algo comparable, pero a la inversa, ocurre con la lógica de segundo

La frontera entre lógica y teoría de conjuntos

orden. Allí, si incrementamos el número de estructuras, al admitir, ademásde las estándar (donde cada universo siempre va acompañado de su con-junto de las partes), las llamadas por Henkin estructuras generales (en quecada universo puede ir acompañado de cualquier subconjunto del con-junto de sus partes, como ámbito de variabilidad de las variabres desegundo orden), entonces ocurre que hay muchas más estructuras queantes, por lo que el número de las fórmulas de segundo orden satisfechasen todas ellas se reduce considerablemente; además, se hace tanto menoscomplejo, que incluso pasa a ser recursivamente numerable.

6. A modo de conclusión

Todo cuanto hemos venido diciendo hasta aquí se mueve dentro delmarco de la lógica clásica y de la matemática clásica, que son la únicalógica y matemática que realmente se emplean en la ciencia. Pero dentrode este universo de ideas no hemos encontrado ningún criterio interesantepara separar de un modo tajante la lógica de la teoría de conjuntos. Locual no significa que no se puedan trazar fronteras dentro de ese totumrevolutum, distinguiendo así diversos niveles de complejidad o potencia,pero esa separación de niveles no corresponde a la separación entre lógicay teoría de conjuntos.

Desde un punto de vista algorítmico, podemos dintinguir el nivel deci-dible del meramente completo (en sentido débil) y del incompleto.

Desde un punto de vista ontológico-cardinal, podemos dintinguir lalógica-teoría de conjuntos de lo finito frente a la que acepta lo infinito.

Desde el punto de vista de las aplicaciones, podemos dintinguir, porejemplo, la lógica-teoría de conjuntos necesana para formalizar la gramá-tica generativa de la necesaria para codificar la teoría de la probabilidad, ola adecuada para analizar la mecánica clásica de la apropiada para lamecánica cuántica.

Todos estos cortes son interesantes, pero en ninguno de ellos se apreciaque la lógica entera quede a un lado del corte, y la teoría de conjuntosentera, al otro. Más bien se aprecia por abajo una zona más o menos tri-vial, donde nuestras intuiciones son claras y nuestros métodos algorítmicostriunfantes, prolongada hacia arriba por otras zonas en que nuestra intui-ción se siente cada vez menos segura y nuestros algoritmos comienzan adesfallecer. Nuestro particular sentido de la estética abstracta, por un lado,y las obvias consideraciones pragmáticas por otro, nos dictarán hasta qué

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223222 JESÚS MOSTERÍN

punto queramos recorrer las sendas de ese camino que, conforme asciende,se bifurca y se enrarece.

Quine nos ha enseñado a desconf,rar de las dicotomías aparentementeclaras y a considerar que el blanco no está separado del negro por unafrontera tajante, sino por un continuo de grises de diverso tono. euizásesta misma actitud sea aplicable a la dicotomia entre lógica y teoría deconjuntos. Yo no llegaria a tanto como a afirmar que tal dicotomía esinsostenible. Pero las razones para sostenerla que se me han presentadohasta ahora me han resultado bastante poco conüncentes.

La f¡ontera entre lógica y teoría de conjuntos

Respuesta a Mosterín

Ya en 1940, en Mathemaücal Logic (págs.127-128) y de nuevo en 1941,en Elemmtary Logic (pág. 3), sugerí que sería razonable excluir a la teoríade clases del capítulo de la lógica. A pesar de mi sugerencia, continué yocon todo usando la terminología establecida por mis mentores Whitehead,Russell, Carnap, Frege, Tarski, Gódel. Me rebelé más tarde. En 1950, porfrn, en Methods of Logic,la teoría de conjuntos se halla excluida de la lógicay tocada solamente bajo el título "Perspectivas ulteriores".

Es obüo, como dijo el Sr. Mosterín, que la completud no sirve paradefinir la frontera entre lógica y la teoría de conjuntos; ni dije yo nunca locontrario. Definí esa frontera simple por enumeración del contenido: fun-ciones veritativas y cuantificación de este lado, epsilón de aquel otro.Entonces, habiendo trazado así la frontera, subrayo su importancia indi-cando ciertos contrastes. Uno será el contraste ontológico, en el sentido devalores de variables. Otro contraste es que la lógica es completa y la teoríade conjuntos no.

Claro que sigue habiendo afinidades importantes entre la lógica y lasotras partes de la matemática. Mosterín señala los esquemas lógicos ele-mentales llamados axiomas de infinitud, que reflejan de hecho un interéscompartido por la lógica y la teoría de conjuntos. Con todo, la validezlógica en mi sentido deja abierta la cuestión de la infinitud. Si postulamosun universo finito, la multitud de esquemas válidos crece, como dijo Mos-terín, hasta no permitir un sistema completo.