JOB 17138 CÁLCULO FINANCIERO · 2016-07-31 · INtERés sIMPLE E INtERés COMPUEstO sesión N.º 1...

PROESAD

CPCC Santos Alberto Farfán Peña

CÁLCULO FINANCIERO

Título : CÁLCULO FINANCIEROAutor: CPCC Santos Alberto Farfán Peña

Diseño interior: Ander Sánchez AguinagaDiseño de tapa: Edward Alarcón Rojas

El contenido de esta publicación (texto, imágenes y diseño), no podrá reproducirse total ni parcialmente por ningún me-dio mecánico, fotográfico, electrónico (escáner y/o fotoco-pia) sin la autorización escrita del autor.

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La Universidad Peruana Unión es una institución que viene desarrollando una serie de acciones, con el propósito de alcanzar altos niveles en la gestión educativa en las diversas carreras que ofrece.

Dentro de este contexto, el módulo de Cálculo Financiero brinda un conjunto de co-nocimientos teórico – prácticos en materia de calcular el valor del dinero en términos del tiempo, que les permitan a los estudiantes utilizar una serie de procedimientos para gestionar eficientemente los productos que el mercado de dinero y valores ofrece a las empresas.

El módulo de Cálculo Financiero ha sido diseñado bajo la modalidad de 3 grandes unidades y 15 sesiones de aprendizaje. En cada unidad, se hallará el resultado de aprendizaje que debe desarrollar el estudiante; el tema tratado, el cual será debida-mente explicado. Por último, se encontrará un sistema de autoevaluación en donde el estudiante plasme lo aprendido.

El módulo es eminentemente práctico y tiene como objetivo fundamental explicar y aplicar, adecuadamente, los diversos procedimientos y cálculos del valor del dinero en las empresas. En primer lugar, se inicia con una reseña de la importancia de lo que el mercado de dinero ofrece, en el Perú, para apoyar el desarrollo de las em-presas. Por último, se concluye con casos de estudio que apuntalan la parte teórica.

CPCC santos Alberto Farfán Peña

Presentación

ÍNdICE

13

39

UNIDAD I INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

sEsIóN N.º 1: CONCEPtOs bÁsICOs .................................................................................. 151.1. LOS OBJETIvOS FINANCIEROS DE UNA EMPRESA ....................................................... 151.2. EL SISTEMA DE MERCADO ............................................................................................ 151.3. PROPIETARIOS y ADMINISTRADORES ......................................................................... 161.4. EL PAPEL DE LAS FINANzAS ......................................................................................... 17ACTIvIDADES .......................................................................................................................... 17

sEsIóN N.º 2: ¿CóMO vARÍA EL vALOR dEL dINERO EN EL tIEMPO y CóMO sE OPERA CON UNA tAsA dE INtERés sIMPLE? ................................................................................ 19

2.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 192.2. REgLA DE INTERÉS ........................................................................................................ 192.3. CLASES DE INTERÉS ...................................................................................................... 202.4. EL INTERÉS SIMPLE ........................................................................................................ 202.5. CARACTERíSTICAS ......................................................................................................... 202.6. CáLCULO A PARTIR DEL INTERÉS SIMPLE ................................................................... 212.7. EL MONTO ....................................................................................................................... 21ACTIvIDADES .......................................................................................................................... 22

sEsIóN N.º 3: ¿CóMO sE OPERA CON UNA tAsA dE INtERés COMPUEstA? ................... 233.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 233.2. CARACTERíSTICAS.......................................................................................................... 233.3. ELEMENTOS .................................................................................................................... 233.4. CAPITALIzACIÓN ANUAL ............................................................................................... 243.5. CASOS ESPECIALES ........................................................................................................ 263.6. TASA NOMINAL, TASA EFECTIvA y TASA EqUIvALENTE .......................................... 27ACTIvIDADES .......................................................................................................................... 30

sEsIóN N.° 4: ¿CóMO CALCULAR EL dEsCUENtO bANCARIO y COMERCIAL? .................. 314.1. EL DESCUENTO ................................................................................................................ 31ACTIvIDADES .......................................................................................................................... 35AUTOEvALUACIÓN ................................................................................................................ 36

UNIDAD IIANUALIDADES

sEsIóN N.º 5: ¿CóMO CALCULAR EL NúMERO y EL vALOR dE LA CUOtA EN UN PLAN dE FINANCIAMIENtO O ACUMULACIóN dE CAPItAL?............................................................ 41

5.1. CLASES ............................................................................................................................. 415.2. MONTO DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA ................................................................. 42

5.3. CáLCULO DE RENTA DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA ............................................. 425.4. CáLCULO DEL PLAzO (N) .............................................................................................. 435.5. CáLCULO DE LA TASA DE INTERÉS ............................................................................... 43ACTIvIDADES .......................................................................................................................... 44

sEsIóN N.º 6: ANUALIdAdEs ANtICIPAdAs ..................................................................... 456.1. ANUALIDADES ANTICIPADAS ........................................................................................ 456.2. CALENDARIO DE PAgOS, CUADRO DE AMORTIzACIÓN y TABLA DE ACUMULACIÓN ...... 46ACTIvIDADES .......................................................................................................................... 49

sEsIóN N.º 7: ANUALIdAdEs PERPEtUAs O INdEFINIdAs ............................................... 517.1. NRENTAS PERPETUAS ..................................................................................................... 517.2. ¿CÓMO CALCULAR TASAS, vALOR ACTUAL y vALOR FINAL? .................................. 52ACTIvIDADES .......................................................................................................................... 54

sEsIóN N.° 8: ANUALIdAdEs dIFERIdAs .......................................................................... 558.1. ANUALIDADES DIFERIDAS ............................................................................................. 55ACTIvIDADES .......................................................................................................................... 57

sEsIóN N.° 9: bONOs y ACCIONEs .................................................................................... 599.1. BONOS .............................................................................................................................. 599.2. ACCIONES ........................................................................................................................ 59ACTIvIDADES .......................................................................................................................... 61AUTOEvALUACIÓN ................................................................................................................ 62

sEsIóN N.º 10: dEPRECIACIóN y AMORtIZACIONEs ........................................................ 6510.1. ¿CÓMO CALCULAR LA CUOTA DE DEPRECIACIÓN? ................................................... 6710.2. MÉTODOS ...................................................................................................................... 67ACTIvIDADES .......................................................................................................................... 69

sEsIóN N.º 11: dEPRECIACIONEs bAsAdO EN EL UsO ...................................................... 7111.1. ¿CÓMO CALCULAR LAS CUOTAS DE DEPRECIACIÓN? ............................................... 7111.2. MÉTODOS DE ACUERDO AL USO (USO) ..................................................................... 71ACTIvIDADES .......................................................................................................................... 73AUTOEvALUACIÓN ............................................................................................................... 74

bIbLIOGRAFÍA ................................................................................................................... 76

La asignatura de Cálculo Financiero pertenece al área operativa de las finanzas. Brinda un conjunto de fórmulas y procedimientos, con el objetivo de ser una herramienta útil y ágil que permita conocer con exactitud el valor del dinero en términos del tiempo.

Esta asignatura es eminentemente teórico-práctica. En primer lu-gar, se analiza la importancia del cálculo financiero en el mundo de los negocios. Continúa con el estudio de los intereses simple y compuesto. Luego, se estudian las anualidades en todas sus va-riedades. Por último, se concluye con las depreciaciones y amor-tizaciones.

Al término de la asignatura, el estudiante calcula cualquier ope-ración financiera en el mercado de dinero y mercado de valores, dando un costo real al dinero.

sUMILLA

COMPEtENCIA

INtERés sIMPLE E INtERés COMPUEstO

sesión N.º 1 Conceptos básicos

sesión N.º 2 ¿Cómo varía el valor del dinero en el tiempo y cómo se opera con una tasa de interés simple?

sesión N.º 3 ¿Cómo se opera con una tasa de interés com-puesta?

sesión N.º 4 ¿Cómo calcular en descuento bancario y comercial?

UNIdAd I

REsULtAdO dE LA UNIdAd dE APRENdIZAJE

Al término de la unidad, el estudiante explica y calcula la importancia del cálculo financiero en el mundo de los negocios, señalando el costo del di-nero de manera simple y compuesta.

15 Cálculo Financiero

Y llamando a diez siervos suyos, les dio diez minas, y les dijo: Ne-gociad hasta que yo venga. Lucas 19.13

Conceptos básicos

sesión1

¿CUÁL Es LA FUNCIóN FINANCIERA?

1.1 LOs ObJEtIvOs FINANCIEROs dE UNA EMPREsA

El principal objetivo financiero de una empresa es incrementar al máximo la riqueza de sus propietarios. Esto significa incrementar al máximo las utilidades, con excepción de que medir la riqueza toma en cuenta la oportunidad de las utilidades. En consecuencia, las com-pañías tratan de obtener utilidades y evitar las pérdidas. El estado de pérdidas y ganancias refleja el éxito o el fracaso al respecto.

¿Por qué es posible obtener utilidades por encima de una tasa normal de interés sobre el capital invertido? En esencia, por ignorancia. Si los que negocian en los mercados (tanto compradores como vendedores) supieran todo, los precios de los productos reflejarían por completo las variaciones de los consumidores. Esta visión de arbitraje de las utilidades realza el contenido informativo de las señales de los precios en el mercado (de ahí la des-tructividad de los controles de precios: distorsionan las señales).

Para alcanzar el éxito, a largo plazo, las empresas tienen que sobrevivir en el corto plazo. Entre otras cosas, esto significa pagar las facturas cuando estas se vencen. Los administra-dores financieros tienen que llevar a cabo los arreglos para contar con dinero en efectivo disponible en el momento adecuado. El balance general contiene los detalles del activo y el pasivo circulante (a corto plazo).

El cálculo financiero, o matemática financiera, o matemática para negocios, como la ma-temática que contempla el valor del dinero en términos del tiempo, es una herramienta financiera fundamental para la solución de los problemas financieros que se presentan cada día en el mundo de los negocios, las empresas, al conocer el costo del dinero tomado en préstamo, tienen un punto de comparación para la toma de decisiones más adecuadas y acertadas posibles.

1.2 EL sIstEMA dE MERCAdO

Las compañías se proponen obtener utilidades satisfaciendo a los clientes. Es un error con-siderar a los administradores y trabajadores como las dos caras de la industria o el comercio. La verdadera distinción está entre los consumidores, por un lado, y, por el otro, los produc-tores: propietarios, administradores y trabajadores (los consumidores reciben con agrado la competencia de productores extranjeros, lo que los productores nacionales deploran).

16Unidad I

U n i v e r s i d a d P e r u a n a U n i ó n

El sistema de mercado no es un juego de suma cero. Si el vendedor gana una utilidad, no hay razón por la que el comprador pierda, de alguna manera, hasta el mismo punto. En los mercados competitivos normales, tanto el comprador como el vendedor, esperan ganar en los intercambios mercantiles voluntarios. Esto se debe a que difieren en sus valoraciones subjetivas de los bienes o servicios intercambiados. Cuanto más elevada sea la cantidad total de ganancias, tanto más personas gozarán de una mejor situación económica, como resultado de las transacciones mercantiles. Es por ello que, como regla general, las utilida-des son buenas.

Los consumidores no pagan más de lo que creen que valen, —para ellos—, los bienes o servicios. Esto coloca un tope sobre los costos totales de los productores. También les proporciona un incentivo para descubrir cuántos bienes o servicios tienen valor para los consumidores y encontrar maneras de agregar más valor. Fabricar una ratonera mejor o más barata constituye un mejor comienzo, pero los consumidores tienen que enterarse de ello. De ahí que la publicidad forme parte esencial del sistema de mercado, ya que divulga el conocimiento acerca de los nuevos productos.

La economía del mercado no es estática; es un proceso dinámico, que siempre tiene que adaptarse a las condiciones cambiantes. Es posible que el mercado tienda hacia el equili-brio, pero nunca lo alcanza. Continuamente surgen nuevas características que lo perturban. Lo que se denomina “el vendaval de la destrucción creativa” significa la competencia a largo plazo de nuevas mercancías, tecnologías, fuentes de abastecimiento o formas nove-dosas de organización. Es posible que estos desafíos básicos a los productos y las maneras de hacer negocios impongan un costo decisivo o ventaja cualitativa. Si es así, son capaces de atacar los mismísimos cimientos de las utilidades y la productividad de las empresas.

Hay tres tipos principales de mercados en la economía: los financieros, de los productos, tanto industriales como al menudeo, y los de trabajo. Estos tienen que ver con el dinero, los bienes y las personas, respectivamente. Cada uno reviste importancia vital y, desde luego, los mercados se entrelazan de muchas maneras.

1.3 PROPIEtARIOs y AdMINIstRAdOREs

Los directores de las 100 compañías más grandes del Reino Unido poseen, en conjunto, me-nos de la décima parte del uno por ciento de las acciones de capital de sus empresas. Con muy pocas excepciones, son administradores profesionales, no propietarios. Esto da origen a los problemas de agencia. ¿Cómo pueden los propietarios supervisar las actividades de sus agencias (los administradores) e inducirlos a actuar en el interés de los propietarios?

Los administradores profesionales hacen carrera según su historial de éxito en los negocios. Para el propietario siempre hay la opción de despedir a los administradores que fracasan y de contratar a otros que confían en que se desempeñarán mejor. La función más impor-tante de los estados financieros anuales de la compañía, dictaminados por contadores públicos independientes, es registrar la responsabilidad administrativa de los directivos.

Se ha puesto de moda renumerar, en parte, a los administradores a través de esquemas de opción de acciones o gratificaciones (bonos) relacionados con las utilidades. Pero muchos de estos esquemas de opción de compra de acciones solo representan métodos para pagar sumas mayores a los altos ejecutivos, quienes ya se encuentran fuertemente comprome-tidos con el éxito de sus compañías. Además, es posible que los programas de gratificacio-nes, vinculadas con las utilidades declaradas, hayan alentado la práctica de la contabilidad “creativa” (deshonesta).


Facultad de Ciencias Empresariales

En contraste, los propietarios/administradores de las empresas pequeñas no padecen tales conflictos potenciales de interés. En cambio, no siempre se fijan el objetivo de incrementar al máximo las utilidades de las compañías. Por ejemplo, tal vez sea el caso que el propieta-rio/administrador de una tienda pequeña prefiera cerrar temprano y no abrir los sábados, para disfrutar de más tiempo libre. Como propietario único tiene todo el derecho a hacerlo si cree que con esto se incrementará al máximo su satisfacción psíquica, pero difícilmente complacería a los propietarios de una compañía grande si los administradores, de manera deliberada, no cumplen su propósito de incrementar al máximo las utilidades para disfrutar de más tiempo libre. Un mercado competitivo sustituiría (tarde o temprano) a estos ad-ministradores por otros que se esforzarían por servir a los propietarios al incrementar al máximo su riqueza.

La mayoría de las sociedades anónimas son privadas, o sea, sin participación en la Bolsa de valores. Tal vez sean demasiado pequeñas o demasiado nuevas para cumplir con los crite-rios mínimos para negociar sus acciones en la Bolsa de valores. Es posible que no necesiten tener más capital social. O quizá sus principales accionistas no deseen realizar parte de su capital al vender sus acciones. Los propietarios/administradores prefieren permanecer como sociedades privadas, retener el control y evitar el riesgo de ser absorbidos en una fusión. quizá no les agrade las presiones que implica cotizar en la bolsa de valores, tanto por los reglamentos del mercado bursátil como por las exigencias de los inversionistas de lograr un crecimiento regular en las ganancias y dividendos.

1.4 EL PAPEL dE LAs FINANZAs

El papel de las finanzas en la empresa ha variado a lo largo del tiempo.

◊ Al principio los administradores financieros se responsabilizaban de la obtención de fondos.

◊ Luego de la oleada de catástrofes financieras que siguieron a la grave crisis de los años 1929-33, la preocupación financiera fue la estructura del capital.

◊ A comienzos de la década del 50, el énfasis varió para concentrar la atención en el flujo de fondos y en la administración interna de la empresa.

◊ A inicios de la década del 60, el alcance del ámbito financiero se extendió a las políticas y a las decisiones que afectan el valor de la empresa.

◊ A principios de 1966 la economía se vio afectada por la inflación, los mercados de capi-tales escasos y el alto costo de los fondos. El uso eficaz de fondos escasos y caros cobró mayor importancia.

La valuación de una empresa se determina por dos factores: (1) corriente esperada de in-gresos futuros y (2) el riesgo que los ingresos esperados difieran de los ingresos reales. La magnitud y el grado de riesgo se ven influidos a la vez por factores tales como la mezcla comercial de los productos de la empresa, el tamaño de la empresa, su ritmo de crecimien-to, el tipo de activos en el cual se invierte, la posición de liquidez de la empresa y el grado en que se usa el crédito en las operaciones.

Actividades:◊ El alumno comprende y explica el rol del cálculo financiero en las finanzas empresariales.

◊ El alumno preparará un resumen relacionado con el rol del cálculo financiero en las fi-nanzas empresariales.



¿Cómo varía el valor del dinero en el tiempo? y ¿cómo se opera con una tasa de interés simple?

sesión2

2.1 INtROdUCCIóN

El interés es la diferencia entre el capital final y el capital inicial. Para el prestamista o acreedor constituye un ingreso, pero para el deudor representa un egreso. El interés (I) que se acuerda pagar, por una suma determinada de dinero, depende de la cantidad de dinero prestada (P), de la duración de la operación (n) y de la tasa de interés (i).

I = ƒ( P, n, i )

2.2 REGLA dE INtERés

Es la operación que permite calcular la rentabilidad que genera un capital invertido o pres-tado, a un tanto por ciento determinado y a un tiempo dado.

En los cálculos de interés se tiene en cuenta tres factores:

A. El capital inicial (P): Es la suma de dinero motivo de la operación financiera, expresada en la unidad monetaria del país que rige la operación. También se le conoce como capital principal, capital base, valor actual, valor presente, valor líquido o volumen monetario.

b. La tasa de interés (i): Representa el número de unidades monetarias que tenemos que pagar o cobrar por cada 100 unidades monetarias prestadas o invertidas, según fuese el caso. También se le llama tipo de interés y se puede expresar de tres maneras:• Simbólica (o tanto por ciento) 24%.• Fraccionaria 24/100.• Decimal 0,24.En la aplicación de las diversas fórmulas se utiliza la expresión decimal, por cada uni-dad de tiempo.

C. El tiempo (n): Es el factor que mide el plazo de la operación financiera, es decir, la dura-ción para la que se calcula el interés. Usualmente la unidad de tiempo es un año, aunque

20Unidad I


puede también ser expresado en días, quincenas, meses, bimestres, trimestres, semes-tres o en cualquier otra unidad de tiempo.

En el calendario gregoriano, el año normal tiene 365 días y el año bisiesto tiene 366 días. Bajo este concepto enero tiene 31 días, febrero 28, marzo 31, abril 30 días y así sucesiva-mente. El mes de febrero tiene 29 días cuando el año es bisiesto. La actividad bancaria se rige por el año bancario, conformado por 360 días y cada mes de 30 días.

2.3. CLAsEs dE INtERés

El interés puede ser simple o compuesto.

A. Interés simple: Es simple cuando, al finalizar cada período, el interés obtenido no se agrega al capital inicial para que genere nuevos intereses.

En consecuencia, el capital inicial permanece invariable y el interés que se obtiene en cada intervalo de tiempo es siempre el mismo.

b. Interés compuesto: Es compuesto cuando el interés obtenido al término de cada pe-ríodo no se paga, sino se agrega (se capitaliza) al capital anterior para producir nuevos intereses.

Cuando los intereses de una deuda se pagan periódicamente no hay interés compuesto, ya que no se aumenta el capital inicial. Únicamente cuando los pagos de interés no se hacen a su vencimiento, el capital se incrementa y tendremos un interés compuesto.

¿CóMO sE OPERA CON UNA tAsA dE INtERés sIMPLE?

2.4. EL INtERés sIMPLE

Como ya se mencionó en el párrafo anterior, en este caso el interés obtenido no se agrega al capital inicial.

2.5. CARACtERÍstICAs

a. Los intereses no se acumulan al capital.b. Los intereses generados son retirados por el acreedor.c. El capital final crece en forma lineal en el tiempo, es decir, aumenta en progresión arit-

mética.

y = a + b x (línea recta)s = P + PiS = P ( 1 + i )

donde:

S = Capital final o valor futuroP = Capital inicial o valor presentei = Tasa de interés

d. Tiene un gráfico lineal.e. Se emplea para períodos menores a un año o cuando las tasas son menores a dos dígitos.



2.6. CÁLCULO A PARtIR dEL INtERés sIMPLE

Fórmula principal

Fórmulas derivadas

2.6.1. Cálculo con variaciones de tasa de interés

Cuando en el mercado financiero se producen variaciones de tasas, la fórmula I = P. i. n debe modificarse para incluir dichas variaciones durante los períodos de vigencia de dichas tasas, es decir, la tasa i1 está vigente por un período n1, la tasa i2, está vigente en el período n2. La fórmula quedará de la siguiente manera:

I = P (i1 n1 + i2 n2 + ... + im nm )

2.6.2. Cálculo con variaciones del capital inicial

Cuando el saldo de una cuenta corriente o de ahorros cambia constantemente, debido a los movimientos que se generan en él (cargos y abonos), el cálculo de interés simple se efectúa usando numerales. Un numeral (pi ni) es el producto de cada nuevo saldo en una cuenta y el número de días de permanencia de ese saldo sin variación.

2.7. EL MONtO

2.7.1 definición:

El monto es un valor futuro que resulta de la suma del capital inicial (valor actual, principal o valor presente) más los intereses simples generados por dicho capital inicial.

Monto = Principal + intereses s = P + I

2.7.2. Cálculo del monto (s)

El monto del valor futuro a interés simple de un capital inicial P, que devenga interés a la tasa i durante n años, se calcula mediante la siguiente relación:

I = Pin

I I IP = I = n = in Pn Pn

∑n

k kk=1

I=P( i n )

S = P(1-in)

S S/P- S/P-P = i = n = ( +in) n i

1 11

22Unidad I


ACtIvIdAdEs

1. El alumno desarrollará casos de cálculo con tasas de interés simple._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. El alumno preparará un resumen relacionado con tasas de interés simple.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



¿Cómo se opera con una tasa de interés compuesta?

sesión3

3.1. INtROdUCCIóN

El interés es compuesto cuando, al fin de cada período, los intereses generados se suman al capital para producir nuevos intereses. En los cálculos del interés simple hemos visto que el capital no varía. En los cálculos del interés compuesto el capital aumenta con la suma de intereses a intervalos determinados. Siempre que no se paguen los intereses al final de cada período, se dice que los intereses se capitalizan. Se entiende que cuando empieza a correr el segundo período, el capital es mayor de lo que era al comienzo del primer período y, en consecuencia, el interés al final del segundo período es mayor que al final del primer período.

3.2. CARACtERÍstICAs

a. Los intereses se acumulan al capital.

b. Los intereses generados vuelven a generar intereses en el período siguiente.

c. La suma (S) o monto de valor futuro aumenta en forma exponencial en el tiempo, es decir, aumenta en progresión geométrica.

y = a. bxs = P (1 + i)n

d. Tiene un gráfico exponencial.

e. Es recomendable para períodos mayores de un año y cuando las tasas son mayores a dos dígitos.

3.3 ELEMENtOs

a. Capital o principal (P): Es una cantidad de dinero o elemento de valor sobre el cual se paga intereses.

24Unidad I


¿Cuál será el interés compuesto producido por un capital inicial de S/. 4 000 colocado al 5% anual durante 4 años?

Fin año 1 Fin año 2 Fin año 3 Fin año 4

Capital inicial S/. 4 000,00Intereses 1er. año 200,00

Capital inicial 2do. año 4 200,00Intereses 2do. año 210,00

Capital inicial 3er. año 4 410,00Intereses 3er. año 220,50

Capital inicial 4to. año 4 630,50Intereses 4to. año 231,52 4 862,02

sUMA dE INtEREsEs ( I ) 862,02CAPItAL INICIAL ( P ) 4 000,00MONtO ( P + I ) 4 862,02

b. tiempo o plazo (t): El plazo de una inversión se expresa generalmente en años y meses, pero en los cálculos de interés compuesto es necesario expresar el tiempo en períodos de igual duración (años, meses o días) y consiste al período de capitalización.

c. La tasa (t): Es la medida de interés sobre la inversión o capital y puede expresarse en diversas formas: porcentual (6%), decimal (0,06) o fraccionaria (6/100). Estas tres mo-dalidades son equivalentes, es decir:

6% = 0,06 = 6/100

Cuando la capitalización es anual, la tasa de interés deberá ser anual, si no lo fuera se de-berá convertir.

TIEMPO TASA DEINTERÉS (j)

FRECUENCIA DECAPITALIZACIÓN (m)

TASAEQUIVALENTE (m)

1 año 12% Anual (m = 1) 12%

1 año 12% Semestral (m = 2) 6%

1 año 12% Trimestral (m = 4) 3%

1 año 12% Cuatrimestral (m = 3) 4%

1 año 12% Bimestral (m = 6) 2%

1 año 12% Mensual (m = 12) 1%

3.4 CAPItALIZACIóN ANUAL

Se refiere al pago de los intereses generados una sola vez al año, de tal manera que el ca-pital para el segundo año incluye los intereses generados durante el primero.



Por lo tanto, s = P ( 1 + i )n

Donde: S = Monto o suma de valor futuro P = Capital inicial, principal o valor presente i = Tasa de interés del período representada en decimales n = Tiempo o plazo

El factor (1 + i)n es el factor simple de capitalización compuesto (FSC). La fórmula anterior puede representarse:

s = P. FsC

Se lee: el FsC a una tasa i en n períodos transforma una cantidad presente P en un valor futuro s. El FSC representa el monto compuesto de 1 nuevo sol a una tasa i por período durante n períodos y su función es llevar a futuro cualquier cantidad presente o traer al presente cualquier cantidad del pasado.

a. Cálculo del monto: El monto o suma es equivalente al capital inicial (P) más los intere-ses generados (I).

s = P + I

b. Cálculo de interés compuesto (i): Para determinar el interés compuesto es necesario determinar primero el monto a fin del plazo (S) y deducible luego el capital inicial (P). Si S = P + I entonces:

I = s – P

c. Cálculo del capital inicial (P): Es el proceso de calcular el valor presente (P) a partir del valor futuro (S) a interés compuesto o tasa vencida. Su fórmula se obtiene de despejar el valor presente de la fórmula que conocemos.

s = P (1 + i)n

Donde: es el Factor Simple de Actualización (FSA) que convierte el valor futuro en equivalente, mediante una sola operación. Entonces la fórmula queda de la siguiente manera:

P = s (FsA)

Se lee: el FSA a una tasa i en n períodos transforma una cantidad futura S en un valor presente P.

Cálculo Financiero

15

S=P S1 S2 S3

0 1 2 3 S1 = P + iP

S2=S1 + iS1

S3 = S2 + iS2

Por lo tanto, S = P ( 1 + i )n

Donde: S = Monto o suma de valor futuro P = Capital inicial, principal o valor presente

i = Tasa de interés del periodo representada en decimalesn = Tiempo o plazo


S = P. FSC

Se lee: el FSC a una tasa i en n períodos transforma una cantidad presente P en un valor futuro S. El FSC representa el monto compuesto de 1 nuevo sol a una tasa i por período durante n períodos y su función es llevar a futuro cualquier cantidad presente o traer al presente cualquier cantidad del pasado.

a. Cálculo del monto: El monto o suma es equivalente al capital inicial (P) más los intereses generados (I).

S = P + I


I = S – P


S = P (1 + i)n

( )nI1SP+

=

( )

+

=ni1

1SP

Donde: ( )

+ ni11 es el Factor Simple de Actualización (FSA) que convierte el valor

futuro en equivalente, mediante una sola operación. Entonces la fórmula queda de la siguiente manera:

P = S (FSA)

PROESAD Programa de Educación Superior a Distancia

Cálculo Financiero

15

S=P S1 S2 S3

0 1 2 3 S1 = P + iP

S2=S1 + iS1

S3 = S2 + iS2





S = P. FSC



S = P + I


I = S – P


S = P (1 + i)n

( )nI1SP+

=

( )

+

=ni1

1SP

Donde: ( )



P = S (FSA)


Cálculo Financiero

15

S=P S1 S2 S3

0 1 2 3 S1 = P + iP

S2=S1 + iS1

S3 = S2 + iS2





S = P. FSC



S = P + I


I = S – P


S = P (1 + i)n

( )nI1SP+

=

( )

+

=ni1

1SP

Donde: ( )



P = S (FSA)


26Unidad I


d. Cálculo de la tasa de interés (i): A partir de la fórmula ya conocida, despejamos la tasa de interés:

e. Cálculo del tiempo (n): Se despeja n de la ecuación conocida:

3.5 CAsOs EsPECIALEs

a. n NO ENtERO

Como el interés es función del tiempo, se considera que el capital origina un interés con-tinuo que capitaliza en forma discreta (al término de cada cierto período). Por lo tanto, para un número no entero de períodos de capitalización, la fórmula del monto será:

s = P (1 + i)H/f

Donde: H: Duración (número de días o meses) de la operación. f: Frecuencia de capitalización (número de días (o meses) del período capitalizable)

Debe observarse que un n no entero indica un número no entero de capitalizaciones, en la cual la parte no entera implica que la capitalización se ha realizado por un plazo menor al período establecido.

b. CÁLCULO dEL MONtO CON vARIACIONEs EN LA tAsA dE INtERés

Cuando la tasa efectiva no varía durante el plazo pactado, el FACTOR (1+i)n capitaliza la unidad monetaria a esa misma tasa durante n períodos.

( 1 + i )n = [ ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i )... ]

Pero si la tasa efectiva cambia, las capitalizaciones durante el período pactado H se efectúan variando la tasa tantas veces como sea necesario, para cada período del tiempo vigente.

= [(1 + i1)n1 ( 1 + i2 )n

2 ( 1 + i3 )n3... ]

CPCC Santos Alberto farfán Peña

16


d. Cálculo de la tasa de interés (i): A partir de la fórmula ya conocida despejamos la tasa de interés:

( )ni1PS +=

( )ni1PS

+=

1pSi n −=

e. Cálculo del tiempo (n): se despeja n de la ecuación conocida:

n)i1(PS +=

( )ni1PS

+=

( )i1lognPSlog +=

( )i1logPlogSlogn

+−

=

3.5 Casos especiales

a. n NO ENTEROComo el interés es función del tiempo, se considera que el capital origina un interés continuo que capitaliza en forma discreta (al termino de cada cierto período). Por lo tanto, para un número no entero de períodos de capitalización, la fórmula del monto será:

S = P (1 + i)H/f

Donde: H: Duración (número de días o meses) de la operación.f: Frecuencia de capitalización (número de días (o meses) del período

capitalizable)


b. CÁLCULO DEL MONTO CON VARIACIONES EN LA TASA DE INTERÉSCuando la tasa efectiva no varía durante el plazo pactado, el FACTOR (1+i)n capitaliza la unidad monetaria a esa misma tasa durante n períodos.

( 1 + i )n = [ ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i )... ]

Pero si la tasa efectiva cambia, las capitalizaciones durante el periodo pactado H se efectúan variando la tasa tantas veces como sea necesario para cada período del tiempo vigente.

= [(1 + i1)n1 ( 1 + i2 )n

2 ( 1 + i3 )n3... ]



16



( )ni1PS +=

( )ni1PS

+=

1pSi n −=


n)i1(PS +=

( )ni1PS

+=

( )i1lognPSlog +=

( )i1logPlogSlogn

+−

=



S = P (1 + i)H/f


capitalizable)



( 1 + i )n = [ ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i )... ]


= [(1 + i1)n1 ( 1 + i2 )n

2 ( 1 + i3 )n3... ]



16



( )ni1PS +=

( )ni1PS

+=

1pSi n −=


n)i1(PS +=

( )ni1PS

+=

( )i1lognPSlog +=

( )i1logPlogSlogn

+−

=



S = P (1 + i)H/f


capitalizable)



( 1 + i )n = [ ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i )... ]


= [(1 + i1)n1 ( 1 + i2 )n

2 ( 1 + i3 )n3... ]




Habiendo definido n = H/f, entonces el cálculo del monto se hace de la forma siguiente:

= [(1 + i1)H1/f (1 + i2)H

2/f ( 1 + i3)H

3/f... ]

Donde: H1 + H2 + H3 + ... = H

3.6. tAsA NOMINAL, tAsA EFECtIvA y tAsA EQUIvALENtE

Una tasa de interés “ i ” es la razón de la diferencia de dos cantidades de la misma especie y una de ellas tomadas como base, la cual debe ser necesariamente el sustraendo de la diferencia, designando Co a la base, Cn a la otra cantidad referida a la base, podemos ex-presar la tasa de la siguiente manera:

c1) tAsA NOMINAL: Cuando la tasa de interés es susceptible de proporcionarse (dividirse o multiplicarse) para ser expresada en otra unidad de tiempo diferente a la original, con el objeto de capitalizarse una o más veces.

Se dice que la tasa es nominal cuando:

◊ Se aplica directamente en operaciones de interés simple.

◊ Es susceptible a proporcionarse (dividirse o multiplicarse) varias veces en un año, para ser expresada en otra unidad de tiempo equivalente, en el interés simple, o como unidad de medida. Para ser capitalizada n veces en operaciones hay interés compuesto, donde m representa el número de capitalizaciones. La proporcionalidad de la tasa nominal anual puede efectuarse directamente a través de una regla de interés, considerando el año bancario de 360 días.

c2) tAsA EFECtIvA: El monto compuesto aplicando una tasa nominal j capitalizable m veces a un plazo determinado durante n períodos se calcula mediante la fórmula siguiente:

En el Perú las instituciones financieras cotizan sus productos financieros en:

◊ tAsA ACtIvA: Interés que las instituciones financieras cobran a los clientes por prés-tamos, colocaciones u operaciones crediticias. Son operaciones activas los sobre-giros en cuenta corriente, descuento de letras, pagarés, préstamos, arrendamiento financiero, préstamo interbancario, etc. que, además, están registrados en los distin-tos rubros del activo del balance de las instituciones financieras o fuera de balance.

La tasa activa en el Perú se expresa en términos efectivos por créditos a corto, me-diano y largo plazo.

◊ tAsA PAsIvA: Para remunerar las distintas captaciones de los bancos realizadas por los clientes, ya sea en depósitos a la vista, ahorros, depósitos a plazo, certificados bancarios, depósitos interbancarios, bonos, etc.

Cálculo Financiero

17

Habiendo definido n = H/f entonces el cálculo del monto se hace de la forma siguiente: = [(1 + i1)H

1/f (1 + i2)H

2/f ( 1 + i3)H

3/f... ]

Donde: H1 + H2 + H3 + ... = H

3.6 TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA y TASA EQUIVALENTE Una tasa de interés “ i ” es la razón de la diferencia de dos cantidades de la misma especie y una de ellas tomadas como base, la cual debe ser necesariamente el sustraendo de la diferencia, designando Co a la base, Cn a la otra cantidad referida a la base, podemos expresar la tasa de la siguiente manera:

0

0

CCCi n −=

10

−=CCi n

c1) TASA NOMINAL: Cuando la tasa de interés es susceptible de proporcionarse (dividirse o multiplicarse) para ser expresada en otra unidad de tiempo diferente a la original, con el objeto de capitalizarse una o más veces.


• Se aplica directamente en operaciones de interés simple.

• Es susceptible a proporcionarse (dividirse o multiplicarse) veces en un año, para ser expresada en otra unidad de tiempo equivalente, en el interés simple, o como unidad de medida. Para ser capitalizada n veces en operaciones hay interés compuesto, donde m representa el número decapitalizaciones. La proporcionalidad de la tasa nominal anual puede efectuarse directamente a través de una regla de interés considerando el año bancario de 360 días.

c2) TASA EFECTIVA: El monto compuesto aplicando una tasa nominal j capitalizable m veces a un plazo determinado durante n períodos se calcula mediante la fórmula siguiente:

n

mj1PS

+=


• TASA ACTIVA: Interés que las instituciones financieras cobran a los clientes por préstamos, colocaciones u operaciones crediticias. Son operaciones activas los sobregiros en cuenta corriente, descuento de letras, pagarés, préstamos, arrendamiento financiero, préstamo interbancario, etc., que además están registrados en los distintos rubros del activo del balance de las instituciones financieras o fuera de balance.

La tasa activa en el Perú se expresa en términos efectivos por créditos a corto, mediano y largo plazo.


Cálculo Financiero

17

Habiendo definido n = H/f entonces el cálculo del monto se hace de la forma siguiente: = [(1 + i1)H

1/f (1 + i2)H

2/f ( 1 + i3)H

3/f... ]

Donde: H1 + H2 + H3 + ... = H

3.6 TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA y TASA EQUIVALENTE Una tasa de interés “ i ” es la razón de la diferencia de dos cantidades de la misma especie y una de ellas tomadas como base, la cual debe ser necesariamente el sustraendo de la diferencia, designando Co a la base, Cn a la otra cantidad referida a la base, podemos expresar la tasa de la siguiente manera:

0

0

CCCi n −=

10

−=CCi n

c1) TASA NOMINAL: Cuando la tasa de interés es susceptible de proporcionarse (dividirse o multiplicarse) para ser expresada en otra unidad de tiempo diferente a la original, con el objeto de capitalizarse una o más veces.


• Se aplica directamente en operaciones de interés simple.

• Es susceptible a proporcionarse (dividirse o multiplicarse) veces en un año, para ser expresada en otra unidad de tiempo equivalente, en el interés simple, o como unidad de medida. Para ser capitalizada n veces en operaciones hay interés compuesto, donde m representa el número decapitalizaciones. La proporcionalidad de la tasa nominal anual puede efectuarse directamente a través de una regla de interés considerando el año bancario de 360 días.

c2) TASA EFECTIVA: El monto compuesto aplicando una tasa nominal j capitalizable m veces a un plazo determinado durante n períodos se calcula mediante la fórmula siguiente:

n

mj1PS

+=


• TASA ACTIVA: Interés que las instituciones financieras cobran a los clientes por préstamos, colocaciones u operaciones crediticias. Son operaciones activas los sobregiros en cuenta corriente, descuento de letras, pagarés, préstamos, arrendamiento financiero, préstamo interbancario, etc., que además están registrados en los distintos rubros del activo del balance de las instituciones financieras o fuera de balance.

La tasa activa en el Perú se expresa en términos efectivos por créditos a corto, mediano y largo plazo.


28Unidad I


Las tasas pasivas aplicadas por las instituciones del sistema financiero a los usua-rios finales se expresan, en el Perú, en términos nominales y con una frecuencia de capitalización determinada, por ejemplo: los ahorros se capitalizan mensualmente, mientras que los depósitos a plazos se capitalizan diariamente, según lo dispuesto por la Superintendencia de Bancos, Seguros y Administradora de Fondos (SBS).

La tasa efectiva i para n períodos de capitalización puede obtenerse a partir de una tasa nominal anual j capitalizable m veces al año, de acuerdo a la siguiente fórmula:

La tasa efectiva refleja al número de capitalizaciones para las operaciones pasivas o liquidaciones para operaciones activas. En el interés compuesto, los intereses capi-talizados vuelven a ganar interés.

Para un mismo horizonte temporal, cuando las tasas nominal y efectiva coinciden los rendimientos obtenidos a interés simple t compuesto son iguales.

La tasa efectiva i y la tasa nominal j, para diferentes unidades de tiempo, pueden abreviarse en la siguiente nomenclatura:

TIEMPO Tasa Efectiva (TE) “i”

Tasa Nominal “j”

Anual (A) TEA TNA

Semestral (S) TES TNS

Cuatrimestral (C) TEC TNC

Trimestral (T) TET TNT

Bimestral (B) TEB TNB

Mensual (M) TEM TNM

quincenal (q) TEq TNq

Diario (D) TED TND

c3. tAsA EQUIvALENtE: Dos o más tasas efectivas, que corresponden a diferentes unidades de tiempo, son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal. Por ejemplo, las siguientes tasas:

• Tasa efectiva mensual “TEM” = 1,530947%• Tasa efectiva trimestral “TET” = 4,6635139%

Son equivalentes porque ambas producen una tasa efectiva anual TEA de 20%. Una tasa de interés i es equivalente a otra j si sus respectivas capitalizaciones realizadas, durante un mismo horizonte temporal H, son iguales.

◊ tasas equivalentes partiendo de una tasa efectiva dada: La tasa equivalente o tasa periódica se obtiene de la relación de la equivalencia de la fórmula vista anterior-mente, y puede ser calculada cuando se obtiene como dato la tasa efectiva “i”.


18

• TASA PASIVA: Para remunerar las distintas captaciones de los bancos realizadas por los clientes, ya sea en depósitos a la vista, ahorros, depósitos a plazo, certificados bancarios, depósitos interbancarios, bonos, etc.

Las tasas pasivas aplicadas por las instituciones del sistema financiero a los usuarios finales se expresan en el Perú en términos nominales y con una frecuencia de capitalización determinada, por ejemplo: los ahorros se capitalizan mensualmente mientras que los depósitos a plazos se capitalizan diariamente, según lo dispuesto por la Superintendencia de Bancos, Seguros y Administradora de Fondos (SBS).

La tasa efectiva i para n períodos de capitalización puede obtenerse a partir de una tasa nominal anual j capitalizable m veces al año de acuerdo a la siguiente fórmula:

1mj1i

n

−

+=

La tasa efectiva refleja al número de capitalizaciones para las operaciones pasivas o liquidaciones para operaciones activas. En el interés compuesto los intereses capitalizados vuelven a ganar interés.

Para un mismo horizonte temporal, cuando las tasas nominal y efectiva coinciden los rendimientos obtenidos a interés simple t compuesto son iguales.

La tasa efectiva i y la tasa nominal j para diferentes unidades de tiempo pueden abreviarse en la siguiente nomenclatura:

TIEMPO Tasa Efectiva (TE) “i”

Tasa Nominal “j”

Anual (A) TEA TNASemestral (S) TES TNSCuatrimestral (C) TEC TNCTrimestral (T) TET TNTBimestral (B) TEB TNBMensual (M) TEM TNMQuincenal (Q) TEQ TNQDiario (D) TED TND

c3. TASA EQUIVALENTEDos o más tasas efectivas corresponden a diferentes unidades de tiempo son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal. Por ejemplo las siguientes tasas:

– Tasa efectiva mensual “TEM” = 1,530947%– Tasa efectiva trimestral “TET” = 4,6635139%

Son equivalentes porque ambas producen una tasa efectiva anual TEA de 20%. Una tasa de interés i es equivalente a otra j si sus respectivas capitalizaciones realizadas durante un mismo horizonte temporal H son iguales.

• Tasas equivalentes partiendo de una tasa efectiva dada:La tasa equivalente o tasa periódica se obtiene de la relación de la

equivalencia de la fórmula vista anteriormente y puede ser calculada cuando se obtiene como dato la tasa efectiva “i”




Si designamos a j/m como i´ como la tasa equivalente, entonces podemos despejar i´ de la siguiente manera:

Donde: i´ = es la tasa equivalente o efectiva.

i = es la tasa efectiva del horizonte temporal proporcionada como dato.

f = es el número de días del período de tiempo correspondiente a la tasa equivalente que se desea calcular.

h = números de días correspondientes al período de tiempo de la tasa efectiva proporcionada como dato. A una tasa efectiva anual “TEA” le corresponde un “h” de 360, a una “TEM”, tasa efectiva mensual, le co-rresponde un “h” de 30 días.

De la ecuación anterior, “f” se expresa en el período de tiempo equivalente a la incógnita (tasa equivalente) y “h” se expresa en el período de tiempo a la tasa efectiva, ambas variables deben corresponder a una misma unidad de tiempo (días, meses, trimestres, etc.).

◊ tasa nominal equivalente a una tasa efectiva dada: La relación de equivalencia en-tre la tasa nominal con “n” capitalizaciones y la tasa efectiva, ambas para el mismo horizonte temporal, se establece a partir de la fórmula ya expresada anteriormente. Entonces la fórmula anterior puede expresarse en:

El subíndice m de j indica el número de veces que esta se capitaliza anualmente, cuando i es anual, por lo tanto, si i es mensual indicará el número de veces que j se capitaliza en un mes, y así sucesivamente.

◊ tasa de interés simple equivalente a una tasa de interés compuesto para un mismo horizonte temporal: Para obtener una tasa de interés simple (IS) equivalente a una tasa de interés compuesto (IC) relacionamos las fórmulas de los montos simples y compuestos, estableciendo la ecuación de equivalencia y efectuamos el despeje correspondiente.

Cálculo Financiero

19


( ) ( )i1i1 n +=+

( ) 1i1i n1´ −+=Donde:

i´= es la tasa equivalente o efectiva.i = es la tasa efectiva del horizonte temporal proporcionada

como dato.f = es el número de días del período de tiempo correspondiente

a la tasa equivalente que se desea calcular.h = números de días correspondientes al período de tiempo

de la tasa efectiva proporcionada como dato. A una tasa efectiva anual “TEA” le corresponde un “h” de 360, a una “TEM”, tasa efectiva mensual, le corresponde un “h” de 30 días.

De la ecuación anterior, “f” se expresa en el período de tiempo equivalente a la incógnita (tasa equivalente) y “h” se expresa en el período de tiempo a la tasa efectiva, ambas variables deben corresponder a una misma unidad de tiempo (días, meses, trimes-tres, etc.).

• Tasa nominal equivalente a una tasa efectiva dada:La relación de equivalencia entre la tasa nominal con “n” capitalizaciones y la tasa efectiva, ambas para el mismo horizonte temporal, se establece a partir de la fórmula ya expresada anteriormente. Entonces la fórmula anterior puede expresarse en:

( ) ( )

−+= 1i1mj n

1m

El subíndice m de j indica el número de veces que ésta se capitaliza anualmente, cuando i es anual por lo tanto, si i es mensual indicará el número de veces que j se capitaliza en un mes y así sucesivamente.

• Tasa de interés simple equivalente a una tasa de interés compuesto para un mismo horizonte temporal:Para obtener una tasa de interés simple (IS) equivalente a una tasa de interés compuesto (IC) relacionamos las fórmulas de los montos simples y compuestos, estableciendo la ecuación de equivalencia y efectuamos el despeje correspondiente.

( )n

1ic1isn −+

=

Actividades:5. El alumno desarrollará casos de cálculo con tasas de interés compuesta.6. El alumno preparará un resumen de relacionado con tasas de interés

compuesta.


Cálculo Financiero

19


( ) ( )i1i1 n +=+

( ) 1i1i n1´ −+=Donde:







( ) ( )

−+= 1i1mj n

1m



( )n

1ic1isn −+

=


compuesta.


Cálculo Financiero

19


( ) ( )i1i1 n +=+

( ) 1i1i n1´ −+=Donde:







( ) ( )

−+= 1i1mj n

1m



( )n

1ic1isn −+

=


compuesta.


30Unidad I


ACtIvIdAdEs

1. El alumno desarrollará casos de cálculo con tasas de interés compuesta._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. El alumno preparará un resumen relacionado con tasas de interés compuesta.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Las operaciones de descuento consisten en transformar una expectativa futura de dinero, por ejemplo: una letra, en efectivo, de inmediato. Es usual en los negocios al cancelar ope-raciones de crédito a plazo, aceptar ahora un documento que certifica el compromiso de pago futuro, cuyo importe se denomina valor nominal o facial.

El tenedor de ese documento puede convertir ese compromiso, en efectivo, negociando con un agente económico superavitario de fondos, recibiendo una suma menor del importe facial que se denomina valor presente o valor actual. Se denomina descuento a la cantidad de dinero que se deduce del precio de un bien o de un documento comercial, cuando se cancela antes de su fecha de vencimiento.

4.1. EL dEsCUENtO

4.1.1. definición

Se llama descuento a la rebaja en el valor de una operación comercial o financiera, aplican-do un interés simple.

4.1.2. descuento racional (dr)

Se dice que el descuento es racional cuando se efectúa a una tasa de interés:

dr = s – P

Pudiendo ser:

◊ descuento comercial: Es la rebaja que se concede al valor de las facturas.

◊ descuento bancario: Es la rebaja o deducción que se hace sobre documentos de giro, como letras de cambio, pagarés, vales, entre otros.

4.1.3. Elementos

◊ vALOR NOMINAL O FACIAL (s) es la cantidad que figura anotada en el documento y ha de cobrarse íntegramente el día de su vencimiento. Es un valor futuro.

◊ vALOR ACtUAL (P) es el resultado de la operación de descontar, es decir, la cantidad real que se recibe en una fecha anterior a su vencimiento.


¿Cómo calcular eldescuento bancarioy comercial?

sesión4

32Unidad I


◊ tAsA dE dEsCUENtO (d) viene a ser la cantidad que se deduce por cada 100 unidades, en el período del descuento.

◊ EL tIEMPO (N) es el lapso entre la fecha de descuento y la fecha de vencimiento. El tiempo puede expresarse en años, meses y días.

◊ dEsCUENtO (d) es la diferencia entre el valor nominal y el actual.

4.1.4. descuento simple

El valor presente (P) o descontado es igual al valor nominal (S) menos el descuento (D), aplicando una tasa de descuento simple:

P = S - D

O tambien,

D = S – P

El descuento (D) está en función del valor nominal (S), la tasa de descuento (d) y el tiempo (n)

Fórmula principal

Fórmulas derivadas

◊ EQUIvALENCIA ENtRE EL dEsCUENtO RACIONAL sIMPLE y EL INtERés sIMPLE:

Si D=S=P (1)

Pero,

Reemplazamos (2) en (1):

Si extraemos como factor común S:

Cálculo Financiero

21

Dr = S – PPudiendo ser:

• Descuento comercial: Es la rebaja que se concede al valor de las facturas.

• Descuento bancario: Es la rebaja o deducción que se hace sobre documentos de giro, como letras de cambio, pagarés, vales, entre otros.

4.1.3 ELEMENTOS

• VALOR NOMINAL O FACIAL (S) es la cantidad que figura anotada en el documento y ha de cobrarse íntegramente el día de su vencimiento. Es un valor futuro.

• VALOR ACTUAL (P) es el resultado de la operación de descontar, es decir, la cantidad real que se recibe en una fecha anterior a su vencimiento.

• TASA DE DESCUENTO (D) viene a ser la cantidad que se deduce por cada 100 unidades en el período del descuento.

• EL TIEMPO (N) es el lapso entre la fecha de descuento y la fecha de vencimiento. El tiempo puede expresarse en años, meses y días.

• DESCUENTO (D) es la diferencia entre el valor nominal y el actual.

4.1.4 DESCUENTO SIMPLE

El valor presente (P) o descontado, es igual al valor nominal (S) menos el descuento (D), aplicando una tasa de descuento simple:

P = S - D

O tambien, D = S – P

El descuento (D) está en función del valor nominal (S), la tasa de descuento (d) y el tiempo (n)

Fórmula principal

Fórmulas derivadas

• EQUIVALENCIA ENTRE EL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE Y EL INTERÉS SIMPLE:

Si (1)

PSD −=



22

Pero, (2)



( )

+

−+=

in11in1SD

+

=in1

inSD

Si consideramos que D = I

inin

SD

+

=1

De (2) P Entonces D = P in = I

• CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE

Si se sustituye la fórmula D = Sdn en P = S – D, tenemos

P = S -Sdn

Fórmula principal

Fórmulas derivadas

4.1.5 DESCUENTO COMPUESTO

in1SP+

=

+

−−=in1

11SD

in1SSD+

−=

inin1

SD

+

=



22

Pero, (2)



( )

+

−+=

in11in1SD

+

=in1

inSD


inin

SD

+

=1




P = S -Sdn

Fórmula principal

Fórmulas derivadas


in1SP+

=

+

−−=in1

11SD

in1SSD+

−=

inin1

SD

+

=



22

Pero, (2)



( )

+

−+=

in11in1SD

+

=in1

inSD


inin

SD

+

=1




P = S -Sdn

Fórmula principal

Fórmulas derivadas


in1SP+

=

+

−−=in1

11SD

in1SSD+

−=

inin1

SD

+

=



22

Pero, (2)



( )

+

−+=

in11in1SD

+

=in1

inSD


inin

SD

+

=1




P = S -Sdn

Fórmula principal

Fórmulas derivadas


in1SP+

=

+

−−=in1

11SD

in1SSD+

−=

inin1

SD

+

=



22

Pero, (2)



( )

+

−+=

in11in1SD

+

=in1

inSD


inin

SD

+

=1




P = S -Sdn

Fórmula principal

Fórmulas derivadas


in1SP+

=

+

−−=in1

11SD

in1SSD+

−=

inin1

SD

+

=



22

Pero, (2)



( )

+

−+=

in11in1SD

+

=in1

inSD


inin

SD

+

=1




P = S -Sdn

Fórmula principal

Fórmulas derivadas


in1SP+

=

+

−−=in1

11SD

in1SSD+

−=

inin1

SD

+

=





Entonces D = P in = 1

◊ CÁLCULO dEL vALOR PREsENtE


P = S -Sdn

Fórmula principal

Fórmulas derivadas

4.1.5 descuento compuesto

Cuando estamos frente a una operación, donde se aplica una tasa de descuento compues-ta, ello implica aplicar el descuento sobre el descuento del período anterior. El descuento es la diferencia entre el valor nominal y el valor descontado (o valor presente).

◊ EQUIvALENCIA ENtRE dEsCUENtO RACIONAL COMPUEstO y EL INtERés COMPUEstO

Si

Pero,

De donde

Sustituimos (2) en (1):



22

Pero, (2)



( )

+

−+=

in11in1SD

+

=in1

inSD


inin

SD

+

=1




P = S -Sdn

Fórmula principal

Fórmulas derivadas


in1SP+

=

+

−−=in1

11SD

in1SSD+

−=

inin1

SD

+

=



22

Pero, (2)



( )

+

−+=

in11in1SD

+

=in1

inSD


inin

SD

+

=1




P = S -Sdn

Fórmula principal

Fórmulas derivadas


in1SP+

=

+

−−=in1

11SD

in1SSD+

−=

inin1

SD

+

=


Cálculo Financiero

23

Cuando estamos frente a una operación donde se aplica una tasa de descuento compuesta, ello implica aplicar el descuento sobre el descuento del periodo anterior. El descuento es la diferencia entre el valor nominal y el valor descontado (o valor presente).

• EQUIVALENCIA ENTRE DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO Y EL INTERÉS COMPUESTO

Si (1)

Pero,

De donde ( )ni1

SP+

= (2)



( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SD

Pero: PSI −=

( ) 1i1PI n −+= (3)

Como

( )ni1

SP+

= (4)

Si sustituimos (4) en (3):

( )

( )[ ]1i1i1

SI nn

−++

=

O también ( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SI

Que es equivalente a la formula del descuento

PSD −=

( )ni1PS +=

( )

+−−=

ni111SD

( )ni1SSD+

−=


Cálculo Financiero

23



Si (1)

Pero,

De donde ( )ni1

SP+

= (2)



( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SD

Pero: PSI −=

( ) 1i1PI n −+= (3)

Como

( )ni1

SP+

= (4)


( )

( )[ ]1i1i1

SI nn

−++

=

O también ( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SI


PSD −=

( )ni1PS +=

( )

+−−=

ni111SD

( )ni1SSD+

−=


Cálculo Financiero

23



Si (1)

Pero,

De donde ( )ni1

SP+

= (2)



( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SD

Pero: PSI −=

( ) 1i1PI n −+= (3)

Como

( )ni1

SP+

= (4)


( )

( )[ ]1i1i1

SI nn

−++

=

O también ( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SI


PSD −=

( )ni1PS +=

( )

+−−=

ni111SD

( )ni1SSD+

−=


Cálculo Financiero

23



Si (1)

Pero,

De donde ( )ni1

SP+

= (2)



( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SD

Pero: PSI −=

( ) 1i1PI n −+= (3)

Como

( )ni1

SP+

= (4)


( )

( )[ ]1i1i1

SI nn

−++

=

O también ( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SI


PSD −=

( )ni1PS +=

( )

+−−=

ni111SD

( )ni1SSD+

−=


Cálculo Financiero

23



Si (1)

Pero,

De donde ( )ni1

SP+

= (2)



( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SD

Pero: PSI −=

( ) 1i1PI n −+= (3)

Como

( )ni1

SP+

= (4)


( )

( )[ ]1i1i1

SI nn

−++

=

O también ( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SI


PSD −=

( )ni1PS +=

( )

+−−=

ni111SD

( )ni1SSD+

−=


Cálculo Financiero

23



Si (1)

Pero,

De donde ( )ni1

SP+

= (2)



( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SD

Pero: PSI −=

( ) 1i1PI n −+= (3)

Como

( )ni1

SP+

= (4)


( )

( )[ ]1i1i1

SI nn

−++

=

O también ( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SI


PSD −=

( )ni1PS +=

( )

+−−=

ni111SD

( )ni1SSD+

−=


34Unidad I


Pero:

Como


O también

Que es equivalente a la fórmula del descuento

◊ CÁLCULO dEL vALOR PREsENtE

Fórmula principal

Fórmulas derivadas

4.1.6. descuento comercial sucesivo (dcs)

Ocurre cuando se aplican diferentes tasas de descuento sobre el precio original de venta y los siguientes sobre los precios ya rebajados. El DCS es igual a la diferencia del precio de venta (Pv) original y el último precio rebajado.

El término entre corchetes representa la tasa de descuento acumulada.

4.1.7. tasa vencida y tasa adelantada

◊ La tasa vencida (i) es la tasa a ser aplicada a un capital inicial, la cual se hace efectiva al vencimiento del plazo de la operación pactada (cálculo racional). Todas las fórmulas del cálculo mercantil se basan en tasas vencidas.

◊ La tasa adelantada o anticipada (d) nos permite conocer el precio que habrá de pagarse por la percepción de una deuda antes de su vencimiento. La tasa adelantada determina el porcentaje en que disminuye el valor nominal de un título valor, tomando en consi-deración el tiempo por transcurrir entre la fecha que se anticipa el pago y la fecha de su vencimiento. En forma matemática es aquella tasa que, multiplicada por un valor futuro, (s) lo disminuye para determinar un valor presente.

Cálculo Financiero

23



Si (1)

Pero,

De donde ( )ni1

SP+

= (2)



( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SD

Pero: PSI −=

( ) 1i1PI n −+= (3)

Como

( )ni1

SP+

= (4)


( )

( )[ ]1i1i1

SI nn

−++

=

O también ( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SI


PSD −=

( )ni1PS +=

( )

+−−=

ni111SD

( )ni1SSD+

−=


Cálculo Financiero

23



Si (1)

Pero,

De donde ( )ni1

SP+

= (2)



( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SD

Pero: PSI −=

( ) 1i1PI n −+= (3)

Como

( )ni1

SP+

= (4)


( )

( )[ ]1i1i1

SI nn

−++

=

O también ( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SI


PSD −=

( )ni1PS +=

( )

+−−=

ni111SD

( )ni1SSD+

−=


Cálculo Financiero

23



Si (1)

Pero,

De donde ( )ni1

SP+

= (2)



( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SD

Pero: PSI −=

( ) 1i1PI n −+= (3)

Como

( )ni1

SP+

= (4)


( )

( )[ ]1i1i1

SI nn

−++

=

O también ( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SI


PSD −=

( )ni1PS +=

( )

+−−=

ni111SD

( )ni1SSD+

−=


Cálculo Financiero

23



Si (1)

Pero,

De donde ( )ni1

SP+

= (2)



( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SD

Pero: PSI −=

( ) 1i1PI n −+= (3)

Como

( )ni1

SP+

= (4)


( )

( )[ ]1i1i1

SI nn

−++

=

O también ( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SI


PSD −=

( )ni1PS +=

( )

+−−=

ni111SD

( )ni1SSD+

−=


Cálculo Financiero

23



Si (1)

Pero,

De donde ( )ni1

SP+

= (2)



( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SD

Pero: PSI −=

( ) 1i1PI n −+= (3)

Como

( )ni1

SP+

= (4)


( )

( )[ ]1i1i1

SI nn

−++

=

O también ( )( )

+

−+=

n

n

i11i1SI


PSD −=

( )ni1PS +=

( )

+−−=

ni111SD

( )ni1SSD+

−=



24


Fórmula principal

Fórmulas derivadas

4.1.6 DESCUENTO COMERCIAL SUCESIVO (DCS)

Ocurre cuando se aplican diferentes tasas de descuento sobre el precio original de venta y los siguientes sobre los precios ya rebajados. El DCS es igual a la diferencia del precio de venta (PV) original y el último precio rebajado.

( )( )( ) ( )[ ]n321 d1...d1d1d11PVDCS −−−−−=

El término entre corchetes representa la tasa de descuento acumulada

4.1.7 TASA VENCIDA Y TASA ADELANTADA

• La tasa vencida (i) es la tasa a ser aplicada a un capital inicial, la cual se hace efectiva al vencimiento del plazo de la operación pactada (cálculo racional). Todas las formulas del cálculo mercantil se basan en todas vencidas.

• La tasa adelantada o anticipada (d) nos permite conocer el precio que habrá de pagarse por la percepción de una deuda antes de su vencimiento. La tasa adelantada determina el porcentaje en que disminuye el valor nominal de un título valor, tomando en consideración el tiempo por transcurrir entre las fechas que se anticipa el pago y la fecha de su vencimiento. En forma matemática es aquella tasa que multiplicada por un valor futuro (S) lo disminuye para determinar un valor presente.

• TASA ADELANTADA EQUIVALENTE A UNA TASA VENCIDA:

Si la tasa adelantada (d) se aplica sobre (S) y la tasa vencida se aplica sobre (P), entonces, ¿qué tasa adelantada debe aplicarse a una determinada operación para obtener un rendimiento equivalente a una tasa vencida dada?

( )i1id+

=

• TASA VENCIDA EQUIVALENTE A UNA TASA ADELANTADA:

Si conocemos la tasa d entonces podemos calcular su equivalente, a partir de

( )d1di−

=

n)d1(SP −=

( )nd1PS−

= nSP1d −= )d1log(

SlogPlogn−

−=



24


Fórmula principal

Fórmulas derivadas



( )( )( ) ( )[ ]n321 d1...d1d1d11PVDCS −−−−−=







( )i1id+

=



( )d1di−

=

n)d1(SP −=

( )nd1PS−


SlogPlogn−

−=




◊ tAsA AdELANtAdA EQUIvALENtE A UNA tAsA vENCIdA:

Si la tasa adelantada (d) se aplica sobre (s) y la tasa vencida se aplica sobre (P), enton-ces, ¿qué tasa adelantada debe aplicarse a una determinada operación para obtener un rendimiento equivalente a una tasa vencida dada?

◊ tAsA vENCIdA EQUIvALENtE A UNA tAsA AdELANtAdA:

Si conocemos la tasa d, entonces podemos calcular su equivalente, a partir de

ACtIvIdAdEs

1. El alumno desarrollará casos de cálculo con tasas de interés compuesta.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. El alumno preparará un resumen relacionado con tasas de interés compuesta.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


24


Fórmula principal

Fórmulas derivadas



( )( )( ) ( )[ ]n321 d1...d1d1d11PVDCS −−−−−=







( )i1id+

=



( )d1di−

=

n)d1(SP −=

( )nd1PS−


SlogPlogn−

−=



24


Fórmula principal

Fórmulas derivadas



( )( )( ) ( )[ ]n321 d1...d1d1d11PVDCS −−−−−=







( )i1id+

=



( )d1di−

=

n)d1(SP −=

( )nd1PS−


SlogPlogn−

−=


36Unidad I


AUtOEvALUACIóN

1. Explique o defina interés simple. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Explique o defina interés compuesto.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Explique las diferencias fundamentales del interés simple e interés compuesto.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Explique las diferencias fundamentales de descuento comercial simple y descuento comercial compuesto.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. ¿Cuál es el monto que formó un capital de s/.12,000.00 durante 6 meses, si una financiera le paga el 0.7 % de interés no acumulable mensualmente?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



6. ¿Cuál es el descuento comercial que se obtiene en una compra de s/.900.00 pagadera al final de 90 días, si el descuento es el 4/8 % cada 30 días?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Un monto de s/. 125,000.00 fue formado durante 3 años y cuatro meses, a una tasa del 12%. Calcular el capital que formó dicho monto.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. Un padre de familia registra ante Notario Público un testamento en el que deja como herencia s/. 4,000,000.00, los hijos deben retirar la herencia de la financiera después de transcurridos 4.5 años, con una tasa de interés capitalizable del 2/8 % mensual, el primer hijo tendrá 23 años de edad, el segundo hijo tendrá 21 años de edad y el tercer hijo tendrá 18 años de edad.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. ¿Cuánto recibirá cada hijo, si la herencia se distribuye de acuerdo a su edad?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


ANUALIdAdEs

sesión N.º 5 ¿Cómo calcular el número y el valor de la cuota en un plan de financiamiento o acumulación de capital?

sesión N.º 6 Anualidades anticipadas

sesión N.º 7 Anualidades perpetuas o indefinidas

sesión N.º 8 Anualidades diferidas

sesión N.º 9 Bonos y acciones

UNIdAd II


Al término de la unidad, el estudiante maneja y apli-ca con destreza las anualidades en sus modalidades básicas, para el desarrollo armonioso en las finanzas empresariales.


Se denomina anualidad a una serie de pagos iguales que se hacen a intervalos de tiempos similares y uniformes, a fin que con sus intereses capitalizados formen un capital o se uti-licen para amortizar una deuda al término de un período dado, conocido como anualidad.

Anualidad, en el sentido más amplio, significa una serie de pagos iguales, realizados a in-tervalos también iguales, previamente establecidos, ya se trate de períodos de un año, 6 meses, 3 meses o de una serie de cualquier otra duración.

5.1. CLAsEs

Las anualidades se dividen en:

5.1.1. Anualidades fijas:

Las que pueden ser:

a. Anualidades ordinarias: Llamadas también vencidas o de fin de período. Son series de pagos hechos al final de cada período por un plazo dado.

b. Anualidades anticipadas: Llamadas también adelantadas, de imposición, no vencidas o de principios de período. Son series de pagos hechos al principio de cada período hasta por un plazo dado.

5.1.2. Perpetuidades:

Denominadas también rentas vitalicias. Son una serie de pagos hechos por una duración indeterminada. Pueden ser anticipadas, vencidas o diferidas.

Si alguno necesita sabiduría, pídala a Dios, quien da a todos genero-samente, y sin reproche. Y le será dada. Santiago 1:5.

¿Cómo calcular elnúmero y el valor de la cuota en un plan de financiamiento o acumulación de capital?

sesión5

Cálculo Financiero

29


R1 R2 R3 R4 R5

0 1 2 3 4 5


R1 R2 R3 R4 R5 0 1 2 3 4 5

5.1.2 Perpetuidades: Denominadas también rentas vitalicias. Son una serie de pagos

hechos por una duración indeterminada. Pueden ser anticipadas, vencidas o diferidas

Perpetuidad vencida: R1 R2 R3 R4 R5 Rn

0 1 2 3 4 5 n

5.1.3 Anualidades eventuales: Son series de pagos hechos en forma esporádica o diferida.

Cualquiera que sea la clase de anualidad, el valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta o simplemente anualidad y se representa por R.

5.2 Monto de una anualidad ordinaria

El monto de una anualidad ordinaria o valor futuro (S) es la suma al final del número de períodos de todos los pagos más el interés sobre estos pagos.

( ) R1

1i1Sn

•−+

=

5.3 Cálculo de renta de una anualidad ordinariaCon frecuencia se conoce el monto de una anualidad ordinaria y se desea encontrar la renta periódica. Como sucede por ejemplo en los problemas de fondos de amortización la fórmula se determina despejando R de la fórmula general.

a. CÁLCULO DEL VALOR FUTURO (S):

( ) Ri

1i1Sn

•−+

=

Despejando R

( ) 1i1SiR

n −+=

O también,


Cálculo Financiero

29


R1 R2 R3 R4 R5

0 1 2 3 4 5


R1 R2 R3 R4 R5 0 1 2 3 4 5




0 1 2 3 4 5 n





( ) R1

1i1Sn

•−+

=



( ) Ri

1i1Sn

•−+

=

Despejando R

( ) 1i1SiR

n −+=

O también,



Perpetuidad vencida:

5.1.3 Anualidades eventuales:

Son series de pagos hechos en forma esporádica o diferida.


5.2 MONtO dE UNA ANUALIdAd ORdINARIA

El monto de una anualidad ordinaria o valor futuro (S) es la suma al final del número de períodos de todos los pagos, más el interés sobre estos pagos.

5.3 CÁLCULO dE RENtA dE UNA ANUALIdAd ORdINARIA

Con frecuencia se conoce el monto de una anualidad ordinaria y se desea encontrar la renta periódica. Como sucede, por ejemplo, en los problemas de fondos de amortización la fór-mula se determina despejando R de la fórmula general.

a. CÁLCULO dEL vALOR FUtURO (s):

despejando R

O también,

b. CÁLCULO dEL vALOR PREsENtE (P):

Cálculo Financiero

29


R1 R2 R3 R4 R5

0 1 2 3 4 5


R1 R2 R3 R4 R5 0 1 2 3 4 5




0 1 2 3 4 5 n





( ) R1

1i1Sn

•−+

=



( ) Ri

1i1Sn

•−+

=

Despejando R

( ) 1i1SiR

n −+=

O también,


Cálculo Financiero

29


R1 R2 R3 R4 R5

0 1 2 3 4 5


R1 R2 R3 R4 R5 0 1 2 3 4 5




0 1 2 3 4 5 n





( ) R1

1i1Sn

•−+

=



( ) Ri

1i1Sn

•−+

=

Despejando R

( ) 1i1SiR

n −+=

O también,


Cálculo Financiero

29


R1 R2 R3 R4 R5

0 1 2 3 4 5


R1 R2 R3 R4 R5 0 1 2 3 4 5




0 1 2 3 4 5 n





( ) R1

1i1Sn

•−+

=



( ) Ri

1i1Sn

•−+

=

Despejando R

( ) 1i1SiR

n −+=

O también,


Cálculo Financiero

29


R1 R2 R3 R4 R5

0 1 2 3 4 5


R1 R2 R3 R4 R5 0 1 2 3 4 5




0 1 2 3 4 5 n





( ) R1

1i1Sn

•−+

=



( ) Ri

1i1Sn

•−+

=

Despejando R

( ) 1i1SiR

n −+=

O también,

PROESAD Programa de Educación Superior a DistanciaCPCC Santos Alberto farfán Peña

30

( )[ ]

iiSR n 11 −+

=

b. CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE (P):

( )[ ]

( ) 111

−++

= n

n

iiiPR

5.4 Cálculo del plazo (n) a. EN FUNCIÓN AL FACTOR DE CAPITALIZACIÓN DE LA SERIE FCS

( ) Ri

1i1Sn

•

−+=

( )ni1R

RSi+=

+

( ) ( )i1lognRlogRSilog +=−+

( ))i1log(

RlogRSilogn+−+

=

5.5 Cálculo de la tasa de interés Cuando es una anualidad se reconoce P, R, S y n aceptando la tasa efectiva periódica, entonces ésta es posible hallarla planteando la ecuación de equivalencia y buscando el valor de la tasa aplicando la interpolación lineal.

Actividades:3. El alumno desarrollará casos de cálculo de cuotas de amortizaciones de

deudas.4. El alumno preparará un resumen de relacionado al tema de cuotas de

amortizaciones de deudas.



30

( )[ ]

iiSR n 11 −+

=


( )[ ]

( ) 111

−++

= n

n

iiiPR


( ) Ri

1i1Sn

•

−+=

( )ni1R

RSi+=

+


( ))i1log(

RlogRSilogn+−+

=






42Unidad II



5.4. CÁLCULO dEL PLAZO (N)

a. EN FUNCIóN AL FACtOR dE CAPItALIZACIóN dE LA sERIE FCs

5.5. CÁLCULO dE LA tAsA dE INtERés

Cuando es una anualidad se reconoce P, R, S y n aceptando la tasa efectiva periódica, en-tonces esta es posible hallarla planteando la ecuación de equivalencia y buscando el valor de la tasa aplicando la interpolación lineal.


30

( )[ ]

iiSR n 11 −+

=


( )[ ]

( ) 111

−++

= n

n

iiiPR


( ) Ri

1i1Sn

•

−+=

( )ni1R

RSi+=

+


( ))i1log(

RlogRSilogn+−+

=







ACtIvIdAdEs

1. El alumno desarrollará casos de cálculo de cuotas de amortizaciones de deudas._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. El alumno preparará un resumen relacionado al tema de cuotas de amortizaciones de deudas._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

44Unidad II



Anualidades anticipadas

sesión

6

6.1. ANUALIdAdEs ANtICIPAdAs

Una anualidad anticipada es una sucesión de rentas que empiezan en el momento inicial, es decir, al inicio del período de renta, como sucede con el pago de arrendamientos, las pólizas de seguro, las pensiones de enseñanza, etc.

La diferencia entre una anualidad simple vencida y una anualidad simple anticipada, dado un número igual de rentas, radica en que la última renta no percibe interés porque coincide con el término del plazo de la anualidad; mientras que en la anualidad anticipada la última renta no coincide con el final del plazo de la anualidad, ubicándose al inicio del último pe-ríodo de renta y percibiendo el interés o beneficio hasta el final del período, fecha en que concluye el plazo de la anualidad.

a. MONtO dE UNA ANUALIdAd sIMPLE ANtICIPAdA

b. vALOR PREsENtE dE UNA ANUALIdAd sIMPLE ANtICIPAdA

c. vALOR dE LAs RENtAs EN ANUALIdAdEs sIMPLEs ANtICIPAdAs

c1) CONOCIENdO EL vALOR FUtURO (s)


32

a. MONTO DE UNA ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADA

( ) ( )

−++=

iiiRS

n

a111

B. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADA

( ) ( )( )

+−+

+= n

n

a iiiiRP

1111

c. VALOR DE LAS RENTAS EN ANUALIDADES SIMPLES ANTICIPADAS c1) CONOCIENDO EL VALOR FUTURO (S)

( ) ( )

−++=

1i1i

i1SR na

c2) CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE (P)

( )( )

−+

++

=1i1

i1ii1

PR n

n

a

d. CÁLCULO DE n EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

d1) A PARTIR DEL VALOR FUTURO (S)

( )( )i1log

1i1R

Silogn a

+

+

+=

d2) A PARTIR DEL VALOR PRESENTE (P)

( )( )i1log

i1RPi1log

n a

+

+

−−=

6.2. CALENDARIO DE PAGOS, CUADRO DE AMORTIZACIÓN Y TABLA DE ACUMULACIÓN

Es la tabla de amortización que muestra la devolución de un capital o la formación de un capital a partir de la renta de una anualidad vencida o anticipada, a un plazo acordado previamente y una tasa efectiva periódica. El número de rentas puede calcularse tanto del valor actual o futuro del capital involucrado.



32


( ) ( )

−++=

iiiRS

n

a111


( ) ( )( )

+−+

+= n

n

a iiiiRP

1111


( ) ( )

−++=

1i1i

i1SR na


( )( )

−+

++

=1i1

i1ii1

PR n

n

a



( )( )i1log

1i1R

Silogn a

+

+

+=


( )( )i1log

i1RPi1log

n a

+

+

−−=





32


( ) ( )

−++=

iiiRS

n

a111


( ) ( )( )

+−+

+= n

n

a iiiiRP

1111


( ) ( )

−++=

1i1i

i1SR na


( )( )

−+

++

=1i1

i1ii1

PR n

n

a



( )( )i1log

1i1R

Silogn a

+

+

+=


( )( )i1log

i1RPi1log

n a

+

+

−−=





c2) CONOCIENdO EL vALOR PREsENtE (P)

d. CÁLCULO dE n EN UNA ANUALIdAd ANtICIPAdA

d1) A PARtIR dEL vALOR FUtURO (s)

d2) A PARtIR dEL vALOR PREsENtE (P)

6.2. CALENdARIO dE PAGOs, CUAdRO dE AMORtIZACIóN y tAbLA dE ACUMULACIóN


En el caso del repago de una deuda, se detalla un cronograma el servicio de la deuda (suma de principal más intereses), fechas, cuota capital, intereses correspondientes y principal pendiente de pago. veamos el caso de un préstamo por $10,000 a una tasa de interés efectiva anual del 12% por un plazo de 5 años.

1ro: Determinar el monto del pago periódico (Renta o cuota)


32


( ) ( )

−++=

iiiRS

n

a111


( ) ( )( )

+−+

+= n

n

a iiiiRP

1111


( ) ( )

−++=

1i1i

i1SR na


( )( )

−+

++

=1i1

i1ii1

PR n

n

a



( )( )i1log

1i1R

Silogn a

+

+

+=


( )( )i1log

i1RPi1log

n a

+

+

−−=





32


( ) ( )

−++=

iiiRS

n

a111


( ) ( )( )

+−+

+= n

n

a iiiiRP

1111


( ) ( )

−++=

1i1i

i1SR na


( )( )

−+

++

=1i1

i1ii1

PR n

n

a



( )( )i1log

1i1R

Silogn a

+

+

+=


( )( )i1log

i1RPi1log

n a

+

+

−−=





32


( ) ( )

−++=

iiiRS

n

a111


( ) ( )( )

+−+

+= n

n

a iiiiRP

1111


( ) ( )

−++=

1i1i

i1SR na


( )( )

−+

++

=1i1

i1ii1

PR n

n

a



( )( )i1log

1i1R

Silogn a

+

+

+=


( )( )i1log

i1RPi1log

n a

+

+

−−=




Cálculo Financiero

En el caso del repago de una deuda se detalla un cronograma el servicio de la deuda (suma de principal más intereses), fechas, cuota capital, intereses correspondientes y principal pendiente de pago. Veamos el caso de un préstamo por $10,000 a una tasa de interés efectiva anual del 12% por un plazo de 5 años.


Valor Presente = Renta (FIVPA* i%,n) $10,000 = Renta (FIVPA* 12%,5) $10,000 = Renta (3.605)

Renta = $10,000 / 3.605 = $2,774

FIVPA*= 1 - 1 = 3.605 0.12 (0.12) (1.12)5

* FIVPA= Factor de interés acumulado del valor presente de una anualidad vencida

2do: Construir la tabla de amortización

*: Redondeo por decimales

El calendario de pagos desarrollado es el más utilizado por las instituciones financieras, donde el servicio de la deuda es constante (R), los intereses son decrecientes y la amortización del principal creciente. El cuadro de amortización permite examinar el correcto cálculo de los intereses a pagar o a recibir.

Otra práctica utilizada es devolver el préstamo en partes iguales y los intereses se cobran a rebatir. Del ejemplo anterior, en cada período habría que devolver $2,000 ($10,000/5) y en cada oportunidad pagar los intereses que correspondan sobre el saldo de principal adeudado.

Fin deAño

Cuota Inter s Principal BalanceFinal

0 --- --- --- $10,0001 $2,774 $1,200 $1,574 8,4262 2,774 1,011 1,763 6,6633 2,774 800 1,974 4,6894 2,774 563 2,211 2,4785 2,775 297 2,478 0

$13,871 $3,871 $10,000

Fin deAño

é

0 --- ---12345 *

Cuota Interés Principal

--- $10,000$3,200 $1,200 $2,000 8,0002,960 960 2,000 6,0002,720 720 2,000 4,0002,480 480 2,000 2,0002,240 240 2,000 0

$13,600 $3,600 $10,000

Fin deAño

Fin deAño

Interés Principal BalanceFinal

--- ---

2,9602,7202,480

012345 2,240

Cálculo Financiero




Renta = $10,000 / 3.605 = $2,774

FIVPA*= 1 - 1 = 3.605 0.12 (0.12) (1.12)5






Fin deAño


0 --- --- --- $10,0001 $2,774 $1,200 $1,574 8,4262 2,774 1,011 1,763 6,6633 2,774 800 1,974 4,6894 2,774 563 2,211 2,4785 2,775 297 2,478 0

$13,871 $3,871 $10,000

Fin deAño

é

0 --- ---12345 *


--- $10,000$3,200 $1,200 $2,000 8,0002,960 960 2,000 6,0002,720 720 2,000 4,0002,480 480 2,000 2,0002,240 240 2,000 0

$13,600 $3,600 $10,000

Fin deAño

Fin deAño


--- ---

2,9602,7202,480

012345 2,240

Cálculo Financiero




Renta = $10,000 / 3.605 = $2,774

FIVPA*= 1 - 1 = 3.605 0.12 (0.12) (1.12)5






Fin deAño


0 --- --- --- $10,0001 $2,774 $1,200 $1,574 8,4262 2,774 1,011 1,763 6,6633 2,774 800 1,974 4,6894 2,774 563 2,211 2,4785 2,775 297 2,478 0

$13,871 $3,871 $10,000

Fin deAño

é

0 --- ---12345 *


--- $10,000$3,200 $1,200 $2,000 8,0002,960 960 2,000 6,0002,720 720 2,000 4,0002,480 480 2,000 2,0002,240 240 2,000 0

$13,600 $3,600 $10,000

Fin deAño

Fin deAño


--- ---

2,9602,7202,480

012345 2,240

Cálculo Financiero




Renta = $10,000 / 3.605 = $2,774

FIVPA*= 1 - 1 = 3.605 0.12 (0.12) (1.12)5






Fin deAño


0 --- --- --- $10,0001 $2,774 $1,200 $1,574 8,4262 2,774 1,011 1,763 6,6633 2,774 800 1,974 4,6894 2,774 563 2,211 2,4785 2,775 297 2,478 0

$13,871 $3,871 $10,000

Fin deAño

é

0 --- ---12345 *


--- $10,000$3,200 $1,200 $2,000 8,0002,960 960 2,000 6,0002,720 720 2,000 4,0002,480 480 2,000 2,0002,240 240 2,000 0

$13,600 $3,600 $10,000

Fin deAño

Fin deAño


--- ---

2,9602,7202,480

012345 2,240

Cálculo Financiero




Renta = $10,000 / 3.605 = $2,774

FIVPA*= 1 - 1 = 3.605 0.12 (0.12) (1.12)5






Fin deAño


0 --- --- --- $10,0001 $2,774 $1,200 $1,574 8,4262 2,774 1,011 1,763 6,6633 2,774 800 1,974 4,6894 2,774 563 2,211 2,4785 2,775 297 2,478 0

$13,871 $3,871 $10,000

Fin deAño

é

0 --- ---12345 *


--- $10,000$3,200 $1,200 $2,000 8,0002,960 960 2,000 6,0002,720 720 2,000 4,0002,480 480 2,000 2,0002,240 240 2,000 0

$13,600 $3,600 $10,000

Fin deAño

Fin deAño


--- ---

2,9602,7202,480

012345 2,240

Cálculo Financiero




Renta = $10,000 / 3.605 = $2,774

FIVPA*= 1 - 1 = 3.605 0.12 (0.12) (1.12)5






Fin deAño


0 --- --- --- $10,0001 $2,774 $1,200 $1,574 8,4262 2,774 1,011 1,763 6,6633 2,774 800 1,974 4,6894 2,774 563 2,211 2,4785 2,775 297 2,478 0

$13,871 $3,871 $10,000

Fin deAño

é

0 --- ---12345 *


--- $10,000$3,200 $1,200 $2,000 8,0002,960 960 2,000 6,0002,720 720 2,000 4,0002,480 480 2,000 2,0002,240 240 2,000 0

$13,600 $3,600 $10,000

Fin deAño

Fin deAño


--- ---

2,9602,7202,480

012345 2,240

46Unidad II



* FIvPA= Factor de interés acumulado del valor presente de una anualidad vencida2do: Construir la tabla de amortización


El calendario de pagos desarrollado es el más utilizado por las instituciones financieras, donde el servicio de la deuda es constante (R), los intereses son decrecientes y la amortiza-ción del principal creciente. El cuadro de amortización permite examinar el correcto cálculo de los intereses a pagar o a recibir.

Otra práctica utilizada es devolver el préstamo en partes iguales y los intereses se cobran a rebatir. Del ejemplo anterior, en cada período habría que devolver $2,000 ($10,000/5) y en cada oportunidad pagar los intereses que correspondan sobre el saldo principal adeudado.

vemos el siguiente caso de cuadro de servicio de la deuda con formación de un fondo de amortización del principal.

Una empresa obtiene un préstamo por S/.10’360,000 para efectuar ampliaciones en su planta. El período de repago es en una sola cuota al término del 8º año y la tasa efectiva anual es del 21.7% p.a. El banco de inversión le exige a la empresa formar un fondo de amortización por el cual los depósitos ganarían una tasa efectiva del 10.25% al año.

SE PIDE: Elaborar el cuadro del fondo de amortización del principal

1ro: Determinar el monto del depósito periódico (Renta o cuota)

Cálculo Financiero




Renta = $10,000 / 3.605 = $2,774

FIVPA*= 1 - 1 = 3.605 0.12 (0.12) (1.12)5






Fin deAño


0 --- --- --- $10,0001 $2,774 $1,200 $1,574 8,4262 2,774 1,011 1,763 6,6633 2,774 800 1,974 4,6894 2,774 563 2,211 2,4785 2,775 297 2,478 0

$13,871 $3,871 $10,000

Fin deAño

é

0 --- ---12345 *


--- $10,000$3,200 $1,200 $2,000 8,0002,960 960 2,000 6,0002,720 720 2,000 4,0002,480 480 2,000 2,0002,240 240 2,000 0

$13,600 $3,600 $10,000

Fin deAño

Fin deAño


--- ---

2,9602,7202,480

012345 2,240

Cálculo Financiero




Renta = $10,000 / 3.605 = $2,774

FIVPA*= 1 - 1 = 3.605 0.12 (0.12) (1.12)5






Fin deAño


0 --- --- --- $10,0001 $2,774 $1,200 $1,574 8,4262 2,774 1,011 1,763 6,6633 2,774 800 1,974 4,6894 2,774 563 2,211 2,4785 2,775 297 2,478 0

$13,871 $3,871 $10,000

Fin deAño

é

0 --- ---12345 *


--- $10,000$3,200 $1,200 $2,000 8,0002,960 960 2,000 6,0002,720 720 2,000 4,0002,480 480 2,000 2,0002,240 240 2,000 0

$13,600 $3,600 $10,000

Fin deAño

Fin deAño


--- ---

2,9602,7202,480

012345 2,240


34

Vemos el siguiente caso de cuadro de servicio de la deuda con formación de un fondo de amortización del principal.

Una empresa obtiene un préstamo por S/.10’360,000 para efectuar ampliaciones en su planta. El periodo de repago es en una sola cuota al término del 8º año y la tasa efectiva anual es del 21.7% p.a. El banco de inversión le exige a la empresa a formar un fondo de amortización por el cual los depósitos gana-rían una tasa efectiva del 10.25% al año.

SE PIDE: Elaborar el cuadro del fondo de amortización del principal

1ro: Determinar el monto del depósito periódico (Renta o cuota)

Valor futuro = Renta (FIVFA* i%,n) 10’360,000 = Renta (FIVFA* 10.25%,8) 10’360,000 = Renta (11.5402399)

Renta = 10’360,000 / 11.540 = 897,728.31

FIVFA*= 1 - 1 [1.01025]8 = 11.5402399 0.1025 (0.12) (1.12)8

* FIVPA= Factor de interés acumulado del valor futuro de una anualidad vencida

Actividades:5. El alumno desarrollará casos de cálculo de anualidades anticipadas.6. El alumno preparará un resumen de relacionado al tema de anualidades

perpetuas de dos autores anticipadas.

Años Depósito anual Intereses generados

Fondo acumulado al final del periodo

1 897,728.31 897,728.312 897,728.31 92,017.15 1’887,473.773 897,728.31 193,466.06 2’978,668.144 897,728.31 305,313.48 4’181,709.935 897,728.31 428,625.27 5’508,063.516 897,728.31 564,576.51 6’970,368.337 897,728.31 714,462.75 8’582,559.398 897,728.27 879,712.34 10’360,000.00

7’181,826.16 3’178,173.84



* FIvPA= Factor de interés acumulado del valor futuro de una anualidad vencida

Años Depósito anual Intereses generados

Fondo acumulado al final del período

1 897,728.31 897,728.31

2 897,728.31 92,017.15 1’887,473.77

3 897,728.31 193,466.06 2’978,668.14

4 897,728.31 305,313.48 4’181,709.93

5 897,728.31 428,625.27 5’508,063.51

6 897,728.31 564,576.51 6’970,368.33

7 897,728.31 714,462.75 8’582,559.39

8 897,728.27 879,712.34 10’360,000.00

7’181,826.16 3’178,173.84

48Unidad II



ACtIvIdAdEs

1. El alumno desarrollará casos de cálculo de anualidades anticipadas._________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. El alumno preparará un resumen relacionado al tema de anualidades perpetuas anticipadas de dos autores._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Anualidades perpetuas oindefinidas

sesión7

7.1. RENtAs PERPEtUAs

Las rentas perpetuas son aquellas cuyo número de términos es infinito. Por este motivo a este tipo de rentas solo se le podrá calcular valor actual pero nunca el valor final, y todo ello con independencia de que sea pospagable o prepagable, constante o variable, etc.

El valor actual de estas rentas se obtendrá viendo qué ocurre si aplicamos las fórmulas empleadas para rentas temporales y, en lugar de utilizar un número finito de capitales (n), trabajamos con infinitos términos (∞∞). En definitiva, se trata de trabajar con el concepto matemático de los límites, cuando la duración de la renta (y, por tanto, el número de capi-tales) tiende a infinito.

En el caso de renta constante, pospagable, inmediata y entera:•Rentaunitaria:

•Rentanounitaria:Será la cuantía del término multiplicado por la renta unitaria:

En el caso de una renta constante, prepagable, inmediata y entera, se puede hacer uso de la definición de renta perpetua, pero también se puede hacer uso de la regla habitual de calcular la renta prepagable multiplicando por (1 + i) la misma renta considerada pospagable.

•Rentaunitaria:

Ingresos


36

El valor actual de estas rentas se obtendrá viendo qué ocurre si aplicamos las fórmulas empleadas para rentas temporales y en lugar de utilizar un número finito de capitales (n) trabajamos con infinitos términos (∞∞). En definitiva, se trata de trabajar con el concepto matemático de los límites, cuando la duración de la renta (y por tanto, el número de capitales) tiende a infinito.

En el caso de renta constante, pospagable, inmediata y entera:• Renta unitaria:

• Renta no unitaria:Será la cuantía del término multiplicado por la renta unitaria:

En el caso de una renta constante, prepagable, inmediata y entera, se puede hacer uso de la definición de renta perpetua, pero también se puede hacer uso de la regla habitual de calcular la renta prepagable multiplicando por (1 + i) la misma renta considerada pospagable.• Renta unitaria:

• Renta no unitaria:

Hallar el valor actual de una renta perpetua semestral con un término de 25.000 euros si el tanto de valoración es el 12% nominal capitalizable por semestres, en los siguientes casos:

a) Si los capitales son pospagables.b) Si los capitales son prepagables.



36










36











36










36










36









Cálculo Financiero

37

a) Pospagables:

b) Prepagables:

7.2. ¿CÓMO CALCULAR TASAS, VALOR ACTUAL Y VALOR FINAL?

Por medio de gráficos debemos determinar las entradas (+) y salidas de efectivo (-). Luego con las fórmulas expuestas, una calculadora financiera o las fórmulas de una hoja de cálculo, podemos resolver rápidamente los problemas concernientes al valor del dinero en el tiempo a una fecha focal, sea actualizando para hallar un valor actual o capitalizando para hallar un valor futuro.

Ejemplo 1: Una máquina cuyo precio de contado es S/. 10000 fue adquirida con una cuota inicial de S/. 3000 y el saldo se financió con una letra a 60 días por un monto de S/. 7500. ¿Cuál fue la tasa nominal mensual de interés simple cargada?

• Solución gráfica

Valor_nominal = 7,500

0 TasaInt = ? día 60

Valor bien de capital 10,000 Cuota inicial – 3,000 Saldo neto a pagar 7,000

• Uso de Funciones de Excel: TASA.INT

Ingresos

0 1 2 3 nn - 1 Tiempo0 1 2 3 nn - 1Egresos

Presente (hoy)FECHA FOCAL


Cálculo Financiero

37

a) Pospagables:

b) Prepagables:









Ingresos




Cálculo Financiero

37

a) Pospagables:

b) Prepagables:









Ingresos




•Rentanounitaria:

Hallar el valor actual de una renta perpetua semestral con un término de 25.000 euros, si el tanto de valoración es el 12% nominal capitalizable por semestres, en los siguientes casos:

a. Si los capitales son pospagables.b. Si los capitales son prepagables.

a. Pospagables:

b. Prepagables:

7.2. ¿CóMO CALCULAR tAsAs, vALOR ACtUAL y vALOR FINAL?

Por medio de gráficos debemos determinar las entradas (+) y salidas de efectivo (-). Luego con las fórmulas expuestas, una calculadora financiera o las fórmulas de una hoja de cál-culo, podemos resolver rápidamente los problemas concernientes al valor del dinero en el tiempo a una fecha focal, sea actualizando para hallar un valor actual o capitalizando para hallar un valor futuro.

Ejemplo 1: Una máquina cuyo precio al contado es S/. 10000 fue adquirida con una cuota inicial de S/. 3000 y el saldo se financió con una letra a 60 días por un monto de S/. 7500. ¿Cuál fue la tasa nominal mensual de interés simple cargada?

◊ solución gráfica

Cálculo Financiero

37

a) Pospagables:

b) Prepagables:









Ingresos




Cálculo Financiero

37

a) Pospagables:

b) Prepagables:









Ingresos




Cálculo Financiero

37

a) Pospagables:

b) Prepagables:









Ingresos




Cálculo Financiero

37

a) Pospagables:

b) Prepagables:









Ingresos




Cálculo Financiero

37

a) Pospagables:

b) Prepagables:









Ingresos





36










36










36









52Unidad II



◊ Uso de Funciones de Excel: tAsA.INt

Rp. La TNA es 42,86%, que al dividirla por 12, se obtiene una TNM de 3,57%

Ejemplo 2: ¿Cuál será la TNA con capitalización mensual equivalente a una TEA de 20%?

Solución

Respuesta: La TNA es 18,37%


38


Ejemplo 2: ¿Cuál será la TNA con capitalización mensual equivalente a una TEAde 20%?

Solución


Actividades:7. El alumno desarrollará casos de cálculo de anualidades perpetuas.8. El alumno preparará un resumen de relacionado al tema de anualidades

perpetuas de dos autores diferentes.



38


Ejemplo 2: ¿Cuál será la TNA con capitalización mensual equivalente a una TEAde 20%?

Solución


Actividades:7. El alumno desarrollará casos de cálculo de anualidades perpetuas.8. El alumno preparará un resumen de relacionado al tema de anualidades

perpetuas de dos autores diferentes.



ACtIvIdAdEs

1. El alumno desarrollará casos de cálculo de anualidades perpetuas. _________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. El alumno preparará un resumen relacionado al tema de anualidades perpetuas, de dos autores diferentes._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

54Unidad II



ANUALIdAdEs dIFERIdAs

sesión

8

8.1. ANUALIdAdEs dIFERIdAs

Las anualidades diferidas son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas, sal-vo que estas tengan un período de gracia. También se puede interpretar que son aquellas en las cuales el primer pago se hace algún tiempo después del término del primer período de interés.

Ejemplo uno. Un puente recién construido no necesitará reparación hasta el término del quinto (5) año, cuando se requerirán 300 quetzales anuales para reparaciones. Se estima que, de ahí en adelante, se necesitarán 300 quetzales al final de cada año en los próximos 20 años. Hallar el valor presente X, del mantenimiento del puente, sobre la base de 3%.

8.1.1. Graficando el diagrama de tiempo-valor

8.1.2. Análisis

Se observa en la gráfica que los gastos empiezan hasta fines del año 5. Podemos considerar al año 4, como la fecha focal, a partir de la cual encontraremos el primer valor presente, o sea, será la primera fecha focal, para los 21 pagos de 300 quetzales anuales. Encontrando el valor presente en esta primera fecha focal, encontraremos el valor presente en la segunda fecha focal. veamos:


40

interpretar que son aquellas en las cuales el primer pago se hace algún tiempo después del término del primer período de interés.

Ejemplo uno. Un puente recién construido no necesitará reparación hasta el término del quinto (5) año, cuando se requerirán 300 quetzales anuales para reparaciones. Se estima que de ahí en adelante, se necesitarán 300 quetzales al final de cada año en los próximos 20 años. Hallar el valor presente X, del mantenimiento del puente, sobre la base de 3%.

8.1.1. Graficando el diagrama de tiempo-valor

8.1.2. Análisis

Se observa en la gráfica que los gastos empiezan hasta finales del año 5. Podemos considerar al año 4, como la fecha focal, a partir de la cual encontraremos el primer valor presente, o sea, será la primera fecha focal, para los 21 pagos de 300 quetzales anuales. Encontrando el valor presente en esta primera fecha focal, encontraremos el valor presente en la segunda fecha focal. Veamos:

PRIMERA FECHA FOCAL



PRIMERA FECHA FOCAL

Ejemplo dos. Una deuda de $800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos trimestrales de $R cada uno. Si el primer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dine-ro, calcular R con una tasa del 36% CT.

8.1.3. Análisis

Se observa que el primer pago está en el período 4 que corresponde al fnal del primer año. La anualidad debe comenzar en el punto 3 y terminar en el punto 23, además, su valor presente deberá trasladarse al punto 0 donde se ha puesto la fecha focal. La ecuación de valor será:

800.000 = R (1 - (1+0.9)-20/0.09)(1.09)-3

R = $113.492,69

Cálculo Financiero

41

Ejemplo dos. Una deuda de $800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos trimestrales de $R cada uno. Si el primer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dinero, calcular R con una tasa del 36% CT.

8.1.3. Análisis

Se observa que el primer pago está en el periodo 4 que corresponde al fnal del primer año. La anualidad debe comenzar en el punto 3 y terminar en el punto 23, además, su valor presente deberá trasladarse al punto 0 donde se ha puesto la fecha focal. La ecuación de valor será:

800.000 = R (1 - (1+0.9)-20/0.09)(1.09)-3


Cálculo Financiero

41

Ejemplo dos. Una deuda de $800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos trimestrales de $R cada uno. Si el primer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dinero, calcular R con una tasa del 36% CT.

8.1.3. Análisis

Se observa que el primer pago está en el periodo 4 que corresponde al fnal del primer año. La anualidad debe comenzar en el punto 3 y terminar en el punto 23, además, su valor presente deberá trasladarse al punto 0 donde se ha puesto la fecha focal. La ecuación de valor será:

800.000 = R (1 - (1+0.9)-20/0.09)(1.09)-3


56Unidad II



ACtIvIdAdEs

1. El alumno desarrollará casos de cálculo de bonos y acciones diferentes. _________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. El alumno preparará un resumen relacionado al tema de bonos y acciones de dos autores diferentes._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



bonos y acciones

sesión99.1. bONO

Es una obligación a largo plazo, emitido por una empresa o por una entidad estatal o país. Es una promesa para pagar intereses y rembolsar el dinero recibido en préstamo en los términos especificados en el documento llamado Contrato de Emisión de Bonos.

Formaliza la entrega de dinero, de una persona natural o jurídica a una empresa, en calidad de préstamo. La empresa promete por escrito al tenedor del bono: pagarle “intereses pe-riódicos” durante el plazo del bono y devolver el préstamo o una suma fija llamada “valor de redención” en una fecha futura “fecha de redención”.

El contrato de emisión de bonos incluye, como mínimo, las siguientes estipulaciones:a. valor a la par o valor nominal que casi siempre es múltiplo de 100.b. Pago de cupón.c. Tasa de interés de cupón: Ejemplo: 12% nominal anual pagado semestralmente: Abre-

viación: “12%, EJ” (enero- julio).d. Fecha de vencimiento o de redención que generalmente coincide con la fecha de pago

de interés.e. Cláusula de reembolso del valor facial o nominal.

Cuando el valor de redención y el valor nominal son idénticos, se dice que el bono es redi-mible “a la par”. El bono también podría redimirse “sobre la par”, por ejemplo, en un 105% del valor nominal o “bajo la par”, por decir en el 95% del valor nominal o facial.

La fórmula de calcular el valor actual o precio de mercado sería:B0 : Precio del bono o precio de mercado.F : valor facial o nominal del bono.c : Cupón % del valor facial F.k : COK (Costo de oportunidad de capital) o

Rendimiento al vencimiento.

9.2. ACCIONEs

Una acción es un documento emitido por la empresa en la que se estipula por escrito la parti-cipación en los bienes de ella y en las ganancias que esta genere en el tiempo de explotación.

Convierte al tenedor en “accionista” de la empresa, ya sea poseedor de acciones preferen-ciales o comunes.


44

Bo = Σ ct + F (1 + k)t (1+ k)t

9.2. ACCIONESUna acción es un documento emitido por la empresa en la que se estipula por escrito la participación en los bienes de ella y en las ganancias qué esta genere en el tiempo de explotación.

Convierte al tenedor en “accionista” de la empresa ya sea poseedor de acciones preferenciales o comunes.

9.2.1. ACCIONES PREFERENCIALES:Es una forma de financiación que combina las características de una acción común y las de un bono con las siguientes características:

a. No otorga propiedad de la empresa. Los poseedores de acciones preferentes actúan como grupo colegiado y constituyen una minoría con voz pero sin voto.

b. Otorgan a su poseedor un dividendo preferencial fijo, aunque no constituyen una obligación legal como en el caso del bono. La entrega de dividendos está supeditada a la decisión del directorio de la empresa.

c. Los accionistas preferentes reciben sus dividendos antes que los accionistas comunes, pero después de los bonistas.

d. No tienen fecha de vencimiento, como sí lo tienen los bonos. Normalmente, las acciones preferentes tienen un horizonte “infinito” de valuación; sin embargo, como los bonos, pueden ser redimibles a consideración de la empresa cuando el mercado le sea favorable. Pueden ser “convertibles” en acciones comunes.

9.2.2. ACCIONES COMUNES:Las principales características son:

a. Otorga propiedad de la empresa.

b. Compromete el pago de dividendos, siempre y cuando haya utilidades en el ejercicio. Este es el riesgo.

c. En caso de liquidación, el reembolso de la acción tiene última prioridad.

d. Otorga el derecho de elegir al directorio a razón de 1 voto por 1 acción.

e. No tiene fecha de vencimiento, pero el accionista común puede vender su acción en la bolsa de valores.

La fórmula de calcular el valor actual o precio de mercado sería:

P0: Precio del bono o precio de mercadoD : Dividendo

k: COK (Costo de oportunidad de capital) ante alternativa especulativa de igual riesgo



9.2.1. Acciones preferenciales

Es una forma de financiación que combina las características de una acción común y las de un bono, con las siguientes características:

a. No otorga propiedad de la empresa. Los poseedores de acciones preferentes actúan como grupo colegiado y constituyen una minoría con voz, pero sin voto.

b. Otorgan a su poseedor un dividendo preferencial fijo, aunque no constituyen una obli-gación legal como en el caso del bono. La entrega de dividendos está supeditada a la decisión del directorio de la empresa.

c. Los accionistas preferentes reciben sus dividendos antes que los accionistas comunes, pero después de los bonistas.

d. No tienen fecha de vencimiento, como sí lo tienen los bonos. Normalmente, las acciones preferentes tienen un horizonte “infinito” de valuación; sin embargo, como los bonos pueden ser redimibles a consideración de la empresa, cuando el mercado le sea favora-ble. Pueden ser “convertibles” en acciones comunes.

9.2.2. Acciones comunes

Las principales características son:

a. Otorga propiedad de la empresa.

b. Compromete el pago de dividendos, siempre y cuando haya utilidades en el ejercicio. Este es el riesgo.

c. En caso de liquidación, el reembolso de la acción tiene la última prioridad.

d. Otorga el derecho de elegir al directorio a razón de 1 voto por 1 acción.

e. No tiene fecha de vencimiento, pero el accionista común puede vender su acción en la bolsa de valores.

La fórmula de calcular el valor actual o precio de mercado sería:P0 : Precio del bono o precio de mercadoD : Dividendo k : COK (Costo de oportunidad de capital) ante alternativa especulativa de igual riesgo

Si la empresa tuviera crecimiento permanente de dividendos a una tasa gradiente como “g”, se puede usar la fórmula de gordon, donde:

La gradiente g depende del retorno del patrimonio y del índice de reinversión de la empre-sa, expresado como las utilidades del ejercicio reinvertidas.

Cálculo Financiero

45

Po = Σ Dt (1 + k)t

Si la empresa tuviera crecimiento permanente de dividendos a una tasa gradiente como “g”, se puede usar la fórmula de Gordon, donde:

P0 = Dt k-g

La gradiente g depende del retorno del patrimonio y del índice de reinversión de la empresa, expresado como las utilidades del ejercicio reinvertidas.

Actividades:7. El alumno desarrollará casos del tema desarrollado en la sesión.8. El alumno preparará un resumen de la sesión.

AUTOEVALUACIÓN

1. Explique o defina anualidades.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Explique o defina anualidades ordinarias vencidas.


Cálculo Financiero

45

Po = Σ Dt (1 + k)t

Si la empresa tuviera crecimiento permanente de dividendos a una tasa gradiente como “g”, se puede usar la fórmula de Gordon, donde:

P0 = Dt k-g

La gradiente g depende del retorno del patrimonio y del índice de reinversión de la empresa, expresado como las utilidades del ejercicio reinvertidas.

Actividades:7. El alumno desarrollará casos del tema desarrollado en la sesión.8. El alumno preparará un resumen de la sesión.

AUTOEVALUACIÓN

1. Explique o defina anualidades.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Explique o defina anualidades ordinarias vencidas.


60Unidad II



ACtIvIdAdEs

1. El alumno desarrollará casos del tema desarrollado en la sesión. _________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. El alumno preparará un resumen de la sesión. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


AUtOEvALUACIóN

1. Explique o defina anualidades.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Explique o defina anualidades ordinarias vencidas.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Explique o defina anualidades anticipadas.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Explique o defina anualidades vencidas diferidas.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

62Unidad II



5. ¿Cuál es el importe del valor actual para retirar de una financiera s/. 2,900.00 cada fin de mes por 2.5 años, si la financiera paga el 8%?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. ¿Cuál es el importe del retiro que debo hacer cada fin de mes, si depositamos en una financiera s/. 140,000.00 al 9%, durante 3.5 años?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Calcule el valor actual de una anualidad de s/. 1,900.00 que debe retirarse cada 30 días después de 180 días durante 2.75 años, si la financiera paga el 5/8% mensual.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


8. Un padre de familia registra ante Notario Público un testamento en el que deja como herencia s/. 14,000,000.00, los hijos deben retirar la herencia de la financiera después de transcurridos 4.5 años, durante 3 años en cuotas bimensuales, una tasa de interés capitalizable del 2/8 % mensual, el primer hijo tendrá 23 años de edad, el segundo hijo tendrá 21 años de edad y el tercer hijo tendrá 18 años de edad. La herencia es repartida de acuerdo a la edad de cada hijo ¿Cuánto recibirá cada hijo bimensualmente?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Una fundación dona s/. 14,000,000.00, para gastos operativos del albergue NIÑOs AbANdONAdOs, la fundación deposita el dinero en una financiera que paga el 6%, el albergue debe hacer retiros cada fin de mes en forma indefinida ¿Cuál es el importe de cada retiro?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. Haga de nuevo el cálculo con los datos del numeral anterior, si el primer retiro lo hace después de 7 meses.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

64Unidad II


dEPRECIACIONEs y AMORtIZACIONEs

sesión N.º 10 Depreciaciones basado en el tiempo

sesión N.º 11 Depreciaciones basado en el uso

UNIdAd III


Al término de la unidad, el estudiante calcula y aplica con eficiencia los métodos de depreciación de acu-erdo a las necesidades de las empresas.


Asi también vosotros, cuando hayáis hecho todo lo que se os man-dó, decid: Siervos inútiles somos, porque hicimos lo que debíamos hacer. Lucas 17:10.

depreciaciones basado en el tiempo

sesión

10

10.1. ¿CóMO CALCULAR LAs CUOtAs dE dEPRECIACIóN?

La depreciación (D) es la disminución del valor de propiedad de un activo fijo producido por el paso del tiempo, desgaste por el uso, caída en desuso, insuficiencia técnica, obsolescencia u otros factores de carácter operativo, tecnológico o tributario. Para cubrir la depreciación del activo es necesario formar un fondo de reserva (F) a través de los cargos por depreciación efectuados periódicamente de acuerdo con un método previamente escogido. Cuando nos referimos a recursos naturales, se llama agotamiento (agricultura, ganadería o minería).

10.2. MétOdOs

10.2.1. Método lineal

La cantidad a depreciar por unidad de tiempo es constante, porque también recibe el nom-bre de depreciación lineal. En Excel se utiliza la función SLN

10.2.2. Método de saldo decreciente

Permite calcular, para un período determinado, la depreciación usando el método del saldo decreciente o tasa porcentual decreciente o tasa porcentual fija al valor decreciente en libros. En Excel, la función se llama DB.

10.2.3. Método del doble saldo decreciente (ddb)

DDB (Double-Declining Balance) devuelve la depreciación de un activo fijo durante un período específico, usando el método del doble saldo decreciente. En Excel, la función se llama DDB.

10.2.4. Método de suma de años dígitos (syd)

SyD (Sum-of-the-year Digits) devuelve la depreciación periódica de un activo fijo, usando el método suma de años dígitos. En Excel la función se llama SyD.

10.2.5. A continuación se dan datos para ejemplificar los distintos métodos de depreciación enunciados:

Empresa Industrial X S.A. compra un activo fijo en S/.300,000.00, tiene una vida útil de cinco años y puede venderse en S/.30,000.00 al final de la vida útil. Considere el supuesto, para aplicar todos los métodos enunciados en este capítulo que el mismo activo su vida útil


en unidades es un millón de unidades; su vida útil en horas trabajadas es veinte mil horas, y su vida útil en kilómetros recorridos es doscientos ochenta mil kilómetros. A continuación, se muestra los ejemplos de depreciación.

DEPRECIACIÓN EN LÍNEA RECTA

vida útilo N

Depreciacióndel período

Depreciación acumulada

valor en librosal final del

Periodo0 - - 300,000.00 1 54,000.00 54,000.00 246,000.00 2 54,000.00 108,000.00 192,000.00 3 54,000.00 162,000.00 138,000.00 4 54,000.00 216,000.00 84,000.00 5 54,000.00 270,000.00 30,000.00

DLR = (300,000 - 30,000) / 5 = S/.54,000.00

DEPRECIACIÓN DE LA SUMA DE DÍGITOS

vida útilo N

Depreciacióndel periodo

Depreciación acumulada


Periodo0 - - 300,000.00 1 90,000.00 90,000.00 210,000.00 2 72,000.00 162,000.00 138,000.00 3 54,000.00 216,000.00 84,000.00 4 36,000.00 252,000.00 48,000.00 5 18,000.00 270,000.00 30,000.00

DSDA = 5(5+1) / 5 = 15Para el año 1 = 5/15 x 270,000 = 90,000Para el año 2 = 4/15 x 270;000 = 72,000

DEPRECIACIÓN SOBRE SALDOS DECRECIENTES

vida útilo N

Depreciacióndel período

Depreciaciónacumulada


Periodo0 - - 300,000.00 1 110,713.00 110,713.00 189,287.00 2 69,855.00 180,568.00 119,432.00 3 44,076.00 224,644.00 75,356.00 4 27,810.00 252,456.00 47,546.00 5 17,546.00 270,000.00 30,000.00

DLR = (300,000 - 30,000) / 5 = s/.54,000.00Para el año 1 = 0.36904266 x 300,000 = 110,713.00Para el año 2 = 0.36904266 x 189,287 = 69,855.00

68Unidad III



ACtIvIdAdEs

1. El alumno desarrollará casos de depreciación en las empresas donde labore. _________________________________________________________________

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2. El alumno preparará un resumen relacionado al tema de depreciaciones de dos autores diferentes._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Asi también vosotros, cuando hayáis hecho todo lo que se os man-dó, decid: Siervos inútiles somos, porque hicimos lo que debíamos hacer. Lucas 17:10. 17:10cesita sabiduría, pídala a Dios, quien da a todos generosamente, y sin reproche. Y le será dada. Santiago 1:5.

depreciaciones basado en el uso

sesión

11

11.1. ¿CóMO CALCULAR LAs CUOtAs dE dEPRECIACIóN?

La depreciación (D) es la disminución del valor de propiedad de un activo fijo producido por el paso del tiempo, desgaste por el uso, caída en desuso, insuficiencia técnica, obsolescencia u otros factores de carácter operativo, tecnológico o tributario. Para cubrir la depreciación del activo es necesario formar un fondo de reserva (F) a través de los cargos por depreciación efectuados periódicamente, de acuerdo con un método previamente escogido. Cuando nos referimos a recursos naturales, se llama agotamiento (agricultura, ganadería o minería).

1.1.2. MétOdO dE ACUERdO AL UsO (UsO)

USO (Usage) devuelve la depreciación periódica de un activo fijo usando el método de USO, de acuerdo al volumen de producción y distribución, si hay producción o distribución, hay costo por uso de activo, esto puede ser por horas máquina, unidades producidas, kilóme-tros recorridos, etc. Este es la forma más equitativa para costear productos en empresas manufactureras, la vida del activo se mide en unidades, horas máquina, kilómetros recorri-dos, etc. En Excel la función se programa de acuerdo al método.

1.2.1. Método de depreciación por unidades producidas (dUP)

La vida de los activos depreciables se mide por la cantidad de unidades que produce un de-terminado activo. Este método es aplicable cuando se conoce que un determinado activo, al producir un número determinado de unidades, es conveniente remplazarlo. La depreciación unitaria se obtiene dividiendo el valor depreciable sobre el número de unidades estimadas de la vida del activo. La depreciación del período se calcula multiplicando el número de unidades producidas por el costo de depreciación unitario. Su fórmula es: DUP = (vI-vR) / N, para ob-tener la cuota de depreciación por unidad; DP = NUP x DUP, para la depreciación del período.

1.2.2. Método de depreciación sobre kilómetros recorridos (dKR)

La vida de los activos depreciables se mide por la cantidad de kilómetros que recorre un activo. Este método es aplicable cuando se conoce que un determinado activo, al recorrer un número determinado de kilómetros, es conveniente remplazarlo. Esto es para el caso de unidades de transporte y reparto. La depreciación unitaria se obtiene dividiendo el valor


depreciable sobre el número de kilómetros recorridos estimados de la vida del activo. La depreciación del período se calcula multiplicando el número de kilómetros recorridos por el costo de depreciación unitario. Su fórmula es: DKR = (vI-vR) / N, para obtener la cuota de depreciación por unidad; DP = NKR x DKR, para le depreciación del período.

1.2.3. Método de depreciación sobre horas trabajadas u horas máquina (dHM).

La vida de los activos depreciables se mide por la cantidad de horas que trabaja un acti-vo. Este método es aplicable cuando se conoce que un determinado activo, al trabajar un número determinado de horas, es conveniente remplazarlo. La depreciación unitaria se obtiene dividiendo el valor depreciable sobre el número de horas trabajadas estimadas de la vida del activo. La depreciación del período se calcula multiplicando el número de horas trabajadas por el costo de depreciación unitario. Su fórmula es: DHT = (vI-vR) / N, para ob-tener la cuota de depreciación por unidad; DP = NHT x DHT, para le depreciación del período.

1.2.4. A continuación se dan datos para ejemplificar los distintos métodos de depreciación enunciados:

La Empresa Industrial X S.A. compra un activo fijo en S/.300,000.00, tiene una vida útil de cinco años y puede venderse en S/.30,000.00 al final de la vida útil. Considere el supuesto, para aplicar todos los métodos enunciados en este capítulo que el mismo activo; su vida útil en unidades es un millón de unidades; su vida útil en horas trabajadas es veinte mil horas y su vida útil en kilómetros recorridos es doscientos ochenta mil kilómetros. A continuación, se muestra los ejemplos de depreciación.

dEPRECIACIóN sObRE UNIdAdEs PROdUCIdAs

DUP = 300,000 - 30,000 / 1,000,000 = 0.27 por unidad

Para el año 1 = 0.27 x 240,000 = 64,800

Para el año 2 = 0,27 x 235,000 = 63,450

dEPRECIACIóN sObRE KILóMEtROs RECORRIdOs

DUP = 300,000 - 30,000 / 280,000 = 0,96428571 por km/rec.

Para el año 1 = 0,96428571 x 40,000 km = 38,571.00

Para el año 2 = 0,96428571 x 55,000 km = 53,036.00

dEPRECIACIóN sObRE HORAs MÁQUINA

DUP = 300,000 - 30,000 / 20,000 = 13.50 por hora/máq.

Para el año 1 = 13.50 x 4,000 hm = 54,000.00

Para el año 2 = 13.50 x 4,500 hm = 60,750.00

72Unidad III



ACtIvIdAdEs

1. El alumno desarrollará casos del tema desarrollado en la sesión. _________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. El alumno preparará un resumen de la sesión. _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


AUtOEvALUACIóN

1. Explique la diferencia entre los métodos de depreciación en el tiempo y los métodos de depreciación en el uso.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Explique o defina depreciación.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Explique o defina depreciación basada en el uso.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

74Unidad III



4. Explique o defina depreciación basada en el tiempo._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Prepare dos casos basados en el uso y en el transcurso del tiempo, de la empresa donde labora o pueda tener acceso.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


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Notas:__________________________________________________________________________________________

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78Unidad III



Notas:__________________________________________________________________________________________

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80Unidad III

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