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� Las fuerzas debidas al peso del puente se transfieren a las torres verticalesde soporte mediante cables. En este capítulo se usan diagramas de cuerpolibre para analizar las fuerzas que actúan sobre objetos en equilibrio.

En el capítulo 2 se representaron fuerzas con vectores y se usó laadición vectorial para sumarlas. En este capítulo se analizaráncon mayor detalle las fuerzas y se presentarán dos de los con-ceptos más importantes de la mecánica: el equilibrio y el diagra-ma de cuerpo libre. Se usarán los diagramas de cuerpo libre paraidentificar las fuerzas sobre cuerpos y se empleará el equilibriopara determinar fuerzas desconocidas.

3

82 Capítulo 3 Fuerzas

W

Figura 3.3Representación del peso de un objeto medianteun vector.

Línea de acción de F

F

Figura 3.1Una fuerza F y su línea de acción.

(a)

FC

FA FBFA FB FD

FC

(b)

Figura 3.2(a) Fuerzas concurrentes.(b) Fuerzas paralelas.

3.1 Fuerzas, equilibrio y diagramas de cuerpo libre

ANTECEDENTESEl concepto de fuerza resulta muy familiar, como se evidencia con palabras deltipo de empujar, jalar y elevar que se usan en las conversaciones diarias. En inge-niería se trata con muchos tipos de fuerzas en un gran intervalo de magnitudes. Enesta sección se definen algunos términos usados para describir fuerzas, se analizanfuerzas particulares que ocurren con frecuencia en aplicaciones de ingeniería y seintroducen los conceptos de equilibrio y diagrama de cuerpo libre.

Terminología

Línea de acción Cuando una fuerza se representa mediante un vector, la línearecta colineal al vector se denomina línea de acción de la fuerza (figura 3.1).

Sistemas de fuerzas Un sistema de fuerzas es simplemente un conjunto par-ticular de fuerzas. Un sistema de fuerzas es coplanar o bidimensional si las líneasde acción de las fuerzas residen en un plano; de otra manera, se trata de un siste-ma tridimensional. Un sistema de fuerzas es concurrente si las líneas de acción delas fuerzas se encuentran en un punto (figura 3.2a) y es paralelo si las líneas de acciónson paralelas (figura 3.2b).

Fuerzas externas e internas Se dice que un objeto dado está sometido a unafuerza externa si ésta es ejercida por otro objeto. Cuando una parte de un objetoestá sometida a una fuerza por otra parte del mismo cuerpo, se dice que está suje-ta a una fuerza interna. Estas definiciones requieren que se precise con claridadel cuerpo que se está considerando. Por ejemplo, si supone que usted es el cuer-po, cuando está de pie, el piso —que es un cuerpo diferente— ejerce una fuerzaexterna sobre sus pies, y si aprieta sus manos, su mano izquierda ejerce una fuer-za interna sobre su mano derecha. Sin embargo, si su mano derecha es el cuerpoen consideración, la fuerza ejercida por su mano izquierda es una fuerza externa.

Fuerzas de cuerpo y de superficie Una fuerza ejercida sobre un cuerpo sedenomina fuerza de cuerpo si actúa sobre el volumen del cuerpo y fuerza de super-ficie si actúa sobre su superficie. La fuerza gravitatoria sobre un cuerpo es unafuerza de cuerpo; una fuerza de superficie se puede ejercer sobre un cuerpomediante su contacto con otro cuerpo. Las fuerzas de cuerpo y de superficie pue-den ser resultado de efectos electromagnéticos.

Fuerzas gravitatoriasCuando se levanta algo pesado se percibe la fuerza ejercida sobre un objeto por lagravedad de la Tierra. La fuerza gravitatoria o peso de un objeto puede represen-tarse mediante un vector (figura 3.3).

Representación del peso de un objeto medianteun vector.un vector.((a) ((b)

(a) Fuerzas concurrentes.(b)(b) Fuerzas paralelas.erzas paralelas.

3.1 Fuerzas, equilibrio y diagramas de cuerpo libre 83

�FF

(b)(a) (c)

(a)

F

(b)

N

(d)(c)

f

N

Figura 3.4(a) Al empujar una pared, se ejerce una fuerza

de contacto sobre ella.(b) El vector F representa la fuerza que se

ejerce sobre la pared.(c) La pared ejerce una fuerza �F sobre la

mano.

La magnitud del peso de un objeto se relaciona con su masa m por la fórmula

(3.1)

donde g es la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar. Se usarán los valo-res g � 9.81 m/s2 en unidades SI y g � 32.2 pies/s2 en unidades de uso común enEstados Unidos.

Las fuerzas gravitatorias, y también las electromagnéticas, actúan a distancia.Los objetos sobre los que actúan no necesitan estar en contacto con los objetos queejercen las fuerzas. En la sección siguiente se analizarán fuerzas que resultan delcontacto entre objetos.

Fuerzas de contactoLas fuerzas de contacto son las que resultan del contacto entre objetos, porejemplo, al empujar una pared (figura 3.4a). La superficie de la mano ejerce unafuerza sobre la superficie de la pared que se puede representar con un vector F(figura 3.4b). La pared ejerce una fuerza igual y opuesta �F sobre la mano (figu-ra 3.4c) (recuerde la tercera ley de Newton: las fuerzas ejercidas entre sí por dospartículas cualesquiera son iguales en magnitud y opuestas en dirección; si lequeda duda de que la pared ejerce una fuerza sobre la mano, intente empujar lapared usando patines).

Se tratará con fuerzas de contacto ejercidas sobre objetos mediante el contac-to con las superficies de otros cuerpos y por medio de cuerdas, cables y resortes.

Superficies Considere dos superficies planas en contacto (figura 3.5a). Lafuerza ejercida sobre la superficie derecha por la superficie izquierda se repre-senta con el vector F en la figura 3.5b. Es posible separar F en una componen-te N normal a la superficie y una componente f paralela a ésta (figura 3.5c). Lacomponente N se denomina fuerza normal y la componente f se denomina fuerza defricción. En ocasiones se supone que la fuerza de fricción entre dos superficieses insignificante respecto a la fuerza normal; dicha condición se describe al decirque las superficies son lisas. En este caso se muestra sólo la fuerza normal(figura 3.5d). Cuando la fuerza de fricción no se puede despreciar, se dice quelas superficies son rugosas.

ƒW ƒ = mg,

Figura 3.5(a) Dos superficies planas en contacto.(b) La fuerza F ejercida sobre la superficie

derecha.(c) La fuerza F se separa en sus componentes

normal y paralela a la superficie.(d) Sólo se muestra la fuerza normal cuando

la fricción es insignificante.(aa))

F

(b) (d)(d)(c)(c)(d) Sólo se muestra la fuerza normal cuando

la fricción es insignificante.la fricción es insignif


Si las superficies en contacto son curvas (figura 3.6a), la fuerza normal y lafuerza de fricción son, respectivamente, perpendicular y paralela al plano tangen-te a las superficies en su punto común de contacto (figura 3.6b).

Cuerdas y cables Una fuerza de contacto puede ejercerse sobre un objetouniendo una cuerda o un cable al cuerpo y tirando de él. En la figura 3.7a, el cablede la grúa está unido a un contenedor de materiales de construcción. La fuerza queel cable ejerce sobre el contenedor se puede representar mediante un vector T(figura 3.7b). La magnitud de T se denomina tensión en el cable y la línea deacción de T es colineal al cable. El cable ejerce una fuerza igual y opuesta �Tsobre la grúa (figura 3.7c).

Observe que se ha supuesto que el cable es recto y que la tensión donde el cablese conecta al contenedor es igual a la tensión cerca de la grúa. Esto es aproximada-mente cierto si el peso del cable es pequeño en comparación con la tensión. En casocontrario, el cable se pandeará en forma considerable y la tensión variará a través desu longitud. En el capítulo 9 se analizarán cuerdas y cables cuyos pesos no sonpequeños en comparación con sus tensiones. Por ahora se supondrá que las cuerdasy los cables son rectos y que sus tensiones son constantes a través de sus longitudes.

Una polea es una rueda con un borde ranurado que puede usarse para cam-biar la dirección de una cuerda o un cable (figura 3.8a). Por ahora se supondrá

(a)

(c)

�T

(b)

T

(a)

N

f

(b)

Figura 3.6(a) Superficies curvas en contacto. La línea

discontinua indica el plano tangente a lassuperficies en su punto de contacto.

(b) Fuerza normal y fuerza de fricción sobrela superficie derecha.

Figura 3.7(a) Grúa con su cable unido a un contenedor.(b) Fuerza T ejercida por el cable sobre el contenedor.(c) Fuerza �T ejercida por el cable sobre la grúa.

( )(b) Fuerza T ejercida por el cable sobre el contenedor.por el cable sobre(c)(c) FuerzaFuerz ��TT ejercida por el cable sobre la grúa.ejercida por el cable sobre la grúa.


que la tensión es la misma en ambos lados de una polea (figura 3.8b). Esto escierto, o al menos aproximadamente cierto, cuando la polea puede girar libre-mente y la cuerda o el cable es estacionario, o cuando se hace girar la polea auna velocidad constante.

Resortes Los resortes se usan para ejercer fuerzas de contacto en dispositivosmecánicos, por ejemplo en la suspensión de vehículos (figura 3.9). Considere unresorte cuya longitud no elongada 6, es decir la longitud del resorte cuando susextremos están sueltos, es L0 (figura 3.10a). Cuando el resorte se elonga, una lon-gitud L mayor que L0 (figura 3.10b) tirará del objeto al que está unido con unafuerza F (figura 3.10c). El objeto ejerce una fuerza igual y opuesta �F sobre elresorte (figura 3.10d). Cuando el resorte se comprime una longitud L menor queL0 (figuras 3.1la, b), empuja al objeto con una fuerza F y el objeto ejerce una fuer-za igual y opuesta �F sobre el resorte (figuras 3.1lc, d). Si el resorte se compri-me demasiado, puede pandearse (figura 3.11e). Un resorte diseñado para ejerceruna fuerza al comprimirse suele tener un soporte lateral para evitar el pandeo; porejemplo, se puede encerrar en un cilindro. En las suspensiones de automóvilesmostradas en la figura 3.9, los amortiguadores dentro del resorte impiden que éstese pandee.

La magnitud de la fuerza ejercida por un resorte depende del material con elque fue hecho, su diseño y de cuánto varía con respecto a su longitud original.Cuando el cambio de longitud no es muy grande en comparación con la longitudno elongada, los resortes que suelen usarse en dispositivos mecánicos ejercen unafuerza aproximadamente proporcional al cambio de longitud:

(3.2)ƒF ƒ = k ƒL - L0 ƒ .

Amortiguador

Resorte

Resorte

Amortiguador

T1

T2

|T1| � |T2|

(b)(a)

L0

L

�F

F

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 3.10(a) Resorte de longitud no elongada L0.(b) El resorte elongado a una longitud

L � L0.(c, d) Fuerza F ejercida por el resorte y fuerza

�F ejercida sobre el resorte.

Figura 3.8(a) Una polea cambia la dirección de una

cuerda o un cable.(b) Por ahora, se debe suponer que las

tensiones a cada lado de la polea soniguales.

Figura 3.9Resortes en la suspensión de un auto. El dispositivo de la derecha se llama soporteMacPherson.

(3.2)3.2)ƒFF ƒƒ = kk ƒƒLL - LL00 ƒƒ .

0

(c, d) Fuerza F ejercida por el resorte y fuerza��FF ejercida sobre el resorte.ejercida sobre el resorte.


�F�

1

k

�L � L0�

L0

L

�F

F

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

F

(a)

(b)

k

ddF

Figura 3.13(a) Viga de acero flexionada por una fuerza.(b) Modelado del comportamiento de la viga mediante un resorte lineal.

Como la fuerza es una función lineal del cambio de longitud (figura 3.12), unresorte que cumple con esta relación se denomina resorte lineal. El valor de laconstante del resorte k depende de su material y diseño. Sus dimensiones son(fuerza)/(longitud). Observe en la ecuación (3.2) que k es igual a la magnitud de lafuerza requerida para estirar o comprimir el resorte una unidad de longitud.

Suponga que la longitud sin elongar de un resorte es L0 � 1 m y k � 3000N/m. Si el resorte se elonga hasta alcanzar una longitud L � 1.2 m, la magnitudde la fuerza de tensión que ejerce es

Aunque es cierto que los resortes se utilizan comúnmente en dispositivosmecánicos, también despiertan el interés por una razón diferente: pueden usarsepara modelar situaciones en que las fuerzas dependen de los desplazamientos. Porejemplo, la fuerza necesaria para flexionar la viga de acero de la figura 3.13(a) esuna función lineal del desplazamiento d, o bien

si d no es muy grande. Por consiguiente, es posible modelar el comportamientofuerza-deflexión de la viga como un resorte lineal (figura 3.13b).

ƒF ƒ = kd,

k ƒL - L0 ƒ = 300011.2 - 12 = 600 N.

Figura 3.12La gráfica de la fuerza ejercida por un resortelineal en función de su elongación o contrac-ción es una línea recta con pendiente k.

Figura 3.11(a) Resorte de longitud L0.(b) El resorte comprimido a una longitud

L � L0.(c, d) El resorte empuja a un objeto con una

fuerza F y el objeto ejerce una fuerza�F sobre el resorte.

(e) Un resorte se pandeará si se comprimedemasiado.

EquilibrioEn la conversación diaria, equilibrio significa un estado invariable, una estabiliza-ción. Antes de establecer con precisión qué significa este término en mecánica, seconsiderarán algunos ejemplos familiares. Si usted se encuentra dentro de una cons-trucción mientras lee esto, los objetos que observa a su alrededor y que están enreposo (estacionario) en relación con la construcción, como adornos o muebles,están en equilibrio. Una persona sentada o parada en reposo en relación con laconstrucción también está en equilibrio. Si un tren viaja a velocidad constanteen una trayectoria recta, los objetos que están en reposo con respecto al tren, como unpasajero sentado o una persona de pie en el pasillo (figura 3.14a), se encuentran enequilibrio. La persona en reposo relativo a la construcción y el pasajero de pie en elpasillo del tren no experimentan aceleración. Sin embargo, si el tren aumenta o

g(a) Viga de acero flexionada por una fuerza.ionada por una fu(b)(b) Modelado del comportamiento de la viga mediante un resorte lineal.Modelado del comportamiento de la viga mediante un resorte lineal.

(b)

(a)

Figura 3.14(a) Mientras el tren se mueve a velocidad

constante, una persona de pie en el pasilloestá en equilibrio.

(b) Si el tren acelera, la persona lo pierde.


disminuye su velocidad, la persona de pie en el pasillo ya no estará en equilibrioy podría perder su estabilidad (figura 3.14b).

Se define que un objeto está en equilibrio sólo si cada punto del objeto tienela misma velocidad constante, lo cual se denomina traslación uniforme. La velo-cidad debe medirse con respecto a un marco de referencia en el que sean válidaslas leyes de Newton. Tal marco se llama marco de referencia newtoniano o iner-cial. En muchas aplicaciones de ingeniería, un marco de referencia que esté fijocon respecto a la Tierra puede verse como inercial. Por lo tanto, puede suponer-se que los objetos en traslación uniforme con respecto a la Tierra están en equi-librio. A lo largo del presente libro se parte de este supuesto. En los ejemplos quese citaron en el párrafo anterior, los muebles y la persona en reposo dentro de unaconstrucción, así como el pasajero sentado y la persona de pie dentro del trenque se mueve a velocidad constante, están en translación uniforme con respectoa la Tierra y por ende están en equilibrio.

La suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre un objeto en equi-librio es igual a cero. Se usará el símbolo �F para denotar la suma de las fuerzasexternas. Así, cuando un objeto está en equilibrio,

(3.3)

En algunas situaciones, esta ecuación de equilibrio puede usarse para determinarfuerzas desconocidas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio. El primer pasoconsiste en dibujar un diagrama de cuerpo libre del objeto para identificar lasfuerzas externas que actúan sobre el cuerpo.

Diagramas de cuerpo libreUn diagrama de cuerpo libre sirve para enfocar la atención en el cuerpo de interésy ayuda a identificar las fuerzas externas que actúan sobre él. Aunque en estáticainteresarán sólo cuerpos en equilibrio, los diagramas de cuerpo libre se usan endinámica para analizar los movimientos de los objetos.

Aunque es una de las herramientas más importantes en mecánica, el diagra-ma de cuerpo libre es un concepto sencillo. Es el dibujo de un objeto y de lasfuerzas externas que actúan sobre él, sin incluir nada además del cuerpo de inte-rés. El dibujo muestra el cuerpo aislado o liberado de su entorno.

El trazado de un diagrama de cuerpo libre implica tres pasos:

1. Identificar el cuerpo a aislar. Como lo muestran los ejemplos siguientes,la elección suele estar dictada por las fuerzas particulares que se deseandeterminar.

2. Dibujar un bosquejo del objeto aislado de su entorno y mostrar las dimen-siones y ángulos relevantes. El dibujo debe ser razonablemente preciso, peropueden omitirse detalles irrelevantes.

3. Dibujar los vectores que representen todas las fuerzas externas que actúensobre el cuerpo aislado y marcarlos. No se debe olvidar la inclusión de lafuerza gravitatoria, a menos que se ignore de manera intencional.

Se necesita un sistema coordenado para expresar las fuerzas sobre el objetoaislado, en términos de sus componentes. A menudo es conveniente elegir el sis-tema de coordenadas antes de dibujar el diagrama de cuerpo libre, pero en ciertoscasos la mejor elección de un sistema coordenado no será evidente hasta despuésde dibujar el diagrama.

Un ejemplo sencillo demostrará cómo elegir los diagramas de cuerpo librepara determinar fuerzas particulares y también que se debe distinguir con cuidadoentre fuerzas externas e internas. En la figura 3.15, dos bloques estacionarios deigual peso W están suspendidos por medio de cables. El sistema está en equilibrio.Suponga que se desea determinar las tensiones en los dos cables.

©F = 0.

D

C

B

A

Figura 3.15Bloques estacionarios suspendidos mediantecables.

igual peso W están suspendidos por medio de cables. El sistema está en equilibrio.os por medio de cables. El sistema está en equilibriSuponga que se desea determinar las tensiones en los dos cables.Suponga que se desea determinar las tensiones en los dos cables.

gBloques estacionarios suspendidos mediantecables.ables.


A

TAB

A

TAB

y

D

C

B

A

(a) (b)

x

(c)

W W

Figura 3.16(a) Aislamiento del bloque inferior y parte del

cable AB.(b) La indicación de las fuerzas exteriores

completa el diagrama de cuerpo libre.(c) Introducción de un sistema de coordenadas.

C

B

D

C

B

A

(a)

TCD

TAB

y

x

(b)

W

Figura 3.17(a) Aislamiento del bloque superior para

determinar la tensión en el cable CD.(b) Diagrama de cuerpo libre del bloque

superior.

Para determinar la tensión en el cable AB, primero se aísla un “objeto” que con-sista en el bloque inferior y parte del cable AB (figura 3.16a). Después, se determi-nan las fuerzas que pueden ejercerse sobre este objeto aislado mediante objetos queno se incluyen en el diagrama. La Tierra ejerce una fuerza gravitatoria de magnitudW sobre el bloque, y en el sitio donde se “corta” el cable AB, éste se encuentra some-tido a una fuerza de contacto igual a la tensión en el cable (figura 3.16b). Las flechasen esta figura indican las direcciones de las fuerzas. El escalar W es el peso del blo-que y TAB es la tensión en el cable AB. El peso de la parte del cable incluido en eldiagrama de cuerpo libre puede ignorarse si se compara con el peso del bloque.

Como el diagrama de cuerpo libre está en equilibrio, la suma de las fuer-zas externas es cero. La ecuación de equilibrio se obtiene en términos de un sistemacoordenado con el eje y dirigido hacia arriba (figura 3.16c),

Así, la tensión en el cable AB es TAB � W.Ahora se puede determinar la tensión en el cable CD aislando el bloque superior

(figura 3.17a). Las fuerzas externas son el peso del bloque superior y las tensiones enlos dos cables (figura 3.17b). En este caso se obtiene la ecuación de equilibrio

Como TAB � W, se encuentra que TCD � 2W.

©F = TCD j - TAB j - W j = 1TCD - TAB - W2j = 0.

©F = TAB j - W j = 1TAB - W2j = 0.

(a)a) (b)(b)(b) Diagrama de cuerpo libre del bloqueoque

superior.peri


También se podría haber determinado la tensión en el cable CD tratando losdos bloques y el cable AB como un solo objeto (figura 3.18a, b). La ecuación deequilibrio es

y se obtiene de nuevo TCD � 2W.¿Por qué la tensión en el cable AB no aparece en el diagrama de cuerpo libre de

la figura 3.18(b)? Recuerde que en los diagramas de cuerpo libre se muestran sólofuerzas externas. Como en este caso el cable AB es parte del diagrama de cuerpo libre,las fuerzas que ejerce sobre los bloques superiores e inferiores son fuerzas internas.

RESULTADOS

©F = TCD j - W j - W j = 1TCD - 2W2j = 0,

C

B

D

C

B

A A

(a)

W

W

TCD

y

x(b)

Figura 3.18(a) Elección alternativa para determinar la

tensión en el cable CD.(b) Diagrama de cuerpo libre que incluye

ambos bloques y el cable AB.

Línea de acción FF

Linea de acciónLa línea recta colineal a un vector querepresenta una fuerza es la línea de acciónde la fuerza.

Fuerzas concurrentes

FC

FA FBFA FB FD

FC

Fuerzas paralelas

Sistemas de fuerzasUn sistema de fuerzas es bidimensional si las líneasde acción de las fuerzas se encuentran en un plano.En caso contrario el sistema es tridimensional.Un sistema de fuerzas es concurrente si las líneasde acción de las fuerzas se cortan en un punto yparalelo si las líneas de acción son paralelas.

Fuerzas externas e internasUn objeto está sometido a una fuerza externasi la fuerza es ejercida por un objeto diferente.Una fuerza ejercida sobre una parte de unobjeto por otra parte del mismo objeto es unafuerza interna.

j


Fuerzas gravitatoriasEl peso de un objeto puede representarse medianteun vector. Su magnitud al nivel del mar está relacio-nada con la masa m del objeto mediante la ecuación

W

�W� � mg, (3.1)

donde g es la aceleración debida a la gravedad alnivel del mar.

f

N

N

Fuerzas de contactoLos objetos en contacto ejercen entresí fuerzas que son iguales y opuestas.

B

B

A B

F

�F

A B

Objetos A y B con superficiesplanas en contacto.

Fuerzas de contacto que A y Bejercen entre sí.

Descomposición de la fuerzasobre B en las fuerzas normaly de fricción.

Cuando la fuerza de fricciónpuede ignorarse sólo existe unafuerza normal.

Cuerdas y cablesSi el peso de una cuerda o cable que conecta a dosobjetos es insignificante en comparación con su tensión,éste ejerce fuerzas iguales y opuestas sobre los objetos,las cuales son paralelas a la cuerda o el cable.

Objetos A y B conectados por un cable.

A

B

Fuerzas ejercidas sobre A y B.

F�F

B

A

3.2 Sistemas bidimensionales de fuerzas 91

Resortes linealesLa magnitud de las fuerzas iguales y opuestasejercidas sobre dos objetos conectados por unresorte lineal es

�F� � k�L � L0�, (3.2)

donde k es la constante del resorte, L es la lon-gitud del resorte y L0 su longitud sin elongar.

Objectos A y B conectados por un resorte.

Fuerzas ejercidas sobre A y B.

B

A

A

B

F�F

EquilibrioUn objeto está en equilibrio si está en translación uniforme (cadapunto del objeto tiene la misma velocidad constante) en relacióncon un marco de referencia inercial. La suma de las fuerzasexternas que actúan sobre un objeto en equilibrio es igual a cero:

�F � 0. (3.3)

Diagramas de cuerpo libreUn diagrama de cuerpo libre es el dibujo de unobjeto, aislado de su entorno, que muestra las fuer-zas exteriores que actúan sobre el objeto. Dibujarun diagrama de cuerpo libre implica tres pasos.

Identificar al objeto que sedesea aislar.Dibujar un bosquejo delobjeto aislado de su entorno.Dibujar vectores representandolas fuerzas externas que actúansobre el objeto.

1.

2.

3.

3.2 Sistemas bidimensionales de fuerzasSuponga que el sistema de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo enequilibrio es bidimensional (coplanar). Al orientar un sistema coordenado demanera que las fuerzas queden en el plano x–y, es posible expresar la suma de lasfuerzas externas como

donde �Fx y �Fy son las sumas de las componentes x e y de las fuerzas. Comoun vector es cero sólo si cada uno de sus componentes es cero, se obtienen dosecuaciones de equilibrio escalar:

(3.4)

Las sumas de las componentes x e y de las fuerzas externas que actúan sobre unobjeto en equilibrio debe ser igual a cero.

©Fx = 0, ©Fy = 0.

©F = 1©Fx2i + 1©Fy2j = 0,

Las sumas de las componentes x e y de las fuerzas externas que actúan sobre unLas sumas de las componentes x e y de las fuerzas externas que actúan sobre unobjeto en equilibrio debe ser igual a cero.objeto en equilibrio debe ser igual a cero.


El automóvil de 1440 kg se mantiene en su lugar sobre la rampa inclinada median-te el cable horizontal desde A hasta B. Los frenos del automóvil no están activados,por lo que las llantas ejercen sólo fuerzas normales sobre la rampa. Determine lamagnitud de la fuerza ejercida por el cable sobre el automóvil.

A B

20�

EstrategiaComo el automóvil está en equilibrio, es posible dibujar su diagrama de cuerpo librey usar las ecuaciones (3.4) para determinar la fuerza ejercida por el cable.

Solución

Dibuje el diagrama de cuerpo libre del automóvil

Aplique las ecuaciones de equilibrio

�Fy � N cos 20� � mg � 0.

� 5140 N.

�(1440 kg)(9.81 m/s2)sen 20�

cos 20�

T �mg sen 20�

cos 20�mg

y

x

T

N

20�

�Fx � T � N sen 20� � 0,

Al eliminar N se obtiene

Problema de práctica Suponga que el punto de unión del cable en B se muevehacia arriba de manera que el cable sea paralelo a la rampa. Determine la magnitudde la fuerza ejercida por el cable sobre el automóvil.

Respuesta: 4830 N.

Dibuje un bosquejo del automóvil aislado.

mg

T

N

Complete el diagrama de cuerpo libremostrando las fuerzas ejercidas sobre elautomóvil por su peso, el cable y la rampa.

Ejemplo activo 3.1 Uso del equilibrio para determinar fuerzas (� Relacionado con el problema 3.1)

por el cable sob

Respues 30 N

3.2 Sistemas bidimensionales de fuerzas 93

Ejemplo 3.2 Elección de un diagrama de cuerpo libre (� Relacionado con el problema 3.3)

El motor de automóvil que se muestra en la figura está suspendido mediante unsistema de cables. La masa del motor es de 200 kg. El sistema es estacionario.¿Cuáles son las tensiones en los cables AB y AC?

EstrategiaSe necesita un diagrama de cuerpo libre en el que se muestren las fuerzas que se de-sean determinar. Aislando parte del sistema de cables cerca del punto A, donde seunen los cables, se puede obtener un diagrama de cuerpo libre que está sometido alpeso del motor y a las tensiones desconocidas en los cables AB y AC.

SoluciónDibujo del diagrama de cuerpo libre Aislando parte del sistema de cables cercadel punto A (figura a), se obtiene un diagrama de cuerpo libre sometido al peso delmotor W � mg � (200 kg)(9.81 m/s2) � 1962 N y a las tensiones en los cables ABy AC (figura b).

BC

A

60�45�

W

60� 45�

TAC

TAB

x

y

ATAB cos 60�TAC cos 45�

TAC sen 45�

TAB sen 60�

(c) Selección de un sistema coordenado ydescomposición de las fuerzas en suscomponentes.

(a) Aislamiento de parte del sistema decables.

(b) Diagrama de cuerpo libre completo.

B C

(a) (b)

A

W

60� 45�

TACTAB

Aplicación de las ecuaciones de equilibrio Se selecciona el sistema coordena-do que se muestra en la figura c y se descomponen las tensiones de los cables en suscomponentes x y y. Las ecuaciones de equilibrio resultantes son

�Fx � TAC cos 45° � TAB cos 60° � 0,

�Fy � TAC sen 45° � TAB sen 60° � 1962 N � 0.

Al resolver estas ecuaciones, se encuentra que las tensiones en los cables sonTAB � 1436 N y TAC � 1016 N.

Razonamiento crítico¿Cómo puede escogerse un diagrama de cuerpo libre que permita determinar lastensiones desconocidas en los cables? No existen reglas específicas para elegirdiagramas de cuerpo libre. Usted aprenderá a hacerlo con los ejemplos que sepresentarán, pero siempre encontrará situaciones nuevas. Quizá sea necesarioensayar varios diagramas de cuerpo libre antes de encontrar el que proporcionela información requerida. Recuerde que las fuerzas que se desean determinardeben aparecer como fuerzas externas en el diagrama de cuerpo libre, y que elobjetivo es obtener un número de ecuaciones de equilibrio igual al número defuerzas desconocidas.

ero de ecuaciones de equilibrio igual al número rzas desconocidas.


x

y

30�

F2

F1a

Problema 3.2

BC

A Ax

y

a a

TAB TAC

(200 kg) (9.81 m/s2)

Problema 3.4

Problemas

� 3.1 En el ejemplo activo 3.1, suponga que el ángulo de larampa que soporta el automóvil se aumenta de 20° a 30°. Dibujeel diagrama de cuerpo libre del automóvil que muestre la nuevageometría. Suponga que el cable de A a B debe ejercer una fuerzahorizontal de 1900 lb sobre el auto para mantenerlo en su lugar.Determine el peso del automóvil en libras.

3.2 El anillo de la figura pesa 5 lb y está en equilibrio. La fuerzaF1 � 4.5 lb. Determine la fuerza F2 y el ángulo a.

3.6 Un fisiólogo estima que el músculo masetero de un depreda-dor es capaz de ejercer una fuerza M de hasta 900 N. Suponga quela quijada está en equilibrio y determine la fuerza necesaria T queejerce el músculo temporal y la fuerza P ejercida sobre un objetomordido por el depredador.

� 3.3 En el ejemplo 3.2, suponga que el punto de unión C semueve a la derecha y el cable AC se extiende de manera que el án-gulo entre el cable AC y el techo disminuye de 45° a 35°. El ángu-lo entre el cable AB y el techo permanece en 60°. ¿Cuáles son lastensiones en los cables AB y AC?

3.4 Un motor de 200 kg está suspendido por los cables AB y AC.El ángulo a � 40°. En la figura se muestra el diagrama de cuerpolibre obtenido al aislar la parte del sistema dentro de la línea dis-continua. Determine las fuerzas TAB y TAC.

T

22�

P

M

36�

Problema 3.6

B 40�

55� A

Problema 3.5

3.5 Una pesada cuerda que se usa como amarradero para unbarco crucero se cuelga en la forma mostrada. Si la masa de lacuerda es 90 kg, ¿cuáles son las tensiones en la cuerda en A y B?

Problema 3.4ma 3.4


1 m

0.6 m Pala

A B

D

C

0.15 m

0.6 m

1 m

Cilindrohidráulico

A D

BC

W1

W2

30 pulg 30 pulg 30 pulg

20 pulg 16 pulg

Problemas 3.45/3.46

3.47 El cilindro hidráulico está sujeto a tres fuerzas. Se ejerceuna fuerza de 8 kN sobre el cilindro en B, la cual es paralela al ci-lindro y apunta desde B hacia C. El eslabón AC ejerce una fuerzaen C que es paralela a la línea que va de A a C. El eslabón CDejerce una fuerza en C que es paralela a la línea que va de C a D.

a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del cilindro (el peso del ci-lindro es insignificante).

b) Determine las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los esla-bones AC y CD.

3.45 Los pesos W1 � 50 lb y W2 se suspenden mediante el siste-ma de cables que se muestra en la figura. Determine el peso W2 ylas tensiones en los cables AB, BC, CD.

3.46 Suponga que W2 � W1/2. Si no se desea que la tensiónsupere 200 lb en ningún punto del cable, ¿Cuál es el mayorvalor aceptable para W1?

Problema 3.47

3.42 Suponga que usted está diseñando un sistema de cables parasoportar un objeto suspendido con peso W. Como su diseño requiereque los puntos A y B se coloquen como lo muestra la figura, no tienecontrol sobre el ángulo a, pero puede elegir el ángulo b colocando elpunto C donde desee. Demuestre que para minimizar las tensionesen los cables AB y BC, se debe elegir b� a si el ángulo a 45°.

Estrategia: Dibuje un diagrama de la suma de fuerzas ejerci-das por los tres cables en A.

C

B

A

W

ab

Problema 3.42

3.43* La longitud del cable ABC que se muestra en la figura es1.4 m. La fuerza de 2 kN se aplica sobre una pequeña polea. Elsistema es estacionario. ¿Cuál es la tensión en el cable?

C

B

A1 m

0.75 m

15�2 kN

Problema 3.43

3.44 Las masas m1 � 12 kg y m2 � 6 kg se suspenden medianteel sistema de cables mostrado en la figura. El cable BC es horizon-tal. Determine el ángulo a y la tensión en los cables AB, BC y CD.

C

A

αB

D

70�

m2

m1

Problema 3.44

3.41 La distancia h � 12 pulg y la tensión en el cable AD es de200 lb. ¿Cuáles son las tensiones en los cables AB y AC?

12 pulg

12 pulg

12 pulg

8 pulg

8 pulgh

D

B

A

C

Problema 3.41

0.6 m Pala0.15 m

Problema 3.47Problema 3.4

2 kN



Ejemplo activo 3.5 (� Relacionado con el problema 3.63)

�(100 kg)(9.81 m/s2)j

TAB

TAC

TADAA

D

Cy

xB

z

Aísle parte del sistema de cables cerca delpunto A y muestre las fuerzas ejercidas porlas tensiones en los cables. La suma de lasfuerzas debe ser igual a cero:

�F � TAB � TAC � TAD � (981 N)j � 0.

3.3 Sistemas tridimensionales de fuerzasLas situaciones de equilibrio que se han considerado hasta ahora implicaron sólofuerzas coplanares. Cuando el sistema de fuerzas externas que actúan sobre uncuerpo en equilibrio es tridimensional, es posible expresar la suma de las fuerzasexternas como

Cada componente de esta ecuación debe ser igual a cero, lo que resulta en tresecuaciones de equilibrio escalares

(3.5)

Las sumas de las componentes x, y y z de las fuerzas externas que actúan sobre uncuerpo en equilibrio deben ser iguales a cero.

©Fx = 0, ©Fy = 0, ©Fz = 0.

©F = 1©Fx2i + 1©Fy2j + 1©Fz2k = 0.

El cilindro de 1000 kg que se muestra en la figura pende del techo por un sistemade cables sostenidos en los puntos B, C y D. ¿Cuáles son las tensiones en los cablesAB, AC y AD?

EstrategiaSi se aísla parte del sistema de cables cerca del punto A, se obtendrá un diagramade cuerpo libre sometido a las fuerzas causadas por las tensiones en los cables.Como cada suma de las componentes x, y y z de las fuerzas externas debe ser iguala cero, se pueden obtener tres ecuaciones para las tres tensiones desconocidas. Parahacer esto, es necesario expresar las fuerzas ejercidas por las tensiones en términosde sus componentes.

Solución

Dibuje el diagrama de cuerpo libre y aplique el equilibrio

(�3, 0, 3) m

(�2, 0, �2) m

z

D

(0, �4, 0) m

(4, 0, 2) mB

A

100 kg

yC

x

3.3 Sistemas tridimensionales de fuerzas 109

Resolviendo estas tres ecuaciones, se obtiene TAB � 519 N, TAC � 636 N y TAC � 168 N.

Problema de práctica Suponga que los cables AB, AC y AD se alargan de maneraque el punto de unión A se ubica en el punto (0, �6, 0) m. ¿Cuáles son las tensionesen los cables?

Respuesta: TAB = 432 N, TAC = 574 N, TAD = 141 N.

rAB

A (0, �4, 0) m

(4, 0, 2) mB

x

y

C

D

z

Obtenga un vector unitario que tengala misma dirección de la fuerza TAB

dividiendo el vector de posición rAB

del punto A al punto B entre sumagnitud.

rAB � (xB � xA)i � (yB � yA)j � (zB � zA)k.

eAB � � 0.667i � 0.667j � 0.333k.

� 4i � 4j � 2k (m).rAB

�rAB�

Exprese la fuerza TAB en términosde sus componentes escribiéndolacomo el producto de la tensión TAB

en el cable AB por el vector unitarioeAB. Exprese las fuerzas TAC y TAD

en términos de sus componentesusando el mismo procedimiento.

Sustituya estas expresiones en la ecuación de equilibrio

TAB � TAB eAB

� TAB(0.667i � 0.667j � 0.333k),

TAC � TAC (�0.408i � 0.816j � 0.408k),

TAD � TAD(�0.514i � 0.686j � 0.514k).

0.667TAB � 0.408TAC � 0.514TAD � 0,

0.667TAB � 0.816TAC � 0.686TAD � 981 N � 0,

0.333TAB � 0.408TAC � 0.514TAD � 0.

TAB � TAC � TAD � (981 N)j � 0.

Como las componentes i, j y k deben ser iguales a cero,esto resulta en tres ecuaciones:

Escriba los vectores en términos de sus componentes

p A , 57 14


Ejemplo 3.6 Aplicación del producto punto (� Relacionado con el problema 3.79)

6 pies

O

y

C

A

B

Dz

4 pies

7 pies

4 pies4 pies

x

El collarín C de 100 lb que se muestra en la figura se mantiene en su lugar sobrela barra lisa mediante el cable AC. Determine la tensión en el cable y la fuerzaejercida sobre el collarín por la barra.

EstrategiaComo se desea determinar las fuerzas que actúan sobre el collarín, es necesariodibujar su diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas externas que actúan sobre el co-llarín son su peso y las fuerzas ejercidas sobre él por el cable y la barra. Si esteejemplo se resuelve como el anterior, el siguiente paso consiste en expresar lasfuerzas en función de sus componentes. Sin embargo, no se conoce la direcciónde la fuerza ejercida por la barra sobre el collarín. Como la barra lisa ejerce unafuerza de fricción insignificante, se sabe que la fuerza es normal al eje de la barra.Por lo tanto, es posible eliminar esta fuerza de la ecuación �F � 0 tomando el pro-ducto punto de la ecuación con un vector unitario que sea paralelo a la barra.

SoluciónDibuje el diagrama de cuerpo libre Se aísla el collarín (figura a) y se comple-ta el diagrama de cuerpo libre mostrando el peso del collarín, la fuerza T ejercidapor la tensión en el cable y la fuerza normal N ejercida por la barra (figura b).

Aplique las ecuaciones de equilibrio La suma de las fuerzas externas queactúan sobre el diagrama de cuerpo libre es

(1)

Sea eBD el vector unitario que apunta desde el punto B hacia el punto D. Como Nes perpendicular a la barra, eBD � N � 0. Por lo tanto,

(2)

Determinación de eBD: Se determina el vector que va del punto B al punto D,

rBD � (4 � 0)i � (0 � 7)j � (4 � 0)k � 4i � 7j � 4k (pie),

y se divide entre su magnitud para obtener el vector unitario eBD:

eBD =rBD

ƒrBD ƒ=

4

9 i -

7

9 j +

4

9 k.

eBD# 1©F2 = eBD

# [T - 1100 lb2j] = 0.

©F = T + N - 1100 lb2j = 0.

9

3.3 Sistemas tridimensionales de fuerzas 111

N

T

�100 j (lb)

(a)

(b)

Expresión de T en términos de componentes: Es necesario determinar las coorde-nadas del collarín C. El vector que va de B a C puede escribirse en términos delvector unitario eBD,

rBC � 6eBD � 2.67i � 4.67j � 2.67k (pie),

y luego puede sumarse al vector que va del origen O a B para obtener el vector deO a C:

� 2.67i � 2.33j � 2.67k (pie),

Las componentes de este vector son las coordenadas del punto C. Ahora se puededeterminar un vector unitario con la misma dirección que T. El vector de C a A es

� � 2.67i � 4.67j � 1.33k (pie),

y el vector unitario que apunta desde el punto C hacia el punto A es

Sea T la tensión en el cable AC. Entonces se puede escribir el vector T como

Determinación de T y N: Si se sustituye en la ecuación (2) las expresiones para eBD

y T en términos de sus componentes, resulta

y se obtiene la tensión T � 102 lb.

Usando la ecuación (1) ahora es posible determinar la fuerza ejercida por labarra sobre el collarín:

Razonamiento críticoAl obtener el producto punto de la ecuación de equilibrio para el collarín conun vector unitario eBD que es paralelo a la barra lisa BD, se obtuvo la ecuación (2),la cual no contiene la fuerza normal N. ¿Por qué pasa esto? La respuesta formales que eBD es perpendicular a N, y entonces eBD � N � 0. Pero la interpretaciónfísica de la ecuación (2) proporciona una explicación más convincente: Éstaestablece que la componente del peso del collarín paralela a la barra está balan-ceada por la componente de T paralela a la barra. La fuerza normal ejercida sobreel collarín por la barra lisa no tiene componente paralela a la barra. Entoncesse tuvo la posibilidad de resolver para la tensión en el cable sin conocer la fuerzanormal N.

= 49.1i + 14.0j - 24.6k 1lb2. = -1102 lb21-0.482i + 0.843j + 0.241k2 + 1100 lb2j

N = -T + 1100 lb2j

= -0.762T + 77.8 lb,

= a4

9 i -

7

9 j +

4

9 kb # [-0.482T i + 10.843T - 100 lb2j + 0.241T k]

0 = eBD# 3T - 1100 lb2j4

T = TeCA = T1-0.482i + 0.843j + 0.241k2.

eCA =rCA

ƒrCA ƒ= -0.482i + 0.843j + 0.241k.

rCA = 10 - 2.672i + 17 - 2.332j + 14 - 2.672k

rOC = rOB + rBC = 7j + 12.67i - 4.67j + 2.67k2

(a) Aislamiento del collarín.(b) Diagrama de cuerpo libre del collarín

donde se muestran las fuerzas ejercidaspor su peso, el cable y la barra.

olver para la tensión en el cable sin conocer la fuer


Problemas 3.64/3.65

Problema 3.66

Problemas

� 3.63 En el ejemplo activo 3.5, suponga que el punto de uniónB se mueve al punto (5, 0, 0) m. ¿Cuáles son las tensiones en loscables AB, AC y AD?

3.64 La fuerza F � 800i � 200j (lb) actúa en el punto A dondese unen los cables AB, AC y AD. ¿Cuáles son las tensiones en lostres cables?

3.65* Suponga que usted desea aplicar una fuerza F de 1000 lben el punto A con una dirección tal que las tensiones resultantes enlos cables AB, AC y AD sean iguales. Determine las componentesde F.

3.68 Antes de su despegue, un globo que lleva un conjunto deexperimentos a gran altura se sostiene en su lugar por grupos de estudiantes voluntarios que sostienen los tirantes en B, C y D.La masa del globo, el paquete de experimentos y el gas quecontiene es de 90 kg, y la fuerza de flotación del globo es 1000 N.El profesor supervisor estima de manera conservadora que cadaestudiante puede ejercer al menos una tensión de 40 N sobre eltirante durante el intervalo de tiempo necesario. Con base en estaestimación, ¿cuál es el número mínimo de estudiantes necesariosen B, C y D?

y

z

(12, 4, 2) pies

(0, 4, 6) pies

(6, 0, 0) piesB

C

A

F(0, 6, 0) piesD

x

3.66 El disco A de 10 lb de metal está soportado por la super-ficie lisa inclinada y los cordones AB y AC. El disco se localizaen las coordenadas (5, 1, 4) pies. ¿Cuáles son las tensiones enlos cordones?

(0, 6, 0) pies

(8, 4, 0) piesC

y

B

z

2 pies

8 pies

10 pies

Ax

y

x

z

C (10,0,�12) m

B (16,0,16) m

D(�16,0,4) m

(0, 8,0) mA

Problema 3.68

3.67 El tractor de la figura ejerce una fuerza F � 2i (kip) en A.¿Cuáles son las tensiones en las cables AB, AC y AD?

y

C

A

Dz4 pies

3 pies

2 pies

8 pies

8 pies

6 pies

B

x

Problema 3.67


Problemas 113

3.69 La masa de 20 kg se suspende mediante cables unidos a trespostes verticales de 2 m. El punto A está en (0, 12, 0) m. Determi-ne las tensiones en los cables AB, AC y AD.

B

A

C

D

y

zx

2 m0.3 m

1 m1 m

Problema 3.69

3.70 El peso de la sección de pared horizontal es W � 20,000 lb.Determine las tensiones en los cables AB, AC y AD.

6 pies

10 pies

4 pies8 pies

7 pies

14 pies

W

D

A

CB

Problema 3.70

C

A

y

B

E

(a)

x

8 pies 6 pies

6 pies 5 pies

5 pies

5 pies4 pies

D C

B

z

z

x

E

(b)

(0, 10, 0) pies

3.71 El automóvil de la figura a y la plataforma que lo sostienepesan 3000 lb. Están soportados por cuatro cables AB, AC, AD yAE. Las ubicaciones de los puntos de unión sobre la plataforma semuestran en la figura b. Las tensiones en los cables AB y AE soniguales. Determine las tensiones en los cables.

Problema 3.71

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