Jorge Líderes - 2016 Ciclo Verano - Terminos Semejantes
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x
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x
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ACADEMIA LDERESGEOMETRIA
NGULOS FORMADOSPOR DOS RECTASPARALELAS Y UNA
SECANTE
Rectas Paralelas.-Dos rectas de un planoson paralelas cuando al prolongarlas notienen ningn punto comn, o cuando ladistancia entre sus puntos es constante.NotacinEl paralelismo se denota con el smbolo //
Rectas Perpendiculares.-Dos rectas de unplano son perpendiculares si al intersectarseforman un ngulo de 90.Notacin : La perpendicularidad se denota
con el smbolo
Rectas secantes.- Dos rectas en un planoson secantes cuando tienen un punto encomn.
NGULOS FORMADOS POR DOSR!"AS PARALLAS # UNA R!"AS!AN"Dos rectas paralelas al ser cortadas por unatercera recta !llamada recta secante"determinan ngulos especiales por laposici#n de uno respecto al otro.
$. NGULOS $N"RNOS: m$ %, m$ &' m$ (, m$)
$$. NGULOS %"RNOS: m$ 1, m$ 2' m$ *, m$ +
$$$. NGULOS AL"RNOS.- Los ngulosalternos son congruentes. &ternos: m$ 1 - m$ + m$ 2 - m$ * $nternos: m$ % - m$ ) m$ & - m$ ($'. NGULOS !ORRSPOND$N"S.-Losngulos correspondientes son congruentes. &ternos: m$ 1 - m$ ( m$ 2 - m$ ) $nternos: m$ % - m$ * m$ & - m$ +
'. NGULOS !ON(UGADOS.- Los ngulosconugados son suplementarios &ternos: m$ 1 m$ * - 1+0 m$ 2 m$ + - 1+0 $nternos: m$ % m$ ( - 1+0 m$ & m$ ) - 1+0
PROPIEDADES
a" i
21 L//L
b" i:
21 L//L
c" i
21 L//L
d" i
21 L//L
CICLO VERANO 2016 3RO SECUNDARIAPROF. : WALTER LVANO ALMEYDA
Se lee: La recta
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Se lee: La recta
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se cumple ue
360+ + = x
se cumple ue
90=x
e" i
21 L//L
EJERCICIOS
1.3
2.3
%.3
&.3
(.3
).3
*.3
+.3
9.3 i1 2
L //L
, 4allar5/6 10.3 En la figura calcula 758, si
.a" 1 b" 2 c" % d" 1,( e" 0,( a" 20 b" 2(c" %0 d" )0
CICLO VERANO 2016 3RO SECUNDARIAPROF. : WALTER LVANO ALMEYDA
se cumple que:
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5x
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11.3
a" +0
b" 100
c" 90d" *
0e" )
0
12.3
a" (&
b" )&
c" &
&d" %
&e" (
0
1%.3
1&.3
1(.3
1).3
9.3 n padre dice a su 4io :;4ora tu edad esla tercera
parte de la ma pero, 4ace 10 au? edad tiene el 4io@
;" 1% A" 20 B" 1) D" 2&E" C.;.
10.3 n padre a uien se le pregunta por laedad de su
4io, contesta i edad es tres eces lade mi 4io,
pero 4ace 10 a
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;"20 a
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EJERCICIOS). Balcular E - en2%0 Gg%*
a" 1 b" 2 c" % d" & e" 31
2.3 Balcular > - %.sec(%
a" 1& b" 2( c" ( d" 1( e"10
%.3 Determinar el alor de P - (cos%* %tg(%
a" % b" ( c" + d" 12 e"1+
&.3 Determinar el alor de > - sen(% ctg%*
a" %/2 b" (/% c" %/( d" 2/(e" 1/(
(.3 Balcular el alor de M -(sen%*%ctg%*10cos(%
a" 1% b" 12 c" 1& d" 2%e" %
).3 Determinar el alor de
a" 1% b" 12 c" 1& d" 2%e" %
*.3 Fallar 758 ,si: 5 tg%* - csc (%
a" 1/% b" 1/& c" & d" 2 e"Q
+.3 Determinar el alor de si
>-10cos(%%sec(%&sec%* a" % b" 2 c" 3& d" & e"3%9. Balcular .C - sec &( % tg&( ' C- csc&(
a" 10 b" 1% c" 11 d" 12e" 1&
10.3 Balcular
a" 1 b" 1/2 c" 31/% d" 2e" 2/%
11.3 ea
Hara ealuar R - 10
a" b" c" 1( d"e" 1*
12.3 Del grfico 4allar ctgR
1%.3 Balcular
a" 2(/12 b" 2(/2& c" &9/12 d"&9/2& e" */1+
1&.3 De la figura calcular a/b
1(.3 Balcular 758
a" 1 b" 2 c" % d" & e" (
1).3
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1*.3 Balcular
cbaE ++=
iendo
a - tan%* csc(% b - sen&(.sec&(c - 2sen)0. tan%0
a" 2 b" % c" & d" ( e" )1+.3
Nndicar cada uno de los siguientes productos
6/o diisores como una sola potencia ! no esnecesario
efectuar dic4a potencia" a" *(S *2 S *&- b" )&S )3% S )-
c" 5( S 5) S 53%-
d" !%a"31 S !%a"3& S !%a"3) -
m ( m +
m %
2 2
2
+ +
+
!"
#x$"% & #x$"' ( )" #a*b"+a*b"& #a*b"-.(
"/"
0"1" 52 : 5(
La teora de e5ponentes, estudia todas lasclases de e5ponentes ue e5isten 6 lasdiferentes relaciones ue e5isten entre ellos,
mediante le6es. La operaci#n ue da origenal e5ponente, es la potenciaci#n.
PO"N!$A!$*N:Es una operaci#n matemtica ue consisteen 4allar una e5presi#n llamada potencia,partiendo de otras e5presiones llamadasbase 6 e5ponente.
Representacin
Eemplo
RAD$!A!$*N :Es una operaci#n matemtica ue consisteen 4acer corresponder dos nmerosllamados ndice 6 radicando con un tercernmero llamado raO, el cual es nico, segn
3 : 30c! #3 + 6 3 N"b radicandor raO n3?sima principal de b
L#S D %PONN"SLas principales le6es de los e5ponentes sonlos siguientes
Es una figura geom?trica cerrada, ue seforma al unir consecutiamente tres o mspuntos no colineales.
TTTTTTTTTTTTTUVrtices: A, B, C, D, E, F
TTTTTTTTTTTTTULados : FA,.....,CD,BC,AB
NO"A!$*NHolgono ;ABDEI
NGULOS DETERMINADOS
L+NA ASO!$ADA
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!LAS$F$!A!$*N
, Por la rein ue li/itan3 Pol0ono !on1e&o: cu6os ngulosinteriores son menores de 1+0
3 Pol0ono No con1e&o:cuando uno o msngulos son ma6ores de 1+0.
, Por la /edida de sus ele/ento3 Holgono Euingulo Buando los ngulosinteriores 6 e5teriores son de la mismamedida.
3 Holgono Euiltero Buando los ladostienen igual longitud.
3 Holgono egular Buando los ngulos 6lados tienen la misma medida.
Donde 7J8 es el centro del polgono.
NO"A: olo los polgonos ue son regularestienen ngulo central.
, Por el n2/ero de ladosGringulos % ladosBuadrilteros & ladosHentgonos ( ladosFe5gono ) ladosFeptgono * ladosJctgono + ladosCongono 9 ladosDecgono 10 ladosEndecagono 11 ladosDodecgono 12 lados
Hentadecgono 1( ladosNcosgono 20 lados
P R O P $ D A D S
$.- Relacin de lados3 14rtices3 5nulo
$$.- Su/a de /edidas de los 5nulosinteriores 6Si7
n - nmero de lados$$$.- Su/a de /edidas de los 5nulose&teriores 6Se7:
$'.- Medida de un 5nulo interior enpol0onos
eui5nulos 6 !i7:
n - nmero de lados'.- Medida de un 5nulo e&terior enpol0onos
eui5nulos 6!e7:
NO"A: olo en polgono regular
Vngulo central - ngulo e5terior
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'$. Su/a de un 5nulo interior 8 un5nulo e&terior:
( R ! $ ! $ O S
9).La suma de los ngulos interiores de undodecgono
es
a" 1900 b" 1+00 c" 19(0 d"19)0 e" 2000
9. La suma de los ngulos e5teriores de undodecgono es
a" 2*0 b" %)0 c" 2%0 d" 200e" %00
9;. i un ngulo interior es 10+ =Buntomide el ngulo e5terior del polgono@
a" *2 b" 10+ c" 1+0 d" %)e" 1+
9. Balcular la suma de ngulos interiores deun
polgono de + ?rtices
a" 10+0 b" 900 c" 12)0 d" 1&&0 e"*20
9?. i el ngulo interior es el untuplo delngulo e5terior de un polgono regular. =Bunto mide ladiferencia de
los ngulos@
a" 120 b" %0 c" )0 d" 1(0 e"90
9@. En un polgono regular de 9 ?rtices.=Bunto mide
uno de sus ngulos e5ternos@
a" (0 b" )0 c" 20 d" &0 e"
%09. Balcular 7R8' si el polgono es euingulo
)9. Balcular 758, si los polgonos sonregulares
)). Balcular 758
). i el ngulo interior de un polgono es1%2 =Bunto
mide su ngulo e5terior@
a" 1%2 b" (+ c" )+ d" &+ e"122
);. Fallar el nmero de lados de un polgonosabiendo
ue en ?l se pueden traOar 10&diagonales.
). El ngulo interior de un polgono mide1)0W. Balcular
el nmero total de diagonales ue sepuede traOar en?ste polgono.
a" 11( b" 12( c" 12*CICLO VERANO 2016 3RO SECUNDARIAPROF. : WALTER LVANO ALMEYDA
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d" 1%0 e" 1%(
)?. La suma de los ngulos de ciertopolgonos regular
e5cede a la suma de los ngulos e5ternosen 900W
=Buntos lados tiene el polgono@
a" 1) b" 1+ c" 9 d" 12 e"(
)@. =Bul es el polgono cone5o, sabiendoue la
suma del nmero de lados ms elnmero de
diagonales es igual a 91@
a" Holgono de 1& lados b" Holgono de 1+ lados
c" Holgono de 1) lados d" Holgono de 2) lados e" C.;.
). En un 4eptgono, tres de sus ngulosinteriores
miden 120W cada uno3 Balcular la medidade los otros
cuatro ngulos sabiendo ue soncongruentes.
a" 1%0W b" 120W c" 11(W d" 1%(We" 1((W
"ODOS.- Hara determinar la cantidad defiguras se utiliOan dos m?todos BonteoDirecto !espacios no alineados" e Nnducci#natemtica !espacios alineados"
, !ON"O D$R!"O.-Bonsiste en calcular el nmero de figurasdel tipo deseado procediendo a lanumeraci#n de todas las figuras simplesmediante dgitos 6/o letras, posteriormenteal conteo ordenado de las figuras de 1nmero, al unir 2 nmeros, al unir %nmeros 6 as sucesiamente.Be/plos:1" Fallar el nmero de tringulos en lasiguiente figura
Enumeramos la figura dada 6 luegoprocedemos a contar
De 1 nmero 1'2'%'&'(De 2 nmeros 1a'2a'%&'&(
De % nmeros 1b%'2b(De & nmeros ningunoDe ( nmeros 12%ab'12(abDe ) nmeros ningunoDe * nmeros 12%&(ab
Gotal de tringulos ( & 2 2 1 - 1&
, $NDU!!$ON MA"M"$!A.-Este m?todo se emplea para determinar enciertos casos f#rmulas donde la cantidad defiguras a contar parece enorme.
A7 !onteo de se/entos3 tri5nulos3cuadril5teros3 5nulos audos 8sectores circulares:
3 Cmero de tringulos
3 Cmero de segmentos
3 Cmero de cuadrilteros
3 Cmero de angulos agudos
3 Cmeros de sectores circulares
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Eemplos
1" =Buntos tringulos 4a6 en@
O"ROS !ASOS :
!onteo de "ri5nulos.B;J 1.3 cuando desde un ?rtice salenlneas ue llegan al lado opuesto 6 4a6 lneasparalelas o no a dic4o lado Cmero de
tringulos
n - nmero de espacios erticales
m - nmero de espacios 4oriOontales
B;J 2.3 cuando los tringulos songenerados por ceianas traOadas desde dos
?rtices.
n - nmero de espacios del lado ;B m - nmero de espacios del lado AB
!onteo de cuadril5teros:
n - nmero de espacios erticalesm - nmero de espacios 4oriOontales
!onteo de cuadrados:Baso 1.3 Buando el nmero de espacioserticales es igual al nmero de espacios4oriOontales.El nmero de cuadrados est dado por lasiguiente f#rmula
n - nmero de espacios 4oriOontales ue esigual al nmero de espacios erticales.
Baso 2.3 Buando el nmero de espacioserticales es diferente al nmero de espacios4oriOontales. e calcula con la siguientef#rmula
n - nmero de espacioserticales m - nmero de espacios4oriOontales
e reemplaOa 4asta ue un factor tenga elalor de 1.
Be/plo :
1" Fallar el nmero de cuadrados en lasiguiente figura
( R ! $ ! $ O S
9). Decir cuntos tringulos 4a6 en lasiguiente figura.
a" 1% b" 1&
c" 1(
d" 1) e" 12
9. Decir cuntos tringulos 4a6 en lasiguiente figura.
a" 10 b" +c" 1*
d" 1( e" 1&
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9;. Decir cuntos tringulos 4a6 en lasiguiente figura.
a" 1% b" 1&c" 1(
d" 1) e" 1*
9. Decir cuntos tringulos 4a6 en lasiguiente figura.
a" + b" 9c" 10
d" 11 e" *
9@. Decir cuntos tringulos 4a6 en lasiguiente figura.
a" 1% b" 1(
c" 1&d" 12 e"
C.;.
9. Decir cuntos cuadrilteros 4a6 en lasiguiente figura.
a" ( b" )c" *
d" + e"C.;.
10. Falla el nmero de tringulos en lafigura
;" 12 A"1( B"1+D" 21 E" 2&
11. Falla el nmero total de cuadrilteros
;" 12 A" 1( B" 1+
D" 21 E" 2&
12. Falla el nmero de tringulos en la figura
;" )0 A" 1( B" %0
D" &( E" &+
1%. Falla en nmero total de cuadrilteros.
;" 9 A" 12B" 1(
D" 21 E" 2%
1&.3 Falla el nmero total de 4e5gonos.
;" % A" &B" (
D" ) E" *
1(. Falla el nmero total de cuadrilteros enla figura
;" 12 A" 1(B" 1+
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7
A A8C
CC8DCC8
ECC8
FCC8
GCC8
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D" 21 E" 2&
1). =Buntas letras B 4a6 en la figura@
;" ) A" 10B" 12
D" + E" 11
1*. Decir cuntos tringulos 4a6 en lasiguiente figura.
;" 10 A" 12B" 1&
D" 1% E" 1(
1+. Decir cuntos tringulos 4a6 en lasiguiente figura.
;" *2 A" *&B" *)
D" *+ E" +0
19. =Buntos semicrculos 4a6 en la figura@ ;" 10 A" 1(
B" 20
D" 1+ E"C.;.
20. =Buntos segmentos se cuentan en@
1 2 % & ( XXXXXX..%1 %2%%
a" ()1 b" &++ c" )2& d" 9%) e"%%0
21 . Fallar el total de ngulos
a" ()b" 2+
c" 1&d" %2e" )&
22. Balcular el nmero de segmentos ueaparecen en la siguiente figura
a" %0 b" %1 c" %2 d" %% e" %&2%. De la figura mostrada, 4alla el alor de la
e5presi#n.
;"E - & A" E - ) B" E- +
D" E - 10 E"E - 12
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+
cdeNro
trapeciosdeNroE
.
.
=
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