Mecatrónica Robótica

Funciones Matemáticas

Unidad 2

Geometría Analítica

Jorge Barraza Chávez

Gabriel García Cortina Dr.

ContenidoI. Geometría Analítica...........................................................................................2

1. Introducción....................................................................................................2

2. La Recta en el sistema cartesiano.................................................................3

3. Cónicas........................................................................................................11

4. Conclusión....................................................................................................18

II. Bibliografía.......................................................................................................19

I. Geometría Analítica.

1. IntroducciónLa geometría es una de las ciencias más antiguas, consistía en conocimientos prácticos como la relación de longitudes, áreas y volúmenes, ahora la geometría es fundamental en las matemáticas y otras ciencias.

La geometría es una parte de las matemáticas que trata de estudiar una idealización del espacio en que vivimos, también los puntos, rectas y planos entre otros elementos.En la práctica sirve para solucionar problemas y es aplicada por muchos instrumentos, también nos sirve para diseñar y fabricar objetos.

2. La Recta en el sistema cartesiano

El punto puede definirse como una ubicación, sin longitud, anchura ni altura; Podría decirse que es un término

indefinido.

La recta es una longitud ilimitada derecha, sin grosor ni

extremos, la recta puede considerarse como un conjunto de puntos definiendo sus propiedades y al nombrar estos puntos se puede llamar a la recta en función de estos.

Distancia entre dos puntos se

puede calcular usando el teorema de Pitágoras si nos piden calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano, podemos construir un triángulo usando el plano y los puntos como referencia tomando los puntos dados como la hipotenusa, entonces calculamos las distancias √72+√32=√58=7.6

También podemos usar el teorema de pitaguras y aplicarlo a las coordenadas, el segmento que une los puntos P ( x , y ) y Q ( x . y ) lo llamamos PQ para representar la longitud.

Aplicando la formula de pitagoras tenemos:

PQ=√ (x2−x1)2+( y2− y1 )2

Al medir los segmentos de cada cateto podemos comprobar de igual manera usando los puntos como coordenadas.

Ejemplo: Si nos piden encontrar la distancia entre

P(3.5) y Q(−1,6)

Sustituimos las coordenadas con el teorema de pitágoras

d (PQ )=√ (−1−3 )2+ (6−5 )2d ( PQ )=√16+√1=√17

División de un segmento, se puede calcular el punto medio de un segmento se determina usando los puntos P y Q, donde a es la coordenanda del promedio de x1 y x2

De igual manera con b

a=x1+x22

b=y1+ y22

Entonces el punto medio que une P ( x , y ) y Q ( x . y )

PM (x1+x22

,y1+ y22

)

Ejemplo: sin nos piden encontrar el punto medio del segmento P (3,1 ) y Q (9,1 )

Sustituimos los valores P M ( 3+92 , 1+12 )PM=(6,1)

Distancia de un punto a una recta, se puede calcular la distancia utilizando la ecuación de la recta en la forma pendiente ordenada al origen

Ejemplo: Si nos piden calcular la distancia de P(−4 , 72) a la recta x−2 y−2=0

Usamos pendiente Y= 12 x

−1 si consideramos la recta perpendicular a ella que

pase por P(−4 , 72 ) sabemos que tiene pendiente -2 y−72=−2¿ y=−2x−9

2

4 x+2 y+9=0

Encontrando el punto donde se cortan las rectas: x−2 y=24 x+2 y=9

Sumamos y despejamos 5 x=−7 x=−75 Sustituimos los valores

en la primera ecuación −75

−2 y=22 y=−75

−2 y=−1710 el punto

donde se cortan las dos rectas es Q(−75 ,−1710 )

Y la distancia de PaQd (P ,Q )=√ ¿

se calcula como una razón algebraica de segmentos dirigidos o cuando dos segmentos PQ y RS están en una misma recta, con R≠S, la razón se define como PQRS por ejemplo si tenemos que calcular las distancias entre si

PQRS

= 5−27−(−1)

=38

Cuando PQ no es un segmento nulo, entonces los segmentos dirigidos tienen

direcciones contrarias, por lo tanto solo la dirección de uno de ellos puede coincidir con la de RSy el signo será el contrario para PQ

Ángulo entre dos rectas, Si concideramos dos rectas l1 y l2que se corten en un punto A, se forman cuatro ángulos que son suplementarios y cando uno de los restasntes por ser opuesto por el vértice.

Al conocer θ y θ2 conocemos también el otro, la recta l1 corta al eje X en B y su ángulo de inclinación es ∝

Consideramos el triangulo ABC como la suma de sus ángulos interiores es de 180° ∝1+θ1+ (180 °−∝2 )=180 ° entonces θ1=∝2−∝1+¿¿

Si ninguna de las rectas es vertical podemos decir que la tangente de θ1 en términos de las pendientes de las rectas l1 y l2 recordadndo la formula de la tangente de la diferencia de dos ángulos

tanθ1=tan (∝2−∝1 )=tan∝2−tan∝1/(1+ tan∝2 tan∝1)

Si llamamos l1 y l2 las pendientes m1 ym2 sutituimos y tenemos: tanθ1=m1−¿m 2

1+m1m2¿

Ejemplo: si nos piden encontrar el ángulo de la recta x+3 y+2=0 ala recta −x+3 y+5=0

Llamanos θ al ángulo buscando. Determinamos su valor aplicando la formula

A1=1 A2=−1 B1=3 B2=30

Tenemos tanθ1=A1B2−A2 B1A1 A2+B1B2

= (1∙3 )−¿¿

Otra forma es encontrando las pendientes de las rectas

x+3 y+2=0−x+3 y+5=0 y=−13 x

−23

y= 13 x

−53

Sustituimos los valores de las pendientes

tanθ1=m1−¿m 2

1+m1m2=

13−(−1

3)

1+( 13)(−13

)=34

¿

Y obtenemos θ=36.8°

Ángulo de inclinación de una recta, la pendiente de una recta es el valor de la tangente de su angulo de inclinación ∝ La pendiente se denota de manera usual por m

m=tan∝

Se puede calcular la pendiente cuando se tienen dos puntos P (−2,2 ) y Q (3,5 )

Se traza la recta que une los puntos. Esta corta el eje X en el punto A.

Por P trazamos una recta paralela al eje X y desde Q trazamos una paralela al eje Y

Las dos rectas se cortan en B , donde el angulo β=QPB es igual al ángulo ∝por ser ángulos correspondientes.

tan∝= tan β= cateto opuestocatetoadyacente

=BQPB

¿ 5−23−(−2)

=3 /5

Para calcular la pendiente de una recta no vertical, conociendo dos puntos

calculamos. P ( x , y ) y Q ( x . y ) m=y2− y1x2−x1

Cálculo de la pendiente cuando se conocen dos puntos de la recta, hay tres casos posibles:

Si m=0 entonces ∝=tan−10=0 ° y es una recta horizontal Si m>0 entonces ∝=tan−1m=0 °<∝<90 ° y m es positivo Si m<0 entonces ∝=tan−10m=90 °<∝<180° y m es negativo

Forma punto-pendiente, en este caso, obtenemos la ecuación de la recta a partir de conocer un punto de ella y su pendiente.

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P=(5,4) y

tiene pendiente cuatro.

Si Q(x , y) es cualquier otro punto entonces la pendiente es: m= y−4x−5 pero

sabemos que m=4 entonces despejamos y−4=4 (x−5)

Ejemplo Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (4,-1) y tiene pendiente -2

(x1 , y1 )=(4 ,−1) y m=−2 sustituimos y despejamos

y− y1=m (x−x1 ) y− (−1 )=(−2 ) ( x−4 ) y+1=−2(x−4 )

Ejemplo Dar un punto y la pendiente de la recta y−5=−7 (x+3)

y− y1=m (x−x1 ) y−5=−7 (x−(−3))

Donde y1=5 X1=−3m=−7

Forma pendiente-ordenada al origen

Ahora las coordenadas de Pson (0 , b) que es la ordenada al origen de la recta porque este punto corta el eje y y su pendiente m también es conocida.

y−b=mx (x−0 ) y=mx+b

Ejemplo, si nos piden encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente 3 y que corta al

eje y en el punto -1

m=3b=−1

Sustituimos los valores en la ecuacion de la recta ordenada al origen y=3 x−1

Ejemplo ¿cuál es la pendiente de la recta y=−23

x−5?

b=−5 P (0,5 ) m=−23 podemos elegir un valor para x y lo

sustituimos

y=−23

(−3 )−5=−3

La recta pasa también por el punto R(-3,-3) y P

Ecuación de la recta conociendo dos de sus puntos, también es posible calcular la recta y su pendiente con dos puntos aplicando la ecuación. p−p1=m(x−x1)

Solo sustituimos los valores de cada punto P ( x , y ) y Q (x2, y2 ) conx≠ x2, si

conocemos los dos valores podemos encontrar su pendiente. m=(x1+x2y1+ y2

)

Tomando cualquier punto también encontramos la ecuación en su forma punto

pendiente y− y1=x1+x2y1+ y2

(x−x1 )

Ejemplo: si nos pide encontrar la ecuación de la recta que pasa por P (4 ,−1 ) yQ(8,3)

Elegimos cualquier punto y sustituimos y− y1=x1+x2y1+ y2

(x−x1 )

y−(−1)=3−(−1)8−4

( x−4 )

y+1=3+14

( x−4 )y=x−5

También se pude sustituir con el punto Q y seria el mismo resultado

Forma general de la ecuación de la recta, para obtener tanto los valores verticales cono las que no lo son se aplica la forma general y se obtiene pasando todos los términos de la ecuación a un miembro, de manera que este quede igualado a cero

Ax+By+C=0

Ejemplo: Si nos piden pasar a forma general y=4 x+5 solo hay que cambiar los valores e igualar a cero

$ x− y+5=0

Ejemplo: También si nos pide aplicarla cuando pasa por P(−3,2) y m=8

Usamos la forma punto pendiente y−2=8 ( x+3 ) y de igual forma igualamos y despejamos ala forma general.

8 x− y+26=0

Forma simétrica de la ecuación de la recta, a partir de la forma general de la ecuación de la recta Ax+By+C=0 Podemos escribir Ax+By=−C si C≠0 podemos dividir

entre −C y obtenemos Ax−C

+ By−C

=1

Asi tenemos la ventaja de que podemos ver explícitamente los pontos donde la recta corta los ejes

Axa

+ Byb

=1

Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que corta los ejes en (5,0) y (0,-3)

a=5y B=−3 y sustituimos x5+ y−3

=1

Y al transformarla a la forma general −3 x+5 y+15=0

Ejemplo: Si nos piden encontrar los puntos en que corta la recta 5 x+5 y−6=0

Despejamos para igualar a 1

5x6

+8 y6

=1 que se puede escribir como:

x6/5

+ y3 /4

=1

Entonces la recta corta en ( 65 ,0) y (0 , 34)

3. Cónicas

Un cono circulas recto de dos mantos es una superficie que se obtiene al girar una recta l y C es un círculo con centro O. El punto V que queda fijo al girar les llamado vértice del cono y cada recta que pasa por V y que está en la

superficie se llama una generatriz del cono.La recta OV que es perpendicular al plano que contiene el circulo Ces llamada eje del cono.El ángulo ∝ formado por el eje del cono y cualquiera de las generatrices es llamado el semiángulo central del cono

Es importante recordar que el ángulo formado por un plano P y una recta lque no es perpendicular a P es el ángulo β

Este ángulo 0≤ β<90° es el ángulo entre la recta l y l ' que es la intersección del plano P y el plano Q. Cuando l es perpendicular a P definimos que β=90 °

Si el ángulo entre un recta y un plano varía entre 0° y 90° decimos que el plano y la recta son paralelos si β=0° y que son perpendiculares si β=90 °

Las secciones cónicas son aquellas curvas que pueden obtenerse al contar un cono de dos mantos con un plano.

Si ∝ es el semiángulo central del cono y que el plano forma un ángulo0≤ β<90° con el eje del cono, entonces la cónica originada en el corte es:

Una elipse si ∝<β<90 ° Una parábola si β=∝ Una hipérbola si 0<β<∝

Los siguientes casos son particulares de cónicas El círculo cuando β=90° cuando el eje del cono es perpendicular al

plano que hace el corte, el plano es horizontal Dos rectas que se cortan es caso particular de la hipérbola el plano de

corte es vertical y pasa por el vértice del cono Un punto, cuando el plano corta el cono únicamente en el vértice es un

caso donde β=90 °y que el plano pasa por el vértice Una recta, cuando el plano es tangente al cono

Estos últimos casos son cónicas degeneradas.Cuando se corta un cilindro con un plano, también se obtienen cónicas, algunas de las cuales son cónicas degeneradas.

Cuando el plano no es paralelo ni perpendicular al eje del cilindro se obtiene una elipse

Cuando el plano es perpendicular al eje del cilindro se obtiene un círculo

Cuando el plano es paralelo al eje del cilindro se pueden obtener dos rectas paralelas, una recta o el conjunto vacío.

El círculo, es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro.La ecuación del círculo con centro en el origen y radio r es x2+ y2=r2

La mediatria de un segmento es la recta perpendicular a él que pasa por su punto medio.El centro de un círculo pertenece ala mediatriz de cualquiera de sus cuerdas.

La ecuacón estándar del círculo con centro fuera del origen (h , k ) y radio r es ( x−h )2+( y−k )2=r2

La ecuación general del círculo es del tipo x2+ y2+Dx+Ey+F=0Si este no es degenerado, su centro se ubica en

(−D2

,−F2 ) y suradio se determina por

r=√D2−E2−4 F2

Ejemplo, Si nos piden encontrar el lugar geométrico de los puntos con distancia al origen es 4, quiere decir que el circulo tendrá como centro(0,0 ) y el radio será 4.Un punto P(x , y) está sobre el círculo si:

d (P ,O )=4

Si sustituimos las coordenadas de P yOen la fórmula de distancia entre dos puntos.

√ ¿Y tenemos la ecuación

x2+ y2=16Que es la ecuación del círculo con centro en O y radio 4

Dados P(x , y) y Q(x2 , y2) la distancia es d (P ,Q )=√¿¿¿

La parábola, está formada por todos los puntos del plano que equidistan de una recta llamada directriz y un punto fijo llamado foco fuera de la directriz. Su ecuación se obtiene igualando las distancias de un punto genérico ( x , y ) a la directriz y foco dados.

La recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz es llamada el eje de simetría de la parábola. El punto medio del segmento determinado por F y el punto donde dicho eje corta la directriz es llamado vértice de la parábola

nombrado V .

Las distancias del vértice al foco y del vértice a la directriz son iguales. Esa distancia común se acostumbra denotar con p y es positiva.El número 4 pes llamado ancho focal de la parábola y mientras pes más grande la parábola es más abierta.

La ecucación de la parábola vertical con vértice en el origen es x2=4 py y se abre hacia arriba y si es negativa se abre hacia abajo.

La ecuación de una parábola horizontal con vértice en el origen es y2=4 px y se abre ala derecha si es negativa se abre ala izaquierda.

La ecuación estándar de una parábola vertical con vértice fuera del origen V (h , k ) es ( x−h )2=4 p ( y−k ) abriendo hacia arriba o ( x−h )2=−4 p ( y−k ) abriendo hacia abajo

( y−k )2=4 p(x−h) abriendo hacia la derecha y ( y−k )2=−4 p(x−h) abriendo ala izquierda.

Ejemplo, si nos piden encontrar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta y+1=0 y del punto P(0,1)

Para que un punto Q ( x , y )perenezca a la recta l debe cumplir: d (Q,l )=d (Q ,F )

Sustituimos la ecuación de l y las coordenadas de F y Q en las fórmulas de la distancia de un punto de la recta y la distancia entre dos puntos.

|y+1|√12

=√ ¿

Elevamos al cuadrado las dos partes de la ecuación: ( y−1 )2=x2+ ( y−1 )2

Y hacemos las operaciones igualando a cero: ( y−1 )2=x2+( y−1 )2

y2+2 y+1−x2−( y2+2 y+1 )=0−x2+4 y=0Que es la ecuación de la parábola

La distancia de un punto P(x1 , y1) a la recta Ax+By+Ces d=|A x1+B y1+C|

√A2+B2+¿

La elipse, está formada por todos los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es igual a una constante.Su ecuación se obtiene sumando las distancias de un punto genérico (x , y ) a los focos dados e igualando a la constante.

Una elipse horizontal con centro en el origen tiene ecuación de la forma

x2

a2+ y2

b2=1

Una elipse vertical con centro en el origen tiene ecuación de la formax2

b2+ y2

a2=1

En cualquier elipse a≥b

Y cuando el centro está fuera del origen C (h , k ) siendo horizontal y vertical se usa la formula ( x−h )2

a2+

( y−k )2

b2=1horizontal ( x−h )2

b2+

( y−k )2

a2=1 vertical

Ejemplo: si nos piden encontrar el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a los puntos F (12,0) y F (−12,0) sea 26

Para que un punto P ( x , y ) pertenezca a este lugar debe

cumplir: d (P ,F )+d (P , F )=26

Sustituimos las coordenadas:

√ ( x−12 )2+√ (x+12 )2+√ y2=26Para eliminar los radicales, debemos restarle la misma ecuación de manera que del lado izquierdo quede uno de los radicales y después elevamos al cuandrado ambos. √ ( x−12 )2+ y2=26−√ ( x+12 )2+ y2

( x−12 )2+ y2=676−52√ ( x−12 )2+ y2+¿¿

x2−12 x+144+ y2=676−52√ ( x−12 )2+ y2¿+ x2+24 x+144+ y2

12 x+169=13√ (( x−12 )¿¿2+ y2)¿

Elevamos al cuadrado eliminando el segundo radical(12 x+169 )2=169¿¿25 x+169 y−4225=0

Que es la ecuación del lugar geométrico por los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante

La hipérbola, está formada por todos los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es igual a una constante.Su ecuación se obtiene restando las distancias de un punto genérico ( x , y ) a

los focos dados e igualando dicha diferencia a la constante.

La hipérbola horizontal con centro en el origen tiene

ecuación de la forma x2

a2− y2

b2=1

Una hipérbola vertical con centro en el origen tiene ecuación y2

a2− x2

b2=1

En el caso de la hipérbola, a no tiene que ser mayor que b

Ejemplo, si nos piden encontrar el lugar geométrico que consta de todos los puntos las que la diferencia entre las distancias de ellos a los puntos

F (2,0 ) y F '(−2,0) es igual a 2

Para que un punto P(x , y) pertenezca a este lugar geométrico debe satisfacer:

d (P ,F ' )−d ( P ,F )=2

d ( P ,F )−d (P ,F ' )=−2

Sustituimos las coordenadas de los puntos P, F y F’ en la fórmula de la distancia entre puntos

√ ( x−2 )2+( y−0 )2−√ (x−(−2 ) )2+( y−0 )2=∓2De igual manera que en la elipse se pasa el radical al otro lado y elevamos al cuadrado, simplificamos y dejamos solo al radical y volvemos a elevar al cuadrado.

2 x+1±√( x+2 )2+ y2

(2 x+1 )2=( x+2 )2+ y2$ x2+4 x+1=x2+4 x+4+ y2

Pasamos los términos a un lado de la ecuación

3 x2− y2−3=0Que es el lugar geométrico

El lugar geométrico formado por los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante se denomina hipérbola

De acuerdo con los ejemplos anteriores, podemos definir las cónicas de la siguiente manera:

Una parábola es el conjunto de los puntos del plano que equidistan de una recta fija y un punto fijo que no está en ella

Una elipse es el conjunto de los puntos del plano cuya suma de distancia a dos puntos fijos es constante

Una hipérbola es el conjunto de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante

La geometría analítica toma estas definiciones y las combina con el álgebra, así todas las cónicas pueden representarse mediante ecuaciones de segundo grado en dos variables, y recíprocamente, toda ecuación de segundo grado describe una cónica o un caso degenerado de alguna de ellas.

4. Conclusión

Es importante conocer los conceptos básicos de la geometría analítica para poder comprender de manera más practica un plano cartesiano y como graficar usando ecuaciones y así tener una solución más práctica a los problemas o a la hora de hacer cálculos, diseñar o crear cualquier geometría.

(Lam & UNAM, 2011)

II. Bibliografía

Lam, E., & UNAM, F. d. (2011). Geometría Analítica. México: Person Educación.