Juan Alfredo Morales-Numero Trierniones

5/11/2018 Juan Alfredo Morales-Numero Trierniones - slidepdf.com

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L o S nurneros trie rn iones '

M o r a l e s - d e l R i o , J.A . 2

R e s u m e n

En este articulo se muestra una nuevaserie demimeros que el autor en-

contr6 en el mes de enero de 2007, dandoles el nombre de "trierniones", ya

que se componen de tres partes: una real y dos imaginarias. Dichos mime-

ros caen en el campo de los mimeros hipercomplejos. El punto de partida

del autor son los mimeros reales y complejos, para llegar a los hipercom-

plejos. Se inc1uyen en este trabajo tambien varias de las propiedades que

poseen los nuevos mimeros trierniones, asi como algunos teoremas sobre

los mismos que el autor ha encontrado.

Pala bra s cla ve: mimeros trierniones, mimeros hipercomplejos, variable

compleja, teoria de mimeros.

1. El autor desea agradecer la intensa revision que de este documento llevo a cabo el profesor

Joaquin F. Mendoza Blanco, haciendo hincapie en detalles, precisiones y emitiendo sugerencias

para una mejor conclusion del documento.

2. Profesor de tiempo completo adscrito al Departamento de Ciencias Tecnologicas, Centro

Universitario de laCienega, Universidad de Guadalajara. Correo electronico: alfredomorales_l@

yahoo.com.mx



MORALES-DEL R i o , J. A .

Abstrac t

x2 + 1 = 0

This article show a new set of numbers encountered by the author on

January 2007, he named "triernions". The triernions numbers are compo,

sed by three parts: one real, and two imaginary. The new triernions num-

bers are enclosed on the hipercomplex numbers. The author originally usedthe real and complex numbers to encounter the new hipercomplex num-

bers named "triernions". In this research are included some properties and

theorems of the new numbers encountered by the author.

K ey w ords: triernions numbers, hipercomplex numbers, complex varia-

ble, number theory.

1 . lntroduccion

EI sistema de los numeros reales fue originado por la necesidad de contar

objetos, piedras, dedos, 0 inc1uso cabezas de ganado. Este invento mate-

matico mas tarde se desarro1l6 constituyendo en cierta forma la aritmetica,

la cual junto con la geometria han servido a los fines de impulsar muchas

otras ramas de la matematica, Sin embargo, como ocurre con cualquier in-

vento, el sistema de los mimeros reales tiene ciertas limitaciones, las cuales

al principio fueron simplemente aceptadas y despues, con el paso del tiem-

po, estudiadas tratando en cierta forma de perfeccionarlas. Tal es el caso

del estudio de las ecuaciones de segundo grado, como la siguiente:

Cuya soluci6n llev6 al concepto de mimero imaginario "i", ya que la solu-ci6n de dicha ecuaci6n presupone el encontrar las rakes de \,-1 y - \ -1.

George Polya y Gordon Latta (1986) mencionan que "como no existe un

mimero real cuyo cuadrado sea -1, tales rakes se encuentran, por ejem-

plo, al construir ciertos triangulos, y antes se consideraban "imposibles" 0

"imaginarias"; por 10 tanto, fueron descart adas" . Estos autores escriben

tambien en su libra Variable compleja que "los babilonios (alrededor del

afio 2000 antes de Cristo) ya conocian esencialmente el metodo para re-solver ecuaciones cuadraticas, pero los matematicos de aquellos tiempos

no especulaban acerca de la naturaleza de las rakes imaginarias". De esta

manera, hacia el siglo XVIII los mimeros imaginarios se utilizaban con tanta



LoS nu rne ros tr ie rn iones

frecuencia que el marernatico Euler encontr6 conveniente introducir la "i"para manejar estos mirneros llamados "imaginarios", y representar la ,,-1

usando la definicion j2 = -1 , es decir, i = (_1)1/2. EI autor y mate matico Wi-

lliam Dunham (2000) menciona que el primer matematico que utilizo el

simbolo "i" para '\ - 1 fue Leonhard Euler en su libro Elementos de a lge-

bra. En la actualidad esta notacion se utiliza casi universalmente, exceptoen la ingenieria electrica, en donde se utiliza la "j"en lugar de la "i".

EI autor Eric Temple Bell (1995), con referenda al origen de los mime-

ros imaginarios, menciona 10 siguiente:

Las primeras fases de la historia de los mimeros complejos es muy semejante a la de los

negativos; una simple lista de manipulaciones ciegas, sin una sola tentativa, sena de in-

terpretar 0 comprender. La primer a vez que se admitieron de modo claro los mimeros

imaginarios fue con la observaci6n extraordinariamente inteligente hecha por Mahavi-

ra en el siglo IX, diciendo que dada la naturaleza de las cosas, un mimero negativo no

tiene raiz cuadrada. Tenia suficiente perspicacia matematica para dejar las cosas en ese

estado, sin proceder a manipulaciones sin sentido de signos ininteligibles. Tiene interes

algo mas hist6rico el que Cauchy hiciera la misma observaci6n algo menos de un millar

de afios despues (1847), diciendo: "(descartamos) el signo simb61ico ~ -1,al que re-pudiamos por completo, y al que podemos abandonar sin remordimientos porque no

sabemos su significado ni cual podriamos atribuirle",

Se observa en este parrafo como los matematicos como Mahavira y Cauchy

no decidieron ahondar en las rakes de los mimeros negativos. Bell conti-

mia en otro parrafo escribiendo 10 siguiente:

Despues de Mahavira, el siguiente paso hacia delante fue hacia la filosofia analitica

del mimero. En 1545 Cardano consideraba a los mimeros imaginarios como ficticios,

pero los utilizaba formalmente, como p~emplo, en la descomposici6n de 40 en los

factores complejos conjugados 5 ± .J -15, sin suscitar la cuesti6n de la legitimidad

del formalismo. En una justificada conjetura de Girard (holandes, 1590-1633) apareci6

una forma mas viciosa de formalismo puro. Habiendo notado que algunas ecuaciones

de grado n, siendo n pequefio, tienen n rakes reales, y que algunas de segundo grado

tienen dos rakes imaginarias.

Ellector puede apreciar en este parrafo como el matematico holandes Gi-

rard se dio cuenta de que algunas ecuaciones de segundo grado tienen.dos

rakes imaginarias, algo que no se sabia antes de el,

El autor Eric T . Bell continua en otro parrafo asi:



MORALES-DEL t ' i r o J, ,II.

Por fin en el siglo XVIII el forrnalismo ciego produjo una f6rmula de primera ma~nit .'

Hacia 1710, Cotes (ingles, 1682-1716), aquel de cuya muerte Newton se lamef\16 u~.

las palabras "si Cotes hubiera vivido quiza hubieramos aprendido algo", enulki6c~\l

equivalente del resultado que generalmente se suele lIamar teorema de De MOlvre , / 1la trigonometria. En la notaci6n actual, designando \1-1 por i, la f6rmula de C{He ~

ip = loge(cos < p + i sen < p ) . El teorema de De Moivre (que data de 1730), es cosu < p S - j. . i; ! ,

sen n < p = (cos < p + i sen < p ) n [ = e n I< p 1 con n entero mayor que cero, es una conseC\!len ' l

formal inmediata, ct{\

Euler (en los afios de 1743-1748) ampli6 el teorema anterior para eualquier valor de n. ..

AI final del parrafo Bell termina escribiendo que: "De modo que, des,

pues de unos mil afios de misterios sin significado, los llamados nUIlleros

"imaginarios" quedaban incorporados a las matematicas corrientes",Ahora, una vez definido el i = \ -1,podemos expresar la raiz cuadra_

. da de un mimero negativo en terminos de i, ya que

El autor David Wunsch (1997) menciona en su libro Variable compleja

con aplicaciones, 10 siguiente:

Los mimeros complejos fueron "descubiertos" por personas que trataban de resolver

ciertas ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, en 1545 Girolamo Cardano (1501-1576),

matematico italiano, intent6 encontrar dos mimeros cuya suma fuese 10 y cuyo produc-

to fuese 40. AI final escribi6 40 = (5 + - J = - i 5 ) (5 - -J-15), resultado que le parecio

absurdo.

Mas adelante, Rene Descartes (1596-1650), el fil6sofo y matematico frances de

la "edad de la raz6n", calific6 de "imaginarias" las expresiones del estilo de a + - b(donde a es real y b es un real positivo). Este termino, con su aura de ficci6n, es quiza

desafortunado y aun se usa en nuestros dias en vez de la palabra "complejo".

Con frecuencia hoy en dia nos referimos a la "parte imaginaria" de un mIme-

ro complejo, y es en realidad una costumbre que se debe a Rene Descartes..

En general llamamos a los multiples y submultiples po~itivo~y ne~~~;vos de i (tales como 2i, 3i, 4i, 5 i, - 2i, -3i, -4i, - 5 i, V4 i, ljz i, 2/3 1 , 3/4 1 , 3/21,

i, 5/3 i, 8/9 i, 7T i, etc.) con el nombre de numeros imaginarios. f r-Ahora bien, un numero complejo es simplemente un mimero de la 0

rna a + b i, es decir, un mimero real mas un mimero imaginario.



2. L a s e r ie d e l o s nurneros h ip e r c o m p le jo s : e l c a s o d e lo s t r i e r n io n e s

Dentro de los diversos mimeros hipercomplejos es posible considerar e

caso de los llamados triemiones," Se trata de una serie de mimeros hiper

complejos, los cuales se encuentran conformados por una parte real y do

partes complejas, tal como se muestra en la siguiente definici6n.

2. 1 Definici6n

Un numero hipercomplejo triemi6n es un mimero de la clase t =a + b i +j, en donde a, bye son reales e i y j son imaginarios con i 2 = -1 yF = -1.

La parte comprendida por a se llama parte real del trierni6n t, y bi + c

se llama laparte imaginaria del mismo.Matematicamente el mimero trierni6n se expresa como

Sea t tal que t = a + b i + cj, '\j (a,b,c) E iR ; (i,j) E 1m; con i = j = \ -1

La parte real del trierni6n t se puede tambien representar como Re{t} y l

parte imaginaria del mismo es posible representarla por Im{t}. De tal for

ma que el trierni6n t quedara conformado por la expresi6n siguiente:

t =a + bi +cj =Re{t} + Im{t} (2-1)

Si a es cera, entonces el mimero hipercomplejo trierni6n t se reduce a u

mimero imaginario dado por Im{t} y conformado por bi + cj.

Por otro lado, sibye son cera, entonces el mimero hipercomplejo trierni

6n t se reduce a un mimero real Re{t} conformado solamente por la parte a.Todos los mimeros trierniones t son elementos que forman un conjunto

T, llamado el conjunto de los numeros triemiones, formado por todos los ele

mentos (tp t2' t]' t4 t5' ,tn) los cuales forman un cuerpo, ya que satisfacen

las siguientes 10propiedades:

1. t1 + t2y t1* t2pertenecen a T ley de clausura

3. EI nombre de trierniones (0 triernions en ingles) fue dado par el autor en el mes de enero del 200



t + t = t2 + t] ley conmutativa de la adici6n

i : t ; + « 2 + t3) = (t1 + t2 ) + t3 ley asociativa de la adici6n

4. t1 * t2 = t2 * t1 ley conmutativa de la multiplicaei6n

5. t1 * (t2 *t3) = t1 * t2 + t1 * t3 ley asoeiativa de la multiplieaei6n

6. t1 * (t2 + t3 ) = t1 * t2 + t1 * t3 ley distributiva

7. t1 + 0 = 0 + t1 = t1 ' elemento neutro de la adici6n

8. 1 * t1 = t1 * 1 elemento neutro de la multiplieaci6n

9. Para eualquier mimero trierni6n t1 ;t:. 0, existe un mimero unico t en e

conjunto T tal que t + t1 = O.El mimero t se llama elopuesto de t1 res-

peeto a la adici6n yes denotado por - tr

10. Para eualquier mimero trierni6n t1 ;t:. 0, existe un mimero iinico t en el

eonjunto T tal que t1 * t = t * t1 = 1. El mimero t se llama el inverso (0

reciproco) de t1 respeeto ala multiplieaci6n yes denotado por t/ 61/t1

T1 = (x-3) + 4y i + 3 zjy T2 = 5 + 12 i + 9j

2.2 Axioma de igua/dad 0 reciprocidad entre dos numeros trierniones

Dos mimeros hipereomplejos trierniones T1 =a + bi + c j YT2 = d + e i + jjson iguales si y solamente si a =d, b =eye =f. (2-2)

Ejemp lo 2 .1 .

Dados los numeros trierniones siguientes:

Encontrar los valores de x, y e z de tal manera que se cumpla el axioma de

igualdad 0reciproeidad (2-2).

Soluci6n:Para que se cumpla el axioma de igualdad 0 reeiproeidad se debe eumplir

neeesariamente 1 0 siguiente:

T1 = T2 entonees de aeuerdo con (2-1) se tendra que

(x-3) + 4y j + 3zj = 5 + 12 i + 9j



e r m o n e s

10 tanto se tienen las tres siguientes ecuaciones de primer grado con

incognita:x-3 =5

4y = 12

3z = 9

(ejem 2-1 a)(ejem 2-1 b)

(ejem 2-1 c)

Resolviendo la ecuacion (ejem 2-1 a)

•x - 3 = 5se tiene que x = 5 + 3 = 8, de donde x =8

Ahora tomando la ecuacion (ejem 2-1 b)

4 Y = 12se tiene que y = 12/4 = 3,de donde y = 3

Por ultimo tomando la ecuacion (ejem 2-1 c)

z = 9setienequez = 9/3 = 3, dedondez = 3

Por 10 tanto el resultado esx =8,y = 3, Z = 3.

Nota: en este ejemplo la aplicacion del axioma de igualdad 0 reciproci-

dad nos llevo al planteamiento de tres ecuaciones de primer grado con una

incognita; sin embargo, no siempre se llega a esto; veamos el ejemplo 2.2 en

el cual se llega a un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas.

Ejemplo 2.2.

Con los mimeros trierniones siguientes:

T1 = (x-2y) + (3x-8y)i + (2x+4z)jy T2 = 4 + 26 i + 8j

Encontrar los valores de x, y e z para que se cumpla el axioma de igualdad

o reciprocidad.

Soluci6n:

Con el objeto de que se cumpla el axioma de igualdad 0 reciprocidad se

debe cumplir necesariamente 10 siguiente:

T1 = T2 entonces de acuerdo con (2-2) se tendra que

(x-2y) + (3x-8y) i + (2x+4z) j =4 + 26 i + 8j



- - -...-- -------- ~- --_........_........- ........-- ~-...------ -- --- .........~.........,.

3[4 - 2 y] - 8y = 26

12 - 6y - 8y = 26

12-14y = 26-14y=26-12

-14y=14

Y= 14/ -14 = - 1

x + 2y =4 (ejem2-2a)

3x-8y = 26 (ejem2-2b)

2x + 4z = 8 (ejem 2-2 c)

Para resolver este sistema de tres ecuaciones se toma primero la ecuaci6n(ejem 2-2 a) y despejar la incognita "x":

x = 4-2y (ejem2-2d)

Despues este valor de "x" se sustituye en la ecuacion (ejem 2-2 b)

Ahora se sustituye este valor de "y" en la ecuacion (ejem 2-2 d) para encon-

trar el valor de "x".

x=4-2(-1)

x=4+2=6

Por ultimo se sustituye el valor de "x" encontrado en la ecuacion (ejem2-2 c)

4z=8-2x

4z=8-2(6)

4z=8-12

z=-4/4=-1

Asi, el resuItado es x =6, y = -1,z = -1.



L . O S numeros trierniones

2.3 No jerarqufa de temetio en los numeros trierniones

;\ligual que con los mimeros complejos, no es posible establecer una jera

quia de tamafio en los mimeros hipercomplejos trierniones. Esto es debi

en parte a que las eonocidas desigualdades que se usan en el caso denumeros reales no serian validas. Ademas, una expresi6n tal como (4 +_ 4 j) > (2 + 6i - 3j) no tendria sentido, ya que el que un mimero sea may

o menor que otro s610tiene sentido en el contexto de los numeros reales

3 . E I esp a cio h ip erc omp lejo de los trierniones

Los mimeros trierniones se hallan loealizados en un espacio hipercompl

jo. Un espacio compuesto por tres diferentes regiones 0 zonas: una de

cuales es real y las otras dos son imaginarias.

3.1 EI espacio hipercomplejo de los trierniones (espacio de Argand-

Morales del Rio)

El espacio en el eual se encuentran loealizados los mimeros trierniones

un espacio T , el eual contiene tres diferentes ejes coordenados, mutuamen

te perpendiculares entre sf.Uno de los ejes es real y los otros dos son ima

narios, los cuales se entrecruzan en un punto 0llamado e l o rig en .

F igu ra 3 .1

E I e s p a c i o T d e lo s t r ie rn io n e s c o n s u s e je s c o o rd e n a d o s

z

o------~---------+ y

EJE

IMAGINARIO

EJE

IMAGINARIO

x

EJE



M O R A L E S - D E L R iO , J . A

EI sistema coord enado mostrado en la figura 3.1 se definira con el nombre

de espacio de Argand-Morales del Rio, ya que es en realidad una extensi6n

del plano de Argand, que comprende dos ejes ubicados en un plano (un

eje real y otro imaginario) al cual se le ha agregado un tercer eje imagina

rio mutuamente perpendicular a los dos anteriores. Cabe mencionar que

aunque los ejes Y e Z son imaginarios, por el hecho de encontrarse en diferente direcci6n, las componentes del trierni6n localizadas en estos do

diversos ejes imaginarios no podran sumarse 0restarse mutuamente.

De tal forma que para el trierni6n dado por la expresi6n siguiente:

T = a + bi + cj, el valor numerico de "a" corresponderia al eje real XEl valor numerico designado para "b" corresponderia al eje Y, y por ultimo

el valor numerico para "c" tendria que corresponderle el eje Z.

Asi, para el triernio T =a + bi + cj, se tendria que:

Coordenada a ---* eje X, real

Coordenada b ---* eje Y, imaginario

Coordenada c ---* eje Z, imaginario .

.3.2 Representaci6n grafica de numeros trierniones

EI espacio T en el cual se encuentran localizados los numeros trierniones

esta conformado por los siguientes ocho octantes, 0lugares posibles (apar-

te del origen) en los cuales se puede graficar un punto p de coordenadas (a

b, c) con valores positivos 0negativos:

1. Octante 1, en el cual se encuentran graficados puntos con coordenadas

(+,+,+).2. Octante 2, en el cual se encuentran graficados puntos con coordenadas

(-, +, +).


(-,-+).


(+, -, +).


(+,+,-).6. Octante 6, en el cual se encuentran graficados puntos con coordenadas

(-,+,-).



L O S nume~ostr ierniones

1. Octante 7 , en el eual se encuentran graficados puntos con coordenadas

(-, - , -).

8. Octante 8, en el eual se encuentran graficados puntos con coordenadas(+, - , -). .

9. Elorigen 0, el cual tiene coordenadas (0, 0, 0).

De esta manera es que en el espacio hipercomplejo de los trierniones 0Es-

pacio de Argand-Morales del Rio existen nueve lugares posibles en los cuales

se puede graficar 0 localizar un punto.

ASI, el mimero trierni6n dado por la expresi6n T = a + bi + cj se pue-

de tambien representar a traves de una terna de coordenadas (a, b, c), las

cuales se pueden graficar en el espacio hipercomplejo de los mimeros trier-

niones T.

3.3 EI valor absoluto 0modulo de un numero triernion

El valor absoluto, norma euclideana 0modulo de un mimero trierni6n dado

por T = a + bi + cj se definira como .

I bi . I 2 b2 2a + l + C] = a + +c (3-1)

Este valor absoluto 0modulo representa la distancia desde el origen de co-

ordenadas 0 hasta el punto de coordenadas (a, b, c) en el espacio de Ar-

gand-Morales del RIO .

3.4 Distancia entre dos puntos en el espacio hipercomplejo

de los trierniones

Dados los siguientes dos mimeros trierniones

La distancia comprendida entre ellos se define como

(3-2)



, - ,

Ejemplo 3.1.

l,En cual octante se encuentra localizado el punto (3, 2, 3)?, el cual COrr

ponde al triernion Tl = 3 + 2 i + 3 j. es,

Solucion:

Como los valores dados por las coordenadas (3, 2, 3) corresponden todos

valores positivos (+, + , + ) , entonces el punto Tl se encuentra localizado e~el octante 1.

Ejemplo 3.2.

Encontrar el modulo 0 valor absoluto del triernion dado por Tl = 3 + 2 i + 4j.Solucion:

Este triernion se encuentra localizado en el octante 1, ya que sus coor.

denadas son todas positivas (+, +, +).Se aplica la definicion (3-1) usando las coordenadas (3, 2, 4) del trier-

nion dado por T 1 = 3 + 2 i + 4 j.

Ejemplo 3.3.

Encontrar el modulo 0valor absoluto del triernion dado por la expre-

sion siguiente: T2 = -2 - 3 i - 4 j.

Solucion:

Este triernion se encuentra localizado en el octante 7, ya que todas sus

coordenadas son negativas (-, -, -).

Aplicando la definicion (3-1) se tendra que

Ejemplo 3.4.

Dados los siguientes dos mimeros trierniones

T} = 3 + 4 i + 5jy T2 = 5 + 7i + 8}

Encontrar la distancia d que se encuentra entre eUos.



soIud6n:Vsando la ecuaci6n (3-2)

d= [ (a2 - aj ) 2 + (b2 - bj)2 + (C2 - Cj) 2 r2can los valores siguientes:

a=~~=~~=~~=~S=~s=81 .

d : : = [(5 _3)2 + (7 _4)2 + (8 -5)2 P /2 = [(2)2 + (3)2 + (3)2 ]1/2 =

d :: = [4 + 9 + 9p/2 = (22)1/2 = 4.69

Este valor numerico obtenido en la raiz cuadrada indica la distancia com

prendida entre los trieniones T1y T2•

4 . A d i c io n y s u s t r a c c i6 n d e h ip e r c o m p le jo s t r i e r n io n e s

La adici6n (0 suma) y la sustracci6n (0 resta) de los numeros hipercomple

jos trierniones sigue por 10 general las propiedades del algebra elemental.

4.1 Definici6n de /a adici6n 0 suma de numeros triemiones

Considerar a los siguientes dos mimeros trierniones

A=a+bi+cj

B=d+ei+fj

Entonces la adici6n 0suma de ellos se define como

s =A + B = (a + b i+ c j) + (d + e i+ fj)

S =A + B = (a + d) + (b + e) i+ (c + f) j =x + y i + z j(4-1)

Endonde se ha tornado

x = a + d ~ Parte real de la suma

y =b + e ~ Parte real de la componente imaginaria i

z = c + f ~ Parte real de la componente imaginariaj

Por 10 tanto:S :::X + Yi + z j "La suma de dos mimeros trierniones genera como result

do otro mimero trierni6n".



••• _ u .--~ '"'_L I IIU

Ejemplo 4.1.

Realizar la suma 0adici6n de los siguientes dos mimeros trierniones

A =2 + 3 i+ 4 j

B=3+4i+5j

Soluci6n:

Aplicando la definici6n (4-1) tendremos que

S = A + B = (2 + 3 i+ 4 j) + (3 + 4 i+ 5 j)

S = A + B = (2 + 3) + (3 + 4) i+ (4 + 5) j = 5 + 7 i + 9 j

De forma mas general

- 2 + 3 = 5 ---t parte real

3 i + 4 i = 7 i ---t parte imaginaria i

4 j + 5 j = 9 j ---t parte imaginaria j

Por 1 0 tanto, el result ado es: S = 5 + 7 i+ 9 j.

4 . 1 . 1 Axioma I: axioma de uniformidad

Este axioma I se puede escribir de la siguiente manera:

"La suma 0 adici6n de dos mimeros trierniones es siempre igual, es de

unica",

Ast, dados los trierniones

A=a+bi+cj

B=d+ei+ fj,

Si se tiene que A = B entonces a = d, b = e y c = f.

Por otro lado, si se tienen los trierniones

C =g + hi + kj



LOS numeros trierniones

'lsi rambien C = D entonces, g = I, h = my k = n

Entonces se tendra que A + C =B + D (4-2)

Por 1 0 tanto, el axioma de uniformidad se cumple para los trierniones.

Ejemplo 4.2.

Comprobar con un ejemplo numerico que el axioma de uniformidad en lasuwa 0adici6n de trierniones se cumple.

soluci6n:

Sean A = 2 + 2 i + 2 j, B = 2 + 2 i + 2j YC = 3 + 3 i + 3 j, D = 3 + 3 i + 3j

Realizando I~ suma entre A y C:

A + C = (2 + 2i+ 2 j) + (3 + 3 i + 3j) = 5 + 5 i + 5 j

Ahora se lleva a cabo la suma entre By D:

B + D = (2 + 2 i + 2 j) + (3 + 3 i + 3 j) = 5 + 5 i + 5 j

Como los resultados de A + C y B + D son iguales, se puede concluir que

A + C = B + D, por 1 0 tanto se comprueba que el axioma de uniformidad

secumple.

4.1.2 Axiomall: axioma de conmutatividad

SiA = a + b i + c j YB = d + ei + f j

Entonces A + B = B + A (4-3)

Se realizara un ejemplo numerico para probar esta conmutatividad de lasuma de trierniones.

Ejernplo 4 . 3 .Con los siguientes trierniones

A=2+2i+2jyB=3+3i+3j

Realizar A + By B + A para probar el axioma (4-3).



, .

Soluci6n:

A + B = (2 + 3) + (2 + 3) i+ (2 + 3) j =5+ 5i+ 5 j

B + A = (3 + 2) + (3 + 2) i+ (3 + 2) j = 5 + 5i+ 5 j

Como los resultados de 1a sum a de A + B Y1a sum a de B + A son iguales

se prueba que la suma de triernios es conmutativa en la suma.

4. 1.3 Axioma III: axioma de asociatividad

Sean A, B YC tres mimeros trierniones; entonces es posible probar que s

cump1e 10siguiente:

(A + B) + C = A + (B + C) (4-4

Ejemplo 4.4.

Dados los siguientes trierniones

A =2 + 2i+ 2 j, B =3 + 3 i+ 3 j, C =4 + 4 i+ 4 j.

Probar que se cumple el axioma de asociatividad (A + B) + C =A + (B + C

Solucion:

Se realiza primero la suma de A + B:

A + B = (2 + 3) + (2 + 3) i+ (2 + 3) j = 5+ 5i+ 5 j

Luego a este resultado se le sum a C:

(A + B) + C = (5 + 4) + (5 + 4) i+ (5 + 4) j = 9 + 9i+ 9 j

Por otro lado, se realiza primero la sum a de (B + C):

(B + C) = (3 + 4) + (3 + 4) i+ (3 + 4) j = 7 + 7i+ 7 j

Luego se rea1iza la siguiente sum a A + (B+ C)



COIIlO el result ado de la suma (A + B) + C es igual al resultado de la sum

de A + (B + C), se prueba que se cumple el axioma de asociatividad par

la suma de trierniones. .

4.1.4 Elemento inverse aditivo

SiA = a + b i + c j entonces el inverso aditivo de A es - A dado por.A=-a-bi-cj

Talque A + (-A) = a T (4-5)

4.1.5 Definici6n del trierni6n nulo 0 cera

Se define el trierni6n nulo 0cero como

(4-6

Se trata en realidad de un mimero trierni6n, cuyas componentes real e ima

ginarias son todas nulas 0cero.

Ejemplo 4.5.

Probar que A + (-A) = a T

Solucion:

Sea A = a + b i + c j, entonces - A = (-1) A = - a - b i - c jAsi

A + (- A) = (a - a) + (b - b) i+ (c - c) j = a + a i+ 0 j = a T

4.2 Definici6n de resta 0 sustracci6n de numeros trierniones

Sean los trierniones A = a + b i + c j YB = d + e i + f j

Se define la resta 0sustracci6n A - B como

A-B=A+(-B)=D (4-7)



Asi,

D =A- B = (a + b i+ c j) - (d + e i+ fj)

D= (a-d) + (b-e)i + (c-f)j

D = A -'B = P+ qi+ r j

Donde:

p = a - d parte real del trierni6n D

q = b - e parte real de la componente i del trierni6n D

r = c - f parte real de la componente j del trierni6n D

Por 1 0 tanto,

A+(-B)=A-B=D

Ejemplo 4.6.

Dados los trierniones A = 6 + 7 i + 8 j y B = 2 + 4 i + 3 j

Encontrar el trierni6n diferencia D dado por D = A - B

Soluci6n:

D = A - B = A + (-B) = (6 + 7 i + 8 j) - (2 + 4 i + 3 j)D = (6 - 2) + (7 - 4) i+ (8 - 3) j = 4 + 3 i + 5 j

Asi, el resultado es

D = 4+ 3i+ 5j

4.3 Valor absoluto de la sum a y resta de trierniones

EI valor absoluto de la suma de trierniones tiene las siguientes propiedades:

Sean T1, T

2, T

3, •••• T

nmimeros trierniones cualquiera, entonces se ten

dra que

I T1 + T2 I :5 I T1 I + I T2 I (4-8)

o I T1 + T2 + T3 + ..... r, I :5 I T] I + I T2 I + I T3 I + ... + I t; I (4-8 bi

I T1 - T2 I 2 : : I T1 I - I T2 I (4-9)



Ejemplo 4.7.

Encuentre el valor absoluto de la suma de los dos trierniones siguientes:

A= 2 + 2i + 2jyB = 3 + 3i + 3j

solucion: ,

Se ca1cula primero la suma

A + B = (2 +3) + (2 + 3) i + (2 + 3) j = 5 + 5 1+ 5 j

Despues se calcula el valor absoluto de esta suma obtenida usando la de

nicion (3-1)

Ejemplo 4.8.

Encuentre el valor absoluto de la sum a de los dos trierniones siguientes:

T, =2-2i-2jyT2 =2 + 2i + 2j

Solucion:

Se calcula primero la suma de los dos trierniones

Tl + T2 = (2 - 2 i - 2 j) + (2 + 2 i + 2 j)

T, + T2 = (2 + 2) + (- 2 + 2) i + (- 2 + 2) j = 4 + 0 i + 0 j

Despues se calcula el valor absoluto de esta sum a obtenida usando la denicion (3-1)



5 . P ro d u c t o d e nurneros h ip e rc o m p le jo s t r i e rn io n e s

5.1 Producto de hipercomp/ejos trierniones

Definic ion de p roducto entre tr iem iones.

Sean los siguientes trierniones A = a + b i + c j YB = d + e i + f j

Entonces su producto se define como

P=A*B

P = A * B = (a + b i + c j) * (d + e i + f j)

P = ad + (ae + bd) i + (af + cd) j - be - (bf + ce) - cf

P = [(ad-be-cf)-(bf+ ce)] + (ae + bd)i + (af+ cd)j

(5 -1

o tambien

P = r + s i + t j, es decir, "el producto de dos trierniones genera como re

sultado otro trierni6n".

Endonde:

r = (ad - be - cf) -(bf +

ce)

s = (ae + bd)

t = (af + cd)

~ Parte real del trierni6n producto P~ Parte real de i del trierni6n producto P

~ Parte real de j del trierni6n producto P

Nota: en el trierni6n producto P obtenido por la operaci6n de A * B resul

tan inicialmente los siguientes terminos:

P = ad + (ae + bd) i + (af +cd)j + be F + (bf +ce) ij + cf j'

Sin embargo, se tiene que

i2= ( ~ - I ) ( \ - 1 ) = -1

ij=ji=(,,-l )(\1-1 )=-1

j2 = ( \1- 1 ) ( \; - 1 ) = -1

Por 10 que los terminos be i2, (bf + ce) ij y cf j2 resultan ser negativos e igua



E je rn p !o 5 .1 .vados los trierniones A = 2 + 3 i + 4 j YC = 4 + 5 i + 6 j

Bncontrar el produeto P = A * B

Soluci6n:

p = = A * B = (2 + 3i+ 4 j) * (4 + 5i+ 6 j)P = = (4)(2) + (4) (3 i) + (4)(4 j) + (5i)(2) +( 5i)(3i) + «5i)(4j) + «6j)(2)

+ (6j)(3i) + (6j)(4j)P = = 8 + 12 i + 16j + 10 i + 12j + 15 i2+ 20 ij+ 18ji + 24 j2

P = = 8 + 22 i + 28j + 15 j2 + 38 ij + 24 FP = = 8 + 22i+ 28 j - 15 - 38 - 24

P = = - 69 + 22 I + 28 j

E je rnp lo 5 .2 .

Encuentre el producto de un numero trierni6n eualquiera A = a + b I + e j

por su mimero trierni6n inverso aditivo - A= - a - b i - e j.

Solucion:

Sepide encontrar el producto P = A * (- A)Entonees

p= (a + bi + cj) * (-a-bi-cj)p = (-a) (a) + (-a)(b i) + (-a)(e j) + (a)(- b i) + (b i)(- b i) + (c j)(- b i) +

+(a) (- cj) + (b i) (- ej) + (cj) (- ej)p::: - a2- 2ab i - 2 ac j - b2i2- be i j - e2j2 (ejem 5-4)

S in embargo, se tiene que

i2= ( \ - 1 ) ( \ - 1 ) = -1

ij=ji=(\-l )(\-1-)=-1

p=( \-1 )( \-1 )=-1

Bntonces, si se sustituyen estos valores en la ecuacion (ejem 5-4) se tendraq U e .

P = - a2:-2 ab i - 2 ac j + b2(-1) - be (-1) - c2(-1)



Realizando los produetos indicados:

P = - a2 - 2 ab i-2ae j + b2 + be + e2

Factorizando y reacomodando terminos

P = (b? + be + e2 - a2 ) - 2 ab i - 2 ae j

P = (b2 + be + e2 - a2)- 2 a (b i + e j) (5-2)

5.2 Axioma de uniformidad en el producto de trierniones

A*C=B*D (5-3)

Este axioma de uniformidad menciona que e l p roducto de dos numeros trier-

niones es s iem pre igua l, es decir , unico, Dados los trierniones A, B, C yD.

AS1,si A = By C = D, de aeuerdo con el axioma de uniformidad se

tendra entonees que

Ejem plo 5 .3.

Con los trierniones A = B = 1 + 2 i + 3 j y C = D = 4 + 5 i + 6 j.

Comprobar el axioma de uniformidad, realizando A * C = B * D

Soluci6n:

Primero se realizara el produeto de A *C.

P =A*C1

PI = (1 + 2 i+ 3 j) * (4 + 5i+ 6 j)

PI = (4) (1) + (4)(2 i) + (4)(3j) + (1)(5 i) + (2 i) (5 i) + (5i)(3j) +(1)(6 j) + (2 i) (6 j) + (3 j)(6 j)

PI = 4 + 8i+ 12j + 5 i + 10i2+ 15 i j + 6 j + 12j i + 18 j2Como i 2 = i j = j i = j 2 = - 1,

Entonees se tiene que

PI = 4 + 8i+ 12j + 5 i + 10(-1) + 15 (-1) + 6 j + 12 (-1) + 18(-1)

PI = 4 + 8i+ 1}j + 5i-10 -15 + 6 j -12 -18

PI = - 51 + 8 i + 12j+ 5 i + 6

j

PI = - 51 + 13 i + 18j



Ahora se realiza el produeto B* D.

P =B*D2

P2 = (1 + 2i+ 3 D * (4 + 5i+ 6 j)P2= (4) (1) + (4)(2 i) + (4)(3j) + (1)(5 i) + (2 i) (5 i) + (5 i)(3D +(1)(6 j) + (2 i) (6D + (3 j)(6 DP2= 4 + 8 i + 12j + 5 i+ 10 F + 15i j + 6 j + 12 j i + 18 j 2

Como i= i j =j i =j2 =-1, entonees se tiene que

P2= 4 + 8i + 12j + 5i + 10 (-1) + 15 (-1) + 6j + 12(-1) + 18(-1

P2 = 4 + 8i+ 12j + 5 i - 10 - 15+ 6 j - 12 - 18

P2 = - 51 + 8 i + 12j + 5 i + 6 j

P2=-51 + 13 i + 18j

Como se puede observar en los resultados PI =P

2

,par 10 tanto se ha com-

probado que se eumple el axioma de uniformidad, ya que A * C = B * D.

5.3 Axioma de conmutatividad en el producto de trierniones

Este axioma de eonmutatividad se estableee de la siguiente manera:

SeanA yB dos trierniones eualquiera, entonees se eumple que

A*B=B*A (5-4)

Ejemplo 5.4.

Con los trierniones A = a + b i + e j yB = d + e i + f j, demostrar el axio

rna de eonmutatividad en el producto de trierniones.

Soluci6n:

Realizamos primero el produeto de A * B.

A * B = (a + bi+ cD * (d + e i+ fj)

A * B =ad + ae i + af j + bd i + be i 2 + bf ij + cd j + ce ji + cf j 2

Como i2= ij = j i= j 2 = -1, se tiene que

A * B = ad + ae i + af j + bd i-be - bf + ed j - ce - cf (ejem 5-6 a



Ahora realizamos el producto de B * A.

B*A=(d+ei+fj)*(a+bi+cj)

B *A = da + db i + de j + ea i + eb j2 + ec ij ' + fa j + fb j i + fc j 2

De igual manera j2 = i j =j i =j2 = -1, se tiene que

B *A = da + db i + de j + ea i - eb - ec + fa j - fb - fc

Reacomodando los productos algebraicos en cada termino:

(A * B) * C = A * (B * C) (5-5)

B *A = ad + ae i + af j + bd i-e - bf + cd j - ce - cf (ejem 5-6 b)

Como A * B = B *A, dado al igualar las ecuaciones (ejem 5-6 a) y (ejem

5-6 b).Entonces se demuestra el axioma de conmutatividad.

5.4 Axioma de asociatividad en e/ producto de trierniones

Este axioma de asociatividad se establece de la siguiente manera:

Sean A, By C tres triernios cualquiera, entonces se cumple que

Ejemplo 5.5.

Con los trierniones A = 1 + 1 i + 1 j, B = 2 +- 2 i + 2 j YC = 3 + 3 i + 3j,

comprobar el axioma de asociatividad en el producto de trierniones.

Soluci6n:Se realiza primero el producto de (A *B)

A *B = (1 + 1 i + 1j) * (2 + 2 i + 2 j)

A *B = (1) (2) + (1) (2i) + (1) (2j) +

+ (1 i) (2) + (1 i) (2i) + (1 i) (2 j)

+ (1 j) (2) + (1 j) (2 i) + (1 j) (2 j)

A * B = 2 + 2 i + 2j + 2 1+ 2 j2 + 2 ij + 2 j + 2j i + 2j2

Pero i2= i j = j i = j2 = - 1 .A*B=2+2i+2j+2i-2-2+2j-2-2=-6+4i+4J



pespues se realiza el producto (A * B) * C

(A * B) * C = (- 6 + 4 i + 4 j) * (3 + 3 i + 3 j)

(A * B) * C = (- 6) (3) + (- 6) (3 i) + (-6) (3 j) ++ (4 i) (3) + (4 i) (3 i) + (4 i) (3 j) ++ (4j)(3) + (4j)(3i) + (4j)(3j)

(A * B) * C = - 18 - 18 i - 18 j + 12 i + 12 F + 12 i j + 12 j + 12 j i + 12 j2Pero F = i j =j i =j2=- 1

(A * B) * C = - 18 - 18 i - 18 j + 12 i - 12 - 12 + 12 j - 12 - 12

Asf , el result ado de este producto es

(A * B)* C = - 66 - 6 i- j

Ahora se realiza el producto (B * C)

(B * C) = «2 + 2 i + 2 j) * (3 + 3 i+ 3 j)

(B * C) = (2) (3) + (2) (3 i) + (2) (3 j) ++ (2 i) (3) + (2 i) (3 i) + (2 i) (3 j) ++ (2 j) (3) + (2 j) (3 i) + (2 j) (3 j)

(B * C) = 6 + 6i+ 6 j + 6 i+ 6 F + 6 i + 6 j + 6 j i+ 6 j2

Como i2=i=j i=F =- 1

(B * C) =6 + 6 i + 6 j + 6 i-6 - 6 + 6 j - 6 - 6 =-18 + 12 i + 12 j

Ahora se realiza el producto A * (B * C)

A * (B * C) = (1 + 1 i + 1 j) * (-18 + 12 i + 12 j)

A * (B * C) = (1) (-18) + (1) (12i) + (1) (12j) +

+ (1 i) (-18) + (1 i) (12 i) + (1 i) (12j) ++ (1 j) (- 18) + (1 j) (12 j) + (1 j) (12 j)

A * (B * C) = - 18 + 12i+ 12 j - 18i+ 12 F + 12 i j - 18 j + 12 j i + 12 j

Como j2 =i j = j i =j 2 =-1

A * (B * C) =- 18 + 12 i+ 12 j - 18 i - 12 - 12 - 18 j - 12 - 12

A * (B * C) = - 66 - 6 i-6 j



A *(B + C) = A * B + A * C (5-6

MORALES-DEL R i o , J,

Como (A * B) * C =A * (B * C), se comprueba con este ejemplo que scumple el axioma de asociatividad para el producto de trierniones.

5.5 Axioma de distributividad en e/ producto de trierniones

EI axioma de distributividad respecto a la suma en el producto de triernines se puede definir de la siguiente manera: 0

Sean A, By C tres trierniones cualquiera, entonces se cumple que

Ejemplo 5.6.

Con los trierniones A = a + b i + c j, B =d + e i + f j YC =m + p i + q jdemostrar el axioma de distributividad respecto a la suma en el producto

de trierniones.

Solucion:

Se realiza primero la suma indieada entre parentesis

(B + C) = (d + ei+ f j) + (m + p

i+ q j) = (d + m) + (e + p)

i+ (f + q)

Despues se realiza el producto A * (B + C)

A * (B + C) = (a + b i+ c j) * [(d + m) + (e + p) i+ (f + q) j]

A * (B + C) = a (d + m) + a (e + p) i+ a (f + q) j +

+ b i (d + m) + b i (e + p) i + b i (f + q) j +

+ c j (d + m) + c j(e + p) i + c j (f + q) j

como i 2 = i j = = j i = j 2 =-1, tenemos que

A * (B+ C) = a (d + m) + a (e + p) i+ a (f + q)j +

+ b id + m) - b (e + p) - b (f + q) +

+ cj(d + m) - c (e + p) - c (f + q)

A * (B + C) = [ a(d + m) - b(e + p) - b(f + q) - c(e + p) - c(f + q») + )+ [a(e + p) + bed + rn)] i + [a(f + q) + c(d + m)]J (Rl

Si se trabaja con el otro miembro de la ecuaci6n (5-6), se tiene que



A * B =ad + ae i+ af j + bd i+ be j2 + bf i + cd j + ce j i + cf j 2

como i2 = ij = j i = j2 = - 1, tenemos que

A * B = ad + ae i+ af j + bd i = be - bf + cd j - ce - cfA * B = (ad - be - bf - ce - cf) + (ae + bd) i+ (af + cd) j- (R-2)

,Ahorarealizamos el producto de A * C

A * C = (a + b 1+ c j) * (m + pi + qj)A * C = am + ap i + aq j + bm i + bp F + bq ij + emj + cp j i + cq j2

como j 2 = i = j i = Y = -1, tenemos que

A * C = (am -bp -bq - cp - cq) + (ap + bm) i + (aq + em) j (R-3)

* B) + (A * C) = [(ad- l?e- bf-ee-cf) + (ae + bd) i + (af + cd)j] +[(am -bp -bq - cp - cq) + (ap + bm) i + (aq + em) j]

*B) + (A * C) = (ad + am-be-bf--:ce-cf-bp-bq-cp-cq) ++ (ae + bd + ap + bm) i + (af + ed + aq + em) j

*B) + (A* C) = [a(d + m)-b(e + p)-b(f + q)-e(e + p)-e(f + q)] ++ [a(e + p) + bed +m)] i + [a(f + q) + c(d + m)] j

esta ultima eon (R-1), se observa que ambas son iguales, par

que se demuestra el axioma de distributividad respeeto a la suma en el

!,-UllUClto de trierniones.

AXioma de identidad 0m6dulo del producto entre trierniones

axioma menciona que existe un numero y s6lo un numero, el uno trier-

definido como 1T = 1 + 1 i + 1 j, de modo que cuando se realiza el

de este IT par un trierni6n cualquiera A = a + bi + cj de la si-

manera

1 *A=A*l =AT T

(5-7)



Esto se cumple para cualquier triernio A, exceptuando el trierni6n d

finido como trierni6n nulo 0 T = a + a i + a j.

5.7 Axioma de existencia del in verso en el producto entre trierniones

Para todo mimero trierni6n cualquiera A = a + b i + c j , diferente d

trierni6n nulo a T = a + a i + a j, corresponde un mimero trierni6n, y s6uno, A-l, de modo que

(5-

Este mimero trierni6n A.' se llama inverso 0 reciproco de A, y se represent

por l/A 6 A I , _

Nota: el mimero trierni6n 1T se puede considerar como 1T = 1 + 1 i1j, en donde la triad a de unos corresponde al uno de los rnimeros reales.

5.8 EI hipercomplejo conjugado de un numero trierni6n

Definicion.

Se define el hipercomplejo conjugado de un mimero trierni6n cualquier

A, dado por la expresi6n A = a + b i + c j como

A = a-bi-cj (5-9

Asi, el hipercomplejo conjugado de un mimero trierni6n se indicara co

una barra encima: A .

5 . 9 EI producto de un numero trierni6n par su hipercomplejo conjugado

Dado un trierni6n cualquiera A = a + b i + c j, y su hipercomplejo conj

gado dado por A = a - b i - c j, entonces el producto de ambos triernione

se expresa como

A * A = (a + bi + c j) * (a - b i - c j) . .

A * A = (a)(a) + (a)(-bi) + (a)(-cj) + (bi)(a) + (bi)(-bi) + (bl)(-CJ)+ (cj) (a) + (cj) (-bi) + (cj)(-cj) .

A * A = a2 - ab i - ac j + abi - b2j2 - be ij + ac j - be ji - c2J2



A * A =a2 - ab i-,e j + ab i+ b2 + be + ae j + be + e2, reaeomo

dando terminos

"A * A = a2 + (ab::_ab) i + (ac - ac) j + b2 + C

2 + 2 be

Finalmente

A * A =a2 + b2 + c2 + 2 be (5-10)

6 . D i v is i6 n d e h ip e r c o m p le jo s t r ie rn io n e s

6. 1 Divisi6n de hipercomp/ejos trierniones

. La division es en realidad una operacion inversa de la multiplicaci6n 0pro

ducto que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo)

uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).

Definicion de division entre triemiones.

Dados dos trierniones cualesquiera A = a + b i+ c j (dividendo) y B =d + e i + f j (divisor), y siendo Del trienio cociente, la division entre trier

niones se define como:

D=A/B (6-1)

De 10 anterior se deduce que el cociente multiplicado por el divisor se re

produce el dividendo.

B*D=A (6-2

Para poder efectuar la division entre dos mimeros trierniones, es necesario

multiplicar el dividendo y el divisor por el mimero hipercomplejo conjuga

do del dividendo, es decir:

A = a+ bi + c} * d - ei - jj

B d + ei + jj d - ei - jj



A ad+be+bf+ce+cf (bd-ae)i (cd-af))

B = d2 +e2 +2ef + f2 + d2 +e2 +2ef + f2 + d2 +e2 +Zef +I: (6

El producto de los dos numeradores es

(a+ bi + cj) * (d-ei -fj) = (ad+ be + bf + ce + cf) + (bd - ae) i + (cd-af

Y el producto de los dos denominadores es

(d + ei + fj) * (d - ei - fj) = d2

+ e2

+ 2 ef + f 2

Nota: observese que el resultado del producto de los dos denominadores

un mimero real.

Entonces,

Por 10 tanto,' se observa en la expresion anterior que fa division de dos nmeros triemiones da como resultado otro numero triernion.

Ala ecuaci6n (6-3) se le conocera con el nombre de ecuacion Morale

del Rio para fa division de trierniones, ya que el ingeniero Alfredo Moral

del Rio la encontr6 al dividir un triernion entre otro usando la multiplicacon por el hipercomplejo conjugado de un triernion.

Ejemplo 6.1.

Dados los trierniones A =2 + 2 i + 2 j Y B =3 + 3 i + 3 j, encontrar el c

ciente D dado por D = A/B.

Solucion:Del trierni6n A se obtiene A = 2, b = 2 Y c = 2, Y del triernion B se obti

nen los valores de d = 3, e = 3, Y f = 3.

Aplicando la expresi6n (6-3)

D= A

B

ad+be+bf +ce+cf (bd-ae)i (cd-a!))= + + ----'--_____:~--

d2 + e' + 2ef +r d? + e2 + 2ef + f2 d2 + e' + 2ef + f2



sustituyendo los valores a, b, c, d, e, y fen la anterior

(2)(3) + (2)(3) + (2)(3) + (2)(3) + (2)(3) ((2)(3) - (2)(3»ip- +

- (3)2 + (3)2 + 2(3)(3) + (3)2 (3)2 + (3)2 + 2(3)(3) + (3)2

+ «2)(3) - (2)(3»j

(3)2 + (3)2 + 2(3)(3) + (3)2

Ejemplo 6.2.Dado el trierni6n A = 2 + 2 i + 2 j, hallar el trierni6n cociente dado por D

::::A/A.

Soluci6n:En este caso, a = b = c = d = e = f = 2. Si se sustituyen estos valores e

(6.3) se obtiene 1 0 siguiente

A ad+be+bf+ce+cf (bd-ae)i (ad-af»)D= - = + + ~2 ~?:----"---'-"---::-

A d2 + e2 + 2ef + f2 d2 + e2 +2ef + f2 d +e- + 2ef + f2

D = _A = (2)(2) + (2)(2) + (2)(2) + (2)(2) + (2)(2) + «2)(2) - (2)(2))i

A. (2)2 + (2)2 + 2(2)(2) + (2)2 (2)2 + (2)2 + 2(2)(2) + (2)2

+ __ (:..::...(2-'--')('c--'2)_---'-(2--'--)(-'--2=»): : _ ' _

(2)2 + (2)2 + 2(2)(2) + (2)2

Realizando las operaciones:

DA 4 + 4 + 4 + 4 - + 4 . 0 . 20 0 . 0 .

=-= +01+ J=~+ 1+ J=1+0i+Oj

A 4 + 4 + 8 + 4· 20

Nota: observese que el resultado 0 cociente obtenido al dividir un trierni6n

cualquiera entre S I mismo, resulta ser la unidad real (1), Yno el mimero uno

trierni6n (IT = 1 + 1 i + 1 j).



C o n c l u s i o n

El hallazgo de los mimeros hipercomplejos trierniones fue un hecho for

tuito, ya que algunos matematicos, como el ingles Willard Rowan Hamil

ton trataron de encontrar dichas ternas durante muchos afios. El descu

brimiento de estos numeros trierniones se debio a que el autor realizo un

busqueda de mimeros complejos que se encontrasen en la tercera dimension en toda la historia de las matematicas, 10 cual se constata por la b

bliograffa consultada. Se presentaron en este articulo solamente algunas

de las propiedades que poseen los mimeros trierniones; sin embargo, el au

tor sigue estudiando tales mimeros con el objeto de encontrar todavia ma

propiedades y teoremas, as! como una 0varias posibles aplicaciones en la

diferentes areas del conocimiento.

B i b l i o g r a f f a

Bell, Eric T . (1969) "Gauss, el principe de los matematicos", en James R

Newman (coord.), Sigma: El mundo de las matemdticas, tomo 1, 8i!edi

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Juan Alfredo Morales-Numero Trierniones

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