Juegos Juegos CooperativosCooperativosJuegos con transferencia Juegos con transferencia

de utilidadde utilidad

JUEGOS COOPERATIVOSJUEGOS COOPERATIVOS Hay situaciones donde las decisiones se toman Hay situaciones donde las decisiones se toman

en grupos deliberativos por votación . Para en grupos deliberativos por votación . Para imponer una política es necesario una cantidad imponer una política es necesario una cantidad de votos que se denomina mayoría .Cuando de votos que se denomina mayoría .Cuando ningún jugador tiene la mayoría absoluta es ningún jugador tiene la mayoría absoluta es necesario conformar alianzas o coaliciones .necesario conformar alianzas o coaliciones .

Se trata ahora de analizar la posibilidad de Se trata ahora de analizar la posibilidad de formar una coalición de parte de los jugadores, formar una coalición de parte de los jugadores, de que esa coalición sea estable y de cómo se de que esa coalición sea estable y de cómo se deben repartir los premios (ganancias y/o deben repartir los premios (ganancias y/o responsabilidades) entre los miembros de la responsabilidades) entre los miembros de la coalición para que ninguno de ellos esté coalición para que ninguno de ellos esté interesado en deshacer la coalición.interesado en deshacer la coalición.

Supongamos que tres jugadores, Ana, Supongamos que tres jugadores, Ana, Benito y Carmen, tienen que repartirse Benito y Carmen, tienen que repartirse entre sí cien euros. El sistema de entre sí cien euros. El sistema de reparto tiene que ser adoptado reparto tiene que ser adoptado democráticamente, por mayoría simple, democráticamente, por mayoría simple, una persona un voto. Hay cuatro una persona un voto. Hay cuatro posibles coaliciones vencedoras: ABC, posibles coaliciones vencedoras: ABC, AB, BC y AC, pero hay infinitas formas AB, BC y AC, pero hay infinitas formas de repartir los pagos entre los tres de repartir los pagos entre los tres jugadores.jugadores.

Juegos cooperativos sin Juegos cooperativos sin solución solución

Supongamos que Ana propone un reparto de la Supongamos que Ana propone un reparto de la forma A=34, B=33 y C=33. forma A=34, B=33 y C=33. Benito puede proponer un reparto alternativo de Benito puede proponer un reparto alternativo de la forma A=0, B=50 y C=50la forma A=0, B=50 y C=50Carmen estará más interesada en la propuesta de Carmen estará más interesada en la propuesta de Benito que en la de Ana. Pero puede proponer Benito que en la de Ana. Pero puede proponer una alternativa aún mejor para ella: A=34, B=0 y una alternativa aún mejor para ella: A=34, B=0 y C=66.C=66.A Benito es posible que se le ocurra alguna A Benito es posible que se le ocurra alguna propuesta mejor para atraer a Ana.propuesta mejor para atraer a Ana.El juego puede continuar indefinidamente. El juego puede continuar indefinidamente. No No tiene solución. No hay ninguna coalición tiene solución. No hay ninguna coalición estableestable. Sea cual sea la propuesta que se haga . Sea cual sea la propuesta que se haga siempre habrá una propuesta alternativa que siempre habrá una propuesta alternativa que mejore los pagos recibidos por cada jugador de mejore los pagos recibidos por cada jugador de una nueva mayoría.una nueva mayoría.

Solución: acuerdo Solución: acuerdo perdurableperdurable

En los juegos con transferencia En los juegos con transferencia de utilidad se llama solución a de utilidad se llama solución a una propuesta de coalición y de una propuesta de coalición y de reparto de los pagos que reparto de los pagos que garantice estabilidad, es decir, garantice estabilidad, es decir, en la que ninguno de los en la que ninguno de los participantes de una coalición participantes de una coalición vencedora pueda estar vencedora pueda estar interesado en romper el acuerdo.interesado en romper el acuerdo.

Votos calificados o Votos calificados o ponderadosponderados

Modifiquemos ahora el ejemplo. En vez de "un Modifiquemos ahora el ejemplo. En vez de "un hombre un voto" consideremos que hay voto hombre un voto" consideremos que hay voto ponderado. Ana tiene derecho a seis votos, ponderado. Ana tiene derecho a seis votos, Benito a tres y Carmen a uno. Las posibles Benito a tres y Carmen a uno. Las posibles mayorías son las siguientes: ABC, AB, AC, A.mayorías son las siguientes: ABC, AB, AC, A.

En esta situación Ana propondrá un reparto de la En esta situación Ana propondrá un reparto de la siguiente forma: A=100, B=0 y C=0. Ese reparto siguiente forma: A=100, B=0 y C=0. Ese reparto se corresponde con una coalición estable en la se corresponde con una coalición estable en la que los seis votos de Ana estarán a favor. Es una que los seis votos de Ana estarán a favor. Es una solución única. Ana no aceptará ningún reparto solución única. Ana no aceptará ningún reparto en el que ella obtenga menos de 100 euros y sin en el que ella obtenga menos de 100 euros y sin la participación de Ana no hay ninguna coalición la participación de Ana no hay ninguna coalición vencedora.vencedora.

Valor del juego: pago que Valor del juego: pago que recibe cada jugadorrecibe cada jugador

Se llama "valor del juego" al pago Se llama "valor del juego" al pago que un jugador tiene garantizado que un jugador tiene garantizado que puede recibir de un juego si que puede recibir de un juego si toma una decisión racional, toma una decisión racional, independientemente de las independientemente de las decisiones de los demás jugadores. decisiones de los demás jugadores. Ningún jugador aceptará formar Ningún jugador aceptará formar parte de una coalición si no recibe parte de una coalición si no recibe como pago al menos el valor del como pago al menos el valor del juego.juego.

En los ejemplos anteriores :En el En los ejemplos anteriores :En el juego 1, el valor del juego es cero juego 1, el valor del juego es cero para los tres jugadores. En el juego para los tres jugadores. En el juego 2 el valor del juego para Ana es cien 2 el valor del juego para Ana es cien y para Benito y Carmen es cero.  y para Benito y Carmen es cero. 

MODELO DE JUEGO MODELO DE JUEGO COOPERATIVOCOOPERATIVO

Condiciones a su aplicación:Condiciones a su aplicación: Mas de dos jugadores Mas de dos jugadores Vocación de formar alianza o coalición Vocación de formar alianza o coalición Decisiones racionalesDecisiones racionales Cuerpo colegiado donde las decisiones se Cuerpo colegiado donde las decisiones se

toman por mayoría .toman por mayoría . Autorquía : los miembros pueden decidir Autorquía : los miembros pueden decidir

por si mismos. No hay castigos, ni por si mismos. No hay castigos, ni premios por fuera del colegiado.premios por fuera del colegiado.

Período previamente estipuladoPeríodo previamente estipulado

Los juegos cooperativos Los juegos cooperativos (def, matemática)(def, matemática)

Un Un juego cooperativo juego cooperativo es: para nosotros, un es: para nosotros, un par (par (N; vN; v), donde ), donde N N es el conjunto de es el conjunto de n n jugadores y jugadores y v v es una función que nos dice es una función que nos dice el valor que cada subconjunto de el valor que cada subconjunto de N N puede puede obtener, es decir, obtener, es decir, v v : 2: 2NN en en R.R.

A cada uno de los posibles grupos A cada uno de los posibles grupos S S incluidos o iguales a N incluidos o iguales a N que los jugadores de que los jugadores de N N pueden formarle llamaremos una pueden formarle llamaremos una coalicióncoalición, con lo que , con lo que vv((SS) nos informa sobre ) nos informa sobre cuánto (premio)puede obtener la coalición cuánto (premio)puede obtener la coalición SS

Valor de ShapleyValor de Shapley

Se llama "valor de Shapley" a la Se llama "valor de Shapley" a la asignación que recibe cada jugador asignación que recibe cada jugador en una propuesta de reparto según en una propuesta de reparto según un criterio de arbitraje diseñado por un criterio de arbitraje diseñado por Lloyd S. Shapley. El criterio consiste Lloyd S. Shapley. El criterio consiste en asignar un pago a cada jugador en asignar un pago a cada jugador en proporción al número de en proporción al número de coaliciones potencialmente coaliciones potencialmente vencedoras en las que el jugador vencedoras en las que el jugador participa de forma no redundante.participa de forma no redundante.

El modelo del El modelo del pequeño mercadopequeño mercado muestra una estructura de muestra una estructura de mercado en la que hay un vendedor (jugador 1) de cierto mercado en la que hay un vendedor (jugador 1) de cierto bien que no podemos dividir en partes ( por ejemplo, en un bien que no podemos dividir en partes ( por ejemplo, en un automóvil como bien de uso), y dos compradores (jugador 2 automóvil como bien de uso), y dos compradores (jugador 2 y jugador 3) que desean comprar ese bien. y jugador 3) que desean comprar ese bien.

Las valoraciones que Las valoraciones que a priori a priori se le asignan a las coaliciones se le asignan a las coaliciones serán, en este caso, un reflejo del éxito o fracaso de la serán, en este caso, un reflejo del éxito o fracaso de la negociación entre el vendedor y el comprador dependiendo negociación entre el vendedor y el comprador dependiendo de cómo se emparejen, y no una predicción sobre quién de de cómo se emparejen, y no una predicción sobre quién de los dos obtendrá el bien .En este caso, asignamos la los dos obtendrá el bien .En este caso, asignamos la valoración a todas las posibles coaliciones de la siguiente valoración a todas las posibles coaliciones de la siguiente forma:forma:

V V (({{11, , 22, , 33}}) = ) = V V (({{11, , 22}}) = ) = V V (({{11, , 33}}) = 1) = 1 (“si hay vendedor y comprador, el negocio se lleva a cabo”)(“si hay vendedor y comprador, el negocio se lleva a cabo”) V V (({{11}}) = ) = V V (({{22}}) = ) = V V (({{22, , 33}}) = 0) = 0 (“si solo hay compradores o vendedor, no se realiza el (“si solo hay compradores o vendedor, no se realiza el

negocio”)negocio”) Existen varias “soluciones” a ese tipo de juegos en forma Existen varias “soluciones” a ese tipo de juegos en forma

cooperativa.cooperativa. Por supuesto, una “solución” debe significar una repartición Por supuesto, una “solución” debe significar una repartición

de la riquezade la riqueza

Un juego cooperativo consiste en un conjunto de jugadores Un juego cooperativo consiste en un conjunto de jugadores N N y y una asignación monetaria una asignación monetaria V V ((SS) para cada subcoalición ) para cada subcoalición S S incluido en N. incluido en N.

El problema que se intenta resolver es: ¿Cómo distribuir la El problema que se intenta resolver es: ¿Cómo distribuir la riqueza total riqueza total V V ((NN) entre todos los participantes? ) entre todos los participantes?

El valor de Shapley busca solucionarlo imponiendo ciertas El valor de Shapley busca solucionarlo imponiendo ciertas condiciones a la distribución:condiciones a la distribución:

Si Si xixi, , i i EE NN, es la asignación que recibiría en la distribución de , es la asignación que recibiría en la distribución de Shapley el jugador Shapley el jugador i, i, entoncesentonces

a) (Eficiencia) a) (Eficiencia) xx1 + 1 + xx2 + 2 + ...xn ...xn = = V V ((NN))

b) (Jugador “dummy” o fantasma) Si para algún b) (Jugador “dummy” o fantasma) Si para algún i E Ni E N, , V V ((S u S u {I}{I}) =) =V V ((SS) para toda coalición ) para toda coalición SS, entonces , entonces xi xi = 0= 0

c) (Simetría) Si las valoraciones de las coaliciones no cambian c) (Simetría) Si las valoraciones de las coaliciones no cambian cuando se reemplaza un jugador por cualquier otro, entonces, cuando se reemplaza un jugador por cualquier otro, entonces, todos reciben lo mismo. Es decir, todos reciben lo mismo. Es decir, xx1 = 1 = ... ... = = xnxn..

d) (Aditividad) Si d) (Aditividad) Si V V y y W W son dos valoraciones distintas sobre el son dos valoraciones distintas sobre el mismo conjunto mismo conjunto N N de jugadores, entonces la asignación de de jugadores, entonces la asignación de cualquier jugador para la valoración cualquier jugador para la valoración V V y para la valoración y para la valoración W W es es aditiva. Es decir, para todo aditiva. Es decir, para todo i E Ni E N, , xi xi ((V V ++WW) = ) = xixi((V V ) + ) + xi xi ((WW))

Fórmula de cálculo valor de Fórmula de cálculo valor de ShapleyShapley

Ejemplo – Pequeño Ejemplo – Pequeño Mercado –Mercado –

• • N = {1,2,3}; 1 es vendedor; 2, 3 son N = {1,2,3}; 1 es vendedor; 2, 3 son compradores:compradores:

• • v(i) =0; v(1,2) = v(1,3) = v(1,2,3) = 1; v(2,3) v(i) =0; v(1,2) = v(1,3) = v(1,2,3) = 1; v(2,3) =0.=0.

• • ϕi(i) = 0; ϕ1(1,i) = ϕi(1,i) = ½; ϕi(2,3) = 0;ϕi(i) = 0; ϕ1(1,i) = ϕi(1,i) = ½; ϕi(2,3) = 0; ϕ1(1,2,3) = 2(0 + 1 + 1)/3! = 2/3; l vendedor ϕ1(1,2,3) = 2(0 + 1 + 1)/3! = 2/3; l vendedor

tiene dos opciones tiene dos opciones ϕ2(1,2,3) = ϕ3(1,2,3) = 1/3! = 1/6. Los ϕ2(1,2,3) = ϕ3(1,2,3) = 1/3! = 1/6. Los

compradres cada uno una sola compradres cada uno una sola [el valor del vendedor es 2/3, y los compradores [el valor del vendedor es 2/3, y los compradores

tienen la misma posibilidad de comprar]tienen la misma posibilidad de comprar]

Ejemplo: El inventor Ejemplo: El inventor Una persona (1) ha inventado un producto, Una persona (1) ha inventado un producto,

pero no puede fabricarlo el sólo a gran pero no puede fabricarlo el sólo a gran escala. escala.

Hay dos fábricas posibles (2 y 3) que Hay dos fábricas posibles (2 y 3) que podrían comercializarlo y repartir una podrían comercializarlo y repartir una ganancia de 2 millones de Euros con el ganancia de 2 millones de Euros con el inventor. La función característica sería inventor. La función característica sería entonces:entonces:

V(0)=V(i)=V ({1}) =V ({2}) = V({3}) =V(0)=V(i)=V ({1}) =V ({2}) = V({3}) = V ({2, 3}) =0, V ({2, 3}) =0, V({1, 2}) = V({1, 3}) = V({1, 2, 3}) = 2.V({1, 2}) = V({1, 3}) = V({1, 2, 3}) = 2.

Ejemplo Elecciones Ejemplo Elecciones Municipales Municipales

Supongamos un municipio en el que cinco partidos políticos se han Supongamos un municipio en el que cinco partidos políticos se han presentado a las elecciones: el Partido Austero (PA), el Partido Benefactor presentado a las elecciones: el Partido Austero (PA), el Partido Benefactor (PB), el Partido Comunal (PC), el Partido Democrático (PD) y el Partido de (PB), el Partido Comunal (PC), el Partido Democrático (PD) y el Partido de la Esperanza (PE). En las elecciones, han obtenido el siguiente número de la Esperanza (PE). En las elecciones, han obtenido el siguiente número de concejales:concejales:

PA=11PA=11PB=8PB=8PC=5PC=5PD=2PD=2PE=1PE=1

Como ningún partido ha conseguido la mayoría absoluta, es necesario que Como ningún partido ha conseguido la mayoría absoluta, es necesario que se forme una coalición para gobernar el municipio. El presupuesto anual se forme una coalición para gobernar el municipio. El presupuesto anual del municipio es de 520 millones de euros. La coalición gobernante debe del municipio es de 520 millones de euros. La coalición gobernante debe asignar los cargos y las responsabilidades del mismo a los diferentes asignar los cargos y las responsabilidades del mismo a los diferentes partidos. En las negociaciones se debe acordar el reparto del presupuesto, partidos. En las negociaciones se debe acordar el reparto del presupuesto, cargos y responsabilidades entre los partidos. Suponemos que no hay cargos y responsabilidades entre los partidos. Suponemos que no hay simpatías ni antipatías ideológicas (vocación de coalición) y que los cargos simpatías ni antipatías ideológicas (vocación de coalición) y que los cargos y responsabilidades son valorados exclusivamente según el presupuesto y responsabilidades son valorados exclusivamente según el presupuesto económico que controlan. Supondremos, para simplificar, que hay económico que controlan. Supondremos, para simplificar, que hay disciplina de voto y que no son posibles las traiciones internas disciplina de voto y que no son posibles las traiciones internas 

Como el número total de concejales es Como el número total de concejales es 27, la coalición vencedora debe 27, la coalición vencedora debe disponer al menos de 14 votos. A disponer al menos de 14 votos. A diferencia del juego anterior , no hay diferencia del juego anterior , no hay ningún jugador imprescindible para ningún jugador imprescindible para ganar. Si utilizamos la definición que ganar. Si utilizamos la definición que dimos arriba, el valor del juego para dimos arriba, el valor del juego para todos los jugadores es cero ya que todos los jugadores es cero ya que ninguno tiene garantizada su ninguno tiene garantizada su pertenencia a la coalición vencedora.pertenencia a la coalición vencedora.

Coaliciones:Coaliciones:

ABCDE ABCDE ABCD ABCE ABDE ACDE BCDE ABC ABCD ABCE ABDE ACDE BCDE ABC ABD ACD BCD ABD ACD BCD ABE ACE BCEABE ACE BCE ADE ADE BDEBDE CDECDE AB AB AC AC AD AE BC BD BE CD CE AD AE BC BD BE CD CE DE   A B C D E DE   A B C D E

Ganadoras no redundantes( si quito al jugador la Ganadoras no redundantes( si quito al jugador la coalición deja de ser ganadora) :coalición deja de ser ganadora) :

A tiene 11 , B 8 ,C 5 ,D 2 y E sólo 1 voto , se A tiene 11 , B 8 ,C 5 ,D 2 y E sólo 1 voto , se requieren 14 votos requieren 14 votos

A=ABDE,ACDE,ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,ABA=ABDE,ACDE,ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,AB,AC Total 10,AC Total 10

B=BCDE,BCD,BCE,ABD,ABE, AB Total 6 B=BCDE,BCD,BCE,ABD,ABE, AB Total 6 C=ACD,ACE,AC,BCDE,BCD,BCE Total 6C=ACD,ACE,AC,BCDE,BCD,BCE Total 6 D=ADE, BCD Total 2D=ADE, BCD Total 2 E=ADE, BCE total 2E=ADE, BCE total 2

Veamos en nuestro Veamos en nuestro ejemplo:ejemplo:

Ganadoras no redundantes : A=10 Ganadoras no redundantes : A=10 B=6 C=6 D=2 E=2B=6 C=6 D=2 E=2

Total GNR 26 Hacemos 520/26 = 20Total GNR 26 Hacemos 520/26 = 20 A:200,B=120,C=120,D=40 y E=40A:200,B=120,C=120,D=40 y E=40

Ejemplo 2 Ejemplo 2 En una empresa se deben distribuir En una empresa se deben distribuir

17.000.000 de euros entre cinco grupos 17.000.000 de euros entre cinco grupos que componen el directorio con las que componen el directorio con las siguiente composición A 4 directores, B 3 siguiente composición A 4 directores, B 3 directores,C 2 directores, D y E uno cada directores,C 2 directores, D y E uno cada uno. Mayoría 6 votosuno. Mayoría 6 votos

Alianzas vencedores no redundantes :Alianzas vencedores no redundantes : AB 7;AC 6,ADE 6,ACE 7 y ACED 8 ABC 9AB 7;AC 6,ADE 6,ACE 7 y ACED 8 ABC 9 ABD 8 :ABE 8 ,ABDE 9 ACD 7ABD 8 :ABE 8 ,ABDE 9 ACD 7 TOTAL DE A:10TOTAL DE A:10

BA 7 BCD 6 BCE 6 BCDE 7 BAD 8 BAE 8 BA 7 BCD 6 BCE 6 BCDE 7 BAD 8 BAE 8 TOTAL B 6TOTAL B 6 CA6 ,CBE 6 ,CBD 6 y CBDE 7 CAD 7 CAE 7CA6 ,CBE 6 ,CBD 6 y CBDE 7 CAD 7 CAE 7 TOTAL C 6TOTAL C 6 ADE Y BCD 6 TOTAL 2 IDEM PARA E ADE Y BCD 6 TOTAL 2 IDEM PARA E TOTAL NO REDUNDANTE GANADORAS 26TOTAL NO REDUNDANTE GANADORAS 26 Valor de A 10/26 asignación 6538461Valor de A 10/26 asignación 6538461 Valor de B 6/26 asignación 3923077Valor de B 6/26 asignación 3923077 Valor de C 6/26 asignación 3923077Valor de C 6/26 asignación 3923077 Valor de D 2/26 asignación 1306692Valor de D 2/26 asignación 1306692 Valor de E 2/26 asignación 1306692Valor de E 2/26 asignación 1306692

¿ QUE SE PUEDE ¿ QUE SE PUEDE MODELAR ? MODELAR ?

Cuerpos colegiadosCuerpos colegiadosFormación de Alianzas Formación de Alianzas Comportamiento animal:Comportamiento animal: Estrategias estables evolucionariasEstrategias estables evolucionarias Evaluación de Aprendizajes:Evaluación de Aprendizajes: Refuerzo de modelos de aprendizajeRefuerzo de modelos de aprendizaje Equilibrio autoconfirmadoEquilibrio autoconfirmado Acuerdos autoaplicados:Acuerdos autoaplicados:Equilibiro de Nash y refinamientosEquilibiro de Nash y refinamientos Reflexión entre jugadores racionalesReflexión entre jugadores racionales““Epistemología interactiva”Epistemología interactiva”

Comparación entre Comparación entre Juegos Juegos

El concepto no El concepto no cooperativocooperativo

No hay comunicaciónNo hay comunicación No hay ejecución de No hay ejecución de

contratocontrato Formulación (N,S,H)Formulación (N,S,H) N es un conjunto de N es un conjunto de

jugadoresjugadores Soluciones: (conjunto Soluciones: (conjunto

de perfiles de perfiles estratégicos) estratégicos)

H : Matriz de PagosH : Matriz de Pagos

El concepto El concepto cooperativocooperativo

Comunicación Comunicación perfectaperfecta

Ejecución de contrato Ejecución de contrato perfectaperfecta

Formulación (N,v)Formulación (N,v) N es un conjunto de N es un conjunto de

jugadoresjugadores V conj.de valoresV conj.de valores Soluciones: (conj. deSoluciones: (conj. de distrib. de valores )distrib. de valores )