Juegos matemáticos

NÚMEROS

ENTEROS

UNIDAD DIDÁCTICA PARA 2º CURSO DE E.S.O.

ALFREDO FORCADA MATEO

FICHA TÉCNICA

TÍTULO UNIDAD: Los números enteros: operaciones básicas.

NIVEL: 2º Curso de Educación Secundaria Obligatoria.

BREVE DESCRIPCIÓN Y OBJETIVOS GENERALES:

La mayoría de los profesores de matemáticas del segundo ciclo de E.S.O. y de bachillerato se

quejan a menudo de que los alumnos les llegan con graves deficiencias en las operaciones

elementales que se realizan con enteros, lo que se traduce en frecuentes errores en la resolución

de problemas y ejercicios. Esto, que la mayor parte de los alumnos califican una y otra vez de

despistes o errores debidos a los nervios, es en realidad una manifestación de las deficiencias

que mencionábamos antes.

Todos los alumnos terminarán utilizando dichas operaciones en el futuro tanto si acceden a la

universidad como si no, e incluso aunque no cursen el bachillerato. Por eso es especialmente

importante que este pilar de las matemáticas quede bien asentado ya que es junto con la

expresión oral y escrita el 90% de los procedimientos con los que se van a manejar en la vida y

que les permitirán acceder a otros conocimientos.

Dado que muchos alumnos, especialmente los que tienen dificultades con las matemáticas,

sienten rechazo hacia las operaciones con números trataremos de introducir y reforzar estas

operaciones apoyándonos en actividades lúdicas y en el trabajo en equipo.

CONOCIMIENTOS PREVIOS: Conjuntos numéricos; operaciones con enteros

DURACIÓN: Mínima: 12 horas Máxima: 25 horas

MEDIOS: Bolígrafo, papel y calculadora.

MATERIAL PARA EL ALUMNO: Todas las actividades a realizar se entregan fotocopiadas

y separadas por bloques. No se recibe un bloque hasta que no se entrega el anterior.

DESCRIPCIÓN DE UNA SESIÓN TIPO: Trabajo en grupo.

% Sesión descubrimiento: 30 % Sesión refuerzo: 70

Al principio de la sesión se entrega el trabajo correspondiente al primer bloque a cada equipo de

3 personas. Los equipos van avanzando en los problemas del bloque de manera autónoma

aunque el profesor irá siguiendo el progreso de cada uno. El profesor estará pendiente para ir

ayudándoles cuando se atasquen. Se establece una fecha límite en la cuál todos los grupos pasan

al siguiente bloque aunque no hayan resuelto todos los problemas.

En la composición de los grupos tenemos dos opciones: la primera es intentar que los grupos

sean equilibrados de manera que en cada grupo haya un alumno “bueno”, uno “normal” y uno

“malo” en matemáticas. Esto tiene la ventaja de que los buenos ayudan a los malos pero la

desventaja de que el trabajo lo termina haciendo uno del grupo. La otra posibilidad es hacer los

equipos de manera que los miembros tengan todos un nivel parecido. Yo me inclino por esta

2

segunda posibilidad aunque hay que insistir a los chicos que no se trata de hacer grupos de listos

y grupos de tontos sino de intentar que cada uno funcione a su ritmo.

EVALUACIÓN:

Tipo de centro: Colegio concertado.

Entorno social: Barrio céntrico de Madrid. Clase media-alta.

Profesor: Alfredo Forcada: profesor de matemáticas en 2º y 3º de E.S.O.

Estimada: Creo sinceramente que esta unidad puede ser un instrumento útil para el

profesor a la hora de repasar los enteros. Los problemas son juegos que además se trabajan en

equipo y eso nos ayudará a evitar el rechazo inicial de algunos alumnos. Por otro lado soy

consciente de la posibilidad de mejorarla. Aunque la atención a la diversidad se realiza en la

unidad mediante la posibilidad de cada equipo de seguir distinto ritmo, también se podía haber

hecho una graduación en la dificultad de los problemas y que no fueran los mismos para todos.

Soy también consciente del bajo contenido teórico de la unidad aunque ésto ha sido algo

buscado ya que se trataba de que los alumnos manejaran mucho los números y reforzaran la

operatividad mediante los distintos juegos y problemas.

Otra posibilidad que no he realizado por falta de un acceso fácil a Internet es la búsqueda de

algunos programas que trabajen las operaciones con enteros mediante juegos, programas que

seguro existen en la red.

He resuelto personalmente todos los problemas y ejercicios que aparecen en la unidad, porque

creo que es esencial que el profesor los haga primero si luego se los va a proponer a sus

alumnos. En definitiva estoy bastante satisfecho del trabajo realizado.

Experimental: No se ha realizado.

Lista de procedimientos

En esta unidad se repasan los conocimientos de operaciones con enteros. Prácticamente todos

estos conocimientos los adquieren en cursos anteriores por lo que nuestro objetivo prioritario es

reforzarlos. Además intentamos aplicarlos a la resolución de problemas y tratarlos siempre

desde una perspectiva lúdica.

Los puntos que vamos a tratar son:

1. Números naturales y enteros: un poco de historia.

2. Números enteros: sumas, restas y productos.

3. Números enteros: división, división en Z, números primos.

4. Números enteros: potencias, operaciones con potencias.

5. Números enteros: operaciones combinadas.

Bloque 1: NÚMEROS ENTEROS: UN POCO DE HISTORIA.

Observaciones:

3

Es importante que los alumnos perciban las matemáticas como un gran edificio que se ha ido

construyendo a lo largo de la historia. Cosas que a nosotros nos parecen cotidianas, como la

utilización del número cero, tuvieron un proceso de aparición muy largo y estudiando ese

proceso los alumnos darse cuenta de la dificultad de dar el salto de la idea a los símbolos.

También veremos la importancia de una buena representación simbólica para facilitar el cálculo

y veremos cómo la que utilizamos hoy no es en absoluto la única posible.

Meta:

Adquirir una perspectiva histórica de los sistemas de numeración, darse cuenta que el que

usamos es sólo uno de los muchos posibles y valorar la gran utilidad del actual.

Actividad recreativa 1.1: La historia de los números.

Se divide a los alumnos en grupos de tres, y se les reparten fotocopias del primer capítulo del

libro “De los números y su historia” de Isaac Asimov (Editorial Lidiun. Buenos Aires 1984).

Una vez leido deben elegir un número de tres cifras y elaborar una tabla en la que aparezca

dicho número tal y como se habría escrito con cada uno de los sistemas de numeración que

aparecen en el libro así como el siglo o los siglos y el área geográfica en los que se utilizó. Al

final de la segunda sesión se pondrán en común los números elegidos y se dialogará sobre las

ventajas e inconvenientes de cada sistema de numeración.

Duración: la realización de esta actividad puede durar dos sesiones.

Bloque 2: NÚMEROS ENTEROS: SUMAS, RESTAS Y PRODUCTOS.

Observaciones:

4

Después del bloque histórico empezamos a trabajar las operaciones con enteros. No hace falta

ningún tipo de explicación ya que las sumas, restas y productos de enteros las conocen desde lo

cursos de primaria y se trata de “forzarles” a utilizar estas operaciones. Como queremos trabajar

el cálculo mental no permitiremos el uso de la calculadora en ninguna de las actividades de este

bloque.

Meta:

Reforzar el cálculo mental y la seguridad en la realización de las operaciones de sumas, restas y

productos de enteros.

Actividad recreativa 2.1: Llegar a 100.

Juegan dos jugadores. El primero dice un número del 1 al 10, el segundo suma un número del 1

al 10 y dice el resultado. El primero suma un número del 1 al 10 y dice el resultado, y así

sucesivamente. Por ejemplo:

1º) 7 2º) 7+3=10 1º) 10+8=18 ...

Gana el que consigue decir el número 100.

Solución: Deben descubrir que gana el juego el que consigue alguno de los siguientes números:

89, 78, 67, 56, 45, 34, 23, 12, 1.

Modo de actuar:

Aunque para el resto de las actividades los alumnos funcionan en grupos de tres de manera

independiente cada grupo, en esta primera actividad es conveniente que toda la clase la realice a

la vez para que jueguen más veces y con diferentes compañeros.

Los alumnos juegan varias veces cambiando de pareja intentando descubrir la estrategia que

permite ganar el juego. Los últimos 15 minutos de la clase se realiza una puesta en común en la

que alguno de los alumnos expone la estrategia ganadora. El profesor propone algunas variantes

del juego y entre todos se llega a la nueva solución:

Variante 1: sólo se puede sumar un número del 1 al 7.

Variante 2: sumamos un número negativo y hay que llegar a –100.

Variante 3: Empezamos en 163 y hay que llegar a 115 sumando –8.

Los alumnos deben escribir las soluciones ya que eso les obligará a reflexionar sobre el proceso

y a fijar lo aprendido.

Duración: Una sesión.

Actividad recreativa 2.2: El montón de piedras.

Cada una de las piedras del montón reposa sobre dos de la fila inferior. El número de cada

piedra representa la diferencia entre los números de las piedras sobre las que se sustenta.

5

Completar los números que faltan, sabiendo que en la fila inferior los dígitos del 0 al 9 sólo

aparecen una vez en el conjunto de todos los números.

Solución:

Modo de actuar: A partir de esta actividad y para las demás del bloque 2 los alumnos se

disponen en grupos de tres y atacan el problema. Cada grupo funciona independientemente de

los demás y va avanzando a su propio ritmo. Para encontrar la solución deberán ir utilizando las

restas y en algunos casos tantear un poco. Cuando lo tengan resuelto lo ponen por escrito y

pasan a la siguiente actividad.

Duración: media sesión.

Actividad recreativa 2.3: Traducción.

En la siguiente suma, cada letra distinta representa un cifra diferente, del 0 al 9:

A P A G A

P A T I N

M A G I C O

¿Sabrías decir qué cifra corresponde a cada letra?

Solución: El dato que debe iniciar el razonamiento es que para que en el resultado aparezca una

A que es la misma cifra que la que tiene justo encima, P tiene que ser 9 y haberme llevado 1 de

la suma anterior. Además el único valor posible para M es 1. A partir de estos razonamientos

vamos probando las distintas posibilidades y llegamos a: A=6; P=9; G=5; T=0; I=7; N=8; O=4;

C=3; M=1.

6

20

2

244

23 58

20

2

2 244

37 35 1141

60 23 58 4719

22

Modo de actuar: Los mismos grupos de tres de antes resuelven el problema en equipo.

Duración: Media sesión.

Actividad recreativa 2.4: Hexágono mágico.

Acomoda los números del 1 al 7, uno por círculo, de modo que cada uno de los triángulos

grandes y cada una de las diagonales sumen igual.

Solución:

El número que interviene en más sumas es el del centro, luego ahí situamos el 4. La suma de los

números del 1 al 7 es 28. Si le quitamos el 4 central quedan 24 a repartir en dos triángulos,

luego en cada uno la suma tiene que ser 12. Con todo esto la solución es:

También se puede llegar a la solución mediante simples tanteos aunque tardaremos más en

resolverlo.

Modo de actuar: El profesor puede darles la actividad sin más o puede orientarles sobre la

manera lógica de resolver el problema, explicándoles de entrada lo que es un cuadrado mágico y

7

6

4

3

7

2 5

1

cómo se construyen. Una vez hecho esto, los alumnos tendrán mucho más fácil resolver nuestro

hexágono mágico.


Actividad recreativa 2.5: Triángulo casi mágico.

Acomoda los números del 1 al 6, uno por círculo, de modo que en cada línea de dos o tres

círculos, los tres círculos de las esquinas, y los tres círculos interiores, la suma sea distinta, y

que las ocho sumas que entran en juego sean valores consecutivos.

Solución:

Hay algunos razonamientos que permiten eliminar posibilidades y reducir el número de pruebas.

Por ejemplo, como hay 8 sumas que deben ser consecutivas, el número de sumas con resultado

par tiene que ser igual que el número de sumas con resultado impar. Eso obliga a que los

círculos intermedios de cada lado no pueden ser todos pares. Aunque podrían ser todos impares,

ello daría una suma con resultado 4 mientras que los círculos exteriores darían suma 12 lo que

me da una distancia de 8 y no de 7 entre la suma mayor y la menor. A partir de ahí, mediante

pruebas llegamos a la solución.

Modo de actuar: Es conveniente que el profesor indique la importancia de la paridad en

muchos problemas y encamine la solución, ya que es un problema que para los alumnos de 2º de

E.S.O. puede llevar bastante tiempo.


8

4 6

2 1

5

3

Actividad recreativa 2.6: Hexágono mágico II.

Acomoda los números del 1 al 13, uno por círculo, de modo que cada uno de los seis lados, y

cada una de las seis líneas que pasan por el centro, sumen igual

Solución: El número que participa en más sumas es el central por lo que ahí colocamos el 7. La

suma del 1 al 13 es 91 y si quitamos 7 queda 84 a repartir entre 6 diagonales queda 14. Como

hay que contar el 7 central la suma en cada fila tiene que ser 21. Tanteando un poco más

llegamos a la solución que es:

Modo de actuar: Se trata otra vez de aplicar los métodos que descubrimos para cuadrados

mágicos. Este segundo hexágono mágico debería resultar más fácil de resolver que el primero

por esa razón. El profesor puede también plantear variantes como que haya que colocar los

números del –2 al –14 y no del 1 al 13. Además podemos proponerles que construyan su propia

figura mágica (un pentágono, un rombo,...).


9

4 11

9

1

6

2

1

3

5

3 1

0

0

8

1

2

2

7

Actividad recreativa 2.7: Cruz numerada.

Acomoda los números del 1 al 12, uno por círculo, de modo que los cuatro vértices de cada uno

de los dos rectángulos largos, los cuatro vértices del cuadrado central, y las cuatro líneas de

cuatro círculos, sumen lo mismo.

Solución: Siguiendo la técnica de resolución de cuadrados mágicos, calculamos la suma de los

números del 1 al 12 y sale 78. Si cogemos los vértices de los dos rectángulos y el cuadrado

central tenemos todos los números así que dividiendo 78 entre estas tres sumas obtenemos 26

que es la suma mágica. Como los números del cuadrado central son los que participan en más

sumas situamos ahí el 5, 6, 7 y 8 y los demás los colocamos tanteando. La solución es:

Modo de actuar: Como siempre en grupos de tres alumnos. Dependiendo de las necesidades de

tiempo podemos saltarnos esta actividad ya que es parecida a las anteriores.


10

1

5 84

1

0

7

2

6

9

3

11

1

2

Actividad recreativa 2.8: Multiplicaciones incompletas.

Completa las siguientes multiplicaciones:

* 1 5 * * 5

3 * 2 1 * *

* 3 * 2 * * 5

3 * 2 * 1 3 * 0

* 2 * 5 * * *

1 * 8 * 3 0 4 * 7 7 *

Solución:

4 1 5 3 2 5

3 8 2 1 4 7

8 3 0 2 2 7 5

3 3 2 0 1 3 0 0

1 2 4 5 3 2 5

1 5 8 5 3 0 4 7 7 7 5

Modo de actuar: Como siempre en grupos de tres estos ejercicios son suficientemente sencillos

para que los resuelvan sin ninguna ayuda.


Actividad recreativa 2.9: Las apuestas.

Tres personas deciden jugar a tirar monedas a ver si coinciden en cara o cruz. Cada uno arroja

una moneda, y el que no coincide con los otros dos pierde. El perdedor debe doblar la cantidad

de dinero que cada oponente tenga en ese momento. Después de tres jugadas, cada jugador ha

perdido una vez y tiene 240 pts. ¿Cuánto tenía cada uno al principio?.

Solución: Basta con reproducir las jugadas en orden inverso para llegar a la solución.

DESARROLLO DEL JUEGO 1erjugador 2ºjugador 3erjugador

Tras la 3ª jugada 240 240 240



Al principio 390 210 120

Modo de actuar: En grupos de tres.


11

Bloque 3: NÚMEROS ENTEROS: DIVISIONES Y NÚMEROS PRIMOS.

Observaciones:

Completamos el repaso a las operaciones elementales con la división. Trataremos de hacer ver a

los alumnos que muchas de estas operaciones se pueden evitar por medio de simplificaciones y

utilizaremos algunos de los criterios de divisibilidad de enteros.

Seguiremos trabajando en grupos de tres personas que pueden ser los mismos que para el bloque

anterior o grupos diferentes. Si elegimos esto último reforzaremos las relaciones entre los chicos

y chicas de la clase.

Meta: Reforzar el uso de las operaciones de división entre enteros, hacer percibir a los alumnos

su utilidad para resolver algunos problemas y recordar criterios de divisibilidad.

Actividad recreativa 3.1: ¡Vaya división!

El número 27 x 31 x 35 x 39 x 43 dividido entre 43 x 39 x 35 x 31 x 3 da como resultado...

Solución: Basta efectuar las simplificaciones posibles para obtener el resultado que es 9.

Modo de actuar: Esta actividad es la que nos va a servir para introducir este bloque y debido a

su sencillez los alumnos no deben tener ningún problema en resolverla. La plantearemos al

principio para que respondan individualmente y la pondremos en común al cabo de tres

minutos.

Duración: Cinco minutos.

Actividad recreativa 3.2: ¿Dónde me tengo que sentar?

Un auditorio tiene 26 filas y 24 butacas en cada una. Todas las butacas están numeradas

empezando en la primera fila. ¿En qué fila se encuentra la butaca 375?

Solución: Basta efectuar la división de 375 entre 24 y el resultado 15 es el número de filas

completadas. Como el resto no es cero sino 15, la butaca 375 es la butaca número 15 de la fila

16.

Modo de actuar: En equipos de tres personas.

Duración: Cinco minutos.

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Actividad recreativa 3.3: Primos cercanos.

En la sucesión de números primos hay muchos pares de números primos especiales que son

consecutivos a otro número no primo que queda entre ellos: 11 y 13; 17 y 19; 29 y

31;...Demostrar que el número comprendido entre esos primos especiales es siempre múltiplo de

6 (exceptuando la pareja 3 y 5 ).

Solución: Como los números primos tienen que ser impares, el del medio será par y por lo tanto

múltiplo de dos. Además como los números primos no son múltiplos de tres, el del medio tiene

que serlo porque si no habría un salto de cuatro números de un múltiplo de tres al siguiente lo

que es imposible.

Modo de actuar: Este problema es diferente a los anteriores ya que lo que se pide no es un

resultado sino una demostración. Esto supone una dificultad a la que en general no están

acostumbrados los alumnos. Por eso el profesor debe comenzar con una pequeña explicación

sobre los números primos y las demostraciones matemáticas. Conviene insistir en que no basta

una comprobación de que la afirmación realizada se cumple para algunos ejemplos sino que hay

que encontrar un razonamiento general que sirva para todos los números en esa situación.

También hay que decir que en caso de que la afirmación sea falsa la demostración quedará

terminada con un solo contraejemplo.


Actividad recreativa 3.4: El cumpleaños de Juan.

Multiplicando la fecha del día de nacimiento de Juan por 12 y el número del mes en que nació

por 31 y sumando estos productos, obtenemos 363. ¿En qué día y en qué mes nació Juan?

Solución: Si llamamos a al día de nacimiento y b al mes todo se reduce a resolver la ecuación

12·a+31·b=363. El valor de b por ser un mes tiene que estar entre 1 y 12. Como 12 y 363 son

múltiplos de 3 y 31 no lo es b tiene que serlo. Además b tiene que ser impar porque 12·a es par

y sin embargo 363 es impar. Todo esto reduce los posibles valores de b a 3 ó 9. Probando vemos

que para que a sea entero b tiene que ser 9 y entonces a es igual a 7.

Modo de actuar: Como siempre el trabajo se realiza por equipos de 3 personas. Cuando un

grupo no consiga avanzar se les puede dar alguna pista diciéndoles que piensen en que el

resultado es impar y vean qué tipo de números me dan una suma impar. Este problema nos va a

servir para, en la puesta en común, explicar a los alumnos cómo no siempre hay que decir que

una ecuación con dos incógnitas no se puede resolver o tiene infinitas soluciones. El hecho de

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que las soluciones tengan que ser enteros impone una fuerte restricción que hace que la solución

del problema sea única.


Actividad recreativa 3.5: Primos, primos y más primos.

Calcular razonadamente, todos los conjuntos de tres elementos C={a, b, c}. Los elementos a, b,

c, no tienen que ser necesariamente distintos, y deben cumplir las siguientes condiciones:

1. Los elementos a, b, c, en base diez, son dígitos y números primos.

2. Todos los números de dos cifras, colocadas en cualquier orden, que pueden escribirse

con las a, b, c, son números primos.

3. Todos los números de tres cifras, colocadas en cualquier orden, que pueden escribirse

con las a, b, c, son números primos.

Nota: el número 1 se considera primo.

Solución: Como a, b y c son dígitos y primos, sólo pueden ser 1, 2, 3, 5 y 7. El 5 lo quitamos

porque los de dos cifras que acaban en 5 no son primos.

{1, 2, 3} y {2, 3, 7}, no valen porque salen múltiplos de 3.

{1, 2, 7} no vale porque salen pares.

El único conjunto que parece válido es por tanto el {1, 3, 7} pero al comprobarlo nos damos

cuenta que 371 es divisible entre 53 y entre 7, 713 es divisible entre 23 y entre 31, y 731 es

divisible entre 17 y entre 43. Por lo tanto no hay solución.

Modo de actuar: en grupos de tres.

Duración: media o una sesión.

Actividad recreativa 3.6: Dividiendo primos entre 12.

Supongamos que P es cualquier número primo mayor que 3. Demuestra que P2 da de resto 1

cuando lo dividimos por 12.

Solución: Supongamos que dividimos P entre 12 y el cociente es a. Entonces P=12a+R. R no

puede ser par porque entonces P sería par. R no puede ser múltiplo de 3 porque entonces P

también lo sería luego R sólo puede ser 1, 5, 7 ó 11. Como P2 es igual a P+P+...+P (P veces), si

el resto es 1, el resto de P2 entre 12 es igual al de P·1 luego 1. Si el resto es 5, el de P2 entre 12

es igual al de P·5 luego al de 25 que es 1. Si el resto es 7, el de P 2 entre 12 es igual al de P·7

luego al de 49 que es 1. Y si el resto es 11, el de P2 entre 12 es igual al de P·11 que es igual al de

121 que es 1.

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Modo de actuar: la actividad es en grupos de tres, pero como en todos los que piden

demostraciones, el profesor debe estar muy atento y guiarles un poco.


Actividad recreativa 3.7: Divisores.

Probar que si se toman n+1 números distintos del conjunto {1, 2, 3, ..., 2n} entre ellos hay dos

tales que uno es divisor del otro.

Solución: Supongamos que queremos formar ese conjunto de n+1 números. No podemos coger

el 1 porque es divisor de todos los demás. Además si cogemos x números entre 1 y n, los otros

n+1-x tienen que ser de la segunda mitad. y como ninguno de los dos conjuntos puede ser nulo,

para algún número del primer conjunto existirá el correspondiente doble en el segundo.

Modo de actuar: equipos de tres.


Actividad recreativa 3.9: Restos, restos, restos.

Encontrar el menor número que dividido entre 2 dé resto 1, dividido entre 3 dé resto 2, dividido

entre 4 dé resto 3, dividido entre 5 dé resto 4, dividido entre 6 dé resto 5, dividido entre 7 dé

resto 6, dividido entre 8 dé resto 7 y dividido entre 9 dé resto 8.

Solución: Al número que buscamos le falta una unidad para ser múltiplo de 2, una unidad para

ser múltiplo de 3, una unidad para ser múltiplo de cuatro y así con todos. Buscamos el mínimo

común múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9 que es 2520 y le restamos 1. El número buscado es el

2519.

Modo de actuar: Grupos de 3.


Actividad recreativa 3.10: División incompleta.

Completa la siguiente división:

* 2 * 5 * 3 2 5

* * * 1 * *

* 0 * *

* 9 * *

* 5 *

* 5 *

0 0 0

Solución:

15

5 2 6 5 0 3 2 5

3 2 5 1 6 2

2 0 1 5

1 9 5 0

6 5 0

6 5 0

0 0 0

Modo de actuar: en equipos de tres no deben tener mayores dificultades.

Duración: media sesión

Bloque 4: NÚMEROS ENTEROS: POTENCIAS.

Observaciones:

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No pretendemos en este bloque hacer un repaso exhaustivo de las potencias y las propiedades de

las operaciones entre ellas aunque esto último tendría cabida fácilmente y queda como posible

decisión a tomar por parte del profesor. Lo que queremos es algo más sencillo. Que los alumnos

manejen las potencias, se acostumbren a ellas, entiendan lo que significan y las utilicen en la

resolución de algunos problemas.

Meta: familiarizarse con el uso y el manejo de las potencias de enteros.

Actividad 4.1: Sumas de cuadrados.

La suma de los cuadrados de los 20 primeros enteros positivos es 2870. ¿Cuál es la suma de los

cuadrados de los 19 primeros enteros positivos?

Solución: Puesto que 2870=12+22+32+...+192+202 entonces 12+22+32+...+192=202-2870 así que

la solución es 2470.

Modo de actuar: Este problema debe resultar sencillo luego nos sirve de introducción al bloque

de potencias de enteros. Tendremos que insistir mucho en que no es verdad que a 2+b2=(a+b)2 ya

que los alumnos tienden a utilizar esto. Este problema

Actividad recreativa 4.2: Potencias y divisores.

Calcular el exponente de la potencia máxima de 3, que sea divisor de 1001.

Solución: Puesto que 1001 no es múltiplo de 3, tampoco lo puede ser de ninguna de las

potencias de 3 por lo que la solución es cero.

Modo de actuar: Grupos de tres.


Actividad recreativa 4.3: A colorear.

¿De cuántas formas puedes colorear la siguiente figura si sólo dispones de dos colores y cada

cuadrado debe llevar sólo un color?

¿Y si dispusieras de tres colores?

¿Y si fuera un cuadrado de tres por tres cuadrados?

Solución: Podemos poner los cuatro cuadrados en línea y entonces la solución es: 1111, 2111,

1211, 1121, 1112, 2211, 1221, 1122, 2112, 2121, 1212, 1222, 2122, 2212, 2221, 2222. 16

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formas que es 24. Si tuvieramos 3 colores saldrían 81=34 y si fuera un cuadrado de tres por tres

cuadrados 512=29 en el caso de dos colores y 39 en el caso de tres colores.

Modo de actuar: Este problema nos sirve para hacer ver a los alumnos cómo las potencias

aparecen a veces en situaciones inesperadas. También cómo su uso nos permite generalizar

situaciones sencillas. Es importante que cuando empiecen a contar las posibilidades que hay

sean sistemáticos y encuentren una manera de contar que les asegure que no se olvidan ninguna

de las formas posibles. En este problema es especialmente importante la puesta en común ya

que se puede también relacionar con la combinatoria y los diagramas en árbol.


Actividad recreativa 4.4: La serpiente cuadrada.

Una princesa encontró una serpiente que tenía tatuado el número 27259432287156

(recordaremos que en su país, son venenosas las serpientes cuyo número es un cuadrado

perfecto). La princesa se acercó, agarró el bicho tranquilamente y dijo: “¿no os dais cuenta de

que es inofensivo?” Uno de sus lacayos le contestó: ¿y cómo os disteis cuenta, Majestad?”

“Utilizando la divisivilidad por 7”. Y se fue tan tranquila.

Solución: Si calculamos los restos de las divisiones de los cuadrados perfectos entre 7,

empezando por 1, vemos que siguen la sucesión: 1,4,2,2,4,1,0,1,4,2,2,4,1,0,1,4,2,2,4,1,0,... Así

que ninguno de los restos es 6 que es el resto del número de la serpiente entre 7, luego dicho

número no puede ser un cuadrado perfecto.

Modo de actuar: como siempre en equipos de tres.


Bloque 5: NÚMEROS ENTEROS: OPERACIONES COMBINADAS.

Observaciones:

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Se trata de que después de haber estado trabajando las operaciones elementales con enteros en

los apartados anteriores este bloque nos sirva de recopilación y de resumen. Como en los

anteriores bloques el trabajo se realiza en grupos de tres personas empezando todos el bloque a

la vez, aunque en este caso no avanzan los grupos a diferente ritmo unos de otros sino que en

cada actividad el profesor fija un tiempo y después se ponen en común las soluciones.

Meta: Realizar unas actividades de síntesis que incluyan todas las operaciones con enteros

estudiadas en la unidad.

Actividad recreativa 5.1: A la caza del 53.

Con 5 cincos y 3 treses (hay que utilizarlos todos) formar expresiones matemáticas que sean

igual a 53.

Solución: Hay muchas posibles como por ejemplo:

Modo de actuar: en grupos de tres.


Actividad recreativa 5.2: Cálculo mental.

El alumno realiza mentalmente la operación que el profesor propone y a continuación apunta el

resultado. Cuando se ha realizado un bloque de cinco operaciones se corrige y comprueba.

Posibles ejercicios son:

327· 15 = 4905 625 : 5 = 125

14 · 14 = 196 1200 · 12 = 14400

459 + 332 = 791 172 – 79 = 93

628 – 432 = 196 183 : 3 = 61

3124 + 235 = 3359 324 · 3 = 972

(–2)4 = 16 93 = 729 1800 = 32 · 23 ·52 225 = 32 · 52

29 = 512 (–3)5 = –243 375 =3 · 53 1000 = 23 · 53

36 = 729 (–2)7 = –128 204 = 17 · 3 · 22 192 = 26 · 3

44 = 256 63 = 216 98 = 2 · 72 216 = 23 · 33

(–7)3 = –343 83 = 512 128 = 27 100 = 22 · 52

Modo de actuar: en esta actividad el trabajo es individual.


Actividad recreativa 5.3: Igualdades incompletas.

¿Qué cantidades de 0 a 9 habrán de insertarse para que se cumplan las igualdades?.

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: * = 2

+ : +

* 1 + = 5

– * +

+ : = 1

= 7 = 8 = 7

Solución::

4 : 2 * 1 = 2

+ : +

3 * 1 + 2 = 5

– * +

0 + 4 : 4 = 1

= 7 = 8 = 7

Modo de actuar: se puede hacer de nuevo en equipos de tres personas.


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Juegos matemáticos

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