GRAFOSGRAFOS

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GRAFOSGRAFOS

Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vértices o nodos) y E un subconjunto de VxV (conjunto de aristas).

Gráficamente representaremos los vértices por puntos y las aristas por líneas que los unen.

Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente 2 vértices.

Llamaremos orden de un grafo a su número de vértices, |V|.

Si |V| es finito se dice que el grafo es finito. Toda arista une dos vértices distintos

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EJEMPLOS DE GRAFOSEJEMPLOS DE GRAFOS

Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular.

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EJEMPLOS DE GRAFOSEJEMPLOS DE GRAFOS

Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto

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EJEMPLO DE GRAFOSEJEMPLO DE GRAFOS

Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vértices. Un grafo completo con n vértices se denota Kn.

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EJEMPLOS DE GRAFOSEJEMPLOS DE GRAFOS

Todo grafo completo es regular porque cada vértice tiene grado |V|-1 al estar conectado con todos los otros vértices.

Un grafo regular no tiene por qué ser completo Un grafo bipartido regular se denota Km,n donde m, n es

el grado de cada conjunto disjunto de vértices. A continuación ponemos los dibujos de K1,2, K3,3, y K2,5

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MATRIZ DE ADYACENCIAMATRIZ DE ADYACENCIA

La suma de los grados de los vértices es igual al doble del número de aristas

Sea G un grafo de orden n. Llamaremos matriz de adyacencia de G a la matriz nxn que llamaremos A = (aij) donde aij = 1 si {i,j}A y aij = 0 en otro caso.

La matriz de adyacencia siempre es simétrica porque aij = aji

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v1 v2 v3 v4 v5

v1 0 1 1 0 0

v2 1 0 1 1 0

v3 1 1 0 1 1

v4 0 1 1 0 0

v5 0 0 1 0 0

GRAFOSGRAFOS

Sea G un grafo de n vértices con n > 1 y sea A su matriz de adyacencia. Se cumple que el valor del coeficiente ai,j de la matriz Ak es igual al número de caminos de longitud k con extremos vi y vj

Si existe un camino de longitud m (m n) entre 2 vértices cualquiera, entonces existe un camino de longitud n-1 entre esos dos vértices.

Un grafo G se dice conexo si cada par de vértices está unido al menos por un camino.

Una arista de un grafo G se dice de separación si G es conexo pero al suprimir la arista se divide en dos componentes conexos

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GRAFOSGRAFOS

Un método para comprobar si un grafo es conexo es el siguiente:◦ Se halla la matriz de adyacencia y se eleva a la (n-1)-

ésima potencia◦ Se calcula la suma de las potencias de A hasta An-1

◦ Si todos sus elementos son 0, el grafo es conexo. Dados dos grafos G = (V, E) y G´ = (V´, E´), se denomina

isomorfismo entre G y G´ a cualquier aplicación biyectiva f:G G’ tal que si a, b V, entonces {a,b}E {f(a),f(b)}E´.

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Grafos Eulerianos y HamiltonianosGrafos Eulerianos y Hamiltonianos Llamaremos camino euleriano a un camino que contiene a

todas las aristas del grafo, apareciendo cada una exactamente una vez.

Un ciclo euleriano es un camino euleriano que comienza y acaba en el mismo vértice.

Un grafo que admite un ciclo euleriano diremos que es un

grafo euleriano.

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Grafos Eulerrianos y Grafos Eulerrianos y HamiltonianosHamiltonianos

Si un grafo está formado por dos subgrafos eulerianos unidos al menos por un vértice y sin aristas en común, entonces es euleriano.

Un grafo conexo G=(V,A) es euleriano todo vértice tiene grado par.

Un grafo conexo tiene un camino abierto euleriano tiene exactamente dos vértices de grado impar.

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Caminos HamiltonianosCaminos HamiltonianosUn camino hamiltoniano es un camino que

recorre todos los vértices de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vértice.

Si el camino es cerrado se dice un ciclo hamiltoniano

Un grafo G se dice hamiltoniano si tiene un ciclo hamiltoniano.

A diferencia de los grafos eulerianos, no hay una caracterización de cuando un grafo tiene un ciclo o un camino hamiltoniano.

Si un grafo es conexo con |V|3 y para cada par de vértices la suma de sus grados es mayor o igual que el número de vértices entonces es hamiltoniano.

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ARBOLESARBOLES

Un grafo se dice un árbol si es conexo y no tiene ciclos.

Los primeros dos grafos son árboles:

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ARBOLESARBOLESPor tanto, un grafo es un árbol entre cada par

de vértices existe un camino y sólo uno.Un grafo se dice un bosque si sus componentes

conexas son árboles. Teorema.- Sea G(V,E) un grafo. Son equivalentes

a) G es un árbol b) Cada par de vértices distintos de V esta conectado por un único camino.c) G es conexo y toda arista de G es de separaciónd) G no tiene ciclos y |V| = |E| + 1e) G es conexo y |V| = |E| + 1f) G no tiene ciclos pero al añadirle una arista a G se crea un único circuito

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ARBOL GENERADORARBOL GENERADOR

Definición.- Sea G un grafo, un árbol generador de G es un subgrafo conexo de G que tiene los mismos

vértices que G y no tiene circuitos.

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ARBOL GENERADORARBOL GENERADOR

Supongamos que a cada arista se le asocia un número positivo (su peso). Un árbol generador se dice de peso mínimo si la suma de los pesos de las aristas que lo componen es lo menor posible

Para calcular el árbol de peso mínimo existen 2 algoritmos:◦Kruskal: Se van escogiendo las aristas de menor

peso hasta conseguir un árbol de peso mínimo◦Prim: Consiste en ir borrando las aristas de mayor

peso posible y que no sean aristas de separación.Puede haber más de un árbol generador de peso

mínimo, pero todos deben tener el mismo peso.

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