1

KARAKTERISTIK PROSES KARAKTERISTIK PROSES TERMODINAMIKA KUANTUM TERMODINAMIKA KUANTUM DAN MESIN PANAS KUANTUMDAN MESIN PANAS KUANTUM

OlehOleh ::NOFA RIA SAGITANOFA RIA SAGITA

1106 100 0081106 100 008PembimbingPembimbing ::

AgusAgus PurwantoPurwanto, D.Sc., D.Sc.

JURUSAN FISIKAJURUSAN FISIKAFakultasFakultas MatematikaMatematika dandan IlmuIlmu PengetahuanPengetahuan AlamAlam

InstitutInstitut TeknologiTeknologi SepuluhSepuluh NopemberNopemberSurabaya 2010Surabaya 2010

2

PENDAHULUANLatar Belakang

TermodinamikaKlasik

Mesin PanasKlasik

TermodinamikaKuantum

Mesin PanasKuantum

Murni klasik

Termostatistik

3

Permasalahan

Bagaimana karakteristik proses-proses yang terjadi pada sistem termodinamika kuantum ? Bagaimana perumusan efisiensi mesin Carnotdan mesin Otto kuantum secara umum?Bagaimana nilai efisiensi mesin panas kuantumtersebut terhadap mesin panas klasiknya?Bagaimana perbedaan antara kajian mesinpanas sebelumnya (murni klasik) dengan mesinpanas dalam tugas akhir ini (termostatistik)

4

Membandingkan antara proses-proses dalamtermodinamika kuantum dan proses klasiknya.Mempelajari mesin Carnot dan mesin Otto secara kuantum.Membandingkan efisiensi setiap mesin panaskuantum tersebut dengan mesin klasiknyamasing-masing.

Tujuan

5

Batasan MasalahMesin panas yang dikaji adalah mesin Carnot danmesin Otto.

Sistem kuantum yang digunakan sebagai ilustrasidari mesin panas kuantum adalah sistem dengandua keadaan, osilator harmonik, dan sumurpotensial satu dimensi.

6

Metode Penelitian

Metode yang digunakan adalah metode analitisdari studi literatur

7

TERMODINAMIKA KLASIK

Sistem termodinamika

Terbuka

SistemTermodinamika Tertutup

Terisolasi

8

Proses Termodinamika

ProsesTermodinamika

Reversibel

Ireversibel

9

Kesetimbangan Termodinamika

KesetimbanganTermal

KesetimbanganMekanik

KesetimbanganKimia

KesetimbanganTermodinamika

10

Hukum-Hukum TermodinamikaHukum ke-0 TermodinamikaHukum Pertama Termodinamika

Hukum Kedua Termodinamika

= +dQ dU dW

11

ENTROPIKlasik :

Termostatistik :

dengan

1dS dQT

=

lnn nn

S k P P= − ∑nE

neP

Z

β−

= nE

n

Z e β−= ∑

12

TERMODINAMIKA KUANTUMPerumusan termodinamika kuantum diawalidengan meninjau secara kuantum hukumpertama termodinamika klasik.Dalam kuantum Hamiltonian sistem secaraumum diberikan

Jika dipilih energi eigen keadaan dasarsebagai acuan (sama dengan nol), Hamiltonian dapat dituliskan

nn

H E n n=∑0

( )0nn

H E E n n= −∑

13

Energi dalam

Perubahan energi dalam

Pada termodinamika klasik

n nn

U H P E≡ =∑

( )= +∑ n n n nn

dU E dP dE P

dU dQ dW= −

14

Dengan

dan

Maka

dan

( ln )r rr

dQ TdSTd k P P

=

= − ∑

i ii

dW Y dy=∑

n nn

dQ E dP= ∑ n nn

dW P dE= ∑

15

Proses Isotermal Klasikdan Kuantum

Klasik : - sistem kontak dengan tandon bertemperatur Th. - tidak terjadi perubahan energi dalam

sehingga

Kuantum :- sistem kontak dengan tandon bertemperatur Th.

0=dU

=dQ dW

16

- sistem menyerap kalor Qin (dQ≠0) danmelakukan usaha (dW ≠0), sehingga dPn ≠0dan dEn ≠0.

-ditinjau dua keadaan n,m dengan m<n. Rasioprobabilitas partikel pada dua keadaanmemenuhi distribusi Boltzmann

dengan

β− Δ= =n

m

Pr eP

Δ = −n mE E

17

- temperatur efektif sistem

- Energi dalam sistem :

1

ln

β=

⎡ ⎤Δ= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

effeff

m

n

T

Pk P

0,1, 2, ...n nE E nζ→ =

( )( )

h nEn

n

EU eZ

β ζζζζ

−=∑

18

dengan

Untuk mengetahui apakah energi dalamberubah

diperoleh

menunjukkan bahwa energi dalam sistem tidakkonstan melainkan berubah sesuai denganperubahan energi eigen sistem.

( ) h nE

n

Z e β ζζ −=∑

( )2

( ) 1( ) ( )

h n h nE En nh n h

n n

E EdU E e ed Z Z

β ζ β ζζ ζβ ζβζ ζ ζ

− −⎡ ⎤= − + ⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑

( ) ( )1( )

h eEe h eE EdU ed Z Z

β ζ ζβζζ ζ ζ

− ⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

19

Grafik proses isotermal klasik dan kuantum

A

B

P

V

A

B

Pn

�

20

Proses Isokhorik Klasikdan Kuantum

Klasik :

Kuantum :

=dU dQ

0 0n n nn

P dE dE= ↔ =∑

0V tetap dW= → =

21

Grafik proses isokhorik klasik dankuantum

A

B

P

V Pn

�

A B

22

Proses Adiabatik Klasikdan Kuantum

Klasik :

Kuantum :

0=dQ

= −dU dW

0 0n n nn

E dP dP= ↔ =∑

23

-Grafik proses adiabatik klasik dan kuantum

A

B

P

V Pn

�

B

A

24

MESIN PANAS KLASIK

MESIN CARNOT KLASIKP

V

1

2

3

4

Qin

Qout

Th

Tl

V3V2V4V1

P1

P2

P3

P4

25

Usaha total mesin Carnot :

Kalor yang diserap :

Efisiensi mesin :

( ) 2

1

ln .t h lVW nR T TV

= −

212

1

ln .in hVQ W nRTV

= =

1 .

t

in

l

h

WQ

TT

η =

= −

26

MESIN OTTO KLASIK

C

P

V

T1

B

A

Qout

D

T2=Th

T4=Tl

T3

Qin

PB

PA

PC

PD

VA = VB VC = VD

27

Usaha total mesin

Kalor yang diserap :

Efisiensi mesin :

( ) ,in V B A B AQ mc T T T T= − >

( ) ( ) .t V B A C DW mc T T T T= − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

1 D

A

TT

η = −

28

MESIN PANAS KUANTUMMESIN CARNOT KUANTUM

B

�

Pl

A

D

C

Th

Tl

Qin

Qout

lPe

hPe

�A

�B

�C

�D

29

Proses A-B : Isotermal- Sistem kontak dengan tandon bertemperatur Th.- Ditinjau dua keadaan n,m dengan m<n. Rasio

probabilitas di A

dan di B

- Kalor yang diserap

( )( )

h AnA

m

P Ar eP A

β Δ= =

( )( )

h BnB

m

P Br eP B

β Δ=

[ ( ) ( )]

B

in A

h

Q T dS

T S B S A

=

= −∫

30

Proses B-C : Adiabatik

maka

-Perbandingan selisih energi eigen

0 0ndQ dP= ↔ =

hB

C l

TT

Δ=

Δ

( ) ( )( ) ( )

m m

n n

P B P CP B P C

==

31

Proses C-D : Isotermal- Sistem kontak dengan tandon bertemperatur Tl.- Perbandingan probabilitas saat kondisi C

dan saat kondisi D

- Kalor yang dilepas sistem

( )( )

h Cn

mC

P Cr eP C

β Δ= =

( )( )

h DnD

m

P Dr eP D

β Δ= =

[ ( ) ( )]

D

out C

l

Q T dS

T S C S D

=

= −∫

32

Proses D-A : Adiabatik

maka

-Perbandingan selisih energi

( ) ( )( ) ( )

m m

n n

P B P CP B P C

==

hA

D l

TT

Δ=

Δ

0 0ndQ dP= ↔ =

33

Usaha total yang dilakukan mesin adalah

pada proses adiabatik

Usaha total mesin

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )C in out

h l

W Q QT S B S A T S C S D

= −

= − − −

S(B)=S(C)S(A)=S(D)

( )[ ]( ) ( )C h lW T T S B S A−−=

34

Efisiensi mesin

atau secara umum dapat dituliskan sebagai

( )( ( ) ( ))( ( ) ( ))

1

CC

in

h l

h

l

h

WQT T S B S A

T S B S ATT

η =

− −=

−

= −

1

( ) ( )1( ) ( )

CC

B

n m

n m

E C E CE B E B

η Δ= −

Δ−

= −−

35

MESIN OTTO KUANTUM

�

A

C

B

D

�h

�l

lPe

hPe

Pl

36

Proses A-B : Isokhorik

maka

- Temperatur sistem bertambah dari T(A) menjadi T(B)=Th.

- Kalor yang diserap sistem

( ) ( ) hn n nE A E B E= =

[ ]( ) ( )

B

in n nn A

hn n n

n

Q E dP

E P B P A

=

= −

∑∫

∑

0 0ndW dE= ↔ =

37

Proses B-C : Adiabatik. maka

Proses C-D : Isokhorik

maka

-Temperatur sistem turun dari T(C) menjadiT(D)=Tl.

( ) ( )( ) ( )

m m

n n

P B P CP B P C

==

( ) ( ) ln n nE C E D E= =

0 0nddQ P↔= =

0 0ndW dE= ↔ =

38

- Kalor yang dilepas

Proses D-A : Adiabatik

maka

[ ]( ) ( )

D

out n nn C

ln n n

n

Q E dP

E P C P D

= −

= −

∑∫

∑

( ) ( )( ) ( )

m m

n n

P D P AP D P A

=

=

0 0nddQ P↔= =

39

Usaha total mesin

Efisiensi mesin

[ ] [ ]

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

C in outh ln n n n n n

n nh ln n n n

n

W Q Q

E P B P A E P C P D

E E P B P A

= −

= − − −

= − −

∑ ∑

∑

[ ]

[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( )

OO

inh ln n n n

nhn n n

n

WQ

E E P B P A

E P B P A

η =

− −=

−

∑∑

40

Ditinjau sistem dua keadaan n,m dengan m<n. Efisiensi mesin diperoleh :

[ ][ ]

[ ]

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1( ) ( )( ) ( )

l lg g g e e e

O h hg g g e e e

l l e eg e

g g

h h e eg e

g g

E P B P A E P B P A

E P B P A E P B P A

P B P AE E

P B P AP B P A

E EP B P A

η⎡ ⎤− + −⎣ ⎦= −⎡ ⎤− + −⎣ ⎦

−+

⎡ ⎤−⎣ ⎦= −−

+−⎡ ⎤⎣ ⎦

41

- Kemudian diperoleh

- Pada proses adiabatik diperoleh hubungandan

- Efisiensi mesin

1

1

l le g

O h he g

l

h

E EE E

η−

= −−

Δ= −

Δ

B B

C C

TT

Δ=

ΔA A

D D

TT

Δ=

Δ

1 1C DO

B A

T TT T

η = − = −

42

ILUSTRASI MESIN CARNOT KUANTUM

SISTEM DUA KEADAANPartikel dengan spin up dan spin down dipengaruhi medan eksternal . Hamiltonian sistem

( )0 0

0

|

| |

| |

| |

nH E n n

E E

B B

B

μ μ

μ

↑ ↓

= ⟨

= ↑ ⟨↑ + ↓ ⟨↓

= − ↑ ⟨↑ + ↓ ⟨↓

= − ↑ ⟨↑ − ↓ ⟨↓

B

43

Entropi sistem diperoleh

( )

( )

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

0

0

ln

( ln )

{ ln } { ln }

{ ln } { ln }

{ } ln { }

ln t

n nn

En En

n

En

n

E E

B B

B B B BB B

S k P lnP

e ekZ Z

ek En ZZ

e ek E Z E ZZ Z

k e B Z e B ZZ

k B e e Z e ee ek Z k B

β β

β

β β

βμ βμ

βμ βμ βμ βμβμ βμ

β

β β

βμ βμ

βμ

βμ

↑ ↓

− −

−

− −

↑ ↓

−

− −−

= −

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − − −

⎛ ⎞= − − − + − −⎜ ⎟

⎝ ⎠−

= − + − −

−= − − +

+= −

∑

∑

∑

( )0anh Bβμ

44

Maka

dengan i=A,B,C,D.

Efisiensi mesin

( )0 0( ) ln ( ) ( ) tanh ( )β μ β μ= − i iS i k Z i k B i B i

( )( ( ) ( ))( ( ) ( ))

1

CC

in

h l

h

l

h

WQT T S B S A

T S B S ATT

η =

− −=

−

= −

45

ILUSTRASI MESIN OTTO KUANTUM

SISTEM DUA KEADAANPartikel dengan spin up dan spin down dipengaruhi medan eksternal . Hamiltonian sistem

( )0 0

0

|

| |

| |

| |

nH E n n

E E

B B

B

μ μ

μ

↑ ↓

= ⟨

= ↑ ⟨↑ + ↓ ⟨↓

= − ↑ ⟨↑ + ↓ ⟨↓

= − ↑ ⟨↑ − ↓ ⟨↓

B

46

Kerja yang dilakukan

Kemudian diperoleh

Kalor yang diserap

( )[ ( ) ( )]

( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )]

h hO n n n n

n

h l h l

W E E P B P A

E E P B P A E E P B P A↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↓

= − −

= − − + − −

∑

1 1( )1 1h B l lO h lW

e eβ βΔ Δ⎛ ⎞= Δ − Δ −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

( ( ) ( ))

( ( ) ( ) ( ( ) ( )

1 11 1h h l l

hin n n n

h

h h

Q E P B P A

E P B P A E P B P A

e eβ β

↑ ↓↑ ↑ ↓ ↓

Δ Δ

= −

= − + −

⎛ ⎞= Δ −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∑

47

Sehingga efisiensi mesin :

0

1

h l

h

l

h

η Δ − Δ=

ΔΔ

= −Δ

48

MEMBANGUN MESIN CARNOT KUANTUMDARI MESIN OTTO KUANTUM

Mesin Carnotkuantum dapatdibangun darimesin-mesin Otto sangat kecil. B

�

Pe

A

D

C

Th

Tl

A

Pe

D

Pe

l

Pe= = B

Pe

C

Pe

h

Pe= =

B’

C’

49

Diambil satu siklus Otto sangat kecil. Karenalebar siklus sangatsempit maka

Kalor yang diserap dandilepas

�

Pe

B’

C’

A

D

T =TB’ h

T =TD l

A

Pe =D

PeB’

Pe =C’

Pe

A B h

C D l

T T TT T T

′

′

==

B

in n nAn

Q E dP′

= ∑ ∫D

out n nCn

Q E dP′

= −∑∫

50

Ditinjau sistem dua keadaan g,e denganacuan Eg=0 diperoleh

Ee (A-B’) terkait dengan Th dan perubahanprobabilitas dari menjadi

0

B B

in g g e eA A

B

e eA

Q E dP E dP

E dP

′ ′

′

= +

=

∫ ∫

∫

AeP 'B

eP

1ln 1e he

E kTP⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

0

D D

out g g e eC C

C

e eD

Q E dP E dP

E dP

′ ′

′=

= − −∫ ∫

∫

51

Ee (C-D’) terkait dengan Tl dan perubahanprobabilitas menjadi

Sehingga

'CeP D

eP

1ln 1e le

E kTP⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

' 1ln 1Ce

De

P

out l ePe

Q kT dPP⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

' 1ln 1B

e

Ae

P

in h ePe

Q kT dPP⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

52

Siklus Carnot tersusun atas siklus Otto sangatkecil identik dari awal lintasan A-D hingga B-C. Kalor yang diserap dan dilepas seluruh siklus

Proses adiabatik

1ln 1B

e

Ae

P

in h ePe

Q kT dPP⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

1ln 1Ce

De

P

out l ePe

Q kT dPP⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

A De eC B

e e

P P

P P

=

=

53

Sehingga

Usaha yang dilakukan

1ln 1

1ln 1

Be

Ae

Be

Ae

P

in h ePe

P

out l ePe

Q kT dPP

Q kT dPP

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫

1( ) ln 1B

e

Ae

in out

P

h l ePe

W Q Q

T T k dPP

= −

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

54

Efisiensi keseluruhan siklus Otto

1

in

h l

h

l

h

WQT T

TTT

η =

−=

= −

Sama dengan efisiensisiklus Carnot kuantum

55

PERBANDINGAN EFISIENSI MESIN CARNOT KUANTUM DAN MESIN OTTO KUANTUM

Kedua mesin ditinjau dalam kondisi yang sama, yaitu kedua mesin dikontakkan pada dua tandonyang sama (Th dan Tl) dan memiliki probabilitasyang sama pada dua proses adiabatiknya, seperti ditunjukkan oleh grafik

56

B’

�

Pe

A

D’ C’

Th

Tl

lPe

hPe

�h

�l

A’

C

T(A’)

T(C’)

57

Ditinjau sistem dua keadaan m,n dengan m<n. Kerja yang dilakukan siklus Carnot

Sedangkan kerja yang dilakukan siklus Otto

Dari grafik dapat dilihat untuk setiap nilai Pe

( ) ( ), ,h

e

le

C in out

P

h e l e eP

W Q Q

T P T P dP

= −

= Δ −Δ⎡ ⎤⎣ ⎦∫

( )B

e

Ae

P

O h l ePW dP

′

′= Δ − Δ∫

( , ) ( , )h e l e h lT P T PΔ −Δ ⟩ Δ −Δ

58

Sehingga diperoleh bahwa WC > WO.

Efisiensi mesin dengan meninjau efisiensi darimesin Otto

dengan menggunakan persamaan temperaturefektif diperoleh

1 lO

h

η Δ= −

Δ

( )( )

( )( )

1

1

1

1

ln 11

ln 1

ln 11

ln 1

ll e

Oh

h e

le

l

hh e

kT P

kT P

PTT P

η

−

−

−

−

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦= −⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞⎡ ⎤−⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦= − ⎜ ⎟⎡ ⎤−⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

59

Dengan menggunakan ekspansi deret Tylor

diperoleh

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1

ln 1 ln 1

ln 1l he e

l he e

l l he e el

P Pe

P P

P P PP

− −

−

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ≈ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥⎣ ⎦∂

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( )

1

1 1

1 1

1

ln 1 1 ln 1 ln 1ln 1 ln 1

1 ln ln 1

l he e

l he e

le

h l l he e e elh h P Pee e

l l he e el

P Pe

PP P P P

PP P

P P PP

−

− −

− −=

−

=

⎡ ⎤− ⎧ ⎫∂⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − −⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂− − ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦∂

60

Sehingga diperoleh

Dapat dihitung bahwa suku kedua padapersamaan di atas bernilai negatif, sehinggadiperoleh

( )

( )

( )

11 1 ln ln 1

11 ln ln 1

1ln ln 1

l hlO e el

h e e

l hl le el

h h e e

l hlC e el

h e e

T P PT P P

T T P PT T P P

T P PT P P

η

η

⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞∂ ⎪ ⎪= − + − −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦⎧ ⎫⎛ ⎞∂ ⎪ ⎪= − − − −⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

⎧ ⎫⎛ ⎞∂ ⎪ ⎪= − − −⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

1 1l lO C

h h

TT

η ηΔ= − < − =

Δ

61

KESIMPULANPada proses isotermal kuantum, energi dalamsistem tidak konstan melainkan berubahbergantung pada perubahan energi eigenpartikel.Efisiensi mesin Carnot kuantum dan mesin Otto kuantum memiliki bentuk yang sama denganmesin klasiknya masing-masing.Efisiensi mesin Carnot Kuantum lebih tinggidaripada efisiensi mesin Otto kuantum.(berbedadengan hasil kajian sebelumnya )

62

TERIMAKASIH