Krigeado y teoría del muestreo: Aplicaciones en metrología óptica y ...
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Qu es el krigeadoKrigeado como convolucin
AplicacionesConclusiones
Krigeado y teora del muestreoAplicaciones en metrologa ptica y en ubicacin ptima de sensores
Luis Miguel Snchez Brea
Departamento de pticaGrupo Complutense de ptica AplicadaUniversidad Complutense de Madrid
Facultad de Ciencias Fsicas, 2013
Luis Miguel Snchez Brea Krigeado y teora del muestreo 1 / 41
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Qu es el krigeadoKrigeado como convolucin
AplicacionesConclusiones
ndice
1 Qu es el krigeadoEstimacin de magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario
2 Krigeado como convolucinKrigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas
3 AplicacionesDifractometraProcesado de imgenesTomografaOptimizacin en la ubicacin de sensores
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Qu es el krigeadoKrigeado como convolucin
AplicacionesConclusiones
Magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario
Magnitudes con dependencia espacial
Medir en el espacio: sensores
No podemos podemos poner tantos como queremos: interpolar
Es necesario informacin adicional: correlacin espacial
cual es la temperatura en Mstoles?
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Qu es el krigeadoKrigeado como convolucin
AplicacionesConclusiones
Magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario
Proceso de medida
Campo de medida S . Se ubican N sensores en xi , i = 1, ...,N
Se obtienen los datos experimentales Z1(x1), Z2(x2), ZN(xN)Deseo conocer el valor en todo el campo de medida: Z (x)Z (x) = f (Zi ; otros parmetros)
Si conozco el proceso, ajuste a una funcin conocida: p. ej.
Z (x , y) = a J0(b
(x x0)2 + (y y0)2)
Si no lo conozco:Ajuste polinmico, splines, etc.
Interpolacin dependiente de la distanciaLuis Miguel Snchez Brea Krigeado y teora del muestreo 4 / 41
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Magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario
Estimacin de la incertidumbre
Al estimar el valor de una magnitud en un punto
es necesario conocer la incertidumbre en la estimacin!
La incertidumbre debera depender de:
Nmero de dispositivos de medida y de sus localizaciones.
Resolucin de los dispositivos de medida
Ruido: uctuaciones aleatorias de la cantidad medida
Correlacin espacial: la incertidumbre debe ser menor cerca de lossensores
El krigeado es la solucin
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Qu es el krigeadoKrigeado como convolucin
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Magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario
Qu es el krigeado
Familia de mtodos de estimacin lineal y ptima en el sentido delos mnimos cuadrados 1.Z (x) =
Ni=0 i (x) Zi
Considera el valor de las mediciones, la correlacin espacial, laprecisin de los dispositivos de medida y el ruido aleatorio.
Utiliza el variograma para medir la correlacin espacial.
Determina la incertidumbre asociada a la estimacin.
El krigeado (kriging) se desarroll originalmente para minera yciencias de la tierra2.
Estimaciones con medidas muy ruidosas, irregularmente distribuidasy, normalmente, pocos datos
Geoestadstica, climatologa, demografa, anlisis de epidemias, etc.Ms de 8000 referencias. Muchos artculos de aplicaciones.
1Christensen, R., "Linear Models for Multivariate, Time Series, and Spatial Data", Springer-Verlag (1985).
2Krige, D.G., "A statistical approach to some basic mine valuation problems on the witwatersrand", J. Chem.
Metall. Min. Soc. Afr. (1951), 119-139.
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Magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario
Denicin del variograma
Para realizar la interpolacin, el Krigeado considera la correlacin espacialmediante el variograma
2(h) =[Z (x + h) Z (x)] 2
=
1
|N(h)|
N(h)(Zi Zj)2
Zi , Zj : datos experimentales en posiciones xi y xjN(h) es el nmero de pares (xi , xj) cuya distancia es h
Asumimos que Z (x) es istropa (la correlacin espacial solo dependede la distancia) - no es necesario pero simplica la computacin.
Est relacionado con la covariancia C (h). Cuando Z (x) esestacionaria de segundo orden: (h) = C (0) C (h).
En el origen se mide las uctuaciones aleatorias3: s =(0).
3Sanchez-Brea, L. M. and Bernabeu, E., On the standard deviation in charge-coupled device cameras: A
variogram-based technique for nonuniform images, J. Elect. Imaging (2002), 121-126
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Magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario
Tipos de variograma
La forma del variograma es muy importante para la interpretacin de losdatos y para la estabilidad del algoritmo
Variograma constante- (h) = s2
- Fenmeno aleatorio
- Sin correlacin espacial
Variograma esfrico
- (h) =
s2 + B(3h2a
h3
2a3
)B
h ah > a
- Fenmenos continuos pero no diferenciables
- Comportamiento lineal en el origen
Variograma potencial- (h) = s2 + A2
hp- Fenmenos no estacionarios
- 0 < p 2
Variograma gaussiano- (h) = s2 + A2
{1 exp
[ 12
(hB
)2]}- Fenmenos continuos y diferenciables
- Comportamiento cuadrtico en el origen
El variograma se debe conocer a priori o extraer de los datosexperimentales
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Magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario
Variograma tpico
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Magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario
Ecuaciones del krigeadoEstimacin
Seal con variacin espacial + ruido: Z (x) = Z0(x) + e(x)
Se asume linealidad: Z (x) =Ni=1i (x)Zi i (x)?
Se asume insegadez (unbiadness):N
i=0 i (x) = 1
Se minimiza el error: 2k(x) = E{
[Z (x) Z0(x)]2}
- Lagrange
Clculo de los pesos: T (x) = [ + 1H g ]T 1
(x) = [1(x), , N(x)] = [(x x1), , (x xN)]Ti,j = (xi xj)H =
(1T11
)1g =
(1 1T1
)Incertidumbre: 2k(x) =
T1 gT H g
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Magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario
Modicaciones al krigeado
La incertidumbre no coincide con la denicin estndar en x = 0:
2 = I 2 +s2
N
Falta incluir la precisin de aparatos de medida
Modicaciones realizadas:4:
= (0)/2i,j i,j = i,j (0) i,j Ii Ij
Si ubicamos N sensores en x = 0 entonces:
2(x) = I 2 +s2
N+ 2 [ (|x|) (0)]
4Sanchez-Brea, L. M. and Bernabeu, E., "Determination of the optimum sampling frequency of noisy images
by spatial statistics", Applied Optics (2005), 32763283.
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Magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario
Ejemplo del krigeadosin ruido
Baja frecuencia de muestreo Alta frecuencia de muestreo
En comparacin con la longitud de correlacin del variograma
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Magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario
Ejemplo del krigeadoSeales 1D
Estimacin Error
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Magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario
Ejemplo del krigeadoSeales 1D
Estimacin Error
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Krigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas
Krigeado por convolucin
Problemas con el tiempo de computacin: se requieren inversas dematrices con tamao igual al nmero de puntos: Inviable paraprocesado de imgenes
Para mediciones regularmente distribuidas el krigeado se comportacomo una convolucin: ~k(x) = (x) (x x~k)
Z (x) =Ni=1i (x)Zi , Z (x) = (x) (x)
Kernel de convolucin (x)Datos medidos (x) =
~k (x x~k)Z~k .
Posiciones de sensoresx~k = (x0 + ~kx)
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Krigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas
Kernel de convolucin
Estimacin: (x)
1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x (arb. u.)
(x
)
Incertidumbre: DM(x)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x (arb. u.)
DM
(x
)
Los kernels de convolucin dependen del variograma: longitud decorrelacin, nivel de ruido, rango de la medida, etc.
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Krigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas
Ejemplo del krigeado - seales 2D
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Krigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas
Teorema de Shannon
Funciones innitamente muestreadas de forma regular
Seales de banda limitada (sin ruido)
Si la frecuencia de muestreo es mayor que 2 veces la frecuencia de laseal sampling > 2signal
Reconstruccin perfecta
Z (x) = (x) (x)
funcin de muestreo(x) =
i (x x0 + ix)Zikernel de convolucin (x) = sinc(2x/x)
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Krigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas
Estimacin con krigeado de seales sinusoidales
Seal sinusoidal: Zi = sin(2x) + r1 + r2,
r1 distribucin de probabilidad aditiva gaussiana con media 0 y
desviacin estndar s. Representa uctuaciones aleatorias de la
cantidad medida.
r2 distribucin de probabilidad aditiva uniforme entre [Ai ,Ai ].Representa la resolucin de dispositivos de medida con desviacin
estndar Ii = Ai/3.
Se vara la frecuencia del muestreo y la amplitud del ruido
Se calcula el error mximo proporcionado por el krigeado, , (sincontar los bordes)
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Incertidumbre estimada por krigeado
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Krigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas
Determinacin de DM(x) y NEQ(x)
Incertidumbre - sin dependencia espacial: 2 = I 2 + s2
N,
Se asume una funcin similar: 2k(x) = I2 + s
2
NEQ(x)
Determinacin de NEQ : NEQ(x) =s2
2k
(x)I2 ,
Incertidumbre Krigeado ordinario - 1 medidas:2k(x) = I
2 + 2 (|x|) (0),
Para solamente una medicin: DM(x) = (0)2(x)(0) .
Funcin de Medida Distribuida: aumento de la informacin en
localizaciones cercanas a la medida. DM(0) = 1.Decrece con la distancia, considerando que tambin lo hace la
correlacin espacial.
Para una distribucin de sensores - linealidad:
2C (x) = I2 + s
2
DM(x)
(x) ,
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Clculo analtico I
Seal sinusoidal f (x) = A sin(2x/p)
Se calcula el variograma:(h) = s2 + A2sin2(h/p) s2 + h2/[p/(A)]2
Se calcula DM(x): DM(x) = 11+22(Ahsp )
2
Se calcula NEQ(x): NEQ(x) =
2sp
Ax sinh(
2spAx
)cosh
(2sp
Ax
)cos[2( xx0x )]
Separacin entre sensores: x .
Se calcula la incertidumbre:
2(x) = I 2 +2s2
cosh(
2NSNR
)cos[2(xx0)]
NSNR sinh
(2NSNR
)Bajo muestreo: 2(x) I 2 + s2 + 2
(AN
)sin2 [ (x x0)]
Alto muestreo: 2(x) I 2 +2AsN
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Krigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas
Calculo Analtico II
Frecuencia de muestreo para un nivel de incertidumbre umbral max :5
2max = I2 +2s2 SNRN coth
(N2SNR
)N = lc/x SNR = A/s
max (/N , s)
5Sanchez-Brea, L.M. and Siegmann, L.M., "Analytical determination of the uncertainty and the optimum
sampling frequency for one-dimensional images with noise.", Appl Opt (2008), 63506356.
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Krigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas
Correccin de las ecuaciones
Para variogramas estacionarios: MD(x) 9 0 cuando x .
Para zonas lejanas: C () = I 2 + (s2 + 2A2)/N
Se modican las ecuaciones de la incertidumbre:2CN(x) = I
2 + s2
NEQNORMALIZADO(x)+NEQRESIDUAL,
NEQNORMALIZADO (x) = DMN (x)
(x)
NEQRESIDUAL =(0)()
DMN (x) =DM(x)DM()
1DM()
2CN(0) I 2 + s2
N
2CN() = I 2 + s2 + A2,
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Krigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas
Ejemplos
Eliminacin del sensor central
NEQ(x) (x)
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Krigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas
Ejemplos
10 sensores en el centro
NEQ(x) (x)
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Krigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas
Ejemplos
Medidas irregularmente distribuidas
NEQ(x) (x)
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Krigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas
Ejemplos
Extrapolacin en los bordes
NEQ(x) (x)
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DifractometraProcesado de imgenesTomografaOptimizacin en la ubicacin de sensores
Aplicaciones: por n
Estimacin de mnimos de difraccin
Filtrado de ruido en imgenes
Aplicacin en tomografa
Ubicacin ptima de sensores
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DifractometraProcesado de imgenesTomografaOptimizacin en la ubicacin de sensores
Estimacin de mnimos de difraccin
Difractometra por hilos nos6
D sin() = n?
Mnimos de difraccin Zona de alto contraste
6Bernabeu, E. and Serroukh, I. and Sanchez-Brea, L. M., "Geometrical model for wire optical diraction
selected by experimental statistical analysis", Optical Engineering (1999), 13191325.
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DifractometraProcesado de imgenesTomografaOptimizacin en la ubicacin de sensores
Filtrado de imgenes: shadow moir
Eliminacin de ruido de cmaras CCD7
7Sanchez-Brea, L. M. and Bernabeu, E., "Determination of the optimum sampling frequency of noisy images
by spatial statistics", Applied Optics (2005), 32763283.
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DifractometraProcesado de imgenesTomografaOptimizacin en la ubicacin de sensores
Aplicacin a tcnicas tomogrcas I
Tcnicas tomogrcas para determinar la respuesta espacial de detectoresacoplados a antenas pticas en el visible8
Tcnica experimental
8Rico-Gara, J.M. and Sanchez-Brea, L.M. and Alda, J., "Application of tomographic techniques to the
spatial-response mapping of antenna-coupled detectors in the visible", Applied optics (2008), 768775.
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DifractometraProcesado de imgenesTomografaOptimizacin en la ubicacin de sensores
Aplicacin a tcnicas tomogrcas II
Tcnicas tomogrcas para determinar la respuesta espacial de detectoresacoplados a antenas pticas en el visible
Resultado con Golay
Resultado con KrigingLuis Miguel Snchez Brea Krigeado y teora del muestreo 33 / 41
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DifractometraProcesado de imgenesTomografaOptimizacin en la ubicacin de sensores
Particle swarm optimization (PSO)
Mtodo computacional que optimiza un problema de forma iterativaa partir de una medida de la calidad a partir de una funcin objetivoSe puede calcular a priori el nmero de sensores requerido para uncampo determinadoSe utiliza la incertidumbre para direccionar a los sensoresObjetivo: La incertidumbre debe ser lo ms uniforme posibleLa velocidad con el kriging por convolucin aumenta grandemente
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DifractometraProcesado de imgenesTomografaOptimizacin en la ubicacin de sensores
Ejemplo de optimizacin de ubicacin de sensores I
7 sensores 15 sensores
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flecha2.aviMedia File (video/avi)
flecha1.aviMedia File (video/avi)
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Ejemplo de optimizacin de ubicacin de sensores II
poco a poco
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anillo.aviMedia File (video/avi)
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Ejemplo de optimizacin de ubicacin de sensores III
7 sensores 14 sensores 34 sensores
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hexagono1.aviMedia File (video/avi)
hexagono2.aviMedia File (video/avi)
hexagono3.aviMedia File (video/avi)
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Conclusiones
Se ha comparado Kriging, una tcnica de estimacin de magnitudescon dependencia espacial con la teora del muestreo para el caso desensores regularmente distribuidos.
Se ha obtenido una versin por convolucin del kriging: mejoramucho la velocidad de computacin y el signicado del proceso demedida con dependencia espacial.
En lugar de la funcin sinc(x), el kernel de convolucin (x) ltra elruido y considera la correlacin espacial.
Adicionalmente es posible obtener la incertidumbre en la medida
Como una convolucin. El kernel de convolucin es la funcin
MD(x).
Se ha generalizado la tcnica para sensores irregularmentedistribuidos.
Se ha aplicado a diversos problemas en el rea de ptica:difractometra, reconstruccin de imgenes y ubicacin de sensores.
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Referencias I
Bernabeu, E., Serroukh, I., and Sanchez-Brea, L. M. (1999).
Geometrical model for wire optical diraction selected by experimental statistical analysis.Optical Engineering, 38(8):13191325.
Bevington, P. and Robinson, D. (1992).
Data reduction and error analysis for the physical sciences.McGraw-Hill New York.
BIPM, I., IFCC, I., and IUPAC, I. (1995).
Oiml. guide to the expression of uncertainty in measurement.International Organization for Standardization, Geneva. ISBN, pages 9267.
Chils, J. and Delner, P. (1999).
Geostatistics: modeling spatial uncertainty.Wiley series in probability and statistics (Applied probability and statistics section).
Christensen, R. (1985).
Linear Models for Multivariate, Time Series, and Spatial Data.Springer-Verlag, Berlin.
Cressie, N. (1993).
Statistics for Spatial Data, revised edition, volume 928.Wiley, New York.
Cressie, N. A. C. (1986).
Kriging nonstationary data.J. Am. Stat. Assoc., 81(395):625634.
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Referencias II
Krige, D. (1951).
A statistical approach to some basic mine valuation problems on the witwatersrand.J. Chem. Metall. Min. Soc. Afr., 52:119139.
Leung, W., Bones, P., and Lane, R. (2001).
Statistical interpolation of sampled images.Optical Engineering, 40(4):547553.
Mainy, D., Nectoux, J., and Renard, D. (1996).
New developments in data processing of noisy images.Materials Characterization, 36(4):327334.
Rico-Garca, J., Sanchez-Brea, L., and Alda, J. (2008).
Application of tomographic techniques to the spatial-response mapping of antenna-coupled detectors in thevisible.Applied optics, 47(6):768775.
Sanchez-Brea, L. and Bernabeu, L. (2006).
Uncertainty estimation by convolution using spatial statistics.IEEE Trans Image Process, 15(10):31313137.
Sanchez-Brea, L. and Siegmann, L. (2008).
Analytical determination of the uncertainty and the optimum sampling frequency for one-dimensionalimages with noise.Appl Opt, 47(34):63506356.
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Referencias III
Sanchez-Brea, L., Torcal-Milla, L., and Bernabeu, E. (2007).
Variogram-based method for contrast measurement.Appl Opt, 46(22):50275033.
Sanchez-Brea, L. M. and Bernabeu, E. (2002).
On the standard deviation in charge-coupled device cameras: A variogram-based technique for nonuniformimages.Journal of Electronic Imaging, 11(2):121126.
Sanchez-Brea, L. M. and Bernabeu, E. (2005a).
Determination of the optimum sampling frequency of noisy images by spatial statistics.Applied Optics, 44(16):32763283.
Sanchez-Brea, L. M. and Bernabeu, E. (2005b).
Eect of noise in the estimation of magnitudes with spatial dependence: A spatial statistics technique basedon kriging.Noise and Fluctuations, 780:811814.
Sanchez-Brea, L. M. and Bernabeu, E. (2005c).
Estimation of the standard deviation in three-dimensional microscopy by spatial statistics.Journal of Microscopy-oxford, 218:193197.
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Krigeado como convolucinKrigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas
AplicacionesDifractometraProcesado de imgenesTomografaOptimizacin en la ubicacin de sensores