l Hopital

REGLA DE L'HPITAL

En cursos anteriores, al estudiar lmites de funciones, aparecen lasindeterminaciones

e 00

y se aprenden los artificios necesarios para resolverlas.Generalmente, surgen en lmites de funciones racionales, ya sean en un puntofinito o en el infinito.Pero, cmo resolver la indeterminacin ?.

xd0lim sen xx

En estos casos suele aplicarse la regla de L'Hpital , que establece:

Sean f y g dos funciones derivables tales que existe

el .xdalimf (x)g (x)

Si el , entoncesxdalimf(x)g(x) = 00 o

OBSERVACIN: Se derivan, simultneamente, el numerador y denominador de la expresin. Un error muy frecuente es aplicar la derivada de un cociente.

Calcular los siguientes lmites:

a) b) c) xd0lim sen xx xd0lim

sen 3xsen 4x xd0lim

tg xx

I.E.S."BAJO GUADALQUIVIR" LEBRIJADPTO. DE MATEMTICAS

APLICACIONES DE LA DERIVADA 101

xdalimf(x)g(x) = xdalim

f (x)g (x)

Ejemplo 38.3

Solucin .-

No olvidemos que, ante todo, debe comprobarse si se trata o no de una indeterminacin.

a) xd0lim sen xx = 00 = xd0lim cos x1 = 11 = 1

b) xd0lim sen 3xsen 4x = 00 = xd0lim 3 cos 3x4 cos 4x = 3 $ 14 $ 1 = 34

c) xd0lim

tg xx = 00 = xd0lim

1 + tg2x1 = 11 = 1

OBSERVACIN : Puede ocurrir que al aplicar la regla de L'Hpital nos encontremos nuevamente con una indeterminacin. En este caso, volveremos a aplicarla .

Calcular por dos mtodos el siguiente lmite:

xd1limx3 + 3x2 + 3x + 1

x2 + 2x + 1Solucin .-

Se trata de una indeterminacin del tipo 00 .

Mtodo 1 .- Aplicando la regla de Ruffini.

xd1lim

x3 + 3x2 + 3x + 1x2 + 2x + 1 =

00 =

xd1= lim

(x + 1)3(x + 1)2 =xd1lim (x + 1) = 0



Ejemplo 39.3

-1

1 3 3 1

-1 -2 -1

01 2 1

-1 -1 -1

1 1 0

Mtodo 2 .- Aplicando la regla de L'Hpital .

xd1limx3 + 3x2 + 3x + 1

x2 + 2x + 1 =00 =xd1lim 3x

2 + 6x + 32x + 2 = 00 =xd1lim 6x + 62 = 0

OBSERVACIN : La frmula de L'Hpital es vlida tanto si a es finito como infinito.

Calcular por dos mtodos el lmite siguiente:

xdlimx3 + 6x2 12x3 7x + 6

Solucin .-

Mtodo 1 .- Recordemos que para el clculo de lmites en el infinito de funciones racionales, slo haba que tener en cuenta los trminos de mayor grado.

xdlimx3 + 6x2 12x3 7x + 6 =xdlim x

3

2x3 = 12

Mtodo 2 .- Con la regla de L'Hpital.

xdlimx3 + 6x2 12x3 7x + 6 = =xdlim 3x

2 + 12x6x2 7 = =

= xdlim6x + 12

12x = =xdlim 612 = 612 = 12

OBSERVACIN : En algunos casos, tras aplicar la regla de L'Hpital basta con sustituir x por el valor al que tiende para obtener el resultado del lmite.

Calcular .xd0lim

arc tg 2xarc tg 3x



Ejemplo 40.3

Ejemplo 41.3

Solucin .-

xd0lim

arc tg 2xarc tg 3x = 00 = xd0lim

11 + 4x2 $ 2

11 + 9x2 $ 3

= 23

OBSERVACIN : Otras veces interesa simplificar todo lo posible antes de sustituir.

Calcular .xd1lim ln

(x2 1)ln(x 1)

Solucin .-

La funcin logartmica neperiana no estdefinida para x = 0 , pues su dominio es

.(0,+)Sin embargo, observando la grfica vemosque

xd0+lim ln x =

Por lo tanto:

xd1lim ln

(x2 1)ln(x 1) =

= xd1lim2x

x2 11

x 1= = xd1lim

2x(x 1)x2 1 = xd1lim

2xx + 1 = 1

Calcular los siguientes lmites:

a) b) c) xd0lim 5

x 1x xd0lim

3x 2xx xd0lim

3x 12x 1



Ejemplo 42.3

X

Y

y = ln x

1

Ejemplo 43.3

Solucin .-

a) xd0lim 5

x 1x = 00 = xd0lim 5

x $ ln 51 = ln 5

b) xd0lim 3

x 2xx = 00 =xd0lim 3

x $ ln3 2x $ ln21 = ln3 ln2 = ln 32

c) xd0lim 3

x 12x 1 = 00 = xd0lim 3

x $ ln 32x $ ln 2 = ln 3ln 2

OBSERVACIN : Si se aplica reiteradamente la regla de L'Hpital sin asegurarse de que se trata de una indeterminacin, se cometer un grave error.

Hay un error en el siguiente clculo. Encuntralo y corrgelo.

xd2lim x

2 5x + 6x2 3x + 2 = xd2lim

2x 52x 3 = xd2lim 22 = 1

Solucin .-

El error se comete en el segundo paso, pues no hay indeterminacin.

xd2lim x

2 5x + 6x2 3x + 2 =

00 = xd2lim 2x 52x 3 = 11 = 1

Existen un total de siete indeterminaciones:



Ejemplo 44.3

00 , [

] , [ ] , [0 $] , [00 ] , [0 ] , [1 ]

La regla de L'Hpital resuelve directamente las dos primeras.Mediante transformaciones algebraicas pueden reducirse las dems a los tipos y, a continuacin, aplicar la regla.00 o

INDETERMINACIN : Suele resolverse convirtiendo la diferencia en[] fraccin.

Calcular:

a) b) xd 2lim (sec x tg x)

xd1lim 1x 1 1ex1 1

Solucin .-

a) xd 2lim (sec x tg x) = [ ] =

xd 2lim 1cos x sen xcos x =xd 2lim

1 sen xcos x =

= 00 =xd 2lim cos xsen x = 01 = 0

b) xd1lim 1x 1 1ex1 1 = [ ] = xd1lim

ex1 x(x 1)(ex1 1) =

00 =

= xd1lim e

x1 1ex1 1 + (x 1)ex1 = xd1lim

ex1 1xex1 1 =

00 = xd1lim e

x1ex1 + xex1 = 12

INDETERMINACIN Un producto se puede transformar en cociente[0 $] : de dos formas:

f(x)g(x) = f(x)

1g(x)

= g(x)1f(x)

Utilizaremos la que sea ms cmoda para derivar.



Ejemplo 45.3

Calcular:

a) b) xd0lim x $ cot 2x

xd1lim (x 1) ln(x 1)

Solucin .-

a) xd0lim x $ cot 2x = [0 $] =

xd0lim x1

cot 2x=

xd0lim xtg 2x = 00 =

= xd0lim 1(1 + tg22x) $ 2 =

12

b) xd1lim (x 1) ln(x 1) = [0 $] =

xd1lim ln

(x 1)1

x1= =

= xd1lim

1x 11

(x 1)2=

xd1lim

(x 1)2(x 1) = xd1lim (1 x) = 0

INDETERMINACIN : Supongamos que vamos a calcular el[00 ] y resulta que =xdalim f(x)

g(x)xdalim f(x)

= xdalim g(x) = 0. Llamamos L al lmite buscado, es decir

L = xdalim f(x)g(x)

A continuacin sacamos logaritmo y, recor- dando que el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base, la indeterminacin se convierte en .[0 $]

En efecto:

ln L = xdalim ln f(x)g(x) = xdalim g(x) ln f(x) = [0 $]



Ejemplo 46.3

Calcular:

a) b) xd0

lim xxxd0lim x

1ln(ex 1)

Solucin .-

Una vez comprobado que se trata de una indeterminacin del tipo ,[00]se procede as:

a) Sea L = . Sacando logaritmos tendremos:xd0lim xx.

ln L = xd0lim ln xx =

xd0lim x $ ln x = [0 $ ()] =

xd0lim ln x1

x= =

= xd0lim

1x

1x2=

xd0lim x2x = xd0lim (x) = 0

Por ltimo, aplicando la definicin de logaritmo:

ln L = 0 e L = e0 = 1 exd0lim xx = 1

b) ln L = xd0

lim ln x1

ln(ex 1) =xd0lim 1ln(ex 1) $ ln x = xd0lim

ln xln(ex 1) =

= xd0lim

1x

1ex 1 $ex

=xd0lim e

x 1xex = 00 = xd0lim e

x

ex + xex = 1

Al ser ln L = 1 , entonces L = .e1 = e

INDETERMINACIN : Se resuelve con el mismo procedimiento que[0] la indeterminacin .[00]



Ejemplo 47.3

Calcular:

a) b) xd0lim 1x

tg x

xdlimx x2

Solucin .-

a) . Sea L el valor de dicho lmite, entoncesxd0lim 1x

tg x = [0 ]

ln L = xd0lim ln 1x

tg x =xd0lim tg x $ ln 1x = [0 $] = xd0lim

ln 1x1

tg x=

= xd0lim

ln 1xcot x = = xd0lim

x $ 1x2 1sen2x

=xd0lim

1x 1sen2x

=xd0lim sen

2xx =

= 00 = xd0lim 2sen x cos x1 = 0

Aplicando la definicin de logaritmo:

ln L = 0 e L = e0 = 1 exd0lim 1x

tg x = 1

b) . Sea L el valor del lmite buscado, entonces:xdlimx x2 =xdlim x

2x = [0]

ln L = xdlim ln x2x =xdlim 2x $ ln x =xdlim 2 ln xx = =xdlim

2 $ 1x1 = 0

Por lo tanto, L = .e0 = 1

INDETERMINACIN : Las tres indeterminaciones de tipo potencial[1 ] se resuelven con el mismo procedimiento.



Ejemplo 48.3

Calcular:

a) b) c) xdlim 1 + 1xx

xdlimx + 1x 1

2x+3xd0lim (1 + ax) bx

Solucin .-

Se comprueba que corresponden a indeterminaciones del tipo .[1 ]

a) ln L = xdlim ln 1 + 1xx =xdlim x $ ln 1 + 1x = [ $ 0] =

= xdlimln 1 + 1x

1x

= 00 =xdlim1

1 + 1x $1x2

1x2=xdlim 11 + 1x

= 1

Por lo tanto, L = e .

b) ln L = xdlim lnx + 1x 1

2x+3 =xdlim (2x + 3) $ ln x + 1x 1 = [ $ 0] =

= xdlimln x + 1x 1

12x + 3

= 00 =xdlimx 1x + 1 $ 2(x 1)2

2(2x + 3)2

=xdlim 2(2x + 3)2

2(x2 1) =

= .xdlim4x2 + 12x + 9

x2 1 = 4 e L = e4

c) ln L = =xd0lim ln(1 + ax) bx =

xd0lim bx $ ln(1 + ax) = xd0lim

b ln(1 + ax)x = 00

= xd0lim

b $ 11 + ax $ a1 = ba

En definitiva, ln L = ba y, por lo tanto, el lmite buscado es

L = eba



Ejemplo 49.3

Calcular el valor de k para que el

xdlimx + kx

3x = e6Solucin .-

Se trata de una indeterminacin del tipo . Sea L el valor del lmite.[1 ]

ln L = xdlim lnx + kx

3x =xdlim 3x $ ln x + kx = [ $ 0] =xdlimln x + kx

13x

= 00 =

= .xdlimx

x + k $ kx2 13x2

=xdlim 3kx2

x2 + kx = 3k

Por lo tanto, ln L = 3k y , en consecuencia, L = .e3k

Como el resultado del lmite debe ser , entoncese6

e3k = e6 g 3k = 6 g k = 2

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Ejemplo 50.3

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