L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE...
-
Upload
monica-orpi-mane -
Category
Education
-
view
133 -
download
0
Transcript of L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE...
![Page 1: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/1.jpg)
• L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS
• ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ
A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES
DE LES FUNCIONS.
• ESTUDI EXHAUSTIU DE LES
FUNCIONS POLINÒMIQUESAutora: Mònica Orpí i Mañé
MATEMÀTIQUES
![Page 2: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/3.jpg)
https://twitter.com/PorquesNatura/status/821065866146185216?s=03
![Page 4: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/4.jpg)
Què entem per funció ? Definició : Definim funció o aplicació qualsevol terna (A,B, f ) formada per dos conjunts no buits A i B i una correspondència f entre ells que assigna a cada element x ∈ A un únic element y = f (x) ∈ B.
A f B
El conjunt A s’anomena domini de la funció i s’escriu A=Domf . B és el conjunt d’arribada de la funció i s’anomena Recorregut de f o Rang de f
Si (A,B, f ) és una funció, direm que f és una funció de A en B i s’escriu
f
f : A →B o bé A → B.
a
b
c
c
d g
e f
![Page 5: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/5.jpg)
Una aplicació curiosa de les funcions
Civilització India: (300 a.C)Apareix ja un ús que encara és molt actual de les funcions :
L’Encriptació de codis o del llenguatge
Apareix en el llibre del Kama Sutra. En aquest llibre es recomana a les dones que han d'aprendre 64 arts com el de cuinar, saber vestir-se, etc.
"mlecchitavikalpa“ o l'art de l'escriptura secreta, era en definitiva una funció.
Aquesta funció ajudava a les dones a ocultar els detalls de les seves relacions amoroses. Tot i que era una senzilla substitució, que consistia en intercanviar l'abecedari, va ser la base per a consolidar altres
mètodes posteriors d’encriptacions més sofisticats, que van ser molt útils posteriorment per a la correspondència en temps de guerres,
amb l’objectiu de despistar l’enemic
![Page 6: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/7.jpg)
Una manera d’encriptar que practicarem
després …
![Page 8: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/8.jpg)
Màquinaenigma
![Page 9: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/10.jpg)
Per tant....
Per això i per milions de raons més..
És terriblement útil “MATEMATITZAR” el
llenguatge de les funcions
![Page 11: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/11.jpg)
Domini i recorregut d’una funció
El conjunt dels valors reals de la variable independent que tenen per imatge un
nombre real constitueixen el domini de la funció (Df ).
El conjunt de totes les imatges reals de la funció és el recorregut o rang de la
funció.
Exemples:
o
![Page 12: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/12.jpg)
Exemple pràctic de funcions
29'46'19 th
29'46'19)( ttf
09'46'19 2 t
![Page 13: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/13.jpg)
Gràfica de h(t) :
2,020 tRtD f
6'19,0)( ff DtRtfR
![Page 14: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/14.jpg)
Repàs de les sessions anteriors
Tipus de funcions i les seves corresponents gràfiques :
1. Les funcions polinòmiques
- La funció constant f(x)=k ( Gràfica b)
- La funció lineal f(x)=ax
- La funció afí f(x)=ax+b (Gràfica a)
- La funció quadràtica f(x)=a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (Gràfica c)
- Les funcions polinòmiques en general (Gràfica d)
- d)
![Page 15: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/15.jpg)
Tipus de funcions :
Funcions polinòmiques
Les funcions polinòmiques són del tipus f(x) = P(x), on P(x) és un polinomi.
En són exemples la funció lineal, la funció afí i la funció quadràtica.
cbxaxxf 2)(
),( RD f
![Page 16: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/16.jpg)
Gràfica general d’una funció polinòmica
![Page 17: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/20.jpg)
𝑓 𝑥 = 𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥g 𝑥 = −(𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥)
Val la pena observar la relació entre la factorització del polinomi i la
gràfica
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 2(𝑥 − 0)(𝑥 − 1)
![Page 21: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/21.jpg)
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/MenuCalc/PoliMenuCalcpag.html
![Page 22: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/22.jpg)
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/MenuCalc/PoliMenuCalcpag.html
![Page 23: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/24.jpg)
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/MenuCalc/PoliMenuCalcpag.html
![Page 25: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/26.jpg)
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/MenuCalc/PoliMenuCalcpag.html
![Page 27: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/27.jpg)
![Page 28: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/28.jpg)
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/MenuCalc/PoliMenuCalcpag.html
![Page 29: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/29.jpg)
Exemple 9 (signe positiu) Exemple 10 (signe positiu)
Com talla l’eix d’abscisses en funció de la multiplicitat ?
![Page 30: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/30.jpg)
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/PoliFacto/PoliFacto42pag.html
Què passa si tant sols canviem el
signe del polinomi ?
Exemple 9 (signe positiu)
Exemple 9 (signe negatiu)
![Page 31: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/31.jpg)
Exemple 10 (signe positiu)
Exemple 10 (signe negatiu)
![Page 32: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/32.jpg)
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/Multiplicitat/Multiplicitatpag.html
![Page 33: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/33.jpg)
Sabries fer-ne la gràfica, tant sols amb la
seva expressió algèbrica ?
Exemple 12Exemple 11
![Page 34: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/34.jpg)
Exemple 11
Exemple 12
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/PoliGenral/PoliGeneralpag.html
![Page 35: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/35.jpg)
Exemple 13
Sabries ara deduir l’expressió de la funciópolinòmica ???
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/Graform/GraForm40pag.html
![Page 36: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/36.jpg)
Exemple 14
Solució Exemple 13
![Page 37: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/37.jpg)
Solució Exemple 14
Exemple 15
![Page 38: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/38.jpg)
Solució ?????
Solució Exemple 15
Exemple 16
![Page 39: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/39.jpg)
![Page 40: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/40.jpg)
…
Si 𝑥1 i 𝑥2 són les solucions d’una equació de 2n grau 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 aleshores es compleix
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐= -b/a𝒙𝟏 · 𝒙𝟐= c/a
Pot servir per comprovar les solucions (arrels) però també per trobar-les, si ho plantegem som un sistema d’incògnites 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
![Page 41: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/41.jpg)
Això també passa per polinomis de qualsevol grau:
= −𝟏 𝒏𝑳
𝑨
![Page 42: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/42.jpg)
![Page 43: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/43.jpg)
N=3 A=-1 B=-2 C=1 D=L=2
Si sumo totes les arrels m’ha de donar –B/A= –(-2)/-1=-2 1+(-1)+(-2)=-2
Si multiplico les arrels de dos en 2 m’ha de donar C/A : 1(-1)+1(-2)+ (-1)(-2)=1/(-1)=-1
Si multiplico les arrels de 3 en 3, i en aquest cas acabo perquè n=3 m’ha de donar (-1)^3L/A
1(-1)(-2)=(-1)2/(-1)=2
= −𝟏 𝒏𝑳
𝑨= −𝟏 𝒏𝑳
𝑨
![Page 44: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/44.jpg)
Pensa que aquest mètode també pot ser
útil per trobar les arrels quan Ruffini no
funciona, plantejant un sistema de 3
equacions i 3 incògnites. Quin sistema
plantejaries ??
N=3 A=-1 B=-2 C=1 D=L=2
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −2
𝑥1 · 𝑥2 + 𝑥1 · 𝑥3 + 𝑥2 · 𝑥3 = −1𝑥1 · 𝑥2 · 𝑥3 = 2
![Page 45: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/45.jpg)
En aquesta sessió i la següent, aprofundirem
de les funcions utilitzant el concepte del límit,
però abans, parlarem de l’infinit :
![Page 46: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/46.jpg)
![Page 47: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/47.jpg)
https://www.geogebra.org/m/CDxTBegn
![Page 48: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/48.jpg)
• És un concepte,
• Una cosa que no acaba
• Signe que indica que no hi ha fi
• Quelcom que no es pot assolir / Quelcom incalculable ?
• Pot haver infinits més grans que altres ? 0,1 0,2 𝑠ó𝑛 ∞ 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑠 ?
• Que no té principi ni fi / Sempre té el mateix valor ??
• …
CONCLUSIÓ : Quelcom que s’escapa de la imaginació, motius
pel qual és el protagonista de famoses paradoxes
![Page 49: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/49.jpg)
L’HOTEL DE HILBERT
L’Hotel de Hilbert és un hotel especial, amb el sentit que té infinites
habitacions. A més, té un cartell eslògan que hi posa “ Sempre tenim
habitació per tothom”. Cadascuna de les habitacions estan numerades
amb els nombres naturals : 1, 2, 3,4 …
![Page 50: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/50.jpg)
Imaginat per un moment que està tot ple i que en cadascuna de les
habitacions numerades hi ha una persona i que aquesta té la clau amb el
número de l’habitació que està ocupant.
Situació 1 : Imaginat que ve una persona, com ho fa el per tal d’encabir-la ??
Condicions :
1. No podem fer fora a ningú
2. Tots els hostes han de tenir clar quin serà el número d’habitació que li
correspon
3. No poden compartir habitació
![Page 51: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/51.jpg)
Solució Situació 1 :
Habitació n va a l’habitació n+1
![Page 52: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/52.jpg)
![Page 53: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/53.jpg)
Mentre es pugui fer una bijecció 1 a 1 són
del mateix tamany0,1
0, 2
![Page 54: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/54.jpg)
Situació 2 : Imaginat que ve un
grup de k persones, com ho farà el
recepcionista per tal d’encabir-les?Condicions :
1. No podem fer fora a ningú
2. Tots els hostes han de tenir clar quin
serà el número d’habitació que li
correspon
3. No poden compartir habitació
![Page 55: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/55.jpg)
Situació 3 : Imaginat que ve un grup d’infinites persones
numerades, com ho farà ara el recepcionista per tal
d’encabir-les?
Solució Situació 2:
Habitació n va a l’habitació n+k
![Page 56: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/56.jpg)
Li diem als antics hostes que vagin al número d’habitació que resulti de
multiplicar per 2 l’habitació que ocupaven:
Així :
* L’hoste que ocupava l’habitació 0 es queda al mateix lloc
* L’hoste que ocupava l’habitació 1 se’n va a la 2
* L’hoste que ocupava l’habitació 2 se’n va a la 4
….
D’aquesta manera queden buides totes les senars que n’hi ha infinites i els
podem posar a tots !!!
![Page 57: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/57.jpg)
Solució Situació 3:
L’hoste antic de l’habitació n va a l’habitació 2n
L’hoste nou numerat amb k va a la 2k+1
![Page 58: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/58.jpg)
En la situació 3 hem pogut allotjar una
còpia dels nombres naturals
![Page 59: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/59.jpg)
Però, podríem allotjar infinites
còpies dels nombres naturals ???
![Page 60: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/60.jpg)
NATURAL NUMBERS
![Page 61: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/61.jpg)
Situació 4 : Imaginat que ve un nombre infinit d’autobusos amb infinites
persones cada autobús, com ho farà ara el recepcionista per tal d’encabir-les?
Nota : Cada autobús està numerat i cada persona dins l’autobús també
Condició : Cada persona de cada bus sap en quin número de bus viatja i
aquest li ha de quedar molt clar el número d’habitació que li pertanyerà
![Page 62: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/62.jpg)
D’aquesta manera aconseguiríem numerar amb nombresnaturals tots els nous hostes.
Un cop numerats, el que té el nombre k el posaríem en l’habitació que correspon al 2k+1 ja que hauríem buidat les senars, perquè els hostes antics haurien anat a les habitacions parells.
![Page 63: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/63.jpg)
A cada bus li associem un número primer, excepte el 2
Bus 3 i numerem les persones en potències de 3 : 31, 32, 33…
Bus 5 i numerem les persones51, 52, 53…
Bus 7 i numerem les persones71, 72, 73…
Els hostes antics els direm que vagin a les habitacions parells, és a dir, el de
l’habitació n que vagi a la 2n, deixant així lliures les senars, que seran
ocupades pels nous.
Als nous els direm que ocupin l’habitació 𝑝𝑘
Observacions :
𝑝𝑘 mai serà parell
D’aquesta manera mai coincidiran en habitacions iguals 𝑝𝑘 ≠ 𝑝´𝑘´(35 ≠ 36 i
35 ≠ 75...
![Page 64: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/64.jpg)
http://www.wi-phi.com/video/sizes-
infinity-part-1-hilberts-hotel
![Page 65: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/65.jpg)
Segons la llegenda, Aquil·les, heroi de la Guerra de Troia, era invencible, degut a que la seva mare, per fer-lo així, el va portar a la llacuna Estigia, morada de Medusa, i el va submergir en les seves
aigües subjectat pel taló. Com que aquest va ser l’únic que no es va mullar, aquest era el seu únic punt dèbil, el Taló de Aquil·les.
Famós per les seves grans qualitats físiques, Aquil·les fou escollit per Zenó de Elea (490 a.C. - 430 a.C.) com a protagonista de la famosa Paradoxa :
Brat Pitt va ser Aquil·les en la pel·lícula Troia
![Page 66: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/66.jpg)
Aquil·les, l’atleta més ràpid, capaç de córrer els 100 metres en 10 segons, no podrà agafar a una lenta tortuga, deu cops menys ràpida que ell. Ambdós disputen una
carrera, concedint Aquil·les una avantatge de 100 metres a la tortuga.
Quan Aquil·les ha cobert aquests 100 metres, la tortuga s’ha desplaçat 10 metres. Al cobrir Aquil·les aquests 10 m., la tortuga s’ha desplaçat 1 m. Mentre cobreix
aquest metre que el separa de la tortuga, aquesta ha recorregut 0'1 m. I així indefinidament.
![Page 67: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/67.jpg)
D’aquesta manera, Aquil·les ha de recórrer infinits trajectes per aconseguir atrapar a la tortuga. Per tant, haurà de recórrer una distància infinita, i per tant, necessitarà un temps infinit. De tal manera que el “desgraciat”
d’ Aquil·les mai podrà atrapar a la tortuga !!!
![Page 68: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/68.jpg)
![Page 69: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/69.jpg)
Una altra suma infinita :
S= 1+2+3+4+5+….= 𝑖=1∞ 𝑖 ?
![Page 70: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/70.jpg)
La paradoxa d’Aquil·les i la tortuga : Solució
Posició d’Aquil·les (m)
Posició de la tortuga(metres)
Avantatgede la
tortuga
Temps fet servir
Sortida
1ª. Etapa
2ª. Etapa
3ª. Etapa
4ª Etapa
Límits
![Page 71: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/71.jpg)
Solució a la 1ª suma infinita :
![Page 72: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/72.jpg)
Solució a la 1a suma infinita :
Si encara us costa admetre que la suma d’infinits números pot ser un número finit, pensa en una fulla depaper (1). Li prenem la meitat (1/2). A la vegada, a la meitat restant li prenem la seva meitat (1/4). Altros que queda (1/4), també li prenem la seva meitat (1/8). I així successivament, de forma indefinida.Com sempre queda una mica de paper, sempre es pot continuar tallant.Pensa ara en la suma dels infinits trossos de paper que anem traient:
1 / 2 , 1 / 4 , 1/8 , 1/16 , 1/ 32 ...
Quina és la seva suma? Evidentment tota la fulla, és a dir 1!
1+ 1 / 2 + 1 / 4 +1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 ... = 1+1=2També ens ho podem mirar amb expressions decimals :
1+0’5+0’25+0’125+….=1’9999….=2 1+
![Page 73: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/73.jpg)
Per trobar el valor de l’altra suma infinita : S= 1+2+3+4+5+….= 𝑖=1
∞ 𝑖 ho farem en 3 parts
S1 sembla que pugui pendre dos valors : 0 o 1, però si sumem S1 amb S1 desplaçantun dels termes
S1= 1 - 1 + 1 – 1 + 1 – 1S1= 1 – 1 + 1 - 1 per tant ….
![Page 74: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/74.jpg)
![Page 75: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/75.jpg)
S2 sembla que sigui -1 un nombre infinit de vegades i que per tant valgui –infnit, però, però si sumem S2 amb S2 i desplacem un dels termes
S2= 1 - 2 + 3 – 4 + 5 – 6…..S2= 1 – 2 + 3 - 4 -5 ….S1= 1 - 1 + 1 - 1 …. per tant …. 2S2=S1 així S2=1/4
![Page 76: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/76.jpg)
S= 1+2+3+4+5+….=
S2=1-2+3-4+5…..=1/4
=1+2+3+4+….-(1-2+3-4+5…)= 4+8+12+16… Només sobreviuen els parells, però…
4S = 4(1+2+3+4+…)=4+8+12+16… per tant S- S2=4S = S-1/4 3S= -1/4
![Page 77: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/77.jpg)
Ambdós casos són exemples concrets de la Suma de tots els termes d’ una progressió geomètrica de raó r ( | r | < 1).
Donada una progressió geomètrica: a , a·r , a·r2 , a·r3 , a·r4 ... a·rn-1
La suma dels n primers termes :
𝑆𝑛+1 = a + a·r + a·r2 + a·r3 + a·r4 + ...+ a·rn-1
S’expressa mitjançant la fórmula: 𝑆𝑛 =𝑎−𝑎·𝑟𝑛
1−𝑟
Quan | r | < 1 , la potència rn resulta ser un infinitèsim; és dir, molt molt petit, tant que el seu límit val 0 quan n és molt gran .
lim rn=0 quan n va cap a ∞
En conseqüència, es pot calcular la suma infinita
Conclusió :
![Page 78: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/78.jpg)
• En la paradoxa de Zenó a = 100 , r = 1/10
Si comptabilitzem l’avantatge de la tortuga en l temps, obtenim una progressió geomètrica següent :
𝒂𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 , 𝒂𝟐 = 𝟏𝟎 , 𝒂𝟑 = 𝟏 , 𝒂𝟒 = 𝟎′𝟏,… ,
El que ha fer Aquil.les per tal d’atrapar la tortuga és recórrer totes d’aquestes distàncies, és a dir, ha de recórrer: 𝑆∞ = 100 / (1 – 1/10) = 111,111... m
• En la fulla de paper: a = ½ , r = ½,
𝒂𝟏 = 𝟏 𝟐, 𝒂𝟐 = 1 4 , 𝒂𝟑 = 𝟏 𝟖 , 𝒂𝟒 = 1 16… ,
Tots els trossos sumen: 𝑺∞ = ½ / (1 – ½ ) = 1
𝑆𝑛 =𝑎−𝑎·𝑟𝑛
1−𝑟si 𝑟 < 1 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑛 → 0 𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑛 → ∞
𝑆∞ =𝑎
1−𝑟𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑛 → ∞:
![Page 79: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/79.jpg)
https://www.geogebra.org/m/CDxTBegn
El lloc geomètric és el conjunt de punts que comparteixen una propietat comuna. El lloc
geomètric acostuma a formar una figura o figures contínues: per exemple, una recta és el
lloc geomètric dels punts del pla tals que equidisten de dos punts fixos.
Les corbes còniques poden ser descrites mitjançant els seus llocs geomètrics:
•Una circumferència és el lloc geomètric dels punts del pla tals que la distància al centre és
un valor fixat, que s’anomena radi
•Una el·lipse és el lloc geomètric dels punts del pla tals que la suma de les distàncies dels
punts fins als focus és un valor fix.
•La paràbola és el lloc geomètric dels punts del pla tals que les distàncies dels punts al focus
i a la directriu són iguals.
•La hipèrbola és el lloc geomètric dels punts del pla tals que la diferència de les distàncies
entre els focus és un valor constant.
• La lemniscata de Bernouilli, que és el nom de la corba que dóna lloc a l’infinit és el lloc
geomètric dels punts P tal que el producte de les distàncies a dos focus, que distin k, sigui
(k/2)².
![Page 80: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/80.jpg)
https://www.geogebra.org/m/dYjvFMkp#material/eurBtNzA
![Page 81: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/81.jpg)
https://www.geogebra.org/m/dYjvFMkp#material/XCTChHhu
![Page 82: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/82.jpg)
https://www.geogebra.org/m/dYjvFMkp#material/EVn3y7as
a
![Page 83: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/83.jpg)
https://www.geogebra.org/m/dYjvFMkp#material/k88HSxS8
![Page 84: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/84.jpg)
Per exemple, si col·loquem els dos focus a 24 cm de
distància, els punts P que pertanyen a la lemniscata són
aquells tals que d(P,F1)·d(P,F2)=144=(24/2)^2
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1aWQDlJDRNsf-OgCCD9Pf63UL6yN96McmLJXIXOnC9co/edit#gid=0
https://www.geogebra.org/m/CDxTBegn
El full excel conté parelles de nombres que multiplicats
donen 144. D’aquesta manera podem aproximar el
problema de dibuixar els punts des d'un enfoc aritmètic.
![Page 85: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/85.jpg)
d(C,A)·d(C,B)=2·2=4=(d(A,B)/2)^2
Intersectant les circumferències amb centre en un dels focus i radi un dels dos nombres de l'excel,
es van trobant punts. No cal ni que facin circumferències, i amb dues regles, van trobant els punts.
![Page 86: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/86.jpg)
D(C,A)·d(C,B)=5’41·0’74=4=(d(A,B)/2)^2
![Page 87: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/87.jpg)
Intersectant les circumferències amb centre en un dels focus i radi un dels dos nombres de l'excel,
es van trobant punts. No cal ni que facin circumferències, i amb dues regles, van trobant els punts.
![Page 88: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/88.jpg)
![Page 89: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/89.jpg)
Un altre exemple de límits
I ara…una successió màgica …!!!
La successió de les àrees dels polígons regulars inscrits en una circumferència de radi 1 unitat, on an és l’àrea del polígon de n costats, en el límit tendeix a l’àrea de la circumferència de radi
1, i per tant, tendeix al nombre 𝜋
https://www.geogebra.org/m/uhzvBGBJ
![Page 90: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/90.jpg)
= 1+ 5
2= 1’618...
El número més bell,
el nombre d’or
![Page 91: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/91.jpg)
SUCCESSIÓ
1123581321345589144233377610987
PROPORCIONS ENTRENOMBRES CONSECUTIUS
121’5
1’66...1’6
1’6251’615384...1’619047...1’617647...1’6188...
1’617977...1’618055...1’618025...1’618037...1’618032...
n
n
f
flím 1
RELACIÓ ENTRE EL NOMBRE D’OR I LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI
![Page 92: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/92.jpg)
LA PROPORCIÓ ÀURIA AL COS HUMÀ
ALÇADA (cm) ALÇADA MELIC (cm) PROPORCIÓ
1 163 102 1’6
2 166 103 1’612
3 169 108 1’565
4 175 105 1’67
LE CORBUSIER
STEPHEN MARQUARDT
![Page 93: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/93.jpg)
En aquesta sessió i la següent,
aprofundirem en l’estudi d’aquestes
funcions :
- Les funcions racionals
- Les funcions irracionals
- Les funcions exponencials
- Les funcions logarítmiques
- Les funcions trigonomètriques
- Les funcions definides a trossos
![Page 94: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/94.jpg)
𝑓 𝑥 =1
𝑥2−1
𝐷𝑓 = −∞,−1 ∪ −1,1 ∪ 1,+∞ =ℝ- −1,1
![Page 95: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/95.jpg)
Funcions irracionals
Exemples:
![Page 96: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/96.jpg)
Nota : Fixa’t que quan x es fa gran, la funció creix, però ho
fa més lentament 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
𝒙 − 𝟏 = +∞
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
![Page 97: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/97.jpg)
La funció exponencial f(x)=𝑎𝑥 a>0
x molt gran +∞ 𝟐+∞ = +∞ 𝟏
𝟐
+∞
=𝟏
+∞= 𝟎+
x molt petita -∞2−∞ =
1
2
+∞
=1
+∞= 0+
𝟏
𝟐
−∞
= 𝟐+∞ = +∞
![Page 98: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/98.jpg)
Les dues gràfiques de l’exponencial i els seus límits
lim𝑥→−∞
𝑎𝑥 =0+ lim𝑥→+∞
𝑎𝑥 = +∞
lim𝑥→−∞
𝑎𝑥 = +∞
lim𝑥→+∞
𝑎𝑥 = 0+
![Page 99: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/99.jpg)
La típica exponencial, la que té per base el nombre e
e≈ 2’71828… 𝑒−1 =1
𝑒≈ 0′3678…
𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 =1
𝑒𝑥=
1
𝑒
𝑥
El nombre e anomenat de vegades constant d'Euler, en
honor del matemàtic suís Leonhard Euler o constant de
Napier, en honor del matemàtic escocès John Napier que
va introduir els logaritmes
![Page 100: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/100.jpg)
Aplicacions pràctiques de l’exponencial
La funció exponencial apareix en aquells fenòmens en les que hi ha
una tassa de creixement o de decreixement constant, com ara :
- La desintegració radioactiva : N(t)=𝑁0 · 𝑒−λ𝑡
Essent N0 la quantitat d′àtoms radioactius existents en l′instant
inicial, N(t) és la quantitat d′àtoms radioactius existents en l′instantt, λ és la constant de desintegració (és sempre positiu i depènde cada element radioactiu ) i t és el temps transcorregut
- Evolució d’una població : P(t)=P0 · (1 ± c)t
Essent P0 és la població inicial la població en un instant determinat
i c és la tassa de creixement en tant
per 1 i i t el temps, normalment en anys
![Page 101: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/101.jpg)
![Page 102: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/102.jpg)
El cas de la funció f(x)=log𝑎 𝑥 𝑎𝑚𝑏 𝑎 > 1
Si la base és e, log𝑒 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥, es llegeix logaritme neperià en honor al matemàtic escocès
John Napier
![Page 103: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/103.jpg)
John Napier (1550 - 1617) L’Escocès Napier es va dedicar a les matemàtiques per afecció, de fet, era teòleg.
L’obra de la que estava més orgullós era un llibre teològic amb un títol ben llarg: "Un descobriment pla de la Revelació completa de Sant Joan. Aquest llibre contenia un
important error que li va fer perdre fama: predeia el final del món pels volts del 1700.
Les taules logarítmiques, van ajudar a simplificar els càlculs dels navegants i els astrònoms del seu temps.
Té en el seu honor, a banda del nom dels logaritmes, un cràter a la Lluna que porta el seu nom, de més de 140km d’amplada !!
![Page 104: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/104.jpg)
Les dues gràfiques de la logarítmica
lim𝑥→0+
log𝑎 𝑥 = +∞
lim𝑥→+∞
log𝑎 𝑥 = −∞
lim𝑥→0+
log𝑎 𝑥 = −∞
lim𝑥→+∞
log𝑎 𝑥 = +∞
![Page 105: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/105.jpg)
Les funcions trigonomètriques :Són les funcions obtingudes a partir de les raons trigonomètriques d’un angle. En
general, l’angle s’expressa en radians
Un radiant és l'angle que comprèn un arc de circumferència amb una longitud igual al
radi de la circumferència, així 180º = π radiants i 1 rad= 57’295..º
Les tres funcions trigonomètriques més importants són f(x)= sin(x), f(x)=cos(x) i f(x)=tg(x)
![Page 106: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/106.jpg)
La funció de variable real que a cada angle,
expressat en radiants, li fa correspondre el valor del
seu sinus és la funció sinus: f(x) = sin x.
La funció sinus
∄ lim𝑥→+∞
𝑠𝑖𝑛 𝑥 no existeix
Tampoc existeix quan x→ −∞
![Page 107: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/107.jpg)
La funció de variable real que a cada angle,
expressat en radiants, li fa correspondre el valor del
seu cosinus és la funció cosinus: f(x) = cos x.
La funció cosinus
∄ lim𝑥→+∞
𝑐𝑜𝑠 𝑥 no existeix
Tampoc existeix quan x→ −∞
![Page 108: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/108.jpg)
La funció de variable real que a cada angle, expressat en radiants, li fa correspondre el
valor de la seva tangent és la funció tangent: f(x) = tg x.
La funció tangent
∄ lim𝑥→+∞
𝑡𝑔 𝑥 no existeix
Tampoc existeix quan x→ −∞
![Page 109: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/109.jpg)
Funcions definides a trossos
Quan una funció es defineix utilitzant més d’una expressió algèbrica, es diu
que és una funció definida a trossos.
Aquest tipus de funció, per poder-les dibuixar, hem de tenir molt clar quin és el domini de
definició de cadascuna de les funcions que la componen.
Dibuixem per separat cada funció i després esborrem la part que no ens interesa
![Page 110: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/110.jpg)
𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟐−
𝒇 𝒙 = −𝟑 𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟐+
𝒇 𝒙 = −𝟏
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐−
𝒇 𝒙 = 𝟑 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+
𝒇 𝒙 = 𝟏
Els límits són especialment pràctics per les funcions definides a trossos per saber com es comporta la funció en cadascun dels extrems de trencament
+-
![Page 111: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/111.jpg)
S’enganxaran en x=1??
lim𝑥→1−
𝑓(𝑥)= −12 + 4 = 3
lim𝑥→1+
𝑓(𝑥)= 12 + 2 = 3
Gràfic INCORRECTE !!!
La Funció serà contínua !!!
![Page 112: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/112.jpg)
Un exemple clàssic de funció a
trossos: La funció valor absolut
La funció valor absolut es defineix com la funció :
![Page 113: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/113.jpg)
Operacions amb funcions
Funció suma
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
Funció producte
(f · g) (x) = f(x) · g(x)
Funció quocient
f
g
æ
èç
ö
ø÷(x) =
f (x)
g(x)
Propietats de la suma de funcions
Commutativa:
Associativa:
Existència d’element neutre:
Existència d’element simètric:
Propietats del producte de funcions
Commutativa:
Associativa:
Existència d’element neutre:
Existència d’element simètric:
Distributiva de la multiplicació respecte de
la suma:
![Page 114: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/114.jpg)
Funció composta
Donades les funcions f i g, es defineix la funció composta:
g f (f composta amb g) com (g f) (x) = g [f(x)].
f g (g composta amb f) com (f g) (x) = f [g(x)].
Propietats
Associativa:
Existència d’element neutre:
Existència d’element simètric:
No compleix la commutativa !!!!
(f º g)(x) no és el mateix que (g º f )(x)
![Page 115: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/115.jpg)
Alguns exemples de composició de
funcions
f º g (x) g º f (x)
![Page 116: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/116.jpg)
La composició de funcions
![Page 117: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/117.jpg)
Podem imaginar-nos la composició de dues funcions com una cadena
de dues maquines diferents, on introduïm el mateix objecte i el resultat
final no és el mateix si modifiquem l’ordre de les funcions (màquines)
x
f(x)g(x)
g ° 𝑓 (𝑥)
𝑓°𝑔(x)
![Page 118: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/118.jpg)
Funció inversa
En la funció inversa la variable independent de f passa a ser la
variable dependent de f -1, i viceversa.
Càlcul de la funció inversa
① Expressar la variable y = f(x) en funció de la
variable x.
② Aïllar la variable x de la igualtat anterior per tal
de trobar l’expressió de x en funció de y.
③ Intercanviar les dues variables.
④ Fer-ne la comprovació.
![Page 119: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/119.jpg)
Característica essencial de les funcions inverses : Són
simètriques respecte la bisectriu del 1r i 3r quadrant ( la
recta y=x és un mirall)
![Page 120: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/120.jpg)
Més exemples de funcions inverses
http://www.geogebratube.org/student/m6525
![Page 121: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/121.jpg)
I per desencriptar missatges
secrets….Si sabem la clau, és a dir, la funció que encripta el
missatge, calculant la seva inversa, …
I ….Desvetllarem el secret !!!!
Ho podem posar en pràctica !!
![Page 122: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/122.jpg)
Els límits com una eina per a fer un esboç de la gràfica d’una
funció
Eminent matemàtic francés (1789-
1857) que va escriure més de 700
artícles. Va ser escriptot, pintor i
escalador.
El concepte de límit és el fonament del càlcul. En el segle XIX, eminents matemàtics, Augustin-Louis Cauchy i Karl Weiertrass, entre d’altres, van tractar en precisió el concepte
de límit. Ells van fer la definició rigorosa de límit, la definició 𝛆 - 𝛅, que no la inclourem aqu ja que no és fonamental per un primer apropament intuïtiu d’aquest concepte
Karl Weiertrass, matemàtic alemany (1815-1897) que va precisar la definició de
continuïtat
La Lemniscata de Bernoulli- Símbol de l’Infinit
http://desafios-matematicos.blogspot.pt/2013/1
0/lemniscata-de-bernoulli.html?m=1
![Page 123: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/123.jpg)
Límit d’una funció en un punt
Exemple: f(x)= 4
𝑥𝐸𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑠′𝑎𝑛𝑢𝑙. 𝑙𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 0
Mirem que passa en punts a prop de x=0. Ens podem apropar per la dreta de 0
X 0’1 0’01 0’001 0’0001 0’00001
f(x) 4/0’1=40 4/0’01=400 4/0’001=4000 4/0’0001=40000 4/0’00001=400000
x -0’1 -0’001 -0’0001 -0’00001
f(x) 4/(-’01)=-40 4/(-0’001)=-4000 4/(-0’0001)=-40000 4/(-0’00001)=-400000
Matemàticament, s’escriu 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎−
𝟒
𝒙= −∞
Matemàticament, s’escriu 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎+
𝟒
𝒙= +∞
![Page 124: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/124.jpg)
Interpretació gràfica de límits amb la funció de proporcionalitat inversa
La Hipèrbola equilàtera
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎−
𝟒
𝒙= −∞ 𝒊 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝟒
𝒙= +∞ ⇒ lim
𝑥→0
4
𝑥= ∞
Els valors que anul.len el denominador apareixen en la gràfica com
assímptotes verticals ( la funciós’apropa molt a l’assímptota però no
l’arriba a toca mai )
x=0 és una AV (Assímptota vertical)
![Page 125: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/125.jpg)
Els límits són una eina molt útil per fer gràfiques de funcions
racionals :
Veiem un altre exemple :
La funció s’anul.la en x=2 i en x=-2, per tant,
Apareixeran dues AV en x=2 i en x=-2 i per veure com s’apropa la funció,
calcularem els límits al voltant de x=2 i al voltant de x=-2
𝑓 𝑥 =3
𝑥2 − 4
2,2 RD f
![Page 126: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/126.jpg)
Calculem els límits de 𝑓 𝑥 =3
𝑥2−4
𝐴𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑥 = 2 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎t − 𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟 𝑙′𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑟𝑎
Que matemàticament vol dir que 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐−
𝒇(𝒙) = −∞
Al voltant de x=2 aproximant-nos per la dreta
x 1’9 1’99 1’999 1’9999
f(x) -7’69 -75’19 -750’19 -7500’19
x 2’1 2’01 2’001 2’0001
f(x) 7’32 74’81 749’81 7499’81
Matemàticament vol dir que 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐+
𝒇 𝒙 = +∞
Definició :Si lim
𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = ±∞, 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐴símptota vertical 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎
O també ∶lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − a = 0 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐴𝑉 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎
![Page 127: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/127.jpg)
Observeu al voltant del 2 com actua la funció :𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐−
𝒇 (𝒙) = −∞ i 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐+
𝒇 𝒙 = +∞⇒ AV en x=2
Si haguéssim fet les aproximacions en x=-2 obtindríem 𝒍𝒊𝒎𝒙→−𝟐−
𝒇 𝒙 = +∞ i 𝒍𝒊𝒎𝒙→−𝟐+
𝒇 𝒙 = −∞⇒ AV en x=-2
![Page 128: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/128.jpg)
I si haguéssim fet el mateix per a x molt molt grans, que hauríem obtingut ??
O el que és el mateix 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 0 (0 𝑞𝑢𝑒 é𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑢)
Mirem que passa per valors molt petits de x
X 10 100 1000 10000
f(x)=3
𝑥2−40’031 0’0003 0’000003 0’00000003
X -10 -100 -1000 -10000
f(x)=3
𝑥2−40’031 0’0003 0’000003 0’00000003
Definició :
Si lim𝑥→±∞
𝑓 𝑥 = 𝑘 , 𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ, 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑘 é𝑠 𝑢𝑛𝑎 A𝑠í𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑡𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙,
O el que és el mateix lim𝑥→±∞
𝑓 𝑥 − 𝑘 = 0
En el nostre cas, y=0 és una AH
O el que és el mateix 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 0 (0 𝑞𝑢𝑒 é𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑢)
![Page 129: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/129.jpg)
Fixeu-vos com és la gràfica :
Té dues AV en x=2 i en x=-2 ja que la funció tendeix a infinit quant s’apropa a
aquests valors
Té una AH en y=0 ja que quan x és molt gran i molt petita s’apropa molt a
aquest valor 0
![Page 130: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/130.jpg)
Donada la funció f(x)=−𝟑
𝒙+𝟒-Quin és el domini ?- Què val el límit quan x s’apropa a 4 per l’esquerra ? I per la dreta ? -Té AV ? Quina és ?- Què val el límit quan x és molt gran ? I quan és molt petita ? - Té AH ? Quina és ?
![Page 131: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/131.jpg)
![Page 132: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/132.jpg)
Fent tant sols els límits a l’±∞ i al voltant
dels punts que no són del domini, podem
fer la gràfica
![Page 133: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/133.jpg)
Recordem que passava amb les branques de les funcions
polinòmiques: Calculant els límits en el infinit:
Si considerem la funció f(x)= 𝒙𝟑−𝟑𝒙 + 𝟏,
𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑥 é𝑠 𝑚𝑜𝑙𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑛 +∞ 𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑥é𝑠 𝑚𝑜𝑙𝑡 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡𝑎 −∞
𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó é𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑓 𝑥 = 𝑥3
lim𝑥→+∞
𝑥3 − 3𝑥 + 1= lim𝑥→+∞
𝑥3 = +∞
Branca dreta amunt
lim𝑥→−∞
𝑥3 − 3𝑥 + 1 = lim𝑥→−∞
𝑥3 = −∞
Branca esquerra avall
![Page 134: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/134.jpg)
Si considerem la funció
f(x)= −𝑥4 + 3𝑥2 − 𝑥
lim𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = lim𝑥→+∞
−𝑥4= −∞
Branca dreta avall
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = lim −𝑥→−∞
𝑥4 = −∞
Branca esquerra avall
![Page 135: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/135.jpg)
Límit duna funció a l’infinit
Exemples:
![Page 136: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/136.jpg)
Càlcul del límit d’una funció en un punt
El límit d’una funció en un punt es calcula substituint en l’expressió algèbrica de la funció la
variable x pel valor al qual tendeix.
Si el resultat d’aquesta substitució és una indeterminació, cal aplicar altres estratègies i arribar
al valor del límit.
Exemples:
Indeterminacions :
∞−∞ ;∞
∞;
0
0; 1∞; ∞0; 0 · ∞ ; 00
![Page 137: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/137.jpg)
![Page 138: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/138.jpg)
![Page 139: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/139.jpg)
![Page 140: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/140.jpg)
Amb les regles que hem après, se’ns presenten situacions
més complicades, en les que no podem donar una solució,
sense fer un estudi detallat de la funció. Com per exemple :
![Page 141: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/141.jpg)
Les tècniques per resoldre
indeterminacions són
![Page 142: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/142.jpg)
Exemple :
![Page 143: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/143.jpg)
Calculem els límits amb la tècnica de descomposar els polinomis:
Observa que tots tenen la indeterminació
![Page 144: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/144.jpg)
Calculem els límits amb la tècnica de descomposar els polinomis:
Observa que tots tenen la indeterminació
![Page 145: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/145.jpg)
Exemple :
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑢𝑠∞
∞
![Page 146: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/146.jpg)
Indeterminacions del tipus
• Tècnica del producte i divisió per la major potència de x
![Page 147: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/147.jpg)
Indeterminacions del tipus
• Tècnica del producte i divisió per la major potència de x
![Page 148: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/148.jpg)
La técnica de multiplicar pel conjugat :
![Page 149: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/149.jpg)
Tècnica de multiplicar pel conjugat
![Page 150: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/150.jpg)
Tècnica de multiplicar pel conjugat
![Page 151: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/151.jpg)
Tenint en compte que : aleshores :
![Page 152: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/152.jpg)
![Page 153: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/153.jpg)
El límit correspon a un dels nombres més importants de la matemàtica.
Atès que el suís Leonard Euler(1707-1783) és un dels que va observar la
tendència d’aquest límit, va posar la seva inicial a aquest nombre, el
nombre e
![Page 154: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/154.jpg)
![Page 155: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/155.jpg)
![Page 156: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/156.jpg)
Un parell d’exemples :
![Page 157: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/157.jpg)
Un parell d’exemples :
![Page 158: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/158.jpg)
Límits laterals en un punt
Exemple:
x tendeix a a per
l’esquerra
x tendeix a a per la dreta
Límits laterals en x = a
![Page 159: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/159.jpg)
Funció contínua en un punt
Una funció f és contínua en x = a quan ;
en cas contrari, direm que és discontínua en x=a limx®a-
f (x) = limx®a+
f (x) = f (a)
Tipus de
discontinuïtats
Discontinuïtat evitable:
Discontinuïtat inevitable De salt:
Asimptòtica:
Per una primera aproximació, direm que una funció és contínua quan podem recórrer la gràfica de la
funció sense realitzar cap salt. Matemàticament això succeirà quant sigui contínua en tot el seu domini.
![Page 160: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/160.jpg)
Discontinuïtat evitable
En x=1 la funció presenta una discontinuïtat evitable
![Page 161: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/161.jpg)
Discontinuïtat de salt finit
En x=0 la funció presenta una discontinuïtat de salt de 2 unitats
El salt de la funció ve donat per :
![Page 162: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/162.jpg)
Discontinuïtat de salt infinit: Discontinuïtat asimptòtica
En x=a la funció presenta una Asímptota Vertical, d’equació x=a
![Page 163: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/163.jpg)
La funció presenta dues discontinuïtats de salt infinit en x=1 i en x=-1
En aquests punts, hi ha també dues AV que són x=-1 i x=1
![Page 164: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/164.jpg)
Interpretació gràfica (I)
![Page 165: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/165.jpg)
![Page 166: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/166.jpg)
La funció presenta una discontinuïtat de salt en x=0, un salt
de dues unitats
![Page 167: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/167.jpg)
![Page 168: L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE LES FUNCIONS. ESTUDI EXHAUSTIU DE LES FUNCIONS POLINÒMIQUES](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021507/589983691a28abb97c8b5d75/html5/thumbnails/168.jpg)
Quin tipus de discontinuïtats presenta aquesta funció ?