EJERCICIOS.

I). De mostrar la validez de los siguientes límites.

l.lim—= 0 n |

3. lim

7. lim

m n - « n

2 + \

n

= 0

n-»~2r 0

senn 2. lim—j=~ ~ 0

(senn)lnn ^ 5. lim . , . = 0

n4(n +1)

8. lim-n

3. lim — = 0 n—>=c g n

6. lime-" cosn = 0 n—»oo

„-» +sen n + e° +2 = 0

II). Hallar el valor de los límites siguientes.

l.lim n \

n

, r l 4 5 4. hm +

7. limco

n + 3 n2 + 1 12

a-*x V2n + 1 1

10. lim "-**> 20 + sen n

2. lim 3n2 + n4

n + 1

5. lim— — - > n

8. lim l n n

n

3. Iim3n6 + n2 +1

6. lim n + 1

n

9. lim _L_i 5n n

34

1.7.13. Si a„< bn para casi todo n, y si liman = +00, entonces limbn = +QO. n->ao n—>-oo

Demostración (ejercicio).

Ejemplo 1. Demostrar que limn4 =+00. n—>30

Solución 1. Se sabe que n < n4, y como lim n = +00, se concluye que n-»oo

A lim n = + 0 0 .

n->co

Solución 2. Utilizando las reglas para operar con el símbolo +,

4 2 2 4 lim n = lim n -n = (+GO)(+GO) = +cc, se concluye que lim n = + 0 0 . n—>CC n—>QO n—>00

Ejemplo 2. Demostrar que lim n2 n =+oo. n->oo

Solución 1. Se sabe que n < n2 n y como lim n = +00, se concluye que n-»oo

limn2" = +00. n—

Solución 2. Utilizando las reglas para operar con el símbolo +00, se dice que,

lim n 2 n = (+oo)(+oo). n-»oc

Ejemplo 3. Demostrar que lim í n 4 + n 2 + n j = +00.

Solución 1. n < n4 + n2 + n, y como limn = +00, se concluye que lim(n4 + n2 + n) = +00.

n—>00 11—>co * '

Solución 2. lim j^n4 + n 2 + n) = (+00) + (+co) + (+00) =+oc. n—>co

1.7.14, Siliman=+oo, o (-00) entonces lim—= 0. " n

Demostración (ejercicio)

35

1 Í+QO s i a n > 0 1.7.15. Si lim a n = 0 entonces lim — = <j

n—>oo n->oo a n [ - c o s i a n < 0

Demostración (ejercicio)

Ejemplo 1. Hallar lim——j—. (1 / n )

Solución, lim — = +co, pues lim-^- = O, y —r>0. n-"x (1 / n ) n n

Ejemplo 2. Hallar lim ^ 11 2 «-»- ( - 1 / n )

Solución, lim —5— = -00, pues lim- - y = O y - - ^ - < 0 n-*» (_1 / ) n£

n

Ejemplo 3. Como lim n = +00, entonces lim — = 0. n—>qo n->oo n

Ejemplo 4. Como lim(-n2 )=-00, entonces lim( - —r-) = 0. n-»°o n—»» y)

1.7.16. Toda sucesión (an) convergente es acotada. De otra forma: Si (an) no es acotada entonces (an) es divergente.

Demostración: Como (an) es convergente, para todo 8 > 0, existe N > 0 tal que si n > N entonces | an-L | < 8 y de aqui se deduce que |an¡-|L( < e y asi | an | < e + | L | para todo n >N y en consecuencia |an | < P , para todo n, siendo P = max | |a,J , |a2 j , . . . , j a N _ L | ,e+¡ L¡j.Puesto que las sucesiones convergentes

son acotadas, entonces de la propiedad señalada se deduce que las sucesiones no acotadas son divergentes.

Ejemplo 1. La sucesión ( — jes convergente, luego es acotada ya que

¡I !n

< maxíl,^,...,e j = P,

36

E j e m p l o 2. La sucesión f es divergente , ya que no es acotada.

E j e m p l o 3 . La sucesión (2") es divergente, ya que no es acotada.

E j e m p l o 4 . La sucesión ( ( - i ) " ) es acotada y además es divergente.

E j e m p l o 5 . La sucesión | — j es acotada, y además es convergente.

De los ejemplos 4 y 5 , se puede concluir que hay sucesiones acotadas convergentes y divergentes, luego si (an) es acotada no se puede afirmar que sea convergente.

1 . 7 . 1 7 . La completitud o complétez de los números reales.

Ejemplos:

1. Observemos el comportamiento de la siguiente sucesión.

1 2 3 ^n ~ (ejercicio). n

Además 0 < < - = 1, es decir (a„) es n + 1 n+1 v nJ = 1, es decir (a„)es creciente y acotada superiormente,

además lim = 1, donde 1 es una cota superior. n - » o o n 4 . 1

Para la sucesión — , se tiene que l i m — = 1 = sup(an). Ejercicio: Elaborar n + 1 •>-»«> n+1 v ;

una gráfica en el plano OXY que visualice este hecho.

n

2. Observemos el comportamiento de la siguiente sucesión.

37

( an)= I j> an > an+i (Ia sucesión es decreciente , ejercicio) n

Y a„ > 0, n = 1,2,3,...; luego (an) es acotada interiormente y , n + \ . / > lim = 1 = xnf \an }. i—»»! n * '

Note que 0 y 1 son cotas inferiores de (an).

3. Consideremos la sucesión (n), es creciente an < an+1, n = 1,2,3,... y sin embargo limn = +«>, es decir, la sucesión es creciente, no acotada y el límite

n—>ao

no existe. El ejemplo 1 sirve de motivación a la propiedad de las sucesiones monótonas bajo el nombre de completez de los números reales. Explícitamente:

Teorema: Si una sucesión (an) es creciente y acotada entonces la sucesión converge al extremo superior de su recorrido; es decir, hman = suplo,,}. n-»» v

'

Similarmente una sucesión (an) decreciente y acotada converge al extremo inferior de su recorrido, es decir, liman = infla,,}.

Demostración: Por hipótesis la sucesión (an) es creciente y acotada, luego dado s > 0, si L = s u p j a j n e Z + j , entonces ha de existir a tal que L - s < a k <L + s ;

pero según la monotonía de (an) se puede ver que si n > k entonces an > ak y en consecuencia se deduce que L - s < a k <an <L + s, para todo n > k y así

jaQ -L[ < e, luego liman = L = sup|an n e Z + | .

El caso de la sucesión (an) acotada y decreciente, se demuestra en forma análoga.

Ejemplo. Demostrar que la sucesión (J5" + 7") nJ = (an) es convergente.

Solución: Se demostrará que la sucesión {an} es acotada y que an > an+i para casi todo n.

38

Se sabe que,

5=(5 n ) ' n <(5n + 7 n ) l n < ( 7 n + 7n)> a =(2 x 7 n ) l n = 7 x 2 ' " < 7 x 2 = 14,

luego una cota inferior de {a„} es 5 y una cota superior es 14; y por lo tanto (an) es acotada.

(.n+l) ( 1 L, Ahora (5n + 7") » = (5n + 7") = (sn + 7n)(5a + 7 a ) n

= 5n(5n+7n) l n +7"(5n + 7n) 'n >5n - 5 + 7" - 7 = 5n+l +7 n + l

n+1 y así (sn + 7 n j n >5n+l + 7n~' y si se eleva esta desigualdad a la potencia

1 1 1 se tiene que: Í5n + 7n)° >(5n+1 + 7 n + 1V l , es decir, an > an+1; luego (an) n + l v ' v '

es convergente ya que es decreciente y acotada.

Ejemplo. Demostrar que = ( a n)esconvergente.

Solución: _ 2(n + l) + l 2n + l _ (n + l)(2n + 3) - (2n + l)(n+ 2)

n +1 +1 n + l (n + l)(n + 2)

= í 1V ^ > a s i an+i > a n ' P a r a t o d o n (n + l)(n + 2)

luego (a„) es creciente.

an+i _ a n

Ahora se sabe que 0 < <!-—?.< 2, y ( an ) es acotada, luego (a„) es n+l n + l

creciente y acotada, y así ( an ) es convergente.

Ejemplo. Demostrar que {an} = j * i es convergente.

39

Solución:

an+l ' 1.3.5...(2n - l)(2n + l) 2.4..,2n | _ 2n + l 2n + 2 _ }

an [ 2.4.6....(2nX2n + 2) 1.3.5..,(2n-1)J 2n + 2 2n + 2

y asi — ^ < 1, luego an+I < a n , para todo n. a„

„ 1.3.5... 2 n - l 2.4..,2n , , Ahora 0< < = 1, luego {an} es decreciente y acotada, 2.4.6...2n 2.4..,2n

luego es convergente.

1.7.18. Si lim n— n+l < 1; entonces liman = 0.

Demostración (ejercicio).

2n

Ejemplo 1. Demostrar que lim — = 0. n-»ao n!

n+l Solución: lim n-»ao

2a

luego l i m — = 0. n->oc j-j!

, n+l = lim

n! • 2 = lim

n->»(n+l)! 2a n~>00 n +1 0 y así lim n+t = 0 < 1 ,

Ejemplo 2. Demostrar que lim — = 0. n — g n

Solución 1. lim n+l = lim —— = - < 1, luego lim — = 0. n- oog"1' Q n-«o gn

Solución 2. Como lime" = +oo. entonces lim — = 0. n n—>» n—>x q

Las sucesiones (n+ l),(n),(n- I0),para n grande tienen un comportamiento similar y en general esto sucede cuando las sucesiones son equivalentes. Se

40

dice que (an) y (bn) son dos sucesiones equivalentes o asintoticamente iguales si

lim — = 1. Para indicar que dos sucesiones son equivalentes se separan por el n - » o c ^

símbolo es decir, an « bn significa que lim — = 1. TI—>30

1.7.19. Toda sucesión convergente con límite L * O, es equivalente a la sucesión de su límite.

Demostración:

Se sabe que liman = L y se demostrará que lim — = 1. n-»=o 11-+00 a n

L limL ^ En efecto: lim —- = — = — = I, así que {an}«L.

liman L n—

Ejemplo 1. 4Í, 1 1

4 2 , n 1 + — + - -f 4 2 1) ( 4) ,. n + n " + l .. v n ' n y , n + n + l | w n >, pues lim = lim - L * ) \ ) n-**> q n—>oo j-j

Ejemplo 2. (Vn2 +7) « {n}, pues lim " = lim + = l. \ / n—>oo y j n->ao y

Algunas equivalencias importantes son:

1. n! « n"e nV2irn (fórmula de Stirling). 2. (a0+a l+.. .+annn)«ann".

3. (sen(aj) « (an) « tan(a„) « arctan(an) si an -> 0. 2 \ a 4. ( l - cosa n )» si a„ ->0.

5. ln(l + a n )« ( a n ) si an —>0.

Invitamos al lector a construir las pruebas respectivas. El comportamiento de ciertas sucesiones equivalentes cobra gran importancia, en virtud del principio de sustitución que dice así:

41

1.7.20. Toda sucesión que figure como factor del numerador o del denominador en una sucesión, se puede sustituir por otra sucesión equivalente sin alterar su límite, es decir, si an= bncn y bn ~ dn. Entonces liman =l imd„-cn . n—*ao n—»•»

(En forma análoga para la división).

3 3 sen— — 3 3

Ejemplo 1. lim—r1 1 = lim-y = 1, ya que sen— « —. n-»» 3 n-»00 j n n

n n Ejemplo 2. limn2 +1 = limn2 = +oo, ya que ín2 +1} » {n2}

n—>ao n—>ao v * S '

Ejemplo 3. 2 4

5(n4+ n + l ) s e n 2 - - ( n 4 + n3) 5 x n 4 x - x n 4

n — w - í h = l i m ~ — 2 — = l i m 2 0 = 2 0>

(n2 + nj(n + l j n ' x n

pues 5 * 5; {n4 + n +1} » {n4}; {n4 + n J} * {n4}; {n2 + n} * {n2} y

|n4 + l | « {n4}

[n!l° Ejemplo 4. Hallar el valor de c tal que lim \ = O

Solución \a„

o..

(3n)!

\(n + l)i]C (3/7)! ^ [n!]c(w + l)c(3n)!

~ (3« + 3)!(«!)c ~(3rt + 3X3« + 2X3« + lX3«)!-«!

(« + l)£

(3« + 3X3« + 2X3/7 + 1) entonces'.

/ . \ C c

lim— = lim 7 ~vt~ + ,, x = lim -—^—— < 1 si c < 3 an (3/7 + 3x3/7 + 2x3/7 + 1) »-**= 3/7 0/7 • jn

[n!]s

, luego lim , x = O si c < J. n-** (.3nJ!

42

sen an 1 .7 .21. Si liman = O, entonces sen an « an , es decir, lim = 1,. M-+5C «->30 /7

**n

7t K ~ — <a < —.

2 2

De la figura siguiente, se pueden observar las desigualdades siguientes entre las áreas.

Area del triángulo OCB < Area sector OAB < área del triángulo OAD.

sena,, 1 , , tana„ , . < — x an 1 < - ; es decir:

2 2 2 senan < an < tanan y por ser, senan > Ose tiene que:

a 1 senan 1 < — < y asi cosa < < 1, y como senan cosan an

limcosan = cosO = 1 y lim 1 = 1, entonces lim s e n a ° = ]

1.7.22. Si liman = 0 y {bn} está acotada entonces liman • b = 0. n—>oo n->oc

Demostración (ejercicio).

43

f _. . , n4 + n . .. n4 +n .. 1 Ejemplo 1. I im— = 0, ya que l i m — — - = hm — •

n4 +n

n +1

es acotada.

n-»3o f i -f- j n—»oc f i

n4 + n

n4 + y lim— = 0

n—»oo f |

. . . . senil A .. senn 1 1 Ejemplo 2. lim = 0, ya que lim = lim — x s e n n y l i m — = 0 y n-»oo 5™ n-»oo ^ n-»oo 5

(senn)es acotada.

1.7.23. Si liman = A * 0, entonces

Demostración (ejercicio)

lima. = |A| ( Es el reciproco cierto?).

Ejemplo 1. lim 1 = - 2 . entonces lim n + 1

- 2 n + 1 n+1

= - 2 = 2

Ejemplo 2. lim (-1)" = |±l| = 1, y sin embargo lim(-l)" no existe. V / ! » n—»or

1.7.24. lima"

+ oo si a > 1

0 si \a\ < 1 1 si a = 1 diverge en los demás casos

Demostración:

i) Si a>l; a^l+h, entonces,

a" = l + nh +... + h" > nh,luegoa" > nhycomo lim nh = +oo,entonces lim a" - +°o si a > 1.

ii)Sia = l;/¿ml" = lim \ = 1.

44

iii) Si \a\ < 1, entonces i al = — <1, p> O, entonces O < \a\" < -—

1 1 1 r<— y como lint 0 = 0 y lim — = 0, l + np+...+p np n-».® n~+*np entonces por el teorema de la dobledesigualdad lim\a\" = O y asi lima" = O si \a\ < 1.

Ejemplo 1. Iim3n =+oo; a = 3 > 0

Ejemplo 2. lim— = 0; = - < i . 5

Ejemplo 3. l i m l + - ] (-1)" = l i m í - - ) =0, = — < 1. 3

1.7.25. lim na = +oo si a > 0 1 si a = 0

n—*qc

0 si a < 0. Demostración. Ejercicio.

Ejemplo 1. limn = +oo, a = l > 0 .

Ejemplo 2. lim-^- = 0, a = -3<0.

Ejemplo 3. lim n 4 =+oo, a = — >0 n—»oc 4

1.7.26.Seana * Oyb * 0,ycn = a0 +axn + a2n- + ... + apnp

b0 + bln + b2n2 + ... + ¿>nq entonces

lim c\, =

a „ -siq = p

Osiq > p + ao siq < pyap -b^ > 0 -cosiq<pyap-b1<0

Demostración:

45

ao a i ^ b, , con a = — + — V + . . . + a v b = — + - 7 + . . . + b , D p p— 1 p J n q q - 1 q ' n n n n

i) Si p = q.

a a I i m an a„ lim c. = lim x -2- = lim-5- = — — =

bn bn hmbn bq

/ / ) Si q> p.

a liman a lim cn = lim np'q • lim= lim np'q • = 0x^ = 0. n—+oc rt-w) /i—»oo fy r¡—+<x) /¿ffi ¡y fo

iii) Si q < p y a p-bq> 0.

a a p _ a ap lim cn-limnp q x —^ = +co • — = +oo. ya que lim np~q = +oo v lim — = — > 0. rt—>ac n—»ac h b " " /> A n </ n q iv)Si q < p y ap-bq <0;

a _ ü lim cn = lim np~q -oo ya lim np q = +co y //>« — = — < 0 /I—»00 w—o n n—»00 ' rt—>cc /> n

« h <¡r

Ejemplo 1. Evaluar lim — n4 + n +1

o-»» n +n +2n

n4| IH—r- H—t] limíl + -4 + 1

. t .. n 4 + n + l v n3 n4 / »-"A n3 n4^ Solucion 1. lim , • , = — 7 r = — 7 — = 1 «-*50 n + n. + 2n J , 1 ( . 1 2 n i 1 + -Tj- + -T- lim 1 + —- + ~

\ n" n ) "-»A n" n",

Solución 2. Utilizar la regla de L'Hopital (ejercicio), ya que determinados límites pueden abordarse utilizando técnicas desarrolladas para funciones racionales e irracionales.

Nota: Partimos del supuesto de que el lector ha recibido un curso de cálculo en donde haya estudiado algo de límites de funciones y aplicar las formas

46

indeterminadas ~ e — .No obstante, a su debido tiempo haremos 0 oo

digresión sobre el particular.

Ejemplo 2. Calcular lim n ~rn + n v ' n + 2

i n (, i i

Soluciónl.

3 2 n 1 + - + M + - + — ,• n + n + n .. \ n nV V A n n2

lim—! = lim — = lim n — = +oo vaque Vn + 2 n->0° [ f '2 í 2 n 2 1 + — l + . 1

n J \ n

' i + l +1

V N N 2

lim n5'2 = +00 y lim = 1 > 0

1 +2 V ' n

Solución 2. Utilice la regla de L'Hôpital.

Ejemplo 3. Hallar lim n + n + * Vn , 6 +2n

ni 1+4 + 4] 3 fi + 4 + 4 Solucion 1. » ^ -n + n + 1 - i i m

V n ) _ , j m n V n2 n3

15

Vn16 +2n HZ. 2) ¡fi 2

f I M l l + ñ , 1 + 4 + 4

= lim 4 • = 0 x 1 = 0. n-"B n \( 2

Solución 2. Utilice la regla de L'Hôpital.

47

EJERCICIOS. 4

Hallar el límite de las sucesiones siguientes.

H s e n - í

9. icos '

2 on 13.

n 3

senn 3.

7. jl±L 10 2 n - n

11.

15 . { ( - i y ^ }

17. i/ l n

dx 18. ^ n sen : 7T

n 19. tan| — I

48

1.7.27. El número e. La aparición frecuente del número e en problemas relacionados con las ciencias físicas, químicas, biológicas y sociales resalta su importancia tanto teórica como práctica.

Íí Se mostrará que la sucesión 1 + — es creciente y acotada, luego es rJ J

convergente y se simboliza por:

liml 1 + — I = e , en honor al gran matemático Suizo Leonard Euler quién en su » ^ v rv

famoso texto Introduccione Análisis infinitorun , designó por primera vez la base de los logaritmos naturales por la letra e.

En efecto:

( í I V (n) 1 (n) l (tí\ 1 (n) 1 l + — = - 1 + • —+ •—T+...+

V n) KOJ vU n V2J n W n" n(n-l) 1 n(n-lXn-2)...l 1

1+ 1 + — - — r + . . . + —1 — 2 n2 n! n"

_ n.n 1 n.n.n 1 n.n...n 1 „ 1 1 1 < 2 + 7-4- T+...+ = 2 + — + —+. . .+ —

2 n 3! n n! n 2! 3! n!

2

i - r i y ~ . . = 1 + \ <1 + 2 - — r = 3 - - i r < 3 , l u e g o O s í l + - i j < 3 ,

j 2 2 ^ Yls

2 y así la sucesión dada es acotada.

Ahora mostraremos que la sucesión dada es creciente, es decir,

49

En efecto, realizando ciertas transformaciones elementales, se tienen las siguientes desigualdades equivalentes:

1Y f 1 Y " 0 | l + - ¡ < ( U — J n

n+1

'n + íY ni) I ! <

n

/v) I < n

\ n + 1

/ w r U + i J ( w + 2 r '

V) ( « + i r 1 ( n + l ) " " (n + l)2"+1 >

VI) Un + 2))"(n + 2) > {

[(* + l ) 2 ] ' V D

vi i) n(n + 2) (n +1)2 • í — ) > ' U + u

V n2 + 2n + \ ín + 2

1 - - > l

Todo se reduce ahora a probar la última desigualdad. En efecto, aplicando la

1 desigualdad de Bernoulli a 1

(n + 1)2

con a =

í n + 2 t n + 1

(n + 1) y , se tiene que

, considerando ( 1 +a ) > 1 + n a

\ n 1 + ( - D

(n+l ) :

n > 1 -

1

(n + l)Z.

í n + 2 H ^ r r r

í n

(n + 1 y

(n + 1)" 1 o r r +3n" +3n + 2

—

r\J +3n~ +3n + 1

y , esto es,

> 1 ,

luego an < an+i y así la sucesión + — j [•es creciente y acotada, por tanto

converge. 50

Ejercicio. Verifique que: i) implica ii); ii) implica iii) y ...vii) implica viii).

Problema (básico). Sea (an) una sucesión de números reales positivos con

lim a a = 0, entonces lim (l + a n ) = e. n k. -v-

Demostración (ejercicio)

Ejemplo 1. Hallar limj 1 + — n-»*\ n

f

Solución, limj 1 h— I = lim n - » » v t v a - * x

1 + 1

Ejemplo 2. Evaluar lim^l-^j

n V V

IV

= e

Solución, limi 1 — — | = lim i-»30 v n 1 + - = e -i

x Ejemplo 3 . Calcular lim! l + —

n - » x V n

Solución . lim 1+— = lim n - » » V n / n-»=o

í \7X

1_ n

V ~xJ

l + - = e

Ejemplo 4. Determinar lim! 1 + 1 "-»V n + 2

Solucion. limi 1 + 1 = limi 1 + —— "»-«V n + 2s n + 2

n + 2 - 2

f i V+2 f i = limj 1 + x limi 1 + -n + 2> »<-»\ n + 2 = e-1 = e

51

1.7.28. Si liman = A, b es número positivo fijo diferente de 1, entonces

limba" = b \

Demostración (ejercicio).

Ejemplo 1. Hallar lim3 n+i

2n+3

n + l n+ l ^

Solución. lim 3ra*3 =3—:2,1+3 =3 2

n +l Ejemplo 2. Evaluar lim 5 n

n - * x

n " + l n"+l —— lim — Solución . lim 5 n = 5^°° n =5° = 1

1.7.29. Si liman = A y limb„ = B, entonces lima^" = AB, aQ > 0 n—»oo n—*cc n—»«c

Demostración (ejercicio).

'2n + nn2+ 2 Ejemplo 1. Calcular lim n-»=e\ n +1 / n 2

+ 3

_ , . , f 2 n +An2+2 i 2n +1 n + 3 1 Solución, limi = 2 , ya que lim = 2 y lim - r = 1.

n-»«V n +1 / n~*x n +1 «-»•« n + 2

p 3 . Ejemplo 2. Determinar lim| 1 +

n

Solucion. liml 1 + - j = . l i m f l + - j = e3, pues lima0 = limí 1+—j =e ,y n->aoV X \ J n - * » \ n / n - » » n

lim b„ = lim 3= 3. n - * x n—**

52

EJERCICIOS 5

Hallar el límite de las sucesiones siguientes.

i+I

n + n.

n ,4n + L

'2n + 4 V 4 + n

5.

8.

n + 3 -n + 5>

f i ,\3n+1 n - 1

vn +L

n-t-l

l n - 1

10. ^2"

53

1.8. FORMAS INDETERMINADAS

En algunos casos no es posible aplicar directamente las propiedades para evaluar ciertos limites, puesto que las hipótesis establecidas en los teoremas no se satisfacen. En estas circunstancias utilizando manipulaciones algebraicas tales como simplificar, racionalizar, potenciar y derivar (aplicación de la regla de L'Hopital), la expresión original es susceptible de modificarse hasta lograr una fórmula donde son válidas las propiedades ya estipuladas en la sección 1.7.

Si en una expresión de la forma ——, resulta que lim f(n) = 0 y g(n)

lim e(n) = 0, entonces carece de sentido escribir " lim ^ = - " , este tipo de n—kc&v 7 n^oog(n) o expresiones es un ejemplo de forma indeterminada en el sentido de que no es posible decidir si el limite existe o no existe, o si diverge a +oc ó -ce. Las formas indeterminadas mas usuales son:

±00 a)

±00

b) ( + o o ) - ( + o o )

O C ) O

d) (± co • 0) o (O • (± ce)) e)

f ) 0o

g) (±oo)° h) 0±se

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1. Analizar lim — n - » o o j-j

Solución . lim —. Observe lim n = +ooy que además carece de sentido fi n-»üo

54

n , i m n +00 escribir lim — = = —

" - "n limn +00 pues tanto en el numerador como en el

denominador el límite no existe, en este caso para calcular el límite, simplificamos la expresión así:

lim— = limi = 1. n-»ao j-j n—

Ejemplo2. Estudiar limí Vn2 +1 - n ) . n—>00 \ J Solución. Este límite es de la forma (+00) - (+00) y para calcularlo racionalizamos así:

limi Vn" n—>3c\

+ 1 - n = lim •R +1 - n Vn" +1 + n

Vn" +1 + n - lim

2 1 2

n + l - n

Vn2 + l + n

= lim l - = lim — = O, asi.

y V + l + n n " ~ 2 n r r

lim[Vn2 +1 - n) = 0.

Ejemplo 3. Estudiar lim(5n - n). n - * x

Solución. En este caso el límite es de la forma ( + 0 0 ) - ( + 0 0 ) y para calcularlo se hace la operación algebraica:

lim(5n - n) = lim4n= oc n—>oc

Ejemplo 4. Determinar l i m ^ - ^ . n->0° (1/ n)

Solución. En este caso el límite es de la forma Para evaluar el límite se O

procede así:

55

l injí l^n) = I i m 2 n = l i m 2 = 2 n—><» / J I ^ n - K » o—

Ejemplo 5. Calcular limn sen—. n—

Solución. En este caso el límite es de la forma (+<»)• O Una manera de proceder para calcularlo es:

1 .. sen(l/n) sent ,. , , . , limnsen—=hm = lim = limcost = l. (be usa el cambio de n-*x¡ n-*x> ( | / t—>0 { t-»0

variable t = — y la regla de L 'Hopital). n

n n - 1 Ejemplo 6. Evaluar lim

n-»»v. n + b

Solución. El límite es de la forma 1** y una forma de evaluarlo es:

lim n - l Y f n +1 - 1 - 1V f n + 1 - 2

v n + V n-"°v n +1 J n +1 lim = lim = lim

f 1

V n + 1

( ? v+l-' ( ? y+1 r ~> v1

= lim l — = limi 1 — — | lim i — = e ' - l »-^v n + V n-,jov n + V n-"°v n + V

y en forma mas general; se obtiene el resultado importante.

lim 1 + — | = e \ En efecto: "-»«v n.

XÌ .. / , \ (X/1) ( , , X , N lim 1 + — = limíl +1) * ' haciendo— = t J y si llamamos (i + t) " = Y y n-»»=v nJ <-+° V n J tomamos log aritmo natural a ambos lados de la igualdad obtenemos:

ln Y = ln(l + t)(x t) = x l n ( 1 + t ) , entonces limlnY = ln/xlimY)= l i m x ^ - ^ V ' A. * 1 t . n I . .A « t t-»0 \ l-»0 / t-»0

* = l i m — = x t-o i + 1

(* aplicando la regla de L'Hopital), entonces:

lnílimYÌ = x , y así limY = lim(l + t)(x, t ) = e \ de donde limfl + - V = e" \ t->0 / t->0 t-»0v ' n-*x\ X\J

56

No está por de más recordar que las formas indeterminadas e, f, g, h dependen por lo general del número e y que una estrategia para calcularlas consiste en tomar inicialmente logaritmos en ambos lados de una función definida previamente, o equivalentemente utilizar de partida la conocida identidad

57

EJERCICIOS 6

Hallar el valor de los límites de las sucesiones,

n! 1

l

4. <

( n + l ) ! - n !

| (n + l ) M n - l )J

n+l ) 2 + ( n - 1 ) 2

10. 1 -2

5"

13.

16.

(2n)l ,(2n + 4)!.

1' sen —

n 3

' sen > n.

2. V ñ |

5. {4n'°-n1 0}

V n

11. n + 4 n + lJ

14. { V ñ + T - V ñ ^ l }

3. {Vn(n + l ) - n }

J r

6. i nsen— n.

9. i 1 -

12

n2 + n +1

n! (n + 3)!

15. {ln(n + l ) - l n n }

58

1.9. SUMAS FINITAS.

Recuérdese como se define el símbolo sumatoria (sigma) y algunas de sus propiedades, pues serán útiles para calcular algunos límites.

1.9.1. Se define ^ T a k =a¡ . Supuesto definido para n>l, tomamos k = l k = l

como definición por recurrencia la igualdad:

n+¡ n Z a k = Z a i c + a n + l -k=l k=l

Ejemplo 1. Si n = l , = ^ a k + a 2 = a ( + a 2 k=l k=l

Ejemplo 2. Definido ak se puede volver a aplicar la definición con n = 2 k=l

3 2 X a k = X a k + a 3 = ( a i + a 2 ) + a3 y en forma análoga se puede definir k=l k=l 4 n

k k=l k=L

1.9.2. X c ' a k = c ' X a k ' P - n > P,n eZ; n > p k=p k~p

Demostración: n

J > a f c = c - a p + c - a p + l + . . . + c - a p t n = c - ( a p + a p + 1 + a p + 2 + . . . + a p + n ) k«p

k k=p

En rigor, debería emplearse inducción matemática sobre n.

(i n 1.9.3. Z ( a k + b k ) = Z a k + Z b k ' P - n ' P -neZ

k=p k=p k=p

59

Demostración:

¿ ( a k + b t ) = (ap + bp) + ( a ^ + bp+1)+...+(a„ + b . ) lc-p

= (ap +ap+1+...+aB) + (bp + bp t l+.. .+bn)

n n n

1.9.4. £ ( a k - b k ) = ] T a k - ] r b k

k=p k=p k=p

Demostración (ejercicio).

1.9.5. ¿ a k = g a k _ q k- p k=P+q

Demostración (ejercicio).

n

1.9.6. Propiedad Telescópica . ^ T ( a k - ak_,) = an - a0 k=l

La propiedad telescópica simplifica de manera notable sumas finitas cuando el término genérico se expresa como la diferencia de dos cantidades consecutivas de la sumas finitas.

Demostración: n

X(3lc ~ ak-l) = ( a ! - a o ) + (a2 - a i ) + (a3 - a 2 ) + — + ( a n _ an - l )

k-1 = - a 0 + a n = a „ - a 0 -100

Ejemplo 1. £ ( 2 l - 2'"') = 2m - 2" = 2™ - 1

Ejemplo 2. f f - L - í ) . - ! — I - L - l J 1 é íVk + 1 k) 30+1 1 31

40 40

Ejemplo 3. £ l = Z [ ( k + 1 ) ~ k ] = (40+1) -20 = 21. k=20 k=20

n n

= Z a k + Z b k -k-p k»p

60

n i n+1

Zk 1 — X x = con x * 1, se conoce como suma de los términos de „ 1 X

k=0 una progresión geométrica y es de esencial importancia en la teoría de las senes convergentes. Es desde todo punto de vista significativo que no obstante su aparente sencillez se esconden consecuencias profundas y de largo alcance en el desarrollo subsecuente.

Demostración

Solución 1. Se sabe que ( a n - b n ) = (a-b)(a n" Ib + an"2b2+.. .+a2bn" ,+abn _ l)

(Ejercicio). 1 xn+' fl x) n

Por consiguiente, = - + x + x2+...+xn) = x * 1

Solución 2. Utilizar inducción matemática.

1 — JC

Solución 3 Multipliqúese xk por 1=-—- y a continuación utilice la propiedad

telescópica

Ejemplo 1 X » ' l V 1 V2 k=0

j \ »+1

1 _ __

30 . 1 _ 2 M

Ejemplo 2. ]T2k = — — k=0 10

Ejemplo 3. £ 3 * = £ 3 W = 9 £ 3 k = 9 k»2 k=0 k«0

íi ii

1.9.8. ^ 1 = + l ) - k ) = n + l - l = n (trivial pero muy útil) k=l k=l

10

Ejemplo 1. Z 1 =10 k=l

1.9.9. ¿ ( 2 k - l ) = n 2

k=t 61

Solución: (k-1)2 = k2 - 2 k +1, entonces 2k - 1 = k2 - ( k -1 ) 2 y así,

¿ ( 2 k - l ) = ¿ [ k 2 - ( k - l ) 2 ] = n2. k-1 k»l

1° Ejemplo 1. £ ( 2 k - l ) = (l0)

k~í

20 20

Ejemplo 2. £ ( 2 * - l ) » £ [ ¿ 2 - ( ¿ - 0 =(20) ' - (3 -1) k=3 t=i

1.9.10. ^ k = - + (fórmula para la suma de los n-primeros números k=l ~

naturales).

Demostración: Partimos de la identidad Algebraica : k2 - (k-1)2 +1

(2k - l)2 = k2 - (k - l)2, entonces k = y por eso,

» 20(20 + 1) Ejemplo 1. £ k = — z

k=l

Ejemplo 2.

2 /, ,\2 y k k 2 - ( k - l ) 2 + l = ^ k 2 - ( k - i y ¿ k=3 2 k - 3 2 k - 3 2

1 30 I 30 I X k 2 - ( k - i ) 2

+ l z ( k + i ) - k

2 k=3 l k=3

i ( 3 0 ) 2 - i ( 3 - l ) 2+ i ( 3 0 + l ) - I x 3

^ , , n3 n2 n 1.9.11. £ k 2 = — + — + 3 2 6

Demostración (ejercicio). 62

Indicación: (k - l) = k - 3k~ + 3k - 1 y despejar k2

1.10 CÁLCULO DE ALGUNOS LÍMITES ESPECIALES.

1. Hallar . limi — + — +...+— »-«V2 4 2n

Solución:

.. , i i n lim — + —+...+ — n-«V2 4 2a J

l i m ¿ - ^ - = lim¡ ¿ - 4 r - l ™£Í2 «-+<£!> 2

= lim " i n+l

1 - 1 - 1

1 = 2 - 1 = 1 1 -

l2 + 22+...+ni 1 2. Calcular lim n—»»

Solución:

2 2 2 ,. 1 +2 +...+n lim n

= lim k-1 n

= lim

i 2 n n n

— + — + ~

3 2 6 _ 1 J -> n j

3. Hallar el límite de la sucesión {0.9,0.99,0.999,...}

Solución:

9 9 9 " 9 " 9 í" 9 = = e n t o n c e s = I N I Z -IO"

lim 9 1 -

1 10

0+1

- 9 I -

10

10

9

kW 10 ÍTo 10

9 -= lim • 10

9 10

n+l

- 9 = (9/10) - 9 = 10-9 = 1.

63

4 ^k(k + l)

Solución.

Primero transformaremos el término general, mediante operaciones algebraicas elementales.

V k + l - V k Vk +1 Vk 1 1 — = , - , = ~¡= - . , entonces, Jk(k +1) y¡k(k + l) /k (k + l) Vk Vk + 1

U m ¿ v p ^ = t i m ¿ r i i ) = l i m ¿ r i i tí y/k(k + l) £\yfk Vk + 1) VVkTí Vk

f 1 , = - hm - - = 1

"-"»Wn + l 1/

Hallar el límite de la sucesión dada por: an+1

Solución: a, = 1; a, = a1+1 = -/3a7 = V3

i i a , = a 2 + I = V ^ 7 = V3V3 = 32-34

i i i a4 - a*., = V3a7 = V3VW3 = 32 -34-38

L i l — + - — + . . . + —

_ _ 32 * 2" a„ - an_1+l - J

y como lim[ ^ + = ^ ¿ ^ T " entonces ljmaB = 31 = 3.

64

CAPÍTULO II S E R I E S

2.1. INTRODUCCIÓN

La finalidad de este capítulo, es precisar el significado del símbolo ai+a2+a3+..., es decir "sumas", que contienen un "numero infinito" de términos.

Los ejemplos más comunes de tales sumas ocurren en la representación 2

decimal de números reales, por ejemplo cuando se escribe — en la forma

decimal; 2 — = 0.666... quiere decirse:

2 6 6 6 - = 0.6 + 0.06 + 0.006+... = — + —t +...+ — + . . . 3 10 102 10"

El primer objetivo será precisar qué se entiende por suma de un número infinito de términos. Puesto que es imposible sumar un número infinito de sumandos, la suma infinita se tratará desde un punto de vista conceptual por medio de un proceso de límite que incluye sucesiones formadas de un modo muy particular, asi: Dada una sucesión (an) de números reales o complejos se puede formar una nueva sucesión (sn), donde sn es la suma de ios n primeros términos de la sucesión (an) de la forma siguiente:

si=ai s2=ai+a2

s3=ai+a2+a3

65

sn=ai+a2+a3+...an

Ejemplo . Dada la sucesión (an)

Solución: n(n+l).

, hallar la sucesión (Sn).

1 1 1 an = n(n + 1) n n +1

s , = a , = - -1

1 1+1 V 2

s2 = a, + a . ' - 1 2 J + l 2 V = 1 -

s, =a , +a 2 +a 3 = ¡ 1 + 1 1 W 1 1 V2 3 / V 3 4

= 1

s n = a l + a 2 + . . . + a n =[ 1 - ^ J + 4 = 1 r r = _ T T 2/ V2 3/ vn n + 1/ n+1 n+1

, luego (s„) es la sucesión n n + 1

Note que: 1 n lima0 * limsa, ya que lima„ = lim . - 0 y limsn = lim = 1.

n — n - » c o n(n +1) n— n+1

2.2. DEFINICIÓN DE SERIE NUMÉRICA

Sea (an) una sucesión de números reales, y para cada n e N defínase sn como:

66

1 1 1 1 1 1 n r r sn + ..+-=>-= + -=+...+-= = -= = V n , luego s,, > Vn

VI V2 Vn Vn Vn Vn Vn _ " 1 y como lim Vn = +oc, entonces !imsn = +qo y así la serie V — e s divergente.

t í Vn

Ejemplo 2. * 1 Demostrar que la serie armónica / — es divergente.

• n n=l

Solución:

sn =1 + — +...+— se puede considerar como la suma de las áreas de los n 2 n

rectángulos de base de unidad y de altura 1 , — r e s p e c t i v a m e n t e . (Fig 11). 2 n

f tA)=i /n fig 1 1

ti 4 - . . n - l n.

, 1 1 dx rdx "r'dx "p dx , , \ s n = l + r . . . + - , | - + J - + . . . + J T = | - = l n ( n + l ) y

sn > ln(n +1) y como lim(n +1) = +oo, entonces lim s„ = +oo, luego la serie QO J

]T — diverge.

asi

n=l

68

2.4. SERIE TELESCÓPICA

ac

Una serie de la forma X ( b t ~ s e dice telescópica. k-1

Si se define a„ como bn-bn.i, es decir, la n-ésima suma parcial de esta serie es:

n a

sn = Z a k = Z ( b k - b t , ) k - l k=l

= (a, +a2 +a3+...+an) = (bl - b 0 ) + (b, - bt) + (b3 - b2)+...+(bn - b„_t) = b n - b 0 „

Ya que limsn = lim(bn - b0), se tiene que la sucesión {s„} converge, si n-wo n - * »

limbn existe; en caso contrario la sucesión es divergente ; lueao la serie n-»oo

30

telescópica ^ ( b n - bB_,) es convergente y tiene suma L-b0, n=l

donde L = lim¿>„

Ejemplo 1. La serie £ ( 2 n - 1 ) es divergente.

Solución. Sea sn = £ ( 2 k - l ) = - ( k - l ) 2 ) = n 2 - 0 = n2 y como k - l k = l ^ '

2 *> limsn = limn" = +oo, la serie Y ( 2 n - l ) e s divergente. n-»x n - * «

n=I

Ejemplo 2. oo

La serie ^ n es divergente.

Solución.

69

•.-Zk-Z k=l k=l 2

- k=l - k=l - Z

n2 n n(n +1) - 2

=Z k=l

k 2 - ( k - l ) 2 " 1

k=l ¿

luego; lim sn = lim" * N = +QO y asi la serie Y n es divergente 2 n — n - » « 2 ? + 1

1 1 Ejemplo 3. Demostrar que la serie ^ ^ es convergente y hallar la

suma.

Solución.

a" (n + 4Xn + 5) n + 4 n + 5 , luego

s ' = a ' = H

i i W i i Sj = a, + a, + a, = | - -5 6 6 1) 8

A _ i 5 8

, i ñ r i n r i M i i S„ = a, + a,+...+a„ = ! - - - + r - - +...+ 5 6) V6 7/ " l n + 4 n + 5J 5 n + 5

luego: limsB = lim = «->»= n n-.xV5 n + 5 / 5 £rí'(n + 4Xn + 5)

* 1 1 Y así la serie Y converge y su suma es t í ( n + 4)(n + 5) 6 5

i (\ M Note que liman = lim = O y limS = lim - -n-.* n->a>(n + 4)(n + 5) »-»* °-»®V5 n + 5/ 1

70

así lima,, * IimS„. n—>-co n—>00

30 Ejemplo 4. Demostrar que la serie 1 es divergente

11= I Solución:

Sea an = 1, entonces S^ax= l 52 = «¡ + a2 = 1 +1 = 2 53 = al + a2 + a3 = 1 + 1 + 1 = 3

S„ = aj +a2+...+an = 1 + 1+...+1 = n ac

y como lira S n = + 00, se concluye que la serie ^ 1 es divergente. n-l

2.5. SERIE GEOMETRICA

Una serie de la forma ^ x " , d o n d e x es un número fijo ( x e R ) s e llama 0=0

geométrica, y demostremos a continuación que la serie en consideración

converge a —-— si jxj < 1 y diverge si |x| > 1. 1 ~~ x

Prueba : Sea Sn = = 1 + x + x2 +..,+x" = (ver cap. I). entonces k=0 ( l ~ x )

1 - x n + 1

íimS„ = lim--( l - x ) n—><x¡ n—•<»

1 i i SI Xi < 1 1 — X no existe si Ixl > 1.

K 1 luego la serie x" converge a —— si |x| < 1 y diverge si jxj > 1.

n=0 1 - X

71

n

s i x = \ , s n = Y<ik = Z i = Z ( ( * + i ) - * ) = « + i - o = «+i , k~Q k=O k=0 x¡

y como limS„ = lim(n +1) = +00, ^x" diverge si x = 1. n—»go n-*<¡o n=0

Si x = - 1 , la serie ^ ] ( - l ) a diverge, ya que la sucesión de sumas parciales [1=0

(Sn)= {1,0,1,...} diverge.

Ejemplo 1. La serie e s convergente.

• r - v ' - ( T -Solución: Sn = Y - = — y limSn = lim — = = 2 Í-Í\2J n-»» 1 1

~ 2 ~ 2 ~ 2

k - 0

luego la serie ¿ í —j converge y su valor es 2. n=0 ^2/

Ejemplo 2. La serie ¿ í - - j es convergente ¿v 3.

k 1 % n+1 / a+1

1 Solución: Sa = ¿ ( ~ ) = —— y limSn= lim r" ' \ i y I n—*cc n—o l u—kcc n a-*» 1

3 ¿ Cuál es el valor de convergencia de la serie ?.

3 3

•K. Ejemplo 3. La serie ]T.3B es divergente

Il-o jrn-l t inr t n | _ J _

Solución: Sn = Y 3k = y limS. = lim = +qo. 1 - 3 B«.oo 1 - 3

Ejemplo 4. Demostrar que 0.3 = —

72