Líneas de Espera

MAGISTER EN GESTION DE LA CONSTRUCCION

PROCESOS DE LÍNEAS DE ESPERA• Los procesos de Líneas de espera, corresponden a un caso particular de

modelos estocásticos, específicamente a la situación de procesos ergodicosde tiempo de transición continuo.

• A su vez un proceso Estocástico es un modelo que representa la evoluciónperiodo a periodo de un sistema real, en el cual dicho sistema se encuentraen un cierto período sólo en uno de los posibles estados. La transiciónentre los estados es producto de la interacción de una o más variablesaleatorias.

j kVariable aleatoria que tiene unacierta probabilidad deocurrencia

• Ejemplo clásico de esta situación, la constituye el inventario en unalmacén o una bodega, suponga que el stock inicial es de cinco unidades yque la demanda por el producto puede tomar los valores entre 0 y 9 conprobabilidades de 10% para cada situación y que si al termino del periodoel stock es 0, efectúa un pedido de 5 unidades que estará disponible alinicio del próximo período.

5 5

4

3

2

1

5

Demanda = 0 probabilidad = 0,1

Demanda = 1 probabilidad = 0,1

Demanda = 2 probabilidad = 0,1

Demanda = 3 probabilidad = 0,1

Demanda = 4 probabilidad = 0,1

Demanda = 5 o más probabilidad = 0,5

Llega al término del período con cero pero pide 5Con lo cual inicia el período siguiente con 5

Este tipo de modelo, se clasifica como ergódico, si es posible ir de un estadocualquiera a otro en algún periodo, con una probabilidad no nula, esto ocurresi no existe algún estado al cual se llega y del cual no se puede volver a salir.

Si el tiempo de transición se hace lo suficientemente pequeño, la transiciónentre estado será en tiempo continuo, situación que conduce a procesos delíneas de espera.

En estos sistemas de líneas de espera, se pueden distinguir dos componentes:

•El mecanismo de servicio•El mecanismo de llegada

Ambos mecanismos se comunican a través de la línea de clientes que esperanservicios, si un nuevo cliente llega, alimenta la línea de espera, en cambio si esatendido un cliente la línea de espera disminuye.

Servicio

Línea de espera

Llegada Salida

•El mecanismo de servicio1. Los tiempos de servicios son aleatorios y en general corresponde a

una distribución exponencial con media θ. De este sistema esnecesario explicitar:

2. Cantidad de servicios diferentes que ofrecen: si es más de uno, seforma una red de líneas de espera

3. Número de servidores que otorgan independientemente un mismotipo de servicio

4. Rechazo de clientes5. tipo de servidores: diferentes velocidades de trabajo6. configuración : donde se ubican los puestos de servicios

•El mecanismo de LlegadaLos tiempos de servicios son aleatorios y en general corresponde a unadistribución exponencial con media θ. De este sistema es necesario explicitar:

1. Tamaño de la fuente de clientes: si es infinito la tasa de llegada es constante

2. Presencia de auto rechazo3. Rechazo de clientes

• Parámetros

1. Nt Estado del sistema o número de clientes en el sistema en el instantet. Los sistemas se pueden encontrar en dos condiciones, transitoria si elnúmero de clientes depende del tiempo transcurrido desde el inicio(cantidad de gente que espera que abran el banco) o en régimenpermanente. En este último caso el estado del sistema es independientede la condición inicial de o borde.

2. N estado del sistema en régimen permanente3. λN Tasa de ingreso al sistema si en él existen N clientes4. µN tasa de servicio del sistema si en él existen N clientes5. PN probabilidad de que en sistema existan N clientes.6. L Valor esperado del número de clientes en el sistema7. Lq Valor esperado del número de clientes en la línea de espera8. W Valor esperado del tiempo de permanencia de 1 cliente en el

sistema9. Wq Valor esperado del tiempo de permanecía de 1 cliente en la línea de

espera

Para resolver los modelos de líneas de espera se emplea, el proceso denacimiento y muerte.

Este establece que en un cierto periodo sólo puede ocurrir una llegada y/ouna salida del sistema, descartando la ocurrencia de dos o más sucesos de unmismo tipo. Para estos efectos disminuye el intervalo de tiempo tan pequeñocomo sea necesario, con lo cual las tasas de llegada disminuyen yconsecuentemente la probabilidad de dos más sucesos.

El distribuir exponencial los tiempos de servicios y los tiempos entre llegadas,las tasas de ocurrencias de número de sucesos por unidad de tiempodistribuyen poisson con media igual a la inversa de la media de la distribuciónexponencial que corresponda.

Diagrama de Nacimiento y Muerte

Para encontrar la relación entre estados se plantea:Tasa de entrada a un estado = Tasa de salida del estado

La tasa de entrada esta dada por la interacción de la ocurrencia de unallegada y la probabilidad de estar en el estado inmediatamente inferior o lacorrencia de una salida y la probabilidad de estar en el estadoinmediatamente superiorLa tasa de salida esta dada por la interacción de la ocurrencia de una llegaday la probabilidad de estar en el estado (va la superior) o la correncia de unasalida y la probabilidad de estar en el estado (va al inferior)

0 1 2 k N-1 N

λ0 λ1 λ2 λk-1 λk λn-2 λNλn-1

µN-1 µNµN+1µk+1µkµ3µ2µ1

Por ejemplo estado cero:

µ1 * p1 = λ0 * p0

Por ejemplo estado uno:

µ2 * p2 + λ0 * p0 = λ1 * p1 + µ1 * p1

al despejar se llega a:

y en general a:

Luego se aplica la condición de que la suma de las probabilidades es 1

1

001 *

µλ

pp =

21

1001 *

**

µµλλ

pp =

j

ppk

j

k

ok

µ

λ

∏

∏−

=

1

1

0 *

Finalmente para los principales cuatro parámetros L, Lq, W y Wq, se tiene

∑= kpkL *

∑= kkprom p*λλ

prom

LW

λ=

µ1+= WWq

prom

qLWq

λ=

• MODELO DE LINEAS DE ESPERA - FUENTE INFINITA

Modelo I:

Fuente infinita, la llegada es a tasa constante

Un único tipo de servicio

Un solo servidor, el servicio es a tasa constante

0 1 2 k N-1 N

λ0 λ1 λ2 λk-1 λk λn-2 λNλn-1

µN-1 µNµN+1µk+1µkµ3µ2µ1

Aplicando equilibrio en estado cero:

µ * p1 = λ * p0

En el estado uno:

µ * p2 + λ* p0 = λ * p1 + µ * p1

al despejar se llega a:

y en general a:

Luego se aplica la condición de que la suma de las probabilidades es 1

µλ

*01 pp =

2

2

001 **

**

µλ

µµλλ

ppp ==

kk

k

k ppp ρµλ

** 00 ==

( ) ρρρ

ρ −=−

=== −∞

∑∑ 1

1

111 1

0

00k

k pluegop

ρρρ

ρρρρρ

−=

∂∂=== ∑∑∑

∞∞−

∞

1**

10

1

10

10

kkk pkpkpL

A partir de L se encuentra W, Wq y finalmente Lq

La condición de tasa de llegada constante, hace que la tasa promedio sea igual a

∑∑∑ ==∗=∗=k

kkkk

kkprom PPP λλλλλ

MODELO 2 : BASICO CON SERVIDORES = s

Supuestos:•Fuente Infinita•1 sólo tipo de servicio•s servidores•Distribuciones exponenciales

La tasa de servicio se va incrementado en la medida que entran en operación más servidores, los que a su vez entran en operación en la medida que se van incorporando clientes al sistema, de forma que:

casootroens

sksikk

µµµ

*

* ≤=

( ) ( )∑−

−+

=1

0 1

1

|

1/

|

/

10

ss

k

s

sk

p

µλ

µλµλ

En este situación el análisis de los parámetro se inicia con la determinación Po y luego con Lq. Para el caculo de Po se debe explicitar la relación entre las probabilidades la cual queda:

Luego:

( )|

/*0

kppk

kµλ=

( ) sks

ssppk

−

=µ

λµλ*

*|

/*0

si k< = s

si k > s

2

1

*|

)/(*0

−

=

µλ

µλ

µλ

s

s

spLq

sFinalmente

Modelo de Líneas de Espera con Fuente Finita

Los modelos de líneas de espera con fuente finita, representan lamayor parte de los casos en los procesos constructivos, en el cualla cantidad de clientes, corresponde a un número finito deequipos, trabajadores, camiones, etc. La solución de los modelos,se efectuá considerando la determinación del coeficiente Ck, querelaciona la Probabilidad de encontrarse el sistema en el estado ky la probabilidad de que no existan clientes Po

11

−−= kk

kk CC

µλLa relación se determina como

una regla de recurrencia entre Ck y el inmediatamente anterior Ck-1. En la cual C0 = 1

En este tipo de modelos, la tasa de llegada de los clientes, depende del número de clientes que se encuentra ya en el sistema, de forma que si se considera la tasa individual de ocurrencia lambda

1−kλ

kµ

k-1 k

λλ *)( kMk −=

Las relaciones Ck, se tabulan, su suma corresponde al inverso de Po, con lo cual se puede calcular fácilmente Pk. Luego en la misma tabla se determina L, Lq, y lambda promedio, considerando la contribución de cada estado a L , Lq y lambda promedio

k Ck Pk L Lq lambda k

0 1 Po=1/suma(ck) 0*Po

1 C1 P1= C1*Po 1*P1

2 C2 P2= C2*Po 2*P2

3 C3 P3= C3*Po 3*P3

M CM PM= CM*Po M*PM

suma(ck) suma =L suma= Lq

si k<s considere 0

si k> s considere (k-s)Pk

Ejemplo:En una faena de movimiento de tierra, se dispone de ocho camiones, cada uno conun tiempo promedio de ciclo desde que salen cargados hasta que regresan de 30minutos. Para efectuar el servicio de cargío, se puede disponer de uno, dos o trescargadores frontales, cada uno de ellos trabaja individualmente con un tiempo decarga de 20 minutos.Determine, L, Wq y la fracción de tiempo en que al menos 1 cargador está ocioso.

Modelo de Líneas de Espera con Fuente Finita y Equipos de Reserva

En adición a disponer de un número limitado de equipos, seincluye la incorporación de equipos adicionales, toda vez que segatilla la aplicación de una condición producida por la falla de losequipos en operación.

La mayor parte de estos sistemas, corresponde a larepresentación de sistemas de reparación de equipos. Porejemplo una política de producción puede ser mantener comomínimo cinco equipos trabajando, ello implica que cada vez quecomo producto de las fallas de los equipos en producción existanmenos de cinco, se incorporara uno de los equipos de reserva. Loanterior será valido hasta la incorporación de todos los equiposde reserva.

Por ejemplo suponga que dispone de 7 equipos en producción y tres equipos en reserva, y que su política es mantener a lo menos cinco en producción.

Inicialmente, se tendrán los siete equipos produciendo y ningunoen reparación, al fallar el primer equipo se tendrán seis enproducción y uno en reparación, al fallar un segundo equipoquedan cinco en producción y dos en reparación.

Si se produce una nueva falla, quedarán cuatro de los equiposoriginales, por lo cual se incorpora el primero de reserva, estandocinco en producción y tres en reparación. El proceso, continuahasta el momento en que todos los equipos se encuentren en elsistema de reparación

Falla 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Produccion 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0

Reserva 0 0 0 1 2 3 3 3 2 1 0

Total en Produccion 7 6 5 5 5 5 4 3 2 1 0

Ejemplo:Considere en el caso anterior que la tasa individual de fallas es una 8 horas y que eltiempo de reparación es de 4 horas y que se dispone de dos equipos de reparación

Estado lambda nu Ck

0 7*1/8 0,875 1,000

1 6*1/8 0,750 0,250 3,500

2 5*1/8 0,625 0,500 5,250

3 5*1/8 0,625 0,500 6,563

4 5*1/8 0,625 0,500 8,203

5 5*1/8 0,625 0,500 10,254

6 4*1/8 0,500 0,500 12,817

7 3*1/8 0,375 0,500 12,817

8 2*1/8 0,250 0,500 9,613

9 1*1/8 0,125 0,500 4,807

10 0*1/8 0,000 0,500 1,202

76,025

Acorde a los equipos que están en producción

µ=1/4

µ=2*1/4

11

−−= kk

kk CC

µλ

Estado lambda nu Ck Pk L Lq lambda prod

0 0,875 1,000 0,0132 0,0000 0,0000 0,0115 7

1 0,750 0,250 3,500 0,0460 0,0460 0,0000 0,0345 6

2 0,625 0,500 5,250 0,0691 0,1381 0,0000 0,0432 5

3 0,625 0,500 6,563 0,0863 0,2590 0,0863 0,0539 5

4 0,625 0,500 8,203 0,1079 0,4316 0,2158 0,0674 5

5 0,625 0,500 10,254 0,1349 0,6744 0,4046 0,0843 5

6 0,500 0,500 12,817 0,1686 1,0116 0,6744 0,0843 4

7 0,375 0,500 12,817 0,1686 1,1802 0,8430 0,0632 3

8 0,250 0,500 9,613 0,1264 1,0116 0,7587 0,0316 2

9 0,125 0,500 4,807 0,0632 0,5690 0,4426 0,0079 1

10 0,000 0,500 1,202 0,0158 0,1581 0,1264 0,0000 0

76,025 1 5,4794 3,5518 0,4819

Pk=Ck/suma(ck)