L02 Resolucion Sistemas NL

5/9/2018 L02 Resolucion Sistemas NL - slidepdf.com

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0/09/2008 1

LECCIÓN 2

Asignatura:

Modelización Numérica de Estructuras deHormigón mediante el MEF

Máster Oficial en:

Ingeniería delHormigón

Departamento:

Ingeniería de laConstrucción

MÉTODOS DE RESOLUCIÓNDE SISTENAS DE ECUACIONES

NO LINEALES.

Pedro Miguel Sosa

Miguel A. Fernández Prada



30/09/2008 2

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S D E R E S O L U C I Ó N

D E

S I S T E N A S

D E E C U A

C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:

Modelizaciónde Estructurasde Hormigón

mediante MEF

ÍNDICE

Clasificación de los Métodos de resolución de sistemasde ec. No lineales

Métodos de Nivel de Carga Constante

Método de Iteración directa Método de Newton-Raphson Método de Newton-Raphson modificado Método incremental

Métodos Cuasi-NewtonMétodos Globalmente Convergentes

Métodos de Control de Respuesta Método Arc-Length Método de Crisfield Método del Camino Plano

Ejemplos

Clasificación de los Métodos de resolución de sistemasde ec. No lineales

Métodos de Nivel de Carga Constante

Método de Iteración directa Método de Newton-Raphson Método de Newton-Raphson modificado Método incremental

Métodos Cuasi-NewtonMétodos Globalmente Convergentes

Métodos de Control de Respuesta Método Arc-Length Método de Crisfield Método del Camino Plano

Ejemplos



30/09/2008 3

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2


D E

S I S T E N A S D E E C U A

C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

CALISIFICACIÓN DE LOS MÉTODOSDE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES

Métodos de Nivel de Carga Constante.

Método de iteración directa o Método de Rigidez Secante.

Método de Newton-Raphson.

Método de Newton-Raphson Modificado.

Método Incremental

Métodos Cuasi-Newton.

Métodos de Control de Respuesta.

Control por Arco.

Método de Crisfield.

Método de Camino Plano.

Métodos de Nivel de Carga Constante.

Método de iteración directa o Método de Rigidez Secante.

Método de Newton-Raphson.

Método de Newton-Raphson Modificado.Método Incremental

Métodos Cuasi-Newton.

Métodos de Control de Respuesta.

Control por Arco.

Método de Crisfield.

Método de Camino Plano.



30/09/2008 4

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2


D E


C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

MÉTODOS DE NIVEL DE CARGA CONSTANTE

La magnitud de las fuerzas aplicadas es fijaLa magnitud de las fuerzas aplicadas es fija

r

f

)(rfni

• Permiten conocer los desplazamientos nodales para una carga aplicada determinada

rsol

fne



30/09/2008 5

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2


D E


C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

MÉTODOS DE NIVEL DE CARGA CONSTANTE

∑ ∫ ∑ ⋅⋅⋅=

e V

e T e e

e

Ge

e

dV σBTF

Sistema de ecuaciones planteado por el MEF (n ecuaciones)

∑ ∫ ⋅⋅⋅=

e V

e T e e

e

dV σBTrfni )( fuerzas nodales internas equivalentes

∑=e

Ge Ffne fuerzas nodales exteriores equivalentes

r

f

fni(r)

fne

rsolSolución

rNo solución

ψ ψψ ψ (r)

)r(fnifne)r(ψ −= fuerzas nodales residuales

∑≡

e

Ensamblaje

Calcular el valor de r que hace ΨΨΨΨ(r)=0

0)r(fnifne)r(ψ =−= sol sol



30/09/2008 6

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2


D E


C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

MÉTODO DE ITERACIÓN DIRECTA

r

f

fni(r)

fne

rsol

Solución

rNo solución

ψ ψψ ψ (r)

( ) ( )o s o εεεDσσ −⋅=− Ds

DT

σ

ε

εo

σo

( ) ( ) rrKrfni ⋅= s

∫ ⋅⋅⋅=e V

e se T e se dV BDBK

Material

Elemento

Estructura

Ks(r)



30/09/2008 7

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2


D E


C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

MÉTODO DE ITERACIÓN DIRECTA

( ) fnerKr ⋅= −+ i s i

11

o r

( )i s rK

)r(fnifne)r(ψ 11 ++ −= i i

sol r

)r(ψ 1+i

r

f

fni(ri)

fne

rsolri

Ks(ri)

ri+1

Ks(ri+1)

ψ ψψ ψ (ri)



30/09/2008 8

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L U C I Ó N

D E S I S T E N A S D E E C U A

C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

RIGIDEZ TANGENTE

∑ ∫ ⋅⋅⋅=

e V

e T e e

e

dV σBT)r(fni

( ) ( )[ ]

( ) ( )

G T G

e

T ej Te ei

G

e

T e

V e T

T e e T

T e e

e

Ge T e e T

T e e T

T e e

e V

e e T

T

e V

e e T

T

e e

e V

e

T e

V e

T e e

d d

d dV

dV d

dV d dV d

dV d dV d

d d

e

e e

e e

rKrTKT

rTGSGΒDBT

rTGSGΒDBT

rGSGrΒDBT

rσr

Br

rε

ε

σBT

rr

rfniΨ

⋅−=⋅

⋅⋅−=

=⋅

⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=

=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=

=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−=

=

⋅⋅⋅

∂

∂+⋅

∂

∂⋅⋅⋅=

=⋅∂

∂−=

∑

∑ ∫

∑ ∫ ∑ ∫ ∫

∑ ∫ ∫ ∂

∂

)(

)r(fnifne)r(ψ −=

G T d d rKΨ ⋅−=



30/09/2008 9

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S



C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

RIGIDEZ TANGENTE

r

f

fni(r)

fne

rsolr

KT(r)

dr

ψ ψψ ψ (r) dψ ψψ ψ

( ) ψrKr d d T ⋅−= −1

( ) ( )o T o εεεDσσ −⋅=−

∫ ∫ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=e e V

el Te T ej

V el Te

T ej Te dV dV GSGBDBK

Material

Elemento

Estructura ∑ ∫ ⋅⋅⋅=

e V

e T e e

e

dV σBTrfni )(



30/09/2008 10

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S



C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

r

f

fni(ri)

fne

rsolri

KT(ri)

∆r

∆∆∆∆ψ ψψ ψ =0- ψ ψψ ψ (ri)

ri+1

( ) ( )i i T i i rψrKrr ⋅+= −+

11

o r

( )i T rK


sol r

)r(ψ 1+i

)r(fnifne)r(ψ o o −=



30/09/2008 11

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S



C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO

r

f

fni(r)

fne

rsolri

KT(ro)

∆rri+1

( ) ( )i o T i i rψrKrr ⋅+= −+

11

o r

( )o T rK


sol r

)r(ψ 1+i

)r(fnifne)r(ψ o o −=

ro

ψ ψψ ψ (ro)

ψ ψψ ψ (ri) ( )o T rK 1−



30/09/2008 12

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S



C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

MÉTODO INCREMENTAL

)()( n n rfnifnerψ −=

r

f

fni(ri)

fne

rsolri

KT(ri-1)

∆riri+1

( ) ( )[ ]111

1 −−−

− +∆⋅+= i i i T i i rψfnerKrr

1−i r

( )1−i T rK

sol r

)( n rψ

)()( 111 −−− −= i i i rfnifnerψ

ψ ψψ ψ (ri-1)fnei-1

fnei

∆∆∆∆fnei

ri-1

fni(ri-1)

ψ ψψ ψ (ri)

i=1,n

( ) ( )n n T n n rψrKrr ⋅+= −+

11

N e w t o n - R a p h s o n



30/09/2008 13

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S



C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

MÉTODO DE CUASI-NEWTON

i i i i rKrψrψ ∆=− − .)()( 1

1

1)()(

−

−

−

−=

i i

i i i

r r

rrψψ

K n ecuaciones

n x n incógnitas

Algoritmos de solución

11 −− ∆+= i i i KKKA)

B) 11

11

1 −−

−−

−∆+= i i i KKK

La matriz de rigidez se calcula con los resultados de las iteraciones anteriores.

i i T i i AKAK ⋅⋅= −

−− 1

11

Algoritmo BFGS

(Braydon- Fletcher - Goldferb -Shanno)

⋅∆

−⋅∆+⋅=

−−

−−−

11

111

)(1

i T i

i i T i

i i r ψ

ψψrψv

)( 11

1

−−

−

−⋅∆

∆=

i i T i

i i

ψψr

rw

T i i i wvIA ⋅+=

r

f

fni(ri-1)

fne

rsolri

Ki

ri+1

ψ ψψ ψ i-1

fni(ri)

ψ ψψ ψ i

ri-1

∆ri-1

Newton-secante

( )1

11

1

−

−−

−⋅

⋅+=

i i

T

T i K ψψb

bbK

*1

*1 −− ∆−∆+∆= i i i rrrb

111

*1

11

*

−−

−

−

⋅−=∆⋅−=∆

i T i

i T i

ψKrψKr



30/09/2008 14

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S



C I O N E S

N O

L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

MÉTODOS GLOBALMENTE CONVERGENTES

−⋅−

−⋅−⋅

−

−=

)λ

21(

)λ21(

λ / λλ / λ

λ / 1λ / 1

22

11

2

21

2

12

22

21

o

o

f f

f f

b

a

a

f a b b o n

3

6λ

2 ⋅⋅−+−=

)1λ0(λ1 ≤<∆⋅+=+ i i i rrr

Encontrar el valor de λ para reducir el valor de f por debajo de fo:

o

o

f f

f

+=

1

2λ

1λ1 =

)λ()λ(2

1)λ( i n i

T i i n i n r r r r f ∆+⋅∆+⋅= ψψ

)()(2

1)0( i

T i i o r r f f ψψ ⋅⋅==0λ =o

)()(2

1)1(1 i i

T i i i r r r r f f ∆+⋅∆+⋅== ψψ

)λ()λ(2

1)λ( 2222 i i

T i i i r r r r f f ∆+⋅∆+⋅== ψψ

)λ()λ(2

1)λ( i n i

T i i n i n r r r r f ∆+⋅∆+⋅= ψψ

−⋅−

−⋅−⋅

−

−=

−−

−−

−−−−

−−)λ21(

)λ21(

λ / λλ / λ

λ / 1λ / 1

11

22

212

221

2

1

2

2

n o n

n o n

n n n n

n n f f

f f

b

a

)()(1i i T i rψrKr ⋅−=∆ −



30/09/2008 15

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S



C I O N E S

N O

L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

MÉTODOS DE CONTROL DE RESPUESTA

La magnitud de las fuerzas aplicadas es variable y sedetermina por una condición adicional

La magnitud de las fuerzas aplicadas es variable y sedetermina por una condición adicional

r

f

)(rfni

• Permiten conocer por puntos la trayectoria de carga-desplazamiento

• Permiten determinar el valor máximo de la carga (capacidad resistente)

• Permiten reproducir la rama descendente de la trayectoria de carga-desplazamiento

Condición de carga



30/09/2008 16

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S



C I O N E S

N O

L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF


∑ ∫ ∑ ⋅⋅⋅=⋅

e V

e T e e

e

Ge

e

dV σBTFµ )(µ)( rfnifnerψ −⋅=n ecuaciones

0),µ( =rg condición adicionaln+1 incognitas:

(r, µ)

r

f

fni(ri)

rsolri ri+1

ψ ψψ ψ (ri)

0),µ( =rg

)(rfni

fne⋅i µ

fne⋅+1µi

fne⋅∆ i µ

i r∆

( ) i i T i i rrKfnerψ ∆⋅−⋅∆=∆ µ)(

( ) ( ) )(µ 11i i T i T i i rψrKfnerKr ⋅+⋅⋅∆=∆ −−

i i i i rrr ′∆+′′⋅∆=∆ µ

i

r ′′i

r′∆

0),µµ( =∆+∆+ i i i i g rr

0)µ,µµ( =′∆+′′⋅∆+∆+ i i i i i i g rrr

0)µ( =∆ i h i µ∆

(ecuación de constricción)

Sistema de ecuaciones planteado por el MEF (n+1 ecuaciones)Sistema de ecuaciones planteado por el MEF (n+1 ecuaciones)

Factor de control

del nivel de carga



30/09/2008 17

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L

U C I Ó N


C I O N E S

N O

L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF


)(µ)( i i i rfnifnerψ −⋅=

i i µ,r

( )i T rK

( ) fnerKr ⋅=′′ −i T i

1

( ) )(1

i i T i rψrKr ⋅=′∆−

Proceso de cálculoProceso de cálculo

r

f

fni(ri)

rsolri ri+1

ψ ψψ ψ (ri)

0),µ( =rg

)(rfni

fne⋅i µ

fne⋅+1µi

fne⋅∆ i µ

i r∆

i i h µ0)µ( ∆→=∆

i i i i i rrrr ′∆+′′⋅∆+=+ µ1



30/09/2008 18

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L

U C I Ó N

D E S I S T E N A

S D E E C U A

C I O N E S

N O

L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

MÉTODO “ARC-LENGTH”

0)µµµ()()µ,( 2222 =−⋅∆+−⋅+∆+−≡∆∆ m i m i i m i i i l b g frrrrLa ecuación de constricción es un arco ‘elíptico’

r

f

ri

)(rfni

fne⋅m µ

fne⋅+1µm

1+m l

1+m r

m l

rm

fne⋅i µ

i i i i rrr ′∆+′′⋅∆=∆ µ

0)µµµ()µ()µ( 2222 =−⋅∆+−⋅+∆⋅′′+′∆+−≡∆ m i m i i i i m i i l b h frrrr

Ecuación de segundo grado

Escoger entre las 2 soluciones

• avance

• retroceso



30/09/2008 19

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L

U C I Ó N

D E S I S T E N A

S D E E C U A

C I O N E S

N O

L I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

MÉTODO DE CRISFIELD

i i i i rrr ′∆+′′⋅∆=∆ µ

0)()µ,( 22 =−∆+−≡∆∆ m i m i i i l g rrrrLa ecuación de constricción es un arco ‘elíptico’ con b=0

r

f

)(rfni

fne⋅m µ

fne⋅+1µm

1+m r

rm

0)µ()µ( 22 =−∆⋅′′+′∆+−≡∆ m i i i m i i l h rrrr

m l

i i i i rrr ′∆+′′⋅∆=∆ µ

1+m l


Escoger entre las 2 soluciones• avance

• retroceso



30/09/2008 20

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L

U C I Ó N

D E S I S T E N A

S D E E C U A

C I O N E S

N O L

I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

MÉTODO DE CAMINO PLANO

0µ)µµµ()()µ,( 2211 =−⋅∆⋅∆+−⋅+∆⋅∆+−≡∆∆ m i m i

T i m i i i l b g frrrrr

( ) fnerKr ⋅=′′ −m T

11

La ecuación de constricción es un plano normal al vector tangenteen un punto fijo a una distancia no nula

0µ)µµµ()µ()µ( 2211 =−⋅∆⋅∆+−⋅+∆⋅∆⋅′′+′∆+−≡∆ m i m i

T i i i m i i l b h frrrrr

i i i i rrr ′∆+′′⋅∆=∆ µ

r

f

ri

)(rfni

fne⋅m µ

fne⋅+1µm

1+m rrm

1+m l

m l

0)(ψ)( 111

1 =⋅=′∆ − rrKr T

0)µ()µ()µ( 2221

211 =−⋅∆⋅+∆⋅′′≡∆ m i l b h fr

m rr =1

0)(ψ 1 =r

111 µ rr ′′⋅∆=∆

1µ∆




30/09/2008 21

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L

U C I Ó N

D E S I S T E N A

S D E E C U A

C I O N E S

N O L

I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

MÉTODO DE DESPLAZAMIENTO IMPUESTO

0))()()((),( =−∆+−≡µ∆∆ m i m i i i l k r k r k r g r

La ecuación de constricción es el desplazamiento impuesto de ungrado de libertad de un nodo prefijado

0)()()()()( =−µ∆⋅′′+′∆+−≡µ∆ m i i i m i i l k r k r k r k r h

i i i i k r k r k r )()()( ′∆+′′⋅µ∆=∆

r(k)

f

ri

)(rfni

fne⋅m µ

fne⋅+1µm

1+m rrm

1+m l m l

i

i m i m i

k r

k r k r k r l

)(

))()()((

′′

′∆+−−=µ∆

r(j)

f

ri

)(rfni

fne⋅m µ

fne⋅+1µm

1+m rrm

1+m l m l

j≠k



30/09/2008 22

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L

U C I Ó N

D E S I S T E N A

S D E E C U A

C I O N E S

N O L

I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

MÉTODO DEL INCREMENTO DE TRABAJO IMPUESTO

0)(),( =ξ−⋅µ⋅∆+−≡µ∆∆ m m T

i m i i i g frrrr

La ecuación de constricción es el incremento de trabajo que seimpone a la estructura en cada paso

( ) 0)( =ξ−⋅µ⋅µ∆⋅′′+′+−≡µ∆ m m T

i i i m i i h frr∆rr

i i i i rrr ′∆+′′⋅µ∆=∆

m T

i

m i m i m i

µ⋅⋅′′

µ⋅⋅′∆+−−ξ=µ∆

frfrrr )(



30/09/2008 23

Máster Oficial en:


Departamento:


LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L

U C I Ó N

D

E S I S T E N A

S D E E C U A

C I O N E S

N O L

I N E A L E S

Asignatura:


mediante MEF

EJEMPLO

27

5)(

r

r r fni

+

⋅=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

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