La adquisición del lenguaje algebraico

UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA

La adquisicin del lenguaje algebraico y la deteccin de errores comunes cometidos en lgebra por alumnos de 12 a 14 aos

Autor: M de las Mercedes Palarea Medina Director: D. Martn M. Socas Robayna

Departamento de Anlisis Matemtico

D. Martn M. Socas Robayna, Catedrtico de E.U. de Didctica de las Matemticas de la Universidad de La Laguna.

CERTIFICA:Que la presente Memoria titulada La adquisicin del lenguaje algebraico y la deteccin de errores comunes cometidos en lgebra por alumnos de 12 a 14 aos , ha sido realizada bajo la direccin del que suscribe, por la Licenciada M de las Mercedes Palarea Medina, y que constituye su Tesis para optar al grado de Doctora en Ciencias Matemticas.

Y para que as conste a los efectos oportunos, firma la presente a 3 de diciembre de 1998.

Quiero expresar mi ms sincero agradecimiento a todas las personas que de forma directa o indirecta me han ayudado en la realizacin de esta Tesis. En primer lugar al Dr. D. Martn M. Socas por su experta y oportuna labor de direccin durante el desarrollo de esta Tesis, por su gran disponibilidad y paciencia y sus continuas enseanzas y sugerencias, respetando siempre mis ideas; por su buen hacer tanto cientfico como humano. Gratitud profunda a D. Ncere Hayek quien ha sido un ejemplo para m desde que entr en la Universidad, se ha preocupado porque sea una buena estudiante y profesional y me lo ha demostrado con sus palabras de aliento. A todos los compaeros del Departamento de Anlisis Matemtico por su colaboracin y continuo nimo, as como a los compaeros del Centro Superior de Educacin. A las Profesoras M Candelaria Afonso, Ins Plasencia y Aurelia Noda por sus correcciones y sugerencias para esta Memoria. A la Dra. Josefa Hernndez por su paciencia y nimo ininterrumpido a lo largo de todos estos aos: Gracias. A nivel de instituciones quisiera agradecer a la propia Universidad de La Laguna, al Centro de Investigacin y Estudios Avanzados (C.I.N.V.E.S.T.A.V.) de Mxico y a los tres centros escolares de La Laguna: Santa Rosa de Lima (Dominicas), San Bartolom (Tejina) y Nuestra Seora del Coro (La Verdellada), la posibilidad que brindaron a este Proyecto. A los directores, profesores de los Centros, personal de administracin y a todos los alumnos que participaron en la parte experimental de este trabajo. A toda "mi familia", en especial a mi madre, que ha sido capaz hasta el ltimo momento de la entrega de esta Memoria, de servirme de modelo en el trabajo y de hacer grandes renuncias para que esto fuera posible.

A mi madre

NDICE INTRODUCCIN .............................................................................. VII Captulo 1 Aproximacin Al Problema De Investigacin 1.1 I NTRODUCCIN .......................................................................... 1 1.2 E L PROBLEMA GENERAL DE LA INVESTIGACIN ............................... 1 1.2.1 Caracterizacin De La Investigacin ......................................... 3 1.3 L A ENSEANZA-APRENDIZAJE DEL LGEBRA ESCOLAR ....................... 4 1.3.1 El lgebra Histricamente. Breves Consideraciones Epistemolgicas4 1.3.2 El lgebra Escolar .................................................................. 6 1.3.2.1 El lgebra En Las Diferentes Reformas Educativas .................. 8 1.3.2.2 El lgebra En La Enseanza Secundaria Obligatoria ............ 11 1.4 I NVESTIGACIONES SOBRE LA ENSEANZA-APRENDIZAJE DEL LGEBRA ESCOLAR .......................................................................................... 15 1.5 C ONCLUSIONES E IMPLICACIONES ................................................ 48 Captulo 2 Marco Terico Y Objetivos De La Investigacin 2.1 I NTRODUCCIN ........................................................................ 53 2.2 MARCO CONCEPTUAL ................................................................ 53 2.2.1 Los Signos Con Significado Algebraico .................................... 53 2.2.2 Dificultades, Obstculos Y Errores En El Aprendizaje Del lgebra 73 2.2.2.1 Dificultades ....................................................................... 74 2.2.2.2 Obstculos ......................................................................... 75 2.2.2.3 Errores .............................................................................. 77 2.2.3 La Nocin De Comprensin Y Los Sistemas De Representacin ... 83 2.2.4 Habilidades Cognitivas De Carcter Operacional Y Conceptual .. 95 2.3 D ELIMITACIN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIN: OBJETIVOS E HIPTESIS ............................................................................................ 98 2.4 R ACIONALIDAD DEL ESTUDIO Y SU JUSTIFICACIN ....................... 100

Captulo 3 Diseo Y Metodologa De La Investigacin 3.1 INTRODUCCIN ................................................................................103 3.2 P LANIFICACIN DE LA INVESTIGACIN. C ATEGORAS DE ANLISIS ...104 3.3 D ISEO GENERAL Y FASES DE INVESTIGACIN .............................115 3.3.1 Diseo General De Investigacin ..........................................115 3.3.2 Focos, Etapas Y Fase De La Investigacin ..............................116 3.3.3 Poblacin ...........................................................................120 3.4 E L DISEO DE INSTRUCCIN ...................................................123 3.4.1 Introduccin .......................................................................123 3.4.2 Objetivos ............................................................................125 3.4.3 El Diseo Como Elemento De Instruccin ..............................126 3.4.3.1 El Diseo De Instruccin Para El Aprendizaje De Las Expresiones Algebraicas: Disea .......................................................................127 3.4.3.2 El Diseo De Instruccin Para El Aprendizaje De Las Ecuaciones Lineales Con Una Incgnita: Disec................................................138 3.4.3.3 Implementacin De Los Diseos .........................................144 3.5 E L DISEO DEL TEST PARA EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES LINEALES CON UNA INCGNITA ......................................................187 3.6 L AS ESCALAS DE ACTITUDES .....................................................194 3.6.1 Construccin De Las Escalas ................................................195 3.6.2 Codificacin De Los Datos ....................................................197 3.6.3 Fiabilidad Y Validez De Las Escalas .......................................197 3.6.4 Administracin De Las Escalas .............................................199 3.7 E NTREVISTAS A L OS ALUMNOS ........................................................200 3.7.1 Descripcin De Las Entrevistas .............................................203 3.7.2 Seleccin De Los Alumnos Para Las Entrevistas ......................204 3.7.3 Descripcin Y Desarrollo De Las Ecuaciones...........................204 Captulo 4 Elaboracin De Un Cuestionario Para El lgebra Escolar 4.1 I NTRODUCCIN ......................................................................209 4.2 DESCRIPCIN GENERAL DE LOS INSTRUMENTOS EMPLEADOS, TIPOS DE TEMS INCLUIDOS Y DESCRIPCIN DE LAS VARIABLES DE LA TAREA .......212

4.2.1 Primer Bloque: Corresponde A Los Cuestionarios C 1 Y C2 Implementados En El Curso 1990-91 ............................................ 212 4.2.2 Segundo Bloque: Corresponde A Los Cuestionarios C 3 Y C 4 Implementados En El Curso 1991-92 ............................................ 217 4.2.3 Tercer Bloque: Corresponde A Los Cuestionarios Denominados Pretest Y Postest, Implementados En El Curso 1992-93 .................... 224 4.2.4 Cuarto Bloque: Corresponde A Los Test A Y Test B, Implementados En El Curso 1994-95 .................................................................. 236 4.2.4.1 Construccin Del Test ....................................................... 236 4.2.4.2 Fiabilidad Y Validez Del Test .............................................. 247 4.3 D ISEO DEL CUESTIONARIO PARA EXPRESIONES ALGEBRAICAS: PRUEBA T ................................................................................... 250 4.3.1 Construccin De La Prueba T .............................................. 250 Captulo 5 La Primera Investigacin Sobre Expresiones Algebraicas 5.1 I NTRODUCCIN ...................................................................... 261 5.2 E TAPA EXPLORATORIA I ............................................................ 262 5.2.1 La Poblacin De Estudio ...................................................... 262 5.2.2 Diseo Y Desarrollo De La Experiencia ................................. 262 5.3 E TAPA EXPLORATORIA II. (91-92).............................................. 268 5.3.1 La Poblacin De Estudio ...................................................... 269 5.3.2 Diseo De La Investigacin ................................................. 269 5.3.3 Desarrollo De La Secuencia De Enseanza ............................ 270 5.3.4 Resumen De Datos .............................................................. 272 5.4 D ISEO EXPERIMENTAL. PRIMERA APLICACIN. (92-93) ............... 280 5.4.1 La Poblacin De Estudio ...................................................... 281 5.4.2 Diseo De La Investigacin ................................................. 281 5.4.3 Desarrollo De La Secuencia De Enseanza ............................ 282 5.4.4 Resumen De Datos .............................................................. 285 5.4.5 Entrevistas Individuales ....................................................... 291 5.4 6 Estudio Biogrfico De Un Caso ............................................ 331 Captulo 6 La Segunda Investigacin Sobre Expresiones Algebraicas

6.1 I NTRODUCCIN ......................................................................355 6.2 D ISEO EXPERIMENTAL. SEGUNDA APLICACIN. (95-96)...............355 6.3 L A POBLACIN DE ESTUDIO .....................................................356 6.4 D ISEO DE LA INVESTIGACIN ..................................................356 6.5 D ESARROLLO DE LA SECUENCIA DE ENSEANZA ..........................358 6.6 R ESUMEN DE DATOS ...............................................................369 6.6.1 Criterio De Calificacin De Los tems .....................................369 6.6.2 Anlisis De Las Respuestas ...................................................375 6.7 A UDIOGRABACIONES ................................................................386 6.8 E NTREVISTAS INDIVIDUALES .......................................................393 6.8.1 Contenido De La Entrevista .................................................397 6.8.2 Anlisis De Datos ................................................................398 6.9 E STUDIO BIOGRFICO ..............................................................416 Captulo 7 La Investigacin Sobre Ecuaciones 7.1 I NTRODUCCIN ......................................................................427 7.2 E TAPA EXPLORATORIA I ............................................................428 7.2.1 La Poblacin De Estudio ......................................................428 7.2.2 Diseo Y Desarrollo De La Experiencia..................................428 7.3 E TAPA EXPLORATORIA II. (91-92)..............................................432 7.3.1 La Poblacin De Estudio ......................................................433 7.3.2 Diseo De La Investigacin .................................................433 7.3.3 Desarrollo De La Secuencia De Enseanza ............................433 7.3.4 Resumen De Datos ..............................................................435 7.4 D ISEO EXPERIMENTAL. (92-93)...............................................436 7.4.1 La Poblacin De Estudio ......................................................439 7.4.2 Diseo De La Investigacin .................................................439 7.4.3 Desarrollo De La Secuencia De Enseanza ............................441 7.4.4 Resumen De Datos ..............................................................446 7.4.5 Entrevistas Individuales .......................................................447 7.4.6 Anlisis De Datos ................................................................451 7.4.7 Estudio Biogrfico De Un Caso.............................................479

Captulo 8 El Estudio De Actitudes De Los Alumnos 8.1 I NTRODUCCIN ...................................................................... 495 8.2 P RIMER ESTUDIO: LAS ACTITUDES DE LOS ALUMNOS HACIA LAS MATEMTICAS Y HACIA EL LGEBRA ....................................................... 504 8.3 A NLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA ACTITUD HACIA LAS MATEMTICAS ............................................................................................ 508 8.4 A NLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA ACTITUD HACIA EL LGEBRA ..... ................................................................................................. 512 8.5 C OMPARACIN DE LOS RESULTADOS DE AMBAS ESCALAS ............... 515 8.6 SEGUNDO ESTUDIO: EVOLUCIN DE LA ACTITUD HACIA LAS MATEMTICAS DESDE 3 A 8 CURSO ............................................................ 516 8.7 D ISCUSIN Y CONCLUSIONES .................................................... 517 Captulo 9 Conclusiones, Implicaciones Para La Enseanza Y Perspectivas Futuras 9.1 SITUACIN DE LA INVESTIGACIN ............................................. 519 9.2 C ONCLUSIONES ....................................................................... 520 9.2.1 Conclusiones Generales Respecto A La Metodologa E Instrumentos Utilizados ................................................................................... 520 9.2.2 Conclusiones Especficas Respecto A Los Objetivos E Hiptesis ... 521 9.3 C ONCLUSIONES GENERALES ...................................................... 528 9.4 PERSPECTIVAS FUTURAS ........................................................... 530 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ........................................................ 531

Introduccin

INTRODUCCIN La presente Memoria pretende expresar el proceso y los resultados de mi investigacin, relacionada con el lgebra escolar. El inters por este tema no es nuevo. Siempre me ha gustado y hasta me ha entusiasmado. Por eso no es extrao que desde mis primeras investigaciones en Didctica, mi inters se haya centrado en aquellos temas que desde mi experiencia docente, tanto oficial (Bachillerato antiguo, antes de la Ley del 70, la segunda etapa de la E.G.B. y Escuela de Magisterio), como extraoficial, planteaban dificultades en la enseanza y en el aprendizaje, ya que como bien seal el Profesor Russel J. Reiter en su conferencia de recepcin del Doctorado Honoris Causa por la Universidad de La Laguna Cmo llegar a ser un cientfico prominente, recordando a Ronal Dahl en la introduccin de su libro GOING SOLO: la vida est hecha de una larga serie de pequeos acontecimientos, y unos pocos grandes acontecimientos . El rea especfica de investigacin a la que llegu con estos antecedentes profesionales ha sido la del lgebra y dentro de ella, el lenguaje algebraico; no en vano mi trabajo fundamental de investigacin lleva por ttulo La adquisicin del lenguaje algebraico y la deteccin de errores comunes, cometidos en lgebra por alumnos de 12-14 aos, que permitir elaborar una propuesta didctica para la enseanza-aprendizaje del lgebra en dicha etapa, propuesta didctica original de un diseo que intente aportar mejoras en la enseanza-aprendizaje del lgebra. Nuestro trabajo de investigacin pretende ser una aportacin ms, tendente a evitar el fracaso en Matemticas, concretamente al adquirir el lenguaje algebraico. Sin casi darme cuenta me vena formulando qu caractersticas o variables tienen las dificultades que presentan los alumnos en el comienzo del aprendizaje del lgebra Escolar?, qu dificultades manifiestan explcita o implcitamente los profesores que imparten instruccin o ensean esta rama de la Matemtica en este nivel, correspondiente actualmente al inicio de la Educacin Secundaria Obligatoria?, qu caractersticas o variables hacen diferentes a las personas que les gusta, estn capacitadas y "rinden" en lgebra? Si se tiene en cuenta la historia de las caractersticas, se encuentra que "a priori" a las personas con un buen rendimiento en tareas de tipo matemtico en general, se les consideraba "inteligentes". Hace algunos aos los investigadores intentan identificar la forma o el "estilo" en que las personas perciben, piensan, resuelven problemas o estudian. A esta forma la han llamado los psiclogos "el estilo cognitivo" de la persona que segn Witkin y otros (1977) "es, el enfoque caracterstico que la persona utiliza ante una amplia gama de situaciones - lo que nosotros llamamos "estilo"- y debido

VII

Introduccin

a que este enfoque abarca sus actividades perceptivas e intelectuales, se le puede denominar su estilo cognitivo, por lo tanto explica las diferencias individuales, en la forma de organizar y procesar informacin y experiencia. Es claro que ante un mismo problema, diferentes personas utilizan distintas estrategias para afrontar su solucin. Estas estrategias, a veces, son caractersticas y especficas de una situacin determinada, pero, otras veces, se puede identificar un patrn, un modo de funcionamiento o estilo general, caracterstico de un individuo, o de un grupo de individuos, ante tareas y problemas en muy variadas situaciones. Estos estilos o estrategias, reflejan diferencias en la forma en que los sujetos piensan, estudian, perciben, memorizan, resuelven problemas, hacen representaciones, etc. Aunque los estilos cognitivos, se refieren ms, a la forma, que al contenido y competencia de la actividad cognitiva, y su caracterizacin hay que hacerla en trminos de procesos, nosotros vamos a considerar los estilos cognitivos de los alumnos, respecto al pensamiento algebraico, en trminos de habilidades cognitivas de carcter operacional y habilidades cognitivas de carcter conceptual. En este planteamiento cognitivo el papel de los diferentes sistemas de representacin en lgebra surge de una manera natural, y preguntas acerca de cmo los estudiantes aprenden a usar y coordinar mltiples representaciones, se plantean abiertamente en la investigacin. Junto a estas cuestiones cognitivas emergen de forma directa las cuestiones afectivas, y preguntas sobre el dominio afectivo y su relacin con el lenguaje algebraico y los sistemas de representacin, tambin, son tratadas en este trabajo. Por otra parte sabemos que desde una perspectiva general, la investigacin educativa se puede considerar como un proceso sistemtico, controlado y objetivo, dirigido hacia el desarrollo de un cuerpo organizado de conocimientos cientficos acerca de la educacin, que debera capacitar al educador para determinar qu tipo de enseanza y qu condiciones de aprendizaje debe proporcionar al educando para obtener conductas predeterminadas. La investigacin educativa permite un mejor entendimiento del proceso de enseanza y aprendizaje y de las condiciones en las cuales se puede realizar para obtener una ptima eficacia. Tambin es claro que su propsito especfico consiste en facilitar informacin o conocimiento a quienes tienen la responsabilidad de tomar decisiones en el campo educativo, mediante las cuales la educacin resulte ms eficaz, y estas personas no son slo las autoridades oficiales en este campo, sino tambin, y no menos importantes, los didactas y profesores de aula. Atendiendo a su finalidad, algunos autores consideran que la investigacin puede clasificarse como bsica o aplicada, en tanto en cuanto

VIII

Introduccin

trata de aportar nuevos elementos a un determinado cuerpo cientfico de conocimientos y de integrarlos en su estructura y adems pretende resolver problemas prcticos, concretos, valindose del conocimiento cientfico acumulado. Sin embargo Kilpatrick (1993) ya indica que esta clasificacin parece estar perdiendo vigencia, dado que para algunos investigadores, las caractersticas de bsica y aplicada no lo son del estudio de investigacin propiamente dicho, sino que ms bien describen el uso que se puede hacer de tales investigaciones. As, un informe acerca de una investigacin ser bsico o aplicado segn la propia interpretacin del usuario. Esto es, si el informe ayuda al investigador, se tratar para l de una investigacin bsica y si sta ayuda a resolver un problema prctico, se considerar aplicada. Asimismo Sierspinska y otros (1993) tambin sugieren que en las investigaciones relativas a Educacin Matemtica entre otras, se debe profundizar en las situaciones de enseanza-aprendizaje, la realidad de las clases de Matemticas y el propio sistema educativo. Tambin en la reflexin de este documento se alude a dos clases de resultados en las investigaciones de Educacin Matemtica: los basados en observaciones y experiencias a largo plazo y los que se obtienen de estudios preparados especialmente; entre las categoras que distinguen para los resultados est la de potenciadores de la prctica, o sea aquellos que ayudan a los profesores a entender lo que ellos ensean y les suministran ideas para ensear. Interesa tambin en esta introduccin indicar que Kilpatrick (1993) seala que realmente no importa si los criterios, que se elaboren para caracterizar una buena investigacin, estn incompletos o son provisionales, lo que interesa es que stos permitan reflexionar y valorar a los investigadores acerca de la calidad, tanto de su trabajo como el de otros investigadores y permita analizar los progresos en este campo. Es conveniente que se atienda a investigaciones sobre aspectos destacados de la enseanza-aprendizaje de las Matemticas, que provoquen inters y tengan significacin, y en el caso concreto nuestro, al tratarse del lgebra Escolar, est suficientemente justificada. Tambin el inters de una investigacin puede ser significativo para los profesores, aunque su inters ms directo sea para otros investigadores, ya que la importancia para el profesor de un estudio se alcanzar cuando una lnea de investigacin, un grupo de estudios haya sido sintetizado y permita obtener claras implicaciones para la prctica docente. Al respecto seala Schoenfeld (1991) que el inters de una investigacin viene intrnsecamente relacionado con la utilidad de la misma. En este sentido de lo prctico, el desarrollo curricular y la evaluacin del conocimiento algebraico constituyeron elementos que fueron abordados en la investigacin para responder a preguntas como: qu experiencias aritmtico/geomtricas deben ser proporcionadas a los alumnos para facilitar

IX

Introduccin

la transicin del pensamiento numrico al algebraico y cmo desarrollar cuestionarios o test que informen al profesor sobre el conocimiento algebraico de los alumnos y no solamente como un elemento de evaluacin sumativa de los estudiantes. En este marco de referencia, el estudio central del trabajo es la investigacin acerca de la adquisicin del lenguaje algebraico y la deteccin de errores comunes cometidos en lgebra por alumnos de 12 a 14 aos, con la finalidad de tener elementos para elaborar una propuesta curricular para la enseanza - aprendizaje del lgebra en el primer ciclo de la Enseanza Secundaria Obligatoria. Para dar respuesta a este estudio la investigacin se planteancinco objetivos principales: 1) Estudiar los aspectos cognitivos (Habilidades cognitivas de carcter operacional (H.C.C.O.) y habilidades cognitivas de carcter conceptual (H.C.C.C.) ms relevantes, del pensamiento algebraico con alumnos de 12 a 14 aos. 2) Elaborar instrumentos de medida (test) que consideren todos los elementos implicados en el trnsito desde el pensamiento aritmtico al algebraico desde una propuesta curricular global. 3) Estudiar aspectos afectivos (actitudes hacia la Matemtica y lgebra) con alumnos de 12 a 14 aos con relacin a la Matemtica y al lgebra y analizar la evolucin de la actitud hacia las Matemticas de alumnos de 8 a 14 aos. 4) Estudiar y organizar las dificultades, obstculos y errores que se dan en el aprendizaje del lenguaje algebraico, 5) Elaborar una propuesta curricular global que facilite el inicio del aprendizaje del lgebra. Dada la finalidad y amplitud de la investigacin se propuso trabajar con referencia a dos paradigmas emprico-analtico y simblico y considerar la complementariedad de ambos (Salomon, 1991, Socas y otros, 1995), ya que el enfoque emprico-analtico saca provecho de la precisin y supone una manipulacin, aislamiento, control y medida de aspectos externos al sujeto humano con objeto de realizar inferencia sobre aspectos internos como el aprendizaje y la afectividad, mientras que el enfoque simblico requiere de mtodos y tcnicas absolutamente integradas en el proceso de enseanzaaprendizaje y sus condicionantes humanos, de manera que, simultneamente es posible investigar un fenmeno determinado y obtener datos reales tanto del proceso como del resultado. Al considerar, igualmente, en la investigacin experimentos de enseanza, se opt por el enfoque didctico ms coherente a las preguntas de investigacin formuladas, y ste consisti en abordar la enseanza-

X

Introduccin

aprendizaje de las nociones de variable (letra con sentido algebraico), expresiones algebraicas y ecuaciones lineales, en una propuesta que integra contextos numricos y geomtricos, en un marco del lgebra como lenguaje, donde las fuentes de significado y los sistemas de representacin juegan un papel determinante. Es decir, un acercamiento semitico al lenguaje algebraico. La metfora del lgebra como lenguaje, en este acercamiento semitico, es entendida como un sistema de representacin que se ocupa del significado de las escrituras algebraicas, adems de considerar el carcter instrumental de los signos del lgebra, lo que sugiere la necesidad de considerarla como una actividad ms de los alumnos, y los signos, como instrumentos especficos de esa actividad. En resumen, el signo algebraico va a ser considerado,por una parte, omo un portavariable (hace las veces de) en el sentido que constituye una herramienta de modelizacin de sistemas no algebraicos (numrico, geomtrico, etc.); pero, por otra, tambin funciona como un signo de s mismo, es decir, como un instrumento especfico de la actividad. En este planteamiento los enfoques como: aritmtica generalizada, resolucin de problemas, modelizacin y funcional tienen un desarrollo coherente. La organizacin dada a nuestra Memoria de investigacin es de nueve Captulos. En el Captulo 1 hacemos un planteamiento general de la investigacin. Se comienza describiendo, de forma global, el problema que se pretende investigar y las caractersticas de la investigacin desarrollada. Se estudia el planteamiento de la enseanza/aprendizaje escolar en las distintas reformas curriculares, partiendo de un anlisis de la evolucin histrica del lgebra. En la seccin siguiente se presenta una revisin de investigaciones relacionadas con nuestro tema, para terminar con unas conclusiones que vamos a considerar para conformar nuestro marco terico local. El Captulo 2 se dedica a delimitar el problema y establecer el marco terico en el que abordar el mismo. Las investigaciones realizadas por otros especialistas proporcionan componentes para el marco terico local construido. La distribucin del captulo se organiza as. Una primera parte se dedica a la exposicin del marco conceptual, analizando los signos con significado algebraico, las dificultades, obstculos y errores en el aprendizaje del lgebra, y la nocin de comprensin y los sistemas de representacin. Este marco conceptual nos permite delimitar el problema y formular los objetivos de la investigacin, plantendose las correspondientes hiptesis. Concluimos el Captulo justificando a nivel cognitivo y curricular la racionalidad de este trabajo.

XI

Introduccin

En el Captulo 3 se presenta una descripcin exhaustiva del diseo de investigacin y de los instrumentos de recogida de datos de la misma, as como el proceso de elaboracin del diseo de instruccin. Se hace una descripcin global del diseo general de la investigacin mediante un esquema de las distintas etapas que lo conforman as como de las fases en que se ha desarrollado. Asimismo se presentan los focos en torno a los cuales se han organizado las diferentes fases de la misma, orientadas a conseguir los objetivos planteados en este estudio. Al tener como uno de los problemas de estudio, las habilidades cognitivas operacionales y conceptuales en los procesos de adquisicin y uso del lenguaje algebraico, y del uso y comprensin de los sistemas de representacin utilizados en el marco de una situacin de enseanza, se elabor un Sistema de Categoras que nos permiti analizar los contenidos desarrollados en el aula y valorar la comprensin de los alumnos con relacin a los mismos. Por ello comenzamos este Captulo con una primera seccin dedicada a la planificacin de la investigacin y a las categoras de anlisis. En un segundo apartado se describe el diseo general de la investigacin y las diferentes fases que en que se han desarrollado sus distintas etapas. Posteriormente se dedica una tercera parte de este captulo a la descripcin, desarrollo y valoracin de los diseos concretos de instruccin, relativos a expresiones algebraicas (DISEA) y a ecuaciones (DISEC), que se han aplicado. Finalmente, el Captulo aborda los instrumentos de recogida de datos, tanto cuantitativos como cualitativos, planteando cmo se desarroll su construccin, su validacin y su administracin. En el estudio cuantitativo destacamos la construccin del Test para las expresiones algebraicas y para las ecuaciones. Se incluye tambin las escalas de actitudes hacia las Matemticas y hacia el lgebra, que se han utilizado. En el anlisis cualitativo se aporta el estudio y desarrollo de las entrevistas realizadas a los alumnos seleccionados. En el Captulo 4 se presenta el proceso paso a paso de elaboracin de un test o cuestionario para el lgebra Escolar y que forma parte del objetivo 2 de nuestra investigacin. La elaboracin de los instrumentos de medida (test o cuestionario) constituye un proceso generalmente largo. La realizacin de diferentes cuestionarios no siempre tiene un sentido cuantitativo. Los primeros cuestionarios utilizados en esta investigacin tienen un sentido estrictamente cualitativo y estn destinados a la bsqueda de reas de dificultades dentro del pensamiento algebraico y su conexin con el pensamiento numrico. Los cuestionarios, en estas primeras fases, constituyen protocolos

XII

Introduccin

cerrados de investigacin que nos van informando acerca de las dificultades y errores que presentan los alumnos con relacin al pensamiento algebraico desde el enfoque que pretendamos. Es a partir del anlisis de los mismos, cmo se construye un instrumento genrico desde el enfoque de esta investigacin. Los Captulos 5 y 6 estn dedicados al tpico expresiones algebraicas. En ellos describiremos los estudios de las distintas fases, reseando los procesos seguidos y los resultados ms significativos. El objetivo de esta etapa que estamos comentando es averiguar causas de las dificultades en el lenguaje algebraico, y analizar potencialidades y dificultades aportadas por el diseo aplicado. Los sujetos con los que hemos realizado nuestra experiencia han sido alumnos del sistema escolar vigente en cada caso, durante dos segmentos de tiempo tomados cuando cursaban los niveles de 7 y 8 de E.G.B. La exposicin de los resultados se hace de forma detallada, terminando con el estudio biogrfico de un alumno, en cada uno de los captulos, en los que consideramos de forma global los datos que de ellos hemos recopilado. En el Captulo 7 se hacen las consideraciones correspondientes al trabajo con ecuaciones lineales con una incgnita. En l describiremos los estudios de la fase exploratoria y experimental, reseando los procesos seguidos y los resultados ms significativos. Terminamos este Captulo con la exposicin de la que denominamos segunda parte del estudio biogrfico del alumno ya comenzada en el Captulo 5. El Captulo 8 presenta los resultados de dos estudios. El primero de ellos analiza la actitud de alumnos de 7 y 8 de E.G.B. hacia las Matemticas y hacia el lgebra y el segundo, la evolucin de la actitud hacia las Matemticas en alumnos de 3 a 8 de E.G.B. Finalmente, en el Captulo 9, tras los resultados y su anlisis, obtenemos y presentamos las conclusiones generales de este trabajo en todos los mbitos de la investigacin: metodologa e instrumentos utilizados, dificultades, obstculos y errores en el aprendizaje del lgebra, en concreto en las expresiones algebraicas y las ecuaciones, adems de sealar las implicaciones de nuestra investigacin para la enseanza y plantear cuestiones abiertas pertinentes y que esperamos abordar en posteriores trabajos de investigacin. Sealar, por ltimo, que finalizamos la presentacin de esta Memoria con las referencias bibliogrficas utilizadas en la misma. Completa la Memoria un volumen de Anexos, donde se presentan los cuestionarios, test, escalas de actitudes, los cuadernos de clase, los protocolos y las transcripciones de las sesiones audiograbadas, los protocolos y las transcripciones de las entrevistas y datos complementarios de los Captulos.

XIII

Introduccin

Queremos terminar esta introduccin sealando que algunos de los resultados de esta Memoria han sido publicados o estn pendientes de publicacin. Concretamente: 1. "Una clasificacin de errores en lgebra". Actas de las XIV Jornadas Hispano-Lusas, Vol. III, pp. 1541-1546. (1989). Tomando como base los trabajos del Chelsea College y de M. Matz, se analizan los resultados de una prueba de diagnstico aplicada a alumnos de diferentes niveles (12-16 aos) y se propone una clasificacin para tales errores. Esta informacin sugiere formas de ayudar a los alumnos a corregirlos y, al mismo tiempo, seala las posibles causas de las dificultades de los alumnos para aprender lgebra. 2. En el marco de la elaboracin del libro "Iniciacin al lgebra" de la coleccin Matemticas: Cultura y aprendizaje. 1989. Sntesis, Madrid, realizamos una reflexin sobre el tema, que nos ayud a ir delimitando el problema. Pretendi ser una reflexin acerca de la enseanza-aprendizaje del lgebra en la Escuela Secundaria Obligatoria y servir de orientacin en este proceso. Se propone un acercamiento al lgebra en trminos de conversin de lenguajes: el Habitual, el Algebraico, el Aritmtico, el Geomtrico y el de los Modelos, que facilita la actividad matemtica como un proceso reversible de generalizacin y particularizacin, que estimula y favorece el desarrollo del conocimiento algebraico. 3. Enseanza de resolucin de ecuaciones y expresiones algebraicas mediante la yuxtaposicin de sistemas de representacin. Actas de las V J.A.E.M. Castelln. (1991) (Pendientes de publicar). Analiza las dificultades semnticas y sintcticas del lenguaje de los sistemas de representacin frente a la semntica y sintaxis del lgebra con referencia a otros trabajos de la misma naturaleza, y presenta resultados de experiencias habidas con alumnos de diferentes niveles escolares y universitarios. Con relacin a las expresiones algebraicas se utilizaron como fuentes de significado las reas de rectngulos, en el mismo sentido que lo haban hecho Chalouh y Herscovics y como situacin intermedia entre el Sistema de Representacin Visual Geomtrico (S.R.V.G.) y el algebraico, un diagrama de doble entrada que denominamos visualizacin simplificada. Con relacin a las ecuaciones algebraicas se utilizaron dos sistemas de representacin: el Sistema de Representacin Visual Geomtrico (S.R.V.G.) y el Sistema de Representacin del Equilibrio de la Balanza (S.R.E.B.). 4. Algunos obstculos cognitivos en el aprendizaje del lenguaje algebraico. SUMA. Monogrfico Lenguaje y Matemticas, Vol. 16, pp. 91-

XIV

Introduccin

98, (1994). En este trabajo se presentan los resultados de una revisin de investigaciones relacionadas con el proceso cognitivo integrado en el aprendizaje del lgebra y, en especial, con la identificacin de obstculos cognitivos que frenan el progreso del conocimiento del alumno al iniciar el estudio y comprensin del lgebra Elemental. Por otra parte, se trata de delimitar el campo de los obstculos cognitivos en el aprendizaje del lenguaje algebraico y el de los errores que se dan - por diferentes motivos - en el lgebra en general y en particular en los procesos de generalizacin y en su expresin simblica. 5. Elaborations smantiques vs laborations syntactiques dans lenseignement-apprentissage de lalgbre scolaire (12-16 ans) Proceedings of the 46th CIEAEM, Vol II, pp. 111-119. Toulouse. Francia. (1994). Analiza la competencia e incompatibilidad de los diferentes Lenguajes y Sistemas de Smbolos utilizados en la enseanza-aprendizaje de las Matemticas. Partiendo del hecho que los Sistemas de Smbolos en Matemticas han sido utilizados como fuente de significado (relacin semntica) y como generadores de las reglas de transformacin (sintaxis), nosotros presentamos algunos resultados que corresponden a las nociones y operaciones experimentadas por los alumnos en la transicin de la Aritmtica al lgebra, cuando son utilizados diferentes Sistemas de Representacin. 6. "Un Modelo de Investigacin Convergente en Educacin Matemtica desde una perspectiva curricular" . Revista Interuniversitaria de Formacin del Profesorado, pp. 45-58. Zaragoza, (1995). Presentamos un modelo de investigacin convergente que estamos desarrollando en el rea de Didctica de las Matemticas en la Universidad de la Laguna, considerando aspectos referidos al desarrollo del currculo en Matemticas y a la investigacin en Educacin Matemtica. Se detectan los conocimientos y creencias de cada uno de los componentes del sistema curricular y se lleva a cabo la implantacin de un cambio del currculo. Con respecto a la investigacin se pretende superar posiciones extremas entre los aspectos cualitativos y cuantitativos de los distintos paradigmas, a la vez que se desarrollan mtodos y tcnicas de ambos, tiles y complementarios (metodologa convergente), que permitan entender mejor los procesos y resultados implicados en la investigacin. 7. Sistemas de representacin en la resolucin de problemas algebraicos. SUMA. Vol. 20, pp. 29-35. (1995) . En este artculo, se trata de responder a las preguntas formuladas en Wagner y Kieran, 1989, qu es un problema verbal algebraico?; hay problemas verbales que son intrnsecamente ms algebraicos que

XV

Introduccin

aritmticos?, qu hace a un mtodo de resolucin ser ms algebraico que aritmtico?, hay jerarquas cognitivas con respecto a modos de representacin (lenguaje natural, grfico, numrico, simblico, etc., que justifiquen un anlisis en resolucin de problemas algebraicos?, analizando mediante el uso de diferentes representaciones, la resolucin de algunos problemas (en concreto, 7) de varias operaciones que consideramos lmite entre lo aritmtico y lo algebraico, como los de grifos, proporcionalidad, mviles y otros, con el fin de ver qu hace a un mtodo de resolucin ser ms algebraico que aritmtico. Concluimos que parece claro que no hay elementos suficientes para clasificar un problema verbal en aritmtico o algebraico. El proceso de traslacin puede realizarse mediante varios sistemas de representacin que siendo cualitativamente distintos conducen a expresiones equivalentes. Por tanto, determinar entre los problemas verbales de varias operaciones que consideramos lmite entre lo aritmtico o lo algebraico, cul tiene una estructura ms aritmtica que algebraica, o al revs, depende de los sistemas de representacin elegidos que provocan en el resolutor un tipo de imagen mental que desencadena la necesidad de un pensamiento aritmtico o algebraico para su solucin. 8. El uso de sistemas de representacin con imgenes en la enseanza-aprendizaje del lgebra escolar. 25 aos de Matemticas en la Universidad de La Laguna, pp. 507-521. (1996) . Reseamos diferentes perspectivas de investigacin sobre la enseanzaaprendizaje del lenguaje algebraico y presentamos el enfoque con que abordamos el lgebra escolar mediante Sistemas de Representacin Semiticos. Se presenta tambin un diseo elaborado para abordar el desarrollo del curriculum desde una reflexin epistemolgica, tomando como objeto de estudio los Sistemas de Representacin, su aplicacin a alumnos de 12-13 aos de edad y los resultados de la experiencia. 9. Operational, process and strategic abilities in the learning of algebraic language. A case study. Proceedings PME 21, vol, 1 pp. 253. Lathi (Finlandia). (1997). En este trabajo se estudia, desde una perspectiva cognitiva, las operaciones, procesos y estrategias que realiza el sujeto cuando aprende o sea cuando adquiere, organiza, elabora y recupera conocimientos del lenguaje algebraico y por otra, potencia el control y la toma de conciencia de los procesos cognitivos del alumno en el aprendizaje del lenguaje algebraico. La investigacin proporciona a los alumnos, medios que les ayudan a tomar consciencia de sus propios procesos cognitivos, favoreciendo as el conocimiento metacognitivo.

XVI

Introduccin

Nuestra experiencia conecta estos dos caminos, cognitivo y metacognitivo, y ha investigado en el mbito escolar habitual de alumnos de 7 nivel (12-13 aos) explorando el acercamiento al lenguaje algebraico, subrayando las posibilidades que aparecen al introducir nuevos recursos de enseanza y medios de observacin. Hemos propuesto la utilizacin de un sistema denominado Sistema de Representacin Visual-Geomtrico (S.R.V.G.) donde toda expresin codificada en l pueda utilizarse como elaboracin sintctica y como elaboracin semntica. Hemos detectado, a su vez, como producto de este anlisis, nuevas capacidades y destrezas del alumno as como intentos de desarrollo de otras, sin xito. Los resultados son relevantes para percibir la integracin de aspectos relativos al contenido matemtico con aspectos relativos a las relaciones entre el estudiante y la adquisicin del lenguaje algebraico, a travs de la yuxtaposicin de los sistemas de representacin. Los resultados confirman, por una parte, creencias acerca del bajo nivel de dominio del lenguaje algebraico por parte de los alumnos de este nivel de enseanza y por otra, la aportacin positiva de la yuxtaposicin de los sistemas de representacin en la adquisicin del lenguaje algebraico, favoreciendo habilidades operacionales, de procesos y de estrategias. 10. "The three dimensions of error in the understanding of algebraic language". Proceedings PME 21, Vol 1, pp. 264. Lathi (Finlandia). (1997) . Plantea desde la perspectiva de la enseanza - aprendizaje elementos de anlisis de los errores que se cometen en la Enseanza Secundaria y que sin duda estn asociados al aprendizaje del lenguaje algebraico, para determinar la naturaleza de los mismos, entender al alumno, descubrir sus conocimientos adyacentes y disear tareas que apoyen la construccin del lenguaje algebraico de manera ms significativa. Se analizan orgenes de errores que manifiestan alumnos de 12-13 aos en la adquisicin del lenguaje algebraico utilizando como elementos de anlisis: pruebas especficas (pretest y postest), producciones de los alumnos en situaciones de clase y entrevistas vdeograbadas. Se detectan errores de dos procedencias distintas, una, relacionada con las dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemticos y a los procesos de pensamiento matemtico y otra, relacionada con las dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales, encontrando as tres dimensiones del error: la dimensin obstculo, la dimensin ausencia de sentido y la dimensin afectiva y emocional. 11."Gestion, communication et apprentissage du langage algbrique. Une tude de cas". Proceedings CIEAEM 49, pp.195-202. Setbal (Portugal). (1997).

XVII

Introduccin

Presentamos en este trabajo un anlisis de las interacciones didcticas que se dan en la adquisicin del lenguaje algebraico por alumnos de 12-13 aos, utilizando como unidades de anlisis para la interaccin didctica: la gestin del trabajo en el aula, la comunicacin del contenido y la construccin del conocimiento. Estas unidades de anlisis son relacionadas con las actuaciones del profesor y de los alumnos, en trminos de establecer significados, enjuiciar e intervenir. Esto nos permite construir una rejilla para el anlisis de las interacciones. Los datos se obtienen a partir de los obtenidos en el desarrollo de las sesiones de clase y las grabaciones de las puestas en comn. El trabajo se completa con el estudio de un caso donde se profundiza en la organizacin del conocimiento algebraico y su significado por parte del alumno. 12. Las fuentes de significado, los sistemas de representacin y errores en el lgebra escolar . UNO, n 14, pp. 7-24. (1997) . Aporta elementos claves para la investigacin en una cuestin ampliamente debatida en esta dcada, que es el currculo de matemticas que incluye el tratamiento del lgebra. Sabemos que en los primeros cursos del acercamiento a la misma aparecen dificultades especficas que no favorecen el aprendizaje y mucho menos un aprendizaje significativo. Reportamos referencias a problemas especficos de la enseanza-aprendizaje del lgebra en trminos de dificultades, obstculos y errores y al anlisis del uso de diferentes sistemas de representacin aplicados a la enseanza de lgebra y su contribucin a la bsqueda de significados para las expresiones algebraicas y las ecuaciones lineales. 13. "Operational and conceptual abilities in the learning of Algebraic Language. A case study". Proceedings PME22, Vol. 3, pp. 327-334. SouthAfrica, (1998). Presenta un estudio biogrfico de un alumno de 7 de E.G.B. con los datos obtenidos con distintos instrumentos (pre y post-test, cuaderno de clase y entrevistas vdeograbadas), que ofrecen informacin sobre los procesos cognitivos conceptuales y operacionales en su aprendizaje de las expresiones algebraicas y que se enmarca en un proyecto de diseo de una Propuesta Curricular para el lenguaje algebraico, tomando en consideracin habilidades cognitivas de tipo operacional y conceptual que facilitan la transicin de la Aritmtica al lgebra y que se basa en cuatro fuentes de significado y en el marco de los trabajos de Duval (Semiosis-Noesis). 14. "About cognitive processes involved in the learning of algebraic language. A biographical study". Hiroshima Journal of Mathematics Education. (1998). (enviado). Se presenta la incidencia de nuevos registros de representacin en los

XVIII

Introduccin

resultados del estudio biogrfico de un alumno que est iniciando su trabajo de lgebra escolar. En especial se expresan sus habilidades cognitivas de carcter operacional y conceptual al analizar su trabajo en operatividad bsica con las expresiones algebraicas y en la conversin de sistemas de representacin de dichas expresiones. Se ha trabajado en contextos aditivos y multiplicativos, en especial en los conceptos de rea y permetro. 15. Anlisis de la evolucin de las actitudes hacia las Matemticas en alumnos de 8 a 14 aos, presentado en las XVIII Jornadas Regionales de la S.C.P.M. Puerto de la Cruz, (1998) . Presenta un estudio realizado con nios y nias de 3 a 8 de E.G.B. para tratar de conocer su actitud hacia las Matemticas. Dentro de la investigacin en el dominio afectivo actual, los objetivos que nos planteamos fueron: conocer de forma global la actitud hacia las Matemticas de alumnos de 3 a 8 E.G.B., estudiar si haba diferencias por cursos o por sexos y analizar los resultados segn las diferentes componentes de la actitud. A partir de la idea de Hart (1989), construimos una definicin multidimensional de actitud con componentes: afectiva, comportamental y de implicacin, cognoscitiva y contextual, y de creencias sobre s mismo. Se eligi como instrumento de medida una escala de tipo Likert, para medir la actitud hacia las Matemticas, construida a partir de los trabajos de Aiken (1976) y Gairn (1986). La poblacin estuvo formada por 620 alumnos. El resultado del estudio muestra una actitud positiva de los estudiantes hacia las Matemticas, que exteriorizan en sus sentimientos, en sus comportamientos y en sus creencias, Sin embargo, detectamos una disminucin de esa actitud positiva a medida que crecen y una mayor inseguridad en los nios ms pequeos. Los datos obtenidos se mantienen similares por sexos. 16. Anlisis de actitudes hacia las Matemticas y hacia el lgebra en nios y nias de 11 a 14 aos, presentado en el III C.I.B.E.M. Caracas, (1998). Presentamos un estudio sobre las actitudes hacia las Matemticas y hacia el lgebra de nios y nias de 11 a 14 aos. Las cuestiones que abordamos son: 1) Cmo son las actitudes hacia las Matemticas y hacia el lgebra?, 2) Se aprecian cambios significativos en dichas actitudes, segn los cursos o los sexos? El trmino actitud lo consideramos como el resultado de cuatro componentes: afectiva, comportamental y de implicacin, cognoscitiva y contextual y de creencias sobre s mismo con respecto a esta materia. Para medirla se eligi una escala tipo Likert, que se pas a una muestra de alumnos de 7 y 8 de E.G.B. (11-14 aos). Los resultados muestran diferencias entre ambas actitudes, siendo ms favorable la actitud

XIX

Introduccin

hacia las Matemticas. Los resultados son distintos segn las componentes y no se aprecian diferencias significativas segn los sexos.

XX

Captulo 1 Aproximacin Al Problema De Investigacin

CAPTULO 1: APROXIMACIN AL PROBLEMA DE INVESTIGACIN

1.1 INTRODUCCIN En este captulo exponemos una visin general del rea problemtica y del tema especfico de investigacin. Dividimos el captulo en tres partes. En la primera, daremos una visin general del problema de investigacin, explicando brevemente algunas caractersticas de ella. La segunda parte se dedica a la enseanza-aprendizaje del lgebra, en la que partiendo de un anlisis de la evolucin histrica de la misma, estudiamos los planteamientos de distintas Reformas curriculares, centrndonos en la nueva Educacin Secundaria Obligatoria (E.S.O.) en Espaa. Terminamos el captulo con una breve resea de las investigaciones ms significativas relacionadas con nuestra investigacin. Esta parte la subdividimos a su vez en tres apartados, agrupando los distintos trabajos en expresiones algebraicas, ecuaciones y desarrollo curricular, si bien reconocemos que esta divisin no es disjunta. Todo lo anterior nos permite cerrar este Captulo con unas conclusiones donde resaltamos aquellas que inciden directamente en nuestro trabajo. 1.2 EL PROBLEMA GENERAL DE LA INVESTIGACIN Durante los ltimos veinte aos el inters por el estudio de las dificultades que la enseanza-aprendizaje del lgebra escolar ha generado, ha sido enorme, tanto desde la perspectiva del investigador, como del profesor. Pero los problemas que plantea no han sido resueltos y lo que debe ser enseado y aprendido en lgebra, est an por determinar. Muchas son las preguntas que an hoy no tienen respuestas: Qu hace que la comprensin del lgebra escolar sea una tarea difcil para la mayora de los estudiantes? Qu fuerza a muchos estudiantes a recurrir a memorizar reglas del lgebra? Es el contenido del lgebra la fuente del problema? O es la forma en que es enseada lo que causa a los estudiantes no ser capaces de dar sentido a la materia? O hacen los estudiantes un acercamiento a las tareas algebraicas de una manera que es inapropiada para aprender la materia en cuestin? (Kieran, 1992). Las diferentes investigaciones tratan de buscar respuestas a stos y otros interrogantes en torno a la naturaleza del lgebra y a los procesos de pensamiento implicados. El propsito general de esta investigacin es determinar las dificultades, obstculos y errores que tienen los alumnos de la Enseanza1

Captulo 1

Secundaria Obligatoria (E.S.O.), para comprender y trabajar con objetos matemticos relativos al pensamiento algebraico, siendo uno de los objetivos finales elaborar, en el marco de los resultados obtenidos, una Propuesta Curricular para el lenguaje algebraico. En este estudio del lenguaje algebraico se aborda el problema desde una perspectiva global, donde el conocimiento algebraico puede ser representado bajo diferentes registros semiticos, aceptando que las operaciones de cambio entre ellos constituye una operacin cognitiva bsica, que permite analizar las dificultades, obstculos y errores conceptuales y encontrar procedimientos adecuados para corregirlos, y que la naturaleza abstracta del lenguaje algebraico debe ser entendida como un proceso caracterizado por diferentes etapas, reflejadas en los diferentes estadios de desarrollo que se dan en los sistemas de representacin cognitivos, que se caracterizan como estadios semitico, estructural y autnomo. Es en este desarrollo donde debemos entender la construccin del conocimiento conceptual y procedimental del lgebra. Las dificultades asociadas al aprendizaje del lenguaje algebraico de los alumnos de la E.S.O. no ofrece dudas. Estas dificultades se traducen en errores que cometen los alumnos y stos se producen por causas muy diversas que se refuerzan en redes complejas. Es til desde la perspectiva de la investigacin y de la enseanza-aprendizaje, tener elementos de anlisis de estos errores, para determinar la naturaleza del error, entender al alumno, descubrir sus conocimientos subyacentes y disear tareas que apoyen la construccin del pensamiento algebraico. Centrndonos en la bsqueda de las causas que originan las dificultades en el inicio del Aprendizaje del lgebra, estudiamos, por una parte, las operaciones, procesos y estrategias que realiza el sujeto cuando aprende, o sea, cuando adquiere, organiza, elabora y recupera conocimientos del lenguaje algebraico y, por otra, potencia el control y la toma de conciencia de los procesos cognitivos del alumno en el aprendizaje de dicho lenguaje. Se plantea como problema concreto el estudio de las habilidades cognitivas operacionales y conceptuales en los procesos de adquisicin y uso del lenguaje algebraico y tambin del uso y comprensin de los registros o sistemas de representacin utilizados en dos tpicos concretos: expresiones algebraicas y ecuaciones lineales Nuestra experiencia conecta los dos caminos esenciales del objeto algebraico, las habilidades cognitivas de carcter operacional y las habilidades cognitivas de carcter conceptual, y ha investigado en el mbito escolar habitual de alumnos de 12-14 aos, "explorando" el acercamiento al lenguaje algebraico, subrayando las posibilidades que aparecen al introducir nuevos recursos de enseanza y medios de observacin.

2

Aproximacin al problema de investigacin

1.2.1 Caracterizacin de la investigacin La propuesta de trabajo desarrollada pretende superar posiciones extremas entre los aspectos cualitativos y cuantitativos de los paradigmas de investigacin (en el mismo sentido que proponen Cook y Reichardt, 1986), y recoge mtodos y tcnicas de ambos, tiles y complementarios en funcin de los tipos de estudio que se realicen (Socas y otros, 1995). Necesariamente hemos tenido que optar por un mtodo experimental, que nos permita, una vez identificadas las variables a estudiar, obtener unos resultados matemticamente interpretables, enfoque cuantitativo. Sin embargo, no es el producto el aspecto ms importante de nuestra investigacin, sino ms bien, queremos comprender cmo se comportan los alumnos durante el proceso de la implementacin del diseo, cules son sus dificultades, dnde se producen sus bloqueos; y por ello, hemos de utilizar un enfoque cualitativo. Por una parte, pretendemos estudiar los resultados del desarrollo de un diseo de instruccin para expresiones algebraicas (DISEA) y otro para ecuaciones (DISEC). La elaboracin de un Diseo de cambio curricular parte de tener unos objetivos claros que diferencien el nuevo currculo del que est en uso. La instruccin en el aula por el investigador conlleva una interaccin entre l y los estudiantes. Esta interaccin directa y a pequea escala toma la forma de un experimento de enseanza-aprendizaje, donde la instruccin en el aula y el currculo diseado son probados en el momento en que se desarrolla la interaccin directa entre ambos. En esta fase el mtodo de investigacin es eminentemente cualitativo, siendo la observacin directa la tcnica fundamental. Las peculiaridades de cada nio, sus ritmos de aprendizaje, las dificultades que se van encontrando, se van plasmando en un diario el cual se complementa con las observaciones del profesor habitual del aula. Estos datos se completan con un anlisis de los cuadernos de los alumnos. Aplicamos unos Cuestionarios antes y despus de la instruccin para valorar la incidencia de la misma y los logros de los alumnos. Con todos los datos obtenidos se seleccionan unos alumnos para hacer un estudio de casos que se realiza mediante entrevistas vdeograbadas. Esta fase nos permite conocer los procesos de cada nio al realizar las actividades del diseo, al tiempo que se detectan pautas, tendencias, dificultades, obstculos, errores, que, si bien, no son generalizables, aportan nuevos datos sobre el aprendizaje especfico que estamos trabajando. Finalmente, describimos los estudios biogrficos hechos a dos alumnos, utilizando los datos obtenidos con los diferentes instrumentos usados, que ofrecen informacin sobre los procesos cognitivos conceptuales y operacionales, en su aprendizaje de las expresiones algebraicas y ecuaciones. Para completar este trabajo, hemos investigado algunos aspectos del dominio afectivo. Este estudio se ha realizado a partir de unas escalas de3

Captulo 1

actitudes, que han sido analizadas de forma cuantitativa. 1.3 LA ENSEANZA - APRENDIZAJE DEL LGEBRA ESCOLAR La enseanza-aprendizaje del lgebra escolar genera muchas dificultades al profesorado y a los alumnos y stas son de naturaleza diversa. Su procedencia se puede concretar en el propio mbito escolar, pero no slo en l, pues existen influencias de agentes externos a la propia escuela, mas no ajenos a la difcil empresa de la enseanza-aprendizaje del lgebra, en este nivel educativo. 1.3.1 El lgebra histricamente. Breves consideraciones epistemolgicas Al plantearnos un aprendizaje con significado para el lgebra, hemos tenido en cuenta la historia de sus conceptos, ya que nos ofrece diferentes ideas para la actividad didctica, incluso puede ser utilizada por el profesor como referencia para anticipar dificultades o errores posibles en el aprendizaje de los alumnos. De forma sucinta sealamos las distintas acepciones de la variable a lo largo de la historia, segn los distintos usos que se hace de ella en las diferentes ramas de la ciencia y segn las concepciones que tienen, los alumnos. Un estudio ms amplio se recoge en Socas y otros (1989). Sabemos que el uso de las letras como variables procede de la geometra griega, teniendo claro que el proceder de la geometra algebraica griega no pretenda resolver ecuaciones algebraicas, sino satisfacer condiciones geomtricas, y adems la solucin griega se aplica a lneas y reas nicamente, no a cualquier cantidad numrica. Sin embargo, los matemticos rabes tratan directamente el problema algebraico - utilizacin de las operaciones aritmticas y de los algoritmos algebraicos - y la geometra clarifica y concreta los procesos algebraicos. El libro II de los Elementos de Euclides es uno de los ms cortos de los suyos, slo contiene 14 proposiciones, ninguna de las cuales juega papel importante en los libros de texto modernos, y, sin embargo, en la poca de Euclides este libro tena una gran importancia, hecho que se explica porque hoy tenemos un lgebra simblica y una trigonometra que reemplaza a sus equivalentes geomtricos griegos. La proposicin 1 del Libro II citado "Si tenemos dos rectas y cortamos una de ellas en un nmero cualquiera de segmentos, entonces el rectngulo contenido por las dos lneas rectas es igual a los rectngulos contenidos por la lnea recta que no fue cortada y cada uno de los segmentos anteriores" , no es otra cosa que la formulacin geomtrica de una de las leyes fundamentales de la Aritmtica, la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la suma: a ( b + c + d) = ab + ac + ad. Nosotros hoy representamos las magnitudes por letras y usamos numerosas reglas algortmicas de lgebra, y, en tiempos de Euclides, las magnitudes se4


representaban como segmentos de lnea recta, obedeciendo a los axiomas y teoremas de geometra. Se dice que los griegos tenan el Libro II de los Elementos que les serva ms o menos para los mismos fines que el lgebra simblica actual. El lgebra moderna facilita enormemente la manipulacin de relaciones entre magnitudes y el lgebra geomtrica daba mucha habilidad a la hora de aplicar teoremas. En Grecia, las letras tambin significaban nmeros, que podan haber inducido a los matemticos griegos a su utilizacin como incgnita; sin embargo, se produce un impedimento fuerte para trasladar el uso geomtrico de las letras, directamente al lgebra: mientras todos los puntos son "el mismo" en geometra, los nmeros tienen una individualidad bien distinguida. Parece conveniente tambin hacer algunas consideraciones epistemolgicas acerca de los estadios que se han detectado en la propia evolucin histrica del lgebra por ser similares a los estadios recorridos por los estudiantes en el aprendizaje del lgebra. 1) Estadio retrico, anterior a Diofanto, donde se usaba el lenguaje ordinario en la descripcin de problemas matemticos particulares; haba una total ausencia de smbolos o signos para representar incgnitas. 2) Estadio del lgebra sincopada. Diofanto introduce abreviaturas para representar incgnitas. La preocupacin central estaba en descubrir el valor de la incgnita, no en intentar expresar generalizaciones. 3) Estadio del lgebra simblica: Vite (1540-1603) inicia el uso de las letras para representar cantidades dadas. Hay posibilidad de expresar soluciones generales. El lgebra ya es vista como herramienta para probar reglas que gobiernan relaciones numricas. Otra cuestin epistemolgica a considerar es la necesidad de una notacin simblica sabiendo que la fuerza del lenguaje simblico radica en que elimina el significado de casos particulares e incluso el de las operaciones que se efectan sobre ellos. Pero es evidente que hay que explicitar (en esto coincidimos con las ideas de Sfard y Linchevski, 1994), que la historia del lgebra no es una historia de smbolos, aunque es verdad que desde un cierto estado los conceptos algebraicos llegan a ser inseparables prcticamente de los smbolos, sin embargo nuestro conocimiento algebraico se construye a travs de manipulaciones e investigaciones de expresiones formales y adems de cambios en paralelo desde simbolismo a metamorfosis conceptuales. As, desde que fue introducida la notacin algebraica moderna, la historia del lgebra y la historia de los smbolos, aunque ciertamente diferentes, llegaron a estar ntimamente relacionadas, y es prcticamente imposible hablar de la historia de una de ellas sin hablar de la historia de la otra. Otro aspecto a tener en cuenta es la importancia de observar la correlacin entre el avance desde el lgebra operacional al lgebra estructural y la dificultad que presentan las ideas algebraicas para su uso.

5

Captulo 1

1.3.2 El lgebra escolar Sabemos que para muchos alumnos, el lgebra resulta difcil e incluso irrelevante y algunos llegan a experimentar un rechazo tan intenso que impregna el conjunto de su actitud hacia las Matemticas. Para estos alumnos lo que les pedimos hacer en lgebra no tiene un significado real subyacente. Muchos estudiantes no estn dispuestos en el mismo sentido que el profesorado, que se muestra siempre ansioso de pasar al tema siguiente e introduce ideas algebraicas demasiado pronto y demasiado de prisa. La explicacin piagetiana de este fenmeno se correspondera con el razonamiento segn el cual el desarrollo, a partir del pensamiento operacional concreto para pasar al pensamiento operacional formal, no est lo suficientemente avanzado en el momento en que deseamos progresar para llegar a las siguientes ideas algebraicas. En trminos de la teora piagetiana, slo en la etapa de las operaciones formales se puede esperar que vaya desapareciendo la dependencia de los referentes concretos. Frecuentemente todos necesitamos funcionar en un nivel ms concreto, y a menudo es til una introduccin de distintos sistemas de representacin. Sin embargo, el acercamiento al "lgebra" se puede considerar para todos los nios y todas las edades en tanto en cuanto es un modo de pensar, sirve como mtodo de aprehender y de explicar interrelaciones, permite una manera de llegar a la generalidad por la va de lo particular y descubrir los "modelos" que se presentan en lo cotidiano. Por eso, los alumnos deben aprender el lgebra como un conjunto de competencias incluyendo la representacin de las relaciones cuantitativas, como un estilo del pensamiento matemtico, el pensamiento algebraico, que "da cuerpo a la construccin y a la representacin del modelo de regularidad, permite razonar, proyectar y conjeturar" (Chambers, 1994). Se podra sealar entre los mitos ms extendidos referidos al lgebra el hecho de que se trata de: . Manipulacin de un lenguaje utilizando nicamente smbolos y variables. . Disciplina reservada al ciclo secundario. . Disciplina demasiado ardua, fuerte. . Disciplina reservada a los alumnos ms dotados. Parece que actualmente hay unanimidad cuando se habla de las competencias del lgebra en la escuela obligatoria. El lgebra debe ocuparse del estudio de las letras o variables y de las propiedades que las relacionan. Ahora bien, existen diferentes interpretaciones que pueden hacerse de la afirmacin anterior, y que dependen de la intervencin que poseen esas letras (variables) en diferentes contextos. Las diferentes interpretaciones de la variable, darn lugar a distintos tipos de lgebra, apareciendo as distintos currculos y, como consecuencia, diferentes concepciones de la enseanza-aprendizaje de la materia que resulta6


difcil de delimitar. Por otra parte, siendo evidente la diferencia entre el lgebra superior (enseada en la Universidad) y el lgebra de la escuela, resulta obvio que las experiencias del profesor en la primera, pueden ser utilizadas para la segunda, aunque nunca enseadas. Kaput (1996) afirma que el contenido del programa de la asignatura del lgebra ha ido evolucionando histricamente hasta convertirse en una manipulacin de cadenas de caracteres alfanumricos, guiados por varios principios sintcticos y convenciones interrumpidas de manera ocasional por aplicaciones en forma de problemas cortos presentados por textos breves de peculiar estilo. Igualmente en el complicado proceso histrico seguido por la Humanidad para llegar al actual uso e interpretacin de las letras, en la enseanza del lgebra se pueden distinguir tambin distintos perodos y diferentes interpretaciones de las letras. En libros de la dcada de los 60, la letra como variable sola aparecer representada por nmeros cuando se comenzaba a resolver sistemas de ecuaciones. En el lgebra moderna, las variables se entienden como smbolos que pueden ser sustituidos por nombres de objetos y normalmente, por nmeros. En la actualidad, esta ltima tendencia es la ms utilizada, esto es, se interpreta como un smbolo que puede ser reemplazado por elementos de un conjunto. Muchos de nuestros alumnos (incluso universitarios), consideran que las variables son letras que deben ser sustituidas por nmeros obligatoriamente, y no se detienen a analizar que en geometra, por ejemplo, las variables representan puntos, rectas, etc.; en lgica, proposiciones; en anlisis, funciones. Haciendo anlisis histrico, se observa que la interpretacin del lgebra como Aritmtica generalizada tuvo una repercusin inmediata, puesto que desde la invencin de la notacin algebraica (Vite) hasta el nacimiento del clculo, pasaron escasamente 150 aos. Otra interpretacin que podemos hacer del lgebra va encaminada a considerarla como el estudio de mtodos para resolver ciertos problemas concretos: las ecuaciones. En este caso, las letras se consideran como incgnitas especficas a determinar. Otra concepcin que se puede tener del lgebra es la del estudio de relaciones entre cantidades. En este caso se considera a las variables en su sentido completo de variabilidad. Muchos profesores piensan que el sentido funcional es el que priva en la enseanza del lgebra. El aspecto funcional del lgebra es esencial en la actualidad para el uso de los lenguajes informticos y hay que tener en cuenta que existe una diferencia sustancial en el empleo en dichos lenguajes; por ejemplo, un contador es una funcin que nos permite obtener sucesivos valores para una cierta variable. En este caso, la funcin se representa por x = x + 1, y, considerando los aspectos anteriores, ser una ecuacin7

Captulo 1

irresoluble donde las letras se interpretan como nmeros generalizados. Creemos que es fundamental tener esto en cuenta, dada la importancia que la informtica va adquiriendo en la enseanza. Otra interpretacin que tiene el lgebra es la que denominamos interpretacin estructural. Las letras constituyen entes pertenecientes a estructuras algebraicas tales como grupos, anillos, dominios de integridad o cuerpos, a los que se les pueden aplicar las propiedades satisfechas por cada uno de los conjuntos en los que se acte. Las ecuaciones en los conjuntos usuales (N, Z, Q y R) admitirn soluciones segn la estructura que se considere. Estas interpretaciones deben ser utilizadas en la elaboracin de un currculo de lgebra, de forma que ste no puede en ningn momento observar uno solo de esos contextos, por lo que es necesario combinarlos y no limitarse exclusivamente a considerar el lgebra como Aritmtica generalizada, ni como el estudio de las ecuaciones, ni desde el punto de vista funcional, ni desde el aspecto estructural, aunque es cierto que un tratamiento inicial como Aritmtica Generalizada favorece el desarrollo de los otros aspectos. 1.3.2.1 El lgebra en las diferentes reformas educativas El lgebra como materia escolar se introduce a finales del siglo pasado en los niveles de secundaria en los pases europeos y americanos. Los contenidos y su secuencia han permanecido casi inalterables hasta la fecha. Muchos cursos iniciales de lgebra en diferentes pases empiezan con trminos literales y su relacin con referencias numricas dentro del contexto, primero de expresiones algebraicas, y, ms tarde, de ecuaciones. Despus de un perodo breve donde se realizan sustituciones numricas en expresiones y ecuaciones, se trabaja la simplificacin de expresiones y la resolucin de ecuaciones por mtodos formales. De esta manera, la manipulacin y factorizacin de polinomios y expresiones racionales, se convierten en actividades regulares. Eventualmente algunos programas incluyen funciones (lineales, cuadrticas, exponenciales, logartmicas y trigononomtricas) y sus representaciones algebraica, tabular y grfica. Se intercalan problemas verbales, que pretenden ser aplicaciones en el "mundo real" de las tcnicas algebraicas recin aprendidas. Estos contenidos son los que comnmente aparecen en todos los libros de texto de lgebra elemental (Kieran, 1992). La caracterizacin del lgebra como una parte del pensamiento matemtico ha permanecido casi inalterable en este siglo. En los prrafos siguientes indicamos algunos aspectos de la evolucin de los contenidos del lgebra en la Enseanza Obligatoria en Espaa. En los Programas anteriores a la Ley General de Educacin (1970), el lgebra se contempla como operatoria con expresiones numricas o alfanumricas; la enseanza de la resolucin de ecuaciones tiene poco que ver8


con el medio del nio, con su mundo real, con el contexto y con el sentido comn. El lenguaje est basado fundamentalmente en reglas memorsticas y sin significado real. Estas Matemticas que se enseaban en los niveles elementales se encontraban alejadas del desarrollo que experimentaba la propia Matemtica y de las investigaciones que se realizaban en el campo educativo, fundamentalmente en el terreno de la Psicologa. Es a partir del Congreso de Royaumont (Francia, 1959) cuando se decide el cambio para actualizar los contenidos matemticos impartidos en las escuelas. Y ser un ao ms tarde, en el Seminario de Dubrownix (Yugoslavia), donde se establecern las sugerencias e ideas de los nuevos programas. Esta actualizacin se orienta principalmente en algunos pases a introducir la teora de conjuntos en las Matemticas que se enseaban tanto en Primaria como en Secundaria, intentando con ello que el estudio de las "estructuras" algebraicas constituyese el foco de lo enseado. La interpretacin estructural tom un auge importante en la escuela. El fracaso de esta medida no tard en hacerse patente, y en todos los pases donde se gest la Reforma de la Enseanza de las Matemticas, se replante esta medida radical y se tom, desde ese momento, una conciencia ms moderada del problema. No obstante, justo cuando la mayora de los promotores de esta reestructuracin de contenidos, dio marcha atrs para plantearse desde otra perspectiva la situacin del fracaso escolar, surge en nuestro pas la Ley General de Educacin (1970) que en sus programas de Matemticas (Nuevas Orientaciones) considera como ncleo central de la enseanza elemental, tanto la teora de conjuntos como las estructuras del lgebra conjuntista; prcticamente el 50 % de los programas estaban dedicados a cuestiones algebraicas. Las expresiones algebraicas y las ecuaciones estaban subordinadas a las estructuras. Esta concepcin del lgebra se transforma primero en elemento unificador de toda la Matemtica y, luego, en el de toda la enseanza de las Matemticas; la estructura bsica es el "grupo". El estudio del lgebra tena como finalidad aprender propiedades operacionales y saber trabajar con parntesis. Esta concepcin del lgebra ocup diversos aspectos en su desarrollo: 1) Lgica, Conjuntos, Relaciones y Aplicaciones (Funciones), 2) Operaciones y sistemas operacionales, 3) Estructuras e isomorfismos, 4) Construccin de los sistemas de nmeros y 5) Estructura de Espacio Vectorial. Es en el ao 1981, con la instauracin de los Programas Renovados, donde se modifica en gran medida la concepcin de lo que debe ser la enseanza en general de las Matemticas, y en particular del lgebra, en la Enseanza General Bsica (E.G.B.). El rigor y la abstraccin propios de los programas anteriores son sustituidos por el aspecto funcional, eliminando en gran parte los contenidos estructurales enfatizados en la dcada anterior. Se establecen unos Niveles Bsicos de Referencia, un documento de apoyo para9

Captulo 1

los profesores que modifica ostensiblemente, tanto la estructura general del currculo como el nivel de profundizacin de los tpicos a tratar. La proporcin de contenido algebraico disminuye hasta ocupar aproximadamente el 25 % de las Matemticas de la escuela. Los Programas Renovados no fueron puestos en marcha totalmente, y en el ao 1984 se establece un nuevo Proyecto de Reforma en el que se seala una serie de orientaciones para la enseanza de las Matemticas en el Ciclo Superior. Los contenidos de lgebra (al igual que los de todas las ramas de las Matemticas) no vienen especificados y quedan constituidos mediante los llamados "objetivos terminales de rea". A la vista de los objetivos que se plantearon, se observa que el lgebra aparece ms ligada a los aspectos prcticos y utilitarios de los que adolecen los otros programas. La nueva programacin pretende recuperar de los programas anteriores los aspectos didcticamente vlidos, excluyendo de forma clara los planteamientos mediante "las estructuras" y, sin embargo, la concepcin del lgebra como Aritmtica generalizada no queda muy clara en estas recomendaciones. Aproximadamente un 10 % del programa est dedicado a aspectos algebraicos. De igual forma constatamos en otras propuestas de cambio curricular, por ejemplo la de U.S.A., que se recoge en los Estndares de la N.C.T.M., la necesidad de reconocer la importancia de una nueva pedagoga (Professional Standards for Teaching Mathematics, 1991) como apunta la Norma 4 Conocimiento de la Pedagoga de las Matemticas y tambin la importancia de promover el lgebra como disciplina que debe ser enseada en los niveles K-12 (Curriculum and Evaluations Standars for School Mathematics, 1989). Por ejemplo, en el estndar 9 de los niveles 5-8 referido al lgebra se especifica que el currculo de Matemticas debe incluir exploraciones de conceptos y procesos algebraicos para que los estudiantes sean capaces de:- entender los conceptos de variable, expresin y ecuacin; - representar situaciones y patrones numricos con tablas, grficas, reglas verbales y ecuaciones, y explorar las interrelaciones de estas representaciones; - analizar tablas y grficas para identificar propiedades y relaciones; - adquirir confianza en la resolucin de ecuaciones lineales usando mtodos concretos, informales y formales; - investigar de manera informal inecuaciones y ecuaciones no lineales; - aplicar mtodos algebraicos en la resolucin de diversos problemas matemticos y del mundo real.

En el estndar 4 del nivel 9-12 tambin se sugiere que se debe incluir investigacin de conexiones matemticas para que los estudiantes sean capaces de:- ver las matemticas como un todo integral, - explorar problemas y describir los resultados usando modelos o representaciones matemticas grficas, numricas, fsicas, algebraicas y verbales; - aplicar el pensamiento matemtico y la creacin de modelos para resolver problemas que surjan en otras reas, tales como arte, msica, psicologa, ciencias o10


economa.

En el estndar 5, tambin de los niveles 9-12, el currculo de matemticas debe proseguir en el estudio de conceptos y mtodos algebraicos para que los estudiantes sean capaces de:- representar situaciones que requieran variables en expresiones algebraicas, ecuaciones, inecuaciones y matrices; - utilizar tablas y grficas como herramienta para interpretar expresiones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones; - operar con expresiones algebraicas y matrices y resolver ecuaciones e inecuaciones; - apreciar la potencia de la abstraccin y el simbolismo matemtico.

Acerca de la influencia de esta formacin en la comprensin del lgebra en la vida futura del estudiante indican que permitir:- resolver ecuaciones lineales con mtodos matriciales; - demostrar que manejan con soltura las transformaciones algebraicas, incluyendo tcnicas basadas en teora de ecuaciones.

Y adems en el estudio de la geometra, desde una perspectiva algebraica, tambin sern capaces de:- deducir las propiedades de una figura utilizando el lgebra vectorial; - utilizar las transformaciones, los ejes de coordenadas y los vectores en la resolucin de problemas a travs de la inclusin en los niveles 9-12 del estudio de la geometra en dos y tres dimensiones desde un punto de vista algebraico: - convirtiendo representaciones sintticas en representaciones analticas; - deduciendo las propiedades de una figura por medio de transformaciones y de coordenadas; - identificando figuras congruentes y semejantes por medio de transformaciones; - analizando las propiedades de las transformaciones eucldeas y relacionando traslaciones con vectores.

1.3.2.2 El lgebra en la Enseanza Secundaria Obligatoria Ya se han indicado las tendencias acerca del lgebra en la escuela obligatoria. La interpretacin que est ms en consonancia con el desarrollo histrico del lgebra en sus tres etapas: retrica, sincopada y simblica, sugiere que la forma ms convencional de concebirla es como la rama de las Matemticas que trata de la simbolizacin de las relaciones numricas generales, de las estructuras matemticas, y, de las operaciones de esas estructuras. En este sentido, el lgebra escolar se interpreta como una "aritmtica generalizada" y como tal involucra la formulacin y manipulacin de relaciones y propiedades numricas. Es fundamentalmente sta la propuesta que se contempla en el Diseo Curricular Base del rea de Matemticas para la Enseanza Secundaria Obligatoria (12-16 aos) en la Nueva Reforma del Sistema Educativo Espaol (1989). Conviene destacar que los planteamientos de las Matemticas en los currculos actuales chocan frontalmente con los de los programas anteriores. La LOGSE destaca la importancia de los procesos de adquisicin del conocimiento, as como la relevancia de intervenir en el camino de aprendizaje y maduracin personal recorrido por el alumno -aspectos estos subyacentes en una posicin constructivista de la enseanza- en11

Captulo 1

contraposicin con el modelo tecnolgico -con fundamentos conductistaspropugnado por la anterior Ley de Educacin, para la cual lo esencial era la consecucin de una serie de objetivos y contenidos, susceptibles de ser observados y medidos. Consideramos el Diseo Curricular Base de Matemticas como una organizacin sistemtica, basada en una caracterizacin mediante cuatro componentes generales: objetivos, contenidos, metodologa y evaluacin (Rico, 1997). Estas cuatro componentes se van desarrollando y concretando, primero, en los Proyectos Curriculares de Centro, y, ms tarde, en las Programaciones de Aula y la relacin entre ellas constituye, para la mayora de los profesores, un difcil problema a resolver. Es importante resaltar que el lgebra se contempla en este Diseo como un Bloque Conceptual, adems de aparecer de manera transversal a lo largo de todos los Bloques. El lgebra se puede considerar como una de las partes de la Matemtica que influye considerablemente en el aspecto formativo de su propia actividad, favoreciendo la potencia y simplicidad de sus propios lenguajes y mtodos. El Diseo Curricular incide de manera especial en la construccin del conocimiento matemtico en su etapa final, generalizacin y formalizacin ("Caractersticas especiales del rea" del D.C.B.), teniendo en cuenta que la formalizacin, la precisin y la falta de ambigedad, no son el punto de partida a la hora de presentar los conocimientos, sino una meta a donde se llega por aproximacin y anlisis de la realidad; es el punto de llegada de un largo proceso de construccin. Los Objetivos Generales del rea implicados especficamente son: "Incorporar al lenguaje y modos de argumentacin habituales las distintas formas de expresin matemtica (numrica, grfica, geomtrica, lgica, algebraica, probabilstica) con el fin de comunicarse de manera precisa y rigurosa" (n 1), y "Actuar, en situaciones cotidianas y en la resolucin de problemas, de acuerdo con modos propios de la actividad matemtica tales como la exploracin sistemtica de alternativas, la precisin en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseverancia en la bsqueda de soluciones" (n 9). En el desarrollo del Bloque Primero de Contenidos: "Nmeros y Operaciones: significados, estrategias y simbolizacin" ("Nmeros y Operaciones" en el D.C.B. del Gobierno de Canarias, 1991), se contempla en la Introduccin, cuando expresa que con este Bloque "se pretende habituar al alumnado a descubrir patrones, reglas y leyes, efectos sorprendentes, etc." y que "esto permite estimular el trabajo y el ingenio personal, al mismo tiempo que contribuye a un mayor conocimiento de los nmeros y sus relaciones"; "El lenguaje algebraico es un contenido donde se recomienda poner especial nfasis, ya que plantea dificultades para gran parte del alumnado; se debe12


pretender poco ms que los objetos algebraicos que se manejen tengan significado para el alumno, reforzando conceptos como los de variable, incgnita, solucin, etc., evitndose la manipulacin de objetos algebraicos fuera de contexto". Los Conceptos (Hechos, conceptos y principios, en el D.C.B. del M.E.C., 1989), aparecen en el apartado n 7, El lenguaje algebraico: - Significado y uso de las letras para representar nmeros (un nmero desconocido fijo, un nmero cualquiera, una relacin entre conjuntos de nmeros...). Frmulas y ecuaciones. - Reglas para desarrollar y simplificar expresiones literales sencillas. En el D.C.B. del Gobierno Canario, 1991, los conceptos algebraicos se explicitan de la siguiente manera en el nmero 5, lgebra: 5.1. Lenguaje algebraico. Significado de las letras para representar nmeros. 5.2. Ecuaciones de primer y segundo grados. 5.3. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas. Con relacin a los Procedimientos, que en conjunto se refieren a utilizacin de distintos lenguajes, algoritmos y destrezas y estrategias generales, se recogen en los apartados 1, 10, 11, 12, 13, 14, 18 y 21, los que hacen referencia al lgebra. De manera concreta: 1. Interpretacin y utilizacin de los diferentes lenguajes numrico, grfico, algebraico. 10. Simbolizacin, mediante letras, nmeros conocidos, desconocidos, etc. 11. Expresin algebraica de enunciados de problemas. 12. Simbolizacin de relaciones mediante frmulas y ecuaciones. 13. Desarrollo y sntesis de expresiones literales sencillas. 14. Resolucin por mtodos numricos y grficos de ecuaciones de primer y segundo grados, sistemas lineales con dos incgnitas, interpretando las posibles soluciones. 18. Realizacin de operaciones sencillas con expresiones literales para adquirir agilidad en el manejo de funciones, ecuaciones y frmulas. 21. Utilizacin del razonamiento aritmtico para, dada una operacin u operaciones, establecer el enunciado de una situacin problemtica. Con relacin a los contenidos de Actitudes, considera esencial en esta rama de las Matemticas, la "valoracin del lenguaje numrico y algebraico para representar, comunicar o resolver situaciones de la vida cotidiana". En cuanto al Bachillerato en el documento "Estructura y contenido para el Bachillerato" del Ministerio de Educacin y Ciencia (1993), se recoge explcitamente, en las Especialidades de Humanidades y Ciencias Sociales, la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales (en primer curso, sistemas de13

Captulo 1

dos ecuaciones con dos incgnitas, y en el segundo, utilizando las matrices), mediante mtodos grficos, as como una profundizacin de lo aprendido en la etapa anterior. Con respecto al Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, y Tecnologa, en el primer curso se trata la resolucin de ecuaciones algebraicas, y en el segundo curso se estudian las matrices y determinantes, y como aplicacin, resolver sistemas de ecuaciones lineales. En el segundo curso del Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales aparece como contenido especfico la programacin lineal. Aadimos, finalmente, una ltima reflexin sobre el lgebra entendida como lenguaje en la E.S.O., que es el mbito de nuestra investigacin. El lenguaje habitual por medio del cual logramos comunicarnos, exige de nuestra parte una reflexin sobre la relacin con su uso al transmitir ideas relativas a las Matemticas. Para algunos autores, la Matemtica es ella misma un lenguaje. Para otros, esta afirmacin es un eslogan sin sentido o algo peligroso que, generalmente, confunde. Lo que s queda internacionalmente admitido es que la Matemtica ha desarrollado una sintaxis y un vocabulario propios, aunque sus smbolos y terminologa no sean, en exclusiva, de la Matemtica misma. La Matemtica tiene una notacin que le es propia y que hace posible la aplicacin formal de las reglas de la Aritmtica o del lgebra. Esta notacin formal en Matemticas es esencial en el desarrollo de la misma y es causa de gran confusin en la opinin de los alumnos. Algunas ideas que vamos a considerar en el trabajo posterior y que recogemos aqu, de forma breve, son: - El lgebra es una fuente de confusin considerable y de actitudes negativas en los alumnos (Booth, 1988). - El uso de la notacin formal puede conducirnos a reglas irracionales, a manipulaciones sin sentido y, no obstante, tal manipulacin formal es un rasgo esencial de las Matemticas. - El lenguaje habitual es un vehculo necesario para la comunicacin de ideas, pero insistimos en que en Matemticas es el simbolismo formal otra manera de realizar la comunicacin, principalmente de forma escrita. - Teniendo en cuenta que en la semitica (estudio de los signos), la semntica se ocupa de las relaciones entre los signos y los objetos denotados por ellos, y la sintaxis, estudia exclusivamente las relaciones de los signos entre s, podemos afirmar que el lenguaje escrito de las Matemticas opera tambin en dos niveles: Semntico, donde los smbolos y las notaciones son dadas con un significado claro y preciso (paralelismo con el lenguaje habitual). Sintctico, se opera sin referencia a ningn significado. - En Matemticas, el lenguaje habitual tiene que ayudar a interpretar el lenguaje simblico, lo que produce conflicto de precisin. El lenguaje14


habitual puede expresar su significado a pesar de que se cometen abusos morfosintcticos, tales como roturas de reglas gramaticales o faltas de ortografa. El significado puede ser comunicado por alusin o por asociacin, sin embargo, el lenguaje de Matemticas es ms preciso, est sometido a reglas exactas, no comunica su significado por el vocabulario comn (raz, producto, factor, ndice,). Una solucin para eliminar el uso del lenguaje habitual de las Matemticas, a causa de las dificultades implicadas, sera escribirlas involucrando solamente smbolos, pero esto servira nicamente para incrementar las distancias entre las Matemticas y la realidad. Sin embargo, otras dificultades surgen cuando para comunicar los objetos matemticos hacemos referencia al lenguaje simblico. Por ejemplo: a3 = a.a.a a5 = a.a.a.a.a a3 . a5 = a.a.a . a.a.a.a.a = a8 am . a n = a m + n . am : a n = a m - n donde m y n representan dos nmeros cualesquiera, distintos de cero, y en el segundo caso, m es mayor que n. Las restricciones de m y n son necesarias para la definicin inicial de 2 3 a , a , Los smbolos como a0, a -2, a1/2, no tienen significado en trminos de esta definicin. Nos preguntamos, bajo qu con

La adquisición del lenguaje algebraico

Documents

Transcript of La adquisición del lenguaje algebraico