Ecuaciones diferenciales exactas

Primero debemos retomar algunos conceptos de cálculo vectorial.

 

   Definición [Vector gradiente]

 

Sea   una función escalar, entonces el gradiente   es la

función vectorial   dada por

 

Ejemplo 

El gradiente de la función   es

 

   Definición [Campo vectorial conservativo]

 

Sea   una función vectorial, decimos que   es un campo vectorial conservativo si existe una función escalar

 tal que  . A la función escalar   se le llama función potencial.

 

Ejemplo 

La función vectorial   es un campo vectorial

conservativo, pues, si   se tiene que  .

La definición anterior no es muy útil al tratar de verificar que un campo vectorial es conservativo, pues involucra el hallar una función potencial. El

siguiente teorema nos facilitará esta tarea.

 

 

   Teorema

 

Sea   un campo vectorial definido sobre una región simplemente conexa1.1   y dado por

donde   y   tienen derivadas parciales de primer orden continuas en  , entonces   es conservativo sí y sólo sí

 

 

De paso este teorema nos da la clave para construir la función potencial, como veremos en el próximo ejemplo.

Ejemplo

 El campo vectorial

es conservativo, pues si

tenemos que

Como es conservativo, existe una función escalar   tal que

de donde, como

Derivando con respecto a   e igualando a la derivada parcial 

Con lo cual  .

 

Observación: algunas veces resulta más fácil integrar   respecto a   y

 respecto a   y luego elegimos   como la suma de ambos, tomando los términos repetidos una vez.

 

 

   Definición [Ecuación diferencial exacta]

 

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden escrita en la forma

es exacta si el campo vectorial asociado

es conservativo.   

 

   Teorema

 

La solución general de la ecuación diferencial exacta

está dada por  , donde   es la función potencial del campo

vectorial  .   

Demostración: 

Comprobemos que   es solución de la ecuación diferencial.

Suponiendo que   es función de  , derivamos implícitamente

Como   es la función potencial del campo vectorial  ,

 y  , de donde

Como se quería.

 

Ejemplo

 La solución general de la ecuación diferencial

es  , pues la ecuación diferencial es exacta y como

hemos visto   es la función potencial del

campo vectorial  .

 

Ejemplo 

Determine una función   de modo que la ecuación diferencial

(1.1)

sea exacta.

Para que la ecuación diferencial  (1.1)  sea exacta debe cumplirse que

Y al integrar respecto a  , obtenemos que

 

Observación: en realidad obtenemos toda una familia de funciones  , debido a la constante de integración  , como queremos sólo una

función   podemos tomar  .

 

Ejemplo

Determine el valor o valores de   de forma que la ecuación diferencial

(1.2)

Para que la ecuación diferencial (1.2) sea exacta debe satisfacer

de donde obtenemos que

Derivada direccional

Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de   en el

punto   en la dirección de un vector unitario

arbitrario  . Para esto consideramos la superficie   con

ecuación  (la gráfica de  ) y sea  . Entonces

el punto   está sobre  . El plano vertical que pasa por el punto  en la dirección del vector   interseca a la superficie   en la curva  . La pendiente de la recta tangente   a la curva   en el punto

es la tasa de cambio de  en la dirección de  .

En la  liga [Ver en 3D-LG3D] de la figura1, se puede arrastrar con el mouse el punto   y/o el vector   para observar como varía la tasa de cambio en  en la dirección de 

 

Figura 1: derivada direccional en P en la dirección de u[Ver en 3D - LG3D][Ver en 3D - Jview]

Si   es otro punto sobre la curva  , y si   y   son las

proyecciones sobre el plano  de los vectores   y  , entonces el

vector   es paralelo al vector  , y por consiguiente

Figura 2: derivada direccional en P en la dirección de u

para algún escalar . Así pues, 

 

 

y la razón de cambio está dada por 

y al tomar el límite cunado  obtenemos la tasa de cambio instantanea de  (con respecto a la distancia) en la dirección de  , la

cual se llama derivada direccional de en la dirección de . 

 Definición  (derivada direccional)

Sea   una función escalar y sean 

 un vector unitario, entonces la derivada direccional de 

 en la dirección del vector  , está dada por : 

 

Observación: al comparar la definición de derivada parcial con la de

derivada direccional (1), podemos notar que si   

entonces   y si , es decir, las derivadas parciales son derivadas direccionales en la dirección de los vectores canónicos. 

Ejemplo 1  

Calcule la derivada direccional de  en el

punto   en la dirección del vector   

Solución  Usando la definición (1), tenemos que : 

y usando la regla de L'Hôpital 

Esto nos dice que la razón de cambio de en en la dirección del

vector  es  , es decir, que en esta dirección esta decreciendo. En la figura 1 se ilustra esta situación.

 

 Figura 2: derivada direccional en P en la dirección de u

[Ver en 3D - Jview]

Observación: la definición de derivada direccional es válida en general

para funciones de variables  . 

Con propósitos de cálculo, la definición no es muy útil, por lo que en general se usa la siguiente fórmula. 

 Teorema

Sea   una función escalar diferenciable en , entoncestiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector

unitario   y 

Observación:  recuerde que la componente de  en la dirección de 

es  , la cual es la longitud de la proyección vectorial de  sobre

el vector unitario  .   Con lo cual la fórmula 

nos dice que la derivada direccional es la componente del vector

gradiente  en la dirección del vector  . 

Ejemplo 2  

Calcule la derivada direccional  si 

y  es el vector unitario dado por  .  ¿Cuánto es  ? Solución

Usando la fórmula (2) 

De donde 

Ejemplo 3    

Calcule la derivada direccional    si

 vector    .Solución

El vector gradiente de la función esta dado por 

 

evaluando en , tenemos que  . Por otro lado un vector unitario en la dirección de  es: 

Por tanto 

 

Suponga que tenemos una función de dos o de tres variables y

consideramos todas las posibles derivadas direccionales de en un punto

dado. Esto proporciona las tasas de cambio de en todas las posibles direcciones. De modo que podemos plantear la siguiente pregunta : ¿en

cuál de estas direciones cambia con mayor velocidad?, y ¿ cuál es la máxima razón de cambio? Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema. 

 Teorema (dirección de máximo cambio)

Sea  una función escalar. El valor máximo de la derivada

direccional  es   y se presenta cuando  tiene la

misma dirección que el vector gradiente  .  

Ejemplo 4  

Suponga que la temperatura en un punto  en el espacio está dada por 

donde está medida en grados centígrados y  están en metros. ¿En qué dirección aumenta más rápido la temperatura respecto al  punto(1, 1, -2)? ¿Cuál es la máxima tasa de incremento ? 

Solución

El gradiente de es 

Evaluando en el punto  obtenemos 

Por tanto, respecto a  ,  la temperatura se incrementa con

mayor rapidez en la dirección del vector gradiente 

La tasa máxima de incremento es la longitud del vector gradiente 

Observación: el valor mínimo de la derivada direccional

es  y ocurre cuando  tiene la dirección opuesta al

gradiente  . 

Ejemplo 5  Considere la placa rectángular que se muestra en la figura siguiente. La

temperatura en un punto de la placa está dada por 

Determine la dirección en la que se debe  mover un insecto que está en el

punto , para que se enfríe lo más rápido posible. 

Solución  

Para que el insecto se enfríe más rápidamente, respecto al punto  ,  debe seguir una dirección opuesta al gradiente, es decir 

O sea debe ir en la dirección del vector  . 

Ejemplo 6  

Considere el ejemplo anterior, observe que  es el punto más frío de la placa.  Encuentre la trayectoria que el insecto (que busca el frío) debe

seguir hacia el origen, partiendo del punto . 

Solución

Si   es la ecuación vectorial de la trayectoria entonces 

de donde obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales 

y las condiciones iniciales 

El sistema de ecuaciones diferenciales (3) se resuelve fácilmente integrando, pues cada ecuación diferencial es en variables separadas. 

y usando las condiciones iniciales (4) tenemos que 

simplificando 

despejando obtenemos que la trayectoria que debe seguir el insecto

es    (vea la figura 3).

Figura 3: mejor trayectoria

Ejemplo 7  La altura de una montaña, en metros sobre el nivel del mar, está dada por 

Si un alpinista comienza su ascenso al nivel del mar en 

y   ¿Cuál es la trayectoria en el plano que corresponde a la ruta más empinada de ascenso a la montaña?

Solución  Sabemos que en cada punto de la montaña, la dirección de ascenso con mayor pendiente esta dada por el gradiente 

Esto significa que este vector es tangente a la proyección de la

trayectoria de ascenso en el plano , es decir, si es dicha trayectoria, entonces 

De donde obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales 

Para resolverlo podemos observar que 

cuya solución es 

Y usando las condiciones iniciales  ,  la trayectoria que debe seguir es 

En la siguiente figura se muestra la curva de nivel    y la

trayectoria  . 

Figura 4: mejor trayectoria

Ejemplo 8  

¿Cuál es la razón de cambio de  a lo largo de la curva 

en el punto que corresponde a   (cuando decimos a lo largo de la curva, queremos dar a entender en la dirección del vector tangente a la curva.) 

Solución

  Primero, el punto en la curva es 

Un vector tangente a la curva está dado por 

y por tanto un vector unitario tangente es 

Evaluando en   

  

Figura 5: derivada direccional en P en la dirección de u[Ver en 3D - Jview]

Por otro lado, el gradiente de   es 

Evaluando en

Y así la derivada direccional es 

Gradiente de un campo escalar, divergencia y rotacional de un campo vectorialDificultad: 

Gradiente de un campo escalar

Sea f:U⊆R3⟶R un campo escalar, y sean ∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z las derivadas parciales

de f (es decir, derivar respecto a una variable manteniendo las otras como constantes).

Entonces, el gradiente de f es:

grad(f)=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)

Observemos que el gradiente de f es un vector, aunque f sea un campo escalar. Hay que tener en cuenta que:

El gradiente apunta en la dirección en la que la derivada direccional de la función f es máxima, y su módulo en un punto es el valor de ésta derivada direccional en ese punto.

Se anula en los puntos de inflexión de la función f. El gradiente convierte un campo escalar en un campo vectorial.

Ejemplo

f(x,y,z)=x2⋅y−z3⋅zgrad(f)=(2⋅x⋅y−z3,x2,3⋅z2⋅x)

f(x,y,z)=x⋅sin(y)⋅e5⋅zgrad(f)=(siny⋅e5⋅z,x⋅cosy⋅e5⋅z,x⋅siny⋅5⋅e5⋅z)

f(x,y,z)=x2+y2+z2−−−−−−−−−−√grad(f)=(xx2+y2+z2−−−−−−−−−−√,yx2+y2+z2−−−−−−−−−−√,zx2+y2+z2−−−−−−−−−−√)

Divergencia de un campo vectorial

Sea F:U⊆R3⟶R3,F=(F1,F2,F3) un campo vectorial. Entonces, la divergencia

de F es:

div(F)=∂∂xF1+∂∂yF2+∂∂zF3

Ejemplo

F(x,y,z)=(x3⋅y,2⋅z⋅sinx,cosz)div(F)=∂∂x(x3⋅y)+∂∂y(2⋅z⋅sinx)+∂∂z(cosz)=3⋅x2⋅u+0−sinz

F(x,y,z)=(−2⋅x⋅y,y⋅sinz+y2+z,cosz)div(F)=∂∂x(−2⋅x⋅y)+∂∂y(y⋅sinz+y2+z)+∂∂z(cosz)==−2⋅y+sinz+2⋅y−sinzLa divergencia convierte un campo vectorial en un campo escalar.

Rotacional de un campo vectorial

Sea F:U⊆R3⟶R3,F=(F1,F2,F3) un campo vectorial. Entonces, el rotacional

de F es:

rot(F)=(∂F3∂y−∂F2∂z,∂F1∂z−∂F3∂x,∂F2∂x−∂F1∂y)

o también se puede calcular como el siguiente determinante, (teniendo en cuenta que i,j,k son la coordenada a la que corresponden):∣∣∣∣∣i∂∂xF1j∂∂yF2k∂∂zF3∣∣∣∣∣Ejemplo

F(x,y,z)=(4⋅x⋅ey,x⋅lnz,y)ro

t(F)=(∂(y)∂y−∂(x⋅lnz)∂z,∂(4⋅x⋅ey)∂z−∂(y)∂x,∂(x⋅lnz)∂x−∂(4⋅x⋅ey)∂y)

=(1−xz,0−0,lnz−4⋅x⋅ey)Propiedades del gradiente, divergencia y rotacional

Si f es un campo escalar y F un campo vectorial, entonces siempre se cumple que

1. rot(grad(f))=02. div(rot(F))=03. rot(f⋅F)=grad(f)×F+f⋅rot(f)4. div(f⋅F)=f⋅div(F)+grad(f)⋅F

donde ⋅ es el producto escalar y × el producto vectorial.

Campo vectorial

Campo vectorial : :

Definición de campo vectorial

Físicamente un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial.

Matemáticamente se define un campo vectorial como una función vectorial de las coordenadas o como un

caso especial de una transformación no necesariamente lineal.  , en donde   representa el

espacio vectorial que hace las veces de dominio y   el espacio vectorial que actúa como rango.

El campo ilustrado en la ecuación anterior es un campo vectorial  , dado que la función vectorial tiene tres componentes y cada componente es una función de tres variables independientes.

Cuando se modela la distribución de esfuerzos en una estructura, la distribución de fuerzas de naturaleza electromagnética o gravitatoria en el espacio, se hace usando campos vectoriales.

Otros ejemplos de campos vectoriales son las funciones de velocidad asociadas a las trayectorias de las partículas o diferenciales de volumen de una sustancia en condiciones de flujo bien sea laminar o turbulento.

El gradiente de un campo escalar, constituye un ejemplo adicional de campo vectorial, dado que la magnitud y dirección del gradiente de un campo escalar es una función de las coordenadas, tal como se ilustró en la Figura 19.

 

 

Representación de un campo vectorial

Líneas de fuerza

La representación de los campos vectoriales se hace mediante mapas semejantes a los de los campos escalares, pero usando líneas que representan la continuidad de la orientación de los vectores de campo sobre una región definida. Estas líneas reciben el nombre de líneas de fuerza.

Al igual que con los campos escalares, un campo vectorial no puede representarse fácilmente en tres dimensiones, por lo que normalmente se hacen proyecciones sobre los planos directores del sistema de coordenadas.

Figura 20 Representación de un campo vectorial de  .

 

Las líneas de fuerza cumplen con las siguientes propiedades:

Los vectores de campo en cualquier punto son siempre tangenciales a la línea de fuerza que pasa por el punto dado.

Las líneas de fuerza no se cruzan en ningún punto aunque pueden seguir trayectorias cerradas . La cantidad de líneas de fuerza en cualquier porción del espacio en que se encuentra definido el

campo es proporcional a la intensidad del campo vectorial.

En algunas otras ocasiones, la representación de campos vectoriales se hace a través de los vectores de campo directamente. En estos casos, la intensidad del campo vectorial se asocia a la densidad de vectores de campo en una región, tanto como a la longitud de los mismos.

 

Trazado de las líneas de fuerza de un campo vectorial

De acuerdo con la definición de línea de fuerza, una línea de fuerza es tangente a los vectores de campo en todos los puntos del espacio vectorial definido. Esto, se ilustra gráficamente en la Figura 21 .

Figura 21 Relación entre los vectores de campo y la recta tangente a la curva en una línea de fuerza.

Se observa claramente que el vector de campo tiene la misma dirección de la recta tangente a la línea de fuerza en el punto de tangencia.

En este caso, el vector de campo tiene dos componentes denominados   y   respectivamente; resulta entonces que la relación entre las componentes del vector da como resultado la pendiente de la recta tangente a la línea de fuerza en cada punto de tangencia.

Dado que la pendiente de la recta tangente es la derivada de la curva, se puede entonces proponer una igualdad definida por:

La familia de soluciones a esta ecuación diferencial es entonces la misma familia de curvas que representa las líneas de fuerza.

Para el caso considerado en el Ejemplo 18 , el campo vectorial tiene por ecuación:

En este caso, la ecuación diferencial planteada quedaría:

La familia de soluciones de esta ecuación es de la forma:

Para diferentes valores de k tanto negativos como positivos se obtienen diferentes líneas de fuerza según se ilustra en la Figura 22 .

Figura 22 Trazado de las líneas de fuerza del campo vectorial del Ejemplo 18 .

 

Finalmente, la dirección de las líneas de fuerza la define la ecuación del campo vectorial, por ejemplo en el primer cuadrante, tanto x como y tienen signo positivo, por lo cual las líneas de fuerza van en la dirección del semieje x positivo y del semieje y negativo.

El mismo método de análisis se usa para definir la dirección en los cuatro cuadrantes.

Como se observa al comparar las gráficas de las líneas de fuerza y las obtenidas en el Ejemplo 17 , las líneas de fuerza son perpendiculares a las equipotenciales, como es de esperarse de acuerdo con las propiedades del vector gradiente.

 

Propiedades de un campo vectorial

Circulación y Rotacional

Cuando las líneas de fuerza en cualquier región del espacio donde se encuentre definido el campo siguen una trayectoria cerrada se dice que el campo posee circulación en dicha región.

La circulación es una característica de los campos vectoriales y tiene una definición matemática relativamente simple.

La circulación de un campo es la sumatoria sobre una trayectoria cerrada de las componentes de campo tangenciales la trayectoria.

Figura 23 Líneas de fuerza de un campo vectorial con circulación.

Cuando se desea medir la circulación de un campo vectorial como una función de las coordenadas, se utiliza una función vectorial denominada rotacional, que mide la circulación por unidad de área cuando el área tiende a cero en cada punto del espacio en que se encuentra definido el campo.

Donde C es la curva que encierra la superficie  .

El rotacional de un campo es una función de las coordenadas y puede en consecuencia, ser diferente para los diferentes puntos del espacio en que se encuentra definido el campo.

Cuando el rotacional es nulo en todos los puntos de una región, se dice que el campo es irrotacional o conservativo en dicha región.

En coordenadas generalizadas el operador vectorial diferencial del rotacional es el que se muestra en la Ecuación 24.

Ecuación 24 Rotacional en coordenadas generalizadas.

El rotacional en los demás sistemas de coordenadas se puede obtener a partir del desarrollo de la Ecuación 24 y se encuentra en la sección de anexos.

 

Teorema de Stokes

A partir de la definición de rotacional, se deduce una identidad conocida como el teorema de Stokes:

Dado que el rotacional de un campo vectorial es una especia de derivada areolar de la circulación del campo, es lógico pensar que la integral de área del rotacional corresponda a la circulación de campo, de donde se desprende la Ecuación 25.

Ecuación 25 Teorema de Stokes

La circulación de un campo vectorial a lo largo de cualquier trayectoria es igual al flujo del campo sobre cualquier superficie encerrada por dicha trayectoria.

 

 

Flujo y divergencia

El flujo de un campo vectorial A se define como la cantidad de líneas de fuerza que atraviesa la superficie y es una cantidad escalar. Para cuantificarlo, se toma solamente la componente normal de las líneas que inciden sobre la superficie.

La componente normal se obtiene como la proyección del vector de campo sobre un vector unitario perpendicular a la superficie, el cual fue definido en el capítulo anterior.

Figura 24 Flujo de un campo vectorial A a través de una superficie 

 

Para las superficies cerradas se define también el flujo de salida como el flujo que atraviesa la superficie

cuando el vector de superficie apunta siempre hacia fuera de la superficie cerrada .

Figura 25 Flujo de salida de una superficie cerrada en presencia de una fuente, un sumidero o ninguno de ellos.

Cuando el flujo de salida es positivo, significa que en el interior de la superficie se encuentra una fuente de campo, es decir, que el número de líneas de fuerza que abandona la superficie es superior al número de líneas de fuerza que ingresan a ella.

Cuando el flujo de salida tiene signo negativo significa que en interior de la superficie se encuentra un sumidero, es decir el caso contrario a una fuente.

En general, las líneas de fuerza nacen en las fuentes y terminan en los sumideros.

El flujo de salida por unidad de volumen encerrado puede tomarse como una medida de la presencia de fuentes o sumideros en la región delimitada por la superficie.

Se denomina Divergencia de un campo vectorial al flujo de salida por unidad de volumen cuando la unidad de volumen se hace infinitesimal.

La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar dada la naturaleza escalar del flujo y la naturaleza puntual de la divergencia.

El operador divergencia en coordenadas generalizadas es:

Ecuación 26 Divergencia en coordenadas generalizadas

La divergencia en los demás sistemas de coordenadas se encuentra en la sección de anexos.

 

 

Teorema de la divergencia

De la definición de Divergencia, se desprende una identidad conocida como el teorema de la divergencia:

Dado que la divergencia de un campo vectorial es una especie de derivada volumétrica del flujo de salida del campo, es lógico pensar que la integral de volumen de la divergencia, corresponda al flujo total de salida del campo de donde se desprende la Ecuación 27 .

Ecuación 27 Teorema de la divergencia.

 

El flujo de salida de un campo vectorial a través de cualquier superficie cerrada es igual a la integral de volumen de la divergencia del campo sobre el volumen encerrado por la superficie.

Cuando se desea calcular el flujo de salida de un campo a través de una determinada superficie cerrada, se hace evidente la simplicidad introducida mediante el teorema de la divergencia, como en el siguiente ejemplo: