la competencia maemática

8/9/2019 la competencia maemtica

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OCDE 2006 PISA 2006. Marco de la evaluacin. Conocimientos y habilidades en Ciencias, Matemticas y Lectura

La Competencia Matemtica


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LaCompetenciaMatemtica

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DEFINICIN DEL REA DE EVALUACIN

El rea de la competencia matemtica definido por PISA hace referencia a la capacidad de los alumnos

para analizar, razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean, formulan, resuelven e interpre-tan problemas matemticos en diversas situaciones. En lugar de limitarse al tipo de situaciones yproblemas que suelen encontrarse en las aulas, la evaluacin PISA se centra en los problemas del

mundo real. En un entorno real, los ciudadanos han de hacer frente a una serie de situaciones al irde compras, viajar, cocinar, ocuparse de su economa domstica, valorar cuestiones polticas, etc.,en las que el empleo de un razonamiento cuantitativo o espacial, u otras capacidades matemticas,contribuir a aclarar, formular o resolver los problemas que se les planteen. Estos usos de las mate-

mticas se basan en las habilidades que se han aprendido y practicado mediante el tipo de problemasque suelen presentarse en los libros de texto y en las aulas. Sin embargo, exigen asimismo la capaci-dad de aplicar esas habilidades a unos contextos menos estructurados, que carecen de instrucciones

precisas y en los que el alumno debe decidir cul ser el conocimiento ms adecuado al caso y culser la forma ms til de aplicarlo.

El concepto de competencia matemtica de PISA pretende evaluar en qu medida los alumnos de15 aos pueden ser considerados unos ciudadanos reflexivos e informados y unos consumidoresinteligentes. Cada vez es ms normal que los ciudadanos de cualquier pas se vean enfrentados auna multiplicidad de tareas que entraan conceptos matemticos de carcter cuantitativo, espacial,

probabilstico o de algn otro tipo. Los medios de comunicacin (peridicos, revistas, televisine Internet) estn repletos de informacin en forma de tablas, diagramas o grficos, donde se tra-tan temas como el clima, la economa, la medicina o los deportes, por mencionar tan solo unospocos ejemplos. Los ciudadanos se ven sometidos a un bombardeo informativo sobre temas como

el calentamiento global y el efecto invernadero, el crecimiento demogrfico, los vertidos depetrleo en los mares, la desaparicin de espacios naturales. Por ltimo, sin ser por ello menos

importante, los ciudadanos se ven en la necesidad de leer formularios, interpretar horarios de trenesy autobuses, llevar a cabo transacciones monetarias de forma satisfactoria, decidir cul es la mejorcompra en el mercado, etc. La competencia matemtica de PISA se centra en la capacidad de los alum-nos de 15 aos (una edad en la que muchos de ellos estn a punto de completar el ciclo de forma-cin obligatoria en matemticas) para dotar de sentido estas cuestiones y llevar a cabo las tareas que

requieren, recurriendo a sus conocimientos y su comprensin de las matemticas.

PISA define as la competencia matemtica:

Competencia matemtica es una capacidad del individuo para identicar y entender la funcin quedesempean las matemticas en el mundo, emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse conlas matemticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de los individuoscomo ciudadanos constructivos, comprometidos y reexivos.

Una serie de comentarios explicativos adicionales contribuirn a clarificar la definicin del rea deevaluacin.

El trmino competencia matemtica se ha elegido con el fin de hacer hincapi en el carcterfuncional del conocimiento matemtico y en la posibilidad de aplicarlo de forma variada, reflexivay perspicaz a una multiplicidad de situaciones de los ms diversos tipos. Para que dicho uso sea

posible y viable se requiere un considerable volumen de conocimientos y habilidades matemticas

fundamentales y, como es natural, dichas habilidades forman parte de nuestra definicin de com-petencia. En el mbito lingstico, la competencia presupone, sin reducirse a ello, la posesin de


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un vocabulario rico y un conocimiento sustancial de las reglas gramaticales, la fontica, la ortogra-fa, etc. Cuando una persona quiere comunicarse recurre a estos elementos de forma creativa conobjeto de dar respuesta a las situaciones que se encuentran en el mundo real. Aunque la competenciamatemtica presupone sin duda ese tipo de conocimientos, tampoco puede reducirse al dominio dela terminologa, los datos y los procesos de las matemticas ni a la habilidad para realizar ciertas

operaciones y poner en prctica determinados mtodos. La competencia matemtica supone unacombinacin creativa de estos elementos con objeto de responder a las exigencias que plantean lassituaciones externas.

El trmino mundo hace referencia al marco natural, social y cultural en que vive el individuo.Como seal Freudenthal (1983): Los conceptos, las estructuras y las nociones matemticas deque nos servimos se han concebido como herramientas que nos permitan organizar los fenmenosdel mundo fsico, social y mental (p. ix).

La expresin utilizar y relacionarse con comprende tanto el uso de las matemticas como lasolucin de problemas matemticos, pero comporta asimismo un grado de implicacin personal

ms amplio que englobara nociones como la comunicacin, la sintona, la valoracin e incluso laapreciacin y el disfrute de las matemticas. As pues, la definicin de competencia matemtica englo-

ba, por un lado, el uso funcional de las matemticas en su sentido ms restringido y, por otro, ladisposicin para profundizar en su estudio, as como sus aspectos estticos y recreativos.

La expresin la vida de los individuos incluye la vida privada de las personas, pero tambin suvida profesional, social (grupos de compaeros y familiares) y su vida como ciudadanos de unadeterminada comunidad.

Una de las capacidades esenciales que comporta el concepto de competencia matemtica es la habilidadde plantear, formular e interpretar problemas mediante las matemticas en una variedad de situacio-

nes o contextos. La gama de contextos abarca desde los puramente matemticos hasta aquellos otrosque, en principio, no presentan o aparentan poseer una estructura matemtica: es tarea de quienplantea o trata de solucionar el problema introducir de forma satisfactoria la estructura matemtica.Conviene poner de relieve, asimismo, que la definicin no se circunscribe a un conocimiento bsicode las matemticas, sino que incluye el empleo y el uso de las matemticas en unas situaciones quevan desde lo cotidiano a lo excepcional, desde lo sencillo a lo complejo.

Las actitudes y los sentimientos que suscitan las matemticas, como la seguridad en uno mismo, lacuriosidad, los sentimientos de inters y relevancia o el deseo de hacer o comprender ciertas cosas,no forman parte de la definicin de competencia matemtica, aunque ciertamente contribuyen a ella

de una forma nada desdeable. En teora se puede ser competente en matemticas sin poseer esasactitudes y sentimientos, pero en la prctica es poco probable que dicha competencia se ejerza o seponga en prctica si el individuo no posee un cierto grado de seguridad en s mismo, curiosidad,sentimientos de inters y relevancia o el deseo de realizar y comprender temas de contenido ma-temtico. Aunque estas actitudes y sentimientos no formen parte de la evaluacin de la competenciamatemtica, PISA reconoce la importancia que tienen como correlato de la competencia matemticay, en consecuencia, se abordarn en una parte del estudio PISA.

BASE TERICA DEL MARCO PISA DE EVALUACIN DE LAS MATEMTICAS

La definicin que hace PISA de la competencia matemtica concuerda con las teoras ms amplias e in-tegradoras sobre la estructura y el uso del lenguaje, segn han sido recogidas en los ms recientesestudios sobre la competencia sociocultural. En la obra de James Gee, Preamble to a Literacy Program


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(1998) {Prembulo a un programa centrado en la competencia}, el trmino competencia hace referen-cia al uso que hacen las personas del lenguaje. La facultad de leer, escribir, entender y hablar unalengua es la herramienta de mediacin ms importante de la que disponen los seres humanos parainterrelacionarse socialmente. De hecho, cualquier lengua y cualquier uso del lenguaje posee unaestructura enormemente intrincada que se engarza de formas muy complejas con una gran diversi-

dad de funciones. Afirmar que alguien est dotado de competencia lingstica equivale a decir queesa persona conoce muchos de los recursos estructurales de una determinada lengua y que es capazde aplicar esos recursos a una gran variedad de funcionessociales. De forma anloga, considerarlas matemticas como un lenguaje implica que los alumnos deben conocer los rasgos estructuralespresentes en el discurso matemtico (los trminos, hechos, signos, smbolos, procedimientos y ha-

bilidades que se han de emplear para ejecutar ciertas operaciones en unos subdominios matemticosespecficos, as como la estructura de esas ideas en cada uno de los subdominios), y aprender a uti-lizar esos conceptos para resolver problemas no rutinarios en una variedad de contextos definidossegn sus funciones sociales. Ntese que el conocimiento de los rasgos estructurales de las mate-

mticas implica conocer los trminos, procedimientos y conceptos bsicos que suelen ensearse enlos centros escolares, pero tambin saber cmo se estructuran y se utilizan. Desafortunadamente,se puede saber mucho sobre los rasgos estructurales de las matemticas sin que ello suponga que seposee un verdadero conocimiento de la estructura de las matemticas o que se saben utilizar esosrasgos para resolver problemas. Estos conceptos sobre la interaccin entre los rasgos estructuralesy las funciones constituyen la base sobre la que se asienta el marco de evaluacin del rea de mate-mticas de PISA y pueden ilustrarse a travs del siguiente ejemplo.

Ejemplo 1 de Matemticas: FRECUENCIA CARDACA

Por motivos de salud se recomienda que, al realizar un esfuerzo, la prctica de un deporte, por ejemplo,no se exceda de una determinada frecuencia cardaca.

Durante muchos aos, la relacin entre la mxima frecuencia cardaca recomendada y la edad

del individuo se describi mediante la siguiente frmula:

Mxima frecuencia cardaca recomendada = 220 edad

Las ltimas investigaciones, sin embargo, indican que esta frmula debe ser modificada ligeramente.

La nueva frmula es la siguiente:

Mxima frecuencia cardaca recomendada = 208 (0,7 x edad)

Las preguntas de esta unidad giran en torno a la diferencia entre las dos frmulas y el modo en que

estas afectan al clculo de la mxima frecuencia cardaca recomendada.

Este problema puede solucionarse siguiendo la estrategia que suelen emplear los matemticos, queen este marco se denominar matematizacin. La matematizacin se puede caracterizar atendiendoa cinco aspectos esenciales:

En el primer paso, el proceso matematizador o de matematizacin se inicia con un problema presente en larealidad.

Como deja claro el ejemplo, en este caso la realidad es la salud y la buena forma fsica. Una de lasreglas bsicas a la hora de hacer ejercicio es que se debe realizar con cuidado y sin forzarse, pues

un esfuerzo excesivo puede causar problemas de salud. La pregunta nos alerta sobre este temaestableciendo un nexo entre la salud y la frecuencia cardaca y mediante la mencin a la existenciade una mxima frecuencia cardaca recomendada.


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En el segundo paso, la persona que desea resolver el problema trata de identificar las matemticas pertinentesal caso y reorganiza el problema segn los conceptos matemticos que han sido identificados.

Est claro que el alumno tiene ante s dos frmulas lingsticas que deben ser comprendidas y que

se pide que compare las dos frmulas y trate de establecer cul es su significado en trminos ma-

temticos. Las frmulas establecen una relacin entre la mxima frecuencia cardaca aconsejable

y la edad de una persona.

El tercer paso implica una progresiva abstraccin de la realidad.

Existen diferentes modos de abstraer la realidad, esto es, de formular el problema en trminos es-trictamente matemticos. Uno de ellos consiste en traducir las frmulas lingsticas a una expre-

sin algebraica ms formalizada, como:y= 220 x oy= 208 0,7x. Evidentemente, el alumno

no debe olvidar queyrepresenta la mxima frecuencia cardaca, expresada en latidos por minuto,

y que x representa la edad, expresada en aos. Otra forma de acceder a un universo estrictamente

matemtico consistira en dibujar directamente los grficos partiendo de las frmulas lingsticas.Al tratarse de frmulas de primer grado, los grficos resultantes representaran dos lneas rectas.

Como los grficos tienen pendientes distintas, las dos lneas se intersecaran.

Estos tres pasos nos llevan desde el problema del mundo real al problema matemtico.

El cuarto paso consiste en resolver el problema matemtico.

Para resolver el problema matemtico que se tiene entre manos se han de comparar dos frmulaso dos grficos y sacar una conclusin sobre las diferencias que suponen para las personas de una

determinada edad. Una buena manera de empezar sera determinar en qu caso las dos frmulas

dan el mismo resultado, o bien en qu caso los dos grficos se intersecan. Para ello el alumno ha

de resolver la siguiente ecuacin: 220 x = 208 0,7x. Esto nos da x = 40, mientras que el valor

correspondiente deysera 180. Por tanto, los dos grficos se intersecan en el punto (40, 180).

Ese mismo punto se puede localizar tambin en el grfico que figura ms abajo. Como la pendien-

te de la primera frmula es 1, y la de la segunda, 0,7, el alumno sabe que la pendiente del


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segundo grfico es menos pronunciada que la del primero. O que el grfico dey= 220 x se sitapor encima del grfico dey= 208 0,7x para los valores de x inferiores a 40, y por debajo paralos valores de x superiores a 40.

El quinto paso supone responder a la pregunta: qu significado adquiere la solucin estrictamente matemtica

al transponerla al mundo real.El significado no resulta demasiado difcil de hallar si el alumno se da cuenta de que x es la edad deuna persona, mientras queyesla mxima frecuencia cardaca. Si se tienen 40 aos, ambas frmu-las dan el mismo resultado: una frecuencia cardaca mxima de valor 180. La frmula antiguapermite una frecuencia cardaca ms alta para los jvenes: utilizando un ejemplo extremo, si laedad es cero, la frmula antigua dar un mximo de 220 y la nueva un mximo de 208. En cambio,para la gente mayor, que en este caso son los que tienen ms de 40 aos, la nueva frmula permiteuna frecuencia cardaca mxima de un valor ms alto. Recurriendo una vez ms a un ejemplo ex-tremo, para una edad de 100 aos el alumno ver que con la frmula antigua el mximo era 120,

mientras que con la nueva es 138. Es importante, sin embargo, tener en cuenta una cuestin: lasfrmulas empleadas carecen de precisin matemtica y producen la impresin de tener un carc-ter seudocientfico. De hecho, estas frmulas simplemente proporcionan una regla de andar porcasa que ha de aplicarse con precaucin, una cautela que ha de extremarse an ms en las edadeslmite. En todo caso, lo que este ejemplo demuestra es que incluso un ejercicio relativamentesencillo, es decir, un ejercicio sometido a las restricciones que impone un estudio internacional agran escala que ha de realizarse en poco tiempo, permite identificar el ciclo completo de la mate-matizacin y la solucin de problemas.

Estos procesos caracterizan, en un sentido amplio, la forma en que los matemticos suelen hacer

matemticas,el modo en que la gente emplea las matemticas en gran cantidad de situaciones realeso hipotticas y la forma en que un ciudadano reflexivo y bien informado debe utilizar las matemti-cas para participar de forma plena y competente en el mundo real. De hecho, aprender a matematizardebera constituir uno de los objetivos educativos prioritarios para todos los alumnos.

En la actualidad, y es de prever que seguir siendo as en el futuro, todo pas necesita contar conunos ciudadanos dotados de un nivel de competencia matemtica que les permita afrontar los retosque plantea una sociedad compleja y en perpetuo cambio. La informacin disponible ha crecido deforma exponencial y los ciudadanos tienen que ser capaces de decidir cmo se debe manejar esainformacin. En los debates sociales, cada vez se recurre ms al uso de informacin cuantitativa para

respaldar determinadas afirmaciones. Un ejemplo de lo necesaria que es la competencia matemticalo tenemos en la frecuencia con que se pide a las personas que expresen sus opiniones y evalenla fiabilidad de las conclusiones y las afirmaciones que aparecen en encuestas y estudios. Ser capazde emitir un juicio sobre la solidez de las afirmaciones que se derivan de tales argumentaciones es,y cada vez lo ser ms, uno de los rasgos definitorios del ciudadano responsable. Los pasos del pro-ceso de matematizacin que se exponen en este marco de la evaluacin constituyen los elementosfundamentales a la hora de aplicar las matemticas a este tipo de situaciones complejas. La incapa-cidad de utilizar conceptos matemticos puede llevar a la adopcin de decisiones confusas a nivelpersonal, a un incremento de la vulnerabilidad ante las seudociencias y a la toma de decisiones pocoinformadas en la vida profesional y social.

Un ciudadano con un buen nivel de competencia matemtica es consciente de la rapidez con que se pro-ducen los cambios y de la necesidad de estar abierto a un proceso de aprendizaje que se prolongar


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a lo largo de toda la vida. Ser capaz de adaptarse a estos cambios de una manera creativa, flexibley prctica es una condicin necesaria para ejercer la ciudadana de una forma plena. Por desgracia,es poco probable que las habilidades aprendidas en la escuela basten para cubrir las necesidades delos ciudadanos durante la mayor parte de su vida adulta.

Los requisitos para ejercer la ciudadana de forma competente y reflexiva afectan igualmente a lamano de obra. Cada vez es ms raro esperar que un trabajador se pase toda su vida laboral realizandoun trabajo fsico y repetitivo. Lo que se espera, ms bien, es que participe activamente en el controlde la produccin de una gran diversidad de mquinas de tecnologa punta, que sea capaz de manejarun enorme flujo de informacin y que participe en grupos encargados de la solucin de problemas.La tendencia dominante apunta a que cada vez sern ms los trabajos que requieran la capacidad decomprender, comunicar, utilizar y explicar conceptos y procedimientos basados en el pensamientomatemtico. Los pasos del proceso de matematizacin son los componentes bsicos de este tipo depensamiento matemtico.

Por ltimo, un ciudadano competente en matemticas acabar por desarrollar asimismo un gustopor las matemticas, en las que ver una disciplina dinmica, cambiante y relevante que con frecuen-cia le resultar til para satisfacer sus necesidades.

Desde un punto de vista prctico, el problema que se le plantea a PISA es determinar la forma deevaluar la competencia matemtica de los estudiantes de 15 aos en funcin de su capacidad parallevar a cabo procesos de matematizacin. Por desgracia, las restricciones de tiempo que comportala evaluacin dificultan esta tarea, pues es innegable que, para las situaciones reales ms complejas,el proceso que conduce de la realidad a las matemticas y viceversa conlleva a menudo un trabajocooperativo y de bsqueda de recursos que requiere un tiempo bastante considerable.

Con objeto de ilustrar cmo funciona el proceso de matematizacin en un ejercicio de solucin deproblemas extenso, se incluye a continuacin el ejemplo VACACIONES, que fue uno de los ejerciciosdel Estudio sobre Solucin de Problemas PISA 2003. El problema plantea dos preguntas, y su objeti-vo es trazar una ruta y elegir una serie de lugares para pasar la noche durante un viaje de vacaciones.Para ello, los alumnos contaban con un mapa simplificado y con un grfico (de representacionesmltiples) en el que se mostraban las distancias entre las ciudades recogidas en el mapa.


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Ejemplo 2 de Matemticas: VACACIONES

Pregunta 1: VACACIONES

Calcula la distancia ms corta por carretera entre Nuben y Kado.Distancia: ............. kilmetros

En este problema se trata de planificar la mejor ruta para unas vacaciones.

En las Figuras A y B se muestra un mapa de la zona y las distancias entre las distintas poblaciones.

Figura A. Mapa de las carreteras que unen las poblaciones

Figura B. Distancia mnima por carretera entre las distintas poblaciones, expresada en kilmetros

Angaz

Kado

Lapat

Mergal

Nuben

Piras

Angaz

300

500

300

500

550

850

850

300

800

1300

550

600

450

250

Kado Lapat Megal Nuben Piras

Kado

Lapat

Megal

Angaz Nuben

Piras


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Pregunta 2: VACACIONES

Zoe vive en Angaz y quiere visitar Kado y Lapat. La distancia mxima que puede recorrer en un mismoda son300 kilmetros, pero tiene la posibilidad de acampar durante la noche en cualquier puntosituado entre las distintas poblaciones.

Zoe pasar dos noches en cada una de la poblaciones para as poder dedicar un da entero a visitarcada una de ellas.Completa la tabla que viene a continuacin con el itinerario de Zoe, indicando dnde pasacada una de la noches. DaDa Estancia nocturnaEstancia nocturna

1 Camping entre Angaz y Kado234567 Angaz

Como puede apreciarse, no existe un nexo obvio con una disciplina curricular, aunque su relacincon las matemticas discretas resulte evidente. Tampoco existe una estrategia predefinida para re-solver el problema. A menudo, cuando se plantea un problema a los alumnos, estos saben cul esexactamente la estrategia que deben adoptar. Sin embargo, en los problemas del mundo real nosuele disponerse de una estrategia claramente definida.

Por otra parte, los cinco aspectos del proceso de matematizacin son perfectamente reconocibles:

el problema se sita en un marco real y puede organizarse en funcin de unos conceptos matem-ticos (tablas de distancias o matrices) y de unos mapas (entendidos como modelos de la realidad).Es necesario que el alumno descarte la informacin irrelevante para centrarse en la informacinrelevante, ms concretamente en los aspectos matemticos de la informacin. Finalmente, una vezque el alumno haya resuelto el problema en trminos matemticos, habr de reflexionar sobre susolucin dentro del marco de la situacin real.

A pesar de que el volumen de lectura que ha de realizarse para resolver el problema es relativamente pe-queo, se trata de un problema bastante complejo, puesto que los alumnos tienen que leer e interpretar lainformacin del mapa y del grfico de distancias. Algunas de las distancias que deben localizar en el grfico

les obligarn a leer el grfico empezando por el final, en lugar de hacerlo desde la izquierda hacia abajo.Por ejemplo, para determinar la distancia entre Nuben y Piras, habr que invertir el sentido de la bs-queda y determinar la distancia entre Piras y Nuben. (Problem Solving for TomorrowsWorld First Measures ofCross-Curricular Competencies from PISA 2003 [OCDE, 2004]) [Solucin de problemas para el mundo del maana:primeras mediciones de las competencias transversales de PISA 2003].

La segunda pregunta impone una serie de restricciones que habrn de ser respetadas: un trayectomximo de 300 km por da, empezar y acabar en Angaz la poblacin donde reside Zoe, visitarKado y Lapat, y pasar dos noches en cada una de estas ciudades para cumplir los objetivos que Zoese haba propuesto para las vacaciones.

Conviene sealar que en la prueba de Solucin de Problemas de PISA, que es de donde se ha tomadoeste ejemplo, se conceda un tiempo considerablemente mayor para obtener las respuestas que el tiem-po medio concedido para los ejercicios de matemticas, que por regla general es bastante ms corto.


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Para juzgar si los alumnos de 15 aos son capaces de utilizar los conocimientos adquiridos con objetode resolver los problemas matemticos que pueden encontrarse en la vida real, lo ideal sera poderrecabar informacin sobre su capacidad para matematizar situaciones complejas. Pero, por razonesobvias, esto no es factible. En vista de ello, PISA ha optado por elaborar unos ejercicios que evalenlas distintas partes de este proceso. En el siguiente apartado se describe la estrategia elegida para

crear un conjunto de ejercicios de evaluacin que recojan de forma equilibrada los cinco aspectosdel proceso de matematizacin. El objetivo es servirse de las respuestas que se den a estos ejerciciospara situar a los alumnos en una escala de niveles de aptitud dentro del marco de evaluacin de lacompetencia matemtica elaborado por PISA.

ORGANIZACIN DEL REA DE EVALUACIN

El marco de evaluacin para las matemticas de PISA proporciona los fundamentos y la descripcinde una evaluacin cuyo objetivo es determinar en qu medida los alumnos de 15 aos estn prepara-dos para hacer un uso bien fundado de las matemticas a la hora de hacer frente a los problemas que

plantea el mundo real, o, dicho en trminos ms generales, una evaluacin del nivel de competenciamatemtica de los alumnos de 15 aos. Para describir con mayor claridad el rea objeto de la eva-luacin, convendr distinguir tres elementos:

Las situaciones o contextos en que se sitan los problemas.

El contenido matemtico del que hay que valerse para resolver los problemas, que se organiza deacuerdo con ciertas ideas clave.

Las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el mundo real donde se generanlos problemas y las matemticas, para de esa forma poder resolver los problemas.

Estos elementos aparecen representados visualmente en la Figura 3.1. A esta representacin grficasigue una explicacin de cada uno de los elementos.

Figura 3.1 Elementos del rea de matemticas

Situaciones Ideas clave

CONTENIDO

Formatodel

problema

GRUPOS DECAPACIDAD

CONTEXTO

PROBLEMAy

SOLUCIN

Proceso

Capacidades


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El nivel de competencia matemtica de una persona se aprecia en la manera en que emplea sus cono-cimientos y habilidades matemticas para resolver problemas. Dentro de la experiencia personalde cada individuo, los problemas (y su solucin) pueden presentarse en una gran variedad de situa-ciones o contextos. Los problemas elaborados por PISA se extraen del mundo real de dos manerasdistintas. En primer lugar, los problemas se dan en situaciones genricas que son relevantes para la

vida del alumno. Estas situaciones forman parte del mundo real y se indican mediante el recuadrogrande que figura en la parte superior izquierda del grfico. En segundo lugar, dentro de cada situa-cin, los problemas poseen un contexto ms especfico. Dicho contexto se representa mediante elrectngulo gris inserto en el recuadro de la situacin.

En los anteriores ejemplos, FRECUENCIA CARDACA y VACACIONES, la situacin sera el mundo realpersonal, mientras que los contextos seran, por un lado, diversos aspectos relacionados con el de-porte y la salud del ciudadano activo y, por otro, la manera de organizar unas vacaciones.

El siguiente elemento del mundo real que ha de tomarse en consideracin con referencia a la compe-

tencia matemtica es el contenido matemtico al que ha de recurrir una persona a la hora de resolverun problema. El contenido matemtico puede ilustrarse mediante cuatro categoras que englobanlos distintos tipos de problemas que surgen de la interaccin con los fenmenos de la vida cotidianay que se basan en una determinada concepcin sobre la manera en que los contenidos matemticosse presentan a las personas. A efectos de la evaluacin PISA, estas categoras, que reciben el nombrede ideas clave, son las siguientes: espacio y forma, cambio y relaciones, cantidade incertidumbre. Se tratade un enfoque del contenido matemtico que puede no resultar demasiado familiar si se contempladesde la perspectiva de la enseanza de las matemticas y de las tendencias curriculares que suelenseguir los centros educativos. Sin embargo, en su conjunto, las ideas clave engloban en toda su am-plitud los temas matemticos que se espera que aprendan los estudiantes. En la Figura 3.1 las ideasclave aparecen representadas en la parte superior derecha del diagrama. A partir de ellas, se extraenlos contenidos que se utilizan para resolver un problema. Por su parte, el contenido est representa-do en el recuadro ms pequeo que se encuentra inserto en el recuadro de las ideas clave.

Las flechas que enlazan los recuadros del contexto y el contenido con el del problema muestran elmodo en que el mundo real (incluidas las matemticas) conforma un problema.

El problema de la FRECUENCIA CARDACA conlleva una serie de relaciones matemticas, as comola comparacin de dos relaciones, con objeto de adoptar determinadas decisiones. El problema, portanto, se encuadra dentro de la idea clave cambio y relaciones. El problema de las VACACIONES, por su

parte, requiere la realizacin de una serie de clculos sencillos, si bien para resolver su segunda pre-gunta habr que recurrir a un razonamiento analtico. En razn de ello, la idea clave ms apropiadaser la de cantidad.

Para referirse a los procesos matemticos que aplican los alumnos al tratar de resolver problemasse emplea el trmino capacidades matemticas. Tres grupos de capacidades condensan los distintosprocesos cognitivos necesarios para resolver los diversos tipos de problema. Estos grupos, que re-flejan la forma en que suelen emplearse los procesos matemticos al tratar de resolver los problemasa los que tienen que hacer frente los alumnos en su interrelacin con el mundo, sern descritos conms detalle en ulteriores apartados.

El mbito de los procesos de este marco aparece representado primero en el cuadrado grande,donde figuran las capacidades matemticas generales, y luego en el cuadrado ms pequeo, que re-


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presenta los tres grupos de capacidades. Las capacidades especficas que requiere la solucin de unproblema dependern de la naturaleza del problema y se vern reflejadas en la solucin que se d almismo. Esta interaccin se representa mediante una flecha que va desde los grupos de capacidadal problema y su solucin.

La flecha restante va desde los grupos de capacidad al formato del problema, indicando que las capa-cidades empleadas en resolver el problema estn relacionadas con la forma que adopta el problemay con las exigencias concretas que plantea.

Es importante recalcar que los tres elementos que se acaban de describir difieren en su naturaleza.Las capacidades, de hecho, constituyen el ncleo mismo del concepto de competencia matemtica.Solo los estudiantes que dispongan de ciertas capacidades se encontrarn en condiciones de resolvercon xito los problemas que se les planteen. Evaluar la competencia matemtica supone, por tanto,determinar hasta qu punto poseen los alumnos una serie de capacidades matemticas concretas quepuedan aplicar de forma productiva a aquellas situaciones que llevan implcito un problema.

En los apartados siguientes se describen con ms detalle estos tres elementos.

SITUACIONES Y CONTEXTO

Un aspecto importante de la competencia matemtica lo constituye el compromiso con las matemti-cas, esto es, la disposicin a ejercitar y utilizar las matemticas en una gran variedad de situaciones.Es un hecho probado que, a la hora de enfrentarse a un problema susceptible de ser abordado mate-mticamente, la eleccin de los mtodos y los sistemas de representacin matemticos depende con

bastante frecuencia de las situaciones en que se presenta el problema.

La situacin es la parte del mundo del estudiante en la que se localizan las tareas que se le plantean.Para PISA, la situacin ms cercana al alumno es su propia vida personal. Vendran luego la vidaescolar, laboral y el mbito del ocio, y a continuacin la comunidad local y la sociedad, tal como sepresentan en la vida cotidiana del estudiante. Las situaciones cientficas, por el contrario, se encon-traran bastante ms alejadas. En los problemas que se planteen se definirn y utilizarn cuatro tiposde situacin:personal, educacional/profesional, pblica y cientfica.

El contexto de un ejercicio es el marco especfico que se halla presente en una determinada situacin.A l pertenecen todos los elementos pormenorizados que se utilizan para formular el problema.

Considrese el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3 de Matemticas: CUENTA DE AHORRO

Se ha realizado un ingreso de 1.000 zeds en una cuenta de ahorro de un banco. La cuenta ofrece

dos opciones: obtener un inters anual del 4 % u obtener de forma inmediata una prima de 10 zeds

y un inters anual del 3 %.

Pregunta 1: CUENTA DE AHORRO

Cul ser la mejor opcin al cabo de un ao? Y al cabo de dos aos?

La situacin del ejercicio es banca y finanzas, una situacin propia de la comunidad local y de la so-ciedad, que PISA clasificara como pblica. El contexto del ejercicio hace referencia al dinero (zeds)y a los tipos de inters de una cuenta bancaria.


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Advirtase que se trata de un tipo de problema que podra formar parte de la experiencia o de laprctica del examinando en un marco de la vida real. Proporciona, pues, un contexto de utilizacinde las matemticas autntico, en la medida en que la aplicacin de las matemticas a este contextoestara encaminada a la solucin real de un problema. Un ejercicio de este tipo contrasta con losproblemas que suelen figurar en los textos escolares de matemticas, en los que se prima el em-

pleo de las matemticas que se estn practicando en lugar de la utilizacin de las matemticas pararesolver un problema real. Esta autenticidaden el empleo de las matemticas desempea un papelimportante a la hora de elaborar y analizar los ejercicios de PISA y se halla estrechamente vinculadacon la definicin del concepto de competencia matemtica.

Conviene sealar, no obstante, que la utilizacin del trmino autentico no implica que los ejer-cicios matemticos sean verdaderos o reales en sentido estricto. El uso que hace PISA del trminoautntico dentro del rea de las matemticas indica tan solo que las matemticas se emplean pararesolver verdaderamente el problema planteado, en lugar de considerarlo como un mero pretextopara poner en prctica determinados conocimientos matemticos.

Obsrvese, asimismo, que el ejercicio contiene algunos elementos inventados: por ejemplo, la mo-neda que se menciona es ficticia. La presencia de elementos ficticios responde al deseo de evitar quelos alumnos de algunos pases puedan disponer de algn tipo de ventaja.

La situacin y el contexto de un problema tambin pueden contemplarse en funcin de la proxi-midad o la lejana que existe entre el problema y las matemticas necesarias para su solucin Siun ejercicio hace nicamente referencia a objetos, smbolos o estructuras matemticas y no aludea cuestiones ajenas al universo matemtico, se considerar que el contexto de dicho ejercicio es in-tramatemtico y, por tanto, se clasificar dentro del tipo de situacin cientfica. En el estudio PISAsolo se incluir un pequeo porcentaje de este tipo de ejercicios, en los que el estrecho vnculo que

existe entre el problema y las matemticas subyacentes se explicita en el contexto del problema.Por regla general, los problemas que los estudiantes encuentran en sus vidas cotidianas no suelenestar formulados en trminos explcitamente matemticos. Sus referencias son ms bien los objetosdel mundo real. En estos contextos de evaluacin de carcter extramatemtico, la tarea del alumnoconsiste precisamente en traducir los contextos de estos problemas a una formulacin matemtica.En trminos generales, PISA presta especial atencin a las tareas que pueden encontrarse en unasituacin del mundo real y que proporcionan un contexto autntico para el uso de las matemticasque influya en su solucin y en su interpretacin. Esto no significa, sin embargo, la exclusin deejercicios cuyo contexto sea hipottico, siempre y cuando dicho contexto contenga elementos rea-les, no se aleje en exceso de una situacin del mundo real y plantee un problema susceptible de sersolucionado de forma autntica mediante el recurso a las matemticas. El Ejemplo 4 es una muestrade un problema con un contexto hipottico de tipo extramatemtico.

Ejemplo 4 de Matemticas: SISTEMA MONETARIO

Pregunta 1: SISTEMA MONETARIO

Sera posible establecer un sistema monetario basado exclusivamente en los valores 3 y 5?Concretamente, qu cantidades podran obtenerse partiendo de esa base? Resultara convenienteun sistema de esas caractersticas?

El valor de este problema no se deriva de su proximidad con el mundo real, sino del hecho de quesea interesante desde el punto de vista matemtico y ponga en juego algunas de las capacidadesque integran el concepto de competencia matemtica. El empleo de las matemticas para explicar


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escenarios hipotticos y explorar sistemas o situaciones potenciales, aun cuando difcilmente vayana ponerse en prctica en la realidad, constituye uno de los rasgos ms poderosos de la disciplina.Un problema como este quedara clasificado dentro del tipo de situacin cientfica.

En resumen, PISA concede ms valor a aquellas tareas que pueden encontrarse en diferentes situa-

ciones del mundo real y que poseen un contexto en el que el recurso a las matemticas para resolverel problema planteado sera autntico. La preferencia por los problemas con un contexto extra-matemtico que influye en su solucin e interpretacin como instrumento de la evaluacin de lacompetencia matemtica viene motivada por el hecho de que son precisamente este tipo de problemaslo que se encuentran con ms frecuencia en la vida cotidiana.

EL CONTENIDO MATEMTICO: LAS CUATRO IDEAS CLAVE

Hoy da son muchos los que ven las matemticas como una ciencia de las regularidades en un sentidogeneral. Las ideas clave elegidas por este marco de evaluacin reflejan ese punto de vista: las regu-

laridades en los mbitos del espacio y la forma, el cambio ylas relaciones y la cantidadseran conceptosesenciales de cualquier descripcin de las matemticas y formaran parte del ncleo de cualquiercurrculo en todos los niveles educativos. Pero ser competente en matemticas significa algo ms. Esesencial asimismo abordar el campo de la incertidumbre desde una perspectiva matemtica y cient-fica. De ese modo, los elementos integrantes de la teora de la probabilidad y la estadstica dan lugara la cuarta idea clave: la incertidumbre.

La lista de ideas clave que figura a continuacin es utilizada por el estudio PISA 2006 con objeto decumplir los requisitos de reflejar el desarrollo histrico, cubrir el rea de contenido y recoger laslneas maestras de los currculos escolares.

Espacio y formaCambio y relaciones

Cantidad

Incertidumbre

Por medio de estas cuatro ideas, el contenido matemtico queda organizado en un nmero de reaslo bastante amplio como para garantizar que los ejercicios de la prueba cubren el currculo en suconjunto, pero a su vez lo bastante reducido para evitar que una divisin excesivamente meticulosapudiera obrar en contra del propsito de centrar el estudio en problemas basados en situaciones

reales.

Bsicamente, la nocin de idea clave hace referencia a un conjunto de fenmenos y conceptos do-tados de sentido y susceptibles de hallarse presentes en una multiplicidad de situaciones diversas.Por su propia naturaleza, cada una de estas ideas clave puede percibirse como una suerte de nocinque se ocupa de una dimensin de contenido generalizada. Esto implica que no es posible deslindarunas ideas clave de otras de forma precisa, del mismo modo que tampoco pueden deslindarse lasreas de contenido de las matemticas tradicionales. Habra que considerar, ms bien, que cada unade ellas ofrece una determinada perspectiva o punto de vista, del que se puede decir que poseeun ncleo una especie de centro de gravedad y unos lmites un tanto imprecisos que permiten

que se produzcan intersecciones con otras ideas clave. En principio, cualquier idea clave puedesolaparse con otra idea clave. En los apartados que siguen se ofrece una descripcin de las cuatroideas clave.


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Espacio y forma

En todas partes se pueden encontrar regularidades: en el habla, la msica, el vdeo, el trfico,las estructuras de los edificios, el arte, etc. Tambin las formas pueden verse como ejemplos deregularidades: las casas, los edificios de oficinas, los puentes, las estrellas de mar, los copos de

nieve, los planos de las ciudades, las hojas de trbol, los cristales, las sombras. Las regularidadesgeomtricas pueden servir como modelos relativamente sencillos de muchos tipos de fen-menos, y su estudio no solo es posible, sino tambin deseable en todos los niveles educativos(Grnbaum, 1985).

Tambin es importante comprender las propiedades de los objetos y sus posiciones relativas. Losestudiantes deben ser conscientes de cmo vemos las cosas y por qu las vemos de una determinadamanera, a la vez que aprenden a navegar por el espacio y a travs de las estructuras y las formas. Paraello se ha de comprender la relacin que existe entre las formas y las imgenes o representacionesvisuales, por ejemplo, la relacin que existe entre una ciudad real y las fotografas o los mapas deesa misma ciudad. Supone asimismo comprender cmo se pueden representar en dos dimensioneslos objetos tridimensionales, la manera en que se forman y deben interpretar las sombras y qu esla perspectiva y cmo funciona.

La forma es un mbito matemtico que posee un vnculo muy estrecho con la geometra tradicional,pero va mucho ms all que esta en contenido, significado y mtodos. Interaccionar con las formasreales implica comprender el mundo visual que nos rodea, ser capaz de describirlo y saber codificary descodificar informacin visual. Asimismo, comporta la interpretacin de esa informacin visual.Para captar el concepto de forma, los alumnos tienen que descubrir el modo en que los objetos seasemejan o se diferencian entre s, analizar los distintos componentes de un objeto y reconocer for-mas que se presenten en distintas dimensiones y representaciones.

Es importante no restringir el concepto de forma al de unas entidades estticas. La forma, comoentidad, puede transformarse, del mismo modo que las formas se modifican. En ocasiones, este tipode cambios pueden visualizarse con gran elegancia mediante tecnologas informticas. Los alumnosdebern ser capaces de identificar pautas y regularidades en el cambio de las formas. Un ejemplo deello puede verse en la Figura 3.2 del apartado siguiente.

El estudio de la forma y las estructuras requiere la bsqueda de similitudes y diferencias cuando seanalizan los componentes de las formas, as como la capacidad de reconocerlas en diferentes repre-sentaciones y dimensiones. El estudio de las formas se encuentra estrechamente ligado al concepto

de la comprensin del espacio. (Freudenthal, 1973).Los ejemplos que requieren este tipo de pensamiento son muy abundantes. Identificar y relacionaruna fotografa de una ciudad con un plano de esa misma ciudad e indicar desde qu punto fue toma-da la fotografa; la capacidad de trazar un plano; comprender por qu un edificio cercano se ve msgrande que un edificio que se encuentra ms alejado; comprender por qu las vas del ferrocarrilparecen juntarse en el horizonte: todas estas son cuestiones importantes para los estudiantes dentrodel mbito de esta idea clave.

Dado que los alumnos viven en un entorno tridimensional, deberan estar familiarizados con la vi-sin de los objetos desde tres perspectivas ortogonales (por ejemplo, de frente, de lado y desde arri-

ba). Del mismo modo, deberan ser conscientes del alcance y las limitaciones de los distintos tiposde representacin de las formas tridimensionales, tal y como se muestra ms adelante en el ejemplode la Figura 3.3. No solo tienen que comprender la posicin relativa de los objetos, sino que deben


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ser capaces de moverse a travs del espacio y a travs de las construcciones y las formas. Un ejemplode ello consistira en leer e interpretar un mapa y elaborar las instrucciones para desplazarse desde

un punto A a un punto B mediante unas coordenadas, el lenguaje comn o un dibujo.

La comprensin conceptual de las formas incluye asimismo la capacidad de tomar un objeto tridi-

mensional y plasmarlo en un plano bidimensional, y viceversa, aun cuando dicho objeto tridimen-

sional se presente en dos dimensiones. La Figura 3.4 sera un ejemplo de ello.

A modo de resumen, la siguiente lista recoge los principales aspectos de la idea clave espacio y forma:

Reconocer formas y patrones.

Describir, codificar y descodificar informacin visual.

Comprender los cambios dinmicos de las formas.

Similitudes y diferencias.

Posiciones relativas.

Representaciones bidimensionales y tridimensionales y relaciones entre ambas.

Orientacin en el espacio.

Ejemplos de espacio y forma

La Figura 3.2 proporciona un ejemplo sencillo de la importancia que tiene la flexibilidad a la hora

de ver formas en procesos de cambio. Se basa en un cubo al que se va seccionando (es decir, sobreel que se realizan varios cortes planos). En relacin con esta figura se pueden realizar diversas pre-

guntas, como por ejemplo:

Figura 3.2Un cubo con cortes planos en varios lugares

Qu formas pueden crearse en un cubo mediante un corte plano?Cuntas caras, aristas o vrtices se crearn al seccionar un cubo de esta manera?

A continuacin se muestran tres ejemplos que ponen de manifiesto lo importante que es estar fami-

liarizado con la representacin de formas tridimensionales. En el primer ejemplo, la Figura 3.3 pro-

porciona una vista lateral y frontal de un objeto formado por cubos. La pregunta es la siguiente:

Figura 3.3Vistas lateral y frontal de un objeto formado por cubos

Cuntos cubos se han empleado para crear este objeto?

Vista lateral Vista frontal


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Puede resultar una sorpresa para muchos tanto alumnos como profesores que el nmero mximode cubos sea 20 y el mnimo 6 (de Lange, 1995).

El siguiente ejemplo muestra una representacin bidimensional de un granero y un esquema incom-

pleto del mismo. El problema consiste en completar el esquema del granero.

Figura 3.4 Representacin bidimensional de un granero tridimensional

y de su esquema (incompleto)

Un ltimo ejemplo, similar al anterior, se muestra en la Figura 3.5 (adaptado de Hershkovitz et al., 1996).

Figura 3.5 Cubo con base negra

En la imagen del cubo, su mitad inferior aparece pintada de negro. Y, para cada uno de los esquemas,se ha pintado de negro la cara que forma la base del cubo. A los alumnos se les podra pedir que

completaran cada esquema sombreando los cuadrados pertinentes.

Cambio y relaciones

Todo fenmeno natural es una manifestacin del cambio, y el mundo que nos rodea presenta una

multiplicidad de relaciones temporales o permanentes entre sus diversos fenmenos. Ejemplos de

ello son los cambios que experimentan los organismos al crecer, el ciclo de las estaciones, el flujo

y reflujo de las mareas, los ciclos del desempleo, los cambios de tiempo y los ndices de la bolsa.Algunos de estos procesos de cambio llevan implcita una serie de funciones matemticas sencillas

que pueden utilizarse para describirlos o modelarlos: funciones lineares, exponenciales, peridicas

o logsticas, tanto discretas como continuas. No obstante, son muchas las relaciones que pertenecen

a otras categoras, y a menudo resulta esencial llevar a cabo un anlisis de los datos para determinarel tipo de relacin presente. Con bastante frecuencia, las relaciones matemticas adoptan la forma


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de ecuaciones o desigualdades, lo cual no quita para que tambin puedan darse otras relaciones decarcter ms general (como la equivalencia, la divisibilidad o la integracin, por mencionar algunas).

Segn Stewart (1990), la sensibilizacin a los patrones del cambio requiere:

Representar cambios de una forma comprensible.

Comprender los tipos de cambio fundamentales.

Reconocer tipos concretos de cambio cuando estos se produzcan.

Aplicar estas tcnicas al mundo exterior.

Controlar un universo cambiante para que redunde en nuestro beneficio.

El cambio ylas relaciones se pueden representar visualmente de muy diversas maneras: numricamen-te (por ejemplo, en una tabla), simblicamente o grficamente. Pasar de un tipo de representacina otra tiene una importancia capital, como tambin la tiene reconocer y comprender las relaciones

y los tipos de cambio fundamentales. Los alumnos deben estar al tanto de conceptos como cre-cimiento lineal (proceso aditivo), crecimiento exponencial (proceso multiplicativo), crecimientoperidico, e incluso crecimiento logstico, aunque solo sea de manera informal, entendido como uncaso particular del crecimiento exponencial.

Los alumnos tambin deben ser capaces de reconocer las relaciones entre estos modelos: las diferen-cias fundamentales entre procesos lineales y exponenciales, el hecho de que el crecimiento porcen-tual sea idntico al crecimiento exponencial y cmo, y por qu razones, se produce el crecimientologstico tanto en situaciones continuas como discontinuas.

Los cambios se producen dentro de un sistema de objetos o fenmenos interrelacionados en elque los elementos influyen unos en otros. En los ejemplos que se recogen en el sumario, todos losfenmenos experimentan cambios en el tiempo. Sin embargo, en la vida real, los objetos puedeninterrelacionarse de muy diversas maneras. Por ejemplo:

Si se divide en dos la longitud de la cuerda de una guitarra, se obtendr una tonalidad nueva que ser

una octava ms alta que la tonalidad anterior. Por tanto, la tonalidad depende de la longitud

de la cuerda.

Cuando ingresamos dinero en una cuenta corriente sabemos que el saldo depender tanto de

la magnitud, la frecuencia y el nmero de ingresos y retiradas de dinero, como del tipo de inters.

El concepto de relacin conduce al de dependencia. La dependencia hace referencia al hecho de quelas propiedades y los cambios de determinados objetos matemticos pueden tener una relacin dedependencia o ejercer una influencia sobre las propiedades y los cambios de otros objetos matem-ticos. A menudo, las relaciones matemticas adoptan la forma de una ecuacin o una desigualdad,aunque tampoco es raro que se den otras relaciones de carcter ms general.

El cambio ylas relaciones comportan el recurso al pensamiento funcional. El pensamiento funcionales decir, la capacidad de pensar sobre y en trminos de relaciones constituye uno de los prin-cipales objetivos disciplinares de la enseanza de las matemticas (MAA, 1923). En relacin conlos alumnos de 15 aos, esto supone que deben tener algunas nociones sobre la tasa de cambio,el gradiente y la pendiente (aunque no necesariamente de una manera formal) y las relaciones dedependencia entre unas y otras variables. Asimismo, deben tener la capacidad de emitir juicios sobrela velocidad a la que se producen los procesos, incluso en trminos relativos.


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Esta idea clave se halla estrechamente vinculada a diversos aspectos de algunas de las otras ideasclave. Un estudio de las regularidades numricas puede conducir al descubrimiento de relacionessorprendentes, como demuestran los estudios numricos de Fibonacci o el caso de la proporcinurea. Este ltimo concepto tambin desempea un papel en el mbito de la geometra. Dentrodel campo del espacio y la forma se pueden encontrar muchos otros ejemplos vinculados con la ideade cambio y relaciones: el crecimiento de un rea en relacin con el crecimiento del permetro o eldimetro sera uno de ellos. Tambin la geometra euclidiana se presta al estudio de las relaciones.Un ejemplo bien conocido es la relacin entre los lados de un tringulo. Si se conoce la longitud dedos de los lados, el tercero no estar determinado, aunque s se conocer el intervalo en que se en-cuentra: los extremos del intervalo vienen representados respectivamente por el valor absoluto dela diferencia entre los otros dos lados y su suma. Otras relaciones similares son bastante frecuentesentre los diversos elementos de los tringulos.

Tambin la incertidumbre se presta a plantear numerosos problemas que pueden contemplarse desdela perspectiva del cambio y las relaciones. Si se lanzan dos dados y en uno de ellos sale un cuatro, qu

posibilidad hay de que la suma de ambos sea superior a siete? La respuesta (50 %) se basa en la de-pendencia que tiene la probabilidad en cuestin respecto del conjunto de resultados favorables. Laprobabilidad requerida es el porcentaje de todos esos resultados comparado con todos los resultadosposibles. Se trata, pues, de una dependencia funcional.

Ejemplos de Cambio y relaciones

Ejemplo 5 de Matemticas: EXCURSIN COLEGIAL

Una clase de un colegio que quiere alquilar un autocar para hacer una excursin se pone en contacto

con tres empresas de transporte para obtener informacin sobre sus precios.

La empresa A cobra una tarifa inicial de 375 zeds ms un plus de 0,5 zeds por kilmetro recorrido.

La empresa B cobra una tarifa inicial de 250 zeds ms un plus de 0,75 zeds por kilmetro recorrido.

La empresa C cobra una tarifa fija de 350 zeds hasta los 200 kilmetros y 1,02 zeds por cada kilmetro

que sobrepase los 200.

Pregunta 1: EXCURSIN COLEGIAL

Qu empresa deber elegir la clase si el recorrido total de la excursin se encuentra entrelos 400 y los 600 kilmetros?

Pese a sus elementos ficticios, un problema como este podra llegar a darse. Para resolverlo hay queformular y activar diversas relaciones funcionales, as como ecuaciones e inecuaciones. Se puedeabordar por medios grficos o algebraicos, o recurriendo a ambos a la vez. El hecho de que no seconozca con exactitud la distancia total recorrida durante la excursin introduce otro vnculo mscon la idea clave de incertidumbre, que se trata en un apartado ulterior.


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En la Figura 3.6 se muestra una representacin grfica de este problema.

Figura 3.6Tarifas de tres empresas de autocares para la excursin

A continuacin figura otro ejemplo ms de cambio y relaciones.

Ejemplo 6 de Matemticas: CRECIMIENTO CELULAR

Un equipo mdico se encuentra supervisando un proceso de proliferacin de clulas. Lo que ms

les interesa es el da en que el recuento de clulas alcance la cifra de 60.000, porque, llegado

ese momento, tendrn que realizar un experimento. La tabla de resultados es la que sigue:

Tiempo (das) 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Clulas 597 893 1.339 1.995 2.976 2.976 14.719 21.956 32.763

Pregunta 1: CRECIMIENTO CELULAR

Cundo llegar a 60.000 el nmero de clulas?


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Ejemplo 7 de Matemticas: PRESADEPREDADOR

En el grfico que viene a continuacin se muestra el crecimiento de dos organismos vivos: el Paramecium

y el Saccharomyces.

Pregunta 1: PRESA-DEPREDADOR

Uno de los dos animales (el depredador) se come al otro (la presa). Permite el grfico identificarcul es la presa y cul el depredador?

Una propiedad del fenmeno presadepredador se puede expresar de la siguiente manera: la tasade crecimiento de los depredadores es proporcional a la cantidad de presas disponibles.Es aplicable esta propiedad al grfico anterior?

Cantidad

Entre los aspectos ms importantes de la cantidadse incluyen la comprensin del tamao relativo, la

identificacin de regularidades numricas y el uso de los nmeros para representar cantidades y ca-

ractersticas cuantificables de los objetos del mundo real (clculos y medidas). Asimismo, la cantidadaborda el procesamiento y la comprensin de los nmeros representados bajo distintas formas.

Otro aspecto importante en relacin con la idea de cantidades el razonamiento cuantitativo. Los elemen-tos fundamentales del razonamiento cuantitativo son el sentido numrico, las diversas formas de repre-

sentar los nmeros, la comprensin del significado de las operaciones, la sensibilidad ante las magnitudesnumricas, los clculos matemticamente elegantes, la aritmtica, el clculo mental y las estimaciones.

Al medir una magnitud, descubrimos otra utilizacin de los nmeros que desempea un papel de gran

importancia en nuestras vidas cotidianas. Nociones como la longitud, el rea, el volumen, la altura, la

velocidad, la masa, la presin del aire o el valor monetario se cuantifican mediante mediciones.

El razonamiento cuantitativo es un aspecto importante a la hora de manejar cantidades. Comporta:

Sentido numrico.

Comprensin del significado de las operaciones.

Sensibilidad hacia las magnitudes numricas.

Clculos elegantes.


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Clculo mental.

Estimaciones.

Dentro de la nocin significado de las operaciones se incluye la capacidad de llevar a cabo ope-raciones que comporten realizar comparaciones, determinar proporciones y sacar porcentajes. El

sentido numrico hace referencia a todo lo relacionado con el tamao relativo, las diferentes repre-sentaciones de los nmeros, las formas numricas equivalentes y el empleo del conocimiento deestos aspectos para describir los atributos del mundo.

El concepto de cantidadconlleva asimismo estar dotado de una sensibilidad hacia las cantidades y las es-timaciones. Para poder evaluar hasta qu punto son razonables unos resultados numricos concretos esnecesario poseer un amplio conocimiento de las cantidades (medidas) del mundo real. Cul es la velo-cidad media de un coche, 5, 50 o 500 km/h? Cul es la poblacin del mundo, 6, 600, 6.000 o 60.000millones de personas? Qu altura tiene una torre? Qu anchura tiene un ro? La capacidad de efectuaraproximaciones rpidas sobre el orden de magnitud de un determinado fenmeno es de vital impor-

tancia, sobre todo considerando que cada vez es ms frecuente el recurso a herramientas electrnicasde clculo. Una persona debe ser capaz de darse cuenta de que 33 x 613 arrojar un resultado cercanoa 20.000. Para alcanzar esta habilidad, no hace falta ejercitarse intensamente en la ejecucin mental deltipo de algoritmos que tradicionalmente se calculan por escrito; basta con un empleo hbil y flexiblede la comprensin del valor posicional y de la aritmtica de una sola cifra (Fey, 1990).

Un uso adecuado de su sentido numrico permitir a los estudiantes resolver problemas que requie-ran razonamientos directos, inversos y proporcionales. Asimismo, les permite calcular ndices devariacin y establecer criterios razonados para seleccionar datos y determinar el nivel de precisinnecesario para las operaciones y modelos que emplean. Podrn tambin considerar algoritmos al-ternativos, demostrando por qu funcionan correctamente o en qu casos fallan. Podrn desarro-llar modelos que comporten operaciones, o relaciones entre operaciones, con objeto de resolverproblemas que contengan datos del mundo real y relaciones numricas que requieran operacionesy comparaciones (Dossey, 1997).

En la idea clave cantidadtambin hay un lugar para los razonamientos cuantitativos elegantes, comoel empleado por Gauss que figura en el ejemplo que viene a continuacin. La creatividad asociada a lacomprensin conceptual debe ser valorada en el nivel educativo de los alumnos de 15 aos.

Ejemplos de cantidad

Ejemplo 8 de Matemticas: GAUSS

En cierta ocasin, el profesor de Karl Friedrich Gauss (17771855) pidi a los alumnos de su clase que

sumarn todos los nmeros del 1 al 100. Probablemente, lo nico que pretenda con ello era tener

a los alumnos ocupados durante un buen rato. Pero Gauss, que estaba dotado de un razonamiento

cuantitativo excelente, dio con un atajo. Este fue su razonamiento:

Se escribe la suma dos veces, una en orden ascendente y otra en orden descendente, del siguiente modo:

1 + 2 + 3 + . + 98 + 99 + 100

100 + 99 + 98 +.+ 3 + 2 + 1

A continuacin, se efectan las dos sumas, columna por columna; lo que da:

101 + 101 +.+ 101 + 101

Como hay exactamente 100 copias del nmero 101 en esta suma, su valor es: 100 x 101 = 10.100

Dado que este producto es igual al doble de la suma original, bastar dividir por dos para obtener

la solucin: 5.050.


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Nmeros triangulares

Este ejemplo de razonamiento cuantitativo con regularidades numricas puede desarrollarse unpoco ms para demostrar su vinculacin con una representacin geomtrica de dicha regularidad.Para ello utilizaremos la frmula que recoge el planteamiento general del problema de Gauss:

1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1)/2

Esta frmula reproduce un modelo geomtrico bien conocido: los nmeros que responden a la fr-mula n (n + 1)/2 reciben el nombre de nmeros triangulares, pues se corresponden exactamentecon los nmeros que se obtienen al formar con bolas un tringulo equiltero. Los cinco primerosnmeros triangulares, 1, 3, 6, 10, 15, se muestran en la Figura 3.7.

Figura 3.7 Los cinco primeros nmeros triangulares

n + 11442443

n

Razonamiento proporcional

Resultar interesante comprobar la forma en que los alumnos de los distintos pases resuelven aque-llos problemas que se prestan a la utilizacin de diversas estrategias. En este sentido, cabe esperarque las diferencias ms apreciables se den en el mbito del razonamiento proporcional. Lo msprobable es que en algunos pases se emplee una sola estrategia para cada problema, mientras queen otros se empleen varias. Igualmente cabe esperar la aparicin de similitudes de razonamiento alresolver problemas que aparentemente no son demasiado similares. Estas observaciones concuerdancon los resultados obtenidos recientemente por la investigacin de datos TIMSS (Mithchell, J. etal., 2000). Las tres preguntas siguientes ilustran las diversas estrategias que pueden adoptarse y lasrelaciones existentes entre ellas:

1. Esta noche das una fiesta. Quieres comprar 100 latas de refrescos.Cuntos paquetes de seis latas vas a comprar?

2. Un ala delta con un ndice de descenso de 1 m por cada 22 m inicia su vuelo desdeun precipicio de 120 metros de altura. El piloto quiere llegar a un punto situadoa una distancia de 1.400 metros. Lograr llegar a ese punto (en ausencia de viento)?

3. Un colegio quiere alquilar unos microbuses (con asientos para ocho pasajeros) parallevar a 98 alumnos a un campamento escolar. Cuntos microbuses se necesitarn?

El primer problema puede verse como un problema de divisin (100 + 6 =) que luego presenta al

alumno un problema de interpretacin que le remite de nuevo al contexto (cul es el significadodel resto de la divisin?). El segundo problema puede resolverse recurriendo al razonamiento pro-porcional (por cada metro de altura se puede volar una distancia de 22 metros, por lo que si se parte


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de 120 metros...). En cuanto al tercer problema, sern muchos los que lo resuelvan mediante unadivisin. No obstante, los tres problemas pueden resolverse igualmente por medio del mtodo dela tabla de proporciones:

Latas:Latas: 1 10 5 15 2 176 60 30 90 12 102

Vuelo:Vuelo: 1 100 20 12022 2.200 440 2.640

Autobuses:Autobuses: 1 10 2 138 80 16 104

Percibir esta similitud es una habilidad propia de la competencia matemtica: los alumnos dotados decompetencia matemtica no necesitan buscar una nica herramienta o algoritmo adecuado, sino quedisponen de toda una gama donde elegir.

Ejemplo 9 de Matemticas: PORCENTAJES

Carlos fue a una tienda a comprar una chaqueta cuyo precio habitual era 50 zeds, pero que ahora

se venda con un 20 % de descuento. En Zedlandia existe un impuesto sobre las ventas del 5 %.

El dependiente aadi primero el impuesto del 5 % al precio de la chaqueta y luego descont un 20 %.

Carlos se quej: quera que el dependiente dedujera primero el 20 % y luego aadiera el impuesto

del 5 %.

Pregunta 1: PORCENTAJES

Supone esto alguna diferencia?Los problemas que comportan un pensamiento cuantitativo de este tipo, as como la necesidad de lle-var a cabo los consiguientes clculos mentales, son bastante comunes en el contexto de las compras.La capacidad de abordar eficazmente estos problemas es un componente esencial de la competenciamatemtica.

Incertidumbre

La ciencia y la tecnologa rara vez se ocupan de las certidumbres. En realidad, el conocimientocientfico casi nunca es absoluto, e incluso puede ser errneo en ocasiones, por eso hasta en las

predicciones ms cientficas existe siempre un umbral de incertidumbre. La incertidumbre tambinest presente en la vida diaria: resultados inciertos de unas elecciones, puentes que se derrumban,cadas de la bolsa de valores, pronsticos del tiempo poco fiables, predicciones errneas del creci-miento de la poblacin o modelos econmicos que no cuadran.

La idea clave incertidumbre alude a dos temas relacionados: los datos y el azar. Estos dos fenmenos sonrespectivamente el objeto de los estudios matemticos de la estadstica y del clculo de probabilida-des. Desde hace relativamente poco, las recomendaciones relativas a los currculos escolares sealande manera unnime la necesidad de conferir a la estadstica y al clculo de probabilidades un relievemucho mayor del que haban gozado en el pasado (Comisin para la Investigacin de la Enseanza de

las Matemticas en la Escuela, 1982; LOGSE, 1990; MSEB, 1990; NCTM, 1989; NCTM, 2000). Losconceptos y las operaciones matemticas que tienen importancia en este mbito son la recogida dedatos, el anlisis y la exposicin/visualizacin de datos, el clculo de probabilidades y la inferencia.


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Las recomendaciones relativas al lugar que deben ocupar los datos, la estadstica y la probabilidad enlos currculos escolares suelen poner el nfasis en el anlisis de datos. No es de extraar, por tanto,que a menudo se considere la estadstica como un mero conjunto de habilidades especficas. Ha sidoDavid S. Moore quien ha mostrado de qu se ocupa en realidad la idea clave incertidumbre. La defini-cin de PISA sigue sus ideas, tal como quedaron recogidas en On the Shoulder ofGiants (Steen, 1990)[Sobre hombros de gigantes], as como las expresadas por F. James Rutheford, en su obra Why NumbersCount (Por qu son importantes los nmeros) (Steen, 1997).

La aportacin de la estadstica a la formacin matemtica tiene un carcter nico y de gran im-portancia, pues abre la posibilidad de razonar partiendo de datos empricos inciertos. Este tipo depensamiento estadstico debera formar parte del bagaje intelectual de todo ciudadano inteligente.Sus elementos clave seran los siguientes:

La omnipresencia de la variacin en los procesos.

La necesidad de contar con datos sobre los procesos.

El diseo de la elaboracin de datos teniendo en mente la variacin.La cuantificacin de la variacin.

La explicacin de la variacin.

Los datos no son simples nmeros, son nmeros en un contexto. Los datos se obtienen mediantemedicin y se representan por un nmero. Pensar sobre mediciones conduce a una percepcin ma-dura de por qu unos nmeros son informativos y otros irrelevantes o carentes de sentido.

El diseo de estudios de muestreo es un aspecto fundamental de la estadstica. El anlisis de datospone especial nfasis en la comprensin de los datos disponibles, asumiendo que representan un uni-

verso ms amplio. En este sentido, un concepto como el de muestras simples aleatorias es esencialpara que los alumnos de 15 aos puedan comprender las cuestiones relacionadas con el campo dela incertidumbre.

Los fenmenos producen resultados individuales inciertos y, con frecuencia, los patrones a los quese ajusta un resultado reiterado tienen un carcter aleatorio. En el presente estudio de PISA, elconcepto de probabilidad se basar en situaciones en las que intervengan objetos relacionados conel azar, como es el caso de las monedas, los dados y los trompos, o con situaciones del mundo real,no excesivamente complejas, que sean susceptibles de ser analizadas intuitivamente o que puedanmodelarse fcilmente con esos objetos.

El mbito de la incertidumbre se presenta tambin recurriendo a otras fuentes, como pueden serla variacin natural de las estaturas de los estudiantes, la lectura de puntuaciones, los ingresos deun determinado grupo de personas, etc. Un paso de gran importancia, incluso para los alumnosde 15 aos, consiste en ver el estudio de los datos y el azar como un todo coherente. Uno de susprincipios sera la progresin de ideas que va desde el mero anlisis de datos a la produccin de datospara llegar finalmente a la probabilidad y la inferencia.

Las operaciones y conceptos matemticos de mayor importancia en este mbito son:

La produccin de datos.

El anlisis de datos y su presentacin/visualizacin.

La probabilidad.

La inferencia.


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Ejemplos de Incertidumbre

Los ejemplos que vienen a continuacin ilustran la idea clave incertidumbre.

Ejemplo 10 de Matemticas: MEDIA DE EDAD

Pregunta 1: MEDIA DE EDAD

Si el 40 % de la poblacin de un pas tiene al menos 60 aos, es posible que la media de edad seade 30 aos?

Ejemplo 11 de Matemticas: AUMENTAN LOS INGRESOS?

Pregunta 1: AUMENTAN LOS INGRESOS?

Han aumentado los ingresos de los habitantes de Zedlandia en las ltimas dcadas o han disminuido?La media de ingresos monetarios por hogar ha descendido: en 1970 ascenda a 34.200 zeds, en 1980era de 30.500 zeds y en 1990 de 31.200 zeds. No obstante, los ingresos por persona aumentaron:en 1970 ascendieron a 13.500 zeds, en 1980 fueron de 13.850 zeds y en 1990 de 15.777 zeds.

Un hogar est formado por todas las personas que viven juntas en una misma vivienda.Explica cmo es posible que en Zedlandia desciendan los ingresos por hogar a la vez que aumentanlos ingresos por persona.

Ejemplo 12 de Matemticas:INCREMENTO DE LA CRIMINALIDAD

El grfico que figura a continuacin se ha extrado del semanario de Zedlandia, El Noticiario:

LA SOMBRA DEL MIEDO

Delitos violentos por cada

100.000 habitantes

En l se muestra el nmero de delitos registrados por cada 100.000 habitantes, primero en intervalos

de cinco aos y luego en intervalos de un ao.


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LaCompetenc

iaMatemtica

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Pregunta 1: INCREMENTO DE LA CRIMINALIDAD

Cuntos delitos por cada 100.000 habitantes se registraron en 1960?

Los fabricantes de sistemas de alarma recurrieron a estos mismos datos para elaborar el siguiente grfico:

Pregunta 2: INCREMENTO DE LA CRIMINALIDAD

Cmo y por qu elaboraron los fabricantes este grfico?

A la polica no le hizo ninguna gracia el grfico de los fabricantes de sistemas de alarma, porque quera

demostrar que su lucha contra la delincuencia estaba resultando muy eficaz.

Elabora un grfico al que pueda recurrir la polica para demostrar que en los ltimos tiemposse ha producido un descenso de la criminalidad.

PROCESOS MATEMTICOS

Matematizacin

La evaluacin PISA estudia la capacidad de los alumnos para analizar, razonar y comunicar ideasmatemticas de forma efectiva al plantear, resolver e interpretar problemas matemticos en dis-

tintas situaciones. La solucin de problemas requiere que los alumnos hagan uso de las habilidades

y competencias que han adquirido a lo largo de su escolarizacin y a travs de sus propias experien-

cias vitales. En la evaluacin PISA ese proceso fundamental que emplean los alumnos para resolver

los problemas que plantea la vida real se denomina matematizacin.

En el apartado que se ocupaba de las bases tericas del marco PISA de evaluacin de las matemti-

cas se esbozaba una descripcin de las matemticas en cinco pasos. En la Figura 3.8 se recogen esos

pasos, que aparecen luego en forma de lista.

Figura 3.8 El ciclo de la matematizacin

Solucionesreales

Solucionesmatemticas

Problemamatemtico

Problema delmundo real

1, 2, 3

5

45

Mundo real Mundo matemtico


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Se inicia con un problema situado en la realidad.

Se organiza de acuerdo con conceptos matemticos y se identifican las matemticas relevantes alcaso.

El problema se va abstrayendo progresivamente de la realidad mediante una serie de procesos,

como la elaboracin de supuestos, la generalizacin y la formalizacin, mediante los cuales sedestacan los rasgos matemticos de la situacin y se transforma el problema del mundo real en unproblema matemtico que reproduce de manera fiel la situacin.

Se resuelve el problema matemtico.

Se confiere sentido a la solucin matemtica en trminos de la situacin real, a la vez que se iden-tifican las posibles limitaciones de la solucin.

La matematizacin comporta, en primer lugar, la traduccin del problema real a trminos matem-ticos. Este proceso incluye diversas operaciones, como por ejemplo:

Identificar los elementos matemticos pertinentes al problema situado en la realidad.

Representar el problema de una manera distinta; lo cual comporta, entre otras cosas, organizar-lo de acuerdo con los conceptos matemticos pertinentes y plantear los supuestos adecuados alcaso.

Comprender las relaciones existentes entre el lenguaje del problema y el lenguaje formal y sim-blico que se necesita para comprenderlo en trminos matemticos.

Encontrar regularidades, relaciones y patrones.

Reconocer los aspectos que son isomrficos respecto de otros problemas conocidos.

Traducir el problema a trminos matemticos, es decir, a un modelo matemtico (de Lange, 1987).

Una vez que el alumno ha traducido el problema a una forma matemtica, el proceso puede conti-nuarse ya dentro de un mbito estrictamente matemtico. Los alumnos se plantearn preguntas deltipo: Hay...? En tal caso, cuntos? o Cmo puedo hallar...?, recurriendo a las habilidadesy conceptos matemticos de que dispone. Tratarn de desarrollar el modelo del problema, adaptar-lo, establecer regularidades, identificar conexiones y crear una buena argumentacin matemtica.Esta parte del proceso de matematizacin suele conocerse como la parte deductiva del ciclo deconstruccin de modelos (Blum, 1996; Schupp, 1988). Conviene sealar, no obstante, que en estafase pueden intervenir tambin otros procesos aparte del deductivo. Esta parte del proceso de ma-

tematizacin comporta:

Utilizar diferentes tipos de representacin e ir alternando entre ellos.

Utilizar operaciones y un lenguaje simblico, formal y tcnico.

Refinar y ajustar los modelos matemticos mediante un proceso de combinacin e integracin demodelos.

Argumentar.

Generalizar.

El ltimo, o los ltimos pasos, que han de darse para resolver el problema implican una reflexinsobre el proceso en su conjunto y sobre los resultados obtenidos. Llegados a este punto, los alumnosdeben interpretar los resultados con espritu crtico y validar la totalidad del proceso. Esta reflexin


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se da en todas las fases del proceso, pero tiene especial importancia en esta fase final. Algunos de losaspectos de este proceso de reflexin y validacin son:

La comprensin del alcance y los lmites de los conceptos matemticos.

La reflexin sobre las argumentaciones matemticas y la explicacin y justificacin de los resulta-

dos obtenidos.La comunicacin del proceso y la solucin.

La crtica del modelo y de sus lmites.

Esta fase aparece indicada en dos puntos de la Figura 3.8 mediante la referencia 5, que seala elmomento del proceso de matematizacin en que se pasa de la solucin matemtica a la solucin realy el momento en que esta ltima se relaciona de nuevo con el problema del mundo real.

Las capacidades

El anterior apartado se centraba en los principales conceptos y procesos asociados a la matematiza-cin. Un individuo que tenga que emplear de forma satisfactoria la matematizacin dentro de unagran variedad de situaciones y contextos, intra y extramatemticos, as como en el mbito de lasideas clave, necesita poseer una serie de capacidades matemticas que, tomadas en su conjunto,conforman el concepto superior de competencia matemtica. Cada una de estas capacidades puededominarse en mayor o menor grado. Las distintas fases del proceso de matematizacin recurrena estas capacidades de un modo diferente, tanto en lo que respecta a las capacidades especficas quehan de usarse como al nivel de dominio requerido. Para identificar y analizar estas capacidades, PISAha optado por recurrir a ocho capacidades matemticas caractersticas que, en su forma actual, se

basan en la obra de Niss (1999) y de sus colegas daneses. Tambin pueden encontrarse formula-

ciones similares en las obras de otros muchos autores (como se seala en Neubrand et al., 2001).Convendr sealar, sin embargo, que no todos los autores coinciden en las acepciones que dan aalgunos de estos trminos.

Pensamiento y razonamiento. Consiste en plantear preguntas caractersticas de las matemticas(Hay...?, En tal caso, cuntos...?, Cmo puedo hallar...?); conocer los tipos de respuestaque las matemticas ofrecen a esas preguntas; distinguir entre distintos tipos de asertos (definicio-nes, teoremas, conjeturas, hiptesis, ejemplos, afirmaciones condicionales); y comprender y sabermanejar el alcance y los lmites de los conceptos matemticos que hagan al caso.

Argumentacin.Comporta entender en qu consisten las pruebas matemticas y qu las diferencia

de otro tipo de razonamientos matemticos; seguir y evaluar cadenas de argumentaciones mate-mticas de distintos tipos; tener un sentido heurstico (Qu puede o no puede suceder y porqu?), as como crear y expresar argumentaciones matemticas.

Comunicacin. Consiste en la capacidad de expresarse de muy diversas maneras sobre temas decontenido matemtico, tanto de forma oral como escrita, as como comprender las afirmacionesorales o escritas expresadas por otras personas sobre esas mismas materias.

Construccin de modelos. Comporta estructurar el campo o la situacin para la que se ha de elaborarun modelo; traducir la realidad a estructuras matemticas; interpretar modelos matemticos enfuncin de la realidad; trabajar con modelos matemticos; validar un modelo; reflexionar, anali-

zar y criticar un modelo y sus resultados; comunicar opiniones sobre el modelo y sus resultados(incluyendo las propias limitaciones de tales resultados); y supervisar y controlar el proceso deconstruccin de modelos matemticos.


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Planteamiento y solucin de problemas. Consiste en plantear, formular y definir distintos tipos deproblemas matemticos (por ejemplo, problemas puros, aplicados, abiertos y cerra-dos), as como la capacidad de resolver diversos tipos de problemas matemticos de distintasmaneras.

Representacin. Comporta la capacidad de descodificar, codificar, traducir, interpretar y distinguirdistintas formas de representacin de objetos y situaciones matemticos; las interrelaciones queexisten entre las diversas representaciones; y la eleccin y alternancia entre distintos tipos de re-presentacin segn las situaciones y objetivos.

Utilizacin de operaciones y lenguaje tcnico, formal y simblico. Comporta descodificar e interpretarel lenguaje formal y simblico; comprender sus relaciones con el lenguaje natural; traducir dellenguaje natural al lenguaje simblico/formal; hacer uso de expresiones y asertos que contengansmbolos y frmulas; emplear variables, resolver ecuaciones y realizar clculos.

Empleo de material y herramientas de apoyo. Comporta conocer y saber emplear toda una serie de ma-

teriales y herramientas de apoyo (incluidas las herramientas de las tecnologas informticas) quepueden contribuir a la realizacin de la actividad matemtica, as como conocer las limitacionesde dichos materiales y herramientas.

PISA no evala las capacidades antes mencionadas de forma individual. El grado de solapamientoque se da entre ellas es muy considerable y, por regla general, cuando se emplean las matemticases necesario recurrir de forma simultnea a varias de estas capacidades. Por esa razn, cualquierintento de evaluarlas de manera individual probablemente dara lugar a unas tareas artificiales y auna compartimentacin innecesaria del mbito de la competencia matemtica. Las capacidades es-pecficas de las que disponen los alumnos varan considerablemente entre uno y otro individuo.

Esto se debe, en parte, a que todo proceso de aprendizaje tiene lugar a travs de la experiencia: laconstruccin individual del conocimiento es el resultado de un proceso de interaccin, negociaciny colaboracin (de Corte, Greer y Verschaffel, 1996, pag. 510). PISA presupone que la mayor partede las matemticas que saben los estudiantes la han aprendido en la escuela. La comprensin de unrea de contenido es algo que se adquiere de forma gradual. Solo con el paso del tiempo irn sur-giendo formas de representacin y razonamiento ms formales y abstractas, como consecuencia dela participacin en actividades diseadas para fomentar la evolucin de las ideas informales. Tambinla competencia matemtica se adquiere a travs de la experiencia que se obtiene al interactuar en unagran diversidad de situaciones o contextos sociales.

Para poder describir y presentar desde una perspectiva internacional y de la manera ms fructferaposible las capacidades de los estudiantes, as como sus puntos fuertes y dbiles, ser necesarioadoptar cierto tipo de estructura. Una de las formas de lograrlo de una manera que resulte ma-nejable y comprensible a la vez, consiste en definir una serie de grupos de capacidades basadosen el tipo de exigencias cognitivas que se requieren para resolver los distintos tipos de problemasmatemticos.

LOS GRUPOS DE CAPACIDADES

Para describir las actividades cognitivas que engloban estas capacidades, PISA ha optado por elaborar

tresgrupos de capacidades: el grupo de reproduccin, el grupo de conexiones y el grupo de reflexin. Enlos apartados siguientes se definen los tres grupos de capacidades y se tratan las distintas formas deinterpretar cada una de las capacidades dentro de los grupos.


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El grupo de reproduccin

Las capacidades de este grupo comportan bsicamente la reproduccin de conocimientos que ya hansido practicados. Incluyen, por tanto, los tipos de conocimiento que suelen practicarse en las eva-luaciones estndar y en las pruebas escolares. Entre estas capacidades se cuentan el conocimiento de

los hechos y de las representaciones de problemas ms comunes, la identificacin de equivalentes,el recuerdo de objetos y propiedades matemticas conocidas, la utilizacin de procesos rutinarios,la aplicacin de algoritmos y habilidades tcnicas estndar, el manejo de expresiones que contienensmbolos y frmulas conocidas o estandarizadas y la realizacin de operaciones sencillas.

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