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REVISTA FACULTAD NAL DE AGRONOMIA MEDELLIN Vol XLI NY 1 198~

LA CONICIDAD DE LOS ARBOLES Y ALGUNAS POSIBLES APLICACIONES EN EL MANEJO

DE BOSQUES

HUBERTO GONZAlEZ PEREZ

RESUMEN

La descripcioacuten de la conicidad de los aacuterboles se plantea como una herramienta tecnoloacutegica de gran utilidad en el manejo de bosque8 Se analizan tanto algunos jactares del aacuterbol y del rodal que ajectan la conicidad de los aacuterboles como la utilizar cioacuten de la teacutecnica de las spline cuacutebicas para la descripcioacuten del perjil y el caacutelculo del volumen del aacuterbol individual Se describe una metodologiacutea para determinar ecuaciones de volumen a partir de la aplicacioacuten de la teacutecnica de las spline cuacutebicas y se propone un modelo simple de conicidad deducido de interpretaciones geomeacutetricas del comportamento de la conicidM de aacuterboles exshycurrentes Se presentan algunos resultados experimentales hashyciendo especial rejerencia al cipreacutes (Cupressus lusitanica) una especie de gran intereacutes en los programas de rejorestacioacuten en la regwn andina de Colombia

Palabras claves Conicidad spline cuacutebica determinacUumlJn del volumen cipreacutes Cupressus lusitanica

ABSTRACT

TAPER EQUATONS OF TREE SPECIES AND THEIR APPLICATIONS IN FOREST MANAGEMENT

Taper equalions oj lree species are quite usejull jor jorest management purposes The taper ollhe jorest trees is a junction

c Profesor asociado Departamento de Ciencias Forestales Facultad de Ciencias Agropecuarias Universidad Nacional de Colombia Secciona Medelliacuten A A 568

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of several lactors related with the species and the stand So me 01 those factors are ana1yzed in this paper in conjunction with the use 01 the spline cubic technique for describing the species pro file and the volume calculation for the individual trees

Startiacuteng from the spline cubic equations it is described a rnethodology for linding the volume equations and additionally it is proposed a simple tape model derived from the relation betuJeen the geometry of lhe excurrent trees and the tape changes aiong the lag

Experimental results are presented mainly with data calleemiddot red from cypres stands (Cupressus lusitanica) a specie of great importance for the plantation programs 01 tite andean region of Colombia

Key words Taper spline cubic volume calculation cypress tree Cupressus lusitanica

INTRODUCCION

El concepto de conicidad hace referencia a la cuantificacioacuten del hecho evidente de la disminucioacuten del diaacutemetro del fuste desue la base hasta el aacutepice del aacuterbol En este sentido la conicidad se puede cuantificar y calificar a partir de la determinacioacuten de la tasa de conicidad definida como la tasa de variacioacuten del diaacutemetro por unidad de longitud entre dos puntos del fuste o por medio de la relacioacuten entre los diaacutemetros entre esos mismos puntos o se puede describir a traveacutes de modelos matemaacuteticos que definen el diaacutemetro en cualquier punto del fuste como una funcioacuten de la distancia desde ese punto hasta la base

Aunque las teoriacuteas que intentan explicar las causas de la conicidad de los aacuterboles se encuentran en un estado relativamente incipiente de desarrollo todas las que se han planteado reconocen que existen factores del aacuterbol y del rodal que producen variaciones significativas de la conicidad La identificacioacuten y evaluacioacuten del efecto de estos factores reviste una marcada importancia en el disentildeo de sistemas silviculturales

Por otro lado la descripcioacuten matemaacutetica de la conicidad de los aacuterboles constituye una valiosa herramienta tanto para ei mashynejo como para la valoracioacuten de bosques ya que permite la derishyvacioacuten de ecuaciones de volumen aplicables a diferentes niveles de utilizacioacuten

En este trabajo se abordan estos temas haciendo especial eacutenfasis en el comportamiento de la conicidad del cipreacutes (Cupressus lusitanica) una especie que ha sido ampliamente utilizada en programas de reforestacioacuten en la regioacuten central andina de Coshylombia Ademaacutes se propone un modelo simple de conicidad que ha dado resultados altamente satisfactorios para describir el feshynoacutemeno

FACTORES ASOCIADOS CON LA CONIC1DAD

Las causas de la tendencia general de disminucioacuten del diaacuteshymetro a medida que aumenta la distancia desde el suelo a lo largo del fuste del aacuterbol en pie han sido estudiadas por numerosos inshyvestigadores y se han propuesto y sustentado algunas teoriacuteas al respecto

Las teoriacuteas mecaacutenicas intentan explicar la conicidad de los aacuterboles como el resultado de los esfuerzos internos y externos a que estaacute sometido el fuste Metzger citado por Gray (1956) reconoce dos fuerzas mecaacutenicas que afectan la conformacioacuten del fuste una fuerza vertical ejercida por el peso mismo del fuste del follaje del agua lluvia etc y una fuerza horizontal ejercida sobre el fuste por el viento

Aunque se reconoce en teacuterminos generales la validez de los planteamientos baacutesicos de las teoriacuteas mecaacutenicas tambieacuten se acepta que las causas baacutesicas de tal comportamiento son de origen fisioshyloacutegico La teoriacutea fisioloacutegiacuteca de maacutes amplia aceptacioacuten es la teoria de conduccioacuten de Jaccard

La hipoacutetesis de Jaccard descrita por Gray (1956) consiste en la afirmacioacuten de que el fuste de un aacuterbol es un tubo de capashycidad de conduccioacuten uniforme Esto implica que el aacuterea de la seccioacuten de los tejidos de conduccioacuten en cualquier parte del fuste libre de ramas es igual por ejemplo al aacuterea agregada por los tejidos de conduccioacuten en el punto de confluencia de ramas vivas asumiendo que los tubos de los tejidos de conduccioacuten se comportan como pequentildeos tubos capilares es de esperarse que cuando los elementos de conduccioacuten estaacuten inclinados la tasa de conduccioacuten es maacutes baja y por 10 tanto se requiere un aacuterea maacutes grande de los tejidos de conduccioacuten Jaccard sugiere que eacutesta es la razoacuten por la cual se presentan ensanchamientos en la intercepcioacuten de las ramas con el fuste y especialmente en la parte baja del fuste en

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of several factors related with the species and the stand Some of those factors are anaiyzed in this paper in conjunction with the use of the spline cubic technique for describing the species profile and the volume calculation for the individlUUacute trees

Starting from the spline cubic equations it is described a methodology for finding the volume equations and additionally it is proposed a simple tape model derived from the relation between the geometry of lhe excurrent trees and the tape changes along the log

Experimental resuUs are presented mainiy with data collee-shyled from cypres stands (Cupressus lusitanica) a specie of great importance for the plantation prograrns of the arulean region of Colombia

Key words Taper spLine cubic volume calculation cypress fre e ClIpres-us lll si tanica

INTRODUCCION

El concepto de conicidad hace referencia a la cuantificacioacuten del hecho evidente de la disminucioacuten del diaacutemetro del fuste desue la base hasta el aacutepice del aacuterbol En este sentido la conicidad se puede cuantificar y caljficar a partir de la determinacioacuten de la tasa de conicidad definida como la tasa de variacioacuten del diaacutemetro por unidad de longitud entre dos puntos del fuste o por medio de la relacioacuten entre los di aacutemetros entre esos mismos puntos o se puede describir a traveacutes de modelos matemaacuteticos que definen el diaacutemetro en cualquier punto del fu ste como una funcioacuten de la distancia desde ese punto hasta la base

Aunque las teoriacuteas que intentan explicar las causas de la conicidad de los aacuterboles se encuentran en un estado relativamente incipiente de desarrollo todas las que se han planteado reconocen que existen factores del aacuterbol y del rodal que producen variaciones significativas de la conicidad La identificacioacuten y evaluacioacuten del efecto de estos factores reviste una marcada importancia en el disentildeo de sistemas silviculturales

Por otro lado la descripcioacuten matemaacutetica de la conicidad de los aacuterboles constituye una valiosa herramienta tanto para ei mashynejo como para la valoracioacuten de bosques ya que permite la derishyvacioacuten de ecuaciones de volumen aplicables a diferentes niveles de utilizacioacuten

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En este trabajo se abordan estos temas haciendo especial eacutenfasis en el comportamiento de la conicidad del cipreacutes (Cupressus lusitanica) una especie que ha sido ampliamente utilizada en programas de reforestacioacuten en la regioacuten central andina de Coshylombia Ademaacutes se propone un modelo simple de conicidad que ha dado resultados altamente satisfactorios para describir el feshynoacutemeno

FACTORES ASOCIADOS CON LA CONICIDAD

Las causas de la tendencia general de disminucioacuten del diaacuteshymetro a medida que aumenta la distancia desde el suelo a lo largo del fuste del aacuterbol en pie han sido estudiadas por numerosos inshyvestigadores y se han propuesto y sustentado algunas teorIacuterul al respecto

Las teoriacuteas mecaacutenicas intentan explicar la conicidad de los aacuterboles como el resultado de los esfuerzos internos y externos a que estaacute sometido el fuste Metzger citado por Gray (1956) reconoce dos fuerzas mecaacutenicas que afectan la conformacioacuten del fuste una fuerza vertical ejercida por el peso mismo del fuste del follaje del agua lluvia etc y una fuerza horizontal ejercida sobre el fuste por el viento

Aunque se reconoce en teacuterminos generales la validez de los planteamientos baacutesicos de las teoriacuteas mecaacutenicas tambieacuten se acepta que las causas baacutesicas de tal comportamiento son de origen fisioshyloacutegico La teoriacutea fisioloacutegica de maacutes amplia aceptacioacuten es la teoriacutea de conduccioacuten de Jaccard

La hipoacutetesis de J accard descrita por Gray (1956) consiste en la afirmacioacuten de que el fuste de un aacuterbol es un tubo de capashycidad de conduccioacuten uniforme Esto implica que el aacuterea de la seccioacuten de los tejidos de conduccioacuten en cualquier parte del fuste libre de ramas es igual por ejemplo al aacuterea agregada por los tejidos de conduccioacuten en el punto de confluencia de ramas vivas asumiendo que los tubos de los tejidos de conduccioacuten se comportan como pequentildeos tubos capilares es de esperarse que cuando los elementos de conduccioacuten estaacuten inclinados la tasa de conduccioacuten es maacutes baja y por 10 tanto se requiere un aacuterea maacutes grande de los tejidos de conduccioacuten Jaccard sugiere que eacutesta es la razoacuten por la cual se presentan ensanchamientos en la intercepcioacuten de las ramas con el fuste y especialmente en la parte baja del fuste en

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donde es frecuente encontrar ensanchamientos anormales no exshyplicables por teoriacuteas mecaacutenicas

Existen muchas evidencias que apoyan tanto las teoriacuteas meshycaacutenicas como las fisioloacutegicas pero aunque todos los hechos no puedan ser explicados por una uacutenica teoriacutea parece existir un reconocimiento general acerca de que la forma del fuste es afecshytada por factores del aacuterbol y del rodal Estos factores provocan variaciones tanto en los esfuerzos a que estaacute sometido el aacuterboi como en las condiciones fisiooacutegicas del crecimiento y desarrollo del fuste lo cual deberiacutea manifestarse en variaciones en la forma y conicidad de los aacuterboles

El estado incipiente de desarrOllo de las teoriacuteas que tratan de explicar las causas de la variacioacuten de la conicidad de los aacutershyboles trae como consecuencia el que los factores que maacutes afectan tal caracteriacutestica no hayan sido muy precisamente identificados ni mucho menos explicado razonablemente bien su efecto

En relacioacuten con los factores del aacuterbol tanto el tamantildeo como la posicioacuten socioloacutegica de los individuos han demostrado resultashydos consistentemente ajustados a los planteamientos teoacutericos Las investigaciones experimentales de Gmzaacutelez (1983a) y Gonzaacutelez (1986) muestran que en el caso del cipreacutes tanto los aacuterboles maacutes grandes (de mayor diaacutemetro) como los aacuterboles dominantes preshysentan las mayores tasas de conicidad En estas investigaciones la longitud de la copa afectoacute positivamente la tasa de conicidad y estuvo altamente correlacionada con la posicioacuten socioloacutegica sin que pudiera aislarse el efecto de estos dos factores del de su interaccioacuten Con respecto a la longitud de la copa Larson (1983) anota que numerosos investigadores estaacuten de acuerdo en que las podas producen una redistribucioacuten en el crecimiento diameacutetrico de tal manera que se disminuye la conicidad del fuste lo que parece ser un resultado derivado del efecto de la longitud de la copa sobre la tasa de conicidad

Entre los factores del rodal los que han sido maacutes ampliashymente estudiados son la densidad del rodal y la calidad del sitio Kotze (1960) lo mismo que otros autores opina que los aacuterboles llegan a ser maacutes ciliacutendricos cuando se aumenta la densidad del rodal y cuando decrece la longitud de la copa lo cual estaacute de acuerdo con las teoriacuteas mecaacutenicas De otra parte Larson (1983) opina que la distribucioacuten relativa del crecimiento del diaacutemetro a traveacutes del fuste tambieacuten variacutea ampliamente con la calidad del sitio En los sitios buenos el crecimiento se concentra en la parte

superior de la copa mientras que en los sitios pobres el crecishymiento tiende a distribuirse maacutes uniformemente a 10 largo del fuste En los trabajos de Gonzaacutelez (1983a) y Gonzaacutelez (1986) la densidad expresada con base en el nuacutemero de aacuterboles afectoacute negativamente la conicidad del cipreacutes aunque el efecto fue soacutelo significativo en teacuterminos estadiacutesticos la calidad de sitio no mosshytroacute efectos significativos sobre la conicidad sin embargo el efect de este factor podriacutea estar siendo enmascarado por la influencia de la densidad ya que en estas investigaciones la gran mayor iacutea de las muestras presentaban valore~ muy altos para este factor

Aunque cOmo parece razonable se deben esperar f uertes iexclJshyteracciones entre los diferentes f actores que afectan la conicidad Gonzaacutelez (1986) no encontroacute interaccioacuten significativa ni entre los factores posicioacuten socioloacutegica y edad ni entre la longitud de la copa y el tamantildeo de aacuterbol en el caso del cipreacutes

DESCRIPCION DEL PERFIL INDIVIDUAL

En manejo de bosques generalmente se necesita la cubicacioacuten de fustes de aacuterboles muestra para el efecto el fuste se divide en trozas y eacutestas se cubican- mediante la medicioacuten de los diaacutemetros requeridos por los modelos de volumen a emplear (Huber SmashyIian Newton etc)

Recientemente Liu (1980) intr0dujo la metodologiacutea de las funciones spline cuacutebicas para la descripcioacuten del perfil de los aacutershyboles y la determinacioacuten del vo~umen La aproximacioacuten spline es una forma de interpolacioacuten por una clase de funciones coordinashydas las cuales deben ser descritas como un conjunto de segmenshytos polinoacutemicos cuacutebicos con uniones suaves En lugar de ajustar una funcioacuten dada f(x) en un intervalo [a b] (el fuste) este intervalo se puede dividir en n subintervalos (trozas) y aproximar f (x) por un polinomio diferente en cada subintervalo La funcioacuten de aproximacioacuten g (x) es una spline cuacutebica si se cumple que

- En cada subintervalo la funcioacuten g (x) debe ser un polinoshymio de maacuteximo grado tres

g(x) debe coincidir con f (x) en cada uno de los liacutemites de los subintervalos

- La primera derivada g (x) y la segunda g (x) deben ser continuas en el intervalo

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donde es frecuente encontrar ensanchamientos anormales no exshyplicables por teoriacuteas mecaacutenicas

Existen muchas evidencias que apoyan tanto las teoriacuteas meshy

superior de la copa mientras que en los sitios pobres el crecishymiento tiende a distribuirse maacutes uniformemente a lo largo del fuste En los trabajos de Gonzaacutelez (1983a) y Gonzaacutelez (1986) l~

middotmiddot 1 di

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caacutenicas como las fisioloacutegicas pero aunque todos los hechos no puedan ser explicados por una uacutenica teoriacutea parece existir un reconocimiento general acerca de que la forma del fuste es afecshytada por factores dei aacuterbol y del rodal Estos factores provocan variaciones tanto en los esfuerzos a que estaacute sometido el aacuterbol como en las condiciones fisiooacutegicas del crecimiento y desarrollo del fuste lo cual deberiacutea manifestarse en variaciones en la forma y conicidad el Jos aacuterboles

E-I estado incipiente de desarrodo de las teoriacutecs que tratan de explicar las causas de la variacioacute de la conicidad de los aacutershyboles trae como consecuencia el que los factores que maacutes afectan tal caracteriacutestica no hayan sido muy precisamente identificados ni mucho menos explicado razonablemente bien su efecto

En relacioacuten con los factores del aacuterbol tanto el tamantildeo como la posicioacuten socioloacutegica de los individuos han demostrado resultashydos consistentemente ajustados a los planteamientos teoacutericos Las investigaciones experimentales de Gonzaacutelez (1983a) y Gonzaacutelez (1986) muestran que en el caso del cipreacutes tanto los aacuterboles maacutes grandes (de mayor diaacutemetro) como los aacuterboles dominantes preshysentan las mayores tasas de conicidad En estas investigaciones la longitud de la copa afectoacute positivamente la tasa de conicidad y estuvo altamente correlacionada con la posicioacuten socioloacutegica sin que pudiera aislarse el efecto de estos dos factores del de su interaccioacuten Con respecto a la longitud de la copa Larson (1983) anota que numerosos investigadores estaacuten de acuerdo en que las podas producen una redistribucioacuten en el crecimiento diameacutetrico de tal manera que se disminuye la conicidad del fuste lo que parece ser un resultado derivado del efecto de la longitud de la copa sobre la tasa de conicidad

Entre los factores del rodal los que han sido maacutes ampliashymente estudiados son la densidad del rodal y la calidad del sitio Kotze (1960) lo mismo que otros autores opina que los aacuterboles llegan a ser maacutes ciliacutendricos cuando se aumenta la densidad del rodal y cuando decrece la longitud de la copa 10 cual estaacute de acuerdo con las teoriacuteas mecaacutenicas De otra parte Larson (1983) opina que la distribucioacuten relativa del crecimiento del diaacutemetro a traveacutes del fuste tambieacuten variacutea ampliamente con la calidad del sitio En los sitios buenos el crecimiento se concentra en la parte

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densidad expresada con base en el nuacutemero de aacuterboles afe~to

negativamente la conicidad del cipreacutes aunque el efe~t fue solo significativo en teacuterminos estadiacutesticos la cahdad de SItIO no mosshytroacute efectos significativos sobre la conicidad sin embarg~ el efec~o de este factor podriacutea estar siendo enmascarado por la mfluenca de la densidad ya que en estas investigaciones la gran may01la de las muestras presentaban valores muy altos para este factor

Aunque como parece razonab~ s deben esperar fuer~e~ in shyteracciones entre los diferentes factores qlle afectan la cODIcldad Gonzaacutelez (1986) no encontroacute interaccioacuten significativa ni entre Jos factores posicioacuten socioloacutegica y edad ni entre la longItud de la copa y el tamantildeo del aacuterbol en el caso del cipreacutes

DESCRIPCION DEL PERFIL INDIVIDUAL

En manejo de bosques generalmente se necesita la cubicacioacuten de fustes de aacuterboles muestra para el efecto el fuste se divide en trozas y eacutestas se cubican mediante la medicioacuten de los diaacutemetros requeridos por los modelos de volumen a emplear (Huber Smashylian NewtOn etc)

Recientemente Liu (1980) intr0dujo la metodologiacutea de las funciones spline cuacutebicas para la descripcioacuten del perfil de los aacutershyboles y la determinacioacuten del vo~umen La aproximacioacuten spline es una forma de interpolacioacuten por una clase de funciones coordinashydas las cuales deben ser descritas como un conjunto de segmenshytos polinoacutemicos cuacutebicos con uniones suaves En lugar de ajustar una funcioacuten dada f(x) en un intervalo [a b] (el fuste) este intervalo se puede dividir en n subintervalos ~trozas) y aproxin~r f(x) por un polinomio diferente en cada submtervalo La funclOn de aproximacioacuten g (x) es una spline cuacutebica si se cumple que

- En cada subintervalo la funcioacuten g (x) debe ser un polinoshymio de maacuteximo grado tres

g (x) debe coincidir con f (x) en cada uno de los liacutemites de los subintervalos

- La primera derivada g (x) y la segunda g (x) deben ser continuas en el intervalo

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Gonzaacutelez (1983) describe un sistema para la determinacioacuten de los coeficientes de los polinomios y anota coacutemo el sistema poshysee una solucioacuten uacutenica

Una vez determinados los coeficientes de los polinomios parshyticulares para las diferentes secciones de cada aacuterbol y asumiendo que cada seccioacuten es circular el volumen entre cualesquiera dos puntos del aacuterbol se calcula como

XJ V = 1T f (g(xraquo)2 dx

XI

La funcioacuten spline cuacutebica g (x) representa la curva que desshycribe el perfil de cada aacuterbol

Este sistema de cubicacioacuten es faacutecil de sistematizar en un programa para computadoras tal como el programa denominado interpolacioacuten cuacutebica segmentada elaborado por Arango y desshycrito por Gonzaacutelez (1983)

MODELOS DE CONICIDAD Y DE VOLUMEN

La spline cuacutebica relativa promedio

Con la metodologiacutea de las spline cuacutebicas es posible describir el perfil del fuste de un aacuterbol especiacutefico y calcular su volumen muy exactamente sin embargo esta metodologiacutea requiere la meshydicioacuten de radios a lo largo del fuste lo que en la praacutectica soacutelo se puede hacer para una muestra de aacuterboles representativa de una poblacioacuten de referencia

Gonzaacutelez (1983) describe y apiica una metodologiacutea la cual permite derivar una ecuacioacuten de volumen a partir de la aplicacioacuten de la teacutecnica de las spline cuacutebicas A grandes rasgos esta metoshydologiacutea incluye los siguientes pasos

A los fustes muestra se les mide su diaacutemetro en las mismas posiciones relativas a la longitud total del fuste A partir de los diaacutemetros medios se determinan los radios correspondientes y eacutestos se hacen proporcionales al radio a la altura del pecho (los resultados son los mismos si los caacutelculos se hacen a partir de los diaacutemetros y no de los radios)

Comunicacioacuten personaI

En cada una de las pOSICIOnes relativas a la longitud total del fuste se determina el radio relativo promedio (la media arit shymeacutetica de los radios relativos en cada posicioacuten) A traveacutes de estos puntos posicioacuten relativa y radio relativo promedio se aproxima una funcioacuten spline cuacutebica El volumen generado por esta funcioacuten constituye un coeficiente de forma promedio (K) para la poblashycioacuten de fustes en estudio con el cual se puede estimar el volumen del fuste del aacuterbol en pie asiacute

V = KR2L (1)

en donde

V = volumen del fuste (m3 )

R = radio base de proporcionalidad o radio a la altura del peshycho (m)

L = longitud del fuste (m)

La aplicacioacuten de esta metodologiacutea en los pocos casos en que se ha utilizado ha dado resultados altamente satisfactorios tanto en 10 concerniente a la facilidad para su elaboracioacuten como al alto grado de ajuste mostrado por las ecuaciones En la Tabla 1 se presentan algunos de los resultados obtenidos

TABLA 1

ALGUNAS ESTIMACIONES DEL COEFICIENTE DE FORMA PROMEDIO Y NIVELES DE AJUSTE DE LA ECUACION DE

VOLUMEN UTILIZANDO EL MODELO (1)

Especie K RZ Fuente

Cipreacutes Pinus oocarpa Pinus kesiya

14758 156376 160560

0976 0955 0956

Gonzaacutelez (1986) Cartoacuten de Colombia Cartoacuten de Colombia

(1986) (1986)

Los principales inconvenientes de esta metodologiacutea se reshyfieren a las dificultades actuales para analizar estadiacutesticamente las funciones lo mismo que para a partir de la informacioacuten baacuteshysica generar ecuaciones de volumen comercial para diferentes niveles de utilizacioacuten

Un modelo de conicidad

Numerosos modelos matemaacuteticos han sido propuestos para

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Gonzaacutelez (1983) describe un sistema para la determinacioacuten de los coeficientes de los polinomios y anota coacutemo el sistema poshysee una solucioacuten uacutenica

Una vez determinados los coeficientes de los polinomios parshyticulares para las diferentes secciones de cada aacuterbol y asumiendo que cada seccioacuten es circular el volumen entre cualesquiera dos puntos del aacuterbol se calcula como

XJ V = 1T J (g(xraquo)2 dx

XI

La funcioacuten spline cuacutebica g(x) representa la curva que desshycribe el perfil de cada aacuterbol

Este sistema de cubicacioacuten es faacutecil de sistematizar en un programa para computadoras tal como el programa denominado interpolacioacuten cuacutebica segmentada elaborado por Arango y desshycri to por Gonzaacutelez (1983)

MODELOS DE CONICIDAD Y DE VOLUMEN

La spline cuacutebica relativa promedio

Con la metodologiacutea de las spline cuacutebicas es posible describir el perfil del fuste de un aacuterbol especiacutefico y calcular su volumen muy exactamente sin embargo esta metodologiacutea requiere la meshydicioacuten de radios a lo largo del fuste lo que en la praacutectica soacutelo se puede hacer para una muestra de aacuterboles representativa de una poblacioacuten de referencia

Gonzaacutelez (1983) describe y aplica una metodologiacutea la cual permite derivar una ecuacioacuten de volumen a partir de la aplicacioacuten de la teacutecnica de las spline cuacutebicas A grandes rasgos esta metoshydologiacutea incluye los siguientes pasos

A los fustes muestra se les mide su diaacutemetro en las mismas posiciones relativas a la longitud total del fuste A partir de los diaacutemetros medios se determinan los radios correspondientes y eacutestos se hacen proporcionales al radio a la altura del pecho (los resultados son los mismos si los caacutelculos se hacen a partir de los diaacutemetros y no de los radios)

k Comunicacioacuten personal

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lEn cada una de las pOSICIOnes relativas a la longitud totai del fuste se determina el radio relativo promedio (la media arit shymeacutetica de los radios relativos en cada posicioacuten) A traveacutes de estos puntos posicioacuten relativa y radio relativo promedio se aproxima una funcioacuten spline cuacutebica E-I volumen generado por esta funcioacuten constituye un coeficiente de forma promedio (K) para la poblashycioacuten de fustes en estudio con el cual se puede estimar el volumen del fuste del aacuterbol en pie asiacute

(1 )

en donde

V = volumen del fuste (m3 )

R = radio base de proporcionalidad o radio a la altura del peshycho (m)

L = longitud del fuste (m)

La aplicacioacuten de esta metodologiacutea en los pocos casos en que se ha utilizado ha dado resultados altamente satisfactorios tanto en 10 concerniente a la facilidad para su elaboracioacuten como al alto grado de ajuste mostrado por las ecuaciones En la Tabla 1 se presentan algunos de los resultados obtenidos

TABLA 1

ALGUNAS ESTIMACIONES DEL COEFICIENTE DE FORMA PROMEDIO Y NIVELES DE AJUSTE DE LA ECUACION DE

VOLUMEN UTILIZANDO EL MODELO (1)

Especie K Fuente

Cipreacutes 14758 0976 Gonzaacutelez (1986) Pinus oocarpa 156376 0955 Cartoacuten de Colombia (1986) Pinus kesiya 160amp60 0956 Cartoacuten de Colombia (1986)

Los principales inconvenientes de esta metodologiacutea se reshyfieren a las dificultades actuales para analizar estadiacutesticamente las funciones lo mismo que para a partir de la informacioacuten baacuteshysica generar ecuaciones de volumen comercial para diferentes niveles de utilizacioacuten

Un modelo de conicidad

Numerosos modelos matemaacuteticos han sido propuestos para

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describir la conicidad de aacuterboles de forma tiacutepicamente excurreTIshyte tales modelos variacutean desde formas muy simples hasta polishynomios compejos de alto grado La mayor complejidad de los modelos posibilitada por los avances en los sistemas de coacutempushytos no ha dado como resultado una completa solucioacuten al probleshyma de describir la conicidad del fuste pero siacute ha conducido a modelos de vo~umen en ocaiexcliones tan complejos que dificultan su utilizacioacuten en la praacutectica

En este trabajo se propone un modelo de conicidad simple deducido de interpretaciones geomeacutetricas del comportamiento de la conicidad de aacuterboles tiacutepicamente excurrentes

El diaacutemetro en cualquier punto por debajo del aacutepice depende fundamentalmente de la distancia desde ese punto hasta el aacutepice (1) es decir

d = F (1)

l es simplemente la diferencia entre H (la longitud total del fuste) y h la longitud desde el suelo hasta el punto de medicioacuten

1 = H-h

Si la variable 1 se divide por H la nueva variable indica la posicioacuten reativa del punto con respecto a la longitud total

H-h 1-h H

H H La hipoacutetesis que se plantea afirma que el diaacutemetro en cualshy

quier punto es una funcioacuten del producto de un diaacutemetro base de refer ~ ncia (D) y de la variable que indica la posicioacuten- relativa del punto es decir

d = k1 [(D) (1- hH)]

En este modelo se tiene que si h es igual a H (el aacutepice) d es cero Y si h =0 (la base) d = KD por lo cual en general k debe ser mayor o igual a 1 dependiendo del diaacutemetro base de referencia y de la tasa de conicidad del aacuterbol

Si la variable se divide por H - 13 operacioacuten razonable en el caso en el que el diaacutemetro base de referencia D sea el diaacutemetro eacutel ]a altura del pecho (DAP) entonces

d = k1 (DAP(H-h) (H-13raquo

Con el fin de ajustar el modelo haciendo uso de las teacutecnicas de regresioacuten eacuteste se puede plantear

d = a + (J [D (1 - hH) ] De esta manera el modelo ha sido ajustado a diferentes ba middot

ses de datos obtenieacutendose resultados satisfactorios asiacute

TABLA 2 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL MODELO DE

CONICIDAD PRUumlPUESTA

A A

Poblacioacuten referencia a= a (J=b R2 Fuente

Cipreacutes (P Blancas) 067735 106748 09605 Gonzaacutelez (1983a)

Cipreacutes (Antioquia) 043578 114229 09472 Gonzaacutelez (1986)

Pinus oocarpa 160619 108101 0988 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Pinus kesiya 148397 109229 0971 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Cerezo (A lnus 1middot0rulle nsis ) 001569 109998 0949 Del Valle y

Gonzaacutelez (1988)

La principal utilidad praacutectica de los modelos de conicidad resuta del hecho de que la integral de la ecuacioacuten de conicidad entre cualesquiera dos puntos a lo largo del fuste es numeacutericashymente igual al volumen del soacutelido de revolucioacuten obtenido por roshytacioacuten de tal funcioacuten alrededor del eje de las abscisas y por lo tanto aproximadamente igual al volumen del fuste entre tales puntos

_ ~Jh1 - - 1

_ dV = 7T 4 J (d(hraquo2dh ~ -J ~ oho -J ~ ltJ b

Para el caso del modelo que se propone y teniendo en cuentan v ~ Z las unidades de medicioacuten diaacutemetro en centiacutemetros y longitud en~ ~ ~ metros la expresioacuten para el volumen (m3 ) es ~ ~ ~ ~ OI--ampL

h2 -n (- 1 tlt - ()

V = 7T 40000 [h (a2 + 2abD + b2D2) H

(abD) 9 2 ~ h3 ~ ~trj gb2D2 - oh1

Tj ~+ b2D2 + _ ] ~ ~ 3 H 2 ho

59

describir la conicidad de aacuterboles de forma tiacutepicam nte excu r r enshyte tales modelos variacutean desde formas muy simples hasta poli shynomios compejos de alto grado La mayor complejidad de los model s posibilitada por los avances en los ifltemas de coacutempushytos no ha dado como resultado una completa solucioacuten al probleshyma de describir la conicidad del fuste pero siacute ha conducido a modelos de voumen en ocasiones tan complejos que dificultan su utilizacioacuten en la praacutecti a

En este t ra ba jo se propone un modelo de conicidad simple deducido de interpretaciones geomeacutetricas de) comportamiento de la conicidad (le aacuterbo) e~ t iacutepicamente excurrentes

E l diaacutem tro en cUeacutedquier punto por debajo dei aacutepice depende fundamentalmente de 11l distancia desde ese punto hasta el aacutepice (1) es decir

d = F (1)

l es simplemente la diferencia entre H (la longitud total del fuste) y h la longitud desde el suelo hasta el punto de medicioacuten

1 = H-h

Si la variable l se divide por H )a nueva variable indica la posicioacuten reativa del punto Con respecto a la longitud total

H-h - = = l-hH H H

La hipoacutetesis que se plantea afirma que el diaacutemetro en cualshyLiuier punto es una funcioacuten del producto de un diaacutemetro base de refer ncia (D) y de la variable que indica la posicioacuteuacute relativa del punto es decir

d=k1 [(D)(l-hH)]

En este modelo se tiene que si h es igual a H (el aacutepice) d es cero Y si h = deg (la base) d = KD por lo cual en general k debe ser mayor o igual a 1 dependiendo del diaacutemetro base de referencia y de la tasa de conicidad del aacuterbol

Si la variable se divide por H - 13 operacioacuten razonable en el caso en el que el diaacutemetro base de referencia D sea el diaacutemetro a )a altura del pecho (DAP) entonces

d = k[ (DAP(H-h) (H-l3raquo

Con el fin de ajustar el modelo haciendo uso de las teacutecnicas de regresioacuten eacuteste se puede plantear

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d = a + (3 [D (1 - hH)] De esta manera el modelo ha sido ajustado a diferentes bashy

ses de datos obtenieacutendose resultados satisfactorios asiacute

TABLA 2 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL MODELO DE

CONICIDAD PROPUESTA

J J

Poblacioacuten referencia a=a f3 = b R2 Fuente

Cipreacutes (P Blancas) 067735 106748 09605 Gonzaacutelez (1983a)

Cipreacutes (Antioquia) 043578 114229 09472 Gonzaacutelez (1986)

Pinus oocarpa 160619 108101 0988 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Pinus kesiya 148397 109229 0971 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Cerezo (Alnus iorullensis) 001S69 109998 0949 Del Valle y

Gonzaacutelez (1988)

La principal utilidad praacutectica de los modelos de conicidad resuita del hecho de que la integral de la ecuacioacuten de conicidad entre cualesquiera dos puntos a lo largo del fuste es numeacutericashymente igual al volumen del soacutelido de revolucioacuten obtenido por roshytacioacuten de tal funcioacuten alrededor del eje de las abscisas y por lo tanto aproximadamente igual al volumen del fuste entre tales puntos

h1 d ~~ -cJV == ~4 f (d(hraquo2dh ~ ~

ho -iexcl O 1

Para el caso del modelo que se propone y teniendo en cuentaQ Q

~ ~ - ~

t

ordf Z las unidades de medicioacuten diaacutemetro en centiacutemetros y longitud en bJ ~ metros la expresioacuten para el volumen (mS ) es ~ ifjj

h2 (T1 Ii --lt t1

V = ~40000 [h (a2 + 2abD + b2D2) (ab D) CJ Q ~ b2D2 h 1

H ~ Q I~+ b2D2 +

h_

3

---] 10

J 3 H2 ho

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Si se hace ho = O Y h I H la expresioacuten se reduce a

v = 7T 40000 (H) (a2 + abD + b2D2 3)

Y corresponde a una estimacioacuten del volumen total del fuste

BIBLJOGRAFIA

Cartoacuten de Colombia S A 1986 lndices de sitio y funciones de produccioacuten de Pinus oocarpa y Pinus kesiya en los departamentos del Valle y Cauca Colombia Medelliacuten 106 p

Del Valle J 1 Gonzaacutelez H 1988 Rendimiento y crecimiento del cerezo Alnus jorullensis) en la regioacuten central andina Colombia Revista Facultad Nacional de Agronomiacutea (Medelliacuten) 41(1)59-87

Gonzaacutelez C A 1986 La conicidad del cipreacutes (Cupressus lusitanica M) en el departamento de Antioquia Tesis Jng For Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 77 p

Gonzaacutelez C A 1983 Descripcioacuten del perfil de los aacuterboles utilizando la aproximacioacuten Spline cuacutebica Medelliacuten Universidad Nacional de Coshylombia 57 p

Gonzaacute ~ez H 1983 Cuantificacioacuten y calificacioacuten de la conicidad del cipreacutes (Cupressus lusilanica M ) Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 101 p

Gray H R 1956 The form and taper or forestmiddottree stems lnstitute Paper Commonwal th Fores try Jnsti tu te (Oxford) 32 1-80

Kotse J J 1960 The management of pine stands for pulwood Journal South African Forest Association (Pretoria) 353-9

Larson P R 1963 Stem form of forest trees Forest Science (Washington) Monograph 5 42 p

Liu C J 1980 Log volumen stimatian with Spline aproximation Forest Science (Washington) 26 (3)361 -369

60 -r

REVISTA FACULTAD NAL DE AGRONOMIA MEDELLIN Vol XLI N9 1 1988

RENDIMIENTO y CREOIMIENTO DEL CEREZO (Alnus orullensis) EN LA REGIO N CENTRAL

ANDINA COLOMBIA

JORGE IGNACIO DEl VALLE ARANGO HUBERTO GONZALEZ PEREZ

RESUMEN

Se establecieran 77 parcelas permanentes en plantaciones de cereza (Alnus jorullensis HB K ) distribuidas en rangas de edad calidad de sitio posicioacuten auitudinal y lacalidad presentes en la regioacuten Central Andina en Colombia Se determinaron ecuashyciones de conicidad de volumen derivMas y ecuaciones de voshylumen directas con base en mediciones de aacuterboles apeadas dt las distintas posicianes fitosacioloacutegicas Se definieron iacutendices de sitio en funcioacuten de la altura de daminantes se determinaran madelos matemaacuteticas que expresan el crecimiento de la aUura de dominantes la altura pramedio el diaacutemetro pramedia cuashydraacutetico el aacuterea basal y el valumen con carteza en funcioacuten de la edad iacutendices de sitio y la densidad de la plOJltacioacuten Can esta base se derivaran ecuacianes que penniten pranosticar el camshyportamiento del rodal despueacutes de apravechamientas intermedias

Palabras claves Crecimiento rendimiento Alnus jorullenshysis iacutendices de sitio canicidad ecuaGIacuteanes de valumen meacutetodos expliacutecitos

ABSTRACT

GROWTH AND YIELD OF CEREZO (Alnus jorullensis) IN THE ANDEAN CENTRAL REGlaN COLOMBIA

Seventy-seven permanent plats were established in Alnus jorullensis planJa-tians distribuled aver a wide range aj ages

Profesores titular y asociado respectivamente Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Agropecuarias Medelliacuten Apartado aeacutereo 568

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of several factors related with the species and the stand Some of those factors are anaiyzed in this paper in conjunction with the use of the spline cubic technique for describing the species profile and the volume calculation for the individlUUacute trees

Starting from the spline cubic equations it is described a methodology for finding the volume equations and additionally it is proposed a simple tape model derived from the relation between the geometry of lhe excurrent trees and the tape changes along the log

Experimental resuUs are presented mainiy with data collee-shyled from cypres stands (Cupressus lusitanica) a specie of great importance for the plantation prograrns of the arulean region of Colombia

Key words Taper spLine cubic volume calculation cypress fre e ClIpres-us lll si tanica

INTRODUCCION

El concepto de conicidad hace referencia a la cuantificacioacuten del hecho evidente de la disminucioacuten del diaacutemetro del fuste desue la base hasta el aacutepice del aacuterbol En este sentido la conicidad se puede cuantificar y caljficar a partir de la determinacioacuten de la tasa de conicidad definida como la tasa de variacioacuten del diaacutemetro por unidad de longitud entre dos puntos del fuste o por medio de la relacioacuten entre los di aacutemetros entre esos mismos puntos o se puede describir a traveacutes de modelos matemaacuteticos que definen el diaacutemetro en cualquier punto del fu ste como una funcioacuten de la distancia desde ese punto hasta la base

Aunque las teoriacuteas que intentan explicar las causas de la conicidad de los aacuterboles se encuentran en un estado relativamente incipiente de desarrollo todas las que se han planteado reconocen que existen factores del aacuterbol y del rodal que producen variaciones significativas de la conicidad La identificacioacuten y evaluacioacuten del efecto de estos factores reviste una marcada importancia en el disentildeo de sistemas silviculturales

Por otro lado la descripcioacuten matemaacutetica de la conicidad de los aacuterboles constituye una valiosa herramienta tanto para ei mashynejo como para la valoracioacuten de bosques ya que permite la derishyvacioacuten de ecuaciones de volumen aplicables a diferentes niveles de utilizacioacuten

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En este trabajo se abordan estos temas haciendo especial eacutenfasis en el comportamiento de la conicidad del cipreacutes (Cupressus lusitanica) una especie que ha sido ampliamente utilizada en programas de reforestacioacuten en la regioacuten central andina de Coshylombia Ademaacutes se propone un modelo simple de conicidad que ha dado resultados altamente satisfactorios para describir el feshynoacutemeno

FACTORES ASOCIADOS CON LA CONICIDAD

Las causas de la tendencia general de disminucioacuten del diaacuteshymetro a medida que aumenta la distancia desde el suelo a lo largo del fuste del aacuterbol en pie han sido estudiadas por numerosos inshyvestigadores y se han propuesto y sustentado algunas teorIacuterul al respecto

Las teoriacuteas mecaacutenicas intentan explicar la conicidad de los aacuterboles como el resultado de los esfuerzos internos y externos a que estaacute sometido el fuste Metzger citado por Gray (1956) reconoce dos fuerzas mecaacutenicas que afectan la conformacioacuten del fuste una fuerza vertical ejercida por el peso mismo del fuste del follaje del agua lluvia etc y una fuerza horizontal ejercida sobre el fuste por el viento

Aunque se reconoce en teacuterminos generales la validez de los planteamientos baacutesicos de las teoriacuteas mecaacutenicas tambieacuten se acepta que las causas baacutesicas de tal comportamiento son de origen fisioshyloacutegico La teoriacutea fisioloacutegica de maacutes amplia aceptacioacuten es la teoriacutea de conduccioacuten de Jaccard

La hipoacutetesis de J accard descrita por Gray (1956) consiste en la afirmacioacuten de que el fuste de un aacuterbol es un tubo de capashycidad de conduccioacuten uniforme Esto implica que el aacuterea de la seccioacuten de los tejidos de conduccioacuten en cualquier parte del fuste libre de ramas es igual por ejemplo al aacuterea agregada por los tejidos de conduccioacuten en el punto de confluencia de ramas vivas asumiendo que los tubos de los tejidos de conduccioacuten se comportan como pequentildeos tubos capilares es de esperarse que cuando los elementos de conduccioacuten estaacuten inclinados la tasa de conduccioacuten es maacutes baja y por 10 tanto se requiere un aacuterea maacutes grande de los tejidos de conduccioacuten Jaccard sugiere que eacutesta es la razoacuten por la cual se presentan ensanchamientos en la intercepcioacuten de las ramas con el fuste y especialmente en la parte baja del fuste en

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donde es frecuente encontrar ensanchamientos anormales no exshyplicables por teoriacuteas mecaacutenicas

Existen muchas evidencias que apoyan tanto las teoriacuteas meshycaacutenicas como las fisioloacutegicas pero aunque todos los hechos no puedan ser explicados por una uacutenica teoriacutea parece existir un reconocimiento general acerca de que la forma del fuste es afecshytada por factores del aacuterbol y del rodal Estos factores provocan variaciones tanto en los esfuerzos a que estaacute sometido el aacuterboi como en las condiciones fisiooacutegicas del crecimiento y desarrollo del fuste lo cual deberiacutea manifestarse en variaciones en la forma y conicidad de los aacuterboles

El estado incipiente de desarrOllo de las teoriacuteas que tratan de explicar las causas de la variacioacuten de la conicidad de los aacutershyboles trae como consecuencia el que los factores que maacutes afectan tal caracteriacutestica no hayan sido muy precisamente identificados ni mucho menos explicado razonablemente bien su efecto

En relacioacuten con los factores del aacuterbol tanto el tamantildeo como la posicioacuten socioloacutegica de los individuos han demostrado resultashydos consistentemente ajustados a los planteamientos teoacutericos Las investigaciones experimentales de Gmzaacutelez (1983a) y Gonzaacutelez (1986) muestran que en el caso del cipreacutes tanto los aacuterboles maacutes grandes (de mayor diaacutemetro) como los aacuterboles dominantes preshysentan las mayores tasas de conicidad En estas investigaciones la longitud de la copa afectoacute positivamente la tasa de conicidad y estuvo altamente correlacionada con la posicioacuten socioloacutegica sin que pudiera aislarse el efecto de estos dos factores del de su interaccioacuten Con respecto a la longitud de la copa Larson (1983) anota que numerosos investigadores estaacuten de acuerdo en que las podas producen una redistribucioacuten en el crecimiento diameacutetrico de tal manera que se disminuye la conicidad del fuste lo que parece ser un resultado derivado del efecto de la longitud de la copa sobre la tasa de conicidad

Entre los factores del rodal los que han sido maacutes ampliashymente estudiados son la densidad del rodal y la calidad del sitio Kotze (1960) lo mismo que otros autores opina que los aacuterboles llegan a ser maacutes ciliacutendricos cuando se aumenta la densidad del rodal y cuando decrece la longitud de la copa lo cual estaacute de acuerdo con las teoriacuteas mecaacutenicas De otra parte Larson (1983) opina que la distribucioacuten relativa del crecimiento del diaacutemetro a traveacutes del fuste tambieacuten variacutea ampliamente con la calidad del sitio En los sitios buenos el crecimiento se concentra en la parte

superior de la copa mientras que en los sitios pobres el crecishymiento tiende a distribuirse maacutes uniformemente a 10 largo del fuste En los trabajos de Gonzaacutelez (1983a) y Gonzaacutelez (1986) la densidad expresada con base en el nuacutemero de aacuterboles afectoacute negativamente la conicidad del cipreacutes aunque el efecto fue soacutelo significativo en teacuterminos estadiacutesticos la calidad de sitio no mosshytroacute efectos significativos sobre la conicidad sin embargo el efect de este factor podriacutea estar siendo enmascarado por la influencia de la densidad ya que en estas investigaciones la gran mayor iacutea de las muestras presentaban valore~ muy altos para este factor

Aunque cOmo parece razonable se deben esperar f uertes iexclJshyteracciones entre los diferentes f actores que afectan la conicidad Gonzaacutelez (1986) no encontroacute interaccioacuten significativa ni entre los factores posicioacuten socioloacutegica y edad ni entre la longitud de la copa y el tamantildeo de aacuterbol en el caso del cipreacutes

DESCRIPCION DEL PERFIL INDIVIDUAL

En manejo de bosques generalmente se necesita la cubicacioacuten de fustes de aacuterboles muestra para el efecto el fuste se divide en trozas y eacutestas se cubican- mediante la medicioacuten de los diaacutemetros requeridos por los modelos de volumen a emplear (Huber SmashyIian Newton etc)

Recientemente Liu (1980) intr0dujo la metodologiacutea de las funciones spline cuacutebicas para la descripcioacuten del perfil de los aacutershyboles y la determinacioacuten del vo~umen La aproximacioacuten spline es una forma de interpolacioacuten por una clase de funciones coordinashydas las cuales deben ser descritas como un conjunto de segmenshytos polinoacutemicos cuacutebicos con uniones suaves En lugar de ajustar una funcioacuten dada f(x) en un intervalo [a b] (el fuste) este intervalo se puede dividir en n subintervalos (trozas) y aproximar f (x) por un polinomio diferente en cada subintervalo La funcioacuten de aproximacioacuten g (x) es una spline cuacutebica si se cumple que

- En cada subintervalo la funcioacuten g (x) debe ser un polinoshymio de maacuteximo grado tres

g(x) debe coincidir con f (x) en cada uno de los liacutemites de los subintervalos

- La primera derivada g (x) y la segunda g (x) deben ser continuas en el intervalo

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donde es frecuente encontrar ensanchamientos anormales no exshyplicables por teoriacuteas mecaacutenicas

Existen muchas evidencias que apoyan tanto las teoriacuteas meshy

superior de la copa mientras que en los sitios pobres el crecishymiento tiende a distribuirse maacutes uniformemente a lo largo del fuste En los trabajos de Gonzaacutelez (1983a) y Gonzaacutelez (1986) l~

middotmiddot 1 di

1

l

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caacutenicas como las fisioloacutegicas pero aunque todos los hechos no puedan ser explicados por una uacutenica teoriacutea parece existir un reconocimiento general acerca de que la forma del fuste es afecshytada por factores dei aacuterbol y del rodal Estos factores provocan variaciones tanto en los esfuerzos a que estaacute sometido el aacuterbol como en las condiciones fisiooacutegicas del crecimiento y desarrollo del fuste lo cual deberiacutea manifestarse en variaciones en la forma y conicidad el Jos aacuterboles

E-I estado incipiente de desarrodo de las teoriacutecs que tratan de explicar las causas de la variacioacute de la conicidad de los aacutershyboles trae como consecuencia el que los factores que maacutes afectan tal caracteriacutestica no hayan sido muy precisamente identificados ni mucho menos explicado razonablemente bien su efecto

En relacioacuten con los factores del aacuterbol tanto el tamantildeo como la posicioacuten socioloacutegica de los individuos han demostrado resultashydos consistentemente ajustados a los planteamientos teoacutericos Las investigaciones experimentales de Gonzaacutelez (1983a) y Gonzaacutelez (1986) muestran que en el caso del cipreacutes tanto los aacuterboles maacutes grandes (de mayor diaacutemetro) como los aacuterboles dominantes preshysentan las mayores tasas de conicidad En estas investigaciones la longitud de la copa afectoacute positivamente la tasa de conicidad y estuvo altamente correlacionada con la posicioacuten socioloacutegica sin que pudiera aislarse el efecto de estos dos factores del de su interaccioacuten Con respecto a la longitud de la copa Larson (1983) anota que numerosos investigadores estaacuten de acuerdo en que las podas producen una redistribucioacuten en el crecimiento diameacutetrico de tal manera que se disminuye la conicidad del fuste lo que parece ser un resultado derivado del efecto de la longitud de la copa sobre la tasa de conicidad

Entre los factores del rodal los que han sido maacutes ampliashymente estudiados son la densidad del rodal y la calidad del sitio Kotze (1960) lo mismo que otros autores opina que los aacuterboles llegan a ser maacutes ciliacutendricos cuando se aumenta la densidad del rodal y cuando decrece la longitud de la copa 10 cual estaacute de acuerdo con las teoriacuteas mecaacutenicas De otra parte Larson (1983) opina que la distribucioacuten relativa del crecimiento del diaacutemetro a traveacutes del fuste tambieacuten variacutea ampliamente con la calidad del sitio En los sitios buenos el crecimiento se concentra en la parte

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densidad expresada con base en el nuacutemero de aacuterboles afe~to

negativamente la conicidad del cipreacutes aunque el efe~t fue solo significativo en teacuterminos estadiacutesticos la cahdad de SItIO no mosshytroacute efectos significativos sobre la conicidad sin embarg~ el efec~o de este factor podriacutea estar siendo enmascarado por la mfluenca de la densidad ya que en estas investigaciones la gran may01la de las muestras presentaban valores muy altos para este factor

Aunque como parece razonab~ s deben esperar fuer~e~ in shyteracciones entre los diferentes factores qlle afectan la cODIcldad Gonzaacutelez (1986) no encontroacute interaccioacuten significativa ni entre Jos factores posicioacuten socioloacutegica y edad ni entre la longItud de la copa y el tamantildeo del aacuterbol en el caso del cipreacutes

DESCRIPCION DEL PERFIL INDIVIDUAL

En manejo de bosques generalmente se necesita la cubicacioacuten de fustes de aacuterboles muestra para el efecto el fuste se divide en trozas y eacutestas se cubican mediante la medicioacuten de los diaacutemetros requeridos por los modelos de volumen a emplear (Huber Smashylian NewtOn etc)

Recientemente Liu (1980) intr0dujo la metodologiacutea de las funciones spline cuacutebicas para la descripcioacuten del perfil de los aacutershyboles y la determinacioacuten del vo~umen La aproximacioacuten spline es una forma de interpolacioacuten por una clase de funciones coordinashydas las cuales deben ser descritas como un conjunto de segmenshytos polinoacutemicos cuacutebicos con uniones suaves En lugar de ajustar una funcioacuten dada f(x) en un intervalo [a b] (el fuste) este intervalo se puede dividir en n subintervalos ~trozas) y aproxin~r f(x) por un polinomio diferente en cada submtervalo La funclOn de aproximacioacuten g (x) es una spline cuacutebica si se cumple que

- En cada subintervalo la funcioacuten g (x) debe ser un polinoshymio de maacuteximo grado tres

g (x) debe coincidir con f (x) en cada uno de los liacutemites de los subintervalos

- La primera derivada g (x) y la segunda g (x) deben ser continuas en el intervalo

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Gonzaacutelez (1983) describe un sistema para la determinacioacuten de los coeficientes de los polinomios y anota coacutemo el sistema poshysee una solucioacuten uacutenica

Una vez determinados los coeficientes de los polinomios parshyticulares para las diferentes secciones de cada aacuterbol y asumiendo que cada seccioacuten es circular el volumen entre cualesquiera dos puntos del aacuterbol se calcula como

XJ V = 1T f (g(xraquo)2 dx

XI

La funcioacuten spline cuacutebica g (x) representa la curva que desshycribe el perfil de cada aacuterbol

Este sistema de cubicacioacuten es faacutecil de sistematizar en un programa para computadoras tal como el programa denominado interpolacioacuten cuacutebica segmentada elaborado por Arango y desshycrito por Gonzaacutelez (1983)

MODELOS DE CONICIDAD Y DE VOLUMEN

La spline cuacutebica relativa promedio

Con la metodologiacutea de las spline cuacutebicas es posible describir el perfil del fuste de un aacuterbol especiacutefico y calcular su volumen muy exactamente sin embargo esta metodologiacutea requiere la meshydicioacuten de radios a lo largo del fuste lo que en la praacutectica soacutelo se puede hacer para una muestra de aacuterboles representativa de una poblacioacuten de referencia

Gonzaacutelez (1983) describe y apiica una metodologiacutea la cual permite derivar una ecuacioacuten de volumen a partir de la aplicacioacuten de la teacutecnica de las spline cuacutebicas A grandes rasgos esta metoshydologiacutea incluye los siguientes pasos

A los fustes muestra se les mide su diaacutemetro en las mismas posiciones relativas a la longitud total del fuste A partir de los diaacutemetros medios se determinan los radios correspondientes y eacutestos se hacen proporcionales al radio a la altura del pecho (los resultados son los mismos si los caacutelculos se hacen a partir de los diaacutemetros y no de los radios)

Comunicacioacuten personaI

En cada una de las pOSICIOnes relativas a la longitud total del fuste se determina el radio relativo promedio (la media arit shymeacutetica de los radios relativos en cada posicioacuten) A traveacutes de estos puntos posicioacuten relativa y radio relativo promedio se aproxima una funcioacuten spline cuacutebica El volumen generado por esta funcioacuten constituye un coeficiente de forma promedio (K) para la poblashycioacuten de fustes en estudio con el cual se puede estimar el volumen del fuste del aacuterbol en pie asiacute

V = KR2L (1)

en donde

V = volumen del fuste (m3 )

R = radio base de proporcionalidad o radio a la altura del peshycho (m)

L = longitud del fuste (m)

La aplicacioacuten de esta metodologiacutea en los pocos casos en que se ha utilizado ha dado resultados altamente satisfactorios tanto en 10 concerniente a la facilidad para su elaboracioacuten como al alto grado de ajuste mostrado por las ecuaciones En la Tabla 1 se presentan algunos de los resultados obtenidos

TABLA 1

ALGUNAS ESTIMACIONES DEL COEFICIENTE DE FORMA PROMEDIO Y NIVELES DE AJUSTE DE LA ECUACION DE

VOLUMEN UTILIZANDO EL MODELO (1)

Especie K RZ Fuente

Cipreacutes Pinus oocarpa Pinus kesiya

14758 156376 160560

0976 0955 0956

Gonzaacutelez (1986) Cartoacuten de Colombia Cartoacuten de Colombia

(1986) (1986)

Los principales inconvenientes de esta metodologiacutea se reshyfieren a las dificultades actuales para analizar estadiacutesticamente las funciones lo mismo que para a partir de la informacioacuten baacuteshysica generar ecuaciones de volumen comercial para diferentes niveles de utilizacioacuten

Un modelo de conicidad

Numerosos modelos matemaacuteticos han sido propuestos para

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Gonzaacutelez (1983) describe un sistema para la determinacioacuten de los coeficientes de los polinomios y anota coacutemo el sistema poshysee una solucioacuten uacutenica

Una vez determinados los coeficientes de los polinomios parshyticulares para las diferentes secciones de cada aacuterbol y asumiendo que cada seccioacuten es circular el volumen entre cualesquiera dos puntos del aacuterbol se calcula como

XJ V = 1T J (g(xraquo)2 dx

XI

La funcioacuten spline cuacutebica g(x) representa la curva que desshycribe el perfil de cada aacuterbol

Este sistema de cubicacioacuten es faacutecil de sistematizar en un programa para computadoras tal como el programa denominado interpolacioacuten cuacutebica segmentada elaborado por Arango y desshycri to por Gonzaacutelez (1983)

MODELOS DE CONICIDAD Y DE VOLUMEN

La spline cuacutebica relativa promedio

Con la metodologiacutea de las spline cuacutebicas es posible describir el perfil del fuste de un aacuterbol especiacutefico y calcular su volumen muy exactamente sin embargo esta metodologiacutea requiere la meshydicioacuten de radios a lo largo del fuste lo que en la praacutectica soacutelo se puede hacer para una muestra de aacuterboles representativa de una poblacioacuten de referencia

Gonzaacutelez (1983) describe y aplica una metodologiacutea la cual permite derivar una ecuacioacuten de volumen a partir de la aplicacioacuten de la teacutecnica de las spline cuacutebicas A grandes rasgos esta metoshydologiacutea incluye los siguientes pasos

A los fustes muestra se les mide su diaacutemetro en las mismas posiciones relativas a la longitud total del fuste A partir de los diaacutemetros medios se determinan los radios correspondientes y eacutestos se hacen proporcionales al radio a la altura del pecho (los resultados son los mismos si los caacutelculos se hacen a partir de los diaacutemetros y no de los radios)

k Comunicacioacuten personal

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lEn cada una de las pOSICIOnes relativas a la longitud totai del fuste se determina el radio relativo promedio (la media arit shymeacutetica de los radios relativos en cada posicioacuten) A traveacutes de estos puntos posicioacuten relativa y radio relativo promedio se aproxima una funcioacuten spline cuacutebica E-I volumen generado por esta funcioacuten constituye un coeficiente de forma promedio (K) para la poblashycioacuten de fustes en estudio con el cual se puede estimar el volumen del fuste del aacuterbol en pie asiacute

(1 )

en donde

V = volumen del fuste (m3 )

R = radio base de proporcionalidad o radio a la altura del peshycho (m)

L = longitud del fuste (m)

La aplicacioacuten de esta metodologiacutea en los pocos casos en que se ha utilizado ha dado resultados altamente satisfactorios tanto en 10 concerniente a la facilidad para su elaboracioacuten como al alto grado de ajuste mostrado por las ecuaciones En la Tabla 1 se presentan algunos de los resultados obtenidos

TABLA 1

ALGUNAS ESTIMACIONES DEL COEFICIENTE DE FORMA PROMEDIO Y NIVELES DE AJUSTE DE LA ECUACION DE

VOLUMEN UTILIZANDO EL MODELO (1)

Especie K Fuente

Cipreacutes 14758 0976 Gonzaacutelez (1986) Pinus oocarpa 156376 0955 Cartoacuten de Colombia (1986) Pinus kesiya 160amp60 0956 Cartoacuten de Colombia (1986)

Los principales inconvenientes de esta metodologiacutea se reshyfieren a las dificultades actuales para analizar estadiacutesticamente las funciones lo mismo que para a partir de la informacioacuten baacuteshysica generar ecuaciones de volumen comercial para diferentes niveles de utilizacioacuten

Un modelo de conicidad

Numerosos modelos matemaacuteticos han sido propuestos para

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describir la conicidad de aacuterboles de forma tiacutepicamente excurreTIshyte tales modelos variacutean desde formas muy simples hasta polishynomios compejos de alto grado La mayor complejidad de los modelos posibilitada por los avances en los sistemas de coacutempushytos no ha dado como resultado una completa solucioacuten al probleshyma de describir la conicidad del fuste pero siacute ha conducido a modelos de vo~umen en ocaiexcliones tan complejos que dificultan su utilizacioacuten en la praacutectica

En este trabajo se propone un modelo de conicidad simple deducido de interpretaciones geomeacutetricas del comportamiento de la conicidad de aacuterboles tiacutepicamente excurrentes

El diaacutemetro en cualquier punto por debajo del aacutepice depende fundamentalmente de la distancia desde ese punto hasta el aacutepice (1) es decir

d = F (1)

l es simplemente la diferencia entre H (la longitud total del fuste) y h la longitud desde el suelo hasta el punto de medicioacuten

1 = H-h

Si la variable 1 se divide por H la nueva variable indica la posicioacuten reativa del punto con respecto a la longitud total

H-h 1-h H

H H La hipoacutetesis que se plantea afirma que el diaacutemetro en cualshy

quier punto es una funcioacuten del producto de un diaacutemetro base de refer ~ ncia (D) y de la variable que indica la posicioacuten- relativa del punto es decir

d = k1 [(D) (1- hH)]

En este modelo se tiene que si h es igual a H (el aacutepice) d es cero Y si h =0 (la base) d = KD por lo cual en general k debe ser mayor o igual a 1 dependiendo del diaacutemetro base de referencia y de la tasa de conicidad del aacuterbol

Si la variable se divide por H - 13 operacioacuten razonable en el caso en el que el diaacutemetro base de referencia D sea el diaacutemetro eacutel ]a altura del pecho (DAP) entonces

d = k1 (DAP(H-h) (H-13raquo

Con el fin de ajustar el modelo haciendo uso de las teacutecnicas de regresioacuten eacuteste se puede plantear

d = a + (J [D (1 - hH) ] De esta manera el modelo ha sido ajustado a diferentes ba middot

ses de datos obtenieacutendose resultados satisfactorios asiacute

TABLA 2 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL MODELO DE

CONICIDAD PRUumlPUESTA

A A

Poblacioacuten referencia a= a (J=b R2 Fuente

Cipreacutes (P Blancas) 067735 106748 09605 Gonzaacutelez (1983a)

Cipreacutes (Antioquia) 043578 114229 09472 Gonzaacutelez (1986)

Pinus oocarpa 160619 108101 0988 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Pinus kesiya 148397 109229 0971 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Cerezo (A lnus 1middot0rulle nsis ) 001569 109998 0949 Del Valle y

Gonzaacutelez (1988)

La principal utilidad praacutectica de los modelos de conicidad resuta del hecho de que la integral de la ecuacioacuten de conicidad entre cualesquiera dos puntos a lo largo del fuste es numeacutericashymente igual al volumen del soacutelido de revolucioacuten obtenido por roshytacioacuten de tal funcioacuten alrededor del eje de las abscisas y por lo tanto aproximadamente igual al volumen del fuste entre tales puntos

_ ~Jh1 - - 1

_ dV = 7T 4 J (d(hraquo2dh ~ -J ~ oho -J ~ ltJ b

Para el caso del modelo que se propone y teniendo en cuentan v ~ Z las unidades de medicioacuten diaacutemetro en centiacutemetros y longitud en~ ~ ~ metros la expresioacuten para el volumen (m3 ) es ~ ~ ~ ~ OI--ampL

h2 -n (- 1 tlt - ()

V = 7T 40000 [h (a2 + 2abD + b2D2) H

(abD) 9 2 ~ h3 ~ ~trj gb2D2 - oh1

Tj ~+ b2D2 + _ ] ~ ~ 3 H 2 ho

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describir la conicidad de aacuterboles de forma tiacutepicam nte excu r r enshyte tales modelos variacutean desde formas muy simples hasta poli shynomios compejos de alto grado La mayor complejidad de los model s posibilitada por los avances en los ifltemas de coacutempushytos no ha dado como resultado una completa solucioacuten al probleshyma de describir la conicidad del fuste pero siacute ha conducido a modelos de voumen en ocasiones tan complejos que dificultan su utilizacioacuten en la praacutecti a

En este t ra ba jo se propone un modelo de conicidad simple deducido de interpretaciones geomeacutetricas de) comportamiento de la conicidad (le aacuterbo) e~ t iacutepicamente excurrentes

E l diaacutem tro en cUeacutedquier punto por debajo dei aacutepice depende fundamentalmente de 11l distancia desde ese punto hasta el aacutepice (1) es decir

d = F (1)

l es simplemente la diferencia entre H (la longitud total del fuste) y h la longitud desde el suelo hasta el punto de medicioacuten

1 = H-h

Si la variable l se divide por H )a nueva variable indica la posicioacuten reativa del punto Con respecto a la longitud total

H-h - = = l-hH H H

La hipoacutetesis que se plantea afirma que el diaacutemetro en cualshyLiuier punto es una funcioacuten del producto de un diaacutemetro base de refer ncia (D) y de la variable que indica la posicioacuteuacute relativa del punto es decir

d=k1 [(D)(l-hH)]

En este modelo se tiene que si h es igual a H (el aacutepice) d es cero Y si h = deg (la base) d = KD por lo cual en general k debe ser mayor o igual a 1 dependiendo del diaacutemetro base de referencia y de la tasa de conicidad del aacuterbol

Si la variable se divide por H - 13 operacioacuten razonable en el caso en el que el diaacutemetro base de referencia D sea el diaacutemetro a )a altura del pecho (DAP) entonces

d = k[ (DAP(H-h) (H-l3raquo

Con el fin de ajustar el modelo haciendo uso de las teacutecnicas de regresioacuten eacuteste se puede plantear

58

d = a + (3 [D (1 - hH)] De esta manera el modelo ha sido ajustado a diferentes bashy

ses de datos obtenieacutendose resultados satisfactorios asiacute

TABLA 2 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL MODELO DE

CONICIDAD PROPUESTA

J J

Poblacioacuten referencia a=a f3 = b R2 Fuente

Cipreacutes (P Blancas) 067735 106748 09605 Gonzaacutelez (1983a)

Cipreacutes (Antioquia) 043578 114229 09472 Gonzaacutelez (1986)

Pinus oocarpa 160619 108101 0988 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Pinus kesiya 148397 109229 0971 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Cerezo (Alnus iorullensis) 001S69 109998 0949 Del Valle y

Gonzaacutelez (1988)

La principal utilidad praacutectica de los modelos de conicidad resuita del hecho de que la integral de la ecuacioacuten de conicidad entre cualesquiera dos puntos a lo largo del fuste es numeacutericashymente igual al volumen del soacutelido de revolucioacuten obtenido por roshytacioacuten de tal funcioacuten alrededor del eje de las abscisas y por lo tanto aproximadamente igual al volumen del fuste entre tales puntos

h1 d ~~ -cJV == ~4 f (d(hraquo2dh ~ ~

ho -iexcl O 1

Para el caso del modelo que se propone y teniendo en cuentaQ Q

~ ~ - ~

t

ordf Z las unidades de medicioacuten diaacutemetro en centiacutemetros y longitud en bJ ~ metros la expresioacuten para el volumen (mS ) es ~ ifjj

h2 (T1 Ii --lt t1

V = ~40000 [h (a2 + 2abD + b2D2) (ab D) CJ Q ~ b2D2 h 1

H ~ Q I~+ b2D2 +

h_

3

---] 10

J 3 H2 ho

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Si se hace ho = O Y h I H la expresioacuten se reduce a

v = 7T 40000 (H) (a2 + abD + b2D2 3)

Y corresponde a una estimacioacuten del volumen total del fuste

BIBLJOGRAFIA

Cartoacuten de Colombia S A 1986 lndices de sitio y funciones de produccioacuten de Pinus oocarpa y Pinus kesiya en los departamentos del Valle y Cauca Colombia Medelliacuten 106 p

Del Valle J 1 Gonzaacutelez H 1988 Rendimiento y crecimiento del cerezo Alnus jorullensis) en la regioacuten central andina Colombia Revista Facultad Nacional de Agronomiacutea (Medelliacuten) 41(1)59-87

Gonzaacutelez C A 1986 La conicidad del cipreacutes (Cupressus lusitanica M) en el departamento de Antioquia Tesis Jng For Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 77 p

Gonzaacutelez C A 1983 Descripcioacuten del perfil de los aacuterboles utilizando la aproximacioacuten Spline cuacutebica Medelliacuten Universidad Nacional de Coshylombia 57 p

Gonzaacute ~ez H 1983 Cuantificacioacuten y calificacioacuten de la conicidad del cipreacutes (Cupressus lusilanica M ) Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 101 p

Gray H R 1956 The form and taper or forestmiddottree stems lnstitute Paper Commonwal th Fores try Jnsti tu te (Oxford) 32 1-80

Kotse J J 1960 The management of pine stands for pulwood Journal South African Forest Association (Pretoria) 353-9

Larson P R 1963 Stem form of forest trees Forest Science (Washington) Monograph 5 42 p

Liu C J 1980 Log volumen stimatian with Spline aproximation Forest Science (Washington) 26 (3)361 -369

60 -r

REVISTA FACULTAD NAL DE AGRONOMIA MEDELLIN Vol XLI N9 1 1988

RENDIMIENTO y CREOIMIENTO DEL CEREZO (Alnus orullensis) EN LA REGIO N CENTRAL

ANDINA COLOMBIA

JORGE IGNACIO DEl VALLE ARANGO HUBERTO GONZALEZ PEREZ

RESUMEN

Se establecieran 77 parcelas permanentes en plantaciones de cereza (Alnus jorullensis HB K ) distribuidas en rangas de edad calidad de sitio posicioacuten auitudinal y lacalidad presentes en la regioacuten Central Andina en Colombia Se determinaron ecuashyciones de conicidad de volumen derivMas y ecuaciones de voshylumen directas con base en mediciones de aacuterboles apeadas dt las distintas posicianes fitosacioloacutegicas Se definieron iacutendices de sitio en funcioacuten de la altura de daminantes se determinaran madelos matemaacuteticas que expresan el crecimiento de la aUura de dominantes la altura pramedio el diaacutemetro pramedia cuashydraacutetico el aacuterea basal y el valumen con carteza en funcioacuten de la edad iacutendices de sitio y la densidad de la plOJltacioacuten Can esta base se derivaran ecuacianes que penniten pranosticar el camshyportamiento del rodal despueacutes de apravechamientas intermedias

Palabras claves Crecimiento rendimiento Alnus jorullenshysis iacutendices de sitio canicidad ecuaGIacuteanes de valumen meacutetodos expliacutecitos

ABSTRACT

GROWTH AND YIELD OF CEREZO (Alnus jorullensis) IN THE ANDEAN CENTRAL REGlaN COLOMBIA

Seventy-seven permanent plats were established in Alnus jorullensis planJa-tians distribuled aver a wide range aj ages

Profesores titular y asociado respectivamente Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Agropecuarias Medelliacuten Apartado aeacutereo 568

61

54

donde es frecuente encontrar ensanchamientos anormales no exshyplicables por teoriacuteas mecaacutenicas

Existen muchas evidencias que apoyan tanto las teoriacuteas meshycaacutenicas como las fisioloacutegicas pero aunque todos los hechos no puedan ser explicados por una uacutenica teoriacutea parece existir un reconocimiento general acerca de que la forma del fuste es afecshytada por factores del aacuterbol y del rodal Estos factores provocan variaciones tanto en los esfuerzos a que estaacute sometido el aacuterboi como en las condiciones fisiooacutegicas del crecimiento y desarrollo del fuste lo cual deberiacutea manifestarse en variaciones en la forma y conicidad de los aacuterboles

El estado incipiente de desarrOllo de las teoriacuteas que tratan de explicar las causas de la variacioacuten de la conicidad de los aacutershyboles trae como consecuencia el que los factores que maacutes afectan tal caracteriacutestica no hayan sido muy precisamente identificados ni mucho menos explicado razonablemente bien su efecto

En relacioacuten con los factores del aacuterbol tanto el tamantildeo como la posicioacuten socioloacutegica de los individuos han demostrado resultashydos consistentemente ajustados a los planteamientos teoacutericos Las investigaciones experimentales de Gmzaacutelez (1983a) y Gonzaacutelez (1986) muestran que en el caso del cipreacutes tanto los aacuterboles maacutes grandes (de mayor diaacutemetro) como los aacuterboles dominantes preshysentan las mayores tasas de conicidad En estas investigaciones la longitud de la copa afectoacute positivamente la tasa de conicidad y estuvo altamente correlacionada con la posicioacuten socioloacutegica sin que pudiera aislarse el efecto de estos dos factores del de su interaccioacuten Con respecto a la longitud de la copa Larson (1983) anota que numerosos investigadores estaacuten de acuerdo en que las podas producen una redistribucioacuten en el crecimiento diameacutetrico de tal manera que se disminuye la conicidad del fuste lo que parece ser un resultado derivado del efecto de la longitud de la copa sobre la tasa de conicidad

Entre los factores del rodal los que han sido maacutes ampliashymente estudiados son la densidad del rodal y la calidad del sitio Kotze (1960) lo mismo que otros autores opina que los aacuterboles llegan a ser maacutes ciliacutendricos cuando se aumenta la densidad del rodal y cuando decrece la longitud de la copa lo cual estaacute de acuerdo con las teoriacuteas mecaacutenicas De otra parte Larson (1983) opina que la distribucioacuten relativa del crecimiento del diaacutemetro a traveacutes del fuste tambieacuten variacutea ampliamente con la calidad del sitio En los sitios buenos el crecimiento se concentra en la parte

superior de la copa mientras que en los sitios pobres el crecishymiento tiende a distribuirse maacutes uniformemente a 10 largo del fuste En los trabajos de Gonzaacutelez (1983a) y Gonzaacutelez (1986) la densidad expresada con base en el nuacutemero de aacuterboles afectoacute negativamente la conicidad del cipreacutes aunque el efecto fue soacutelo significativo en teacuterminos estadiacutesticos la calidad de sitio no mosshytroacute efectos significativos sobre la conicidad sin embargo el efect de este factor podriacutea estar siendo enmascarado por la influencia de la densidad ya que en estas investigaciones la gran mayor iacutea de las muestras presentaban valore~ muy altos para este factor

Aunque cOmo parece razonable se deben esperar f uertes iexclJshyteracciones entre los diferentes f actores que afectan la conicidad Gonzaacutelez (1986) no encontroacute interaccioacuten significativa ni entre los factores posicioacuten socioloacutegica y edad ni entre la longitud de la copa y el tamantildeo de aacuterbol en el caso del cipreacutes

DESCRIPCION DEL PERFIL INDIVIDUAL

En manejo de bosques generalmente se necesita la cubicacioacuten de fustes de aacuterboles muestra para el efecto el fuste se divide en trozas y eacutestas se cubican- mediante la medicioacuten de los diaacutemetros requeridos por los modelos de volumen a emplear (Huber SmashyIian Newton etc)

Recientemente Liu (1980) intr0dujo la metodologiacutea de las funciones spline cuacutebicas para la descripcioacuten del perfil de los aacutershyboles y la determinacioacuten del vo~umen La aproximacioacuten spline es una forma de interpolacioacuten por una clase de funciones coordinashydas las cuales deben ser descritas como un conjunto de segmenshytos polinoacutemicos cuacutebicos con uniones suaves En lugar de ajustar una funcioacuten dada f(x) en un intervalo [a b] (el fuste) este intervalo se puede dividir en n subintervalos (trozas) y aproximar f (x) por un polinomio diferente en cada subintervalo La funcioacuten de aproximacioacuten g (x) es una spline cuacutebica si se cumple que

- En cada subintervalo la funcioacuten g (x) debe ser un polinoshymio de maacuteximo grado tres

g(x) debe coincidir con f (x) en cada uno de los liacutemites de los subintervalos

- La primera derivada g (x) y la segunda g (x) deben ser continuas en el intervalo

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donde es frecuente encontrar ensanchamientos anormales no exshyplicables por teoriacuteas mecaacutenicas

Existen muchas evidencias que apoyan tanto las teoriacuteas meshy

superior de la copa mientras que en los sitios pobres el crecishymiento tiende a distribuirse maacutes uniformemente a lo largo del fuste En los trabajos de Gonzaacutelez (1983a) y Gonzaacutelez (1986) l~

middotmiddot 1 di

1

l

11

caacutenicas como las fisioloacutegicas pero aunque todos los hechos no puedan ser explicados por una uacutenica teoriacutea parece existir un reconocimiento general acerca de que la forma del fuste es afecshytada por factores dei aacuterbol y del rodal Estos factores provocan variaciones tanto en los esfuerzos a que estaacute sometido el aacuterbol como en las condiciones fisiooacutegicas del crecimiento y desarrollo del fuste lo cual deberiacutea manifestarse en variaciones en la forma y conicidad el Jos aacuterboles

E-I estado incipiente de desarrodo de las teoriacutecs que tratan de explicar las causas de la variacioacute de la conicidad de los aacutershyboles trae como consecuencia el que los factores que maacutes afectan tal caracteriacutestica no hayan sido muy precisamente identificados ni mucho menos explicado razonablemente bien su efecto

En relacioacuten con los factores del aacuterbol tanto el tamantildeo como la posicioacuten socioloacutegica de los individuos han demostrado resultashydos consistentemente ajustados a los planteamientos teoacutericos Las investigaciones experimentales de Gonzaacutelez (1983a) y Gonzaacutelez (1986) muestran que en el caso del cipreacutes tanto los aacuterboles maacutes grandes (de mayor diaacutemetro) como los aacuterboles dominantes preshysentan las mayores tasas de conicidad En estas investigaciones la longitud de la copa afectoacute positivamente la tasa de conicidad y estuvo altamente correlacionada con la posicioacuten socioloacutegica sin que pudiera aislarse el efecto de estos dos factores del de su interaccioacuten Con respecto a la longitud de la copa Larson (1983) anota que numerosos investigadores estaacuten de acuerdo en que las podas producen una redistribucioacuten en el crecimiento diameacutetrico de tal manera que se disminuye la conicidad del fuste lo que parece ser un resultado derivado del efecto de la longitud de la copa sobre la tasa de conicidad

Entre los factores del rodal los que han sido maacutes ampliashymente estudiados son la densidad del rodal y la calidad del sitio Kotze (1960) lo mismo que otros autores opina que los aacuterboles llegan a ser maacutes ciliacutendricos cuando se aumenta la densidad del rodal y cuando decrece la longitud de la copa 10 cual estaacute de acuerdo con las teoriacuteas mecaacutenicas De otra parte Larson (1983) opina que la distribucioacuten relativa del crecimiento del diaacutemetro a traveacutes del fuste tambieacuten variacutea ampliamente con la calidad del sitio En los sitios buenos el crecimiento se concentra en la parte

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densidad expresada con base en el nuacutemero de aacuterboles afe~to

negativamente la conicidad del cipreacutes aunque el efe~t fue solo significativo en teacuterminos estadiacutesticos la cahdad de SItIO no mosshytroacute efectos significativos sobre la conicidad sin embarg~ el efec~o de este factor podriacutea estar siendo enmascarado por la mfluenca de la densidad ya que en estas investigaciones la gran may01la de las muestras presentaban valores muy altos para este factor

Aunque como parece razonab~ s deben esperar fuer~e~ in shyteracciones entre los diferentes factores qlle afectan la cODIcldad Gonzaacutelez (1986) no encontroacute interaccioacuten significativa ni entre Jos factores posicioacuten socioloacutegica y edad ni entre la longItud de la copa y el tamantildeo del aacuterbol en el caso del cipreacutes

DESCRIPCION DEL PERFIL INDIVIDUAL

En manejo de bosques generalmente se necesita la cubicacioacuten de fustes de aacuterboles muestra para el efecto el fuste se divide en trozas y eacutestas se cubican mediante la medicioacuten de los diaacutemetros requeridos por los modelos de volumen a emplear (Huber Smashylian NewtOn etc)

Recientemente Liu (1980) intr0dujo la metodologiacutea de las funciones spline cuacutebicas para la descripcioacuten del perfil de los aacutershyboles y la determinacioacuten del vo~umen La aproximacioacuten spline es una forma de interpolacioacuten por una clase de funciones coordinashydas las cuales deben ser descritas como un conjunto de segmenshytos polinoacutemicos cuacutebicos con uniones suaves En lugar de ajustar una funcioacuten dada f(x) en un intervalo [a b] (el fuste) este intervalo se puede dividir en n subintervalos ~trozas) y aproxin~r f(x) por un polinomio diferente en cada submtervalo La funclOn de aproximacioacuten g (x) es una spline cuacutebica si se cumple que

- En cada subintervalo la funcioacuten g (x) debe ser un polinoshymio de maacuteximo grado tres

g (x) debe coincidir con f (x) en cada uno de los liacutemites de los subintervalos

- La primera derivada g (x) y la segunda g (x) deben ser continuas en el intervalo

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Gonzaacutelez (1983) describe un sistema para la determinacioacuten de los coeficientes de los polinomios y anota coacutemo el sistema poshysee una solucioacuten uacutenica

Una vez determinados los coeficientes de los polinomios parshyticulares para las diferentes secciones de cada aacuterbol y asumiendo que cada seccioacuten es circular el volumen entre cualesquiera dos puntos del aacuterbol se calcula como

XJ V = 1T f (g(xraquo)2 dx

XI

La funcioacuten spline cuacutebica g (x) representa la curva que desshycribe el perfil de cada aacuterbol

Este sistema de cubicacioacuten es faacutecil de sistematizar en un programa para computadoras tal como el programa denominado interpolacioacuten cuacutebica segmentada elaborado por Arango y desshycrito por Gonzaacutelez (1983)

MODELOS DE CONICIDAD Y DE VOLUMEN

La spline cuacutebica relativa promedio

Con la metodologiacutea de las spline cuacutebicas es posible describir el perfil del fuste de un aacuterbol especiacutefico y calcular su volumen muy exactamente sin embargo esta metodologiacutea requiere la meshydicioacuten de radios a lo largo del fuste lo que en la praacutectica soacutelo se puede hacer para una muestra de aacuterboles representativa de una poblacioacuten de referencia

Gonzaacutelez (1983) describe y apiica una metodologiacutea la cual permite derivar una ecuacioacuten de volumen a partir de la aplicacioacuten de la teacutecnica de las spline cuacutebicas A grandes rasgos esta metoshydologiacutea incluye los siguientes pasos

A los fustes muestra se les mide su diaacutemetro en las mismas posiciones relativas a la longitud total del fuste A partir de los diaacutemetros medios se determinan los radios correspondientes y eacutestos se hacen proporcionales al radio a la altura del pecho (los resultados son los mismos si los caacutelculos se hacen a partir de los diaacutemetros y no de los radios)

Comunicacioacuten personaI

En cada una de las pOSICIOnes relativas a la longitud total del fuste se determina el radio relativo promedio (la media arit shymeacutetica de los radios relativos en cada posicioacuten) A traveacutes de estos puntos posicioacuten relativa y radio relativo promedio se aproxima una funcioacuten spline cuacutebica El volumen generado por esta funcioacuten constituye un coeficiente de forma promedio (K) para la poblashycioacuten de fustes en estudio con el cual se puede estimar el volumen del fuste del aacuterbol en pie asiacute

V = KR2L (1)

en donde

V = volumen del fuste (m3 )

R = radio base de proporcionalidad o radio a la altura del peshycho (m)

L = longitud del fuste (m)

La aplicacioacuten de esta metodologiacutea en los pocos casos en que se ha utilizado ha dado resultados altamente satisfactorios tanto en 10 concerniente a la facilidad para su elaboracioacuten como al alto grado de ajuste mostrado por las ecuaciones En la Tabla 1 se presentan algunos de los resultados obtenidos

TABLA 1

ALGUNAS ESTIMACIONES DEL COEFICIENTE DE FORMA PROMEDIO Y NIVELES DE AJUSTE DE LA ECUACION DE

VOLUMEN UTILIZANDO EL MODELO (1)

Especie K RZ Fuente

Cipreacutes Pinus oocarpa Pinus kesiya

14758 156376 160560

0976 0955 0956

Gonzaacutelez (1986) Cartoacuten de Colombia Cartoacuten de Colombia

(1986) (1986)

Los principales inconvenientes de esta metodologiacutea se reshyfieren a las dificultades actuales para analizar estadiacutesticamente las funciones lo mismo que para a partir de la informacioacuten baacuteshysica generar ecuaciones de volumen comercial para diferentes niveles de utilizacioacuten

Un modelo de conicidad

Numerosos modelos matemaacuteticos han sido propuestos para

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Gonzaacutelez (1983) describe un sistema para la determinacioacuten de los coeficientes de los polinomios y anota coacutemo el sistema poshysee una solucioacuten uacutenica

Una vez determinados los coeficientes de los polinomios parshyticulares para las diferentes secciones de cada aacuterbol y asumiendo que cada seccioacuten es circular el volumen entre cualesquiera dos puntos del aacuterbol se calcula como

XJ V = 1T J (g(xraquo)2 dx

XI

La funcioacuten spline cuacutebica g(x) representa la curva que desshycribe el perfil de cada aacuterbol

Este sistema de cubicacioacuten es faacutecil de sistematizar en un programa para computadoras tal como el programa denominado interpolacioacuten cuacutebica segmentada elaborado por Arango y desshycri to por Gonzaacutelez (1983)

MODELOS DE CONICIDAD Y DE VOLUMEN

La spline cuacutebica relativa promedio

Con la metodologiacutea de las spline cuacutebicas es posible describir el perfil del fuste de un aacuterbol especiacutefico y calcular su volumen muy exactamente sin embargo esta metodologiacutea requiere la meshydicioacuten de radios a lo largo del fuste lo que en la praacutectica soacutelo se puede hacer para una muestra de aacuterboles representativa de una poblacioacuten de referencia

Gonzaacutelez (1983) describe y aplica una metodologiacutea la cual permite derivar una ecuacioacuten de volumen a partir de la aplicacioacuten de la teacutecnica de las spline cuacutebicas A grandes rasgos esta metoshydologiacutea incluye los siguientes pasos

A los fustes muestra se les mide su diaacutemetro en las mismas posiciones relativas a la longitud total del fuste A partir de los diaacutemetros medios se determinan los radios correspondientes y eacutestos se hacen proporcionales al radio a la altura del pecho (los resultados son los mismos si los caacutelculos se hacen a partir de los diaacutemetros y no de los radios)

k Comunicacioacuten personal

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lEn cada una de las pOSICIOnes relativas a la longitud totai del fuste se determina el radio relativo promedio (la media arit shymeacutetica de los radios relativos en cada posicioacuten) A traveacutes de estos puntos posicioacuten relativa y radio relativo promedio se aproxima una funcioacuten spline cuacutebica E-I volumen generado por esta funcioacuten constituye un coeficiente de forma promedio (K) para la poblashycioacuten de fustes en estudio con el cual se puede estimar el volumen del fuste del aacuterbol en pie asiacute

(1 )

en donde

V = volumen del fuste (m3 )

R = radio base de proporcionalidad o radio a la altura del peshycho (m)

L = longitud del fuste (m)

La aplicacioacuten de esta metodologiacutea en los pocos casos en que se ha utilizado ha dado resultados altamente satisfactorios tanto en 10 concerniente a la facilidad para su elaboracioacuten como al alto grado de ajuste mostrado por las ecuaciones En la Tabla 1 se presentan algunos de los resultados obtenidos

TABLA 1

ALGUNAS ESTIMACIONES DEL COEFICIENTE DE FORMA PROMEDIO Y NIVELES DE AJUSTE DE LA ECUACION DE

VOLUMEN UTILIZANDO EL MODELO (1)

Especie K Fuente

Cipreacutes 14758 0976 Gonzaacutelez (1986) Pinus oocarpa 156376 0955 Cartoacuten de Colombia (1986) Pinus kesiya 160amp60 0956 Cartoacuten de Colombia (1986)

Los principales inconvenientes de esta metodologiacutea se reshyfieren a las dificultades actuales para analizar estadiacutesticamente las funciones lo mismo que para a partir de la informacioacuten baacuteshysica generar ecuaciones de volumen comercial para diferentes niveles de utilizacioacuten

Un modelo de conicidad

Numerosos modelos matemaacuteticos han sido propuestos para

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describir la conicidad de aacuterboles de forma tiacutepicamente excurreTIshyte tales modelos variacutean desde formas muy simples hasta polishynomios compejos de alto grado La mayor complejidad de los modelos posibilitada por los avances en los sistemas de coacutempushytos no ha dado como resultado una completa solucioacuten al probleshyma de describir la conicidad del fuste pero siacute ha conducido a modelos de vo~umen en ocaiexcliones tan complejos que dificultan su utilizacioacuten en la praacutectica

En este trabajo se propone un modelo de conicidad simple deducido de interpretaciones geomeacutetricas del comportamiento de la conicidad de aacuterboles tiacutepicamente excurrentes

El diaacutemetro en cualquier punto por debajo del aacutepice depende fundamentalmente de la distancia desde ese punto hasta el aacutepice (1) es decir

d = F (1)

l es simplemente la diferencia entre H (la longitud total del fuste) y h la longitud desde el suelo hasta el punto de medicioacuten

1 = H-h

Si la variable 1 se divide por H la nueva variable indica la posicioacuten reativa del punto con respecto a la longitud total

H-h 1-h H

H H La hipoacutetesis que se plantea afirma que el diaacutemetro en cualshy

quier punto es una funcioacuten del producto de un diaacutemetro base de refer ~ ncia (D) y de la variable que indica la posicioacuten- relativa del punto es decir

d = k1 [(D) (1- hH)]

En este modelo se tiene que si h es igual a H (el aacutepice) d es cero Y si h =0 (la base) d = KD por lo cual en general k debe ser mayor o igual a 1 dependiendo del diaacutemetro base de referencia y de la tasa de conicidad del aacuterbol

Si la variable se divide por H - 13 operacioacuten razonable en el caso en el que el diaacutemetro base de referencia D sea el diaacutemetro eacutel ]a altura del pecho (DAP) entonces

d = k1 (DAP(H-h) (H-13raquo

Con el fin de ajustar el modelo haciendo uso de las teacutecnicas de regresioacuten eacuteste se puede plantear

d = a + (J [D (1 - hH) ] De esta manera el modelo ha sido ajustado a diferentes ba middot

ses de datos obtenieacutendose resultados satisfactorios asiacute

TABLA 2 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL MODELO DE

CONICIDAD PRUumlPUESTA

A A

Poblacioacuten referencia a= a (J=b R2 Fuente

Cipreacutes (P Blancas) 067735 106748 09605 Gonzaacutelez (1983a)

Cipreacutes (Antioquia) 043578 114229 09472 Gonzaacutelez (1986)

Pinus oocarpa 160619 108101 0988 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Pinus kesiya 148397 109229 0971 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Cerezo (A lnus 1middot0rulle nsis ) 001569 109998 0949 Del Valle y

Gonzaacutelez (1988)

La principal utilidad praacutectica de los modelos de conicidad resuta del hecho de que la integral de la ecuacioacuten de conicidad entre cualesquiera dos puntos a lo largo del fuste es numeacutericashymente igual al volumen del soacutelido de revolucioacuten obtenido por roshytacioacuten de tal funcioacuten alrededor del eje de las abscisas y por lo tanto aproximadamente igual al volumen del fuste entre tales puntos

_ ~Jh1 - - 1

_ dV = 7T 4 J (d(hraquo2dh ~ -J ~ oho -J ~ ltJ b

Para el caso del modelo que se propone y teniendo en cuentan v ~ Z las unidades de medicioacuten diaacutemetro en centiacutemetros y longitud en~ ~ ~ metros la expresioacuten para el volumen (m3 ) es ~ ~ ~ ~ OI--ampL

h2 -n (- 1 tlt - ()

V = 7T 40000 [h (a2 + 2abD + b2D2) H

(abD) 9 2 ~ h3 ~ ~trj gb2D2 - oh1

Tj ~+ b2D2 + _ ] ~ ~ 3 H 2 ho

59

describir la conicidad de aacuterboles de forma tiacutepicam nte excu r r enshyte tales modelos variacutean desde formas muy simples hasta poli shynomios compejos de alto grado La mayor complejidad de los model s posibilitada por los avances en los ifltemas de coacutempushytos no ha dado como resultado una completa solucioacuten al probleshyma de describir la conicidad del fuste pero siacute ha conducido a modelos de voumen en ocasiones tan complejos que dificultan su utilizacioacuten en la praacutecti a

En este t ra ba jo se propone un modelo de conicidad simple deducido de interpretaciones geomeacutetricas de) comportamiento de la conicidad (le aacuterbo) e~ t iacutepicamente excurrentes

E l diaacutem tro en cUeacutedquier punto por debajo dei aacutepice depende fundamentalmente de 11l distancia desde ese punto hasta el aacutepice (1) es decir

d = F (1)

l es simplemente la diferencia entre H (la longitud total del fuste) y h la longitud desde el suelo hasta el punto de medicioacuten

1 = H-h

Si la variable l se divide por H )a nueva variable indica la posicioacuten reativa del punto Con respecto a la longitud total

H-h - = = l-hH H H

La hipoacutetesis que se plantea afirma que el diaacutemetro en cualshyLiuier punto es una funcioacuten del producto de un diaacutemetro base de refer ncia (D) y de la variable que indica la posicioacuteuacute relativa del punto es decir

d=k1 [(D)(l-hH)]

En este modelo se tiene que si h es igual a H (el aacutepice) d es cero Y si h = deg (la base) d = KD por lo cual en general k debe ser mayor o igual a 1 dependiendo del diaacutemetro base de referencia y de la tasa de conicidad del aacuterbol

Si la variable se divide por H - 13 operacioacuten razonable en el caso en el que el diaacutemetro base de referencia D sea el diaacutemetro a )a altura del pecho (DAP) entonces

d = k[ (DAP(H-h) (H-l3raquo

Con el fin de ajustar el modelo haciendo uso de las teacutecnicas de regresioacuten eacuteste se puede plantear

58

d = a + (3 [D (1 - hH)] De esta manera el modelo ha sido ajustado a diferentes bashy

ses de datos obtenieacutendose resultados satisfactorios asiacute

TABLA 2 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL MODELO DE

CONICIDAD PROPUESTA

J J

Poblacioacuten referencia a=a f3 = b R2 Fuente

Cipreacutes (P Blancas) 067735 106748 09605 Gonzaacutelez (1983a)

Cipreacutes (Antioquia) 043578 114229 09472 Gonzaacutelez (1986)

Pinus oocarpa 160619 108101 0988 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Pinus kesiya 148397 109229 0971 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Cerezo (Alnus iorullensis) 001S69 109998 0949 Del Valle y

Gonzaacutelez (1988)

La principal utilidad praacutectica de los modelos de conicidad resuita del hecho de que la integral de la ecuacioacuten de conicidad entre cualesquiera dos puntos a lo largo del fuste es numeacutericashymente igual al volumen del soacutelido de revolucioacuten obtenido por roshytacioacuten de tal funcioacuten alrededor del eje de las abscisas y por lo tanto aproximadamente igual al volumen del fuste entre tales puntos

h1 d ~~ -cJV == ~4 f (d(hraquo2dh ~ ~

ho -iexcl O 1

Para el caso del modelo que se propone y teniendo en cuentaQ Q

~ ~ - ~

t

ordf Z las unidades de medicioacuten diaacutemetro en centiacutemetros y longitud en bJ ~ metros la expresioacuten para el volumen (mS ) es ~ ifjj

h2 (T1 Ii --lt t1

V = ~40000 [h (a2 + 2abD + b2D2) (ab D) CJ Q ~ b2D2 h 1

H ~ Q I~+ b2D2 +

h_

3

---] 10

J 3 H2 ho

59

Si se hace ho = O Y h I H la expresioacuten se reduce a

v = 7T 40000 (H) (a2 + abD + b2D2 3)

Y corresponde a una estimacioacuten del volumen total del fuste

BIBLJOGRAFIA

Cartoacuten de Colombia S A 1986 lndices de sitio y funciones de produccioacuten de Pinus oocarpa y Pinus kesiya en los departamentos del Valle y Cauca Colombia Medelliacuten 106 p

Del Valle J 1 Gonzaacutelez H 1988 Rendimiento y crecimiento del cerezo Alnus jorullensis) en la regioacuten central andina Colombia Revista Facultad Nacional de Agronomiacutea (Medelliacuten) 41(1)59-87

Gonzaacutelez C A 1986 La conicidad del cipreacutes (Cupressus lusitanica M) en el departamento de Antioquia Tesis Jng For Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 77 p

Gonzaacutelez C A 1983 Descripcioacuten del perfil de los aacuterboles utilizando la aproximacioacuten Spline cuacutebica Medelliacuten Universidad Nacional de Coshylombia 57 p

Gonzaacute ~ez H 1983 Cuantificacioacuten y calificacioacuten de la conicidad del cipreacutes (Cupressus lusilanica M ) Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 101 p

Gray H R 1956 The form and taper or forestmiddottree stems lnstitute Paper Commonwal th Fores try Jnsti tu te (Oxford) 32 1-80

Kotse J J 1960 The management of pine stands for pulwood Journal South African Forest Association (Pretoria) 353-9

Larson P R 1963 Stem form of forest trees Forest Science (Washington) Monograph 5 42 p

Liu C J 1980 Log volumen stimatian with Spline aproximation Forest Science (Washington) 26 (3)361 -369

60 -r

REVISTA FACULTAD NAL DE AGRONOMIA MEDELLIN Vol XLI N9 1 1988

RENDIMIENTO y CREOIMIENTO DEL CEREZO (Alnus orullensis) EN LA REGIO N CENTRAL

ANDINA COLOMBIA

JORGE IGNACIO DEl VALLE ARANGO HUBERTO GONZALEZ PEREZ

RESUMEN

Se establecieran 77 parcelas permanentes en plantaciones de cereza (Alnus jorullensis HB K ) distribuidas en rangas de edad calidad de sitio posicioacuten auitudinal y lacalidad presentes en la regioacuten Central Andina en Colombia Se determinaron ecuashyciones de conicidad de volumen derivMas y ecuaciones de voshylumen directas con base en mediciones de aacuterboles apeadas dt las distintas posicianes fitosacioloacutegicas Se definieron iacutendices de sitio en funcioacuten de la altura de daminantes se determinaran madelos matemaacuteticas que expresan el crecimiento de la aUura de dominantes la altura pramedio el diaacutemetro pramedia cuashydraacutetico el aacuterea basal y el valumen con carteza en funcioacuten de la edad iacutendices de sitio y la densidad de la plOJltacioacuten Can esta base se derivaran ecuacianes que penniten pranosticar el camshyportamiento del rodal despueacutes de apravechamientas intermedias

Palabras claves Crecimiento rendimiento Alnus jorullenshysis iacutendices de sitio canicidad ecuaGIacuteanes de valumen meacutetodos expliacutecitos

ABSTRACT

GROWTH AND YIELD OF CEREZO (Alnus jorullensis) IN THE ANDEAN CENTRAL REGlaN COLOMBIA

Seventy-seven permanent plats were established in Alnus jorullensis planJa-tians distribuled aver a wide range aj ages

Profesores titular y asociado respectivamente Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Agropecuarias Medelliacuten Apartado aeacutereo 568

61

donde es frecuente encontrar ensanchamientos anormales no exshyplicables por teoriacuteas mecaacutenicas

Existen muchas evidencias que apoyan tanto las teoriacuteas meshy

superior de la copa mientras que en los sitios pobres el crecishymiento tiende a distribuirse maacutes uniformemente a lo largo del fuste En los trabajos de Gonzaacutelez (1983a) y Gonzaacutelez (1986) l~

middotmiddot 1 di

1

l

11

caacutenicas como las fisioloacutegicas pero aunque todos los hechos no puedan ser explicados por una uacutenica teoriacutea parece existir un reconocimiento general acerca de que la forma del fuste es afecshytada por factores dei aacuterbol y del rodal Estos factores provocan variaciones tanto en los esfuerzos a que estaacute sometido el aacuterbol como en las condiciones fisiooacutegicas del crecimiento y desarrollo del fuste lo cual deberiacutea manifestarse en variaciones en la forma y conicidad el Jos aacuterboles

E-I estado incipiente de desarrodo de las teoriacutecs que tratan de explicar las causas de la variacioacute de la conicidad de los aacutershyboles trae como consecuencia el que los factores que maacutes afectan tal caracteriacutestica no hayan sido muy precisamente identificados ni mucho menos explicado razonablemente bien su efecto

En relacioacuten con los factores del aacuterbol tanto el tamantildeo como la posicioacuten socioloacutegica de los individuos han demostrado resultashydos consistentemente ajustados a los planteamientos teoacutericos Las investigaciones experimentales de Gonzaacutelez (1983a) y Gonzaacutelez (1986) muestran que en el caso del cipreacutes tanto los aacuterboles maacutes grandes (de mayor diaacutemetro) como los aacuterboles dominantes preshysentan las mayores tasas de conicidad En estas investigaciones la longitud de la copa afectoacute positivamente la tasa de conicidad y estuvo altamente correlacionada con la posicioacuten socioloacutegica sin que pudiera aislarse el efecto de estos dos factores del de su interaccioacuten Con respecto a la longitud de la copa Larson (1983) anota que numerosos investigadores estaacuten de acuerdo en que las podas producen una redistribucioacuten en el crecimiento diameacutetrico de tal manera que se disminuye la conicidad del fuste lo que parece ser un resultado derivado del efecto de la longitud de la copa sobre la tasa de conicidad

Entre los factores del rodal los que han sido maacutes ampliashymente estudiados son la densidad del rodal y la calidad del sitio Kotze (1960) lo mismo que otros autores opina que los aacuterboles llegan a ser maacutes ciliacutendricos cuando se aumenta la densidad del rodal y cuando decrece la longitud de la copa 10 cual estaacute de acuerdo con las teoriacuteas mecaacutenicas De otra parte Larson (1983) opina que la distribucioacuten relativa del crecimiento del diaacutemetro a traveacutes del fuste tambieacuten variacutea ampliamente con la calidad del sitio En los sitios buenos el crecimiento se concentra en la parte

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densidad expresada con base en el nuacutemero de aacuterboles afe~to

negativamente la conicidad del cipreacutes aunque el efe~t fue solo significativo en teacuterminos estadiacutesticos la cahdad de SItIO no mosshytroacute efectos significativos sobre la conicidad sin embarg~ el efec~o de este factor podriacutea estar siendo enmascarado por la mfluenca de la densidad ya que en estas investigaciones la gran may01la de las muestras presentaban valores muy altos para este factor

Aunque como parece razonab~ s deben esperar fuer~e~ in shyteracciones entre los diferentes factores qlle afectan la cODIcldad Gonzaacutelez (1986) no encontroacute interaccioacuten significativa ni entre Jos factores posicioacuten socioloacutegica y edad ni entre la longItud de la copa y el tamantildeo del aacuterbol en el caso del cipreacutes

DESCRIPCION DEL PERFIL INDIVIDUAL

En manejo de bosques generalmente se necesita la cubicacioacuten de fustes de aacuterboles muestra para el efecto el fuste se divide en trozas y eacutestas se cubican mediante la medicioacuten de los diaacutemetros requeridos por los modelos de volumen a emplear (Huber Smashylian NewtOn etc)

Recientemente Liu (1980) intr0dujo la metodologiacutea de las funciones spline cuacutebicas para la descripcioacuten del perfil de los aacutershyboles y la determinacioacuten del vo~umen La aproximacioacuten spline es una forma de interpolacioacuten por una clase de funciones coordinashydas las cuales deben ser descritas como un conjunto de segmenshytos polinoacutemicos cuacutebicos con uniones suaves En lugar de ajustar una funcioacuten dada f(x) en un intervalo [a b] (el fuste) este intervalo se puede dividir en n subintervalos ~trozas) y aproxin~r f(x) por un polinomio diferente en cada submtervalo La funclOn de aproximacioacuten g (x) es una spline cuacutebica si se cumple que

- En cada subintervalo la funcioacuten g (x) debe ser un polinoshymio de maacuteximo grado tres

g (x) debe coincidir con f (x) en cada uno de los liacutemites de los subintervalos

- La primera derivada g (x) y la segunda g (x) deben ser continuas en el intervalo

55

56

Gonzaacutelez (1983) describe un sistema para la determinacioacuten de los coeficientes de los polinomios y anota coacutemo el sistema poshysee una solucioacuten uacutenica

Una vez determinados los coeficientes de los polinomios parshyticulares para las diferentes secciones de cada aacuterbol y asumiendo que cada seccioacuten es circular el volumen entre cualesquiera dos puntos del aacuterbol se calcula como

XJ V = 1T f (g(xraquo)2 dx

XI

La funcioacuten spline cuacutebica g (x) representa la curva que desshycribe el perfil de cada aacuterbol

Este sistema de cubicacioacuten es faacutecil de sistematizar en un programa para computadoras tal como el programa denominado interpolacioacuten cuacutebica segmentada elaborado por Arango y desshycrito por Gonzaacutelez (1983)

MODELOS DE CONICIDAD Y DE VOLUMEN

La spline cuacutebica relativa promedio

Con la metodologiacutea de las spline cuacutebicas es posible describir el perfil del fuste de un aacuterbol especiacutefico y calcular su volumen muy exactamente sin embargo esta metodologiacutea requiere la meshydicioacuten de radios a lo largo del fuste lo que en la praacutectica soacutelo se puede hacer para una muestra de aacuterboles representativa de una poblacioacuten de referencia

Gonzaacutelez (1983) describe y apiica una metodologiacutea la cual permite derivar una ecuacioacuten de volumen a partir de la aplicacioacuten de la teacutecnica de las spline cuacutebicas A grandes rasgos esta metoshydologiacutea incluye los siguientes pasos

A los fustes muestra se les mide su diaacutemetro en las mismas posiciones relativas a la longitud total del fuste A partir de los diaacutemetros medios se determinan los radios correspondientes y eacutestos se hacen proporcionales al radio a la altura del pecho (los resultados son los mismos si los caacutelculos se hacen a partir de los diaacutemetros y no de los radios)

Comunicacioacuten personaI

En cada una de las pOSICIOnes relativas a la longitud total del fuste se determina el radio relativo promedio (la media arit shymeacutetica de los radios relativos en cada posicioacuten) A traveacutes de estos puntos posicioacuten relativa y radio relativo promedio se aproxima una funcioacuten spline cuacutebica El volumen generado por esta funcioacuten constituye un coeficiente de forma promedio (K) para la poblashycioacuten de fustes en estudio con el cual se puede estimar el volumen del fuste del aacuterbol en pie asiacute

V = KR2L (1)

en donde

V = volumen del fuste (m3 )

R = radio base de proporcionalidad o radio a la altura del peshycho (m)

L = longitud del fuste (m)

La aplicacioacuten de esta metodologiacutea en los pocos casos en que se ha utilizado ha dado resultados altamente satisfactorios tanto en 10 concerniente a la facilidad para su elaboracioacuten como al alto grado de ajuste mostrado por las ecuaciones En la Tabla 1 se presentan algunos de los resultados obtenidos

TABLA 1

ALGUNAS ESTIMACIONES DEL COEFICIENTE DE FORMA PROMEDIO Y NIVELES DE AJUSTE DE LA ECUACION DE

VOLUMEN UTILIZANDO EL MODELO (1)

Especie K RZ Fuente

Cipreacutes Pinus oocarpa Pinus kesiya

14758 156376 160560

0976 0955 0956

Gonzaacutelez (1986) Cartoacuten de Colombia Cartoacuten de Colombia

(1986) (1986)

Los principales inconvenientes de esta metodologiacutea se reshyfieren a las dificultades actuales para analizar estadiacutesticamente las funciones lo mismo que para a partir de la informacioacuten baacuteshysica generar ecuaciones de volumen comercial para diferentes niveles de utilizacioacuten

Un modelo de conicidad

Numerosos modelos matemaacuteticos han sido propuestos para

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Gonzaacutelez (1983) describe un sistema para la determinacioacuten de los coeficientes de los polinomios y anota coacutemo el sistema poshysee una solucioacuten uacutenica

Una vez determinados los coeficientes de los polinomios parshyticulares para las diferentes secciones de cada aacuterbol y asumiendo que cada seccioacuten es circular el volumen entre cualesquiera dos puntos del aacuterbol se calcula como

XJ V = 1T J (g(xraquo)2 dx

XI

La funcioacuten spline cuacutebica g(x) representa la curva que desshycribe el perfil de cada aacuterbol

Este sistema de cubicacioacuten es faacutecil de sistematizar en un programa para computadoras tal como el programa denominado interpolacioacuten cuacutebica segmentada elaborado por Arango y desshycri to por Gonzaacutelez (1983)

MODELOS DE CONICIDAD Y DE VOLUMEN

La spline cuacutebica relativa promedio

Con la metodologiacutea de las spline cuacutebicas es posible describir el perfil del fuste de un aacuterbol especiacutefico y calcular su volumen muy exactamente sin embargo esta metodologiacutea requiere la meshydicioacuten de radios a lo largo del fuste lo que en la praacutectica soacutelo se puede hacer para una muestra de aacuterboles representativa de una poblacioacuten de referencia

Gonzaacutelez (1983) describe y aplica una metodologiacutea la cual permite derivar una ecuacioacuten de volumen a partir de la aplicacioacuten de la teacutecnica de las spline cuacutebicas A grandes rasgos esta metoshydologiacutea incluye los siguientes pasos

A los fustes muestra se les mide su diaacutemetro en las mismas posiciones relativas a la longitud total del fuste A partir de los diaacutemetros medios se determinan los radios correspondientes y eacutestos se hacen proporcionales al radio a la altura del pecho (los resultados son los mismos si los caacutelculos se hacen a partir de los diaacutemetros y no de los radios)

k Comunicacioacuten personal

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lEn cada una de las pOSICIOnes relativas a la longitud totai del fuste se determina el radio relativo promedio (la media arit shymeacutetica de los radios relativos en cada posicioacuten) A traveacutes de estos puntos posicioacuten relativa y radio relativo promedio se aproxima una funcioacuten spline cuacutebica E-I volumen generado por esta funcioacuten constituye un coeficiente de forma promedio (K) para la poblashycioacuten de fustes en estudio con el cual se puede estimar el volumen del fuste del aacuterbol en pie asiacute

(1 )

en donde

V = volumen del fuste (m3 )

R = radio base de proporcionalidad o radio a la altura del peshycho (m)

L = longitud del fuste (m)

La aplicacioacuten de esta metodologiacutea en los pocos casos en que se ha utilizado ha dado resultados altamente satisfactorios tanto en 10 concerniente a la facilidad para su elaboracioacuten como al alto grado de ajuste mostrado por las ecuaciones En la Tabla 1 se presentan algunos de los resultados obtenidos

TABLA 1

ALGUNAS ESTIMACIONES DEL COEFICIENTE DE FORMA PROMEDIO Y NIVELES DE AJUSTE DE LA ECUACION DE

VOLUMEN UTILIZANDO EL MODELO (1)

Especie K Fuente

Cipreacutes 14758 0976 Gonzaacutelez (1986) Pinus oocarpa 156376 0955 Cartoacuten de Colombia (1986) Pinus kesiya 160amp60 0956 Cartoacuten de Colombia (1986)

Los principales inconvenientes de esta metodologiacutea se reshyfieren a las dificultades actuales para analizar estadiacutesticamente las funciones lo mismo que para a partir de la informacioacuten baacuteshysica generar ecuaciones de volumen comercial para diferentes niveles de utilizacioacuten

Un modelo de conicidad

Numerosos modelos matemaacuteticos han sido propuestos para

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describir la conicidad de aacuterboles de forma tiacutepicamente excurreTIshyte tales modelos variacutean desde formas muy simples hasta polishynomios compejos de alto grado La mayor complejidad de los modelos posibilitada por los avances en los sistemas de coacutempushytos no ha dado como resultado una completa solucioacuten al probleshyma de describir la conicidad del fuste pero siacute ha conducido a modelos de vo~umen en ocaiexcliones tan complejos que dificultan su utilizacioacuten en la praacutectica

En este trabajo se propone un modelo de conicidad simple deducido de interpretaciones geomeacutetricas del comportamiento de la conicidad de aacuterboles tiacutepicamente excurrentes

El diaacutemetro en cualquier punto por debajo del aacutepice depende fundamentalmente de la distancia desde ese punto hasta el aacutepice (1) es decir

d = F (1)

l es simplemente la diferencia entre H (la longitud total del fuste) y h la longitud desde el suelo hasta el punto de medicioacuten

1 = H-h

Si la variable 1 se divide por H la nueva variable indica la posicioacuten reativa del punto con respecto a la longitud total

H-h 1-h H

H H La hipoacutetesis que se plantea afirma que el diaacutemetro en cualshy

quier punto es una funcioacuten del producto de un diaacutemetro base de refer ~ ncia (D) y de la variable que indica la posicioacuten- relativa del punto es decir

d = k1 [(D) (1- hH)]

En este modelo se tiene que si h es igual a H (el aacutepice) d es cero Y si h =0 (la base) d = KD por lo cual en general k debe ser mayor o igual a 1 dependiendo del diaacutemetro base de referencia y de la tasa de conicidad del aacuterbol

Si la variable se divide por H - 13 operacioacuten razonable en el caso en el que el diaacutemetro base de referencia D sea el diaacutemetro eacutel ]a altura del pecho (DAP) entonces

d = k1 (DAP(H-h) (H-13raquo

Con el fin de ajustar el modelo haciendo uso de las teacutecnicas de regresioacuten eacuteste se puede plantear

d = a + (J [D (1 - hH) ] De esta manera el modelo ha sido ajustado a diferentes ba middot

ses de datos obtenieacutendose resultados satisfactorios asiacute

TABLA 2 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL MODELO DE

CONICIDAD PRUumlPUESTA

A A

Poblacioacuten referencia a= a (J=b R2 Fuente

Cipreacutes (P Blancas) 067735 106748 09605 Gonzaacutelez (1983a)

Cipreacutes (Antioquia) 043578 114229 09472 Gonzaacutelez (1986)

Pinus oocarpa 160619 108101 0988 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Pinus kesiya 148397 109229 0971 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Cerezo (A lnus 1middot0rulle nsis ) 001569 109998 0949 Del Valle y

Gonzaacutelez (1988)

La principal utilidad praacutectica de los modelos de conicidad resuta del hecho de que la integral de la ecuacioacuten de conicidad entre cualesquiera dos puntos a lo largo del fuste es numeacutericashymente igual al volumen del soacutelido de revolucioacuten obtenido por roshytacioacuten de tal funcioacuten alrededor del eje de las abscisas y por lo tanto aproximadamente igual al volumen del fuste entre tales puntos

_ ~Jh1 - - 1

_ dV = 7T 4 J (d(hraquo2dh ~ -J ~ oho -J ~ ltJ b

Para el caso del modelo que se propone y teniendo en cuentan v ~ Z las unidades de medicioacuten diaacutemetro en centiacutemetros y longitud en~ ~ ~ metros la expresioacuten para el volumen (m3 ) es ~ ~ ~ ~ OI--ampL

h2 -n (- 1 tlt - ()

V = 7T 40000 [h (a2 + 2abD + b2D2) H

(abD) 9 2 ~ h3 ~ ~trj gb2D2 - oh1

Tj ~+ b2D2 + _ ] ~ ~ 3 H 2 ho

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describir la conicidad de aacuterboles de forma tiacutepicam nte excu r r enshyte tales modelos variacutean desde formas muy simples hasta poli shynomios compejos de alto grado La mayor complejidad de los model s posibilitada por los avances en los ifltemas de coacutempushytos no ha dado como resultado una completa solucioacuten al probleshyma de describir la conicidad del fuste pero siacute ha conducido a modelos de voumen en ocasiones tan complejos que dificultan su utilizacioacuten en la praacutecti a

En este t ra ba jo se propone un modelo de conicidad simple deducido de interpretaciones geomeacutetricas de) comportamiento de la conicidad (le aacuterbo) e~ t iacutepicamente excurrentes

E l diaacutem tro en cUeacutedquier punto por debajo dei aacutepice depende fundamentalmente de 11l distancia desde ese punto hasta el aacutepice (1) es decir

d = F (1)

l es simplemente la diferencia entre H (la longitud total del fuste) y h la longitud desde el suelo hasta el punto de medicioacuten

1 = H-h

Si la variable l se divide por H )a nueva variable indica la posicioacuten reativa del punto Con respecto a la longitud total

H-h - = = l-hH H H

La hipoacutetesis que se plantea afirma que el diaacutemetro en cualshyLiuier punto es una funcioacuten del producto de un diaacutemetro base de refer ncia (D) y de la variable que indica la posicioacuteuacute relativa del punto es decir

d=k1 [(D)(l-hH)]

En este modelo se tiene que si h es igual a H (el aacutepice) d es cero Y si h = deg (la base) d = KD por lo cual en general k debe ser mayor o igual a 1 dependiendo del diaacutemetro base de referencia y de la tasa de conicidad del aacuterbol

Si la variable se divide por H - 13 operacioacuten razonable en el caso en el que el diaacutemetro base de referencia D sea el diaacutemetro a )a altura del pecho (DAP) entonces

d = k[ (DAP(H-h) (H-l3raquo

Con el fin de ajustar el modelo haciendo uso de las teacutecnicas de regresioacuten eacuteste se puede plantear

58

d = a + (3 [D (1 - hH)] De esta manera el modelo ha sido ajustado a diferentes bashy

ses de datos obtenieacutendose resultados satisfactorios asiacute

TABLA 2 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL MODELO DE

CONICIDAD PROPUESTA

J J

Poblacioacuten referencia a=a f3 = b R2 Fuente

Cipreacutes (P Blancas) 067735 106748 09605 Gonzaacutelez (1983a)

Cipreacutes (Antioquia) 043578 114229 09472 Gonzaacutelez (1986)

Pinus oocarpa 160619 108101 0988 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Pinus kesiya 148397 109229 0971 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Cerezo (Alnus iorullensis) 001S69 109998 0949 Del Valle y

Gonzaacutelez (1988)

La principal utilidad praacutectica de los modelos de conicidad resuita del hecho de que la integral de la ecuacioacuten de conicidad entre cualesquiera dos puntos a lo largo del fuste es numeacutericashymente igual al volumen del soacutelido de revolucioacuten obtenido por roshytacioacuten de tal funcioacuten alrededor del eje de las abscisas y por lo tanto aproximadamente igual al volumen del fuste entre tales puntos

h1 d ~~ -cJV == ~4 f (d(hraquo2dh ~ ~

ho -iexcl O 1

Para el caso del modelo que se propone y teniendo en cuentaQ Q

~ ~ - ~

t

ordf Z las unidades de medicioacuten diaacutemetro en centiacutemetros y longitud en bJ ~ metros la expresioacuten para el volumen (mS ) es ~ ifjj

h2 (T1 Ii --lt t1

V = ~40000 [h (a2 + 2abD + b2D2) (ab D) CJ Q ~ b2D2 h 1

H ~ Q I~+ b2D2 +

h_

3

---] 10

J 3 H2 ho

59

Si se hace ho = O Y h I H la expresioacuten se reduce a

v = 7T 40000 (H) (a2 + abD + b2D2 3)

Y corresponde a una estimacioacuten del volumen total del fuste

BIBLJOGRAFIA

Cartoacuten de Colombia S A 1986 lndices de sitio y funciones de produccioacuten de Pinus oocarpa y Pinus kesiya en los departamentos del Valle y Cauca Colombia Medelliacuten 106 p

Del Valle J 1 Gonzaacutelez H 1988 Rendimiento y crecimiento del cerezo Alnus jorullensis) en la regioacuten central andina Colombia Revista Facultad Nacional de Agronomiacutea (Medelliacuten) 41(1)59-87

Gonzaacutelez C A 1986 La conicidad del cipreacutes (Cupressus lusitanica M) en el departamento de Antioquia Tesis Jng For Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 77 p

Gonzaacutelez C A 1983 Descripcioacuten del perfil de los aacuterboles utilizando la aproximacioacuten Spline cuacutebica Medelliacuten Universidad Nacional de Coshylombia 57 p

Gonzaacute ~ez H 1983 Cuantificacioacuten y calificacioacuten de la conicidad del cipreacutes (Cupressus lusilanica M ) Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 101 p

Gray H R 1956 The form and taper or forestmiddottree stems lnstitute Paper Commonwal th Fores try Jnsti tu te (Oxford) 32 1-80

Kotse J J 1960 The management of pine stands for pulwood Journal South African Forest Association (Pretoria) 353-9

Larson P R 1963 Stem form of forest trees Forest Science (Washington) Monograph 5 42 p

Liu C J 1980 Log volumen stimatian with Spline aproximation Forest Science (Washington) 26 (3)361 -369

60 -r

REVISTA FACULTAD NAL DE AGRONOMIA MEDELLIN Vol XLI N9 1 1988

RENDIMIENTO y CREOIMIENTO DEL CEREZO (Alnus orullensis) EN LA REGIO N CENTRAL

ANDINA COLOMBIA

JORGE IGNACIO DEl VALLE ARANGO HUBERTO GONZALEZ PEREZ

RESUMEN

Se establecieran 77 parcelas permanentes en plantaciones de cereza (Alnus jorullensis HB K ) distribuidas en rangas de edad calidad de sitio posicioacuten auitudinal y lacalidad presentes en la regioacuten Central Andina en Colombia Se determinaron ecuashyciones de conicidad de volumen derivMas y ecuaciones de voshylumen directas con base en mediciones de aacuterboles apeadas dt las distintas posicianes fitosacioloacutegicas Se definieron iacutendices de sitio en funcioacuten de la altura de daminantes se determinaran madelos matemaacuteticas que expresan el crecimiento de la aUura de dominantes la altura pramedio el diaacutemetro pramedia cuashydraacutetico el aacuterea basal y el valumen con carteza en funcioacuten de la edad iacutendices de sitio y la densidad de la plOJltacioacuten Can esta base se derivaran ecuacianes que penniten pranosticar el camshyportamiento del rodal despueacutes de apravechamientas intermedias

Palabras claves Crecimiento rendimiento Alnus jorullenshysis iacutendices de sitio canicidad ecuaGIacuteanes de valumen meacutetodos expliacutecitos

ABSTRACT

GROWTH AND YIELD OF CEREZO (Alnus jorullensis) IN THE ANDEAN CENTRAL REGlaN COLOMBIA

Seventy-seven permanent plats were established in Alnus jorullensis planJa-tians distribuled aver a wide range aj ages

Profesores titular y asociado respectivamente Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Agropecuarias Medelliacuten Apartado aeacutereo 568

61

56

Gonzaacutelez (1983) describe un sistema para la determinacioacuten de los coeficientes de los polinomios y anota coacutemo el sistema poshysee una solucioacuten uacutenica

Una vez determinados los coeficientes de los polinomios parshyticulares para las diferentes secciones de cada aacuterbol y asumiendo que cada seccioacuten es circular el volumen entre cualesquiera dos puntos del aacuterbol se calcula como

XJ V = 1T f (g(xraquo)2 dx

XI

La funcioacuten spline cuacutebica g (x) representa la curva que desshycribe el perfil de cada aacuterbol

Este sistema de cubicacioacuten es faacutecil de sistematizar en un programa para computadoras tal como el programa denominado interpolacioacuten cuacutebica segmentada elaborado por Arango y desshycrito por Gonzaacutelez (1983)

MODELOS DE CONICIDAD Y DE VOLUMEN

La spline cuacutebica relativa promedio

Con la metodologiacutea de las spline cuacutebicas es posible describir el perfil del fuste de un aacuterbol especiacutefico y calcular su volumen muy exactamente sin embargo esta metodologiacutea requiere la meshydicioacuten de radios a lo largo del fuste lo que en la praacutectica soacutelo se puede hacer para una muestra de aacuterboles representativa de una poblacioacuten de referencia

Gonzaacutelez (1983) describe y apiica una metodologiacutea la cual permite derivar una ecuacioacuten de volumen a partir de la aplicacioacuten de la teacutecnica de las spline cuacutebicas A grandes rasgos esta metoshydologiacutea incluye los siguientes pasos

A los fustes muestra se les mide su diaacutemetro en las mismas posiciones relativas a la longitud total del fuste A partir de los diaacutemetros medios se determinan los radios correspondientes y eacutestos se hacen proporcionales al radio a la altura del pecho (los resultados son los mismos si los caacutelculos se hacen a partir de los diaacutemetros y no de los radios)

Comunicacioacuten personaI

En cada una de las pOSICIOnes relativas a la longitud total del fuste se determina el radio relativo promedio (la media arit shymeacutetica de los radios relativos en cada posicioacuten) A traveacutes de estos puntos posicioacuten relativa y radio relativo promedio se aproxima una funcioacuten spline cuacutebica El volumen generado por esta funcioacuten constituye un coeficiente de forma promedio (K) para la poblashycioacuten de fustes en estudio con el cual se puede estimar el volumen del fuste del aacuterbol en pie asiacute

V = KR2L (1)

en donde

V = volumen del fuste (m3 )

R = radio base de proporcionalidad o radio a la altura del peshycho (m)

L = longitud del fuste (m)

La aplicacioacuten de esta metodologiacutea en los pocos casos en que se ha utilizado ha dado resultados altamente satisfactorios tanto en 10 concerniente a la facilidad para su elaboracioacuten como al alto grado de ajuste mostrado por las ecuaciones En la Tabla 1 se presentan algunos de los resultados obtenidos

TABLA 1

ALGUNAS ESTIMACIONES DEL COEFICIENTE DE FORMA PROMEDIO Y NIVELES DE AJUSTE DE LA ECUACION DE

VOLUMEN UTILIZANDO EL MODELO (1)

Especie K RZ Fuente

Cipreacutes Pinus oocarpa Pinus kesiya

14758 156376 160560

0976 0955 0956

Gonzaacutelez (1986) Cartoacuten de Colombia Cartoacuten de Colombia

(1986) (1986)

Los principales inconvenientes de esta metodologiacutea se reshyfieren a las dificultades actuales para analizar estadiacutesticamente las funciones lo mismo que para a partir de la informacioacuten baacuteshysica generar ecuaciones de volumen comercial para diferentes niveles de utilizacioacuten

Un modelo de conicidad

Numerosos modelos matemaacuteticos han sido propuestos para

57

Gonzaacutelez (1983) describe un sistema para la determinacioacuten de los coeficientes de los polinomios y anota coacutemo el sistema poshysee una solucioacuten uacutenica

Una vez determinados los coeficientes de los polinomios parshyticulares para las diferentes secciones de cada aacuterbol y asumiendo que cada seccioacuten es circular el volumen entre cualesquiera dos puntos del aacuterbol se calcula como

XJ V = 1T J (g(xraquo)2 dx

XI

La funcioacuten spline cuacutebica g(x) representa la curva que desshycribe el perfil de cada aacuterbol

Este sistema de cubicacioacuten es faacutecil de sistematizar en un programa para computadoras tal como el programa denominado interpolacioacuten cuacutebica segmentada elaborado por Arango y desshycri to por Gonzaacutelez (1983)

MODELOS DE CONICIDAD Y DE VOLUMEN

La spline cuacutebica relativa promedio

Con la metodologiacutea de las spline cuacutebicas es posible describir el perfil del fuste de un aacuterbol especiacutefico y calcular su volumen muy exactamente sin embargo esta metodologiacutea requiere la meshydicioacuten de radios a lo largo del fuste lo que en la praacutectica soacutelo se puede hacer para una muestra de aacuterboles representativa de una poblacioacuten de referencia

Gonzaacutelez (1983) describe y aplica una metodologiacutea la cual permite derivar una ecuacioacuten de volumen a partir de la aplicacioacuten de la teacutecnica de las spline cuacutebicas A grandes rasgos esta metoshydologiacutea incluye los siguientes pasos

A los fustes muestra se les mide su diaacutemetro en las mismas posiciones relativas a la longitud total del fuste A partir de los diaacutemetros medios se determinan los radios correspondientes y eacutestos se hacen proporcionales al radio a la altura del pecho (los resultados son los mismos si los caacutelculos se hacen a partir de los diaacutemetros y no de los radios)

k Comunicacioacuten personal

56

lEn cada una de las pOSICIOnes relativas a la longitud totai del fuste se determina el radio relativo promedio (la media arit shymeacutetica de los radios relativos en cada posicioacuten) A traveacutes de estos puntos posicioacuten relativa y radio relativo promedio se aproxima una funcioacuten spline cuacutebica E-I volumen generado por esta funcioacuten constituye un coeficiente de forma promedio (K) para la poblashycioacuten de fustes en estudio con el cual se puede estimar el volumen del fuste del aacuterbol en pie asiacute

(1 )

en donde

V = volumen del fuste (m3 )

R = radio base de proporcionalidad o radio a la altura del peshycho (m)

L = longitud del fuste (m)

La aplicacioacuten de esta metodologiacutea en los pocos casos en que se ha utilizado ha dado resultados altamente satisfactorios tanto en 10 concerniente a la facilidad para su elaboracioacuten como al alto grado de ajuste mostrado por las ecuaciones En la Tabla 1 se presentan algunos de los resultados obtenidos

TABLA 1

ALGUNAS ESTIMACIONES DEL COEFICIENTE DE FORMA PROMEDIO Y NIVELES DE AJUSTE DE LA ECUACION DE

VOLUMEN UTILIZANDO EL MODELO (1)

Especie K Fuente

Cipreacutes 14758 0976 Gonzaacutelez (1986) Pinus oocarpa 156376 0955 Cartoacuten de Colombia (1986) Pinus kesiya 160amp60 0956 Cartoacuten de Colombia (1986)

Los principales inconvenientes de esta metodologiacutea se reshyfieren a las dificultades actuales para analizar estadiacutesticamente las funciones lo mismo que para a partir de la informacioacuten baacuteshysica generar ecuaciones de volumen comercial para diferentes niveles de utilizacioacuten

Un modelo de conicidad

Numerosos modelos matemaacuteticos han sido propuestos para

57

58

describir la conicidad de aacuterboles de forma tiacutepicamente excurreTIshyte tales modelos variacutean desde formas muy simples hasta polishynomios compejos de alto grado La mayor complejidad de los modelos posibilitada por los avances en los sistemas de coacutempushytos no ha dado como resultado una completa solucioacuten al probleshyma de describir la conicidad del fuste pero siacute ha conducido a modelos de vo~umen en ocaiexcliones tan complejos que dificultan su utilizacioacuten en la praacutectica

En este trabajo se propone un modelo de conicidad simple deducido de interpretaciones geomeacutetricas del comportamiento de la conicidad de aacuterboles tiacutepicamente excurrentes

El diaacutemetro en cualquier punto por debajo del aacutepice depende fundamentalmente de la distancia desde ese punto hasta el aacutepice (1) es decir

d = F (1)

l es simplemente la diferencia entre H (la longitud total del fuste) y h la longitud desde el suelo hasta el punto de medicioacuten

1 = H-h

Si la variable 1 se divide por H la nueva variable indica la posicioacuten reativa del punto con respecto a la longitud total

H-h 1-h H

H H La hipoacutetesis que se plantea afirma que el diaacutemetro en cualshy

quier punto es una funcioacuten del producto de un diaacutemetro base de refer ~ ncia (D) y de la variable que indica la posicioacuten- relativa del punto es decir

d = k1 [(D) (1- hH)]

En este modelo se tiene que si h es igual a H (el aacutepice) d es cero Y si h =0 (la base) d = KD por lo cual en general k debe ser mayor o igual a 1 dependiendo del diaacutemetro base de referencia y de la tasa de conicidad del aacuterbol

Si la variable se divide por H - 13 operacioacuten razonable en el caso en el que el diaacutemetro base de referencia D sea el diaacutemetro eacutel ]a altura del pecho (DAP) entonces

d = k1 (DAP(H-h) (H-13raquo

Con el fin de ajustar el modelo haciendo uso de las teacutecnicas de regresioacuten eacuteste se puede plantear

d = a + (J [D (1 - hH) ] De esta manera el modelo ha sido ajustado a diferentes ba middot

ses de datos obtenieacutendose resultados satisfactorios asiacute

TABLA 2 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL MODELO DE

CONICIDAD PRUumlPUESTA

A A

Poblacioacuten referencia a= a (J=b R2 Fuente

Cipreacutes (P Blancas) 067735 106748 09605 Gonzaacutelez (1983a)

Cipreacutes (Antioquia) 043578 114229 09472 Gonzaacutelez (1986)

Pinus oocarpa 160619 108101 0988 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Pinus kesiya 148397 109229 0971 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Cerezo (A lnus 1middot0rulle nsis ) 001569 109998 0949 Del Valle y

Gonzaacutelez (1988)

La principal utilidad praacutectica de los modelos de conicidad resuta del hecho de que la integral de la ecuacioacuten de conicidad entre cualesquiera dos puntos a lo largo del fuste es numeacutericashymente igual al volumen del soacutelido de revolucioacuten obtenido por roshytacioacuten de tal funcioacuten alrededor del eje de las abscisas y por lo tanto aproximadamente igual al volumen del fuste entre tales puntos

_ ~Jh1 - - 1

_ dV = 7T 4 J (d(hraquo2dh ~ -J ~ oho -J ~ ltJ b

Para el caso del modelo que se propone y teniendo en cuentan v ~ Z las unidades de medicioacuten diaacutemetro en centiacutemetros y longitud en~ ~ ~ metros la expresioacuten para el volumen (m3 ) es ~ ~ ~ ~ OI--ampL

h2 -n (- 1 tlt - ()

V = 7T 40000 [h (a2 + 2abD + b2D2) H

(abD) 9 2 ~ h3 ~ ~trj gb2D2 - oh1

Tj ~+ b2D2 + _ ] ~ ~ 3 H 2 ho

59

describir la conicidad de aacuterboles de forma tiacutepicam nte excu r r enshyte tales modelos variacutean desde formas muy simples hasta poli shynomios compejos de alto grado La mayor complejidad de los model s posibilitada por los avances en los ifltemas de coacutempushytos no ha dado como resultado una completa solucioacuten al probleshyma de describir la conicidad del fuste pero siacute ha conducido a modelos de voumen en ocasiones tan complejos que dificultan su utilizacioacuten en la praacutecti a

En este t ra ba jo se propone un modelo de conicidad simple deducido de interpretaciones geomeacutetricas de) comportamiento de la conicidad (le aacuterbo) e~ t iacutepicamente excurrentes

E l diaacutem tro en cUeacutedquier punto por debajo dei aacutepice depende fundamentalmente de 11l distancia desde ese punto hasta el aacutepice (1) es decir

d = F (1)

l es simplemente la diferencia entre H (la longitud total del fuste) y h la longitud desde el suelo hasta el punto de medicioacuten

1 = H-h

Si la variable l se divide por H )a nueva variable indica la posicioacuten reativa del punto Con respecto a la longitud total

H-h - = = l-hH H H

La hipoacutetesis que se plantea afirma que el diaacutemetro en cualshyLiuier punto es una funcioacuten del producto de un diaacutemetro base de refer ncia (D) y de la variable que indica la posicioacuteuacute relativa del punto es decir

d=k1 [(D)(l-hH)]

En este modelo se tiene que si h es igual a H (el aacutepice) d es cero Y si h = deg (la base) d = KD por lo cual en general k debe ser mayor o igual a 1 dependiendo del diaacutemetro base de referencia y de la tasa de conicidad del aacuterbol

Si la variable se divide por H - 13 operacioacuten razonable en el caso en el que el diaacutemetro base de referencia D sea el diaacutemetro a )a altura del pecho (DAP) entonces

d = k[ (DAP(H-h) (H-l3raquo

Con el fin de ajustar el modelo haciendo uso de las teacutecnicas de regresioacuten eacuteste se puede plantear

58

d = a + (3 [D (1 - hH)] De esta manera el modelo ha sido ajustado a diferentes bashy

ses de datos obtenieacutendose resultados satisfactorios asiacute

TABLA 2 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL MODELO DE

CONICIDAD PROPUESTA

J J

Poblacioacuten referencia a=a f3 = b R2 Fuente

Cipreacutes (P Blancas) 067735 106748 09605 Gonzaacutelez (1983a)

Cipreacutes (Antioquia) 043578 114229 09472 Gonzaacutelez (1986)

Pinus oocarpa 160619 108101 0988 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Pinus kesiya 148397 109229 0971 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Cerezo (Alnus iorullensis) 001S69 109998 0949 Del Valle y

Gonzaacutelez (1988)

La principal utilidad praacutectica de los modelos de conicidad resuita del hecho de que la integral de la ecuacioacuten de conicidad entre cualesquiera dos puntos a lo largo del fuste es numeacutericashymente igual al volumen del soacutelido de revolucioacuten obtenido por roshytacioacuten de tal funcioacuten alrededor del eje de las abscisas y por lo tanto aproximadamente igual al volumen del fuste entre tales puntos

h1 d ~~ -cJV == ~4 f (d(hraquo2dh ~ ~

ho -iexcl O 1

Para el caso del modelo que se propone y teniendo en cuentaQ Q

~ ~ - ~

t

ordf Z las unidades de medicioacuten diaacutemetro en centiacutemetros y longitud en bJ ~ metros la expresioacuten para el volumen (mS ) es ~ ifjj

h2 (T1 Ii --lt t1

V = ~40000 [h (a2 + 2abD + b2D2) (ab D) CJ Q ~ b2D2 h 1

H ~ Q I~+ b2D2 +

h_

3

---] 10

J 3 H2 ho

59

Si se hace ho = O Y h I H la expresioacuten se reduce a

v = 7T 40000 (H) (a2 + abD + b2D2 3)

Y corresponde a una estimacioacuten del volumen total del fuste

BIBLJOGRAFIA

Cartoacuten de Colombia S A 1986 lndices de sitio y funciones de produccioacuten de Pinus oocarpa y Pinus kesiya en los departamentos del Valle y Cauca Colombia Medelliacuten 106 p

Del Valle J 1 Gonzaacutelez H 1988 Rendimiento y crecimiento del cerezo Alnus jorullensis) en la regioacuten central andina Colombia Revista Facultad Nacional de Agronomiacutea (Medelliacuten) 41(1)59-87

Gonzaacutelez C A 1986 La conicidad del cipreacutes (Cupressus lusitanica M) en el departamento de Antioquia Tesis Jng For Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 77 p

Gonzaacutelez C A 1983 Descripcioacuten del perfil de los aacuterboles utilizando la aproximacioacuten Spline cuacutebica Medelliacuten Universidad Nacional de Coshylombia 57 p

Gonzaacute ~ez H 1983 Cuantificacioacuten y calificacioacuten de la conicidad del cipreacutes (Cupressus lusilanica M ) Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 101 p

Gray H R 1956 The form and taper or forestmiddottree stems lnstitute Paper Commonwal th Fores try Jnsti tu te (Oxford) 32 1-80

Kotse J J 1960 The management of pine stands for pulwood Journal South African Forest Association (Pretoria) 353-9

Larson P R 1963 Stem form of forest trees Forest Science (Washington) Monograph 5 42 p

Liu C J 1980 Log volumen stimatian with Spline aproximation Forest Science (Washington) 26 (3)361 -369

60 -r

REVISTA FACULTAD NAL DE AGRONOMIA MEDELLIN Vol XLI N9 1 1988

RENDIMIENTO y CREOIMIENTO DEL CEREZO (Alnus orullensis) EN LA REGIO N CENTRAL

ANDINA COLOMBIA

JORGE IGNACIO DEl VALLE ARANGO HUBERTO GONZALEZ PEREZ

RESUMEN

Se establecieran 77 parcelas permanentes en plantaciones de cereza (Alnus jorullensis HB K ) distribuidas en rangas de edad calidad de sitio posicioacuten auitudinal y lacalidad presentes en la regioacuten Central Andina en Colombia Se determinaron ecuashyciones de conicidad de volumen derivMas y ecuaciones de voshylumen directas con base en mediciones de aacuterboles apeadas dt las distintas posicianes fitosacioloacutegicas Se definieron iacutendices de sitio en funcioacuten de la altura de daminantes se determinaran madelos matemaacuteticas que expresan el crecimiento de la aUura de dominantes la altura pramedio el diaacutemetro pramedia cuashydraacutetico el aacuterea basal y el valumen con carteza en funcioacuten de la edad iacutendices de sitio y la densidad de la plOJltacioacuten Can esta base se derivaran ecuacianes que penniten pranosticar el camshyportamiento del rodal despueacutes de apravechamientas intermedias

Palabras claves Crecimiento rendimiento Alnus jorullenshysis iacutendices de sitio canicidad ecuaGIacuteanes de valumen meacutetodos expliacutecitos

ABSTRACT

GROWTH AND YIELD OF CEREZO (Alnus jorullensis) IN THE ANDEAN CENTRAL REGlaN COLOMBIA

Seventy-seven permanent plats were established in Alnus jorullensis planJa-tians distribuled aver a wide range aj ages

Profesores titular y asociado respectivamente Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Agropecuarias Medelliacuten Apartado aeacutereo 568

61

Gonzaacutelez (1983) describe un sistema para la determinacioacuten de los coeficientes de los polinomios y anota coacutemo el sistema poshysee una solucioacuten uacutenica

Una vez determinados los coeficientes de los polinomios parshyticulares para las diferentes secciones de cada aacuterbol y asumiendo que cada seccioacuten es circular el volumen entre cualesquiera dos puntos del aacuterbol se calcula como

XJ V = 1T J (g(xraquo)2 dx

XI

La funcioacuten spline cuacutebica g(x) representa la curva que desshycribe el perfil de cada aacuterbol

Este sistema de cubicacioacuten es faacutecil de sistematizar en un programa para computadoras tal como el programa denominado interpolacioacuten cuacutebica segmentada elaborado por Arango y desshycri to por Gonzaacutelez (1983)

MODELOS DE CONICIDAD Y DE VOLUMEN

La spline cuacutebica relativa promedio

Con la metodologiacutea de las spline cuacutebicas es posible describir el perfil del fuste de un aacuterbol especiacutefico y calcular su volumen muy exactamente sin embargo esta metodologiacutea requiere la meshydicioacuten de radios a lo largo del fuste lo que en la praacutectica soacutelo se puede hacer para una muestra de aacuterboles representativa de una poblacioacuten de referencia

Gonzaacutelez (1983) describe y aplica una metodologiacutea la cual permite derivar una ecuacioacuten de volumen a partir de la aplicacioacuten de la teacutecnica de las spline cuacutebicas A grandes rasgos esta metoshydologiacutea incluye los siguientes pasos

A los fustes muestra se les mide su diaacutemetro en las mismas posiciones relativas a la longitud total del fuste A partir de los diaacutemetros medios se determinan los radios correspondientes y eacutestos se hacen proporcionales al radio a la altura del pecho (los resultados son los mismos si los caacutelculos se hacen a partir de los diaacutemetros y no de los radios)

k Comunicacioacuten personal

56

lEn cada una de las pOSICIOnes relativas a la longitud totai del fuste se determina el radio relativo promedio (la media arit shymeacutetica de los radios relativos en cada posicioacuten) A traveacutes de estos puntos posicioacuten relativa y radio relativo promedio se aproxima una funcioacuten spline cuacutebica E-I volumen generado por esta funcioacuten constituye un coeficiente de forma promedio (K) para la poblashycioacuten de fustes en estudio con el cual se puede estimar el volumen del fuste del aacuterbol en pie asiacute

(1 )

en donde

V = volumen del fuste (m3 )

R = radio base de proporcionalidad o radio a la altura del peshycho (m)

L = longitud del fuste (m)

La aplicacioacuten de esta metodologiacutea en los pocos casos en que se ha utilizado ha dado resultados altamente satisfactorios tanto en 10 concerniente a la facilidad para su elaboracioacuten como al alto grado de ajuste mostrado por las ecuaciones En la Tabla 1 se presentan algunos de los resultados obtenidos

TABLA 1

ALGUNAS ESTIMACIONES DEL COEFICIENTE DE FORMA PROMEDIO Y NIVELES DE AJUSTE DE LA ECUACION DE

VOLUMEN UTILIZANDO EL MODELO (1)

Especie K Fuente

Cipreacutes 14758 0976 Gonzaacutelez (1986) Pinus oocarpa 156376 0955 Cartoacuten de Colombia (1986) Pinus kesiya 160amp60 0956 Cartoacuten de Colombia (1986)

Los principales inconvenientes de esta metodologiacutea se reshyfieren a las dificultades actuales para analizar estadiacutesticamente las funciones lo mismo que para a partir de la informacioacuten baacuteshysica generar ecuaciones de volumen comercial para diferentes niveles de utilizacioacuten

Un modelo de conicidad

Numerosos modelos matemaacuteticos han sido propuestos para

57

58

describir la conicidad de aacuterboles de forma tiacutepicamente excurreTIshyte tales modelos variacutean desde formas muy simples hasta polishynomios compejos de alto grado La mayor complejidad de los modelos posibilitada por los avances en los sistemas de coacutempushytos no ha dado como resultado una completa solucioacuten al probleshyma de describir la conicidad del fuste pero siacute ha conducido a modelos de vo~umen en ocaiexcliones tan complejos que dificultan su utilizacioacuten en la praacutectica

En este trabajo se propone un modelo de conicidad simple deducido de interpretaciones geomeacutetricas del comportamiento de la conicidad de aacuterboles tiacutepicamente excurrentes

El diaacutemetro en cualquier punto por debajo del aacutepice depende fundamentalmente de la distancia desde ese punto hasta el aacutepice (1) es decir

d = F (1)

l es simplemente la diferencia entre H (la longitud total del fuste) y h la longitud desde el suelo hasta el punto de medicioacuten

1 = H-h

Si la variable 1 se divide por H la nueva variable indica la posicioacuten reativa del punto con respecto a la longitud total

H-h 1-h H

H H La hipoacutetesis que se plantea afirma que el diaacutemetro en cualshy

quier punto es una funcioacuten del producto de un diaacutemetro base de refer ~ ncia (D) y de la variable que indica la posicioacuten- relativa del punto es decir

d = k1 [(D) (1- hH)]

En este modelo se tiene que si h es igual a H (el aacutepice) d es cero Y si h =0 (la base) d = KD por lo cual en general k debe ser mayor o igual a 1 dependiendo del diaacutemetro base de referencia y de la tasa de conicidad del aacuterbol

Si la variable se divide por H - 13 operacioacuten razonable en el caso en el que el diaacutemetro base de referencia D sea el diaacutemetro eacutel ]a altura del pecho (DAP) entonces

d = k1 (DAP(H-h) (H-13raquo

Con el fin de ajustar el modelo haciendo uso de las teacutecnicas de regresioacuten eacuteste se puede plantear

d = a + (J [D (1 - hH) ] De esta manera el modelo ha sido ajustado a diferentes ba middot

ses de datos obtenieacutendose resultados satisfactorios asiacute

TABLA 2 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL MODELO DE

CONICIDAD PRUumlPUESTA

A A

Poblacioacuten referencia a= a (J=b R2 Fuente

Cipreacutes (P Blancas) 067735 106748 09605 Gonzaacutelez (1983a)

Cipreacutes (Antioquia) 043578 114229 09472 Gonzaacutelez (1986)

Pinus oocarpa 160619 108101 0988 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Pinus kesiya 148397 109229 0971 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Cerezo (A lnus 1middot0rulle nsis ) 001569 109998 0949 Del Valle y

Gonzaacutelez (1988)

La principal utilidad praacutectica de los modelos de conicidad resuta del hecho de que la integral de la ecuacioacuten de conicidad entre cualesquiera dos puntos a lo largo del fuste es numeacutericashymente igual al volumen del soacutelido de revolucioacuten obtenido por roshytacioacuten de tal funcioacuten alrededor del eje de las abscisas y por lo tanto aproximadamente igual al volumen del fuste entre tales puntos

_ ~Jh1 - - 1

_ dV = 7T 4 J (d(hraquo2dh ~ -J ~ oho -J ~ ltJ b

Para el caso del modelo que se propone y teniendo en cuentan v ~ Z las unidades de medicioacuten diaacutemetro en centiacutemetros y longitud en~ ~ ~ metros la expresioacuten para el volumen (m3 ) es ~ ~ ~ ~ OI--ampL

h2 -n (- 1 tlt - ()

V = 7T 40000 [h (a2 + 2abD + b2D2) H

(abD) 9 2 ~ h3 ~ ~trj gb2D2 - oh1

Tj ~+ b2D2 + _ ] ~ ~ 3 H 2 ho

59

describir la conicidad de aacuterboles de forma tiacutepicam nte excu r r enshyte tales modelos variacutean desde formas muy simples hasta poli shynomios compejos de alto grado La mayor complejidad de los model s posibilitada por los avances en los ifltemas de coacutempushytos no ha dado como resultado una completa solucioacuten al probleshyma de describir la conicidad del fuste pero siacute ha conducido a modelos de voumen en ocasiones tan complejos que dificultan su utilizacioacuten en la praacutecti a

En este t ra ba jo se propone un modelo de conicidad simple deducido de interpretaciones geomeacutetricas de) comportamiento de la conicidad (le aacuterbo) e~ t iacutepicamente excurrentes

E l diaacutem tro en cUeacutedquier punto por debajo dei aacutepice depende fundamentalmente de 11l distancia desde ese punto hasta el aacutepice (1) es decir

d = F (1)

l es simplemente la diferencia entre H (la longitud total del fuste) y h la longitud desde el suelo hasta el punto de medicioacuten

1 = H-h

Si la variable l se divide por H )a nueva variable indica la posicioacuten reativa del punto Con respecto a la longitud total

H-h - = = l-hH H H

La hipoacutetesis que se plantea afirma que el diaacutemetro en cualshyLiuier punto es una funcioacuten del producto de un diaacutemetro base de refer ncia (D) y de la variable que indica la posicioacuteuacute relativa del punto es decir

d=k1 [(D)(l-hH)]

En este modelo se tiene que si h es igual a H (el aacutepice) d es cero Y si h = deg (la base) d = KD por lo cual en general k debe ser mayor o igual a 1 dependiendo del diaacutemetro base de referencia y de la tasa de conicidad del aacuterbol

Si la variable se divide por H - 13 operacioacuten razonable en el caso en el que el diaacutemetro base de referencia D sea el diaacutemetro a )a altura del pecho (DAP) entonces

d = k[ (DAP(H-h) (H-l3raquo

Con el fin de ajustar el modelo haciendo uso de las teacutecnicas de regresioacuten eacuteste se puede plantear

58

d = a + (3 [D (1 - hH)] De esta manera el modelo ha sido ajustado a diferentes bashy

ses de datos obtenieacutendose resultados satisfactorios asiacute

TABLA 2 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL MODELO DE

CONICIDAD PROPUESTA

J J

Poblacioacuten referencia a=a f3 = b R2 Fuente

Cipreacutes (P Blancas) 067735 106748 09605 Gonzaacutelez (1983a)

Cipreacutes (Antioquia) 043578 114229 09472 Gonzaacutelez (1986)

Pinus oocarpa 160619 108101 0988 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Pinus kesiya 148397 109229 0971 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Cerezo (Alnus iorullensis) 001S69 109998 0949 Del Valle y

Gonzaacutelez (1988)

La principal utilidad praacutectica de los modelos de conicidad resuita del hecho de que la integral de la ecuacioacuten de conicidad entre cualesquiera dos puntos a lo largo del fuste es numeacutericashymente igual al volumen del soacutelido de revolucioacuten obtenido por roshytacioacuten de tal funcioacuten alrededor del eje de las abscisas y por lo tanto aproximadamente igual al volumen del fuste entre tales puntos

h1 d ~~ -cJV == ~4 f (d(hraquo2dh ~ ~

ho -iexcl O 1

Para el caso del modelo que se propone y teniendo en cuentaQ Q

~ ~ - ~

t

ordf Z las unidades de medicioacuten diaacutemetro en centiacutemetros y longitud en bJ ~ metros la expresioacuten para el volumen (mS ) es ~ ifjj

h2 (T1 Ii --lt t1

V = ~40000 [h (a2 + 2abD + b2D2) (ab D) CJ Q ~ b2D2 h 1

H ~ Q I~+ b2D2 +

h_

3

---] 10

J 3 H2 ho

59

Si se hace ho = O Y h I H la expresioacuten se reduce a

v = 7T 40000 (H) (a2 + abD + b2D2 3)

Y corresponde a una estimacioacuten del volumen total del fuste

BIBLJOGRAFIA

Cartoacuten de Colombia S A 1986 lndices de sitio y funciones de produccioacuten de Pinus oocarpa y Pinus kesiya en los departamentos del Valle y Cauca Colombia Medelliacuten 106 p

Del Valle J 1 Gonzaacutelez H 1988 Rendimiento y crecimiento del cerezo Alnus jorullensis) en la regioacuten central andina Colombia Revista Facultad Nacional de Agronomiacutea (Medelliacuten) 41(1)59-87

Gonzaacutelez C A 1986 La conicidad del cipreacutes (Cupressus lusitanica M) en el departamento de Antioquia Tesis Jng For Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 77 p

Gonzaacutelez C A 1983 Descripcioacuten del perfil de los aacuterboles utilizando la aproximacioacuten Spline cuacutebica Medelliacuten Universidad Nacional de Coshylombia 57 p

Gonzaacute ~ez H 1983 Cuantificacioacuten y calificacioacuten de la conicidad del cipreacutes (Cupressus lusilanica M ) Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 101 p

Gray H R 1956 The form and taper or forestmiddottree stems lnstitute Paper Commonwal th Fores try Jnsti tu te (Oxford) 32 1-80

Kotse J J 1960 The management of pine stands for pulwood Journal South African Forest Association (Pretoria) 353-9

Larson P R 1963 Stem form of forest trees Forest Science (Washington) Monograph 5 42 p

Liu C J 1980 Log volumen stimatian with Spline aproximation Forest Science (Washington) 26 (3)361 -369

60 -r

REVISTA FACULTAD NAL DE AGRONOMIA MEDELLIN Vol XLI N9 1 1988

RENDIMIENTO y CREOIMIENTO DEL CEREZO (Alnus orullensis) EN LA REGIO N CENTRAL

ANDINA COLOMBIA

JORGE IGNACIO DEl VALLE ARANGO HUBERTO GONZALEZ PEREZ

RESUMEN

Se establecieran 77 parcelas permanentes en plantaciones de cereza (Alnus jorullensis HB K ) distribuidas en rangas de edad calidad de sitio posicioacuten auitudinal y lacalidad presentes en la regioacuten Central Andina en Colombia Se determinaron ecuashyciones de conicidad de volumen derivMas y ecuaciones de voshylumen directas con base en mediciones de aacuterboles apeadas dt las distintas posicianes fitosacioloacutegicas Se definieron iacutendices de sitio en funcioacuten de la altura de daminantes se determinaran madelos matemaacuteticas que expresan el crecimiento de la aUura de dominantes la altura pramedio el diaacutemetro pramedia cuashydraacutetico el aacuterea basal y el valumen con carteza en funcioacuten de la edad iacutendices de sitio y la densidad de la plOJltacioacuten Can esta base se derivaran ecuacianes que penniten pranosticar el camshyportamiento del rodal despueacutes de apravechamientas intermedias

Palabras claves Crecimiento rendimiento Alnus jorullenshysis iacutendices de sitio canicidad ecuaGIacuteanes de valumen meacutetodos expliacutecitos

ABSTRACT

GROWTH AND YIELD OF CEREZO (Alnus jorullensis) IN THE ANDEAN CENTRAL REGlaN COLOMBIA

Seventy-seven permanent plats were established in Alnus jorullensis planJa-tians distribuled aver a wide range aj ages

Profesores titular y asociado respectivamente Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Agropecuarias Medelliacuten Apartado aeacutereo 568

61

58

describir la conicidad de aacuterboles de forma tiacutepicamente excurreTIshyte tales modelos variacutean desde formas muy simples hasta polishynomios compejos de alto grado La mayor complejidad de los modelos posibilitada por los avances en los sistemas de coacutempushytos no ha dado como resultado una completa solucioacuten al probleshyma de describir la conicidad del fuste pero siacute ha conducido a modelos de vo~umen en ocaiexcliones tan complejos que dificultan su utilizacioacuten en la praacutectica

En este trabajo se propone un modelo de conicidad simple deducido de interpretaciones geomeacutetricas del comportamiento de la conicidad de aacuterboles tiacutepicamente excurrentes

El diaacutemetro en cualquier punto por debajo del aacutepice depende fundamentalmente de la distancia desde ese punto hasta el aacutepice (1) es decir

d = F (1)

l es simplemente la diferencia entre H (la longitud total del fuste) y h la longitud desde el suelo hasta el punto de medicioacuten

1 = H-h

Si la variable 1 se divide por H la nueva variable indica la posicioacuten reativa del punto con respecto a la longitud total

H-h 1-h H

H H La hipoacutetesis que se plantea afirma que el diaacutemetro en cualshy

quier punto es una funcioacuten del producto de un diaacutemetro base de refer ~ ncia (D) y de la variable que indica la posicioacuten- relativa del punto es decir

d = k1 [(D) (1- hH)]

En este modelo se tiene que si h es igual a H (el aacutepice) d es cero Y si h =0 (la base) d = KD por lo cual en general k debe ser mayor o igual a 1 dependiendo del diaacutemetro base de referencia y de la tasa de conicidad del aacuterbol

Si la variable se divide por H - 13 operacioacuten razonable en el caso en el que el diaacutemetro base de referencia D sea el diaacutemetro eacutel ]a altura del pecho (DAP) entonces

d = k1 (DAP(H-h) (H-13raquo

Con el fin de ajustar el modelo haciendo uso de las teacutecnicas de regresioacuten eacuteste se puede plantear

d = a + (J [D (1 - hH) ] De esta manera el modelo ha sido ajustado a diferentes ba middot

ses de datos obtenieacutendose resultados satisfactorios asiacute

TABLA 2 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL MODELO DE

CONICIDAD PRUumlPUESTA

A A

Poblacioacuten referencia a= a (J=b R2 Fuente

Cipreacutes (P Blancas) 067735 106748 09605 Gonzaacutelez (1983a)

Cipreacutes (Antioquia) 043578 114229 09472 Gonzaacutelez (1986)

Pinus oocarpa 160619 108101 0988 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Pinus kesiya 148397 109229 0971 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Cerezo (A lnus 1middot0rulle nsis ) 001569 109998 0949 Del Valle y

Gonzaacutelez (1988)

La principal utilidad praacutectica de los modelos de conicidad resuta del hecho de que la integral de la ecuacioacuten de conicidad entre cualesquiera dos puntos a lo largo del fuste es numeacutericashymente igual al volumen del soacutelido de revolucioacuten obtenido por roshytacioacuten de tal funcioacuten alrededor del eje de las abscisas y por lo tanto aproximadamente igual al volumen del fuste entre tales puntos

_ ~Jh1 - - 1

_ dV = 7T 4 J (d(hraquo2dh ~ -J ~ oho -J ~ ltJ b

Para el caso del modelo que se propone y teniendo en cuentan v ~ Z las unidades de medicioacuten diaacutemetro en centiacutemetros y longitud en~ ~ ~ metros la expresioacuten para el volumen (m3 ) es ~ ~ ~ ~ OI--ampL

h2 -n (- 1 tlt - ()

V = 7T 40000 [h (a2 + 2abD + b2D2) H

(abD) 9 2 ~ h3 ~ ~trj gb2D2 - oh1

Tj ~+ b2D2 + _ ] ~ ~ 3 H 2 ho

59

describir la conicidad de aacuterboles de forma tiacutepicam nte excu r r enshyte tales modelos variacutean desde formas muy simples hasta poli shynomios compejos de alto grado La mayor complejidad de los model s posibilitada por los avances en los ifltemas de coacutempushytos no ha dado como resultado una completa solucioacuten al probleshyma de describir la conicidad del fuste pero siacute ha conducido a modelos de voumen en ocasiones tan complejos que dificultan su utilizacioacuten en la praacutecti a

En este t ra ba jo se propone un modelo de conicidad simple deducido de interpretaciones geomeacutetricas de) comportamiento de la conicidad (le aacuterbo) e~ t iacutepicamente excurrentes

E l diaacutem tro en cUeacutedquier punto por debajo dei aacutepice depende fundamentalmente de 11l distancia desde ese punto hasta el aacutepice (1) es decir

d = F (1)

l es simplemente la diferencia entre H (la longitud total del fuste) y h la longitud desde el suelo hasta el punto de medicioacuten

1 = H-h

Si la variable l se divide por H )a nueva variable indica la posicioacuten reativa del punto Con respecto a la longitud total

H-h - = = l-hH H H

La hipoacutetesis que se plantea afirma que el diaacutemetro en cualshyLiuier punto es una funcioacuten del producto de un diaacutemetro base de refer ncia (D) y de la variable que indica la posicioacuteuacute relativa del punto es decir

d=k1 [(D)(l-hH)]

En este modelo se tiene que si h es igual a H (el aacutepice) d es cero Y si h = deg (la base) d = KD por lo cual en general k debe ser mayor o igual a 1 dependiendo del diaacutemetro base de referencia y de la tasa de conicidad del aacuterbol

Si la variable se divide por H - 13 operacioacuten razonable en el caso en el que el diaacutemetro base de referencia D sea el diaacutemetro a )a altura del pecho (DAP) entonces

d = k[ (DAP(H-h) (H-l3raquo

Con el fin de ajustar el modelo haciendo uso de las teacutecnicas de regresioacuten eacuteste se puede plantear

58

d = a + (3 [D (1 - hH)] De esta manera el modelo ha sido ajustado a diferentes bashy

ses de datos obtenieacutendose resultados satisfactorios asiacute

TABLA 2 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL MODELO DE

CONICIDAD PROPUESTA

J J

Poblacioacuten referencia a=a f3 = b R2 Fuente

Cipreacutes (P Blancas) 067735 106748 09605 Gonzaacutelez (1983a)

Cipreacutes (Antioquia) 043578 114229 09472 Gonzaacutelez (1986)

Pinus oocarpa 160619 108101 0988 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Pinus kesiya 148397 109229 0971 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Cerezo (Alnus iorullensis) 001S69 109998 0949 Del Valle y

Gonzaacutelez (1988)

La principal utilidad praacutectica de los modelos de conicidad resuita del hecho de que la integral de la ecuacioacuten de conicidad entre cualesquiera dos puntos a lo largo del fuste es numeacutericashymente igual al volumen del soacutelido de revolucioacuten obtenido por roshytacioacuten de tal funcioacuten alrededor del eje de las abscisas y por lo tanto aproximadamente igual al volumen del fuste entre tales puntos

h1 d ~~ -cJV == ~4 f (d(hraquo2dh ~ ~

ho -iexcl O 1

Para el caso del modelo que se propone y teniendo en cuentaQ Q

~ ~ - ~

t

ordf Z las unidades de medicioacuten diaacutemetro en centiacutemetros y longitud en bJ ~ metros la expresioacuten para el volumen (mS ) es ~ ifjj

h2 (T1 Ii --lt t1

V = ~40000 [h (a2 + 2abD + b2D2) (ab D) CJ Q ~ b2D2 h 1

H ~ Q I~+ b2D2 +

h_

3

---] 10

J 3 H2 ho

59

Si se hace ho = O Y h I H la expresioacuten se reduce a

v = 7T 40000 (H) (a2 + abD + b2D2 3)

Y corresponde a una estimacioacuten del volumen total del fuste

BIBLJOGRAFIA

Cartoacuten de Colombia S A 1986 lndices de sitio y funciones de produccioacuten de Pinus oocarpa y Pinus kesiya en los departamentos del Valle y Cauca Colombia Medelliacuten 106 p

Del Valle J 1 Gonzaacutelez H 1988 Rendimiento y crecimiento del cerezo Alnus jorullensis) en la regioacuten central andina Colombia Revista Facultad Nacional de Agronomiacutea (Medelliacuten) 41(1)59-87

Gonzaacutelez C A 1986 La conicidad del cipreacutes (Cupressus lusitanica M) en el departamento de Antioquia Tesis Jng For Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 77 p

Gonzaacutelez C A 1983 Descripcioacuten del perfil de los aacuterboles utilizando la aproximacioacuten Spline cuacutebica Medelliacuten Universidad Nacional de Coshylombia 57 p

Gonzaacute ~ez H 1983 Cuantificacioacuten y calificacioacuten de la conicidad del cipreacutes (Cupressus lusilanica M ) Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 101 p

Gray H R 1956 The form and taper or forestmiddottree stems lnstitute Paper Commonwal th Fores try Jnsti tu te (Oxford) 32 1-80

Kotse J J 1960 The management of pine stands for pulwood Journal South African Forest Association (Pretoria) 353-9

Larson P R 1963 Stem form of forest trees Forest Science (Washington) Monograph 5 42 p

Liu C J 1980 Log volumen stimatian with Spline aproximation Forest Science (Washington) 26 (3)361 -369

60 -r

REVISTA FACULTAD NAL DE AGRONOMIA MEDELLIN Vol XLI N9 1 1988

RENDIMIENTO y CREOIMIENTO DEL CEREZO (Alnus orullensis) EN LA REGIO N CENTRAL

ANDINA COLOMBIA

JORGE IGNACIO DEl VALLE ARANGO HUBERTO GONZALEZ PEREZ

RESUMEN

Se establecieran 77 parcelas permanentes en plantaciones de cereza (Alnus jorullensis HB K ) distribuidas en rangas de edad calidad de sitio posicioacuten auitudinal y lacalidad presentes en la regioacuten Central Andina en Colombia Se determinaron ecuashyciones de conicidad de volumen derivMas y ecuaciones de voshylumen directas con base en mediciones de aacuterboles apeadas dt las distintas posicianes fitosacioloacutegicas Se definieron iacutendices de sitio en funcioacuten de la altura de daminantes se determinaran madelos matemaacuteticas que expresan el crecimiento de la aUura de dominantes la altura pramedio el diaacutemetro pramedia cuashydraacutetico el aacuterea basal y el valumen con carteza en funcioacuten de la edad iacutendices de sitio y la densidad de la plOJltacioacuten Can esta base se derivaran ecuacianes que penniten pranosticar el camshyportamiento del rodal despueacutes de apravechamientas intermedias

Palabras claves Crecimiento rendimiento Alnus jorullenshysis iacutendices de sitio canicidad ecuaGIacuteanes de valumen meacutetodos expliacutecitos

ABSTRACT

GROWTH AND YIELD OF CEREZO (Alnus jorullensis) IN THE ANDEAN CENTRAL REGlaN COLOMBIA

Seventy-seven permanent plats were established in Alnus jorullensis planJa-tians distribuled aver a wide range aj ages

Profesores titular y asociado respectivamente Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Agropecuarias Medelliacuten Apartado aeacutereo 568

61

describir la conicidad de aacuterboles de forma tiacutepicam nte excu r r enshyte tales modelos variacutean desde formas muy simples hasta poli shynomios compejos de alto grado La mayor complejidad de los model s posibilitada por los avances en los ifltemas de coacutempushytos no ha dado como resultado una completa solucioacuten al probleshyma de describir la conicidad del fuste pero siacute ha conducido a modelos de voumen en ocasiones tan complejos que dificultan su utilizacioacuten en la praacutecti a

En este t ra ba jo se propone un modelo de conicidad simple deducido de interpretaciones geomeacutetricas de) comportamiento de la conicidad (le aacuterbo) e~ t iacutepicamente excurrentes

E l diaacutem tro en cUeacutedquier punto por debajo dei aacutepice depende fundamentalmente de 11l distancia desde ese punto hasta el aacutepice (1) es decir

d = F (1)

l es simplemente la diferencia entre H (la longitud total del fuste) y h la longitud desde el suelo hasta el punto de medicioacuten

1 = H-h

Si la variable l se divide por H )a nueva variable indica la posicioacuten reativa del punto Con respecto a la longitud total

H-h - = = l-hH H H

La hipoacutetesis que se plantea afirma que el diaacutemetro en cualshyLiuier punto es una funcioacuten del producto de un diaacutemetro base de refer ncia (D) y de la variable que indica la posicioacuteuacute relativa del punto es decir

d=k1 [(D)(l-hH)]

En este modelo se tiene que si h es igual a H (el aacutepice) d es cero Y si h = deg (la base) d = KD por lo cual en general k debe ser mayor o igual a 1 dependiendo del diaacutemetro base de referencia y de la tasa de conicidad del aacuterbol

Si la variable se divide por H - 13 operacioacuten razonable en el caso en el que el diaacutemetro base de referencia D sea el diaacutemetro a )a altura del pecho (DAP) entonces

d = k[ (DAP(H-h) (H-l3raquo

Con el fin de ajustar el modelo haciendo uso de las teacutecnicas de regresioacuten eacuteste se puede plantear

58

d = a + (3 [D (1 - hH)] De esta manera el modelo ha sido ajustado a diferentes bashy

ses de datos obtenieacutendose resultados satisfactorios asiacute

TABLA 2 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL MODELO DE

CONICIDAD PROPUESTA

J J

Poblacioacuten referencia a=a f3 = b R2 Fuente

Cipreacutes (P Blancas) 067735 106748 09605 Gonzaacutelez (1983a)

Cipreacutes (Antioquia) 043578 114229 09472 Gonzaacutelez (1986)

Pinus oocarpa 160619 108101 0988 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Pinus kesiya 148397 109229 0971 Cartoacuten de Coshylombia (1986)

Cerezo (Alnus iorullensis) 001S69 109998 0949 Del Valle y

Gonzaacutelez (1988)

La principal utilidad praacutectica de los modelos de conicidad resuita del hecho de que la integral de la ecuacioacuten de conicidad entre cualesquiera dos puntos a lo largo del fuste es numeacutericashymente igual al volumen del soacutelido de revolucioacuten obtenido por roshytacioacuten de tal funcioacuten alrededor del eje de las abscisas y por lo tanto aproximadamente igual al volumen del fuste entre tales puntos

h1 d ~~ -cJV == ~4 f (d(hraquo2dh ~ ~

ho -iexcl O 1

Para el caso del modelo que se propone y teniendo en cuentaQ Q

~ ~ - ~

t

ordf Z las unidades de medicioacuten diaacutemetro en centiacutemetros y longitud en bJ ~ metros la expresioacuten para el volumen (mS ) es ~ ifjj

h2 (T1 Ii --lt t1

V = ~40000 [h (a2 + 2abD + b2D2) (ab D) CJ Q ~ b2D2 h 1

H ~ Q I~+ b2D2 +

h_

3

---] 10

J 3 H2 ho

59

Si se hace ho = O Y h I H la expresioacuten se reduce a

v = 7T 40000 (H) (a2 + abD + b2D2 3)

Y corresponde a una estimacioacuten del volumen total del fuste

BIBLJOGRAFIA

Cartoacuten de Colombia S A 1986 lndices de sitio y funciones de produccioacuten de Pinus oocarpa y Pinus kesiya en los departamentos del Valle y Cauca Colombia Medelliacuten 106 p

Del Valle J 1 Gonzaacutelez H 1988 Rendimiento y crecimiento del cerezo Alnus jorullensis) en la regioacuten central andina Colombia Revista Facultad Nacional de Agronomiacutea (Medelliacuten) 41(1)59-87

Gonzaacutelez C A 1986 La conicidad del cipreacutes (Cupressus lusitanica M) en el departamento de Antioquia Tesis Jng For Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 77 p

Gonzaacutelez C A 1983 Descripcioacuten del perfil de los aacuterboles utilizando la aproximacioacuten Spline cuacutebica Medelliacuten Universidad Nacional de Coshylombia 57 p

Gonzaacute ~ez H 1983 Cuantificacioacuten y calificacioacuten de la conicidad del cipreacutes (Cupressus lusilanica M ) Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 101 p

Gray H R 1956 The form and taper or forestmiddottree stems lnstitute Paper Commonwal th Fores try Jnsti tu te (Oxford) 32 1-80

Kotse J J 1960 The management of pine stands for pulwood Journal South African Forest Association (Pretoria) 353-9

Larson P R 1963 Stem form of forest trees Forest Science (Washington) Monograph 5 42 p

Liu C J 1980 Log volumen stimatian with Spline aproximation Forest Science (Washington) 26 (3)361 -369

60 -r

REVISTA FACULTAD NAL DE AGRONOMIA MEDELLIN Vol XLI N9 1 1988

RENDIMIENTO y CREOIMIENTO DEL CEREZO (Alnus orullensis) EN LA REGIO N CENTRAL

ANDINA COLOMBIA

JORGE IGNACIO DEl VALLE ARANGO HUBERTO GONZALEZ PEREZ

RESUMEN

Se establecieran 77 parcelas permanentes en plantaciones de cereza (Alnus jorullensis HB K ) distribuidas en rangas de edad calidad de sitio posicioacuten auitudinal y lacalidad presentes en la regioacuten Central Andina en Colombia Se determinaron ecuashyciones de conicidad de volumen derivMas y ecuaciones de voshylumen directas con base en mediciones de aacuterboles apeadas dt las distintas posicianes fitosacioloacutegicas Se definieron iacutendices de sitio en funcioacuten de la altura de daminantes se determinaran madelos matemaacuteticas que expresan el crecimiento de la aUura de dominantes la altura pramedio el diaacutemetro pramedia cuashydraacutetico el aacuterea basal y el valumen con carteza en funcioacuten de la edad iacutendices de sitio y la densidad de la plOJltacioacuten Can esta base se derivaran ecuacianes que penniten pranosticar el camshyportamiento del rodal despueacutes de apravechamientas intermedias

Palabras claves Crecimiento rendimiento Alnus jorullenshysis iacutendices de sitio canicidad ecuaGIacuteanes de valumen meacutetodos expliacutecitos

ABSTRACT

GROWTH AND YIELD OF CEREZO (Alnus jorullensis) IN THE ANDEAN CENTRAL REGlaN COLOMBIA

Seventy-seven permanent plats were established in Alnus jorullensis planJa-tians distribuled aver a wide range aj ages

Profesores titular y asociado respectivamente Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Agropecuarias Medelliacuten Apartado aeacutereo 568

61

Si se hace ho = O Y h I H la expresioacuten se reduce a

v = 7T 40000 (H) (a2 + abD + b2D2 3)

Y corresponde a una estimacioacuten del volumen total del fuste

BIBLJOGRAFIA

Cartoacuten de Colombia S A 1986 lndices de sitio y funciones de produccioacuten de Pinus oocarpa y Pinus kesiya en los departamentos del Valle y Cauca Colombia Medelliacuten 106 p

Del Valle J 1 Gonzaacutelez H 1988 Rendimiento y crecimiento del cerezo Alnus jorullensis) en la regioacuten central andina Colombia Revista Facultad Nacional de Agronomiacutea (Medelliacuten) 41(1)59-87

Gonzaacutelez C A 1986 La conicidad del cipreacutes (Cupressus lusitanica M) en el departamento de Antioquia Tesis Jng For Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 77 p

Gonzaacutelez C A 1983 Descripcioacuten del perfil de los aacuterboles utilizando la aproximacioacuten Spline cuacutebica Medelliacuten Universidad Nacional de Coshylombia 57 p

Gonzaacute ~ez H 1983 Cuantificacioacuten y calificacioacuten de la conicidad del cipreacutes (Cupressus lusilanica M ) Medelliacuten Universidad Nacional de Colombia 101 p

Gray H R 1956 The form and taper or forestmiddottree stems lnstitute Paper Commonwal th Fores try Jnsti tu te (Oxford) 32 1-80

Kotse J J 1960 The management of pine stands for pulwood Journal South African Forest Association (Pretoria) 353-9

Larson P R 1963 Stem form of forest trees Forest Science (Washington) Monograph 5 42 p

Liu C J 1980 Log volumen stimatian with Spline aproximation Forest Science (Washington) 26 (3)361 -369

60 -r

REVISTA FACULTAD NAL DE AGRONOMIA MEDELLIN Vol XLI N9 1 1988

RENDIMIENTO y CREOIMIENTO DEL CEREZO (Alnus orullensis) EN LA REGIO N CENTRAL

ANDINA COLOMBIA

JORGE IGNACIO DEl VALLE ARANGO HUBERTO GONZALEZ PEREZ

RESUMEN

Se establecieran 77 parcelas permanentes en plantaciones de cereza (Alnus jorullensis HB K ) distribuidas en rangas de edad calidad de sitio posicioacuten auitudinal y lacalidad presentes en la regioacuten Central Andina en Colombia Se determinaron ecuashyciones de conicidad de volumen derivMas y ecuaciones de voshylumen directas con base en mediciones de aacuterboles apeadas dt las distintas posicianes fitosacioloacutegicas Se definieron iacutendices de sitio en funcioacuten de la altura de daminantes se determinaran madelos matemaacuteticas que expresan el crecimiento de la aUura de dominantes la altura pramedio el diaacutemetro pramedia cuashydraacutetico el aacuterea basal y el valumen con carteza en funcioacuten de la edad iacutendices de sitio y la densidad de la plOJltacioacuten Can esta base se derivaran ecuacianes que penniten pranosticar el camshyportamiento del rodal despueacutes de apravechamientas intermedias

Palabras claves Crecimiento rendimiento Alnus jorullenshysis iacutendices de sitio canicidad ecuaGIacuteanes de valumen meacutetodos expliacutecitos

ABSTRACT

GROWTH AND YIELD OF CEREZO (Alnus jorullensis) IN THE ANDEAN CENTRAL REGlaN COLOMBIA

Seventy-seven permanent plats were established in Alnus jorullensis planJa-tians distribuled aver a wide range aj ages

Profesores titular y asociado respectivamente Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Agropecuarias Medelliacuten Apartado aeacutereo 568

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