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LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN DE INTEGRACIÓN
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LA CONSTANTEDE INTEGRACIÓNDE INTEGRACIÓN
La constante de integración puede hallarse cuandoConocemos el valor de la integral para un punto o
Valor particular de sus variables.
Ejemplo: Encontrar la función cuya primera derivada esx-3 y pasa por el punto (2,9)
SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DE LA CONSTANTE DEINTEGRACIÓN
Si determinamos la ecuación de la curva cuya tangente en cada puntotenga pendiente 2x, tendremos:
Integrando derivando
SIGNIFICADO FÍSICO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN
En el movimiento de los cuerpos
Ejercicio
Una piedra se deja caer desde un globo que asciende a la velocidadde 5 m/seg. La piedra llegó al suelo en 8 seg. ¿A que altura seencontraba el globo cuando la piedra se dejo caer?
Asenso de la piedratt1tt2
Altura del globo
Altura de caídade la piedra
tt3
Cuando la piedra se deja caer lleva una velocidad ascendente de5m/seg, el tiempo que tarda en llegar al punto más alto de ascensoes
LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN EN LAS INTEGRALESEXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Algunos fenómenos que pueden ser descritos por un crecimientoexponencial, al menos durante un cierto intervalo de tiempo, son:
1. El volumen de una esfera al crecer.2. El número de células de un feto mientras se desarrolla en el úteromaterno.materno.3. En una economía sin trastornos, los precios crecenexponencialmente, donde la tasa coincide con el índice de inflación.4. El número de contraseñas posibles con n dígitos creceexponencialmente con n.5. El número de bacterias que se reproducen por fisión binaria.6. El número de miembros en poblaciones de ecosistemas cuandocarecen de predador.
LEY DE CAMBIO EXPONENCIAL
Algunas aplicaciones:
1. Interés compuesto
Si se paga una tasa anual fija de interés para una inversión inicial
y el interés se abona a la cuenta veces por año, la cantidad de dinero
presente después de años es:
Si el interés se paga mensualmente
Si el interés se paga no en intervalos discretos sino de maneracontinua:
2. Radiactividad:
Se ha demostrado que el decaimiento de un elemento radiactivoes proporcional al número de núcleos radiactivos presentes. Sedescribe por la ecuación:
Si es el número de núcleos radiactivos presentes en el instanteSi es el número de núcleos radiactivos presentes en el instante, el número de núcleos presentes en cualquier instante
posterior será:
La vida media de un elemento radiactivo es el tiempo necesariopara que 0 . Demostrar que:
Ejercicio
La ecuación de decaimiento del Radón 222 es:
¿Cuánto tiempo tardará cierta cantidad de Radón contenida en una muestraen decaer al 90% de su valor original?
3. Ley de enfriamiento (o calentamiento) de Newton
La razón de cambio de la temperatura de un objeto en cualquier instante,es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura delmedio ambiente.
Si es la temperatura del objeto en el instante y s es la temperaturaambiente, entonces:
Ejercicio
Un huevo cocido a 98°C es colocado bajo la llave del agua a 18°Cpara enfriarlo. Después de 5 minutos, la temperatura del huevo esde 38°C. ¿Cuánto tiempo pasará para que el huevo alcance los 20°C?
¡CALCULARLO!
