La crisis actual de los fundamentos de la Matemática, Mario O. González

Mario O. Gonzlez, La crisis actual de los fundamentos de la Matemtica, Revista Cubana de Filosofa 1950

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Revista Cubana de FilosofaLa Habana, enero-diciembre de 1950

Vol. 1, nmero 6pginas 25-30

Mario O. Gonzlez

La crisis actualde los fundamentos de la MatemticaIntroduccin

La Matemtica, como todas las ciencias, ha pasado en su largo desarrollo por numerosascrisis, las cuales ha podido superar felizmente, resurgiendo de cada una de ellas ms sliday pujante, y mostrando en su acervo metodolgico nuevos y ms refinados instrumentos deinvestigacin.

Estas crisis a que aludimos han seguido invariablemente, como inevitable secuela, a lasinnovaciones ms radicales experimentadas por la Matemtica en el curso de su historia.Una de las ms importantes, merecedora de ser siquiera mencionada aqu, fue la gran crisisepistemolgica que sigui a la creacin de la Geometra analtica por Renato Descartes,hacia 1637, y del Clculo infinitesimal por Newton y Leibniz (hacia fines del siglo XVII) yque prolongndose durante todo el siglo XVIII, slo vino a ser superada en el pasado siglopor obra de Cauchy, Weierstrass, Dedekind y otros, al lograr estos matemticos establecer,por primera vez, con claridad y precisin, los conceptos de nmero real, de lmite, deinfinitesimal, de continuidad, de convergencia... Los matemticos del siglo XVIII,ocupados en desarrollar las consecuencias del nuevo clculo y sus mltiples e importantesaplicaciones a la Geometra, a la Mecnica, a la Fsica y a la Astronoma, casi no sepreocuparon por sus fundamentos y una densa niebla metafsica invadi sus concepcionesbsicas. Para algunos matemticos de aquella poca una cantidad que es aumentada odisminuida en un infinitesimal no es aumentada ni disminuida, en tanto que para otros loinfinitesimal es el espritu de una cantidad que se desvanece. Puede decirse que aplicabanel clculo diferencial e integral sin tener una idea precisa de sus conceptos fundamentales ysin percatarse de sus limitaciones y su alcance. En consecuencia, slo hombres de un finoespritu matemtico, como Euler, se libraron de cometer errores groseros. De este estadometafsico pas el Clculo al estado cientfico en el siglo XIX, al introducirse en susfundamentos el rigor, alcanzndose su estructuracin dentro de las tradicionales normashelnicas de perfeccin lgica.

En el perodo 1874-1895, G. Cantor provoc una nueva revolucin en la cienciamatemtica al crear su teora de los conjuntos (Mengenlehre). Despus de los trabajos deCantor la teora de los conjuntos ha venido a desempear el papel de disciplina matemticafundamental, sobre la cual se construye la Aritmtica, el Anlisis, la Geometra, laTopologa. Pero esta radical innovacin ha producido una nueva y profunda crisis filosficaen medio de la cual se debate an nuestra ciencia, sin que sea posible predecir con certezaen qu direccin se lograr vencer las dificultades a que ha conducido el riguroso anlisisque se ha hecho en los ltimos tiempos de las bases lgicas y epistemolgicas de laMatemtica.

El logicismo

Frege fue el primero en sostener que la Matemtica es simplemente una parte de la Lgicay, por tanto, es susceptible de edificarse con procedimientos lgicos puros. Entre 1879 y1903 Frege dedica tesoneros esfuerzos a sentar la Matemtica sobre bases lgicasexclusivamente, los resultados de los cuales expone en su obra fundamental Grundgesetze

Teora de Conjuntos, anterior y causante del la crisis de los fundamentos.



der Arithmetik (2 vol. 1893-1903). En esta obra Frege hace frecuente uso de la nocin deconjunto de todos los conjuntos, lo que le conduce a un completo fiasco en sus propsitos,como el propio autor tiene la valenta de reconocer al final del segundo tomo, cuando dice:Un cientfico no puede encontrar nada menos deseable que hallar que todo el fundamentode su obra cae precisamente en el momento que le da fin. He sido puesto en esta posicinpor una carta de Mr. Bertrand Russell cuando este trabajo se hallaba casi terminado en laimprenta.

En esta carta Russell comunicaba a Frege su famosa antinomia sobre el conjunto C detodos los conjuntos que no se contienen a s mismo como elemento. La contradiccin surgeal considerar que si C se contiene a s mismo resulta, en virtud de la definicin, que C noes elemento de C, es decir, no se contiene a s mismo; y si, por el contrario, no se contienea s mismo, de la definicin resulta tambin que entonces C es elemento de C.

De un carcter ms matemtico son las antinomias de Burali-Forti, de Richard y deZermelo. Estas antinomias ponen en peligro los trabajos de Cantor sobre el infinito actual ylas aspiraciones de los que pretenden reducir la Matemtica a las reglas de la Lgica.Varias soluciones se propusieron para eludir las antinomias. Russell, erigido en campendel logicismo a partir de 1903, insiste en que la Lgica es ms fundamental y debeanteceder a la Matemtica.{1} En su importante obra Principia Mathematica (1910-1913),escrita en colaboracin con Whitehead, trata de probar que la Matemtica es reducible a unpequeo nmero de conceptos y de principios lgicos fundamentales. Para evitar lasantinomias Russell propone el llamado principio del crculo vicioso, que expresa as:Aquello que presupone la totalidad de un conjunto no debe formar parte del conjunto,[26] el cual tiene el inconveniente de que obliga a prescindir de algunos conceptosmatemticos sumamente tiles, como el de extremo superior de un conjunto (cuyadefinicin exige la consideracin de todos los elementos del conjunto). Para atenuar elalcance del principio del crculo vicioso, Russell introduce el llamado principio dereducibilidad, que ha sido muy combatido por su carcter artificial.

Los logicistas, en su afn de aislar los elementos lgicos del razonamiento, crearon lapasigrafa, llamada tambin logstica o lgica simblica. Mediante un simbolismo especialse traduce el discurso en frmulas anlogas a las matemticas, las cuales ponen de relievelas estructuras lgicas. Los smbolos ms importantes, de frecuente uso hoy da an enlibros no especializados de lgica matemtica, son los siguientes:

Lgica Simblica: pasigrafa, logstica. Constructores de analogas. La analoga es un conjunto de estructuras lgicas.



Revista Cubana de Filosofa, nmero 6, pgina 26, 1950

traducida al lenguaje vulgar significa: dadas dos clases A y B existe una clase C tal quepara todo el afirmar que pertenece a C equivale a afirmar que pertenece a A y que pertenece a B (esta clase C es la interseccin o producto lgico de las clases A y B).

La logstica comprende: el clculo de proposiciones, el clculo de funcionesproposicionales, el clculo de clases y el clculo de relaciones.

Para Russell una proposicin es una expresin que es falsa o que es verdadera. Lossmbolos que representan proposiciones pueden pues, tomar dos valores de verdad (truthvalues): lo verdadero (V) y lo falso (F).{2}

Una expresin que contenga una variable x y que se convierta en una proposicin cuando ax se atribuya un determinado significado se llama funcin proposicional. Es precisamenteen el clculo de funciones proposicionales en donde Russell introduce su discutido axiomade reducibilidad. Habiendo separado las funciones proposicionales en tipos de acuerdo conlos valores permisibles de x, se postula ahora que cada funcin proposicional en cualquierade los tipos mencionados es equivalente a alguna funcin proposicional de un tipoinferior.{3} El mejor argumento en favor del axioma de reducibilidad es el haberse logradoevitar con l las antinomias.

Russell considera el concepto de clase como derivado del de funcin proposicional,llamando clase al dominio de una funcin proposicional. En esto procede a la inversa deBoole, Peano y otros, los cuales tomaban el concepto de clase como idea primitiva y hacanpreceder el clculo de clases al clculo de proposiciones.

El mismo Rusell advirtiendo en la amplitud excesiva del concepto de clase el origen de lasantinomias, ha propuesto diversas teoras para delimitarlo (zig-zag theory; theory oflimitation of size), llegando en un sacrificio mximo a formular su no classes theory en lacual abandona ya este concento, sustituyndolo por circunloquios diversos. Figuraos culser el aspecto de una pgina de logstica deca Poincar cuando se hayan suprimido enella todas las proposiciones en que se trate de clases: slo sobrevivirn algunas esparcidas

Tipos de Russell



en medio de una pgina blanca. Apparent rari nantes in gurgite vasto.

Uno de los mayores mritos de la obra de Russell es haber dado forma definitiva al clculode relaciones, que haba sido desarrollado en gran parte por el norteamericano Peirce y porel alemn Schrider en su extensa obra Vorlesungen ber die Algebra der Logik (4 vol.1890-91-95 y 1905). El clculo de relaciones desempea un destacado papel en el lgebramoderna y en otras ramas abstractas de la matemtica actual en donde interesaprincipalmente el estudio de las relaciones y no la naturaleza de los entes relacionados. [27]

El formalismo

Hilbert repudia el logicismo{4} afirmando que la Matemtica no puede fundamentarsenicamente con los recursos de la Lgica. Hilbert propone un sistema en que laMatemtica no aparece como posterior a la Lgica sino consideradas simultneamente.

En su Beweistheorie Hilbert no se propone demostrar que la Matemtica sea verdadera,sino consistente. De haber triunfado el programa de Hilbert la Matemtica y la Lgicahabran quedado como disciplinas autnomas, independientes de la Filosofa. Este idealparece hoy inasequible, debido a los trabajos recientes de K. Gdel acerca de los cualestrataremos ms adelante.

El mtodo de Hilbert, llamado formalismo, comprende esencialmente los siguientes puntos:

1) Axiomatizacin. Las propiedades primeras no se demuestran sino se postulan y estesistema de axiomas o postulados proporciona al mismo tiempo una definicin indirecta delos conceptos primarios que intervienen en ellos. Los axiomas tienen un carcter puramentearbitrario o convencional (como las reglas del ajedrez), estando sujetos nicamente a unacondicin esencial: su consistencia o compatibilidad (es decir, no deben sercontradictorios).

2) Formulacin. Los axiomas se expresan mediante el lenguaje simblico, con objeto dedesarrollar la teora con los mtodos de la lgica matemtica, mtodos que permitenasegurar que en estas deducciones no se apela a recursos extraos al sistema.

3) Demostracin de la compatibilidad de los axiomas. Esta es la cuestin fundamental enel formalismo, la cual permite decidir si el sistema construido es legtimo o si carece desentido. Para resolver el problema de la compatibilidad crea Hilbert la Metamatemtica odoctrina destinada a establecer la compatibilidad de la Matemtica mediante un limitadonmero de proposiciones. Evidentemente sera ilegtimo intentar establecer lacompatibilidad haciendo uso de toda la Lgica y toda la Matemtica, pues se estaraentonces dando por probada la compatibilidad que se trata de demostrar.

El texto oficial para el estudio del formalismo es la gran obra de Hilbert y BernaysGrundlagen der Mathematik (1934 y 1939). Cuando esta obra se public, un joven viens(Gdel) haba dado a conocer poco antes lo que ha sido calificado como el resultado msdecisivo de la lgica matemtica moderna. Gdel demuestra por un procedimiento decarcter constructivo (es decir, no meramente existencial), que en ciertos sistemas (msconcretamente, en el clculo restringido de las funciones proposicionales) hay asercionesque no pueden ser demostradas o impugnadas. Utilizando un procedimiento original Gdelconstruye un teorema verdadero y tal que una demostracin formal del mismo conduce acontradiccin. El procedimiento de Gdel consiste en sustituir los smbolos del clculo deproposiciones por los smbolos de los nmeros enteros, resultando as un algoritmonumrico que aplicado a los teoremas de la Aritmtica conduce a un crculo vicioso.

Gdel ha obtenido resultados aun ms generales de los cuales resulta la imposibilidad dedemostrar la consistencia en ninguna teora formal que comprenda la de los nmerosnaturales mediante un procedimiento cualquiera susceptible de ser expresado en trminosde dicha teora.



La conclusin de Gdel, que ha valido a ste una cita obligada en todos los escritosrecientes sobre lgica matemtica, invalida el propsito principal de la obra de Hilbert-Bernays, de tal modo que la compatibilidad de la Aritmtica est todava por demostrarse.Como dice H. Weyl (The American Mathematical Monthly, enero 1946): It is likely thatall mathematicians ultimately would have accepted Hilberts approach had he been able tocarry it out successfully. The first steps were inspiring and promising. But then Gdel dealtit a terrific blow (1931), from which it has not yet recovered. Like everybody andeverything in the world today, we have our crisis. Y el mismo autor en un artculonecrolgico sobre Hilbert{5} afirma: Whatever the future may bring, there is no doubt thatBrouwer and Hilbert raised the problem of the foundation of mathematics to a new level. Areturn to the standpoint of Russell-Whiteheads Principia Mathematica is unthinkable.

El intuicionismo

Las aspiraciones de los logicistas y formalistas han sido vigorosamente combatidas porPoincar, Borel, Lebesgue, Klein, Enriques y otros distinguidos matemticos de la escuelaintuicionista. Aunque en general la filosofa kantiana no tiene ms que inters histrico enla matemtica actual, debe, sin embargo, hacerse remontar a Kant el origen de la tendenciaintuicionista puesto que se admite en ella la subjetividad de los fundamentos de laMatemtica. Los intuicionistas afirman que en los comienzos de nuestra ciencia existenciertas nociones y proposiciones provenientes de la intuicin (intelectual), e irreductibles ala Lgica. Tales son la intuicin de la iteracin o aptitud de nuestra mente para concebir larepeticin indefinida de los actos del pensamiento, y el llamado principio de induccincompleta, considerado por Poincar como un juicio sinttico a priori, de carctermatemtico, no demostrable experimentalmente ni por procedimientos lgicos. [28]

Refirindose al principio de induccin completa dice Poincar (La Science et lHypothese,cap. I): On ne saurait mconnaitre quil y a la une analogie frappante avec les procdshabituels de linduction. Mais une diffrence essentielle subsiste. Linduction, appliqueaux sciences physiques, est toujours incertaine, parce quelle repose sur la croyance a unordre gnral de lUnivers ordre qui est en dehors de nous. Linduction mathmatique,cest-a-dire la dmonstration par rcurrence, simpose au contraire ncessairement, parcequelle nest que 1affirmation dune proprit de lesprit lui-meme. Y en otro lugar:Cette regle, inaccesible a la demonstration analytique et a lexprience, est le vritabletype du jugement synthtique a priori.{6}

Para los intuicionistas la Matemtica es una libre creacin del hombre, el cual no descubresino crea la Matemtica. La Lgica sola es estril y la Matemtica no sera otra cosa queuna inmensa tautologa si no la fecundase la intuicin. No se desestima el papel de laLgica como legitimadora del razonamiento matemtico pero es impotente ella sola paraestablecer la compatibilidad de los axiomas fundamentales y para llegar a lasgeneralizaciones y abstracciones que caracterizan a la Matemtica actual.

Como dice Borel, les mathmatiques ne sont pas seulement une collection de deductionslogiques, pas plus que larithmetique nest une collection de calculs numeriques exacts.

Y R. Courant en su obra What is Mathematics? escribe: In some way or other, openly orhidden, even under the most uncompromising formalistic, logical or postulational aspect,constructive intuition always remains the vital element in mathematics.

El neointuicionismo

El precursor del neointuicionismo fue Kronecker, clebre matemtico alemn de mediadosdel siglo XIX. Pero el Frher de la escuela neointuicionista es Brouwer (holands, 1882),uno de los fundadores de la Topologa moderna. Entre sus ms distinguidos colaboradoresy continuadores figuran Weyl, Heyting, Glivenko, Wavre y Levi. Y el adversario msesforzado y pertinaz de esta tendencia ha sido Hilbert.

Kant: la subjetividad matemtica.



Kronecker, en sus polmicas con Weierstrass y Cantor, haba insistido sobre la necesidadde dar demostraciones constructivas que proporcionasen en un nmero finito deoperaciones humanamente realizables el ente matemtico cuya existencia se deseabaestablecer. Para Kronecker carecan en absoluto de valor apodctico las demostraciones porreduccin al absurdo, en las cuales no se prueba la existencia de un objeto sino la noexistencia de su contradictorio. Al negar validez a las teoras del nmero irracional (segnlas ideas de Dedekind, Weierstrass y Cantor) e insistir en que toda la Matemtica seedificase a partir de los nmeros naturales mediante un nmero finito de operaciones,Kronecker ech los cimientos de una filosofa de la Matemtica verdaderamenterevolucionaria cuyas consecuencias ms importantes no fueron aceptadas hasta que lasantinomias cantorianas comenzaron a poner de manifiesto su plausibilidad.

Brouwer desarrolla el punto de vista kroneckeriano en su tesis doctoral (Over degrondslagen der wiskunde, 1907), en un corto trabajo sobre la incertidumbre de losprincipios lgicos (1908), y en otro, muy breve tambin, del ao 1912, sobre intuicionismoy formalismo. En estos trabajos llega, como en seguida veremos, a una posicin filosficamucho ms radical que la de Kronecker.

Brouwer coincide con este ltimo acerca del significado que debe atribuirse a la palabraexistencia en Matemtica. Para la mayora de los matemticos existente significa exento decontradiccin. Para Brouwer, como para Kronecker, un ente matemtico existe slo cuandoes posible dar un procedimiento que permita construirlo en un nmero finito deoperaciones. Y una proposicin general sobre un conjunto infinito noes vlida a menos quese ofrezca un mtodo para demostrarla en un nmero finito de pasos. Pero lo que ofrecems novedad en la posicin filosfica de Brouwer es su ataque a la Lgica clsica al negarvalidez universal al principio del tercero excluido (tertium non datur). Segn Brouwer, lahistoria muestra que la Lgica clsica es un subproducto de la matemtica elementalaplicada a los conjuntos finitos y el olvido de este limitado origen ha hecho considerarequivocadamente a la Lgica como algo anterior o superior a la Matemtica, lo que hallevado a aplicarla, haciendo una extrapolacin ilegtima, a la matemtica de los conjuntosinfinitos. Como dice Weyl, sta es la cada y el pecado original de la teora de losconjuntos, por el cual recibe el justo castigo de las antinomias. Lo sorprendente continaWeyl, no es que tales contradicciones se hayan presentado sino que hayan surgido en unestado tan avanzado de la ciencia. Para los neointuicionistas la Matemtica precede a laLgica y no sta a aqulla. [29]

El abandono del principio del tercero excluido{7} implica una reestructuracin de la Lgicaclsica que ha sido realizada por Heyting y Glivenko principalmente. He aqu un resumende los fundamentos de la lgica nueva (o lgica brouweriana, o neointuicionista, oempirista), segn ha sido expuesta por R. Wavre.{8}

En primer lugar recordemos que la lgica clsica es la lgica de lo verdadero y lo falso; enella se impone la alternativa entre lo verdadero y lo que no lo es, o dicho de otro modo, unaproposicin es siempre verdadera o falsa. La lgica brouweriana es la lgica de loverdadero y lo absurdo, sin que se imponga una alternativa entre una y otra cosa. En lanueva lgica lo verdadero es lo efectivamente demostrable y lo absurdo es lo efectivamentereducible a una contradiccin. Lo absurdo implica lo falso pero lo falso no implicanecesariamente lo absurdo. De ah que la ausencia de contradiccin en una teora noimplique su verdad pues, como dice Brouwer utilizando un smil, la imposibilidad dedemostrar la culpabilidad de un acusado no prueba su inocencia.

Si A y B son dos proposiciones, la notacin

A ? B

se lee: A implica B, y significa: si A es verdadera, B es verdadera. Se dice que dosproposiciones son equivalente (A = B) cuando se implican mutuamente.



A continuacin enumeramos los principios fundamentales de la lgica brouweriana{9}:

1. Principio del silogismo. Si A ? B y B ? C, entonces A ? C.

2. Principio de la deduccin. Si A es verdadera y A ? B, se puede afirmar que B esverdadera aisladamente.

3. Principio de contradiccin. Una proposicin no puede ser verdadera y absurda. (Elenunciado clsico es: una proposicin no puede ser verdadera y falsa).

4. Principio de implicacin de lo absurdo. Lo que implica lo absurdo es absurdo. (Elenunciado clsico es: lo que implica lo falso es falso).

5. Principio del predicado de la absurdidad. La verdad de una proposicin implica laabsurdidad de la absurdidad de esta proposicin. (El enunciado clsico es: la falsedad de lafalsedad de una proposicin implica la verdad de esta proposicin).

En la lgica brouweriana no son aceptados los principios siguientes:

1. Una proposicin es verdadera o absurda{10}.

2. La absurdidad de la absurdidad de una proposicin implica la verdad de estaproposicin.

3. Una proposicin es absurda, o bien, es absurdo que ella sea absurda.

Representando por A la verdad de una proposicin, por su falsedad y por A* suabsurdidad, el quinto principio de los enunciados ms arriba puede expresarse as:

En lgica brouweriana: A ? A** (a)

En lgica clsica: ? A ()

El principio no aceptado de 2 se expresa as A** ? A

El cuarto principio de lgica brouweriana se puede interpretar en la siguiente forma:

(A ? B) ? (B* ? A**) (?)

es decir, si A implica B, entonces la absurdidad de B implica la absurdidad de A.

Como A ? A** segn (a), en virtud de (?) resulta:

(A ? A**) ? (A*** ? A*)

y como la implicacin A*** ? A* se puede considerar aisladamente (2 principio) yadems A* ? A***, se obtiene la siguiente conclusin interesante: en la lgica brouwerianala absurdidad tercera equivale a la absurdidad primera.

La validez de una porcin considerable de la Matemtica vigente depende de la aceptacino no aceptacin del principio del tercero excluido. Rechazarlo como quieren losneointuicionistas, implica una mutilacin tan considerable de nuestra ciencia, que la mayorparte de los matemticos vacilan y, en su mayora, no se deciden a emprender lareestructuracin que demanda el neointuicionismo;{11} esta reestructuracin, por otra parte,slo podr salvar una parte muy pequea del acervo matemtico tradicional. Adems, laMatemtica tal como hoy existe, con sus diversas ramas (el clculo infinitesimal, la teorade las ecuaciones, la teora de funciones, la geometra diferencial, la topologa), ha sido uninstrumento tan potente y de resultados tan fecundos en la Astronoma, en la Fsica, entodas las ramas de la tcnica, [30] a travs de la prolongada lucha del hombre por la



conquista de las leyes y de las fuerzas naturales (cuyo producto final es la maravillosa ycompleja civilizacin presente), que la validez de la Matemtica clsica resulta aseguradacomo una cuestin de hecho, en razn de su utilidad y de sus consecuencias prcticas.{12}

Hilbert ha defendido en varias ocasiones el punto de vista tradicional combatiendovigorosamente al neointuicionismo. El programa de Brouwer dice Hilbert no es unarevolucin sino solamente una repeticin con viejos mtodos de un golpe de mano intilque, aun cuando ha sido emprendido con mayor fuerza, ha fallado sin embargocompletamente. Hoy el Estado est bien armando gracias a los trabajos de Frege, Dedekindy Cantor. Los esfuerzos de Brouwer y Weyl estn destinados a ser intiles. El efecto (delneointuicionismo) es desmembrar nuestra ciencia y se corre el riesgo de perder una granparte de nuestras ms valiosas adquisiciones. Weyl y Brouwer condenan las nocionesgenerales de nmero irracional, de funciones an aqullas que aparecen en la teora de losnmeros, los nmeros transfinitos de Cantor, &c., el teorema (bsico en Anlisis) de queun conjunto infinito de enteros positivos tiene un mnimo, y an la ley del tercero excluido,como por ejemplo, la afirmacin: o hay slo un nmero finito de nmeros primos o hayuna infinidad. Estos son ejemplos de teoremas y modos de razonar prohibidos. Yo creo queas como Kronecker fue impotente para abolir los nmeros irracionales no menosimpotentes sern hoy los esfuerzos de Weyl y Brouwer.

En otra parte afirma Hilbert: Prohibir a un matemtico hacer uso del principio del terceroexcluido es como prohibir a un astrnomo emplear su telescopio o a un boxeador usar suspuos.

Hilbert estaba firmemente convencido de que la certeza completa podra alcanzarse enMatemtica sin hacer traicin a nuestra ciencia. Producto de esta conviccin son sustrabajos sobre los fundamentos de la Matemtica los cuales dan origen al formalismo.Todos los matemticos como deca Weyl hubiesen acabado por ser formalistas si elformalismo hubiese triunfado. Infortunadamente no ha sido as, y esto deja sumida a laMatemtica en la crisis ms profunda y significativa de su historia. Cmo se resolver estacrisis y qu dominios conservar la Matemtica al salir de ella es algo que hoy no puedeanticiparse. Mas si la historia se repite, no hay duda que emerger robustecida y vivificada,ms digna quizs del calificativo que otrora mereci la ciencia exacta.

Conclusiones

De grado o por fuerza, consciente o inconscientemente, la mayor parte de los cultivadoresde la Matemtica han cado hoy en el bando intuicionista. Esencialmente frustrados ellogicismo y el formalismo y demasiado demoledor el neointuicionismo, no queda por elmomento otra posicin ms satisfactoria que el intuicionismo. Este requiere, sin embargo,ulteriores desarrollos que lo perfilen y den mayor precisin y solidez a sus afirmacionesfundamentales. Para ello habr que acudir a los ltimos datos de la Psicologa, y comoestos lucen por el momento insuficientes, ser preciso dar un impulso considerable a estaciencia, todava joven. En la primera mitad del siglo XX la Lgica ha alcanzado undesarrollo extraordinario por obra de los matemticos y es muy probable que en la segundamitad del siglo stos aporten tambin una contribucin substancial el estudio de losfenmenos psquicos.

La Lgica por otra parte, se halla an en estado de evolucin y en cierto sentido, derenovacin. Hoy hay tendencia a mirar los principios lgicos como reglas derivadas de laexperiencia, sin carcter apriorstico. Muchos matemticos, fsicos y filsofos modernos(Dewey, especialmente) conceden a los principios lgicos un valor provisional,considerndolos valederos solamente en tanto no estn en contradiccin con experienciasms refinadas. La no existencia de principios distintos de los conocidos hasta hoy no estdemostrada, y la historia ensea que algunos principios matemticos, como el de induccincompleta, no fueron descubiertos desde el primer momento, sino hallados y utilizados enuna etapa bastante avanzada del progreso cientfico.

La lgica aportando al estudio de fenmenos psquicos.



El haber aplicado la lgica de los conjuntos finitos a los infinitos equivale a unaexperimentacin y el hecho de haber encontrado contradicciones indica que hay que buscarnuevos principios aplicables a la matemtica del infinito ms bien que mutilar a stareducindola a lo finito. Quizs sea esto lo que quiso expresar Hilbert en 1926 cuando dijoque el significado del infinito en Matemtica no estaba an completamente claro.

Mario O. Gonzlez

{1} En uno de sus escritos (Introduccin a la Filosofa Matemtica, cap. XVIII), diceRussell: la Lgica es la juventud de la Matemtica y la Matemtica la virilidad de laLgica.

{2} Lukasiewicz (1921), ha considerado un sistema logstico con tres valores.Posteriormente se han estudiado las lgicas polivalentes. La teora del clculo deprobabilidades ha llevado a Reichenbach a introducir una lgica con una infinidadcontinua de valores. El mismo autor ha publicado recientemente (1944) un trabajo sobre laaplicacin de la lgica trivalente a la teora cuntica.

{3} Los autores de Principia Mathematica precisan su teora de los tipos en la formasiguiente:

1. Una funcin de primer orden es aquella que no envuelve variables (aparentes o no)sino individuos.

2. Una funcin de orden n+1 es aquella que contiene una variable de orden n y nocontiene individuos o funciones de orden menor o igual que n.

3. Una funcin predicativa es aquella que no contiene variables aparentes.4. Cualquier funcin con uno o dos argumentos es formalmente equivalente a una

funcin predicativa de los mismos argumentos.

El axioma de reducibilidad ha sido abandonado posteriormente por Russell y Whitehead.El sistema lgico de los Principios ha sufrido modificaciones varias en los ltimos aos,sin que se haya logrado establecer su consistencia, la cual muchos consideran improbable.Vase Church: The present situation in the foundation of mathematics.

{4} Como veremos ms adelante Hilbert ha combatido tambin denodadamente el neo-intuicionismo.

{5} David Hilbert and his mathematical work (Bulletin of the American MathematicalSociety, sept. 1944).

{6} El principio de induccin matemtica puede enunciarse as (M. Gonzlez,Complementos de Aritmtica y Algebra, p. 27): Si el primer elemento de un conjuntoordenado X, finito o simplemente infinito (como el de los nmeros naturales 1, 2, 3, 4...),tiene una determinada propiedad y si de la hiptesis de que un elemento cualquiera laadmite se deduce que tambin la admite el siguiente, entonces tienen dicha propiedad todoslos elementos de X.

En nuestra obra demostramos el principio de induccin por reduccin al absurdo. Taldemostracin es posible postulando previamente algunas proposiciones ms sencillas peroque en conjunto equivalen al susodicho principio.

{7} En la lgica neointuicionista el principio del tercero excluido slo es legtimo aplicarloa los conjunto finitos y bien determinados.

{8} En su artculo Logique formelle et logique empiriste (Revue de Mtaphysique et deMorale, enero 1926). Reproducido en Borel: Lecons sur la thorie des foctions (Pars,1928), pp. 257-265.



{9} Como se observar, algunos de estos principios coinciden con los de la lgica clsica.Ntese tambin que el principio del tercero excluido, a saber: una proposicin es verdaderao falsa, no figura en la relacin que sigue.

Debe advertirse que los neointuicionistas no desechan el principio del tercero excluido porfalso, sino que se limitan a considerarlo como base insegura para servir de fundamento a laMatemtica. Vase Heyting: Les fondements des mathmatiques du point de vueintuitionniste.

{10} Segn los neointuicionistas puede haber, pues, proposiciones ni verdaderas niabsurdas, es decir, no demostrables ni reducibles a contradiccin. En esta categora puedenestar incluidos algunos teoremas cuyas demostraciones no ha sido posible lograr,habiendo resistido los esfuerzos de los ms eminentes matemticos, como por ejemplo elllamado gran teorema de Fermat.

{11} nicamente Weyl en Das Kontinuum (1918) y algunos pocos proslitos delneointuicionismo han intentado llevarla a efecto.

{12} Alguien ha afirmado que el rigor extremado puede considerarse en Matemticasinnimo de rigor mortis. Muchos grandes matemticos, que extendieronconsiderablemente los dominios de nuestra ciencia (Euler, Fourier, Riemann...) trabajaronmuchas veces guiados slo por un fino instinto de lo que es matemticamente correcto,dejando a otras mentes ms mediocres el trabajo de situar dentro de un marco deperfeccin lgica al nuevo hecho matemtico.

Durante la ltima guerra mundial fueron alcanzados notabilsimos resultados enmatemticas aplicadas gracias al empleo de ciertos procedimientos semi-empricos quesuponen un abandono de la prctica corriente de estricto apego a los principios lgicos.

Algunos neointuicionistas se niegan a formalizar su sistema en forma axiomtica. Paraellos la Matemtica consiste en una actividad intelectual espontnea, considerando que laexpresin oral o escrita, aunque indispensable para la comunicacin, no es jams adecuaday que un sistema cualquiera de axiomas es incapaz de agotar las fuerzas creadoras delespritu matemtico.

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La crisis actual de los fundamentos de la Matemática, Mario O. González

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