La ecuación funcional para la función zeta de Riemann y ...

La ecuación funcional para la función zeta de Riemann y

algunas aplicaciones

Lic. Jiwell Enrique Munévar Peña

Pontificia Universidad JaverianaDepartamento de Matemáticas

MatemáticasBogotá, Colombia

2019

La ecuación funcional para la función zeta de Riemann y

algunas aplicaciones

Lic. Jiwell Enrique Munévar Peña

Trabajo de tesis para optar al título deMagíster en Matemáticas

DirectorDr. Leonardo Fabio Chacón Cortés

Profesor Asistente

Departamento de Matemáticas

de la Pontificia Universidad Javeriana

Bogotá, Colombia

Pontificia Universidad JaverianaDepartamento de Matemáticas

MatemáticasBogotá, Colombia

2019

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Agradecimientos

Para iniciar, quiero dar los más sinceros agradecimientos al Dr. Jesús Alonso OchoaArango por su motivación, paciencia y apoyo en todo el trancurso de la maestría y pordemostrarnos que independiente del inmenso conocimiento que se tenga, lo más importantees compartirlo con aquellos que desean saber. A mi asesor Dr. Leonardo Fabio ChacónCortés porque a parte de compartir sus conocimientos, garantizó que sus enseñanzas mehicieran aumentar el gusto por el análisis matemático, a tal punto que me siento inspiradopara seguir construyendo conocimiento junto a él. Finalmente, agradezco a mi familia:madre, esposa e hijo, ya que son ellos la causa de continuar con mis proyectos laborales yprofesionales.

Índice general

Introducción II

1. Preliminares 1

1.1. Funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Diferenciabilidad Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. La función gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1. Propiedades de la función Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. La función zeta de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1. Relación entre la función zeta y los números primos . . . . . . . . . . . . 13

1.4. La ecuación funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1. Ecuación funcional para la función zeta de Riemann . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2. Primera demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.3. Segunda demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.4. Tercera demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.5. Cuarta demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2. Otras funciones zeta 29

2.0.1. Carácteres de Dirithlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.0.2. Funciones L de Dirithlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.0.3. Función zeta de Hurwitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.0.4. Ecuación funcional de las funciones L de Dirithlet . . . . . . . . . . . . . 33

2.0.5. Ecuación funcional para la función zeta de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . 35

3. Algunos resultado interesantes de la teoría de números 39

3.0.1. Algunas funciones aritméticas y la relación con ζ . . . . . . . . . . . . . . 39

ÍNDICE GENERAL I

4. Funciones zeta espectrales 50

Bibliografía 54

Introducción

En el siglo XVII cuando cuestiones como la paradoja del corredor o el valor de conver-gencia de una serie teléscopica perdían un poco de trascendencia, o ya se habían solucio-nado; en la ciudad suiza de Basilea, aparece un asunto de gran interés para la comunidadacadémica de la época que se conoce con el nombre de "Problema de Basilea". Este con-sistía en dar un resultado concreto a la suma de los inversos de los cuadrados, es decir,indicar el valor de convergencia de la serie

∞∑n=1

1

n2.

Este problema aparece por primera vez en Novae quadraturae arithmeticae, documentoescrito en 1650 por Pietro Mengoli (1625−1686) y abordado luego por celebres matemáticoscomo Jhon Wallis, Leibniz, Jacob Bernoulli, Golbach, Stirling, entre otros [2]. Pero nofue hasta que Leonard Euler mediante algunos razonamientos bastantes ingeniesos, lograresolverlo: sabemos que la función f(x) = sin(x) es continua en [−1, 1], así como tambiénlo son todas sus derivadas. Además, f (n)(x) existe para toda x en el intervalo [−1, 1], portanto, se puede representar en serie de Taylor como

sin(x) =

∞∑n = 0n = 2k

(−1)n/2 sin(a)

n!(x− a)n +

∞∑n = 0

n = 2k + 1

(−1)(n−1)/2 cos(a)

n!(x− a)n.

Pero en a = 0, sucede que sin (a) = sin (0) = 0, por lo cual, al sustituir a = 0, logramosla equivalencia

sin(x) =

∞∑n = 0

n = 2k + 1

(−1)(n−1)/2

n!xn,

y puesto que n es de la forma 2k + 1, entonces obtenemos

sin(x) =∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1 = x− 1

3!x3 +

1

5!x5 − 1

7!x7 +

1

9!x9 − · · · ,

dividiendo por x, se obtiene:

sin (x)

x= 1− 1

3!x2 +

1

5!x4 − 1

7!x6 +

1

9!x8 − · · ·

II

INTRODUCCIÓN III

Ahora bien, las raíces desin (x)

xse encuentran precisamente en x = nπ, donde n =

± 1, ± 2, ± 3..., por tanto se puede expresar esta serie innita como producto de factoreslineales dados por las raíces, de la misma forma que se hace con los polinomios nitos:x = nπ ⇔ (x/nπ) = 1 por tanto

sin (x)

x=(

1− x

π

)(1 +

x

π

)(1− x

2π

)(1 +

x

2π

)(1− x

3π

)(1 +

x

3π

). . .

=

(1− x2

π2

)(1− x2

4π2

)(1− x2

9π2

)· · · .

Realizando este producto y agrupando todos los términos en x2, resulta que el coe-

ciente de x2 para la funciónsin (x)

xes

−(

1

π2+

1

4π2+

1

9π2+ · · ·

)= − 1

π2

∞∑n=1

1

n2.

Pero del desarrollo en serie de Taylor original desin (x)

x, se obtiene que el coeciente de

x2 es −1/(3!) = −1/6. Estos dos coecientes deben ser iguales (por el teorema de unicidaddel desarrollo en serie); por tanto,

∞∑n=1

1

n2=π2

6,

ver por ejemplo [6].

Después de ser resuelto el problema, muchos matemáticos se interesaron por profundizarun poco más en este tipo de series e intentan dar resultados concretos a series de la forma:

∞∑n=1

1

nk,

para k ∈ N, k > 1, donde Euler efectivamente tuvo éxito al encontrar una solución gene-ral para todos los k = 2n, a partir de una relación de recurrencia entre los números deBernoulli:

si B0 = 1, entonces Bn = −n−1∑k=1

(n

k

)Bk

n− k + 1,

pero que contrasta para los k impares, pues hasta la fecha sólo se han logrado dar algunasaproximaciones irracionales para los mismos, y en todos los casos, ha sido dicíl establecersi las aproximaciones obtenidas corresponden a números trascendentes.

Sin embargo, el matemático Bernard Riemann presentó un breve trabajo titulado Überdie Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grässe (Sobre la cantidad de númerosprimos por debajo de una cantidad dada) en donde extiende las series mencionadas a sumasde la forma:

∞∑n=1

1

ns,

INTRODUCCIÓN IV

con s ∈ C y <(s) > 1. Esta serie recibe el nombre de función zeta de Riemann y estan importante en el mundo de las matemáticas por su relación con los números primos,que a la fecha involucra uno de los problemas más relevantes de la historia denominado"Hipótesis de Riemann". Sin embargo, antes de que expongamos uno de los siete problemasdel milenio, debemos abordar la extensión analítica de la función zeta de Riemann.

Para iniciar, podemos vericar que para cualquier número real r > 1 la función zetade Riemann genera innitas sumas de fracciones que cada vez son más pequeñas y que enun punto la expresión decimal de la fracción es tan poco signicativa que el resultado dela suma comienza a estabilizarse. Por ejemplo para r = 2,

ζ(2) = 1 +1

22+

1

32+ · · · = 1 + 0,25 + 0.1 + 0,0625 + · · ·+ 0,0001 + · · ·+ 0,00001 + · · ·

siendo válida la armación ya que de párrafos anteriores, la suma es π2/6. Con ese resultadopodemos garantizar que la función zeta de Riemann es convergente para todos los valorescon <(s) > 1 ya que ∣∣∣∣∣

∞∑n=1

1

ns

∣∣∣∣∣ ≤∞∑n=1

1

n<(s)≤∞∑n=1

1

n2< 2.

Por consiguiente, es muy interesante pensar como extender el dominio de la función zetade Riemann en valores complejos con parte real menor a la unidad, con el n de mirarceros, polos y otros comportamientos de vital interés en áreas como la física y la teoría denúmeros. Al extender una función matemática podríamos asignarle cualquier valor a cadatérmino numérico que no pertenezca al dominio. Sin embargo, existe una única extensiónque garantiza la existencia de la derivada en cada uno de sus puntos, en otras palabras quesea analítica .Este proceso es una técnica fundamental del análisis complejo y se denominaextensión o continuación analítica. Ejemplos de extensiones analíticas para nuestrafunción en cuestión, se pueden vericar como una contrucción utilizada en las pruebas dela ecuación funcional páginas 15 1.4.2, 18 1.4.3, 23 1.4.4 y 26 1.4.5.

Ahora, presentamos en que consiste la hipótesis de Riemann: esta arma que todos losceros no triviales de la función zeta de Riemann se encuentran en la recta crítica de partereal 1

2 [2]:

HR : Si ζ(ρ) = 0, 0 < ρ < 1, entonces <ρ =1

2,

y su solución es todo un misterio que cualquier matemático experto, empírico o inicialestaría interesado en solucionar, o por lo menos, entender la teoría de la cual subyace.

Por otro lado, el estudio de está función ha desencadenado una teoría denominada porvarios autores, como teoría de la función zeta de Riemann. Ella se inicia con el desarrollonecesario para establecer la extensión analítica de la serie a todo el plano complejo y conella dar continuidad a la construcción de lo que se conoce como ecuación funcional de lafunción zeta de Riemann:

ζ(s) = 2sπs−1 sin(sπ

2

)Γ(1− s)ζ(1− s).

La ecuación cuenta con otras representaciones como

ζ(s)Γ(s

2

)π(s−1)/2 = πs−1Γ

(1− s

2

)ζ(1− s), versión simétrica,

INTRODUCCIÓN V

cambiando s por 1− s en la versión original

ζ(1− s) = 21−sπ−s cos(sπ

2

)Γ(s)ζ(s), (1)

o también

2sπs−1 sin(sπ

2

)Γ(1− s) = πs−1/2

Γ

(1

2− s

2

)Γ(s2

) (2)

, y escribiendo ξ(s) = 12s(s− 1)π−1/2sΓ

(1

2s

)ζ(s), con el uso de 1 y de 2 obtenemos

ξ(s) = ξ(1− s),

la última expresión de la ecuación funcional evita los ceros triviales de la función quedandosolo la posibilidad de obtener ceros en la región 0 < <(s) < 1 (Para profundizar ver porejemplo [5], pp 16).Todas esas ecuaciones funcionales son equivalentes y muestran que la función zeta deRiemann tiene un polo simple en s = 1 con residuo 1, además nos permiten determinar losdenominados ceros triviales de la función zeta de Riemann como se puede ver en 3,1.

Al mismo tiempo, esta función tiene notables relaciones con las propiedades de los nú-meros naturales, implicando así que el estudio de está función compleja, permitirá demos-trar varios problemas relacionados con la teoría de números (un esbozo de lo mencionadose puede ver en 3).

Por otro lado y para dar una descripción de lo abordado en el presente documento,comenzaremos armando que el trabajo empieza con un recordatorio de conceptos y resul-tados relacionados con la teoría de variable compleja, iniciando con las funciones complejasmás importantes y terminando con la fórmula integral de Cauchy y el Teorema de los re-siduos. Luego, exponemos la función Gamma como la generalización del factorial de unnúmero, presentando algunas de sus propiedades y destacando su aparición en la ecuaciónfuncional de la función zeta de Riemann. En el último apartado del primer capítulo deno-minado "preliminares", denimos la función zeta de Riemann, presentamos su relación conlos números primos y damos 4 demostraciones de su ecuación funcional basadas en [8] yque se encuentran organizadas de modo que el lector encuentre primero la prueba y luegolos lemas, teoremas o deniciones que se requieran, esto con el n de hacer más amena lalectura de la demostración.

En el segundo capítulo hacemos énfasis en dos generalizaciones de la función zeta deRiemann: las funciones L de Dirithlet y las funciones zeta de Hurwitz, así, se esbozan laextensión analítica y la ecuación funcional con sus respectivas demostraciones y, a n dever mas generalizaciones dirigirse a los ejemples presentados en 2,1.

En el tercer capítulo presentamos varíos resultados interesantes acerca de la relaciónentre las funciones aritméticas y la función zeta de Riemann, que de por cierto, son lamotivación más relevante para que hallamos realizado el presente trabajo monográco.

Finalmente, en el cuarto capítulo, presentamos tres deniciones de funciones zeta es-pectrales y una serie de ejemplos que tienen como n motivar al lector a involucrarse enlos diferentes caminos que se presentan al estudiar las funciones zeta espectrales, ver porejemplo [12] y las referencias en este.

CAPÍTULO 1

Preliminares

En esta capítulo colectamos los ingredientes necesarios para nuestra discusión sobre lafunción zeta de Riemann.

1.1. Funciones de variable compleja

Cuando se inicia el estudio de funciones de variable real, una de las más interesantes esla función exponencial, ya que esta tiene como propiedad fundamental ser la derivada deella misma. Puede ser denida a partir de un limite, como una serie de potencias, como lasolución de una ecuación integral o ser la solución de una ecuación diferencial.

De acuerdo a lo anterior, es necesario extender esta importante función matemática auna de variable compleja, como se realiza a continuación (basado en [4]):

Denición 1.1. La función exponencial ez : C→ C esta dada por

ex+yi = ex cos y + iex sin y.

Teorema 1.1. La función exponencial compleja cumple las siguientes propiedades

i. ez1+z2 = ez1ez2 ;

ii. (ez1)z2 = ez1z2 ;

iii. ez = ez;

iv. |ez| = e|<(z)|;

v. ez 6= 0;

vi. e−z = 1ez .

Las propiedades se prueban naturalmente con la denición de la exponecial complejay con el uso de algunas propiedades de los números complejos.

1

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 2

Denición 1.2. Las funciones trigonométricas seno y coseno se denen como

sin z =eiz − e−iz

2i; cos z =

eiz + e−iz

2.

Teorema 1.2. Las funciones seno y coseno complejas extienden a las correspondientesfunciones reales y heredan las siguientes propiedades:

i. sin2 z + cos2 z = 1;

ii. sin (z + w) = sin z cosw + sinw cos z;

iii. cos (z + w) = cos z cosw − sin z sinw;

iv. si n ∈ Z entonces sin (z + 2nπ) = sin z; cos (z + 2nπ) = cos z;

v. coseno es una función par y seno es una función impar.

La función tangente y las recíprocas se denen a partir de los cocientes entre sin, cosy 1, evitando las posibles divisiones por cero que se produzcan en cada cociente.

Finalmente, las funciones polinómicas se denen naturalmente como las reales y sonextensión de estas a todo el plano complejo.

1.1.1. Diferenciabilidad Compleja

Denición 1.3. Sean z0 ∈ C, R un número real positivo y f una función tal que

f : DR(z0)→ C,

con DR(z0) := z ∈ C : |z − z0| ≤ R. Decimos que f es diferenciable en z0 cuando paraalgún A ∈ C se cumple la siguiente identidad:

lımz→z0

f(z)− f(z0)−A(z − z0)

z − z0= 0.

Observemos que si A existe, necesariamente es único y coincide con el siguiente límite:

A = lımz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0.

Si ese límite existe, A se denomina derivada de f en z0, y se denota por f ′(z0).

Denición 1.4. f es diferenciable en z0, si A existe.

Proposición 1.1. Sean Ω un subconjunto abierto de C, z0 ∈ Ω y f, g : Ω → C dosfunciones diferenciables en z0. Entonces

i. f + g es diferenciable en z0 y

(f + g)′(z0) = f ′(z0) + g′(z0);


ii. fg es diferenciable en z0 y

(fg)′(z0) = f ′(z0)g(z0) + f(z0)g′(z0);

iii. Si g(z0) 6= 0, el cociente fg es diferenciable en z0 y(f

g

)′(z0) =

f ′(z0)g(z0)− g′(z0)f(z0)

g(z0)2.

Las demostraciones de esas propiedades son naturalmente análogas a las de la derivadade funciones reales, por lo que constituyen solo aplicación de propiedades de límites yálgebra elemental.

De aquí en adelante y hasta el Teorema de los residuos armamos que los resultados ylas deniciones propuestas son tomadas de [10].

Proposición 1.2. Sean Ω ⊂ C abierto, z0 ∈ Ω y g : Ω → C una función diferenciable enz0. Sean Ω1 ⊂ C un abierto tal que g(z0) ∈ Ω1 y f : Ω1 → C, entonces la compuesta esdiferenciable en z0 y se cumple la siguiente igualdad:

(f g)′(z0) = f ′(g(z0))g′(z0)

Teorema 1.3 (Caracterización de diferenciabilidad). Sean Ω ⊂ C abierto, f : Ω→ C unafunción y z0 ∈ Ω. Entonces los siguiente numerales son equivalentes:

i. f es diferenciable en z0 = x0 + iy0

ii. u = <(f) y v = =(f) son diferenciables en (x0, y0) y satisfacen

∂u(x0, y0)

∂x=∂v(x0, y0)

∂y,

∂v(x0, y0)

∂x= −∂u(x0, y0)

∂y

(condiciones de Cauchy-Riemann)

Denición 1.5. Sean Ω ∈ C abierto, z0 ∈ Ω y f : Ω→ C una función . Entonces:

i. Se dice que f es holomorfa en z0 si existe R > 0 tal que DR(z0) ⊂ Ω y f es diferen-ciable en cada z ∈ DR(z0).

ii. Se dice que f es holoforma en un subconjunto U de Ω si f es holomorfa en cadapunto de U . En tal caso f ∈ H(U)

iii. Se llama dominio de holomora de f al subconjunto abierto maximal de Ω, donde fes holomorfa (que no necesariamente es conexo). Cada punto del complemento deldominio de holomora, recibe el nombre de singularidad.

Denición 1.6. Sean z0 ∈ C y an, n ≥ 0, una sucesión de números complejos. Se llamaserie de potencias centrada en z0 de coecientes an a la serie:

∞∑n=0

an(z − z0)n,

el radio de convergencia de la serie de potencias esta dado por:

R =1

lım supn→∞n√|an|∈ [0,∞].


Lema 1.1. Sean α,β, y n ≥ 2. Entonces,

αn − βn

α− β− nβn−1 = (α− β)

n−1∑k=1

kβk−1αn−k−1.

Demostración. La demostración la haremos por inducción:

i. Para n = 2 tenemos que:

α2 − β2

α− β− 2β = (α− β)

2−1∑k=1

kβk−1α2−k−1,

si, y sólo siα− β = (α− β)β0α0,

quedando probado para este primer término.

ii. Supongamos ahora que la identidad es válida para n, probaremos que se cumple paran+ 1

αn+1 − βn+1

α− β− (n+ 1)βn =

n∑r=0

αn−rβr − (n+ 1)βn

= αn−1∑r=0

αn−r−1βr + βn − (n+ 1)βn

= ααn − βn

α− β− nβn,

luego utilizamos la hipótesis de inducción

αn+1 − βn+1

α− β− (n+ 1)βn = α(α− β)

n−1∑k=1

kβk−1αn−k−1 + αnβn−1 − nβn

= nβn−1(α− β) + (α− β)

n−1∑k=1

kβk−1αn−k

= (α− β)

n∑k=1

kβk−1αn−k.

Denición 1.7. Sea Ω ⊂ C abierto. Se dice que una función f : Ω→ C es analítica en Ωsi para cada z0 ∈ Ω existen una sucesión de números complejos an, n ≥ 1, y un númeroreal R > 0 tales que DR(z0) ⊂ Ω y para cada z ∈ DR(z0)

f(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n.


Teorema 1.4. Sea f una función de variable compleja denida por:

f(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n,

con radio de convergencia R positivo y |z−z0| < R. Entonces, f es una función holomorfaen todo el disco con radio R y centro z0. Además,

f ′(z) =

∞∑n=1

nan(z − z0)n−1, |z − z0| < R.

Demostración. Denamos

g(z) =

∞∑n=1

nan(z − z0)n−1, |z − z0| < R.

Así, debemos probar que g(z) = f ′(z) para cada z ∈ DR(z0). Sea z1 ∈ DR(z0) jo y0 < r < R tal que |z1 − z0| < r. Entonces para z ∈ Dr(z0) \ z1 se tiene que

f(z)− f(z1)

z − z1− g(z1) =

∑∞n=0 an(z − z0)n −

∑∞n=0 an(z1 − z0)n

z − z1−∞∑n=1

nan(z1 − z0)n−1

=∞∑n=0

(an((z − z0)n − (z1 − z0)n)

z − z1

)−∞∑n=1

nan(z1 − z0)n−1

=

∞∑n=1

an

((z − z0)n − (z1 − z0)n

(z − z0)− (z1 − z0)− n(z1 − z0)n−1

).

Luego por el Lema 1,1 la suma parcial de la última expresión se convierte en:((z − z0)n − (z1 − z0)n

(z − z0)− (z1 − z0)− n(z1 − z0)n−1

)= (z − z1)

n−1∑k=1

k(z1 − z0)k−1(z − z0)n−k−1,

dado que,∣∣∣∣∣(z − z1)

n−1∑k=1

k(z1 − z0)k−1(z − z0)n−k−1

∣∣∣∣∣ ≤ |z − z1|n−1∑k=1

k|z1 − z0|k−1|z − z0|n−k−1

≤ An−1∑k=1

krn−2 ≤ An2rn−2,

y

lım supn→∞

n√|an|n2rn−2 =

r

R< 1,

podemos armar que∞∑n=2

|an|n2rn−2 <∞.


En conclusión, ∣∣∣∣f(z)− f(z1)

z − z1− g(z1)

∣∣∣∣ ≤ |z − z1|∞∑n=2

|an|n2rn−2,

por lo que f ′(z) = g(z).

Denición 1.8. Sea f : [a, b]→ C una función continua a trozos,

u = <f y v = =f

la integral entre a y b se dene por∫ b

af =

∫ b

au+ i

∫ b

av.

De esa forma, la integral de una función compleja cumple las mismas propiedades delinealidad, la desigualdad de Minkowski, la regla de Barrow y el Teorema fundamental delcálculo como la integral de funciones reales.

Denición 1.9. Sean Ω un subconjunto abierto de C, f una función continua de Ω en Cy γ ∈ C([a, b] ;C) tal que γ es continua a trozos y de clase C1. Entonces, la integral de f alo largo de γ, se dene por: ∫

γf =

∫ b

af(γ(t))γ

′(t)dt.

Denición 1.10. Sean γ ∈ C([a, b] ;C) tal que γ es continua a trozos y de clase C1 conγ(a) = γ(b) (curva cerrada) y z ∈ C \Tray(γ) 1. Se llama indice de z respecto de la curvaγ a:

Indγ(z) =1

2πi

∫γ

dζ

ζ − z=

1

2πi

∫ b

a

γ′(t)

γ(t)− zdt.

Teorema 1.5. Sean Ω ⊂ C abierto y f una función holomorfa en Ω tal que f′ ∈ C(Ω;C).

Entonces, para cualquier curva cerrada γ ∈ C([a, b];C) tal que γ es continua a trozos y declase C1 se verica ∫

γf′

= 0.

Demostración. Por denición ∫γf ′ =

∫ b

af ′(γ(t))γ′(t)dt,

pero

f ′(γ(t))γ′(t) =d

dt(f γ)(t),

1Tray(γ) se dene como

Tray(γ) = γ(t) : a ≤ t ≤ b,en otras palabras, se dene como el rango de la función γ.


luego ∫γf ′ =

∫ b

a

d

dt(f γ)(t)dt =

∫ b

a

d

dt(f(γ(t))dt,

que por la Regla de Barrow es equivalente a:∫γf ′ = f(γ(b))− f(γ(a)),

esto es cero ya que γ(a) = γ(b)

Teorema 1.6 (Fórmula integral de Cauchy). Sean Ω ⊂ C abierto convexo, f una funciónholomorfa en Ω , γ ∈ C([a, b];C) tal que γ es continua a trozos y de clase C1 con γ(a) = γ(b).Entonces, para cada z ∈ Ω \ Tray(γ) tenemos la siguiente identidad:

f(z)Indγ(z) =1

2πi

∫γ

f(ζ)

ζ − zdζ

Demostración. Sea

f(z)Indγ(z) =1

2πi

∫γ

f(ζ)

ζ − zdζ,

sustituimos Indγ por la denición de indice dada en 1,10

f(z)1

2πi

∫γ

dζ

ζ − z=

1

2πi

∫γ

f(ζ)

ζ − zdζ,

equivalente a: ∫γ

f(z)

ζ − zdζ =

∫γ

f(ζ)

ζ − zdζ,

por lo tanto, demostrar la fórmula integral de Cauchy es equivalente a demostrar que∫γ

f(ζ)− f(z)

ζ − zdζ = 0 z ∈ Ω \ Tray(γ).

Ahora utilicemos la sustitución ζ(t) = z + εeit y utilizando la desigualdad de Minkowskipara integrales ∣∣∣∣∫

γ

f(ζ)− f(z)

ζ − zdζ

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ 2π

0

f(ζ(t))− f(z)

εeitεieitdt

∣∣∣∣≤∫ 2π

0

∣∣∣∣f(ζ(t))− f(z)

εeitεieitdt

∣∣∣∣≤∫ 2π

0

|f(ζ(t))− f(z)||εeit|

|εieit|dt

≤∫ 2π

0

|f(ζ(t))− f(z)|ε

εdt

≤ maxζ−z=ε

(f(ζ)− f(z)).

Esta última expresión es cero conforme ε→ 0, lo que demuestra el teorema.


Teorema 1.7 (Fórmula integral de Cauchy para la derivada n-ésima). Sean Ω ⊂ C abiertoy f : Ω→ C una función holomorfa en Ω. Entonces, f posee derivadas de todos los ordenesen cada punto de Ω, es decir f (n) es holomorfa en todo Ω, para todo n ≥ 1. Además, si γes una curva de Jordan de clase C1 a trozos orientada positivamente cuya trayectoria estácontenida en un subconjunto abierto convexo de Ω, entonces para cada n ≥ 0 la n-ésimaderivada satisface

f (n)(z) =n!

2πi

∫γ

f(ζ)

(ζ − z)n+1dζ.

Demostración. La demostración la desarrollaremos por inducción:

i. Para n = 0 obtenemos la fórmula integral de Cauchy, Teorema 1,6, luego queda demos-trado para el primer valor de los naturales.

ii. Ahora supongamos que la fórmula es válida para k, demostraremos que es válida parak + 1

f (k+1)(z) =d

dz(f (k)(z))

=d

dz

(k!

2πi

∫γ

f(ζ)

(ζ − z)k+1dζ

)Hipótesis de inducción

=k!

2πi

∫γ

d

dz

f(ζ)

(ζ − z)k+1dζ

=k!

2πi

∫γ

(k + 1)f(ζ)

(ζ − z)k+2dζ

=(k + 1)!

2πi

∫γ

(f(ζ)

(ζ − z)k+2dζ,

como se quería justicar.

Teorema 1.8 (Analiticidad de las funciones holomorfas). Sean Ω ⊂ C abierto y f : Ω→ Cuna función. f es analítica en Ω si, y sólo si, f es una función holomorfa en Ω.

Demostración. La primera implicación (si f es analítica entonces es holomorfa) es unaconsecuencia del Teorema 1,4 ya que reiterando el mismo argumento, se prueba que laderivada k-ésima es holomorfa en el mismo disco DR(z0) y está determinada por:

f (k)(z) =

∞∑n=k

n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1)an(z − z0)n−k, |z − z0| < R, k ≥ 1.

Para la segunda implicación (si f es holomorfa entonces es analítica ) debemos escribir fcomo una serie de Taylor centrada y su demostración se puede ver en [10] página 87.


Denición 1.11. Sean Ω ⊂ C abierto, z0 ∈ Ω y f ∈ H(Ω \ z0). Se llama residuo de f enz0 a:

Res(f, z0) =1

2πi

∫γf(z)dz.

Teorema 1.9. Sean Ω′ ⊂ C abierto, K ⊂ Ω′ un subconjunto discreto,

Ω = Ω′ \K,

f holomorfa en Ω, γ ∈ C1([a, b]; Ω) una curva de Jordan, continua a trozos orienta posi-tivamente, y Aγ la componente encerrada por γ. Supongamos que Aγ ⊂ Ω

′. Entonces el

subconjunto Aγ ∩K es nito. Además, cuando es vacío∫γf(z)dz = 0,

mientras que si para algún n ≥ 1

Aγ ∩K = z1, z2, . . . , zn,

entonces1

2πi

∫γf(z)dz =

∞∑i=1

Res(f, zi).

Para una demostración ver por ejemplo [10], página 121.

1.2. La función gama

En la teoría de la función zeta de Riemann existe una función esencial para la misma,esta permite extender su dominio a todo el plano complejo a partir de su ecuación funcionaly generaliza la función factorial de un número natural, esta es, la "Función Gamma". Acontinuación una denición de la función Gamma tomada de [5].

Denición 1.12. Sea s ∈ C \ Z−, se dene la función Gamma como:

Γ(s) = lımn→∞

n!(n+ 1)s

s(s+ 1)(s+ 2) · · · (s+ n).

Teorema 1.10. Para <(s) > 0, tenemos la siguiente identidad:

Γ(s) =

∫ ∞0

e−xxs−1dx.

Demostración. Dado que

lımn→∞

(1− x

n+ 1

)n= e−x,

sustituyendo en, ∫ ∞0

e−xxs−1dx,


Figura 1.1: Gráca de la función Gamma.

y aplicando el Teorema de convergencia dominada de Lebesgue, tenemos que∫ ∞0

lımn→∞

(1− x

n+ 1

)nxs−1dx = lım

n→∞

∫ n

0

(1− x

n+ 1

)nxs−1dx .

Luego si xn+1 = t, entonces

lımn→∞

∫ n

0

(1− x

n+ 1

)nxs−1dx = lım

n→∞

∫ 1

0(1− t)n ((n+ 1)t)s−1(n+ 1)dt

= lımn→∞

(n+ 1)s∫ 1

0(1− t)n (t)s−1dt.

Intengrando n veces por partes∫ 1

0(1− t)n (t)s−1dt =

ts

s(1− t)n|10 +

n

s

∫ 1

0(1− t)n−1 (t)sdt

=n(n− 1) . . . 1

s(s+ 1) . . . (s+ n).

Por tanto, ∫ ∞0

e−xxs−1dx = lımn→∞

(n+ 1)sn!

s(s+ 1) . . . (s+ n)= Γ(s).


1.2.1. Propiedades de la función Gamma

Teorema 1.11. La función Γ(s) satisface las siguientes identidades:[5]

i) Γ(s+ 1) = sΓ(s) (s 6= 0,−1,−2,−3, . . .);

ii) sΓ(s) =

∞∏n=1

(1 +

s

n

)−1(

1 +1

n

)s(s 6= 0,−1,−2,−3, . . .);

iii) Γ(s)Γ(1− s) =πs

sinπs(s 6= 0,±1,±2, . . .);

iv) Γ(2s) = 22s−1π−1/2Γ (s) Γ

(s

2+

1

2

)(s 6= 0,−1,−2,−3, . . .).

Demostración. i. Por el Teorema 1,10 tenemos para s+ 1 que

Γ(s+ 1) =

∫ ∞0

e−xxsdx,

Calculemos esa integral usando el método de integración por partes. Si u = xs, du =sxs−1dx, dv = e−xdx, v = −e−x, entonces∫ ∞

0e−xxsdx = −xse−x|∞0 +

∫ ∞0

e−xsxs−1dx

= s

∫ ∞0

e−xxs−1dx

= sΓ(s).

ii. Para demostrar la segunda identidad, utilizamos la primera denición propuestapara gamma:

Γ(s) = lımn→∞

n!(n+ 1)s

s(s+ 1)(s+ 2)...(s+ n)

=1

slımn→∞

n!(n+ 1)s

(s+ 1)(s+ 2)...(s+ n)

=1

slımn→∞

(1

s+ 1

2

s+ 2...

n

s+ n

)2s

1s3s

2s...

(n+ 1)s

(n)s

=1

s

∞∏n=1

(1 +

s

n

)−1(

1 +1

n

)s.

iii. De la denicón de Gamma tenemos:

Γ(s)Γ(1− s) = lımn→∞

(n!(n+ 1)s

s(s+ 1)(s+ 2)...(s+ n)

n!(n+ 1)1−s

(1− s)(2− s)(3− s)...(n+ 1− s)

),


eso implica que

1

Γ(s)Γ(1− s)= lımn→∞

(s(s+ 1)(s+ 2)...(s+ n)

n!(n+ 1)s(1− s)(2− s)(3− s)...(n+ 1− s)

n!(n+ 1)1−s

),

=s lımn→∞

(1− s2)(22 − s2)...(n2 − s2)

(n!)2(n+ 1)((n+ 1)− z))

= lımn→∞

(1− s2

12

)(1− s2

22

)· · ·(

1− s2

n2

)(1− z

n+ 1

)

=s∞∏n=1

(1− s2

n2

)

=sin(πs)

πz.

iv. Por denición de la función Γ tenemos que

Γ(s)Γ

(s+

1

2

)= lım

n→∞

n!(n+ 1)s

s(s+ 1)...(s+ n)· n!(n+ 1)s+1/2

(s+ 1/2)(s+ 3/2) · · · (s+ n+ 1/2).

Por otro lado:

2−2s+1π1/2Γ(2s) = 2−2s+1Γ(1/2)Γ(2s)

= 2−2s+1 lımn→∞

n!(n+ 1)1/2

1/2(1/2 + 1) · · · (1/2 + n)· (2n+ 2)!(2n+ 1)2s

2s(2s+ 1) · · · (2s+ 2n+ 1)

= 21 lımn→∞

n!(n+ 1)1/2

1/2(1 · 3 · 5) · · · (2n+ 1)· 2 · 4 · · · (2n)(1 · 2 · · · (2n+ 1))(n+ 1)2s

2ns(s+ 1) · · · (s+ n)(s+ 1/2)(s+ 3/2) · · · (s+ n+ 1/2)

= lımn→∞

n!(n+ 1)s

s(s+ 1)...(s+ n)· n!(n+ 1)s+1/2

(s+ 1/2)(s+ 3/2) · · · (s+ n+ 1/2).

Dado que las expresiones de Γ(s)Γ(s+ 1

2

)y de 2−2s+1π1/2Γ(2s) son equivalentes, la pro-

piedad queda demostrada.

1.3. La función zeta de Riemann

Denición 1.13. La función zeta de Riemann se dene como:

ζ(s) =∞∑n=1

1

ns,

s ∈ C y <(s) > 1.


1.3.1. Relación entre la función zeta y los números primos

Sabemos que:n = pn1

1 · pn22 · p

n33 · · · p

nrr

para todo n ∈ N (esto por el teorema fundamental de la aritmética).

No obstante, la serie geométrica cumple la siguiente identidad

1

1− z= 1 + z + z2 + . . .+ zk + . . .

Si |z| < 1. Poniendo z = p−s con p primo y s ∈ C, así obtenemos que:

1

1− p−s= 1 + p−s + p−2s + . . .+ p−ks + . . .

Si multiplicamos esta expresión sobre todos los primos y efectuamos formalmente la dis-tributiva, obtenemos que:∏

p

(1

1− p−s

)=∏p∈P

(1 + p−s + p−2s + . . .+ p−ks + . . .

)=∞∑n=1

1

ns

= ζ(s).

Una prueba más formal de lo anterior se construye como en [16]. En efecto, nosotrospodemos multiplicar un número nito de series absolutamente convergentes, se tiene que:∏

p≤P

(1 +

1

ps+

1

p2s+ . . .

)= 1 +

1

ns1+

1

n2s2

+ . . .

Donde n1, n2, .... son todos enteros que no tiene factores primos que excedan a P y todoslos enteros mayores de P son de está forma, esto implica que, si ζ(s) esta denida comoen 1,13, entonces∣∣∣∣∣∣ζ(s)−

∏p≤P

(1− 1

p−s

)∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ζ(s)− 1− 1

ns1− 1

ns2− 1

ns3− · · ·

∣∣∣∣≤ 1

(P + 1)σ+

1

(P + 2)σ+

1

(P + 3)σ+ . . .

Esto tiende a cero cuando P tiende a innito, si δ > 1; lo cual demuestra el resultado.

Denición 1.14. Sea G(x) la función generatriz denida por

G(x) =x

ex − 1

=

∞∑n=0

Bnxn

n!.

Denimos los números de Bernoulli como la sucesión de racionales que corresponden conlos coecientes Bn de la anterior serie de potencias.


1.4. La ecuación funcional

Denición 1.15. Una ecuación funcional es una ecuación en donde las incógnitas sonfunciones.

Un ejemplo clásico son la ecuación de Cauchy y la ecuación funcional de Euler, querespectivamente son:

f(x+ y) = f(x) + f(y)

f(x+ y) = f(x)f(y),

fácilmente se verica que la primera ecuación funcional la cumple cualquier funciónlineal y la segunda la función exponencial.

1.4.1. Ecuación funcional para la función zeta de Riemann

La función ζ(s) es meromorfa para todos los valores de s excepto en s = 1 donde tieneun polo simple con residuo 1. Además esta satisface la ecuación funcional:

ζ(s) = 2sπs−1 sin(sπ

2

)Γ(1− s)ζ(1− s). (1.1)

1.4.2. Primera demostración

A continuación se presenta la primera prueba de la ecuación funcional para la funciónzeta de Riemann 1.1, la cual fue tomada de [[16], pp 13 ].

Primera demostración. Utilizando la fórmula de sumación de Abel con f(x) = φ(x) ∈C1([a, b]) tenemos:

∑a<n≤b

φ(n) =

∫ b

aφ(x)dx+

∫ b

a

(x− bxc − 1

2

)φ′(x)dx

+

(a− bac − 1

2

)φ(a)−

(b− bbc − 1

2

)φ(b),

con n ≤ a < b ≤ n+ 1, luego∫ b

a

(x− n− 1

2

)φ′(x)dx =

(b− n− 1

2

)φ(b)−

(a− n− 1

2

)φ(a)−

∫ b

aφ(x)dx.

Ahora, sea φ(n) = 1ns con s complejo distinto de la unidad y sean a, b enteros positivos.

Entonces

b∑n=a+1

1

ns=b1−s − a1−s

1− s− s

∫ b

a

x− bxc − 12

xs+1dx+

1

2(b−s − a−s).


Tomando <(s) > 1, a = 1, haciendo que b→∞ y sumando uno a cado lado de la igualdadse obtiene

∞∑n=1

1

ns=−1

1− s− s

∫ ∞1

x− bxc − 12

xs+1dx− 1

2+ 1 (1.2)

= s

∫ ∞1

bxc − x+ 12

xs+1dx+

1

2+

1

s+ 1, (1.3)

Figura 1.2: Gráca de bxc − x+ 12

De la gráca de bxc−x+ 12 podemos inferir que está acotada y por la tanto la integral

es convergente para <(s) > 0, y uniformemente convergente en cualquier región nitadeterminada para <(s) + ε con ε > 0. El lado derecho de está última igualdad es unaextensión analítica de ζ(s) para valores con <(s) > 0, y tiene claramente un polo conresiduo igual a 1. Luego, para 0 < <(s) < 1 tenemos que si:

∫ 1

0

bxc − xxs+1

dx = −∫ 1

0x−sdx =

1

s− 1,

ys

2

∫ 1

0

dx

xs+1=

1

2,

sustituyendo en (1.3)

ζ(s) = s

∫ ∞0

bxc − xxs+1

dx,

para 0 < <(s) < 1.

Para obtener la ecuación funcional procedemos así: sea f(x) = bxc − x + 12 y f1(x) =∫ x

1 f(y)dy entonces f1 es acotada ya que∫ k+1

kf(y)dy = 0,


para algún entero k. Por lo tanto∫ x2

x1

f(x)

xs+1dx =

[f1(x)

xs+1

]x2x1

+ (s+ 1)

∫ x2

x1

f1(x)

xs+2dx,

lo cual tiende a cero conforme x1 →∞ y x2 →∞ si <(s) > −1. Por lo tanto la integral

s

∫ 1

0

bxc − x+ 12

xs+1dx,

es convergente para <(s) > −1, además

s

∫ 1

0

bxc − x+ 12

xs+1dx = s

∫ 1

0

bxcxs+1

dx+ s

∫ 1

0−x−sdx+ s

∫ 1

0

1

2x−s−1dx

= 0− sx−s+1

−s+ 1

∣∣∣∣10

+ sx−s

−2s

∣∣∣∣10

=1

s− 1+

1

2<(s) < 0.

Por lo tanto

ζ(s) = s

∫ ∞0

bxc − x+ 12

xs+1dx − 1 < <(s) < 0.

Finalmente, hallando la serie de Fourier para

bxc − x+1

2,

tenemos que

a0 = 2

∫ 1

0bxc − x+

1

2dx

an = 2

∫ 1

0

(bxc − x+

1

2

)cos(2nπx)dx = 0

bn = 2

∫ 1

0

(bxc − x+

1

2

)sin(2nπx)dx =

1

nπ,

en consecuencia

bxc − x+1

2=

∞∑n=1

sin (2nπx)

nπ,

donde x no es un entero. aplicando la sustitución y = 2nπx e integrando término a términoobtenemos

ζ(s) =s

π

∞∑n=1

1

n

∫ ∞0

sin (2nπx)

xs+1dx

=s

π

∞∑n=1

(2nπ)s

n

∫ ∞0

sin y

ys+1dy,


utilizando 1.2 concluimos que

ζ(s) =s

π(2π)s(−Γ(−s)) sin

(1

2sπ

)ζ(1− s).

A continuación, presentaremos la fórmula de sumación de Abel:

Teorema 1.12. Sea an una sucesión de números reales o complejos y f una función declase C1. Denimos:

A(x) =∑n≤x

an = a1 + a2 + · · ·+ abxc.

La fórmula de sumación de Abel para 0 ≤ a ≤ b es:

∑a<n≤b

anf(n) = A(b)f(b)−A(a)f(a)−∫ b

aA(t)f

′(t)dt.

Demostración. Sean a, b ∈ Z y a ≥ 0, la integral∫ b

aA(t)f

′(t)dt

se puede escribir como:b−a−1∑k=0

∫ a+k+1

a+kA(t)f

′(t)dt.

Como A(t) se encuentra entre dos enteros consecutivos, entonces

b−a−1∑k=0

∫ a+k+1

a+kA(t)f

′(t)dt =

b−a−1∑k=0

A(a+ k)

∫ a+k+1

a+kf′(t)dt

=b−a−1∑k=0

A(a+ k)(f(a+ k + 1)− f(a+ k)),

haciendo la sustitución j = a+ 1 tenemos que

b−a−1∑k=0

A(a+ k)

∫ a+k+1

a+kf′(t)dt =

b−1∑j=a+1

f(j)(A(j − 1)−A(j)) +A(b− 1)f(b)−A(a)f(a)

= A(b)f(b)− abf(b)−A(a)f(a)−b−1∑a+1

ajf(j),

lo que nos permite concluir que∫ b

aA(t)f

′(t)dt = A(b)f(b)−A(a)f(a)−

∑a<n≤b

anf(n).


Dado que la prueba anterior es solo para a, b enteros, necesitamos generalizar para a, b ∈ R.Para ello, usamos el hecho de que la identidad ya está probado para enteros, es decir sia, b ∈ R, entonces∑

a<n≤banf(n) =

∑bac<n≤bbc

anf(n)

= A(bbc)f(bbc)−A(bac)f(bac)−∫ bbcbac

A(t)f′(t)dt.

Pero dado que A(x) = A(bxc) y

∑a<n≤b

anf(n) = A(b)f(b)−A(a)f(a)−∫ b

aA(t)f

′(t)dt,

igualando las expresiones y sustituyendo, tenemos que

A(b)f(b)−A(a)f(a)−∫ b

aA(t)f

′(t)dt = A(b)f(bbc)−A(a)f(bac)−

∫ bbcbac

A(t)f′(t)dt,

eso es equivalente a

A(b)((f(b)− f(bbc))−A(a)(f(a)− f(bac)) +

∫ a

bacA(t)f

′(t)dt−

∫ b

bbcA(t)f

′(t)dt = 0.

Es decir, tenemos que probar que la expresión de la izquierda es nula.Como A(t) es A bacpara t ∈ (a, bac) y A(t) es A bbc para t ∈ (b, bbc) tenemos que la diferencia anterior es lomismo que

A(b)((f(b)− f(bbc))−A(a)(f(a)− f(bac)) +A(bac)∫ a

bacf′(t)dt−A(bbc)

∫ b

bbcf′(t)dt,

y solucionando la integral

A(b)((f(b)−f(bbc))−A(a)(f(a)−f(bac))+A(a)(f(a)−f(bac))−A(b)(f(b)−f(bbc)) = 0.

Esta igualdad es verdadera, lo cual termina la demostración del teorema.

Teorema 1.13. Sea f(x) una función analítica con expansión en serie de MacLaurin dela forma

f(x) =∞∑n=0

ϕ(n)

n!(−x)n,

entonces la transformada de Mellin de esta función está dada por∫ ∞0

xp−1f(x)dx = Γ(p)ϕ(−p).

Este teorema es una versión actual del denominado Teorema Maestro de Ramanujan ypara más información ver [3]


Lema 1.2. Para −1 < <(s) < 0 se tiene la siguiente identidad∫ ∞0

sin y

ys+1dy = (−Γ(−s)) sin

(1

2sπ

).

Demostración. Utilizando la serie de Taylor centrada en cero para la función seno (verintroducción) tenemos∫ ∞

0

sin y

ys+1dy =

∫ ∞0

y−s−1

( ∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!y2n+1

)dy

=

∫ ∞0

y−s−1

( ∞∑n=0

(−1)nn!

(2n+1)!

n!y2n+1

)dy

=1

2

∫ ∞0

y−s−1

( ∞∑n=0

n!(2n+1)!

n!

(−y2n

)(2ydy)

).

Aplicando la sustitución u = y2

1

2

∫ ∞0

y−s−1

( ∞∑n=0

n!(2n+1)!

n!

(−y2n

)(2ydy)

)=

1

2

∫ ∞0

(√u)−s−1

( ∞∑n=0

n!(2n+1)!

n!(−un) (du)

)

Utilizando el Teorema Maestro de Ramanujan 1.13 con p =−s− 1

2y

ϕ(n) =n!

(2n+ 1)!=

Γ(n+ 1)

Γ2(n+ 1), la última expresión se convierte en

1

2

∫ ∞0

(√u)−s−1

( ∞∑n=0

n!(2n+1)!

n!(−un) (du)

)=

1

2Γ

(−s− 1

2

)Γ(1 + s−1

2

)Γ(2(s−1

2 + 1)) (1.4)

=1

2Γ(s+ 1)Γ

(s+ 1

2

)Γ

(−s− 1

2

)(1.5)

=1

2Γ(s+ 1)

π

sin

(πs+ 1

2

) (1.6)

=1

2Γ(s+ 1)

π

cos(πs

2

) (1.7)

=π

Γ(s+ 1)

sin(πs

2

)2 sin

(πs2

)cos(πs

2

) (1.8)

= sin(πs

2

) π

Γ(s+ 1) sin(πs)(1.9)

= − sin(πs

2

) π

Γ(s+ 1) sin(π(s+ 1))(1.10)

= −Γ(−s) sin(πs

2

). (1.11)


En el paso de (1.5) a (1.6), así como para el resultado nal, utilizamos 1.11 ítem iii); lasidentidades trigonométricas sin(x + π

2 ) = cos(x), sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) y sin(x + π) =− sin(πs) fueron utilizadas en los pasos (1.7), (1.9) y (1.10) respectivamente.

1.4.3. Segunda demostración

La segunda demostración fue tomada de [16] y es la idea original de Riemann. Estáconsiste en extender el dominio de la función para luego encontrar la ecuación funcional.Consideremos la integral

I(s) =

∫C

zs−1

ez − 1,

donde el contorno C inicia en el innito sobre la recta real positiva, rodea el origen en ladirección contraria a las manecillas del reloj sin incluir los puntos de la forma ±2kiπ, k ∈ Ny continua de nuevo sobre la recta real hacía el innito positivo.

Aquí zs−1 está deninido como su determinación principal [10]

DP (zs−1) = e(s−1) log(z),

con el n de que el logaritmo sea real al inicio del contorno, esto es I(log(z)) varia de 0 a2π alrededor del contorno. Así nosotros podemos tomar C como la semirecta que va de ∞a ρ, donde 0 < ρ < 2π, |z| = ρ y la semirrecta que va de ρ a ∞. Sobre el circulo se cumpleque: ∣∣zs−1

∣∣ = e(<(s)−1) log(|z|)−i arg z

≤ |z|<(s)−1 e2π,

y|ez − 1| > A |z| .

Si <(s) > 1, la integral alrededor de este circulo tiende a cero cuando ρ tiende a cero,obtenemos que:∫

C

zs−1

ez − 1dz = −

∫ ∞0

xs−1

ex − 1dx+

∫ ∞0

(xe2πi)s−1

ex − 1dx

= −∫ ∞

0

xs−1

ex − 1dx+ (e2πi)s−1

∫ ∞0

(x)s−1

ex − 1dx

= ((e2πi)s−1 − 1)

∫ ∞0

xs−1

ex − 1dx

= Γ(s)ζ(s)((e2πi)s−1 − 1) (por el Lemma 1.3)

= Γ(s)ζ(s)(e2sπie−2πi − 1)

= Γ(s)ζ(s)(e2sπi − 1).


Utilizando la fórmula de reexión de Euler (Teorema 1.11, numeral 3) y la denición de lafunción seno complejo, la igualdad anterior se convierte en:∫

C

zs−1

ez − 1dz = Γ(s)ζ(s)(e2sπi − 1)

=π(e2πis − 1)

sin (πs) Γ(1− s)ζ(s)

=π(e2πis − 1)

eiπs−e−iπs2i Γ(1− s)

ζ(s)

=2iπ(e2πis − 1)

(eiπs − e−iπs)Γ(1− s)ζ(s)

=2iπeπis(eπis − e−πis)(eiπs − e−iπs)Γ(1− s)

ζ(s) =2iπeπis

Γ(1− s)ζ(s).

Por lo tanto, obtenemos una nueva continuación analítica para todo el plano complejo yesta dada por:

ζ(s) =e−iπsΓ(1− s)

2πi

∫C

zs−1

ez − 1dz.

Luego, utilizado el Lema 1.4 en la igualdad obtenida para ζ(s) obtenemos que

ζ(s) =e−iπsΓ(1− s)

2πi4πieiπs sin

(1

2πs

)(2π)s−1ζ(s− 1)

= 2s(π)s−1 sin

(1

2πs

)Γ(1− s)ζ(s− 1).

Lema 1.3. Para <(s) > 1 se tiene la siguiente identidad:

ζ(s) =1

Γ(s)

∫ ∞0

xs−1

ex − 1dx.

Demostración. Sea <(s) > 0 y haciendo la sustitución x = yn tenemos∫ ∞

0

xs−1

enxdx =

∫ ∞0

(yn

)s−1e−y

dy

n

=

∫ ∞0

ys−1

ns−1

1

ne−ydy

=1

ns

∫ ∞0

ys−1e−ydy

=Γ(s)

ns.


Lo anterior implica que,

Γ(s)ζ(s) =∞∑n=1

1

nsns∫ ∞

0xs−1e−nxdx

=

∞∑n=1

∫ ∞0

xs−1e−nxdx

=

∫ ∞0

∞∑n=1

xs−1e−nxdx

=

∫ ∞0

xs−1∞∑n=1

e−nxdx

=

∫ ∞0

xs−1 1

ex − 1dx

=

∫ ∞0

xs−1

ex − 1dx.

El conmutar la suma con la integral (segunda linea) es un paso que se justica como sigue:

∞∑n=1

∫ ∞0

∣∣xs−1e−nx∣∣ dx =

∞∑n=1

∫ ∞0

∣∣xs−1∣∣ ∣∣e−nx∣∣ dx

=

∞∑n=1

∫ ∞0

xσ−1e−nxdx = Γ(σ)ζ(σ),

de ahí que el integrando converge absolutamente, cada función fn(x) = xs−1e−nx y∑∞

n=1 xs−1e−nx =

xs−1

ex−1 es decir esa suma existe para todo x ∈ R, así podemos intercambiar la sumatoria conla integral, ver por ejemplo [[7], cp 6, pp 136].

Lema 1.4. Para <(s) > 1 e I(s) =∫Czs−1

ez−1 tenemos la siguiente relación

I(s) :=

∫C

zs−1

ez − 1dz = 4πieiπs sin

(1

2πs

)(2π)s−1ζ(s− 1).

Demostración. Para determinar la veracidad de la identidad a probar, debemos tomar laintegral a lo largo del contorno Cn que va desde innito hasta (2n + 1)π, luego rodea elcuadrado con vértices en (2n+1)π(±1,±i) y naliza regresando a innito a lo largo del ejepositivo real. En los contornos C y Cn el integrando tiene polos en los puntos ±2kiπ, k ∈ N.Los residuos en 2kiπ y −2kiπ tienen la forma:

(2kπe12iπ)s−1 + (2kπe

32iπ)s−1 = (2kπ)s−1eiπ(s−1)2 cos

(1

2π(s− 1)

)= −2(2kπ)s−1eiπs sin

(1

2πs

).


Luego, por el teorema de los residuos

I(s) =

∫Cn

zs−1

ez − 1dz + 4πieiπs sin

(1

2πs

) n∑k=1

(2kπ)s−1.

Si <(s) < 0 y hacemos que n tienda a innito: la función 1ez−1 es acotada en el contorno

Cn, y zs−1 = O(|z|<(s)−1), por lo tanto la intengral alrededor de Cn tiende a cero, así

I(s) = 4πieiπs sin

(1

2πs

) ∞∑k=1

(2kπ)s−1

= 4πieiπs sin

(1

2πs

)(2π)s−1

∞∑k=1

(k)s−1

= 4πieiπs sin

(1

2πs

)(2π)s−1ζ(s− 1).

Nota: Algunos resultados de la función zeta de Riemann surgen de la identidad ante-rior y algunos serán retomados en el tercer capítulo del presente documento: La posiblesingularidad del integrando de I(s) es el polo simple en s = 1, pues

I(1) =

∫C

z0

ez − 1dz.

Como C es una curva de Jordan orientada con respecto a las manecillas del reloj, que rodeaal cero entonces

I(1) =

∫C

dz

ez − 1= 2πi

y

Γ(1− s) = − 1

s− 1+ · · ·

Si s es un entero, el integrando en I(s) es un valor numérico y puede ser evaluado por elteorema de los residuos. Ahora, dado que

z

ez − 1= 1− 1

2z +B2

z2

2!−B4

z4

4!+ · · ·

entonces, es posible encontrar algunos valores de ζ(s):

ζ(0) =e0Γ(1)

2πi

∫C

z−1

ez − 1dz =

1

2

ζ(−2k) =e2kiπΓ(1 + 2k)

2πi

∫C

z−2k−1

ez − 1dz =

(1 + 2k)!

2πi0 = 0

ζ(1− 2k) =e−iπ(1−2k)Γ(2k)

2πi

∫C

z−2k

ez − 1dz =

(−1)kBk2k

, k ∈ N,

donde los Bk son los números de Bernoulli 1.14.


1.4.4. Tercera demostración

La prueba siguiente también es original del mismo Bernard Riemann y es tomada de[16]. Sea <(s) > 1, sumando la expresión del Lema 1.5 sobre todos los números naturalestenemos que

Γ(12s)ζ(s)

π12s

=

∞∑n=1

∫ ∞0

x12s−1e−n

2πxdx

=

∫ ∞0

∞∑n=1

x12s−1e−n

2πxdx

=

∫ ∞0

x12s−1

∞∑n=1

e−n2πxdx.

El conmutar la suma con la integral se justica de forma análoga a la realizado en lasegunda demostración.Por otro lado, si denimos

ψ(x) =∞∑n=1

e−n2πx,

así,Γ(1

2s)ζ(s)

π12s

=

∫ ∞0

x12s−1ψ(x)dx,

despejando la función ζ

ζ(s) =π

12s

Γ(12s)

∫ ∞0

x12s−1ψ(x)dx.

Ahora, utilizando el Corolario 1,1. Lo anterior es equivalente a:

2ψ(x) + 1 =1√x

(2ψ

(1

x

)+ 1

).

Por lo tanto,

π−12sΓ

(1

2s

)ζ(s) =

∫ 1

0x

12s−1ψ(x)dx+

∫ ∞1

x12s−1ψ(x)dx

=

∫ 1

0x

12s−1

(1√xψ

(1

x

)+

1

2√x− 1

2

)dx+

∫ ∞1

x12s−1ψ(x)dx

=1

s− 1− 1

s+

∫ 1

0x

12s− 3

2ψ

(1

x

)dx+

∫ ∞1

x12s−1ψ(x)dx

=1

s(s− 1)+

∫ ∞1

x−12s− 1

2ψ(x) + x12s−1ψ(x)dx.

Esta última integral es convergente para todos los valores de s y además la expresión esuna extensión analítica para todos los valores del plano complejo. Ahora, cambiamos s por1− s en el lado derecho en la última igualdad y obtenemos

π−12sΓ

(1

2s

)ζ(s) = π

−12

+ s2 Γ

(−1

2+s

2

)ζ(1− s).


Lema 1.5. Para <(s) > 1 ∫ ∞0

x12s−1e−n

2πxdx =Γ(1

2s)

nsπ12s

Demostración. Utilizando la forma integral de Gamma para s2 tenemos que:

Γ(s

2

)=

∫ ∞0

e−uus2−1du.

Luego, haciendo la sustitución u = n2πx la integral se convierte en:

Γ(s

2

)=

∫ ∞0

e−n2πx(n2πx)

s2−1n2πdx

=

∫ ∞0

e−n2πx(n2)

s2−1π

s2−1(x)

s2−1n2πdx

=

∫ ∞0

e−n2πxnsπ

s2x

s2−1n2dx

= nsπs2−1

∫ ∞0

e−n2πxx

s2−1dx,

despejando la integral de esta última igualdad, obtenemos lo fórmula deseada.

Denición 1.16. Para un número complejo z con <(z) > 0 y α un número complejoarbitrario, denimos la función θ como

θ (z, α) =

∞∑n=−∞

e−πz(n+α)2 .

Lema 1.6. La función θ cumple la siguiente identidad

θ

(1

z, α

)=√z∞∑

n=−∞e−πn

2z+2πinα =√ze−α

2π/zθ

(z,−iαz

).

Corolario 1.1. Para α = 0 y x > 0 tenemos que

θ (x, 0) = θ(x) =1√xθ

(1

x

).

Las demostraciones del Lema y el Corolario se pueden ver en [[8], cp 1, pp 6-8]

1.4.5. Cuarta demostración

La siguiente demostración o contrucción de la ecuación funcional se debe a Siegel. Estadepende de la solución de la siguiente integral y también es tomada de [16]:

Φ(a) =

∫L

eiw2

4π+aw

ew − 1dw,


donde L se dene como la linea recta inclinada π4 con respecto al eje real, e intersecta al

eje imaginario entre 0 y 2πi. De ahí que la integral es convergente para todos los valoresde a. Ahora:

Φ(a+ 1)− Φ(a) =

∫L

eiw2

4π+(a+1)w

ew − 1dw −

∫L

eiw2

4π+aw

ew − 1dw

=

∫L

eiw2

4π

ew − 1(e(a+1)w − eaw)dw

=

∫L

eiw2

4π

ew − 1eaw(ew − 1)dw

=

∫Leiw2

4π eawdw

=

∫Leiw2

4π+awdw,

completando el cuadrado:

w2i

4π+ aw =

w2i

4π+ aw − iπa2 + iπa2

=w2i+ 4πaw − 4iπ2a2

4π+ iπa2

=i

4π(w2 − 4iπaw − 4π2a2) + iπa2

=i

4π(w2 − 4iπaw + 4(i)2π2a2) + iπa2

=i

4π(w − 2iπa)2 + iπa2.

Por lo tanto,

Φ(a+ 1)− Φ(a) =

∫Lei4π

(w−2iπa)2+iπa2dw

= eiπa2

∫e

14πiW 2

dW

donde W = w− 2iπa. Aquí estamos moviendo L al contorno de una paralela que pasa porel origen, este último resultado es equivalente a:

Φ(a+ 1)− Φ(a) = eiπ4

∫ ∞−∞

e−14πρ2dρ = 2πe

iπ4 ,

sea L′ la linea paralela a L que intersecta al eje imaginario a una distancia 2π de laintersección con L. Luego, utilizando el teorema de los residuos tenemos que:∫

L′

eiw2

4π+aw

ew − 1dw −

∫L

eiw2

4π+aw

ew − 1dw = 2πi,


Pero ∫L′

eiw2

4π+aw

ew − 1dw =

∫L

ei(w−2πi)2

4π+a(w−2πi)

ew − 1dw

=

∫L

eiw2+w−πi+a(w−2πi)

ew − 1dw

= −e−2πiaΦ(a+ 1),

en consecuencia,−e−2πiaΦ(a+ 1) = 2πi,

eliminando el término Φ(a+ 1) tenemos que

Φ(a) = −2πi+ 2πeiπ(a2−2a+ 14

)

1 + e−2πia,

o equivalentemente a

Φ(a) = 2πcosπ(a

2

2 − a+ 18)

cos aπeiπ(a

2

2)− 5

8 .

Si a = 12 iz/π + 1

2 , el primer resultado para Φ(a) toma la forma∫L

e14iw2/π+ 1

2izw/π ‘1

2w

ew − 1dw =

2πi

es − 1− 2πi

e−1/4iz2/π+ 12z

ez − 1

Multiplicado por zs−1(<(s) > 1), e integrando de 0 a ∞e−14iπ, nosotros obtenemos que

∫ ∞e−14 iπ

0zs − 1dz

∫L

e14iw2/π+ 1

2izw/π ‘1

2w

ew − 1dw

=

∫L

e14iw2/π+ 1

2w

ew − 1dw

∫ ∞e−14 iπ

0e1/2izw/πzs−1dz

= 2πiΓ(s)ζ(s)− 2π

∫ ∞e−14 iπ

0

e14iz2/π+ 1

2w

ez − 1zs−1dz.

El cambio del lado izquierdo de la igualdad se justica por la convergencia absoluta, enefecto

w = −c+ ρe14iπ, z = re

−14iπ,

donde c > 0, es decir <(izw) = −cr/√

2

Ahora,

∫ ∞e−14 iπ

0e1/2izw/πzs−1dz = e

12iπs

∫ ∞0

e−12yw/πys−1dy = e

12iπs( wdπ

)−sΓ(s),

y ∫ ∞e−14 iπ

0

e−14iz2/π+ 1

2z

ez − 1zs−1dz =

1

1 + e−isπ

∫L

e−14iz2/π+ 1

2z

ez − 1zs−1dz,


donde L es la reexion de la recta L con respecto al eje x. Luego,

ζ(s) =e

12isπ(2π)s

2πs

∫L

e14iw2/π+ 1

2w

ew − 1w−sdw +

1

Γ(s)(1 + e−isπ)

∫L

e−14iz2/π+ 1

2z

ez − 1zs−1dz,

o

π−12sΓ

(1

2s

)ζ(s) = e

12iπ(s−1)2s−1π

12s−1Γ

(1

2s

)∫L

e14iw2/π+ 1

2w

ew − 1w−sdw+

+ e12iπs2−sπ−

12s− 1

2 Γ

(1

2− 1

2s

)∫L

e14iz2/π+ 1

2z

ez − 1z−sdz.

Está expresión es una extensión analítica para todos los valores de s . Si s = 12 + it,

los dos términos de cada lado de la igualdad son conjugados. Por lo tanto, si f(s) =π−1/2sΓ

(12s)ζ(s) es real sobre σ = 1

2 entonces

f(s) = f(σ + it) = f(1− σ + it) = f(1− σ − it) = f(1− s),

que corresponde con la ecuación funcional.

Para concluir, podemos hablar de las ventajas y desventajas de cada prueba, por ejem-plo una desventaja de la primera prueba es que en principio la ecuación funcional solo esválida para 0 < <(s) < 1, lo que que diere de las demás, ya que en ellas válidamos paratodo valor del plano complejo. La segunda y la tercera prueba se deben a Riemann quienprobó la ecuación funcional en su artículo de 1859, de dos maneras diferentes: una es unclaro ejemplo de uso del teorema del residuo y la otra se ve como una buena aplicación dela función Theta de Jacobi θ (z, α) =

∑∞n=−∞ e

−πz(n+α)2 para α = 0 y tienen en común,junto con las demás pruebas presentadas en este documento, que la ecuación funcional nose puede demostrar sin alguna forma de continuación analítica como se índica desde laintroducción. Sin embargo, la tercer prueba tiene la ventaja de exhibir la simetría de laecuación funcional de una forma más elegante [ver [5], cp 1, pp. 14-15]. La última pruebase debe al matemático Carl Ludwig Siegel y tiene como ventaja que presenta una nuevaforma integral para la función zeta de Riemann además de ser el punto de partida para elestudio asintótico de la función zeta de Riemann cerca de la recta crítica.

Por otro lado, cabe preguntarnos porqué Riemann da dos demostraciones de la ecuaciónfuncional? ya que la tercera de las pruebas (segunda realizada por Riemann) hace que lasegunda sea innecesaria, pero no se tiene una respuesta veraz, pues de acuerdo a [5] se armaque quizás la primera prueba muestra el argumento por el cual descubrió la

ecuación funcional o quizás exhibe algunas propiedades que fueron importantes

para él en comprensión de ζ.

CAPÍTULO 2

Otras funciones zeta

En el presente capítulo presentaremos varias generalizaciones de la función zeta deRiemann y algunos teoremas importantes acerca de estas.

2.0.1. Carácteres de Dirithlet

Las deniciones y teoremas expuestos relacionado con los carácteres de Dirihtlet sontomados de [14].

Denición 2.1. Sea G un grupo y f una función tal que

f : G→ C \0.

Se llama carácter del grupo G a la función f cuando está es un homomorsmo. El carácterf0 tal que f0(a) = 1 para cada a ∈ G, se llama el carácter principal del grupo G.

Denición 2.2. Un carácter numérico módulo k, es un carácter del grupo abeliano nito(Z/kZ)∗.

Un carácter numérico χ módulo k se llama primitivo, si para cada divisor d de k donde1 < d < k, existe un entero a ≡ 1 (mod d), con (a, k) = 1, tal que χ(a) 6= 1. En casocontrario, decimos que el carácter χ no es primitivo.

Teorema 2.1. Sea χ un carácter numérico módulo k, entonces no es primitivo, si, ysólo si χ(a) = χ(b) cada vez que a y b (con a, b ∈ Z) satisfagan la siguiente relación(a, k) = (b, k) = 1 y a ≡ 1 (mod d) para algún d|k con d > 1

Denición 2.3. Dado un carácter numérico χ módulo k. , χ se puede extender a Z me-diante

χ(a) =

χ(a) si (k, a) = 1, o;

0 si (k, a) 6= 1.

La extensión de un carácter numérico, se denomina carácter de Dirichlet módulo k. Porotro lado, el cárácter numérico χ0, se le conoce como el carácter principal de Dirhlet módulok.

29

CAPÍTULO 2. OTRAS FUNCIONES ZETA 30

Lema 2.1. Propiedades de los carácteres de Dirichlet módulo k.

i.χ(a) = 0 si, y sólo si (a, k) > 1;

ii.χ(a) = χ(b) si a ≡ b( mod k);

iii.χ(ab) = χ(a)χ(b) para cada a, b ∈ Z.

2.0.2. Funciones L de Dirithlet

Las funciones L de Dirithlet son muy importantes en la teoría de números ya que seusan para demostrar el teorema de Dirichlet1 y tienen una estrecha conexión con la teoríade la función zeta de Riemann ya que si χ es el carácter trivial obtenemos la serie quedene la función zeta de Riemann.

Denición 2.4. Sea s ∈ C y <(s) > 1,las funciones L de Dirithlet, L(s, χ) se dene como:

L(s, χ) :=∞∑n=1

χ(n)

ns,

donde χ es un carácter de Dirithlet.

La función L(s, χ) es holomorfa para <(s) > 1. Usando la propiedad 3. de χ(n), sepuede justicar que las funciones L satisfacen una identidad de producto innito, análogaa la de ζ(s)

L(s, χ) =∏p

(1− χ(p)

ps

)−1

.

A continuación presentamos una continuación analítica [[8], cp 1, pp 14-16] de la funciónL(s, χ):

Lema 2.2. Supongamos que χ(n) es carácter no principal modulo m y sea

S(x) =∑n≤x

χ(n).

Entonces para <(s) > 1 tenemos que

L(s, χ) = s

∫ ∞1

S(x)x−s−1dx.

1Sea a, d ∈ N tal que el máximo común divisor (a, d) = 1, entonces la progresión aritmética an = a+n ·dcontiene innitos números primos.


Demostración. Sea N ≥ 1,<(s) > 1. Usando el Teorema 1.12 con f(n) = 1ns y χ(n) = an

obtenemos que

N∑n=1

χ(n)

ns=

1

N s

∑n≤N

χ(n)−∑n≤1

χ(n) + s

∫ N

1

∑n≤x χ(n)

xs+1dx

=1

N s

∑n≤N

χ(n)−∑n≤1

χ(n) + s

∫ N

1

∑n≤x χ(n)

xs+1dx+ 1− 1 +N−s −N−s

= 1 + s

∫ N

1

∑n≤x χ(n)

xs+1dx+N−s

∑n≤N

χ(n)− 1

− 1 +N−s

= 1 + s

∫ N

1

∑n≤x χ(n)

xs+1dx+N−s

∑n≤N

χ(n)− 1

− s (x−s−s

)∣∣∣∣N1

= 1 + s

∫ N

1

∑n≤x χ(n)

xs+1dx+N−s

∑n≤N

χ(n)− 1

− s ∫ N

1

1

xs+1

= 1 + s

∫ N

1

S(x)− 1

xs+1dx+N−s (S(N)− 1)

= 1 + s

∫ N

1c(x)x−s−1dx+N−sc(N),

donde c(x) = S(x) − 1. Dado que c(x) ≤ x, si nosotros tomamos el limite cuando Ntiende a innito, nosotros encontramos que:

L(s, χ) = lımN→∞

1 + s

∫ N

1c(x)x−s−1dx+N−sc(N) = s

∫ ∞1

S(x)x−s−1dx,

como queríamos demostrar.

Corolario 2.1. La fórmula del teorema anterior da una continuación analítica al planocomplejo para <(s) > 0

Demostración. Dado que χ 6= χ0, tenemos que |S(x)| = ϕ(m) [ Numeral d, TeoremaA.9.6[8]] y además como la integral

s

∫ ∞1

S(x)x−s−1dx,

es absolutamente convergente y uniformemente convergente para <(s) ≥ σ0 > 0. Por elTeorema de Weierstrass esta integral es una función holomorfa de s sobre todo el planocomplejo para <(s) > 0.

2.0.3. Función zeta de Hurwitz.

La función zeta de Hurwitz es otra generalización de la función zeta de Riemann yse puede denir como un desplazamiento de esta función por un valor escalar α, esta fuetomada de [[8], cp 1, pp 4] :


Denición 2.5. Sea α un número real tal que 0 < α ≤ 1. Si <(s) > 1, entonces la función

ζ(s, α) =∞∑n=0

1

(n+ α)s,

se llama la función zeta de Hurwitz.

Teorema 2.2. Para <(s) > 0 y K ∈ N, se tiene la siguiente identidad [[8], cp 1, pp 17]:

ζ(s, α) =K∑n=0

1

(n+ α)s+

1

s− 1

(K +

1

2+ α

)1−s+ s

∫ ∞K+ 1

2

c(x)

(x+ α)s+1dx,

donde c(x) = x− bxc − 12 .

Demostración. Sea N > K, N ∈ N. Entonces aplicando la fórmula de sumación de Euler

2,1, con f(n) =1

(n+ α)s, a = k + 1/2 y b = N + 1/2. Obtenemos:

∑K+ 1

2<n<N+ 1

2

1

(n+ α)s=

∫ N+ 12

K+ 12

dx

(x+ α)s+ s

∫ N+ 12

K+ 12

c(x)

(x+ α)s+1dx+

+ c

(k +

1

2

)· 1(k + 1

2 + α)s − c(N +

1

2

)· 1(N + 1

2 + α)s

=

∫ N+ 12

K+ 12

dx

(x+ α)s+ s

∫ N+ 12

K+ 12

c(x)

(x+ α)s+1dx+

(k +

1

2− k − 1

2

)·

· 1(k + 1

2 + α)s − (−N − 1

2+N +

1

2

)· 1(N + 1

2 + α)s

=

∫ N+ 12

K+ 12

dx

(x+ α)s+ s

∫ N+ 12

K+ 12

c(x)

(x+ α)s+1dx

=1

1− s

(N +

1

2+ α

)1−s+

1

s− 1

(K +

1

2+ α

)1−s

+ s

∫ N+ 12

K+ 12

c(x)

(x+ α)s+1dx.

Si <(s) > 1 y haciendo que N →∞, tenemos que

∞∑n=K+1

1

(n+ α)s=

1

s− 1

(K +

1

2+ α

)1−s+ s

∫ ∞K+ 1

2

c(x)

(x+ α)s+1dx.

Sumando∑K

n=0

1

(n+ α)sa cada lado de la igualdad, obtenemos

∞∑n=0

1

(n+ α)s=

K∑n=0

1

(n+ α)s1

s− 1

(K +

1

2+ α

)1−s+ s

∫ ∞K+ 1

2

c(x)

(x+ α)s+1dx.

La última integral es una función holomorfa en todo el plano complejo con <(s) > 0. Porlo tanto, el teorema queda demostrado por el principio de continuación analítica.


Proposición 2.1 (Fórmula de sumación de Euler). Sea f : [a, b] → C una función declase C1. Entonces∑

a<n≤bf(n) =

∫ b

af(x)dx+

∫ b

ac(x)f ′(x)dx+ c(a)f(a)− c(b)f(b),

donde c(x) = x− bxc − 12 .

Demostración. Utilizamos la fórmula de sumación de Abel 1,12 con an = 1. Entonces

∑a<n≤b

f(n) = bbc f(b)− bac f(a)−∫ b

abxc f ′(x)dx.

realizando la sustitución bxc = x − 1/2 − (x − bxc − 1/2) = x − 1/2 − c(x) e integrandopor partes

∑a<n≤b

f(n) = bbc f(b)− bac f(a)−∫ b

abxc f ′(x)dx

= ((b− c(b))− (a− c(a)))f(b) + (a− 1/2− c(a))(f(b)− f(a))−

−∫ b

a(x− 1/2− c(x))f ′(x)dx

= c(a)f(a)− c(b)f(b) + bf(b)− af(b) + c(a)f(b) + af(b)−− af(a)− 1/2(f(b)− f(a))− c(a)f(b)− xf(x)|ba + 1/2(f(b− f(a)))+

+

∫ b

af(x)dx+

∫ b

acxf ′(x)dx,

eliminando los términos semejantes, queda demostrado lo deseado.

2.0.4. Ecuación funcional de las funciones L de Dirithlet

Teorema 2.3. Sea χ un carácter primitivo módulo k, y sea

δ =

0 si χ(−1) = 1;1 si χ(−1) = −1.

Si ξ(s, χ) está dada por

ξ(s, χ) := (πk−1)−(s+δ)/2Γ

(s+ δ

2

)L(s, χ),

está cumple la siguiente identidad [[8], cp 1, pp 15]:

ξ(1− s, χ) =iδ√k

g(χ)ξ(s, χ).


Demostración. Supongamos que χ(−1) = 1. Entonces por el Lema 1,5

π−s/2ks/2Γ(s

2

)n−s =

∫ ∞0

e−(πτn2)/kτ s/2−1dτ.

Multiplicando cada lado de la igualdad por χ(n), asumiendo que <(s) > 1 y sumandosobre todos los números naturales n obtenemos

π−s/2ks/2Γ(s

2

)L(s, χ) =

∫ ∞0

τ s/2−1∞∑n=1

χ(n)e−(πτn2)/kdτ,

tomando∞∑n=1

χ(n)e−(πτn2)/k =1

2θ(τ, χ),

entonces

π−s/2ks/2Γ(s

2

)L(s, χ) =

∫ ∞0

τ s/2−1 1

2θ(τ, χ)dτ.

Ahora, dividimos la integral en dos partes, hacemos el cambio de variable τ → τ−1 en laprimera de las dos integrales y usando g2(χ)θ(τ, χ) =

√kτ−1θ(τ−1, χ, obtenemos

π−s/2ks/2Γ(s

2

)L(s, χ) =

1

2

∫ ∞1

τ s/2−1θ(τ, χ)dτ +1

2

∫ ∞1

τ−s/2−1θ(τ−1, χ)dτ

=1

2

∫ ∞1

τ s/2−1θ(τ, χ)dτ +1

2

√k

g(χ)

∫ ∞1

τ−s/2−1/2θ(τ, χ)dτ.

Dado que la última expresión es analítica para todo s, esta es una continuación analíticapara L(s, χ) sobre todo el plano complejo. Además como Γ(s/2) 6= 0, se sigue que L(s, χ)es entera. Por consiguiente, si usamos el hecho de que

g(χ)g(χ) = g(χ)g(χ) = k

(χ(−1) = 1), podemos reemplazar s por 1 − s y χ por χ en el último resultado, paraobtener

π(s−1)/2k(1−s)/2Γ

(1− s

2

)L(1−s, χ) =

1

2

∫ ∞1

τ−s/2−1/2θ(τ, χ)dτ+1

2

√k

g(χ)

∫ ∞1

τ s/2−1θ(τ, χ)dτ

esto es

ξ(1− s, χ) =

√k

g(χ)ξ(s, χ),

lo cual demuestra el teorema en el caso δ(χ) = 0.Ahora supongamos que χ(−1) = −1, con la cual tenemos

π−s/2−1/2ks/2+1/2Γ

(s+ 1

2

)n−s =

∫ ∞0

ne−(πτn2)/kτ s/2−1/2dτ,

2La función g se dene como:

g(χ) =

k∑a=1

χ(a)e2πia/k


en consecuencia, para <(s) > 1

π−s/2−1/2ks/2+1/2Γ

(s+ 1

2

)L(s, χ) =

1

2

∫ ∞0

θ1(τ, χ)τ s/2−1/2dτ

=1

2

∫ ∞1

θ1(τ, χ)τ s/2−1/2dτ + i

√k

g(χ)

1

2

∫ ∞0

θ1(τ, χ)τ−s/2dτ.

Finalmente, haciendo sustituciones equivalentes a las realizadas para δ = 0, obtenemos elresultado deseado.

2.0.5. Ecuación funcional para la función zeta de Hurwitz

En este apartado discutimos la ecuación funcional para la función zeta de Hurwitz lacuál fue tomada de [8], cp 1, pp 17.

Teorema 2.4. La función zeta de Hurwitz es mereomorfa sobre todo el plano complejo conun polo simple en s = 1 y residuo 1. Si <(s) < 0, entonces la función cumple la siguienterelación

ζ(s, α) = 2(2π)s−1Γ(1− s)

(sin(πs

2

) ∞∑n=1

cos(2πnα)

n1−s + cos(πs

2

) ∞∑n=1

sin(2πnα)

n1−s

).

Demostración. Denamos

I(s, α) =

∫ ∞0

∑n∈Z

τ s/2−1e−πτ(n+α)2dτ,

con <(s) > 1. Entonces

I(s, α) =

∫ ∞0

∑n∈Z

τ s/2−1e−πτ(n+α)2dτ

=∑n∈Z

∫ ∞0

τ s/2−1e−πτ(n+α)2dτ.

Aplicando la sustitución u = τπ(n+ α)2 con du = dτπ(n+ α)2 lo anterior es equivalentea:

I(s, α) =∑n∈Z

∫ ∞0

e−u(

u

π(n+ α)2

)s/2−1( du

π(n+ α)2

)=∑n∈Z

∫ ∞0

e−uus/2−1

(du

(π(n+ α)2)s/2−1π(n+ α)2

)=∑n∈Z

∫ ∞0

e−uus/2−1du

(1

(π(n+ α)2)s/2

)=∑n∈Z

Γ(s

2

)π−s/2|n+ α|−s

= π−s/2Γ(s

2

)(ζ(s, α) + ζ(s, 1− α)). (2,1)


Para 0 < τ0 <∞ y utilizando el lema 1,6 tenemos que

I(s, α) =

∫ τ0

0τ s/2−1θ(τ, α)dτ +

∫ ∞τ0

τ s/2−1θ(τ, α)dτ

=

∫ τ0

0τ s/2−1 1√

τ

∑n∈Z

e−πn2τ−1+2πinαdτ +

∫ ∞τ0


=

∫ τ0

0τ s/2−3/2dτ +

∫ τ

0τ s/2−3/2

∑n6=0

e−πn2τ−1+2πinαdτ +

∫ ∞τ0


=2τ

s−12

s− 1+

∫ ∞τ−10

τ−s/2−1/2

∑n6=0

e2πinα · e−πn2τ

dτ +

∫ ∞τ0

τ s/2−1θ(τ, α)dτ.

La última expresión es una función analítica sobre todo el plano complejo. Además, eso

implica qued

dαI(s, α) es analítica sobre todo el plano complejo. Si hacemos que τ → ∞

obtenemos para <(s) < 0

I(s, α) =∑n6=0

e2πinα

∫ ∞0

τ−s/2−1/2e−πn2τdτ

=∑n6=0

e2πinα

∫ ∞0

( τ

πn2

)−s/2−1/2e−τd

( τ

πn2

)=∑n6=0

e2πinαπ−s/2−1/2|n|s−1Γ

(s− 1

2

)

= 2π−s/2−1/2Γ

(s− 1

2

)F (1− s, α), (2,2)

con

F (s, α) =∞∑n=1

cos(2πnα)

ns.

La expresión anterior da una continuación analítica de F (s, α) y de esta también se deduce

qued

dαF (s, α) tiene una continuación analítica sobre todo el plano complejo. Por lo tanto,

para <(s) > 2 tenemos que

d

dαI(1− s, α) = π(1−s)/2Γ

(s− 1

2

)(d

dαζ(s− 1, α) +

d

dαζ(s− 1, 1− α)

).

Luego

d

dαζ(s− 1, α) =

∞∑n=0

d

dα(n+ α)−s+1 = (1− s)

∞∑n=0

(n+ α)−s = (1− s)ζ(s, α),


por lo tanto

d

dαI(s− 1, α) = π(1−s)/2Γ

(s− 1

2

)(d

dαζ(s− 1, α) +

d

dαζ(s− 1, 1− α)

)= π(1−s)/2Γ

(s− 1

2

)(1− s)(ζ(s, α)− ζ(s, 1− α))

= −2π(1−s)/2Γ

(s+ 1

2

)(ζ(s, α)− ζ(s, 1− α)). (2,3)

Debido a que I(s, α) y su derivada tienen continuaciones analíticas sobre todo el planocomplejo, vemos de (2,1) y de (2,3) que ζ(s, α) tiene extensiones analíticas a todo el planocomplejo.Resolviendo (2,1) y (2,3) para ζ(s, α), tenemos que

ζ(s, α) =

(πs/2Γ−1

(s2

)I(s, α)− 1

2π(s−1)/2Γ−1

(s+ 1

2

)d

dαI(s− 1, α)

).

Para <(s) < 1 nosotros obtenemos de (2,2)

ζ(s, α) =1

2(πs/2Γ−1

(s2

)2πs/2−1/2Γ

(1− s

2

)F (1− s, α)

− 1

2π(s−1)/2Γ−1

(s+ 1

2

)2πs/2−1Γ

(2− s

2

)d

dαF (2− s, α)).

= πs−1/2 Γ((1− s)/2)

Γ(s/2)

∞∑n=0

cos(2πnα)

n1−s +1

2πs−3/2 Γ((1− s)/2)

Γ((s+ 1)/2)

∞∑n=1

2π sin(2πnα)

n1−s .

Usando las propiedades 3 y 4 de la función Γ, Teorema 1,11

Γ((1− s)/2)

Γ(s/2)=

Γ((1− s)/2)Γ((1− s)/2)

π/ sin(πs/2)=

1

πsin(π

2s)

2√π2−2((1−s)/2)Γ(1− s),

además

Γ((1− s)/2)

Γ((s+ 1)/2)=

Γ((1− s)/2)Γ((1− (s+ 1))/2)

π/ sin(πs/2 + π2 )

=1

πcos(π

2s)

2√π2−2((1−s)/2)Γ(1− s),

sustituyendo en la última identidad obtenida para ζ(s, α), obtenemos para <(s) < 0

ζ(s, α) = 2(2π)s−1Γ(1− s)

(sin(πs

2

) ∞∑n=1

cos(2πnα)

n1−s + cos(πs

2

) ∞∑n=1

sin(2πnα)

n1−s

).

Para nalizar este capítulo, hablaremos un poco del contexto en el que surgen las fun-ciones aquí mencionadas: Las series L de Dirichlet son un conjunto de funciones nombradasen honor a Peter Gustav Lejeune Dirichlet y surgen en el intento por demostrar el Teoremaque se lleva su nombre. Este establece lo siguiente: "Sean a y d dos números naturales queson primos relativos entonces hay innitos números primos que pertenecen a la progresión


aritmética an = a + nd ". Una idea general de como surgen, se da después de que Leo-nard Euler demostrara que las progresiones aritméticas de la forma 4n+ 1 y 4n+ 3 tieneninnitos números primos y que, además, están regularmente distribuidos.

Así, Dirichlet concluye que para cualquier función f completamente multiplicativa3 sepuede establecer una identidad de la forma

∞∑n=1

f(n)

ns=∏p∈P

(ps

ps − f(p)

)

(para funciones de lento crecimiento), siendo esto el primer pasó para lograr la demostraciónde su Teorema, incluyendo el uso de los ya denidos carácteres de Dirichlet base tambiénde la teoría de representación de grupos. [11]

Por otro lado, la función zeta de Hurwitz fue introducida en este capitulo porque tantola función zeta de Riemann como las funciones L de Dirichlet, se pueden unicar al estudiarla mencionada función ya que la de Riemann se puede denir como ζ(s) = ζ(s, 1) y lasfunciones L se puede escribir en terminos de la de Hurwitz así: Sea χ un carácter deDirichlet modulo k y n = qk + r donde q ∈ N y 0 ≤ r ≤ k entonces [[1], cp 12, pp 249]

L(χ, s) = k−sk∑r=1

χ(r)ζ(s,r

k),

esto implica, que en ciertos contextos el uso de la función zeta de Hurwitz es máseciente que el uso de la función zeta de Riemann o de las funciones L de Dirichlet porseparado.

Además de la función zeta de Hurwitz, de las funciones L de Dirichlet y de la funciónzeta de Riemann, existen otras funciones zeta que constituyen diversos campos de investi-gación en las matemáticas actuales y que para nes formativos resumimos a continuación:

Función Zeta Notación Campos de aplicación

Dedekind ζK(s) Teoría de números y teoría de GaloisArtin ζW (s) Teoría de Galois, sistemas dinámicos y geometría fractalHasse-Weil Z(X, q−s) Teoría de números, teoría de Galois y geometría algebraicaEpstein E(z, s) Teoría de representación y teoría analítica de númerosIhara ζG(u) Teoría de grafos y teoría espectralSelberg ζ(s) Teoría de grupos y geometría diferencialIgusa zϕ(s, χ) Topología, sistemas dinámicos y teoría de gruposLefschetz ζf (s) Topología y sistemas dinámicos.

Tabla 2.1: Tabla de algunas funciones zeta con sus respectivos campos de aplicación.

3Una función f : N → C es completamente multiplicativa si f(1) = 1 y f(mn) = f(m)f(n) para todo

m,n ∈ N.

CAPÍTULO 3

Algunos resultado interesantes de la teoría denúmeros

3.0.1. Algunas funciones aritméticas y la relación con ζ

Los siguientes resultados fueron tomados del clásico libro de Apostol [1].

Teorema 3.1. La serie innita∞∑n=1

1

pn.

es divergente (donde pn ∈ P := 2, 3, 5, 7, · · · ) .

Demostración. Procedemos por contradicción, supongamos que la serie converge. En con-secuencia, existe un k ∈ Z tal que

∞∑m=k+1

1

pm≤ 1

2.

Ahora, consideremos la serier∑

n=1

1

1 + nQ,

donde Q = p1p2 . . . pk y pi es un número primo (i = 1, 2, ..., k). Ninguno de los númerosde la forma 1 + nQ es divisible por pi (i = 1, 2, ..., k), i.e., los factores primos de 1 + nQpertenecen a pk+1, pk+2, · · · .

De está manera se obtiene que para cada r ≥ 1

r∑n=1

1

1 + nQ≤∞∑t=1

( ∞∑m=k+1

1

pn

)t.

39

CAPÍTULO 3. ALGUNOS RESULTADO INTERESANTES DE LA TEORÍA DE NÚMEROS 40

Dado que la serie encerrada en paréntesis esta dominada por 12 entonces

r∑n=1

1

1 + nQ≤∞∑t=1

( ∞∑m=k+1

1

pn

)t<∞∑t=1

(1

2

)t.

Como la serie de la derecha es una serie geométrica de razón r = 12 , concluimos que

r∑n=1

1

1 + nQ< 2,

es decir esta última serie es convergente. Sin embargo, del criterio de la integral tenemosque es divergente. ∫ ∞

1

1

1 + xQdx,

lo cual es una contradicción.

Denición 3.1. La función aritmética µ (función de Moebius) se dene como sigue:

Si n ∈ N, lo podemos escribir como un producto de factores primos

n = pα11 · p

α22 · · · p

αrr ,

entonces

µ(n) =

1, si n = 1,

(−1)r, si α1 = α2 = · · · = αr0, en otro caso.

Denición 3.2. La función aritmética ϕ de Euler (también denominada función indicatrizde Euler) se dene como la cantidad de enteros positivos menores o iguales a n que sonprimos relativos con n. En otros términos

ϕ(n) = |x ∈ N : x ≤ n ∧ (n, x) = 1|,

donde (n, x) es el máximo común divisor de n y x.

Teorema 3.2. Si n ≥ 1 [1, pp, 26], tenemos que

∑d|n

ϕ(d) = n.

Demostración. Denamos los conjuntos A(d) = k : (k, n) = d, 1 ≤ k ≤ n; los cuales sondisjuntos dos a dos, es decir, si d 6= b entonces A(d) ∩A(b) = ∅. Luego, si f(d) designa elnúmero de enteros de A(d) entonces ∑

d|n

f(d) = n,


haciendo la sustitución q = kd para realizar una correspondencia entre los elementos del

conjunto A(d) y los enteros q que satisfacen que 1 < q ≤ nd y

(q, nd

)= 1. El número de

enteros q es ϕ(n/d). Por lo tanto, f(d) = ϕ(n/d) y∑d|n

ϕ(n/d) = n,

pero eso es equivalente a ∑d|n

ϕ(d) = n,

ya que cuando d recorre todos los divisores de n también lo hace n/d.

Teorema 3.3. La función indicatriz de Euler y la función µ de Moëbius están relacionadasmediante la siguiente identidad [1, pp, 26]

ϕ(n) =∑d|n

µ(d)n

d.

Demostración. Escribamos

ϕ(n) =n∑k=1

⌊1

(n, k)

⌋.

Ahora usando el Teorema 3.7 y sustituyendo n por (n, k), podemos reescribir la anteriorigualdad como

ϕ(n) =n∑k=1

∑d|(n,k)

µ(d)

=n∑k=1

∑d|nd|k

µ(d).

Para un divisor jo d de n estamos sumando sobre todos los k tales que 1 ≤ k ≤ n, loscuales son multiplos de d. Ahora, denamos k = qd, si 1 ≤ k ≤ n entonces 1 ≤ q ≤ n/d.En consecuencia, la identidad obtenida para ϕ(n) se puede reescribir como

ϕ(n) =∑d|n

n/d∑q=1

µ(d)

=∑d|n

µ(d)

n/d∑q=1

1

=∑d|n

µ(d)n

d.


Teorema 3.4. [1, pp, 27] Si n ≥ 1, tenemos que

ϕ(n) = n∏p|n

(1− 1

p

).

Demostración. Para n = 1 el producto es vacío ya que no existen divisores primos, asídenimos que ϕ(n) = 1. Supongamos ahora que n > 1 y etiquetemos con números naturalesa cada primo p que divide a n, tenemos que

∏p|n

(1− 1

p

)=

n∏r=1

(1− 1

pr

)

= 1−∑ 1

pi+∑ 1

pipj−∑ 1

pipjpk+ · · ·+ (−1)n

p1p2 · · · pr.

Los productos de cada denominador en está última expresión, recorren todos los posiblesdivisores de n, en consecuencia cada término es el inverso multiplicativo de los d que dividea n, donde el signo del numerador se alterna, coincidiendo con la función µ(d), es decir esoes equivalente a

µ(d)

d,

que por el Teorema 3.3 es nϕ(n).

Denición 3.3. Si f y g son dos funciones aritméticas denimos el producto de Dirichleto convolución de Dirichlet como

h(n) =∑d|n

f(d)g(nd

).

En otros términos podemos describir la convolución como h = f ∗ g. Este producto esconmutativo y asociativo

f ∗ g = g ∗ f

y(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).

Teorema 3.5. [1, pp, 32] Fórmula de inversión de Mobius. La ecuación

f(n) =∑d|n

g(d), si n > 0

implica que

g(n) =∑d|n

f(d)µ(nd

).

Demostración. Dada la ecuación

f(n) =∑d|n

g(d), si n > 0,


tenemos por denición que f = g ∗ u (donde u(n) = 1 para todo n ∈ N). Luego, multipli-cando por µ (aquí multiplicar hace referencia al producto de Dirichlet) a cada lado de laigualdad

f ∗ µ = (g ∗ u) ∗ µ= g ∗ (u ∗ µ)

= g ∗ (u ∗ µ)

= g ∗ I = g.

En este último paso I(n) = u ∗ µ es la identidad de la multiplicación de Dirichlet ya quepor el Teorema 3.7 esa sumatoria siempre será uno o cero.

Teorema 3.6. Para <(s) > 2 tenemos la siguiente relación:

ζ(s− 1)

ζ(s)=∞∑n=1

ϕ(n)

ns.

Demostración. Usando 1,3,1 tenemos que

ζ(s− 1)

ζ(s)=∏p

1− p−s

1− p1−s

=∏p

(1− p−s)(

1 +p

ps+p2

p2s+ · · ·

)

=∏p

(1 +

(1− 1

p

)(p

ps+p2

p2s+ · · ·

))=∏p

(1 +

(p− 1

ps+p(p− 1)

p2s+ · · ·

))

=∏p

(1 +

(ϕ(p)

ps+ϕ(p2)

p2s+ · · ·

))=∑α1

ϕ(pα11 )

pαs1

·∑α1

ϕ(pα22 )

pα2s2

· · ·

=∑

α1,α2,...

ϕ(pα11 )

pαs1

· ϕ(pα22 )

pα2s2

· · ·

=∑

α1,α2,...

ϕ(pα11 pα2

2 · · · )pαs1 pαs2 · · ·

=

∞∑n=1

ϕ(n)

ns.

Teorema 3.7. [1, pp, 25] Si n ≥ 1, tenemos que


∑d|n

µ(d) =

⌊1

n

⌋=

1 si n = 1,0 si n > 1.

Demostración. Para n = 1 el resultado es trivial. Para n > 1 se expande la suma yobtenemos que los únicos términos no nulos proceden de d = 1 y de los divisores de n queson producto de primos distintos:∑

d|n

µ(n) = µ(1) + µ(p1) + · · ·+ µ(pr) + µ(p1p2) + · · ·+ µ(prpr−1)+

· · ·+ µ(p1p2 · · · pr)

= 1 +

(k1

)(−1) +

(k2

)(−1)2 +

(k3

)(−1)3 + · · ·+

(kk

)(−1)k

= (1− 1)k = 0.

Denición 3.4. La función π(x) se dene como

π(x) = |p ∈ P : p ≤ n|

En otras palabras se puede denir como la función contador de números primos, es decircuenta el números de primos menores a un número real dado.

Teorema 3.8. Para <(s) > 1 tenemos la siguiente identidad

1

ζ(s)=

∞∑n=1

µ(n)

ns.

Demostración. Dado que en el primer capítulo se obtuvo la siguiente relación

ζ(s) =∏p

(1

1− p−s

).

Entonces aplicando logaritmo natural a cada lado de la igualdad y expandiendo el término


de la derecha tenemos

ln(ζ(s)) = ln

(∏p

(1

1− p−s

))

= ln

(∏p

(1− p−s

)−1

)

= −∑p

ln

(1− 1

ps

)

= −∞∑n=1

π(n)− π(n− 1) ln

(1− 1

ns

)

= −∞∑n=2

π(n)ln

(1− 1

ns

)− ln

(1− 1

(n+ 1)s

)

=

∞∑n=2

π(n)

∫ n+1

n

s

x(xs − 1)dx = s

∫ ∞2

π(x)

x(xs − 1)dx.

El reordenamiento de la serie es justicado ya que π(n) ≤ n y para <(s) > 1 se cumple

ln(1− n−s) = O(n−<(s)),

de nuevo1

ζ(s)=∏p

(1− 1

ps

),

expandiendo el producto,1

ζ(s)=∞∑n=1

µ(n)

ns.

Denición 3.5. Para n ≥ 1 nosotros denimos la función aritmética Λ o función de VonMangoldt como

Λ(n) =

log(p), si n = pm, para p primo y m ≥ 1

0, en otro caso.

Teorema 3.9. Si n ≥ 1, tenemos que

log(n) =∑d|n

Λ(d).

Demostración. El teorema es válido para n = 1 dado que ambos miembros de la igualdaddan cero. Asumamos que n > 1 y escribamos

n =r∏

k=1

pakk .


Tomando logaritmos a cada lado, tenemos que

log(n) =

r∑k=1

ak log(pk). (3.1)

Por otro lado hallaremos el valor de ∑d|n

Λ(d),

los únicos términos no nulos de la suma provienen de los divisores de la forma pkm param = 1, 2, . . . ai y k = 1, 2, . . . r. Por lo tanto,∑

d|n

Λ(d) =

r∑k=1

ak∑m=1

Λ(pmk )

=r∑

k=1

ak∑m=1

log(pk)

=r∑

k=1

aklog(pk)

= log(n) (por 3,1).

Teorema 3.10. la función zeta de Riemann ζ y la función (aritmética) de Von MangoldtΛ, cumplen la siguiente relación

−ζ′(s)

ζ(s)=∞∑n=1

Λ(n)

ns.

Demostración. La expresión −ζ′(s)

ζ(s)se puede escribir como la derivada de una función

logaritmica así:

−ζ′(s)

ζ(s)=(ln ζ(s))′

=

(ln∏p

(1

1− p−s

))′

=∑p

(ln

(1

1− p−s

))′=∑p

(1 + p−s + p−2s + · · · ) ln p

=∞∑n=1

Λ(n)

ns.


En la nota posterior al Lema 1.4 se muestran algunas evaluaciones de la función zetade Riemman. Sin embargo no se da una prueba alguna para el caso s = 2k , k ∈ N. Portanto, en este momento cabe incluir algunos resultados de la función zeta de Riemann ydar la prueba de cada uno de ellos:

Teorema 3.11. Sea k ∈ N y Bj denota los denominados números de Bernoulli, entonces

ζ(2k) =(−1)k+1(2π)2kB2k

2(2k)!.

Demostración. Sustituyendo x = −12 iu en la formula producto para

sin(x)

xtenemos que

sin(−12 iu)

−12 iu

=∞∏k=1

(1 +

u2

4π2k2

),

despejando seno y escribiéndo en su forma exponencial

e−i12iu − ei

12iu

2i= −1

2iu∞∏k=1

(1 +

u2

4π2k2

),

eso es equivalente a

e12u − e−

12u = u

∞∏k=1

(1 +

u2

4π2k2

),

Luego, factorizando y aplicando derivación logarítmica tenemos

ln(e−

12u(eu − 1)

)= ln(u) +

∞∑n=1

ln

(1 +

u2

4π2k2

)

− 1

2u+ ln(eu − 1) = ln(u) +

∞∑n=1

ln

(1 +

u2

4π2k2

).

Así

1

2+

1

eu − 1=

1

u+

∞∑n=1

2u

4π2k2 + u2. (3.2)

Dado que en la prueba del Lema 1.4 se armo que

z

ez − 1=∞∑k=0

Bkzk

k!,

para |z| < 2π, además B0 = 1, B1 = −12 y B2k+1 = 0 para k ≤ 1, entonces multiplicado


por u a cada lado de 3.2 e igualando tenemos que

∞∑k=0

B2ku2k

(2k)!=

1

2u+

u

eu − 1− 1

=∞∑r=1

2u2

4π2r2 + u2

= 2

∞∑n=1

u2

4π2r2 + u2

= 2∞∑r=1

(u2

4π2r2

) 1

1 +u2

4π2r2

.

En la última serie el paréntesis derecho se puede reescribir como una serie geométrica de

razón−u2

4π2r2. En consecuencia

∞∑k=0

B2ku2k

(2k)!=∞∑r=1

u2

4π2r2

∞∑k=0

(−u2

4π2r2

)k=2

∞∑r=1

u2

4π2r2

∞∑k=0

(−1)k( u

2rπ

)2k

=2∞∑k=1

(−1)k+1

( ∞∑r=1

(2πr)−2k

)u2k

=∞∑k=1

2(2π)−2kζ(2k)(−1)k+1u2k.

Igualando los coecientes de u2k obtenemos el resultado deseado.

Del teorema anterior se obtienen resultados interesantes, como

ζ(0) = −1

2, o ζ(2) =

π2

6,

este último conocido como el problema de Basilea (ver la introducción del presente docu-mento).

Por otro lado, utilizando la ecuación funcional para la función zeta de Riemman obte-nemos los denominados ceros triviales de la función zeta de Riemman

Proposición 3.1. Para todo k ∈ Z+ se tiene que

ζ(−2k) = 0.


Demostración. Usando el Teorema 1,1 se tiene que

ζ(−2k) =2−2kπ−2k−1 sin

(−2kπ

2

)Γ(1 + 2k)ζ(1 + 2k)

=2−2kπ−2k−1 sin (−kπ) Γ(1 + 2k)ζ(1 + 2k),

como la función seno se anula para todos los múltiplos enteros de π concluimos lo deseado.

Un último resultado que vale la pena mencionar en este capitulo, es la inspiración deRiemann para crear el documento que dió origen a varios métodos del análisis complejo yla teoría de números que a la fecha siguen muy vigentes [5].

Teorema 3.12. Sea π(x) la función contador de números primos menores que un númerosreal x, entonces

π(x) ∼ x

ln(x),

o en su versión integral

π(x) ∼∫ x

2

dx

ln(x).

Las pruebas del presente teorema se puede ver en cualquier libro que aborde la funciónzeta de Riemann y en particular se recomienda [5] o [?].

CAPÍTULO 4

Funciones zeta espectrales

En esta sección presentamos las funciones zeta espectrales asociadas a un operador. [13]

Denición 4.1. Sea K un espacio vectorial y T : K → K un operador lineal condim(N (T )) <∞. Se dene [12] la función zeta espectral de T como

ζσ(T, s) =∑

λ∈σT \0

dim(Vλ)λ|λ|−s−1 + dim(N (T )),

dónde Vλ es el espacio propio asociado a λ, N (T ) es el núcleo del operador T y σT es elespectro del operador.

Ejemplo 4.1. Si los valores propios del operador forman un conjunto nito, entonces tene-mos los siguientes ejemplos:

i. Si el espacio es de dimensión nita, entonces por el teorema de la dimensión,

dim(N (T )) < dim(V ).

Así, las funciónes zeta espectrales toman la forma

ζσ(T, s) =

n∑i=1

dim(Vλi)λi|λi|−s−1 + dim(N (T )),

con dim(Vλi) < dim(V ) para cada i = 0, 1, 2, 3, . . ., lo que implica que la suma esnita. Por lo tanto, para este caso la región de convergencia de ζσ(T, s) está dadapara s ∈ C. Un ejemplo más explicito de lo anterior, se presenta a continuación:

Sea T : R3 → R3 el operador lineal denido por

T

xyz

=

0 3 12 −1 −1−2 −1 −1

xyz

.

50

CAPÍTULO 4. FUNCIONES ZETA ESPECTRALES 51

Como R3 es un espacio vectorial normado de dimensión nita, T es cerrado y acotado,y por lo tanto compacto. Además, los valores propios de este operador son nitos,pues su polinomio característico es:

P (λ) = −λ3 − 2λ2 + 4λ+ 8

= −(−2 + λ)(2 + λ)2

con valores propiosλ1 = 2 λ2 = −2

y vectores propios

v1 =

1−11

v2 =

1−11

.

Así dim(Vλ1) = 1, pues

1 ≤ dim(Vλ1) ≤ mult(λ1) = 1

y dim(Vλ2) = 1, pues

dim(Vλ2) = n− rang(Vλ2)

= 3− 2 = 1.

Para nalizar el cálculo de la función zeta espectral, solo necesitamos hallar la di-mensión del núcleo del operador. Está viene dada por la expresión

dim(N (T )) = n− rang(T )

= 3− 3 = 0.

En consecuencia

ζσ(T, s) =3∑i=1

dim(Vλi)λi|λi|−s−1 + 0

= dim(Vλ1)λ1|λ1|−s−1 + dim(Vλ2)λ2|λ2|−s−1 + dim(Vλ3)λ3|λ3|−s−1

= 2 · 2−s−1 − 2 · (−2)−s−1 − 2 · (−2)−s−1

= 2−s + 2(−2)−s.

ii. Ahora tomemos el operador T : l2 → l2 denido como

T (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, . . .) = (3x1,−ix2, x4, x3, 2x5, 0, 0, . . .),

donde l2 es el espacio de las sucesiones de números complejos (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, . . .)tales que

∞∑n=1

|xn|2 <∞,

con norma ( ∞∑n=1

|xn|2) 1

2

.


Ahora, hallaremos su espectro. Empezamos calculando los autovalores, vericandopara que valores λ ∈ C la ecuación Tv = λv tiene solución distinta a la trivial. Estáecuación se traduce en el sistema:

3x1 = λx1

−ix2 = λx2

x3 = λx4

x4 = λx3

2x5 = λx5

x6 = 0x7 = 0

...

el cual tiene soluciones no triviales para

λ1 = 3 : v1 = (1, 0, 0, 0, 0, 0 . . .) = e1

λ2 = −i : v2 = (0, 1, 0, 0, 0, 0 . . .) = e2

λ3 = 1 : v3 = (0, 0, 1, 1, 0, 0 . . .) = e3 + e4

λ4 = −1 : v4 = (0, 0, 1, 1, 0, 0 . . .) = e3 − e4

λ5 = 2 : v5 = (0, 0, 0, 0, 1, 0 . . .) = e5

λ6 = 0 : v6 = (0, 0, 0, 0, 0, 1 . . .) = e6.

Por lo tanto el espectro puntual del operador es

σT = 3,−i, 1,−1, 2.

Además el núcleo del operador es (0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .) ya que los únicos valores quecumplen que

T (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, . . .) = (3x1,−ix2, x4, x3, 2x5, 0, 0, . . .) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .)

son cuando x = 0, en consecuencia la dim(N (T )) = 0, dim(Vλ1) = dim(Vλ2) =dim(Vλ5) = 1 y dim(Vλ3) = dim(Vλ4) = 2, así, la función zeta espectral de esteoperador está dada por

ζσ(T, s) =5∑i=1

dim(Vλi)λi|λi|−s−1 + 0

= dim(Vλ1)λ1|λ1|−s−1 + dim(Vλ2)λ2|λ2|−s−1 + dim(Vλ3)λ3|λ3|−s−1+

+ dim(Vλ4)λ4|λ4|−s−1 + dim(Vλ5)λ5|λ5|−s−1

= 3 · 3−s−1 − i · (1)−s−1 + 1 · (1)−s−1 − 1 · (−1)−s−1 + 2 · (2)−s−1

= 3 · 3−s−1 − i− 1 · (−1)−s−1 + 2 · (2)−s−1.

Un segundo ejemplo se da cuando tenemos un operador auto adjunto y compacto sobreun espacio de Hilbert complejo[17]. Por el teorema espectral, los autovalores de este tipode operadores son todos números reales y tiene la forma

λ0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ · · ·λk ≤ · · ·


Así, la función zeta espectral de ese tipo de operadores toma la siguiente expresión

ζσ(T, s) =∑

λ∈σT \0

dim(Vλ)λ|λ|−s−1 + dim(N (T ))

=∞∑n=1

dim(Vλn)λ−sn + dim(N (T )) (por teorema espectral),

dado que el espacio de Hilbert tiene una base ortonormal que consiste en un sistema básicode autovectores de T si y sólo si N (T ) = 0, nuestra identidad se convierte en

ζσ(T, s) =∞∑n=1

λ−sn ,

equivalente aζσ(T, s) = trT−1.

Una última denición para una función zeta espectral, cuando el conjunto de autovalores del operador no es numerable, puede ser la siguiente∑

λ∈σT

λ−1 = sup

∑λ∈S

λ−1 : S es cualquier subconjunto nito de σT

.

Pero esta es de poco interés para nosotros debido al siguiente teorema.

Teorema 4.1. Si∑

λ∈σT λ−1 <∞, entonces σT debe ser contable.

Demostración. Sea∑λ∈σT

λ−1 = M = sup

∑λ∈S

λ−1 : S es cualquier subconjunto nito de σT

,

y denamos

Sk =

λ ∈ σT :

k

λ> 1

,

donde k ∈ N, claramente los conjuntos Sk son nitos ya que

M ≥∑λ∈Sk

λ−1 >∑λ∈Sk

1/k =|Sk|k,

es decir cada Sk tiene a lo más Mk elementos. Por lo tanto

σT =λ ∈ σT |λ−1 6= 0

=λ ∈ σT |λ−1 > 0

=⋃k∈N

Sk.

Luego σT es numerable.

Para nalizar, cabe anotar que el interés del presente capítulo es motivar al lector aencontrar resultados análogos para las funciones zeta espectrales de Riemann como lo son:el estudio de la ecuación funcional, ceros de este nuevo tipo de funciones, continuaciónanalítica y aplicaciones.

Bibliografía

[1] T.M. APOSTOL. Introducción a la teoría analítica de números, Reverte, 1984.

[2] P. BAYER ISANT. La hiótesis de Riemann-el gran reto pendiente, Métode ScienceStudies Journal, Universidad De Valencia. 2017.

[3] B.C. BERNDT Ramanujan`s Notebooks,Part I.,New York: Springer-Verlag., 1985.

[4] R.V. CHURCHILL y J.W. BROWN. Variable compleja y sus aplicaciones, Mc GrawHill, 1992.

[5] H.M. EDWARDS. Riemanns Zeta FunctionDover publications, Inc. 1974.

[6] R. GRANERO El problema de Basilea: Historia y algunas demostraciones, Universi-dad Autónoma de Madrid, un recurso web Divulgamat.

[7] F. JONES Lebesgue integration on Euclidean space, Jones and Bartlett mathematics,2001.

[8] A.A. KARATSUBA y S.M. Voronin The Riemann Zeta FunctionTrasladado del rusoal ingles por Neal Koblitz,Walter de Gruyter, 1992.

[9] E. KREYSZIG Introductory Functional Analysis with applications, Wiley, 1989.

[10] J. LÓPEZ GÓMEZ. Ecuaciones diferenciales y variable compleja, Pearson educatión,Madrid, 2001.

[11] A. U. MARTÍNEZ. Las funciones L de Dirichlet, Universidad Autónoma de Madrid,España, 2005.

[12] R. A. MARTÍNEZ. Función zeta espectral zeta para operadores lineales en espacios deBanach, Universidad de San Carlos de Guatemala, Guatemala, 2006.

[13] S. MINAKSHISUNDARAM, A. PLEIJEL Some properties of the eigenfunctions ofthe Laplace-operator on Riemannian manifold ,Canad. J. Math. 1, 1949 MR31145.

[14] E.O. QUINTERO La fórmula del número de clases y valores especiales de funcionesL: desde Dirichlet y Dedekind hasta Stark, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá,2011.

[15] T. SUNADA Riemannian coverings and isospectral manifolds, Ann. of Math. (2), vol.121, 1985, MR782558.

54

BIBLIOGRAFÍA 55

[16] E.C. TITCHMARSH The theory of the Riemann Zeta-Function, Oxford UniversityPress,second edition, 1986.

[17] A. VOROS, Spectral Functions, Special Functions and the SelbergZeta Function, Com-mun. Math. Phys. 110, 439-465 (1987)

[18] O. LABLÉE. Trace formulas and Zeta functions in Spectral Geometry. 2017. hal-01504945

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