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Unidad Temática 2

La energía y su conservación

Objetivos de la Unidad Temática

Esperamos que al final de este módulo puedas:

1.- Distinguir las diferentes formas de energía

2.- Analizar los procesos de transformación de energía

3.- Comprender la noción de trabajo como proceso de transferencia de

energía

4.- Aplicar el principio de conservación de la energía en la resolución de

situaciones problemáticas

Contenidos

1.- ¿Qué es el trabajo?

2.- El trabajo y la energía cinética.

3.- Energía potencial. Distintas formas. La energía potencial gravitatoria.

4.- La conservación de la energía.

1.- ¿Qué es el trabajo?

En la Unidad Temática anterior analizamos las fuerzas que

actúan sobre un cuerpo y los cambios que producen sobre su

cantidad de movimiento. Veremos ahora cuerpo cuándo esas fuerzas producen trabajo y de qué manera ese trabajo se traduce en un cambio en la energía del cuerpo. Podemos

adelantarte, en principio, que si bien el término “energía” es

sumamente utilizado cuando se analizan esfuerzos físicos,

movimiento de objetos, funcionamiento de motores, etc., se

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trata de una noción difícil de definir. Simplemente afirmaremos,

por ahora, que la energía es algo que puede transferirse de un cuerpo a otro o que puede transformarse de una forma en otra. Más adelante volveremos sobre esta primera

aproximación al concepto. Por ahora, esto nos bastará para

empezar a analizar cuándo una fuerza realiza trabajo sobre un

cuerpo y sus derivaciones energéticas.

Veamos, por ejemplo, el caso del automóvil que se quedó sin

nafta y el esfuerzo que el joven tiene que hacer para acercarlo

a la vereda. Podemos ver, por ejemplo, que el esfuerzo

realizado por el muchacho al aplicar una fuerza para mover al

auto es mayor cuando mayor sea la distancia que debe

recorrer.

Esto nos da una idea intuitiva del concepto de trabajo (W) al

que ahora definiremos formalmente como el producto de la

fuerza aplicada (Fa) por el desplazamiento del cuerpo (d).

W = Fa . d

Habrás notado que hemos tenido especial cuidado en

expresar como vectores a la fuerza aplicada y al

desplazamiento (escritos en negrita, tal como establecimos

como convención en la Unidad Temática I), a pesar de que el

trabajo es un escalar. Ocurre que el trabajo realizado por una

fuerza se calcula precisamente por intermedio de una clase

especial de producto entre dos vectores, denominado

“producto escalar” (también se lo conoce como “producto

punto”), que es igual al producto de los módulos de ambos

vectores por el coseno del ángulo determinado entre ellos:

El trabajo transfiere energía De nuevo, a empujar el auto

Atención, el trabajo es un escalar

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W = Fa . d . cos a

Pero como en este caso estamos analizando el caso más

simple, que es cuando la fuerza aplicada y el desplazamiento

tienen la misma dirección y sentido, y el cos 0° = 1, la

expresión del trabajo queda simplemente:

W = Fa . d

Calculemos el trabajo realizado por la fuerza aplicada en el

ejemplo del muchacho. Supongamos que éste aplica sobre el

automóvil una fuerza F = 800 N y la mantiene constante

mientras el automóvil se desplaza una distancia d = 5 m. El

trabajo realizado es:

W = Fa . d = 800 N . 5 m = 4.000 N.m

Esto es, W = 4.000 J, definiendo como unidad de

trabajo al joule (J), equivalente a N.m.

¿Es la fuerza aplicada la única fuerza que actúa sobre el

cuerpo? Evidentemente no. En la Unidad anterior vimos que

también lo hacían el peso (P), la normal (N) y la fuerza de

rozamiento (Fr).

Los trabajos realizados por las fuerzas P y N son nulos, W = 0.

¿Te animas a demostrarlo?

La fuerza de rozamiento (Fr), en cambio, realiza trabajo

“contra” el sistema. Veamos en forma práctica qué significa

esto. Supongamos que Fr = 300 N. Como el desplazamiento

sigue siendo d = 5 m, el trabajo realizado por esta fuerza es:

W = Fr . d . cos a

Un ejemplo

USN la fórmula completa

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Como verás, recurrimos aquí a la ecuación completa del

trabajo (W). Esto se debe a que el ángulo existente entre la

fuerza y el desplazamiento ya no es ? = 0°, sino ? = 180°,

porque tienen la misma dirección pero sentidos opuestos.

Como cos 180° = -1, el trabajo realizado por la fuerza de

rozamiento nos queda:

W = - Fr. d = - 300 N . 5 m = - 1.500 J

¿Tiene sentido la existencia de un trabajo negativo? ¿Qué

significado físico tendrá?

Si lo piensas un poco, verás que lo que hace la fuerza de

rozamiento es oponerse al movimiento del cuerpo y, por lo

tanto, realiza un trabajo contra el sistema. Esto tiene fuertes

consecuencias cuando empezamos a analizar la energía del

sistema y su conservación, temas que analizaremos en pocas

páginas más.

Veamos ahora cuál es el trabajo neto, real, que se realiza

sobre el automóvil. Si la fuerza aplicada por el muchacho

realiza un trabajo de 4.000 J y la fuerza de rozamiento hace

otro trabajo de – 1.500 J, es lógico interpretar que el trabajo

neto o total es de:

W = 4.000 J – 1.500 J = 2.500 J

Esto nos permite extraer como conclusión que el trabajo

realizado por una serie de fuerzas que actúan sobre un cuerpo

es igual a la suma algebraica de los trabajos realizados por

cada fuerza.

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Actividad sobre trabajo Una persona levanta un portafolio que pesa 30 N y lo sostiene a 1 m del piso.

Después camina 5 m hasta un escritorio donde lo deposita a 1,20 m del piso.

Luego empuja al portafolio (sobre la superficie del escritorio) 1 m hacia la

izquierda, aplicando con su mano una fuerza horizontal de 15 N, a la que se

opone una fuerza de rozamiento de 6 N.

Calcular el trabajo total realizado por las fuerzas aplicadas. (Un consejo: dibuja

primero las fuerzas que debe aplicar la mano del muchacho sobre el portafolio

en cada etapa del movimiento: para levantar el portafolio, para llevarlo hasta el

escritorio, para levantarlo hasta su superficie y para correrlo un metro).

2.- Trabajo y energía

Dijimos al comienzo que el trabajo es un proceso mediante el

cual se transfiere energía de un cuerpo a otro. Si el muchacho

aplica una fuerza sobre el auto para ponerlo en movimiento,

podemos pensar entonces que es él quien le transfiere energía

al auto. Como esa energía se traduce en un incremento de su

velocidad, la llamaremos “energía cinética”.

La energía cinética (K) de un cuerpo, que queda definida

matemáticamente por la expresión

K = ½ m v2,

donde m es la masa del cuerpo y v su velocidad, es entonces

la energía que el cuerpo adquiere por haber cambiado su

estado de movimiento. Si gana velocidad, gana energía

cinética. Ese cambio energético puede expresarse también

como:

W = DK

Esto refleja matemáticamente lo que dijimos al principio: el

trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre el auto le

¿Se mueve,

tiene energía

cinética?

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transfiere una determinada cantidad de energía cinética.

Volviendo a nuestro ejemplo, si el trabajo neto efectuado sobre

el cuerpo era de 2.500 J, quiere decir que la variación de la

energía cinética del cuerpo también es de 2.500 J.

W = ?K = 2.500 J

Esto nos permite, también, calcular la velocidad que adquiere

el automóvil al término del desplazamiento de 5 m.

La variación de la energía cinética (?K) es la diferencia entre la

energía cinética al final del movimiento (Kf), menos la energía

cinética en el momento en que el joven empieza a empujar

(Ki)

DK = Kf – Ki

Pero como en este caso Ki = 0, porque al principio el auto

está en reposo (v = 0), en este caso particular, nos queda

que:

DK = Kf (porque Ki = 0)

Entonces, Kf = 2.500 J y como Kf = ½ m v2,

v2 = 2 Kf/m, de donde v = (2 Kf/m)1/2

Reemplazando por el valor de la energía cinética y suponiendo

que el automóvil tiene una masa m = 1.500 Kg, resulta:

v = (2 . 2.500 J / 1.500 Kg)1/2 = 1,82 m/s

¿Estarán bien las unidades de velocidad? Te desafiamos a

que lo demuestres.

Habrás observado que en el cálculo de la diferencia de

energía cinética (DK) hemos considerado el trabajo total que

se realizaba sobre el automóvil (2.500 J). Esto es así porque

en realidad el cuerpo sufre el efecto de la acción de todas las

fuerzas que actúan sobre él, de manera que podríamos

escribir:

WFa + WN + WFr + WP = DK

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Donde en este caso los trabajos de las fuerzas N y P eran

nulos, pero puede haber casos en que no lo sean.

Cuando arrojamos un cuerpo hacia arriba, por ejemplo, el peso

P realiza un trabajo en contra del desplazamiento (h), por lo

que podríamos decir que

W = - P . h

(recuerda que el signo menos es por el cos 180° = -1)

o, lo que es lo mismo,

W = -m . g . h

Pero como al caer, el peso hará el mismo trabajo, pero con

signo positivo (las direcciones y sentidos de P y h coinciden),

el trabajo total, para el ciclo completo de subida y de bajada,

será igual a cero.

A las fuerzas que, como el peso, realizan trabajo nulo para un

ciclo completo, se las denomina fuerzas conservativas.

La fuerza de rozamiento, por el contrario, es lo que se conoce

como fuerza no conservativa, ya que si consideramos el roce

con el aire en este mismo ejemplo, se trata de una fuerza que

tanto en subida como en bajada actúa en contra del

movimiento. En este caso, el trabajo realizado por la fuerza de

rozamiento para el ciclo completo no sólo no es cero, sino que

es el doble del trabajo realizado durante la subida.

Cambian también los aspectos cinéticos del movimiento, ya

que en el caso de que actúe sólo la fuerza conservativa peso,

la energía cinética y, por ende, la velocidad del cuerpo, son

iguales en el punto de partida y en el momento del regreso a la

mano que lo arrojó.

Cuando actúa la fuerza de rozamiento (no conservativa), la

energía cinética y la velocidad del regreso a la mano son

menores a las de la partida.

Pensá en

joules y en

newtons

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Podemos decir, para aportar otro argumento a las diferencias

entre fuerzas conservativas y no conservativas, que el trabajo

realizado por las primeras depende sólo de las posiciones

inicial y final del cuerpo antes y después de realizado el

trabajo. En las no conservativas, en cambio, depende de la

trayectoria del movimiento.

Hay varios ejemplos de fuerzas conservativas. Podemos

mencionar, entre ellas, la fuerza de un resorte y las fuerzas

eléctricas. Las fuerzas aplicadas, en tanto, son todas no

conservativas.

Trabajo nulo,

en un círculo,

la fuerza es

conservativa

Trabajo no

nulo, fuerza

no

conservativa

Actividades sobre trabajo y energía

2.- Un automóvil tiene una energía cinética de 10.000 J. ¿Cuál será su energía

cinética si se duplica su velocidad?

3.- Un automóvil que tiene una masa m = 1.500 Kg y que se desplazaba con

una velocidad de 2 m/s, sobre una superficie sin rozamiento, es empujado

por un camión hasta alcanzar una velocidad de 10 m/s.

a) Calcular el trabajo realizado por la fuerza que el camión ejerció sobre el

automóvil.

b) Calcular la fuerza aplicada por el camión sobre el auto si estuvieron en

contacto a lo largo de un desplazamiento de 30 m.

c) Si hubiera rozamiento, ¿la velocidad final del automóvil sería mayor,

menor o igual a 10 m/s? ¿Por qué? ¿Y la energía cinética transferida

al automóvil, cómo sería?

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4.- El automóvil en cuestión se desliza ahora desde lo alto de una colina de 50

metros de altura, por una carretera a la que suponemos sin rozamiento.

Calcular:

a) El trabajo realizado por la fuerza peso (P) del automóvil.

b) La velocidad del automóvil al llegar al llano.

3.- Energía potencial. Distintas formas.

Energía potencial gravitatoria.

No siempre el trabajo realizado por un cuerpo deriva en una

variación de la energía cinética. El trabajo mecánico puede

también transferir energía potencial, que es una forma de

energía que, como su nombre lo indica, está en potencia. Es

decir, que está almacenada y disponible para ser utilizada para

realizar trabajo o para transformarse en otra forma de energía.

En realidad, hay varias formas de energía potencial. En

nuestro ejemplo del automóvil, el combustible –si lo tuviera-

tiene energía potencial química. Es la energía que se

aprovecha después para hacer un trabajo que transmite

energía cinética cuando el auto se pone en marcha y va

adquiriendo velocidad. Toda sustancia capaz de realizar un

trabajo a partir de una reacción química tiene energía

potencial: así ocurre con el combustible y con la batería

eléctrica del automóvil, y hasta con los alimentos que nosotros

consumimos, ya que de ellos proviene la energía que después

“gasta” nuestro cuerpo. También se almacena energía

potencial en un campo eléctrico o en un resorte.

Hablando de campos, cuando nosotros elevamos un cuerpo

cualquiera, lo hacemos en contra del campo gravitatorio, que

tiende a atraer al cuerpo hacia el centro de la Tierra. Al

elevarlo una cierta altura, lo que estamos haciendo es

Energía en

potencia

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aumentar la energía potencial gravitatoria del cuerpo. Es decir,

la energía potencial que queda almacenada en el campo

gravitatorio en función de la posición en que se encuentra el

cuerpo. Si después el cuerpo se deja caer, es su peso el que

produce un trabajo mediante el cual va adquiriendo energía

cinética.

La expresión matemática que nos permite calcular la energía

potencial gravitatoria (U) es:

U = m . g . h,

donde m es la masa del cuerpo, g la aceleración de la

gravedad y h la altura. Sin embargo, como h es en realidad la

diferencia entre la altura que alcanza el cuerpo y la altura

inicial, a ras del suelo hi = 0 (en este caso), consideraremos

que h es la diferencia entre la altura final y la inicial. De allí que

en el análisis que sigue nos referiremos a la variación de la

energía potencial en vez de simplemente a U:

DU = m . g . h

¿Cuál será la relación entre el trabajo realizado por el peso del

cuerpo y la energía potencial que este gana cuando se eleva

una cierta altura?

Cuando analizamos lo que son las fuerzas conservativas

vimos que cuando un cuerpo se arroja hacia arriba su peso

realiza un trabajo igual a:

Wc = - m . g . h ,

(donde Wc simboliza al trabajo realizado por una fuerza

conservativa)

Pero como DU = m . g . h, nos queda:

Wc = - DU

Donde se establece que el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la variación de la energía

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potencial.

Hemos obviado a propósito el término gravitatoria, ya que aquí

hemos analizado el caso del trabajo producido por la fuerza

conservativa peso. Si se calculara el trabajo de otra fuerza

conservativa, como la de un resorte, lo que varía es la energía

potencial elástica. En definitiva, todo trabajo realizado por una

fuerza conservativa se traduce en una variación de alguna

forma de energía potencial.

De nuevo,

trabajo y

energía

Una actividad sobre energía potencial

5.- Un cuerpo de masa m = 0,8 Kg se arroja hacia arriba, alcanzando una altura

h = 13 m.

a) Calcular el trabajo realizado por su peso.

b) ¿Qué relación tiene ese trabajo con la energía potencial gravitatoria del

cuerpo en el punto más alto de su trayectoria?

c) ¿Podrías calcular la velocidad con que el cuerpo fue arrojado hacia

arriba?

d) ¿Qué pasará al caer? ¿Tendrá la misma velocidad con la fue arrojado?

4.- Conservación de la Energía

Al analizar el movimiento del auto empujado por el muchacho

dijimos que el trabajo total realizado por las fuerzas que actúan

sobre éste es igual a la variación de la energía cinética:

W = DK

Expresamos también que ese trabajo total es realizado por

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distintas fuerzas que pueden clasificarse en dos categorías:

las fuerzas conservativas (el peso, la fuerza de un resorte,

etc.) y las fuerzas no conservativas (el rozamiento y la fuerza

aplicada). De manera que la expresión anterior puede ser

escrita también de la siguiente forma:

Wc + Wnc = DK

Determinamos también que el trabajo conservativo Wc = - DU,

por lo que podemos decir que:

- DU + Wnc = DK

Ordenando, nos queda:

DK + DU = Wnc

Si consideramos que la variación de las energías cinética y

potencial es igual a la variación de la energía mecánica del

sistema, resulta:

DE = Wnc

donde queda establecido entonces que el cambio en la

energía mecánica total (cinética más potencial) es igual al

trabajo realizado por las fuerzas no conservativas.

En el caso en que no actúen fuerzas conservativas (en un

sistema ideal sin rozamiento y sin fuerzas aplicadas), se puede

escribir:

DE = 0

Expresión matemática del Principio de Conservación de la

Energía Mecánica, que establece que cuando no actúan

fuerzas no conservativas la energía mecánica del sistema

permanece constante. Esto es:

DK + DU = 0

Reemplazando,

Kf – Ki + Uf – Ui = 0

No te

asustes, ya

terminamos

con las

fórmulas

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O sea:

Ki + Ui = Kf + Uf

donde se establece que la suma de las energías cinética y

potencial se mantiene constante a lo largo de todo el

movimiento, si no actúan fuerzas no conservativas.

Este principio es sumamente importante y, junto al Principio de

Conservación de la Cantidad de Movimiento facilita la

resolución de gran cantidad de problemas de la parte de la

Física que estudia lo que se denomina mecánica de la

partícula, o sea distintos tipos de movimientos de traslación de

los cuerpos.

Ejemplos de aplicación de la conservación de la energía

Supongamos que el automóvil de los problemas anteriores (m

= 1.000 Kg) se circula por una carretera a una velocidad de 20

m/s, cuando empieza a ascender por una colina sin

rozamiento.

Calcular:

a) La máxima altura a la que puede ascender por la colina.

b) ¿Cuánto habrá ascendido por la colina hasta que su

velocidad sea de 5 m/s?

a) Aplicando el principio de conservación:

Ki + Ui = Kf + Uf,

Vemos que Ui = 0, porque tomamos como referencia la

carretera en el llano (h = 0)

Kf = 0, porque en la altura máxima v = 0.

Entonces, nos queda:

Ki = Uf

O sea: ½ m . v2 = m . g . h

Simplificando las masas y despejando h, resulta:

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h = v2/2g = (20 m/s)2/2 . 9,8 m/s2 = 20,4 m

b) Ki + Ui = Kf + Uf,

donde Ui = 0

Ki = Kf + Uf

½ m vi2 = ½ m vf2 + m g h

Simplificando las masas y despejando:

h = (vi2 – vf2) / 2 g

h = (20 m/s)2 – (5 m/s)2 / 2 . 9,8 m/s2 = 19,1 m

2) Un cuerpo de masa m = 3 Kg se arroja desde lo alto de un

edificio de 40 m de altura con una velocidad hacia debajo de

10 m/s. Calcular la velocidad con que llega al suelo

suponiendo que el aire ejerce sobre el cuerpo una fuerza de

rozamiento Fr = 10 N.

En este caso, como actúa una fuerza no conservativa, nos

queda:

DK + DU = 0

Kf – Ki + Uf – Ui = Wnc

donde Uf = 0 porque el cuerpo llega al suelo, donde h = 0

Kf – Ki – Ui = Wnc

½ m vf2 – ½ m vi2 – m g h = - Fr . h

Despejando vf, nos queda

vf = [ (½ m vi2 + m g h - Fr h) 2 / m]1/2

vf = [(½ 3 Kg (10 m/s)2 + 3 Kg 9,8 m/s2 40 m -

10 N 40 m) 2 / 3 Kg ]1/2 =

vf = 29,3 m/s

A hacer

cuentas

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Actividades sobre conservación de la energía

6.- Un objeto es arrojado hacia abajo de manera que luego de rebotar contra el

piso llega a una altura que duplica a aquella desde donde fue arrojado.

¿Desafía esta situación al Principio de Conservación de la Energía?

7.- En base a la lectura complementaria sobre "¿Qué es la energía":

a) ¿Puedes dar una definición precisa acerca de lo que significa el

concepto de energía?

b) ¿Y una definición aproximada, con tus propias palabras, como para

hacerle entender de qué se trata a un compañero de clase?

8.- Tres objetos de igual masa se lanzan desde un mismo punto y con la misma

velocidad, en tres direcciones distintas: uno hacia arriba, otro hacia abajo y

un tercero, hacia un costado. ¿Cuál de ellos llega al suelo con mayor

velocidad? ¿Por qué?

9.- Un automóvil de 1.500 Kg de masa se desplaza por una carretera con una

velocidad de 80 Km/h.

a) ¿Qué distancia recorrerá hasta frenarse totalmente si al bloquear las

ruedas se ejerce sobre el automóvil una fuerza de rozamiento de 1.000

N?

b) Si en vez de frenar se empieza a subir una cuesta ¿hasta qué altura

llegará?

10.- Imagínate que, siendo ya todo un ingeniero, te piden que supervises un

invento como el descripto en la lectura complementaria "Máquinas

Imposibles". ¿Puedes explicar, al menos en forma cualitativa (sin hacer

ningún cálculo) por qué no podría funcionar en forma continua?

Lectura Complementaria: ¿Qué es la energía?

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Hay un hecho, o si se prefiere, una ley, que gobierna todos los fenómenos

naturales conocidos hasta la fecha. No se conoce excepción a esta ley –es

exacta hasta donde sabemos-. La ley se llama la conservación de la energía.

Establece que hay cierta cantidad, que llamamos energía, que no cambia en

los múltiples cambios que ocurren en la naturaleza.

Esta es una idea muy abstracta porque es un principio matemático; significa

que hay una cantidad numérica que no cambia cuando algo ocurre. No es la

descripción de un mecanismo, o de algo concreto; ciertamente es un hecho

raro que podamos calcular cierto número y cuando terminemos de observar

que la naturaleza haga sus trucos y calculemos el número otra vez, éste será el

mismo. (Algo así como una pieza de ajedrez, el alfil en un cuadro negro, que

después de cierto número de movimientos –cuyos detalles son desconocidos-

queda en el mismo cuadro). Es una ley de esta naturaleza. Puesto que esta es

una idea abstracta, ilustraremos su significado mediante una analogía.

Imaginémonos un niño, tal vez “Daniel el Travieso”, que tiene unos bloques que

son absolutamente indestructibles y que no pueden dividirse en partes. Cada

uno es igual al otro. Supongamos que tiene 28 bloques.

Su madre lo coloca con los 28 bloques en una pieza al comenzar el día. Al final

del día, por curiosidad, ella cuenta los bloques con mucho cuidado y descubre

una ley fenomenal –haga lo que haga con los bloques, ¡siempre quedan 28!.

Esto continúa por varios días, hasta que un día hay sólo 27 bloques, pero una

pequeña investigación demuestra que hay uno bajo la alfombra –ella debe

mirar por todas partes para estar segura de que el número de bloques no ha

cambiado-.

Un día, sin embargo, el número parece cambiar –hay sólo 26 bloques-. Una

cuidadosa investigación indica que la ventana estaba abierta y al mirar hacia

fuera se encontraron los otros dos bloques. Otro día, una cuidadosa cuenta

indica que ¡hay 30 bloques!

Esto causa una gran consternación, hasta que se sabe que Bruce –un amigo-

vino a visitarlo, trayendo sus bloques consigo, y que dejó unos pocos en la

casa de Daniel. Después de separar los bloques adicionales, cierra la ventana,

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no deja entrar a Bruce, y entonces todo anda bien, hasta que una vez cuenta y

encuentra sólo 25 bloques.

Sin embargo hay una caja en la pieza, una caja de juguetes, y la madre se

dirige a abrirla, pero el niño dice: “No, no habrás mi caja de juguetes”, y chilla.

A la madre no le está permitido abrir la caja de juguetes. Como es

extremadamente curiosa, y algo ingeniosa, inventa un ardid. Sabe que un

bloque pesa 100 gramos, así que pesa la caja cuando ve 28 bloques y

encuentra 500 gramos. En seguida desea comprobar, pesa la caja de nuevo,

resta 500 gramos y divide por cien. Ella descubre lo siguiente:

Nº de bloques vistos + (Peso de la caja - 500 g)/100 g = constante

En seguida aparece que hubiera algunas nuevas desviaciones, pero un estudio

cuidadoso indica que el agua sucia de la bañera está cambiando de nivel. El

niño está lanzando bloques al agua y ella no puede verlos porque el agua está

muy sucia, pero puede saber cuantos bloques hay en el agua agregando otro

término a su fórmula. Ya que la altura original del agua era de 15 centímetros y

cada bloque eleva el agua medio centímetro, esta nueva fórmula sería:

Nº de bloq. vistos + (Peso de la caja - 500 g)/100 g + (Altura del agua - 15 cm)/0,5 cm = constante

En el aumento gradual de la complejidad de su función, ella encuentra una

serie completa de términos que representan modos de calcular cuantos

bloques están en los lugares donde no le está permitido mirar. Como

resultado, encuentra una fórmula compleja, una cantidad que debe ser

calculada, que en su situación siempre permanece igual.

¿Cuál es la analogía de esto con la conservación de la energía?

El más notable aspecto que debe ser abstraído de este cuadro, es que no

tienen por qué ser bloques. Quítese el primer término de las ecuaciones antes

mencionadas y nos encontraremos calculando cosas más o menos abstractas.

La analogía tiene los siguientes puntos:

Primero, cuando estamos calculando la energía, a veces algo de ella deja

el sistema y se va, y a veces algo entra. Para verificar la conservación de

la energía debemos tener cuidado de no agregar ni quitar nada.

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Segundo, la energía tiene un gran número de formas diferentes y hay una

fórmula para cada una de ellas. Estas son: energía gravitacional, energía

cinética, energía calórica, energía plástica, energía eléctrica, energía

química, energía radiante, energía nuclear, energía de masa. Si hacemos

el total de las fórmulas para cada una de estas contribuciones, no

cambiará a excepción de la energía que entra o sale.

Es importante darse cuenta que en la Física actual no sabemos lo que es la

energía. No tenemos un modelo de energía formado por pequeñas gotas de un

tamaño definido. Sin embargo hay fórmulas para calcular cierta cantidad

numérica, y cuando las juntamos a todas nos da “28”-siempre el mismo

número-. Es algo abstracto en el sentido que no nos informa el mecanismo o

las razones para las diversas fórmulas que empleamos.

* Extraído de R. Feymann. "Lectures on Physics" Vol. 1, Cap. 4. Ed. Reverté,

España, 1971.

Nota: R. Feymann recibió el premio Nobel de Física en 1965 por su trabajo en

electrodinámica cuántica. Tema que ha tenido consecuencias importantes en el

desarrollo de la Física de las partículas elementales.

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Autoevaluación

1.- Para hacer deslizar una heladera con velocidad constante sobre una

superficie horizontal hay que aplicar una fuerza de 200 N.

a) ¿Por qué no se acelera la heladera si le estamos aplicando una fuerza?

b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de rozamiento en este caso?

c) ¿Qué ocurre con la cantidad de movimiento? ¿Cambia o se conserva?

2.- Un muchacho empuja un automóvil, como vimos en los ejemplos de este

curso, de manera que la velocidad se mantiene constante.

a) Dibuja todas las fuerzas que actúan sobre el automóvil.

b) De repente, apelando a todas sus fuerzas, el muchacho le da un fuerte

empujón al automóvil. Dibuja las fuerzas que actúan en este caso.

c) Finalmente, el muchacho deja de empujar el automóvil y lo deja que se

deslice sólo, hasta que se detiene. Dibuja las fuerzas que actúan sobre

el auto cuando el muchacho ya no lo empuja.

d) Analiza que ocurre con la cantidad de movimiento y con la energía

mecánica del automóvil en cada caso.

3.- Un bloque de 2 Kg de masa parte del reposo en el punto A de una pista

constituida por un cuadrante de círculo de radio 1 m. El bloque desliza

sobre la pista sin rozamiento hasta alcanzar el punto B, para continuar

deslizando después hasta el punto C (distante 3 m de B), donde se detiene.

Dijimos que entre A y B no hay rozamiento ¿cuál será el valor de la fuerza

de rozamiento entre B y C?

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El auxilio matemático

Operaciones con vectores Analizaremos aquí las operaciones que pueden realizarse con vectores

ubicados sobre los ejes, lo que te permitirá comprender mejor las aplicaciones

de las Leyes de Newton tal cual han sido formuladas hasta aquí.

Para analizar las operaciones posicionaremos primero tres vectores de distinta

longitud que llamaremos F1, F2 y F3.

Observemos que: F1 tiene el doble de longitud que F3, o sea que F1 = 2 F3

F2 es 6 veces mayor que F3, es decir F2 = 6 F3 Y también que F2 es 3 veces

mayor que F1, F2 = 3 F1

Si pensáramos que estos vectores representan fuerzas aplicadas en la misma

dirección por tres personas distintas, concluiríamos que la fuerza que hace F1

es el doble de la que hace F3 y como las dos están aplicadas en la misma

dirección y sentido, resulta que:

F1 + F3 = 2 F3 + F3 = 3 F3 y análogamente F1 + F2 = 2 F3 + 6 F3 = 8 F3

Con lo cual estamos aceptando que matemáticamente estos vectores

(independientemente de lo que signifiquen físicamente) se pueden:

a) multiplicar por un número dando por resultado otro vector (3 F1 = F2)

b) sumar entre sí dando por resultado otro vector (F1+ F2= 8 F3)

Ubiquemos ahora a estos vectores en el sistema de referencia anteriormente

indicado, todos con el mismo origen (todos tiran o empujan desde el mismo

punto):

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Matemáticamente lo podemos escribir así:

F1 = (2,0); F2 = (6,0); F3 = (1,0)

Se dice que los vectores están dados por sus componentes, por lo que

entonces

si F1 = 2 F3 significa que (2,0) = 2 (1,0) y también

si F2 = 6 F3 significa que (6,0) = 6 (1,0) y

F2 = 3 F1 significa que (6,0) = 3 (2,0)

Quiere decir que si un vector está dado por sus componentes, multiplicarlo por

un número significa multiplicar cada componente por ese número.

¿Y la suma por componentes, cómo será? Veamos el ejemplo anterior:

F1 + F2 = 8 F3 escrito según sus componentes será

(2,0) + (6,0) = 8 (1,0) o lo que es lo mismo

(2,0) + (6,0) = (8,0) lo cual muestra que la suma se realiza componente a

componente (2 + 6, 0) = (8,0)

¿Y si un vector tira para el lado opuesto, como ocurre en Física con la fuerza

de rozamiento? Entonces el extremo del vector estará para el otro lado. Por

ejemplo: F4 = (-2,0)

Si hay que hacer alguna operación con este vector, se respecta el signo. Por

ejemplo:

F2 + F4 = (6,0) + (-2,0) = (6-2, 0) = (4,0)

Vectores en el plano El caso del automóvil o de cualquier bloque que se deslice por un plano

inclinado nos plantea el caso de trabajar con vectores que no están ubicados

sobre una misma recta de acción. Es decir, no tienen la misma dirección.

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¿Cómo se trabajará en estos casos? ¿Podremos sumarlos, restarlos o

multiplicarlos por un número? Supongamos que tenemos los vectores:

F1 = (2,0) y F2 = (0,2)

El resultado de F1 + F2 ¿será otro vector?, ¿qué dirección y sentido tendrá?;

¿y su módulo?, ¿cómo calcularlo?

Respetando lo que hemos visto hasta ahora, tendremos:

F1 + F2 = (2,0) + (0,2) y sumando componente a componente (2,2) = r

Gráficamente será:

¿Y si ahora sumamos F1 + r? Esto será (2,0) + (2,2) = (4,2) lo que

gráficamente se representa:

Es fácil ver que la suma de dos vectores es igual al vector que forma la

diagonal del paralelogramo que tiene por lado a los vectores sumandos.

Además hemos demostrado que la suma de vectores es asociativa, pues:

F1 + r = F1 + (F1 + F2)

Descomposición de un vector

Deteniéndonos en la construcción geométrica del paralelogramo, nos damos

cuenta de que existen infinitos paralelogramos que tienen la misma diagonal,

pero un único paralelogramo cuyos lados sean paralelos a los ejes

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coordenados. Es decir, un único par de vectores en la dirección de los ejes y

cuya suma sea la diagonal. Estos vectores se pueden obtener de la operación

analítica de la suma, puesto que el vector (4,2) es igual a la suma de los (4,0) y

(0,2)

(4,2) = (4,0) + (0,2)

Fijémonos ahora en el caso general de un vector F, del que conocemos su

módulo y su inclinación a con respecto al eje de las abscisas. Este vector

tendrá un único par de componentes en el sentido de los ejes x e y, que

denotaremos Fx y Fy. O sea que

F = Fx + Fy = (x,0) + (0,y) = (x,y)

¿Qué relación existirá entre todos estos vectores y la dirección del vector F?

Veamos cómo anda nuestra matemática y más concretamente nuestros

conocimientos de trigonometría.

Los vectores F, Fx y Fy forman un triángulo rectángulo que denominaremos

OBA, con un ángulo recto en B.

Por aplicación del Teorema de Pitágoras, las longitudes de los vectores (sus

módulos) cumplen con la siguiente relación:

F2 = Fx2 + Fy2

Como la longitud de Fx = x y la longitud de Fy = y, nos queda

F2 = x2 + y2,

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con lo que concluimos: en un sistema cartesiano ortogonal, el cuadrado de la longitud de un vector es igual a la suma de los cuadrados de sus componentes.

Ejemplo:

Si F = (3,4), entonces F2 = 9 + 16 = 25, y F = 5

Volviendo a nuestro triángulo OBA formado por los vectores F, Fx y Fy

podemos, haciendo uso de nuestros conocimientos de trigonometría, encontrar

otras relaciones. Por ejemplo:

Fx = F . cos a y Fy = F . sen a

Estas fórmulas, que son numéricas, relacionan las longitudes de los vectores

con el ángulo que forma el vector F con su componente Fx (relación que

utilizamos, por ejemplo, para trabajar con las componentes del peso P de un

cuerpo en el caso del movimiento por un plano inclinado). Si ahora dividimos

las componentes del vector F, tenemos una buena relación para encontrar el

ángulo a:

Fy/ Fx = F . sen a/F. cos a = sen a/cos a = tg a, de donde a = tg-1 Fy/Fx

Lo visto hasta aquí completa la utilización que requieren de la matemática los

conceptos físicos que se abordan en este módulo. Pero la interrelación entre la

matemática y la física seguirá estableciéndose de manera continua durante

toda tu carrera de Ingeniería.