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Diciembre de 2005, Nmero 4, pginas 17 - 29 ISSN: 1815-0640
La enseanza del clculo mental
Bernardo Gmez Alfonso
Resumen
Este artculo pretende ser una puesta al da de algunas ideas que han venido apareciendo en otros trabajos precedentes del autor sobre el clculo mental. Tras explicar lo que se entiende hoy por clculo mental y cul es su diferencia con el clculo estimado y el aproximado, se hace un repaso de las formas que histricamente se han propuesto para su enseanza. Finalmente se presentan propuestas innovadoras para trabajar en el aula y para su discusin por la comunidad de profesores interesados en el tema.
El significado de los trminos
El clculo mental no debe confundirse con el clculo estimado y ste no debe confundirse con el clculo aproximado. Lo que diferencia estos tres tipos de clculo es que en el clculo mental se trabaja con datos exactos, mientras que en el clculo estimado y el clculo aproximado no. Estos dos ltimos difieren en la procedencia de los datos: en el primer caso los datos son el resultado de un juicio o valoracin y en el segundo proceden de la medicin con instrumentos de medida que por muy finos que sean siempre tienen un margen de error.
Un ejemplo ayudar a aclarar esta distincin. En plena guerra del agua se discute acerca del caudal que podra o debera trasvasarse de una cuenca hidrogrfica a otra. Una determinada comunidad reclama 400 hm3 para cubrir sus necesidades. Para dar una idea de la magnitud de esta peticin se puede hacer un clculo estimado utilizando un referente familiar. Tmese como por ejemplo el estadio del Real Madrid e imagnese que es un recipiente que se puede llenar de agua. Haciendo una estimacin de sus dimensiones se puede calcular su capacidad. En efecto, a la vista de las fotografas y dado que las medidas oficiales de un campo de ftbol son: 105x68 m2, el estadio podra tener unas dimensiones que se pueden estimar en torno al doble de ancho y de largo que el campo de juego, adems se ve que tiene el equivalente a unos diez pisos de altura y un piso debe tener unos 3 m de alto. As, pues, el estadio podra tener un volumen de alrededor de 200x150x30=900.000 m3, que es equivalente a 900 Dm3, o lo que es lo mismo 0,9 Hm3. Por tanto, para atender la demanda de agua que se solicita se podra decir que haran falta del orden de 40 estadios como el del Real Madrid (figura 1) llenos de agua.

La enseanza del clculo mental Bernardo Gmez Alfonso
REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIN MATEMTICA - DICIEMBRE DE 2005 - NMERO 4 - PGINA 18
Fig. 1 Estadio del Real Madrid CF.
Este tipo de clculo es un clculo estimado, con nmeros estimados, que como se ve en el ejemplo suelen ser nmeros redondos para aprovechar las ventajas de operar con nmeros terminados en ceros en el sistema de numeracin decimal. Sin embargo, si en vez de estimar los datos se hubiera hecho una medicin de las dimensiones del estadio, utilizando cualquier instrumento de medida, es claro que por muy finos que sean stos instrumentos siempre habr un error. Este error obliga a trabajar con datos aproximados y el resultado tambin ser aproximado, con un margen de error que es evaluable en funcin de la precisin del instrumento. En el clculo aproximado se utilizan sobre todo nmeros decimales, de modo que se suele pedir que se hagan los clculos con una aproximacin a un nmero de dcimas, centsimas, milsimas, determinado. As ocurre cuando se pide, por ejemplo, hacer una divisin aproximando el cociente hasta las milsimas.
El clculo mental
El clculo mental se caracteriza por el uso de mtodos de clculo alternativos a los de columnas. Estos mtodos encuentran su fundamento en las propiedades de las operaciones y en las propiedades de los nmeros derivadas de los principios del sistema de numeracin de base diez. Lo mismo ocurre con los mtodos de clculo escrito. Pero no hay nada en estas propiedades y principios que diga que unos son para hacer de cabeza y otros para hacer con lpiz y papel. Esto significa que los mtodos de clculo mental no son bsicamente diferentes de los mtodos de clculo escrito; y por tanto, que no hay una lnea divisoria entre ellos. En otras palabras, son los mismos mtodos, pero es el uso mental o escrito que se hace de ellos lo que los denomina. Las siguientes imgenes (figuras 2 y 3) aclararn esta afirmacin.

728. cuando uno de los factores se compone de un nmero formado por uno o ms nueves, la operacin de multiplicar puede suplirse por una resta. Dalmau Carles. 1944, p. 340.
Fig. 2 Mtodo de clculo abreviado. Siglo XX
Clculo mental Multiplicamos un nmero por 99. 42x99=42x(100 1) = 4200 42 = 4.158 Para multiplicar un nmero por 99 se le aaden dos ceros y despus se resta dicho nmero. Anaya.1993, p.128.
Fig. 3 Mtodo de clculo abreviado. En la actualidad.
La primera imagen (figura 2) recoge un mtodo de clculo abreviado tal y como aparece en un texto de larga tradicin en Espaa a lo largo del siglo XX. La segunda imagen (figura 3) recoge otra versin de este mismo mtodo en la forma en que se encuentra en un texto actual de gran difusin en Espaa. El mtodo es el mismo, ya que en ambos casos se trata de efectuar un redondeo para multiplicar por un nmero formado slo por nueves; sin embargo, la forma de aplicarlo cambia ya que en un caso se propone para multiplicar en columnas y con lpiz y papel y, en el otro, para ser efectuado de cabeza.
Los modelos de enseanza de los mtodos de clculo mental
Lo que conocemos en la enseanza escolar como clculo mental no ha sido objeto de enseanza hasta pocas recientes. No es que antes no se hiciera clculo mental, sino que no se enseaba como tal, no apareca en los libros de texto, y no coincide con lo que actualmente se entiende por clculo mental.
Una revisin de la forma en que los mtodos de clculo mental han sido presentados en los libros de texto a lo largo de la historia permite identificar cuatro modelos de enseanza (Gmez, 1995, a):

1.- El mtodo de las reglas breves
Prcticamente hasta el siglo XIX, la enseanza del clculo aritmtico tena un nivel de exigencia que hoy consideraramos excesivo. Se trataba de formar expertos calculistas que conocieran varios mtodos y pudieran usar el ms adecuado en cada operacin y situacin. En esta poca no se hace mencin al clculo Mental. El mtodo de enseanza consista en presentar retricamente y bajo la forma de reglas breves, multitud de mtodos variados sobre una misma operacin, estos mtodos no se relacionan en ningn caso con las propiedades y principios que le dan fundamento y explicacin.
Regla para el nueve Todas las veces que multiplicando un nmero Dgito por s mismo, o por otro, el uno o ambos fueren nueves, se tendr esta regla. Quita uno del nmero menor, y los que quedare sern dieces, y mira de esto que quedare cuanto falta para nueve, y lo que faltare sern unidades, y juntarse han con los dieces, como por los ejemplos mejor entenders. Pongo, que quieres saber ocho veces nueve cuntos son. Quita del menor e estos nmeros (que es ocho) uno, y quedarn siete, estos siete hars dieces, y as sern setenta, mira ahora cuanto falta del siete para nueve, y hallars dos, los cuales aade a los setenta, y sern setenta y dos, y tanto es 9 veces 8 o 8 veces 9.
Prez de Moya, Tratado de Matemticas. 1563, p. 117
Fig. 4 Regla para el nueve
Los mtodos de abreviacin
A principios del siglo XIX, la implantacin del sistema general y pblico de enseanza obligaba a plantear una enseanza comn. En Aritmtica, esto se tradujo en un reduccionismo que limit la enseanza de mtodos de clculo a las cuatro reglas. Los otros mtodos de clculo que traan los viejos libros de aritmtica perdieron inters. No obstante, en los libros de aritmtica de comienzos del siglo XX se recuperaron algunos de estos mtodos como mtodos particulares para abreviar o atajar los tediosos y rutinarios clculos en aquellas situaciones que lo requirieran, pero en cualquier caso no parece que formaran parte de la enseanza obligatoria, ms bien aparecan en los captulos complementarios o avanzados de los libros para aquellos estudiantes que deseaban mayor profundizacin o adiestramiento. El mtodo de enseanza combina la forma de columnas con la forma reglada (figura 5).

732. Multiplicar un nmero cualquiera por 5, 50, 500, 5000, etc.
733. Multiplicar un nmero cualquiera por 4 o por 6. Basta aadir un cero a la derecha del multiplicando, sacar la mitad y restar en el primer caso, o sumar en el segundo.
734. Multiplicar un nmero cualquiera por 25.
735 Multiplicar un nmero cualquiera por 125.
Dalmau. 1944, p. 341
Fig. 5 Mtodo combinado.
En algunos casos se da fundamento del mtodo con la forma horizontal de igualdades y parntesis que unifica, la descripcin, el ejemplo y la explicacin. As, lo podemos ver por ejemplo en la explicacin de la multiplicacin por 15 de la imagen (figura 6).
Multiplicar un entero por 15. Se aade un cero, y al nmero as formado se agrega su mitad. Ejemplo: 24 x 15 Clculo: 240 + 120 = 360. Se tiene, en efecto: 24 x 15 = 24 x (10+5 )= 240 + 120
Edelvives. 1934, p. 58 y 59.
Fig. 6 Forma horizontal de igualdades y parntesis.

La aritmtica mental
Al comenzar el siglo XX, se

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