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INTRODUCCIÓN

La ensehanza de la matemática en los Estados Unidos

Existe un rico y abundante material sobre la en-señanza de la Matemática en Norteamérica. Las ca-racterísticas de los datos de que se dispone son muypeculiares: prestan sólido apoyo a la meditación y po-seen el atractivo de lo paradigmático. De ahí que, singran dificultad, podría hacerse incluso un libro sobreel asunto. Pero en el presente trabajo no aspiramosa realizar obra exhaustiva. Nos conformaremos conir presentando algunas facetas de la realidad didácti-ca norteamericana. El plan del artículo es acotar unentorno temporal de algunos arios—los más inmedia-tos a nuestro presente—y exponer con la mayor bre-vedad asequible el estado de la enseñanza de la Ma-temática en los Estados Unidos de América. Para ellonos hemos servido de la gran revista The AmericanMathematical Monthly, fundada en 1894 por Benja-mín F. Finkel, órgano oficial de la Mathematical As-sociation of America. Existen otras muchas fuentesinformativas (por ejemplo, la revista Mathematics Tea-cher); pero, en vista de nuestro modesto objetivo, noshemos apoyado fundamentalmente en la citada publi-cación.

Las circunstancias propias del actual momento his-tórico se dejan sentir fuertemente en la educaciónamericana, y, por tanto, en la enseñanza de la Ma-temática. Inquieta esta enseñanza mucho y de variamanera. Todo el enorme país se estremece hasta susraíces más hondas. Los profesores, las institucionesdocentes, el Estado, la empresa privada, la industria,el Ejército, la Marina, etc., toman cartas en el asun-to. Se siente un afán de reformar planes y métodos;se investiga mucho. Numerosos Comités averiguan elestado de la enseñanza y proponen nuevos caminos.Se ayuda a los profesores con viajes y becas. Se quie-re estimular a todos para que mejore la enseñanza yla formación de los futuros ciudadanos.

A juzgar por las publicaciones que tratan del tema,el país es como una inmensa colmena que trabaja acti-vísimamente. Se denuncian fallas, defectos, errores. Si-multáneamente se anota un ímpetu de perfecciona-miento, de mejoras, de correcciones. Esta actividad in-quisitiva, reflexiva, crítica, viva y abierta, se dirige atodos los sectores que tienen que ver con la enseñan-za de la Matemática: la escuela primaria, las highschools, los colleges, las Universidades; profesores,alumnos, planes de estudios, relaciones entre las di-versas clases de enseñanza, etc. Dentro de cada esferase investiga todo lo investigable. Por ejemplo, en lo

que toca a los alumnos, se abordan los problemas queplantean los estudiantes torpes, los superdotados, losque llegan a un college con deficiente preparación, losque no se van a dedicar a la Matemática, etc.

REUNIONES DE PROFESORES

Todos los años se celebran numerosas reunionespara docentes de la Matemática. En estas asambleasse presentan trabajos de índole puramente matemáti-ca y otros que versan sobre la enseñanza. Hay reunio-nes nacionales y regionales. La Mathematical Associa-tion of America (en lo sucesivo abreviaremos el nom-bre, diciendo Math. Ass.) se reúne anualmente. La 35reunión de la Math. Ass , se celebró a fines del año1951, en la Brown University (Providence, RhodeIslands), aprovechando la Asamblea de la AmericanMathematical Society. Se inscribieron, en total, 560personas, entre las cuales figuraban 272 miembros dela Math. Ass. La 36 reunión ha tenido lugar el 30de diciembre de 1952, en la Washington University(Saint Louis, Missouri), con asistencia de 500 perso-nas. Junto a estas reuniones anuales se celebran, tam-bién todos los arios, asambleas veraniegas de la Math.Ass. El 31 de agosto y el 1 de septiembre de 1953 secelebró la 34 de tales reuniones, con un total de 637asistentes.

Además de las reuniones generales, hay que citarlas de las 25 Secciones de la Math. Ass., que se cele-bran anualmente desde el mes de enero hasta junio.

El hecho de que el número de reuniones para cadaSección alcance la cifra media de 30, indica el inte-rés que suscita la enseñanza de la Matemática y lofructífero de estos intercambios de ideas y opinionesentre el personal docente.

Naturalmente, también se celebran otras reuniones,aparte de las de la Math. Ass. Desde hace unos añosse suceden asambleas de profesores de Matemáticade todo el país. Así, la III Conferencia Anual de Pro-fesores de Matemáticas tuvo lugar del 6 al 17 de juliode 1953, en Los Angeles (Universidad de California).

* * *

Veamos más de cerca en qué consisten estas reunio-nes de profesores de Matemáticas.

La reunión de 1952 de la Sección de Southeast dela Math. Ass. agrupó unos 170 profesores. Fueron

LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN LOS ESTADOS UNIDOS

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presentados 33 trabajos, de los cuales media docenatrataban temas de didáctica matemática. Entre ellospuede citarse el del profesor Saunders Mac Lane, dela Universidad de Chicago: "Qué hace pensar al es-tudiante?" Del resumen que acompaña al trabajo en-tresacamos lo siguiente: "Hay varios métodos educa-cionales del pensamiento creador en varias institucio-nes matemáticas. Los resultados de un cotejo entreellos muestran que hay y puede haber métodos efica-ces para hacer pensar a los estudiantes con originali-dad; pero que no existe un procedimiento general paratodas las escuelas, todos los profesores y todos losalumnos. El pensamiento debe ajustarse a las circuns.tancias, y, por lo tanto, también la enseñanza del pen-sar." En la misma reunión hubo un coloquio sobre elcurso de tipo "cultural" para estudiantes interesadosen adquirir una educación general. Se estudiaron losfines, la elección de temas y el método expositivo deacuerdo con el trabajo presentado por el profesorH. S. Kaltenborn, del Memphis State College.

En abril del mismo ario 1952 se reunió por vigési-ma séptima vez la Sección de Nebraska de la Math.Ass. Fueron presentados doce trabajos, de los quecinco se ocupaban de temas didáctico-matemáticos.Destaquemos el presentado por Edwin Halfar, de laUniversidad de Nebraska: "El papel de la escuelasecundaria en la enseñanza de la Matemática".

Como puede verse, en las reuniones de profesoresde que nos ocupamos los temas giran en torno decuestiones de interés general. Pero otras veces es elasunto concreto lo que atrae. Así, en la 38 reuniónde la Sección de Iowa, el profesor E. W. Chittenden,de la Universidad de Iowa, presentó un trabajo titu-lado: "Notas sobre la manera de enseñar la integraldefinida en un primer curso de cálculo".

Para dar una idea mejor de las cuestiones tratadasen las reuniones de las diversas Secciones de laMath. Ass., he aquí una lista de títulos de trabajospresentados durante el año 1952:

"Cambios de la filosofía y el contenido del año dé-cimo de Matemáticas", por Hlavaty, Bronx HighSchool of Science.

"Cambios en la matemática de las escuelas secun-darias desde 1900 a 1950", por J. Orleans, GeorgeWashington High School.

"El problema de los estudiantes mal preparados",discusión dirigida por varios profesores (30 reuniónde la Sección de Illinois).

"Informe del Comité sobre las relaciones de las ma-temáticas de las escuelas secundarias y de los colleges",por Rosskopf, Syracuse University.

"El estudiante y el profesor", por Graves, PurdueUniversity. Especialización implica cooperación. Porello los matemáticos y los educadores han de colabo-rar estrechamente. La relación entre profesor y alum-no es personal. El profesor ha de interesarse profun-damente por el desarrollo de las capacidades del estu-diante. Cuando se suspende a un alumno, el profesortambién queda suspendido.

"Las matemáticas en la escuela secundaria 1952",por J. R. Mayor, Universidad de Wisconsin.

"Experiencias de la enseñanza de la Matemática enel Japón", por Campbell, George Pepperdine College.

"Un experimento de la enseñanza del álgebra y dela trigonometría", por Robertson, Iowa State College.

"Enseñanza a un estudiante ciego de un curso re-gular de Algebra", por Steinbach, Universidad deDetroit.

"Curso para la formación de profesores de Mate-máticas", por el profesor Max Kramer, New MexicoCollege.

"La futilidad de la Matemática sin la Filosofía ysin la Historia", por Blum y Moore, profesores delWaynesburg College. Los autores creen que si elalumno no ve la estructura estética del discurso, noserá capaz de crear nada nuevo. Como la Matemáticaes una experiencia humana, su estudio ha de incluirconsideraciones históricas y filosóficas. Toda exposi-ción puramente mecánica es inoperante, en el sentidode que no lleva a la clara conciencia de los ampliosprincipios universales que se encuentran en la Mate-mática y en todas las ramas del saber humano.

"El estudiante habla", por Sokolnikoff, Universidadde Wisconsin.

"Lo que estamos haciendo en Geometría", porWahlstrom, Wisconsin State College.

"Asamblea sobre la enseñanza del cálculo". Intervi-nieron cuatro profesores de varias Universidades.

* e *

La simple lectura de los títulos de los trabajos pre-sentados en las reuniones regionales de la Math. Ass.ilumina bastante bien el interés suscitado por las cues-tiones relacionadas con la enseñanza de la Matemáti-ca en los Estados Unidos. Sin embargo, no basta esasimple enumeración para indicar la calidad de losresultados y la profundidad de la meditación metodo-lógica. A fin de completar la insuficiencia de la des-cripción meramente cuantitativa, permítasenos extrac-tar el informe de un Comité investigador. Elegimosel de la Sección de Illinois.

COMIT.S INVESTIGADORES

SOBRE CUESTIONES

DIDÁCTICO-MATEMÁTICAS

El 9 de mayo de 1953 fué presentado ante la As-sociation el informe de la Sección de Illinois sobre elfortalecimiento de la enseñanza de la Matemática. ElComité cree que la calidad de la educación está enjuego y que debe estimularse a los profesores de Ma-temáticas y de otras materias a cooperar para la me-jora de la enseñanza. Se reconoce la enorme labor quese está realizando y la necesidad de aunar esfuerzos.El informe aborda primero problemas referentes alprofesor; señala la importancia de una buena prepa-ración matemática. (La formación del profesor ha decomenzar en la escuela elemental y continuar durantela high school.) El maestro primario carente de bue-na formación matemática tenderá a menospreciar laenseñanza de esta ciencia o a pasar por alto sus ver-daderas dificultades. Estudia la influencia de los edu-cadores y administradores que piensan que tal o cualmateria no tiene importancia dentro de la educaciónmoderna. Esta desatención tiene efectos nocivos sobrela preparación de ciertos estudiantes, hasta tal puntoque si no se corrige el defecto ella puede ser desas-

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REVISTA DE EDUCACIÓN

troso para el país. El informe se ocupa de la forma-ción profesional de los docentes, trata de la necesidadde reuniones frecuentes entre profesores destinadas aintercambiar experiencias y consultar problemas con-cretos que se les vayan presentando en la enseñanzay sugiere la conveniencia de que se apoye económica-mente a algunos profesores destacados para que viajen

visiten otros centros docentes. Por último aborda elproblema de los sueldos, de los que dice que debenser adecuados para atraer a la enseñanza (y manteneren ella) a personas competentes. El informe se ocupatambién detalladamente de los problemas que tocande cerca a los alumnos. En este sentido destaca la im-portancia de una buena dirección, de saber suscitarintereses y subrayar la importancia de la Matemáticaen las cosas humanas.

Finalmente trata las cuestiones referentes a lasschools y sus planes, poniendo de relieve la trascen-dencia de un buen cuestionario y la de mantener unalto nivel en la enseñanza. Señala los peligros quetrae consigo la realización de planes amplios y efica-ces. Los profesores de las diversas enseñanzas puedendarse por aludidos en su independencia y creer quehay intromisión en sus responsabilidades. Pero el pro-blema no está en la enseñanza de más o menos arit-mética: "La cosa está más bien en esto: ¿hemos o node dar a nuestros alumnos conocimientos fundamen-tales y hemos o no de educarlos en un pensamientocrítico y creador...? Este es un punto de la más ex-trema gravedad. Ha llegado el momento de unir lasfuerzas de todos los sectores y en todas las materias,porque la batalla que garantice a nuestros hijos lasoportunidades educativas que necesitan y merecen hade ser larga y dura y sólo puede ser ganada median-te una grandísima e inteligente cooperación."

REFORMA DE PLANES Y ME.TODOS

DE ENSE/ZANZA DE LA MATEMÁTICA

Una de las cosas que más llaman la atención dellector del llionthlv es la insistencia en el tema de lasreformas. Quiere reformarse todo: desde la enseñan-za elemental, que se hace en la escuela primaria, has-ta los cursos de la Universidad. En vista de la impor-tancia del asunto, le dedicaremos varios apartados. Nosapoyaremos tanto en las opiniones y experiencias delos profesores—alguno de los cuales suele ser matemá-tico insigne de primera fila—como en los informes delos Comités designados expresamente para el caso. Lainquietud reformadora no tiene sólo por objeto mejo-rar la didáctica de una rama especial. También pre-tende elevar el espíritu de la enseñanza de la Mate-mática. Hay profesores que dan a conocer sus expe-riencias particulares. Por ejemplo, C. C. Macduffee,profesor de la Universidad de Wisconsin, trata deta-lladamente de la didáctica del álgebra ("Teacher Edu-cation in Algebra", Monthly, junio de 1953). Enotros casos se expresa una preocupación por la mar-cha de la investigación científica norteamericana ac-tual. H. F. Fulmer, del Georgia Institute of Techno-logy, en el artículo "Motives and trends in Mathe-matics" (Monthly, 1954, págs. 157-160), medita pro-fundamente sobre la situación de la mayoría de losmatemáticos estadounidenses. El autor señala que los

verdaderos descubrimientos matemáticos no han surgi-do al perseguir móviles utilitarios ni por el deseo deganar prestigio. Apoya su tesis en ejemplos históricos(Egipto, Grecia, Roma; Arquímedes, Galileo, New-ton).

La tendencia actual no puede llevar a grandes des-cubrimientos—dice—, porque se persiguen ante todofines prácticos. Fulmer señala, además, con cierta alar-ma, que un 10 por 100 de los miembros de la Math.Ass. de América se dedica a tareas distintas de la en-señanza (muchos de ellos trabajan en departamentosgubernamentales, otros en la industria, etc.). El autordestaca que la ciencia que surja de tales trabajos nopuede ser de buena calidad, ya que en la mayoría delos casos surge de la aplicación del siguiente princi-pio: "Vencer al competidor produciendo un artículomejor a más bajo precio."

LA REFORMA PROPUES-

TA POR MORRIS KLINE

En un artículo del Monthly titulado "FreshmanMathematics as integral part of Western Culture"("La matemática del principiante como parte integralde la cultura occidental"), el profesor Morris Kline,de la Universidad de Nueva York, expone interesan-tísimas ideas sobre la didáctica matemática. Dada suimportancia, haremos un extracto de la concepción deKline. El autor comienza tratando la debatida cues-tión: ¿qué hay que enseñar a los estudiantes de lasliberal arts? (tales estudiantes son aquellos que nopiensan usar la Matemática en alguna profesión o ca-rrera y cursan estudios matemáticos porque se suponeque tal ciencia contribuye a una educación liberal).El profesor Kline cree que hay que atender cuidado-samente a este grupo de estudiantes, entre otras razo-nes, porque en él figuran alumnos distinguidos queluego destacarán en la vida social; por ello es intere-sante que tengan una idea acertada de la Matemática,ya que pueden influir en el destino de la misma enciertos sectores nacionales.

OBJECIONES A LOS PLANES

TRADICIONALES

El álgebra y la trigonometría que se dan a estos es-tudiantes—dice Kline—son una pérdida de tiempo."d Qué valor educativo puede tener un estudio de losexponentes, los radicales, los logaritmos, la regla deHomer, las fracciones simples, el teorema del bino-mio de Newton, las identidades trigonométricas, etc.?Se oye decir que los estudiantes aprenden a pensar alestudiar esas cosas. El autor afirma que la materia nose presta a ello. "Todos sabemos que es imposible dara un fresh man una definición satisfactoria de númeroirracional."

En el álgebra del college se usan muchas propieda-des de las funciones continuas sin demostración, apo-yándose en una gráfica para convencer al alumno. In-cluso al presentar demostraciones rigurosas, pocos es-tudiantes pueden seguirlas. Resumen: en los cursos deMatemáticas que se dan a los estudiantes de las liberalarts se mezclan demostraciones con argumentos in-

LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN LOS ESTADOS UNIDOS

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tuitivos, evidencias gráficas y afirmaciones aceptadassin prueba. "Aun así, esperamos que el alumno loaprenda todo bien."

Suele argumentarse que todo el mundo necesita dela Matemática, y que por ello debe aprenderse. Pero¿quién de nosotros ha usado la trigonometría y elálgebra del college, fuera de nuestro trabajo profesio-nal? La verdad es que esas materias no contienenmás que una serie de técnicas aburridas, secas, desco-nectadas, sin fundamentos y carentes de importanciapara el estudiante. Se enseñan los temas como simplestécnicas, y se espera que los alumnos las reproduzcancomo loros. La única razón positiva a favor de ta-les enseñanzas es que, afortunadamente, los alumnoslas olvidan pronto. Sabernos que hemos fracasado alintentar llegar a esa clase de alumnos y que lo únicoque conseguimos es hacerles detestar la Matemática.Estamos seguros de que abandonan nuestros cursosdando un suspiro de satisfacción al ver que, por fin,se han librado de aquella tortura y haciendo votos porno volver a mirar nada que tenga que ver con la Ma-temática. Prueba de que todo esto es verdad: un anun-cio reciente de un nuevo texto de Algebra: "Aproxi-mación humanizada a los conceptos matemáticos". Ellibro, desde luego—dice Kline—, es como los milesde libros análogos. Pero por lo menos se ve que elautor se da cuenta de la realidad y quiere hacer algopor remediar los fallos y defectos del sistema.

"Al persistir enseñando álgebra y trigonometría alos estudiantes de las liberal arts, los profesores deMatemáticas de los colleges han estado cometiendo uncrimen contra la Matemática y la Humanidad. Somosculpables de haber enseñado a poner ladrillos en vezde arquitectura, a mezclar colores en vez de enseñara pintar. Tal enseñanza ha desinteresado para estu-dios posteriores, ha yugulado vocaciones latentes."

En los últimos tiempos se han adoptado medidaspara remediar el mal. Las matemáticas generales quie-ren ser una solución. Pero la cuestión sigue en pie,porque en realidad el recurso se limita a tomar temasde cuatro partes de la Matemática en vez de dos. Lastécnicas empleadas siguen siendo las mismas. Algu-nos profesores quieren romper totalmente con la tra-dición, y pretenden enseñar a los alumnos conceptosgenerales de la matemática moderna, tales como losde función, grupo, anillo, cuerpo, etc. Evidentemen-te, tales teorías son bonitas; pero sólo para los inicia-dos. El freshman no es capaz de penetrar en el ver-dadero sentido de los conceptos abstractos del álgebramoderna.

En opinión de Kiine, los mejores esfuerzos fueronhechos por los libros Invitation to Mathematics (Dres-den, de Swarthmore) y la Introduction to Mathema-tics, de Cooley, Gans, Kline y Wahlert, de la Uni-versidad de Nueva York (este último libro ha sidomuy bien acogido por el público).

Kline establece sus ideas, basadas en los siguientesprincipios filosóficos: 1) El conocimiento es un todo,y la Matemática es una parte de ese todo. Sin em-bargo, el todo no es la suma de partes; 2) La Ma-temática debe contribuir a los objetivos de una edu-cación liberal. De este principio se sigue que los cur-sos de Matemáticas para los estudiantes de las liberalarts deben relacionar la materia con las otras ramasdel saber; 3) La elección del material y el modo de

exponerlo ha de hacerse en vista de las circunstanciaspeculiares del curso. No dejar que la tradición dictelos temas que hayan de ser estudiados.

Kline, después de esto, propone sus planes de en-señanza de la Matemática. Resumidamente, consistenen la exposición de la Matemática históricamente(Egipto, Babilonia, Grecia, el Renacimiento, Copérni-co, Kepler, la perspectiva, Descartes, Galileo, Newton,etcétera).

Algunos profesores argumentarán que el procedi-miento es endeble, porque, por ejemplo, dónde estála ecuación de segundo grado? Pero estos criterios sebasan, al parecer, en la idea de que la Matemática essólo una serie de tecnicismos, y no toman en cuentael significado, los propósitos y el sentido de tales téc-nicas. Esos críticos—sigue Kline—no hacen más quereflejar su incapacidad. Por otra parte, los conceptosson más difíciles de aprender que las técnicas (éstaslas puede llegar a dominar un autómata).

Una dificultad grave de llevar a realización elplan de Kline es la de encontrar profesores de Mate-máticas que sepan presentar los aspectos culturales detal ciencia. Por varias razones, los profesores prestanpoquísima atención al problema más importante dela enseñanza de su especialidad: la educación de losestudiantes de las liberal arts. Sin embargo, todo con-siste en acomodarse a la situación. No hace falta en-contrar personas dotadas de talentos especiales paraponerse a tono con las circunstancias que exigen lasenseñanzas de esos alumnos.

En la Universidad de Nueva York se está expe-rimentando actualmente el plan de Kline. Como pri-mer resultado figura el libro Mathematics in WesternCulture (Oxford University Press, N. Y., 1953). Esdemasiado pronto para exponer los resultados definiti-vos del ensayo. Pero ya se puede anotar un logro po-sitivo: los estudiantes entienden de qué se trata encada tema y participan plenamente en el trabajo dela clase. Además, como todos los cursos establecencontacto con la pintura, la filosofía, la literatura, lasciencias sociales y otros campos, hasta el estudiantemás indiferente es atraído en algún momento. El in-terés suscitado contrasta agudamente con la reticen-cia, la resistencia y la incapacidad que se encuentranal enseñar el material corriente. El objetivo primariode una verdadera enseñanza de la Matemática ha deser suscitar la apreciación más bien que la habilidad.Si se consigue desarrollar el gusto por la Matemática(mediante un reconocimiento de lo que ésta significadentro de nuestra civilización occidental y de la hu-mana en general), evitaremos el actual disgusto entrela mayoría de los estudiantes. Incluso se podría con-seguir que algunos no perdieran todo contacto conla Matemática durante el resto de su vida.

REFORMAS DE LAS SECONDARY

S C HOO L S CON VISTAS A LOS

ESTUDIANTES EXCEPCIONALES

El trabajo Mathematics in the secondary schoolsfor exceptional students, de H. W. Brinkmann, delSwarthmore College, reúne las experiencias de docecolleges y veintisiete escuelas secundarias (un apoyofinanciero provino del Fund for Advancement of Edu-cation). El principio fundamental en que se basa el

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REVISTA DE EDUCACIÓN

estudio es que ciertos estudiantes brillantes pierden eltiempo en las schools y que se puede anticipar nor-malmente el trabajo que han de realizar en el primeraño de estudio del college. Un Comité de matemáti-cos fué elegido para estudiar el caso. Los doce collegesaceptaron el plan que surgió después de las delibe-raciones. Otros Comités elaboran actualmente los cues-tionarios de exámenes para esos alumnos.

Ei problema que se planteó ante el Comité fué elde elaborar un plan que fuera seguido por las schoolspara sustituir al primer año del college. Pero se vióla conveniencia de aplicar el cuestionario a tres añosde la escuela secundaria.

Se comprende la necesidad de ampliar los planes desegunda enseñanza. El plan del Comité consiste en losiguiente: romper con las divisiones en asignaturas,introducir temas nuevos y sugerir la eliminación deciertas cuestiones tradicionales.

El programa para los tres años mencionados másarriba es: 1) Un curso en el grado décimo de Mate-máticas, subrayando el pensamiento deductivo y tra-tando de varios temas de Matemáticas. 2) Un cursode un año, consistente en la ampliación del Algebra,Geometría analítica y Trigonometría (grado 11). 3) Uncurso continuación del anterior y que sea una intro-ducción fundamental al cálculo infinitesimal y sus apli-caciones (grado 12).

Los autores de este plan creen que podrían exten-derse a toda la enseñanza secundaria sus ideas. De estemodo se podría trabajar a lo largo de tales directri-ces en toda la secondary school.

Hay ya muchas schools en los Estados Unidos quesiguen la trayectoria marcada por el anterior informe,y se espera que se inicien trabajos similares en otroscentros.

REFORMAS EN LA UNI-

VERSIDAD DE CHICAGO

El profesor Saunders Mac Lane pronunció su dis-curso presidencial de cese en el cargo de presidentede la Mathematical Association of America el 31 dediciembre de 1953. De su notabilísima disertación, ti-tulada "Of course and courses", vamos a resumir pun-tos relacionados con reformas universitarias llevadas acabo actualmente en la Universidad de Chicago, de laque el ex presidente de la Math. Ass , es profesor.

Mac Lane afirma que la educación matemática delos colleges no ha de ser concebida demasiado estre-chamente, y que hace falta una reforma imaginativay vigorosa. Dice que cada libro de texto suele copiarlas debilidades de los predecesores, y que por ello, porejemplo, en la Trigonometría, las cosas van de malen peor, porque cada nuevo autor lo único que hacees ir agotando las posibilidades combinatóricas de va-riación accesibles.

Destaca el siguiente hecho: los educadores no pueden eludir la inexistencia de una organización concep-tual de nuestro tiempo. De ahí que no haya la posibi-lidad de redactar cursos que enseñen sistemáticamen-te todo el saber matemático. Teniendo esto en cuen-ta (y además las modas y las preocupaciones dominan-tes), debemos tender a exponer ante nuestros estudian-tes la belleza y el estímulo de las ideas matemáticas.Debemos hacer patente la manera extraordinaria con

que la Matemática construye una estructura arquitec-tónica compuesta de teoremas (que revelan una intui-ción de las razones que están detrás de las aparienciasy de los conceptos que relacionan ideas concretas to-talmente inconexas) a partir del suelo básico de laexperiencia humana, con números, datos, espacio y mo-vimiento... Hay que terminar con esos casilleros talescomo "Algebra", "Análisis", "Geometría", etc. Losnuevos descubrimientos matemáticos no pueden serclasificados dentro de las viejas designaciones (el quin-to problema de Hilbert ha sido resuelto con técnicasderivadas de la topología, la teoría del espacio hilber-tiano y los grupos de Lie). Cada vez se reconoce másque el Algebra no ha sido, ni es, una disciplina in-dependiente. El análisis moderno está lleno de "dis-tribuciones", anillos de operadores, representaciones,etcétera. Por ello el carácter y la dirección de la inves-tigación corriente son el mejor índice de las ideas quehay que enseñar.

El profesor Mac Lane elogia la obra de Bourbaki,Éléments de Mathématique, y la presenta como inte-gración y síntesis de la matemática actual. Pasa a se-guido a describir el plan de los cursos que se desarro-llan en el Departamento de Matemáticas de la Uni-versidad de Chicago. Con este plan se pretende guiara los estudiantes serios desde el comienzo del Junior(college) hasta el Master's degree. El objetivo perse-guido es proporcionar una introducción a todas lasideas matemáticas fundamentales. Para el estudianteque piense dedicarse a la enseñanza, los anteriorescursos le proporcionarán un conocimiento profundode lo que es la Matemática. Quien se vaya a dedicara la investigación encontrará, por su parte, una baseamplia para tratar por su cuenta ideas nuevas (el re-quisito básico de un plan es precisamente abrir elhorizonte necesario para unos y otros estudios, exhi-biendo la unidad que reina dentro de la Matemáti-ca). El plan no aspira a la perfección: sólo pretendeser un primer acercamiento a la exigencia presionan-te de una formación sólida. Hay que idear planes mo-dernos y coherentes, libres de los impedimentos tradi-cionales, que proporcionen accesos a las ideas nuevasy generales, y luego permitan su aplicación a domi-nios particulares.

OTROS TRABAJOS SOBRE

LA ENSEST. ANZA DE LA

MATEMÁTICA

Por el artículo "Elementary and secondary schoolstraining in Mathematics", del profesor S. S. Cairns(Monthly, octubre 1953), vemos que se intenta amol-dar las public schools a las necesidades de la sociedady de la nación. Se señala con inquietud la crítica esca-sez de científicos (escasez que se agudizará a causade las necesidades crecientes de la industria, el gobier-no y los servicios militares). La tesis de Cairns es quese puede remediar fundamentalmente la situación sise corrigen defectos serios en la enseñanza de la Ma-temática en las schools. Reconoce que las high schoolsson deficientes, tanto en la preparación de estudian-tes para los colleges como en proporcionar una buenaeducación a los que no van a ir a tales centros. A suvez, la escuela elemental falla en la preparación dealumnos para las high schools. El autor termina in-

LA ENSE .IZANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN LOS ESTADOS UNIDOS

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dicando algunos principios falsos, responsables parcial-mente de la mala educación matemática de las insti-tuciones docentes americanas. Helos aquí: 1) La teo-ría de que el ejercicio rutinario y la memorizacióndeliberada han de ser excluídos, especialmente en losgrados inferiores; 2) La teoría de que las necesidadeslocales deben dominar, en determinados cursos, res-pecto de las de escala nacional; 3) La teoría de quelas high schools han de limitar sus programas a aque-llas técnicas y habilidades que algún grupo de indi-viduos considere precisas para el adulto medio; 4) Lacreencia de que el estudiante poco dotado ha de con-vivir en la misma clase con el alumno mejor dotado,y 5) La aversión a las competiciones entre estudiantes.

Otro trabajo interesante es el titulado The thingsI should have done, I did not do ("Cosas que pudehaber hecho y que no hice"), original del profesorR. E. Langer, de la Universidad de Wisconsin, textodel discurso presidencial al dejar su cargo de presi-dente de la Math. Ass. Langer dice que la mayoríade los estudiantes se ven obligados a restringir la elec-ción (en los cursos de Matemáticas) a las llamadas"matemáticas tradicionales". En tales cursos se ense-ña, de manera más o menos efectiva, Algebra, Trigo-nometría, Cálculo infinitesimal, etc. Oímos decir—si-gue—que esos textos son secos, áridos, alejados deasuntos de vital interés, centrados alrededor de merostecnicismos... Pasa por alto las críticas que puedenhacerse, y admite que, en la mayoría de los casos, ta-les cursos están pensados más bien para estudiantesde escuelas especiales o técnicas. Pero ahora parece ha-berse pasado al polo opuesto: los cursos denominadosintegrated liberal studies, en los cuales la Matemáticano figura en absoluto o bien desempeña un papel in-significante. Por todo esto no sorprende que la Mate-mática esté a la defensiva en muchos colegios de se-gunda enseñanza. Langer declara que el problema noes nuevo y que ya se han realizado intentos serios porresolver la dificultad (una de las medidas consiste enuna buena elección de libros dirigidos a un ampliopúblico de lectores no matemáticos; pero, según pare-ce, todavía no se ha encontrado la solución definiti-va). Mucho tiempo y estusiasmos se han dedicado aexperimentos didácticos, pero la recompensa, hastaahora, ha sido pequeña. Muchos estudiantes acudie-ron a los nuevos cursos a ver si la enseñanza les re-sultaba más fácil.

La realidad es, sin embargo, que los estudiantes vandesertando y se sienten atraídos hacia otros campos.Es indudable—sigue Langer—que la matemática pue-de dar algo a la cultura de cualquiera, en razón desu rico pasado, su dinamismo actual, su prodigiosofuturo y su posesión de ideas simples y, a la vez, pro-fundas. Opina que el camino no será fácil, sobre todoen los colleges pequeños, los junior colleges y los deprofesores.

Aborda después el problema de la formación delprofesorado, y reconoce que tal vez subconscientemen-te, pero no por ello con menos verdad, se piensa siem-pre, sobre todo, en la formación de investigadores. Poreso rechazamos sin remisión a todos los que no de-muestren un alto nivel en su formación matemática(gran parte de los maestros de las high schools care-cen de preparación matemática; asisten a veces duran-

te las vacaciones veraniegas a las Universidades paragraduarse en Educación, no para mejorar su prepara-ción matemática). Sin embargo, justo es reconocer asi-mismo que muchos grandes matemáticos harían unlamentable papel en una high school. Langer indicaque todas estas cosas ya han sido dichas y que eshasta familiar el clamor que acompaña a la tesis deque la formación de profesores de escuelas secunda-rias ha de hacerse en extensión y comprensión másque en profundidad y especialismo. Por último, ad-vierte que se puede prestar un gran servicio a la edu-cación matemática si se colocan todos estos asuntosen manos competentes.

LO QUE HACEN ALGUNOS

COLLEGES PARA REME-

DIAR LA MALA PREPARA-

CIÓN DE ALGUNOS ESTU-

DIANTES

Durante la última guerra mundial, un Navy V-12llegó cargado de estudiantes, procedentes de todos losEstados Unidos, a la Universidad de South Carolina.Intentóse aprovechar sus estudios matemáticos pre-vios. Pero pronto se hizo evidente que la mayoría ca-recían de formación, a pesar de que un gran núme-ro había estudiado matemáticas especiales durante va-rios años en los colleges. Al principio se creyó que es-tas deficiencias eran debidas a la guerra, pero cuandola contienda terminó se reconoció que el problema se-guía en pie.

El profesor W. L. Williams, de la Universidad deSouth Carolina, ha publicado recientemente el resul-tado de sus investigaciones sobre la materia. "Antetodo—dice Williams—, quise averiguar si la deficien-cia era de carácter local." Para ello distribuyó por todoel país unos quinientos cuestionarios. Recibió respuestade unos cuarenta y seis Estados de la Unión. El estu-dio de estas contestaciones muestra que el 41 por 100de los colleges y Universidades no admiten alumnossin examen de ingreso. Lo cual demuestra falta deconfianza en la preparación que traen de las schools.

En opinión de la mayoría de tales instituciones, lamitad de los estudiantes carece de formación alge-braica y trigonométrica, bien parcial, bien totalmen-te. Es verdad que trata de remediarse en los collegesesta situación mediante cursos especiales; pero algunasinstituciones afirman que se niegan a admitir aspiran-tes que posean una mala preparación. Otros centroslos admiten, y hacen frente a la dificultad con diver-sas medidas. Otros reconocen no hacer nada para re-mediar las deficiencias, y dejan a los estudiantes laoportunidad de "nadar o hundirse". Al parecer, pocosson los que logran salir a flote. En todo caso se ad-mite que la situación es insoslayable. El alumno quesale de la high school con su diploma bajo el brazocree tener derecho a ingresar en un college, y si nose le admite espera que le den una oportunidad. Wil-liams aboga por el establecimiento de relaciones es-trechas entre las escuelas secundarias, los colleges ylas Universidades para hacer frente conjuntamente ala dificultad.

178 REVISTA DE EDUCACIÓN

LIBROS CONSAGRADOS A LA

DIDÁCTICA MATEMÁTICA

Junto a estos trabajos, cuya lista puede prolongarseindefinidamente, han de citarse ahora las obras dedi-cadas expresamente a la didáctica de la Matemática.Entre estos libros figuran: T he Teaching of Mathe-matics, por D. R. Davis (Cambridge, Mass.; Addison-Wesley Press, 1951, XV-415 págs.), que, a juicio delreseñador en el Monthly (el profesor Jones, de la Uni-versidad de Michigan), es un libro excelente, sobretodo en algunas partes; Secondary Mathematics. AFunctional Approach for Teachers, por H. F. Fehr(Boston, 1951, XI-431 págs.), libro pensado sobre todopara profesores de segunda enseñanza. Citemos tam-bién el libro que lleva por título Teaching Mathema-tics in the Secondary School, de los profesores Kinneyy Purdy (Nueva York, 1952, XVIII-381 págs.). El vo-lumen está dedicado a proporcionar al profesor deMatemáticas informaciones sobre lo que hay que en-señar y cómo hay que enseñarlo en las escuelas se-cundarias. Finalmente, T he Teaching of SecondaryMathematics, de C. H. Brown (reseñado por el pro-fesor Havaty), libro que subraya el papel de la Ma-temática en la educación (casi la mitad del libro estádedicada a eso). El autor gira obsesionadamente alre-dedor de la filosofía de la enseñanza de la matemáti-ca. Parte de la siguiente idea fundamental: la funciónde las materias enseñadas en la educación es la de in-formar sobre el mundo y estimular la reflexión sobrelos problemas que plantea. En este sentido la Mate-mática puede hacer mucho. El llevar a cumplimientolas potencialidades que tal ciencia permite es, sin em-bargo, obra del profesor. El libro se basa en la con-vicción de que el método didáctico es cosa individualque un profesor que conoce adecuadamente su asun•

to y conoce las necesidades, las aspiraciones y capaci-dades de sus alumnos; que entiende la naturaleza delproceso del aprendizaje..., conseguirá idear métodosy técnicas convenientes a su situación concreta".

REVISTAS

Aparte de la American Mathematical Monthly, ór-gano oficial de la Mathematical Association of Amen-ca, hay, como ya se dijo, otras revistas dedicadas a laenseñanza de la Matemática en los Estados Unidos;por ejemplo, Mathematics Teacher. En febrero de esteaño ha comenzado la publicación del New Magazinefor High School Mathematics Student. Es una revis-ta que aparecerá cuatrimestralmente y que edita TheNational Council of Teachers of Mathematics, en co-operación con la Math. Ass. Entre otras cosas, la re-vista trata de estimular a los alumnos bien dotadospara continuar sus estudios, indicándoles las excelentesoportunidades que les aguardan en la profesión ma-temática.

AYUDAS ECON6MICAS

PARA LA MEJORA

DE LOS PROFESORES

Durante varios años la General Electric Companyha subvencionado cursos de ampliación de estudios

para cincuenta profesores de high schools. El éxito deestos programas llevó a la misma empresa a sufragarlos gastos para una mejora en la formación de los pro-fesores de Matemáticas de escuelas secundarias. Elobjetivo perseguido era fundamentalmente estimularel entusiasmo por las Matemáticas entre una parte delos profesores y familiarizarlos con aplicaciones im-portantes de la Matemática. Para lograrlo se organi-zaron tres cursos: 1), sobre el análisis matemáticoaplicado; 2), sobre la matemática elemental desde elpunto de vista superior, y 3), sobre la matemática enel trabajo. Durante el año 1952 se proporcionó beca acincuenta profesores. Los resultados fueron tan espe-ranzadores que en el verano de 1952 se desarrollaroncursos análogos en la Purdue University. Asistieronprofesores procedentes de once Estados situados aloeste del territorio del Rensselaer Polytechnic Institute.

VIAJES DE ESTUDIOS A EUROPA

La School of Education de Boston organizó duran-te el verano de 1953 un viaje a Europa occidentalpara que los profesores de ciencias y de matemáticasamericanos se pusieran en contacto con sus colegas deGran Bretaña, Noruega, Suecia, Dinamarca, Holanda,Alemania, Suiza y Francia. El viaje duró diez sema-nas. Se prepara un libro que llevará por título Recur-sos que Europa ofrece a los profesores de matemáti-cas y de ciencias.

viejEs DE INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA

El profesor Cameron, de la Universidad de NorthCarolina, visitó en treinta y tres Estados de la Uniónlos colleges y las Universidades, gracias a la ayuda fi-nanciera prestada por la Ford Foundation. Las insti-tuciones visitadas comprendían Universidades sosteni-das particularmente, Universidades estatales, collegesprivados y oficiales. El objeto primario era estudiarlos programas de las matemáticas para undergraduates.El profesor Cameron publica sus impresiones en elnúmero de marzo de 1953 de Monthly. Como resul-tado final, destaca la necesidad obvia de intercambiarinformación entre todas las instituciones docentes, par-ticularmente en lo que se refiere a innovaciones yexperimentos. La conversación y la correspondenciapersonales pueden ser—añade—de gran utilidad.

El señor Cameron señala que es de suma importan-cia averiguar el espíritu con que es tratado un asun-to. Literalmente: "Las técnicas son necesarias. Perohay muchas razones que llevan a la convición de quela mayoría de los estudiantes pasan sus primeros cur-sos memorizando recetas, sin lograr la más pequeñapenetración en la verdadera naturaleza de la Mate-mática."

La preparación de los profesores que enseñen ma-temáticas con estilo suficientemente amplio es proble-ma grave. Las Universidades se dedican más bien apreparar investigadores y matemáticos. Y en este sen-tido tales centros también poseen sus problemas. Ladificultad es reconocida por muchas instituciones, masestá lejos de resolverse.

LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN LOS ESTADOS UNIDOS

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RELACIONES ENTRE LAS "SCHOOLS"

Y LOS "COLLEGES"

El Monthly (junio 1953) reproduce extractadamenteel texto del libro General Education in School andCollege (Harvard University Press, 1952). Este libroes fruto del estudio realizado por miembros de diver-sas Facultades norteamericanas para mejorar relacio-nes integradoras entre las schools y los colleges. Losensayos se refirieron más bien a los alumnos superio-res a la media, y en realidad no pretenden ser válidospara todas las instituciones docentes. Es decir, restrin-gen su esfera de validez a las seis instituciones si-guientes: Andover, Exeter, Lawrenceville, Harvard,Princeton y Yale. Los autores del informe esperanque sus experiencias hayan conducido a ideas intere-santes para otras schools y Universidades.

El trabajo reconoce que hay acuerdo general en quelas Matemáticas ofrecidas por la escuela primaria ne-cesitan alteraciones radicales.

En lo que toca a la orientación propiamente didác-tica el texto dice: "Una vez entendidas las nocionesbásicas—y esto requiere ejercicio práctico, así comopensamiento—, creemos que no es razonable detener-se morosamente en la elaboración de un conjunto deideas que ya se han hecho familiares. Desde luego, esposible idear problemas de extraordinaria complica-ción en todas las materias desde la división larga has-ta la trigonometría. Pero esto es una pérdida de tiem-po. Aunque parezca paradójico, somos de la opiniónsiguiente: cuanto mejor sea el estudiante, menos pro-blemas han de dársele para resolver. La conclusión fi-nal es ésta: "El contenido de los cuestionarios mate-máticos de las schools puede y debe ser revisado y re-novado."

CONCLUSIONES

Con lo que llevamos dicho hasta ahora el lectoratento puede formarse una idea de la vida que fluyeimpetuosa, efervescente, auténtica y abiertamente porlas schools, colleges y Universidades americanas.

El panorama fragmentario que sugiere el anterioresbozo posee notas que podemos calificar de impresio-nistas. Y no basta una pululación abigarrada de ca-racteres—pese a su valor ejemplar—. Se precisa, ade-mas, un modelado de formas, una construcción sim-bolizante; en una palabra, un concepto sistematizador,organizante y sintético.

En un intento de dar satisfacción a los anterioresrequisitos, hemos dejado para el final dos trabajos quecreemos tienen un gran valor. Uno de ellos es de todopunto estimable, por provenir de una de las cabezasmatemáticas más geniales de nuestro tiempo: AndréWeil. El segundo merece especial mención, porque seacerca a la didáctica matemática con visión humanis-ta v total, vitalista y ética. Nos referimos al trabajodel profesor Moses Richardson, del Brooklyn College:Mathematics and intellectual honesty. Para que unaenseñanza del tipo que sea pueda penetrar hasta lossenos más hondos del hombre, ha de ser global, nosólo intelectual, sino vital y humanísticamente. Paraello la mente humana ha de expresarse éticamente,con honradez intelectual.

Empezaremos con el trabajo de Richardson, dejando

para lo último, por su enormísima importancia, eltrabajo de Weil.

Richardson expuso sus ideas en un discurso pronun-ciado en la primera reunión de la Asociación de Pro-fesores de Matemáticas del Estado de Nueva York.El autor se propuso, al presentar la Matemática comohonradez profesional persistente, hacer una descrip-ción parcial más que dar una definición completa. Conello quiere sacar consecuencias para la enseñanza. Enla alocución supone una conversación entre un profa-no y un matemático. Poco a poco, gracias a la peri-cia expositiva de éste, aquél se va dando cuenta dela verdadera significación de la ciencia matemática, yal final el profano se entusiasma tanto que decide po-nerse a estudiar matemáticas en cuanto tenga tiempopara ello. Esta ficción estilística pretende simbolizarun ideal docente que su autor termina reconociendorealmente utópico e inalcanzable. Pues Richardson ex-pone su temor de que la enseñanza de la Matemáticano alcance el grado de perfección logrado en el dichodiálogo entre el profano y el matemático del apólogo.La verdad es—continúa Richardson—que en la mayo-ría de los casos la Matemática se enseña dogmática-mente, y con frecuencia el alumno ha de intentar laasimilación de sustancias intelectuales indigestas. Seña-la algunas funestas consecuencias de un especialismono integrado en una cultura humanista, y enumera lossiguientes puntos básicos en la didáctica de la Mate-mática:

1) Apreciación del origen natural y del desarro-llo de las ideas matemáticas fundamentales.

2) Actitud lógica y crítica, respeto para el razona-miento correcto, las definiciones precisas y una com-prensión clara de las hipótesis de que se parte.

3) Comprensión del papel de la Matemática comorama importante de la actividad del hombre y estu-dio de sus relaciones con otras ramas del saber acu-mulado por la raza humana.

4) Discusión de algunos problemas importantesde la Matemática pura y de sus aplicaciones, y

5) Comprensión de la naturaleza y de la impor-tancia práctica de un pensar axiomático.

Señala que ha de intentarse una distinción entre lafamiliaridad y la comprensión, la demostración lógicay el tecnicismo rutinario; entre la actitud crítica de lamente y la creencia habitual que no interroga, entreel pensamiento científico y una mera colección enci-clopédica de hechos y de meras opiniones y conjeturas.

Dice que dirige todas estas advertencias no sólo alos profesores de Matemáticas de los colleges y de las

schools secundarias, sino también a los que formany educan a tales profesores. El autor piensa que unprofesor de dicha naturaleza no necesita saber muchode geometría diferencial, de topología o de cálculo devariaciones. Pero afirma que sí debe estar familiari-zado con los conceptos fundamentales de la matemá-tica elemental. "Desgraciadamente, con frecuencia seespera que absorba todas esas cuestiones fundamenta-les por mera ósmosis. En la mayoría de los casos talproceso no tiene lugar, y el futuro profesor sale de suFacultad equipado con técnicas heterogéneas, con pocao ninguna comprensión del desarrollo histórico de suciencia, de la filosofía, de la naturaleza, del espíritu eincluso de la razón de ser de la materia que ha es-

tudiado."

180 REVISTA DE EDUCACIÓN

Como puede verse por el extracto que antecede, eltrabajo del profesor Richardson es bueno. Pero, a jui-cio del comentarista, el autor no saca tal vez suficien-te partido de las ideas que parece contener el títulodel artículo.

Es frecuente identificar la labor del estudiante ydel matemático con una de sus funciones más some-ras, el ejercicio meramente intelectual. Se olvida queal realizar distinciones analíticas se opera con unaabstracción esquemática de hombre. La parte intelec-tual, "lo mental intelectivo", es un trozo humanoesencialmente dependiente del todo orgánico de queforma parte.

A nuestro juicio, lo ético es inseparable de lo inte-lectual, y un educador que no tenga constantementea la vista los factores morales del alumno no puedeconseguir más que resultados pasajeros y de orden se-cundario. Lo ético lleva a la obra bien hecha; es unímpetu que hace tender a la perfección. Si estudiamosalgo con entusiasmo ético, no lo haremos a medias,no nos conformaremos con el poco más o menos: se-remos honrados intelectualmente. Este es el factor de-cisivo que parece alentar en el pensamiento de Ri-chardson. Por eso hemos destacado este aspecto de ladidáctica matemática norteamericana actual.

* * *

Pasemos, finalmente, al trabajo de André Weil.En cierto modo, ya hemos hablado de este gran

matemático francés (aunque tácitamente) al mencio-nar la reforma llevada a cabo en la Universidad deChicago. Bourbaki, en efecto, supuesto autor de laobra Éléments des Mathématiques, ya citada, es unseudónimo que oculta a varios matemáticos francesesde primera fila, cuya alma y espíritu director—el ver-dadero representar t- de la escuela—es Weil.

El trabajo de dicho autor, profesor de la Univer-sidad de Chicago, se ha publicado este año en el vo-lumen 61, páginas 34-36, de la revista tantas vecescitada en estas páginas: The American MathematicalMonthly, y comienza con otra ficción de tipo litera-rio, a la que, por lo que se ve, es aficionado 'Weil: sepresenta como las notas usadas en una conferenciapronunciada en la Universidad de Poldavia.

Hablamos de ficción porque tal Universidad noexiste realmente en la tierra. Lo mismo que la famosaciudad donde Faulkner hace vivir a sus personajesnovelescos, Poldavia no figura en ningún mapa terres-tre, salvo en la portentosa fantasía de su creador.

Las supuestas mejoras en la enseñanza de la Mate-mática en la Universidad de Poldavia, de que el autorhabla en su discurso, tienen, por tanto, un significadosimbólico, paradigmático.

Es empresa ardua la de valorar la obra de Weil.La estimación que se merece puede pecar por defectoo por infravaloración. No creemos incurrir en el diti-rambo ni en el elogio expresivo al presentar a Weilcomo una de las cabezas matemáticas más importan-tes del mundo actual. Pero con decir esto no decimosnada acerca de su valor como educador.

Es raro que el investigador sea a la vez buen maes-tro. Pero el trabajo que comentamos dice con len-guaje elocuente que Weil no es del tipo del meroespecialista que se pierde en la maraña del bosquede las técnicas.

Los puntos señalados brevemente por el gran ma-temático francés darán razones suficientes para la defensa del anterior punto de vista.

Cuando se piensa lo infrecuente que es la reflexióneducadora en nuestras Facultades de Matemáticas, serecibe con verdadero placer esta gran lección que nosllega del otro lado del Océano. Modestamente brinda-mos a la consideración de nuestros catedráticos uni-versitarios las ideas de Weil.

El matemático francés inicia su trabajo—que estáescrito muy concisamente (las obras que hacen épocasuelen aparecer en lenguaje breve y hasta lacónico)—con la siguiente afirmación: No se podrán alcanzarresultados satisfactorios en la enseñanza universitariasi antes no se reforma todo el sistema docente, desdela escuela elemental hasta la Universidad. Para ello senecesita cambiar programas y formar mejor a los pro-fesores.

En lo que respecta a los que enseñan matemáticasen la Universidad, dice que han de procurar satisfacer:a), las necesidades de los que precisan la matemáticaen la vida práctica; b), las de los especialistas. Agre-ga Weil que se ha de dar a los estudiantes la forma-ción intelectual y moral que toda Universidad dignade tal nombre tiene el deber de proporcionar a susmiembros.

El punto número 4 del discurso trata un aspectodidáctico muy concreto: el del contenido de la ense-ñanza, y da algunas directrices muy sabias, que nospermitimos destacar para que sean meditadas por mu-chos de nuestros catedráticos. Dicho punto establececomo fin propio de la didáctica crear reflejos útilesy estimular un pensamiento independiente. No ha deaprenderse nada que no cobre algún sentido para eldiscente. Por otra parte, Weil señala expresamenteque la resolución de problemas no ha de consistir enel único fin de la enseñanza. Los problemas por sísolos no bastan. Desligados de un contexto vital yhumano no tienen sentido. El problema matemático,como fin en sí, suele ser vano ejercicio de virtuosis-mo, y no tiene valor educativo. De ahí que hay queexcluir de la enseñanza el problema de truco, el quepara su resolución necesite la feliz idea. Weil subrayaenérgicamente que el propósito que persigue el plan-teamiento de problemas al estudiante es:

1) Que se ejercite en la aplicación de algún mé-todo general de especial importancia.

2) Que desarrolle su originalidad al ser guiado porun camino nuevo.

Las consideraciones que Weil engloba en su pun-to 5 son de una portentosa finura intelectual, aroma-da con el más fino esprit francés. En tales ideas abor-da el tema del manoseado rigor matemático, que enla mayoría de los casos suele degenerar en lo que al-gunos profesores, muy humorísticamente, han deno-minado la epsilonsitis. Weil destaca el valor del rigorcon las siguiente palabras: El rigor es al matemático loque la moral al hombre. Pero agrega—y esto es lo ma-ravilloso—: tal rigor no consiste en demostrarlo todo,sino en mantener una nítida distinción entre lo quese supone por hipótesis y lo que se demuestra, inten-tando suponer lo menos posible en cada caso. Por elloel alumno ha de acostumbrarse gradualmente, a par-tir de ejemplos iniciales, a poner en duda la verdadde toda proposición hasta ser capaz de deducir, con

LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN LOS ESTADOS UNIDOS

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ayuda de los axiomas ordinarios, todo lo que ha idoaprendiendo.

El punto 6 de este admirable discurso weiliano seocupa de lo que debe perseguirse en una demostra-ción escolar. El conocimiento de la demostración—sedice en tal punto—significa la comprensión de su me-canismo y de la aptitud para reconstruirla. Se basa enlos siguientes principios fundamentales: 1), perfeccióny claridad en las definiciones; 2), facultad de ligaruna cuestión dada con las ideas generales en que seapoya; 3), percepción de la naturaleza lógica de cual-quier demostración.

Según esto, el profesor—afirma Weil—no debe se-guir el camino más rápido ni el más elegante, sino elque se apoye en los principios más generales.

Weil destaca en su punto 7 que la enseñanza dela Matemática ha de ser una fuente de estímulos in-telectuales, y elogia los procedimientos seguidos en losseminarios de las Universidades alemanas: la divisióndel trabajo entre los estudiantes. Esta participación enuna empresa común se revela como un gran incenti-vo para el trabajo. Es erróneo creer que el alumnoha de saberlo todo. Lo que importa es que sepa pe-netrar en alguna cuestión hondamente, familiarizán-dose con un tipo concreto de dificultades y creandocomo una brújula orientadora propia que le guíe poralgún intrincado camino.

El punto 8 trata del cuaderno de apuntes del alum-no. Weil sostiene que tal utensilio ha de ser el verda-dero libro de texto para el estudiante. El tomar notasinteligentemente y ponerlas luego en limpio ha de serparte esencial del trabajo del alumno. Weil señalaque la experiencia indica numerosas ventajas del men-cionado cuaderno de notas. Permítaseme discrepar en

este punto. Weil parece pensar en estudiantes muybuenos y muy interesados en aprender. En ese caso sujuicio es indiscutible. Pero en el caso del estudiantemedio cl procedimiento suele resultar inoperante. Elalumno corriente necesita un libro (entiéndase: untexto excelente y ejemplar, fruto de la experiencia do-cente de un gran profesor) que le acompañe constan-temente. El manejo habitual de tal libro es de unpoder educativo insustituible. Estoy pensando, natural-mente, en los años formativos. Es evidente que duran-te los últimos cursos de la Facultad, o en el Doctora-do, el estudiante puede y debe seguir la trayectoriamarcada por Weil.

El trabajo de Weil termina tratando el derecho quetiene cualquier tema a formar parte del cuestionariode Matemáticas. Según el punto 9 del discurso, talderecho debe depender: 1), de su importancia para laMatemática moderna o de sus aplicaciones a la cien-cia moderna o a la técnica; 2), de sus relaciones conotras ramas del saber; 3), de las dificultades intrínse-cas de las ideas que presupone.

* * *

Un propósito fundamental ha guiado la pluma alredactar estas notas sobre la enseñanza de la Matemá-tica en los Estados Unidos: llamar la atención de losprofesores españoles hacia el tema. Terminamos eltrabajo haciendo votos por que en nuestra patria laenseñanza de la Matemática se eleve hasta la alturaque le corresponde.

RAMÓN CRESPO PEREIRA